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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR AULA 1.1 - Estudo da Reta no Plano 1. Encontre a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(-2,3) e B(1,9). R: y = 2x + 7 2. O ângulo α formado pela reta e pelo eixo das abscissas no sentido positivo é chamado inclinação da reta, e o coeficiente angular da reta é a tangente deste ângulo. Encontre a equação geral da reta que tem inclinação de 45º e passa pelo ponto P(2,4). R: E. x – y + 2 = 0 3. Identificar quando retas são paralelas pode ser muito útil em problemas de aplicação. Conhecendo as equações de duas retas, sabe-se que elas são paralelas se tiverem o mesmo coeficiente angular. Encontre a equação reduzida da reta que passa pelo ponto P(1,2) e é paralela à reta y = 3x - 4. R: D. y = 3x –1 4. Duas retas no plano são ditas perpendiculares se o ângulo formado por elas for de 90º. Conhecendo as equações de duas retas no plano, sabe-se que elas são perpendiculares se o produto de seus coeficientes angulares for igual a - 1. Encontre a equação reduzida da reta que passa pelo ponto P(1,2) e é perpendicular à reta y = 3x - 4. R: C. y= -1/3x+7/3 Vamos considerar a1 o coeficiente angular da reta dada e a2 o coeficiente angular da reta que estamos procurando. Como elas são perpendiculares, temos: 5. O cálculo da distância de um ponto a uma reta é importante, pois está relacionado com o traçado de segmentos perpendiculares. Determine a distância do ponto P(– 3,5) à reta r de equação y = 5x – 3. 1.2 Ângulos e interseções 1. Para determinar o ângulo entre duas retas, é necessário extrair o vetor diretor. Qual é o ângulo entre as retas r e s? r: x = -2 -t, y = t, z = 3 -2t s: x/2 = (y + 6)/1 = (z - 1)/1 2. Para obter interseção entre retas e planos, devemos utilizar a igualdade das suas equações. Assim, qual é o ponto de interseção entre a reta r e o plano π a seguir?r: x = 3t, y = 1 - 2t , z = -t π: 2x + 3y - 2z - 7 = 0 3. Quando planos realizam interseção, é obtida uma reta resultante. Qual é a equação simétrica de r que representa a interseção entre os planos a seguir? π1: 3x - y + 2z - 1 - 0 π2: x + 2y - 3z - 4 = 0 4. O ângulo entre planos é obtido a partir da análise de seus vetores normais. Qual é o valor de m para que os planos a seguir sejam ortogonais? π1: mx + y - 3z - 1 = 0 π2: 2x - 3my + 4z + 1 = 0 5. O ângulo entre planos é obtido pelo cálculo do cosseno do ângulo entre os vetores normais. Qual é o ângulo entre os planos a seguir? π1: x - 2y + z - 6 = 0 π2: 2x - y - z + 3 = 0 2.1 Distâncias entre dois pontos, ponto e reta e ponto e plano, duas retas e dois planos 1. Dois pontos definem um vetor e com ele é possível obter seu comprimento, que é chamado de módulo. Qual a distância entre os pontos A (-2,0,1) e (1,-3,2)? 2. A distância entre ponto e reta é obtida pelo processo de projeção de vetores no espaço. Qual é a distância entre o ponto P(2,3,-1) e a reta r: x=3+t , y=-2t , z=1-2t? 3. A distância entre ponto e plano é dada por uma relação entre a substituição dos valores no plano e o módulo do seu vetor normal. Qual é a distância entre o ponto P (2,-1,2) e o plano π: 2x-2y-z+3=0? 4. Retas reversas possuem um valor de distância mínima. Qual é a distância entre as retas reversas a seguir? r: x=2-t , y=3+t , z=1-2t s: x=t , y=-1-3t , z=2t 5. A distância entre dois planos paralelos é dada pela fórmula de distância entre ponto e plano. Qual é a distância entre os planos paralelos π1: x-z=0 e π2: - 2x+2z+8=0? 2.2 Equações do plano, Planos paralelos aos eixos e aos planos coordenados 1.Sabendo-se que um plano pode ser determinado por 3 pontos não colineares, determine a equação do plano π que passa pelos pontos A(-2,1,0), B(-1,4,2) e C(0,- 2,2). 2. Sabendo-se que um plano pode ser determinado por duas retas paralelas, encontre a equação do plano determinado pelas retas. 3. Sabendo-se que um plano pode ser determinado por duas retas concorrentes, encontre a equação do plano determinado pelas retas. 4. Sabendo-se que um plano pode ser determinado por uma reta e um ponto não pertencente a ela, encontre a equação do plano determinado pelo ponto A(3,-1,2), e a reta 5. Marque a alternativa que contém a equação de um plano paralelo ao eixo x. 3.1 Produto Escalar e Produto Vetorial entre vetores 1. Dados os vetores u = (1,2), v = (4, -2) e w = (6,0) determine u.(7v+w). 2. Dados os vetores u = (-7,1,3) e v = (5,0,1), marque a alternativa correta. 