Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Relações Métricas no Triângulo Retângulo Por: Antônia Oliveira Sousa; As relações métricas relacionam as medidas dos elementos de um triângulo retângulo (triângulo com um ângulo de 90º). Elementos de um triângulo retângulo: a: medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90º); b: cateto; c: cateto; h: altura relativa à hipotenusa; m: projeção do cateto c sobre a hipotenusa; n: projeção do cateto b sobre a hipotenusa. Semelhança e relações métricas: Para encontrar as relações métricas, utilizaremos semelhança de triângulos. Considere os triângulos semelhantes ABC, HBA e HAC: Como os triângulos ABC e HBA são semelhantes ( ), as proporções: Usando que encontramos a proporção: Da semelhança entre os triângulos HBA e HAC encontramos a proporção: Temos ainda que a soma das projeções m e n é igual a hipotenusa: Teorema de Pitágoras: Vamos somar a relação b2 = a . n com c2 = a . m: Como a = m + n, substituindo na expressão anterior: Assim, o Teorema de Pitágoras é: “A hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados dos catetos.” Fórmulas: Exemplos: 1) Encontre o valor de x e de y na figura abaixo: Primeiro calcularemos o valor da hipotenusa, que na figura está representado por y. Usando a relação: a = m + n ● y = 9 + 3 ● y = 12 Para encontrar o valor de x, usaremos a relação b2 = a.n: ● x2 = 12 . 3 = 36 ● x = = 6√36 2) A medida da altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo é 12 cm e uma das projeções mede 9 cm. Calcular a medida dos catetos desse triângulo. Primeiro vamos encontrar o valor da outra projeção usando a relação: h2 = m . n ● Vamos encontrar o valor da hipotenusa, usando a relação a = m + n ● a = 16 + 9 = 25 Agora é possível calcular o valor dos catetos usando as relações b2 = a . n e c2 = a . m ● Relações Métricas Referentes à Circunferência A circunferência possui algumas importantes relações métricas envolvendo segmentos internos, secantes e tangentes. Através dessas relações obtemos as medidas procuradas. Cruzamento entre duas cordas: O cruzamento de duas cordas na circunferência gera segmentos proporcionais, e a multiplicação entre as medidas das duas partes de uma corda é igual à multiplicação das medidas das duas partes da outra corda. AP * PC = BP * PD Exemplo 1: ● x * 6 = 24 * 8 ● 6x = 192 ● x = 192/6 ● x = 32 Dois segmentos secantes partindo de um mesmo ponto: Em qualquer circunferência, quando traçamos dois segmentos secantes, partindo de um mesmo ponto, a multiplicação da medida de um deles pela medida de sua parte externa é igual à multiplicação da medida do outro segmento pela medida de sua parte externa. RP * RQ = RT * RS Exemplo 2: ● x * (42 + x) = 10 * (30 + 10) ● x2 + 42x = 400 ● x2 + 42x – 400 = 0 Aplicando a fórmula resolutiva de uma equação do 2º grau: Os resultados obtidos são x’ = 8 e x’’ = – 50. Como estamos trabalhando com medidas, devemos considerar somente o valor positivo x = 8. Segmento secante e segmento tangente partindo de um mesmo ponto: Nesse caso, o quadrado da medida do segmento tangente é igual à multiplicação da medida do segmento secante pela medida de sua parte externa. (PQ)2 = PS * PR Exemplo 3 ● x2 = 6 * (18 + 6) ● x2 = 6 * 24 ● x2 = 144 ● √x2 = √144 ● x = 12
Compartilhar