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GEOMETRIA ANALÍTICA
1.1 Estudo da Reta no Plano
1. Encontre a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(-2,3) e B(1,9).​​​​​​​
( )A. 2x – y + 7 = 0
(x)B. y = 2x + 7
( )C. y = 2x – 7
( )D. y = –6x – 9
( )E. y = –6x + 9
2. O ângulo α formado pela reta e pelo eixo das abscissas no sentido positivo é chamado inclinação da reta, e o coeficiente angular da reta é a tangente deste ângulo. Encontre a equação geral da reta que tem inclinação de 45º e passa pelo ponto P(2,4).
( )A. y = x + 2
( )B. – x – y + 2 = 0
( )C. x – y – 2 = 0
( )D. x – y = –2
(x)E. x – y + 2 = 0
3. Identificar quando retas são paralelas pode ser muito útil em problemas de aplicação. Conhecendo as equações de duas retas, sabe-se que elas são paralelas se tiverem o mesmo coeficiente angular. Encontre a equação reduzida da reta que passa pelo ponto P(1,2) e é paralela à reta y = 3x - 4.​​​​​​​
( )A. y = x + 1
( )B. y = –3x – 1
( )C. 3x – y – 1 = 0
(x)D. y = 3x –1
( )E. y = 3x + 1
4. Duas retas no plano são ditas perpendiculares se o ângulo formado por elas for de 90º. Conhecendo as equações de duas retas no plano, sabe-se que elas são perpendiculares se o produto de seus coeficientes angulares for igual a - 1. Encontre a equação reduzida da reta que passa pelo ponto P(1,2) e é perpendicular à reta y = 3x - 4.​​​​​​​
( )A. y = 3x – 1
( )B. y = 3x – 3
(x)C. y= -1/3x+7/3
( )D. y= 1/3x+7/3
( )E. -1/3x-7/3
5. O cálculo da distância de um ponto a uma reta é importante, pois está relacionado com o traçado de segmentos perpendiculares. Determine a distância do ponto P(–3,5) à reta r de equação y = 5x – 3.
(X)A.
( )B.
( )C.
( )D.
( )E.
1.2 Ângulos e interseçõesFerramenta externa
1. Para determinar o ângulo entre duas retas, é necessário extrair o vetor diretor. Qual é o ângulo entre as retas r e s?
r: x = -2 -t, y = t, z = 3 -2t
s: x/2 = (y + 6)/1 = (z - 1)/1
( )A. 30°.
( )B. 90°.
(X)C. 60°.
( )D. 45°.
( )E. 0°.
2. Para obter interseção entre retas e planos, devemos utilizar a igualdade das suas equações. Assim, qual é o ponto de interseção entre a reta r e o plano π a seguir?
r: x = 3t, y = 1 - 2t , z = -t
π: 2x + 3y - 2z - 7 = 0
( )A. (1, 0, 1).
( )B. (2, 3, 1).
( )C. (-4, 2, 0).
( )D. (0, -3, 1).
(X)E. (6, -3, -2).
3. Quando planos realizam interseção, é obtida uma reta resultante. Qual é a equação simétrica de r que representa a interseção entre os planos a seguir?
π1: 3x - y + 2z - 1 - 0
π2: x + 2y - 3z - 4 = 0
(X)A. x/-1 = (y - 11)/11 = (z - 6)/7
( )B. x = y/7 = (z - 2)/-2
( )C. x = (y - 3)/2 = z/3
( )D. x = (y + 1)/7 = (z - 1)/-4
​​​( )E. x = y/2 = z
4. O ângulo entre planos é obtido a partir da análise de seus vetores normais.
Qual é o valor de m para que os planos a seguir sejam ortogonais?
π1: mx + y - 3z - 1 = 0
π2: 2x - 3my + 4z + 1 = 0
( )A. 8.
( )B. 11.
(X)C. -12.
( )D. -1.
( )E. -4.
5. O ângulo entre planos é obtido pelo cálculo do cosseno do ângulo entre os vetores normais. Qual é o ângulo entre os planos a seguir?
π1: x - 2y + z - 6 = 0
π2: 2x - y - z + 3 = 0
( )A. 90°.
( )B. 45°.
( )C. 30°.
( )D. 0°.
(X)E. 60°.
2.1 Distâncias entre dois pontos, ponto e reta e ponto e plano, duas retas e dois planos 
1. Dois pontos definem um vetor e com ele é possível obter seu comprimento, que é chamado de módulo. Qual a distância entre os pontos A (-2,0,1) e (1,-3,2)?
(X)A. √19
​​​​​​​​​( )B. 15
( )C. 19
( )D. √20
( )E. √15
2. A distância entre ponto e reta é obtida pelo processo de projeção de vetores no espaço. Qual é a distância entre o ponto P(2,3,-1) e a reta r: x=3+t , y=-2t , z=1-2t​​​​​​​?
( )A. 120
( )B. √113/2
( )C. 110
​​​​​​( )D. 53
​​(X)E. √117/3
3. A distância entre ponto e plano é dada por uma relação entre a substituição dos valores no plano e o módulo do seu vetor normal. Qual é a distância entre o ponto P (2,-1,2) e o plano π: 2x-2y-z+3=0?
(X)A. 7/3
( )B. 2/5
( )C. 2/3
( )D. 4
( )E. 5/3
4. Retas reversas possuem um valor de distância mínima. Qual é a distância entre as retas reversas a seguir?
r: x=2-t , y=3+t , z=1-2t
s: x=t , y=-1-3t , z=2t
( )A. 3/2
( )B. 5/3
(X)C. (3√5)/5
​​​​​​( )D. (5√3)/2
( )E. √3/5
5. A distância entre dois planos paralelos é dada pela fórmula de distância entre ponto e plano. Qual é a distância entre os planos paralelos π1: x-z=0 e π2: -2x+2z+8=0​​​​​​​?
(X)A. √8
( )B. 2√8
( )C. √8/8
( )D. 8
( )E. 0
2.2 Equações do plano, Planos paralelos aos eixos e aos planos coordenados 
1.Sabendo-se que um plano pode ser determinado por 3 pontos não colineares, determine a equação do plano π​​​​​​​ que passa pelos pontos A(-2,1,0), B(-1,4,2) e C(0,-2,2).
(X)A. 12x + 2y - 9z + 22 = 0
( )B. 2x + 2y - 9z + 22 = 0
( )C. 12x + 12y - 9z + 22 = 0
( )D. 12x + 2y + 9z + 22 = 0
( )E. 12x + 2y - 9z - 22 = 0
2. Sabendo-se que um plano pode ser determinado por duas retas paralelas, encontre a equação do plano determinado pelas retas.
​( )A. 2x + 2y - 3z - 8 = 0
(X)B. 5x + 2y - 3z - 8 = 0
( )C. 5x - 2y - 3z - 8 = 0
( )D. 5x + 2y - 5z - 8 = 0
( )E. 5x + 2y - 3z + 8 = 0
3. Sabendo-se que um plano pode ser determinado por duas retas concorrentes, encontre a equação do plano determinado pelas retas.
( )A. - 5x - 2y + 4z - 21 = 0
( )B. 5x + 2y + 4z - 21 = 0
( )C. 5x - 2y - 4z - 21 = 0
(X)D. 5x - 2y + 4z - 21 = 0
( )E. 5x - 2y + 4z + 21 = 0
4. Sabendo-se que um plano pode ser determinado por uma reta e um ponto não pertencente a ela, encontre a equação do plano determinado pelo ponto A(3,-1,2), e a reta 
​( )A. - x + y -2 = 0
( )B. x - y -2 = 0
(X)C. x + y -2 = 0
( )D. x + y + z -2 = 0
( )E. x + y + 2 = 0
5. Marque a alternativa que contém a equação de um plano paralelo ao eixo x.
( )A. 5x + 2y – 10 = 0
( )B. 5x + 2z + 2 = 0
(X)C. 5y + 3z - 8 = 0
( )D. x – 3 = 0
( )E. -2x + z + 5 = 0
3.1 Produto Escalar e Produto Vetorial entre vetores 
1. Dados os vetores u = (1,2), v = (4, -2) e w = (6,0) determine u.(7v+w).
(X)A. 6
( )B. -6
( )C. (34, -28)
( )D. (34, 28)
( )E. 62
2. Dados os vetores u = (-7,1,3) e v = (5,0,1), marque a alternativa correta.
( )A. Os vetores u e v são ortogonais.
( )B. O ângulo entre eles é agudo.
(X)C. O ângulo entre eles é obtuso.
( )D. u.v = -31
( )E. u.v = 32
3. Para representar formas tridimensionais por meio de figuras planas, por exemplo, na elaboração de plantas, é comum o uso de projeções ortogonais. Na figura a seguir, o vetor p é a projeção ortogonal do vetor u na direção do vetor v.
Considerando um vetor u = (2,1) e um vetor v = (-3,2), encontre a projeção ortogonal de u em v. 
( )A. (-12/13, -8/13).
(X)B. (12/13, -8/13).
( )C. (12/13, 8/13).
( )D. (12, -8)
( )E. (12/√13, -8/√13)
4. Determine um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores
u = (-1,-1,-1) e v = (2,0,2).
( )A. 0
( )B. (-2,2,2).
( )C. (-2,0,-2).
( )D. (2,0,2).
(X)E. (-2,0,2).
5. Uma aplicação do produto vetorial se dá no cálculo da área do paralelogramo definido pelos vetores u e v.
​Considerando os pontos A(1,1,0), B(3,1,0), C(1,4,2) e D(3,4,2), encontre a área do paralelogramo definido por tais pontos.
( )A. (0, 4, -6)
( )B. -2 (u.a.)
( )C. 4 √13 (u.a.)
(X)D. 2 √13 (u.a.)
( )E. - 2 √13 (u.a.)
3.2 Superfície cônica e superfície cilíndrica 
1. Calcule a área total e o volume de um cilindro de revolução que tem 2 metros de altura e cuja base circular tem raio igual a 0,2 metros. Considerando π = 3,1416, assinale a alternativa correta.​​​​
( )A. St = 1,754608m2. 
 V = 0,02513m3. 
​​​​​​​​​​(X)B. St = 2,764608m2. 
 V = 0,2513m3. 
( )C. St = 3,764608m2.
 V = 0,02513m3. 
​​( )D. St = 2,764608m2. 
 V = 2,513m3. 
​​​​​​( )E. St = 4,764608m2. 
 V = 25,13m3. 
2. Um cilindro de revolução tem área lateral igual a 0,62832m2. Sabendo que sua altura é igual a 0,5m, calcule o valor do raio da base, sendo π = 3,1416​​​​​​​​​​​​​​
( )A. r = 2m.
( )B. r = 0,3m.
( )C. r = 0,6m.
( )D. r = 0,4m.
(X)E. r = 0,2m.
3. Encontre a área lateral de um cilindro de revolução que tem 3 metros de altura e cuja área da base mede 0,502656m2​​​​, sendo π = 3,1416.
(X)A. Sl = 7,53984m2. ​​​​​​​
( )B. Sl = 4m2. ​​​​​​​
( )C. Sl = 8,98413m2. 
( )D. Sl = 75,3984 m2. ​​​​​​​
​​​​( )E. Sl = 5 m2. 
4. Determine a equaçãoda hipérbole 
 em termos de formas quadráticas e lineares.​​​​​​
( )A.
( )B.
(X)C. 
( )D.
( )E.
5. Esboce o gráfico do hiperboloide de uma folha 
(X)A.
( )B.
( )C.
( )D.
( )E.
4.1 Sistemas Lineares 
1. O sistema a seguir tem infinitas soluções. Marque a alternativa que contém uma de suas soluções.
( )A. [0 -2 1 1]T
( )B. [-2 -2 -1 -1]T
( )C. [2 2 -1 -1]T
( )D. [0 -1 0 5]T
(X)E. [-2 -2 1 1]T
2.Transforme a matriz a seguir em sua forma escalonada reduzida.
(X)A.
( )B.
( )C.
( )D.
( )E.
3.A matriz completa associada ao sistema a seguir é:semantics
( )A.
( )B.
( )C.
(X)D.
( )E.
4.Encontre a solução do sistema homogêneo associado à matriz a seguir.
( )A.
( )B.
(X)C.
( )D.
( )E.
5. Suponha que um sistema homogêneo tenha quatro equações e seis incógnitas e que A seja sua matriz completa. Marque a alternativa correta.
( )A. Esse sistema tem solução única.
( )B. Esse sistema tem apenas uma variável independente.
(X)C. Se a linha 1 e a linha 2 forem múltiplas, mas as demais não, o sistema terá três variáveis independentes.
( )D. A matriz completa desse sistema tem seis linhas e quatro colunas.
( )E. Se duas linhas se tornarem nulas no processo de escalonamento, esse sistema terá duas variáveis independentes.
4.2 Introdução ao Estudo de Matrizes 
1. Uma loja vende bicicletas de corrida e mountain bikes. O gerente tem as seguintes tabelas de dados disponíveis, a primeira dando o número de bicicletas vendidas de cada tipo para cada trimestre de 1998 e a segunda, para cada trimestre de 1999:
A operação com matriz que produz o resultado total de vendas nesses dois anos juntos por tipo de bicicleta e por trimestre é a _____________ e o resultado é a matriz ____________________.
Marque a alternativa que preenche os espaços.
( )A. Multiplicação por escalar e
​​​​​( )B. Transposição e
( )C. Adição e
(X)D. Adição e
( )E. Multiplicação por escalar e
2. Se A é uma matriz m x n, então m representa o número de ____________________ e n representa o número de ______________________ . Como requisito, para que se possa somar duas matrizes A e B é necessário que elas possuam ______________________________. Marque a alternativa que preenche os espaços acima.
( )A. linhas de A; colunas de A; o mesmo número de colunas.
( )B. linhas de A; colunas de A; o mesmo número de linhas.
(X)C. linhas de A; colunas de A; a mesma ordem.
( )D. colunas de A; linhas de A; a mesma ordem.
( )E. colunas de A; linhas de A; o mesmo número de linhas.
3. Uma matriz A é igual a sua transposta quando:
(X)A. A for simétrica.
( )B. A for quadrada.
( )C. A for uma matriz linha.
( )D. A for uma matriz coluna.
( )E. A for uma matriz nula.
4.Encontre a matriz A, sabendo que:
( )A.
(X)B.
( )C.
( )D.
( )E.
5. Sejam três matrizes: A, B e C de mesma ordem. Se A e B são matrizes diagonais e C é uma matriz simétrica não nula, marque a alternativa que NÃO contém matrizes diagonais.
( )A. A + B.
( )B. 2A.
( )C. A + 2B.
(X)D. A + C.
( )E. A transposta.
5.1 Introdução à Geometria Vetorial 
1.Considerando P(0,2,-3) e Q(4,-1,2), calcule
( )A.
( )B.
( )C.
( )D.
(X)E.
2. Considerando
(X)A
( )B.
( )C.
( )D.
( )E.
3.
( )A. 1440.
( )B. – 1440
( )C. 43
(X)D. -43
( )E. 65.
4. Considerando
determine se o ângulo entre eles é agudo, obtuso ou reto, justificando.
(X)A.
( )B.
( )C.
( )D.
( )E.
5. Considerando
determine o ângulo entre os vetores.
( )A.
(X)B.
( )C.
( )D.
( )E.
5.2 Espaços Vetoriais: Exemplos e Propriedades Básicas 
1. Marque a afirmação correta sobre espaços vetoriais.
( )A. Existe espaço vetorial vazio.
( )B. Para que um conjunto seja um espaço vetorial é preciso definir as operações de adição e multiplicação entre dois vetores do conjunto.
( )C. Um conjunto continuará sendo espaço vetorial mesmo se definirmos outras operações de adição e multiplicação por escalar.
( )D. O conjunto Z = ｛0, ±1, ±2 , ±3, ...｝ com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais é um espaço vetorial.
(X)E. Todo o espaço vetorial contém o vetor nulo.
2. Seja V o conjunto de todas as matrizes 1x3, com a adição usual, marque a alternativa correta.
( )A. Se definirmos a multiplicação por escalar em V como a[x y z]=[0 0 0], V será um espaço vetorial.
( )B. Se definirmos a multiplicação por escalar em V como a[x y z]=[-ax -ay -az], V será um espaço vetorial.
( )C. Se definirmos a multiplicação por escalar em V como a[x y z]=[ax ay az], V não será um espaço vetorial.
(X)D. Se definirmos a multiplicação por escalar em V como a[x y z]=[0 ay az], V não será um espaço vetorial.
( )E. Se definirmos a multiplicação por escalar em V como a multiplicação usual em M1x3, V não será um espaço vetorial.
3.Marque a alternativa que contém um espaço vetorial.
( )A. V = ｛[x 1 z]| x e y ε R｝ com as operações usuais do espaço vetorial das matrizes de ordem 1x3.
( )B. b) V é o conjunto das matrizes 2x2, com a operação usual de adição e a multiplicação por escalar aB = |a|B .
(X)C. c) V é o conjunto dos números complexos com a adição e multiplicação por escalar usuais.
( )D. V é o conjunto de todos os reais não negativos com as operações de adição e multiplicação por escalar.
( )E. V é o conjunto das funções R → R com as operações adição ponto a ponto, ou seja, (f + g)(x) = f(x) + g(x) e (a.f)(x) = f(ax) para todo x.
4. Marque a alternativa correta sobre subespaço vetorial.
(X)A. ..é um subespaço do espaço vetorial M2,2.
( )B. U = ｛A|A2 = A｝ é um subespaço do espaço vetorial M2,2.
( )C. U = ｛A | AB = BA｝ onde B é uma matriz fixa de M2,2. não é um subespaço do espaço vetorial M2,2.
( )D. U = ｛p(x) em P3 | p(x) tem termo constante 0｝ não é um subespaço do espaço vetorial P3.
( )E. U = ｛f | f(0) = 0｝ não é um subespaço do espaço vetorial F[0,1].
5. Marque a alternativa correta sobre geradores.
( )A. O conjunto ｛1+x,x+x2, x2+x3, 1+x3｝ gera P3.
(X)B. 
( )C. Dados... v1 está em ger｛u,w｝.
( )D. Dados...v1 não está em ger｛u,w｝.
( )E. Dados U = x3-2x+1,w = x2+x-2,v1 = x3 está em ger｛u,w｝.
6.1 Geometria Vetorial e Transformações Lineares 
1. Transformações matriciais atuam sobre espaços vetoriais. A transformação F(x, y) = (2x, –y), por exemplo, atua no espaço R2. 
Por essa transformação, qual é a imagem do ponto P = (2, 1)?
( )A. Q = (–4, 1).
(X)B. Q = (4, –1).
( )C. Q = (4, 1).
( )D. Q = (–4, –1).
( )E. Q = (–4, 0).
2. Transformações lineares do espaço R2 sobre si têm representação matricial dada por 2 x 2.
Na base canônica de R2, qual é a representação matricial da transformação G(x, y) = (–y, x)?​​​​​​​​​​​​​​
( )A.
( )B.
( )C.
(X)D.
( )E.
3. Um importante tipo de transformação linear são as reflexões em torno de eixos ou retas.
Determine a imagem do ponto P = (1,–1) pela reflexão em torno da reta diagonal do plano.
( )A. (1, 1)
( )B. (1, –1)​
( )C. (1, 2)
( )D. (0, 1)
​​​​​(X)E. (–1, 1)
4. Uma classe de transformações lineares com muitas aplicações em Física e outras áreas são as rotações no plano.
Qual é a matriz da rotação de 45º em torno da origem em R2?​​​​​​​​​​​​​​
( )A.
( )B.
( )C.
( )D.
(X)E.
5. Compor transformações lineares é equivalente a multiplicar suas respectivas matrizes de representação.
Sendo assim, indique qual é a matriz na base canônica de R2 que representa a composição G°F das seguintes operações:
G(x, y ) = (–x, –y) e H(x, y) = (2x, 2y).​​​​​​​​​​​​​​
( )A.
(x)B.
( )C.
( )D.
( )E.
6.2 Inversão de Matrizes 
1. Dadas as matrizes abaixo:
encontre a matriz inversa do produto entre A e B, isto é, (AB)-1​​​​​​​.​​​​​​​
(X)A.
( )B.
( )C.
( )D.
( )E.
2. Considerando a matriz 
​​ encontre sua inversa.​​​​​​​​​​​​​​
( )A.
( )B.
( )C.
( )D.
(X)E.
3. Dado o sistema de equações lineares abaixo 
​​​a matriz inversa dos coeficientes e a matriz representativa da solução do sistema são, respectivamente:​​​​​​
( )A.
( )B.
(X)C.
( )D.
( )E.
4. Determine a matriz inversa dos coeficientes e a matriz solução do seguinte sistema de equações lineares:
( )A.
( )B.
( )C.
(X)D.
( )E.
5. Para o sistema de equações lineares abaixo:
​​​a matriz inversa dos coeficientes e a matriz solução do sistema são, respectivamente:​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​
( )A.
(X)B.
( )C.
( )D.
( )E.
 
​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​