3. Para representar formas tridimensionais por meio de figuras planas, por exemplo, na elaboração de plantas, é comum o uso de projeções ortogonais. Na figura a seguir, o vetor p é a projeção ortogonal do vetor u na direção do vetor v. 4. Determine um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores u = (-1,-1,-1) e v = (2,0,2). 5. Uma aplicação do produto vetorial se dá no cálculo da área do paralelogramo definido pelos vetores u e v. 3.2 Superfície cônica e superfície cilíndrica 1. Calcule a área total e o volume de um cilindro de revolução que tem 2 metros de altura e cuja base circular tem raio igual a 0,2 metros. Considerando π = 3,1416, assinale a alternativa correta. 2. Um cilindro de revolução tem área lateral igual a 0,62832m2. Sabendo que sua altura é igual a 0,5m, calcule o valor do raio da base, sendo π = 3,1416 3. Encontre a área lateral de um cilindro de revolução que tem 3 metros de altura e cuja área da base mede 0,502656m2, sendo π = 3,1416. 4 - Determine a equação da hipérbole em termos de formas quadráticas e lineares. 5. Esboce o gráfico do hiperboloide de uma folha . 4.1 Sistemas Lineares 1. O sistema a seguir tem infinitas soluções. Marque a alternativa que contém uma de suas soluções. 2. Transforme a matriz a seguir em sua forma escalonada reduzida. Resposta: 3 - A matriz completa associada ao sistema a seguir é: 4 - Encontre a solução do sistema homogêneo associado à matriz a seguir. 5. Suponha que um sistema homogêneo tenha quatro equações e seis incógnitas e que A seja sua matriz completa. Marque a alternativa correta. 4.2 Introdução ao Estudo de Matrizes 1. Uma loja vende bicicletas de corrida e mountain bikes. O gerente tem as seguintes tabelas de dados disponíveis, a primeira dando o número de bicicletas vendidas de cada tipo para cada trimestre de 1998 e a segunda, para cada trimestre de 1999: 2. Se A é uma matriz m x n, então m representa o número de ____________________ e n representa o número de ______________________ . Como requisito, para que se possa somar duas matrizes A e B é necessário que elas possuam ______________________________. Marque a alternativa que preenche os espaços acima. 3. Uma matriz A é igual a sua transposta quando: 4. Encontre a matriz A, sabendo que: 5. Sejam três matrizes: A, B e C de mesma ordem. Se A e B são matrizes diagonais e C é uma matriz simétrica não nula, marque a alternativa que NÃO contém matrizes diagonais. 5.1 Introdução à Geometria Vetorial 1. Considerando P(0,2,-3) e Q(4,-1,2), calcule 2. Considerando 3. Considerando 4. Considerando 5. Considerando 5.2 Espaços Vetoriais: Exemplos e PropriedadesBásicas 1. Marque a afirmação correta sobre espaços vetoriais. 2. Seja V o conjunto de todas as matrizes 1x3, com a adição usual, marque a alternativa correta. 3. Marque a alternativa que contém um espaço vetorial. 4. Marque a alternativa correta sobre subespaço vetorial. 5. Marque a alternativa correta sobre geradores. 6.1 Geometria Vetorial e Transformações Lineares 1. Transformações matriciais atuam sobre espaços vetoriais. A transformação F(x, y) = (2x, –y), por exemplo, atua no espaço R2. Por essa transformação, qual é a imagem do ponto P = (2, 1)? 2. Transformações lineares do espaço R2 sobre si têm representação matricial dada por 2 x 2. Na base canônica de R2, qual é a representação matricial da transformação G(x, y) = (–y, x)? 3. Um importante tipo de transformação linear são as reflexões em torno de eixos ou retas. Determine a imagem do ponto P = (1,–1) pela reflexão em torno da reta diagonal do plano. 4. Uma classe de transformações lineares com muitas aplicações em Física e outras áreas são as rotações no plano. Qual é a matriz da rotação de 45º em torno da origem em R2? 5. Compor transformações lineares é equivalente a multiplicar suas respectivas matrizes de representação. Sendo assim, indique qual é a matriz na base canônica de R2 que representa a composição G°F das seguintes operações: G(x, y ) = (–x, –y) e H(x, y) = (2x, 2y). 6.2 Inversão de Matrizes 1. Dadas as matrizes abaixo: encontre a matriz inversa do produto entre A e B, isto é, (AB)-1. 2. Considerando a matriz , encontre sua inversa. 3. Dado o sistema de equações lineares abaixo {, a matriz inversa dos coeficientes e a matriz representativa da solução do sistema são, respectivamente: 4. Determine a matriz inversa dos coeficientes e a matriz solução do seguinte sistema de equações lineares: 5. Para o sistema de equações lineares abaixo: { a matriz inversa dos coeficientes e a matriz solução do sistema são, respectivamente: