GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
1.1 Estudo da Reta no Plano
1. Encontre a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(-2,3) e B(1,9).​​​​​​​ 
B. y = 2x + 7
2. O ângulo α formado pela reta e pelo eixo das abscissas no sentido positivo é chamado inclinação da reta, e o coeficiente angular da reta é a tangente deste ângulo. Encontre a equação geral da reta que tem inclinação de 45º e passa pelo ponto P(2,4).
E. x – y + 2 = 0
3. Identificar quando retas são paralelas pode ser muito útil em problemas de aplicação. Conhecendo as equações de duas retas, sabe-se que elas são paralelas se tiverem o mesmo coeficiente angular. Encontre a equação reduzida da reta que passa pelo ponto P(1,2) e é paralela à reta y = 3x - 4.​​​​​​​
D. y = 3x –1
4. Duas retas no plano são ditas perpendiculares se o ângulo formado por elas for de 90º. Conhecendo as equações de duas retas no plano, sabe-se que elas são perpendiculares se o produto de seus coeficientes angulares for igual a - 1. Encontre a equação reduzida da reta que passa pelo ponto P(1,2) e é perpendicular à reta y = 3x - 4.​​​​​​​
C. y= -1/3x+7/3
5. O cálculo da distância de um ponto a uma reta é importante, pois está relacionado com o traçado de segmentos perpendiculares. Determine a distância do ponto P(–3,5) à reta r de equação y = 5x – 3.
A. 23/√26
1.2 Ângulos e interseções
1. Para determinar o ângulo entre duas retas, é necessário extrair o vetor diretor. Qual é o ângulo entre as retas r e s? r: x = -2 -t, y = t, z = 3 -2t s: x/2 = (y + 6)/1 = (z - 1)/1 
C. 60°.
2. Para obter interseção entre retas e planos, devemos utilizar a igualdade das suas equações. Assim, qual é o ponto de interseção entre a reta r e o plano π a seguir? r: x = 3t, y = 1 - 2t , z = -t π: 2x + 3y - 2z - 7 = 0 
E. (6, -3, -2).
3. Quando planos realizam interseção, é obtida uma reta resultante. Qual é a equação simétrica de r que representa a interseção entre os planos a seguir? π1: 3x - y + 2z - 1 - 0 π2: x + 2y - 3z - 4 = 0 
A. x/-1 = (y - 11)/11 = (z - 6)/7. 
4. O ângulo entre planos é obtido a partir da análise de seus vetores normais. Qual é o valor de m para que os planos a seguir sejam ortogonais? π1: mx + y - 3z - 1 = 0 π2: 2x - 3my + 4z + 1 = 0 
C. -12.
5. O ângulo entre planos é obtido pelo cálculo do cosseno do ângulo entre os vetores normais. Qual é o ângulo entre os planos a seguir? π1: x - 2y + z - 6 = 0 π2: 2x - y - z + 3 = 0 
E. 60°.
2.1 Distâncias entre dois pontos, ponto e reta e ponto e plano, duas retas e dois planos
1. Dois pontos definem um vetor e com ele é possível obter seu comprimento, que é chamado de módulo. Qual a distância entre os pontos A (-2,0,1) e (1,-3,2)? 
A. √19
2. A distância entre ponto e reta é obtida pelo processo de projeção de vetores no espaço. Qual é a distância entre o ponto P(2,3,-1) e a reta r: x=3+t , y=-2t , z=1-2t​​​​​​​? 
E. √117/3
3. A distância entre ponto e plano é dada por uma relação entre a substituição dos valores no plano e o módulo do seu vetor normal. Qual é a distância entre o ponto P (2,-1,2) e o plano π: 2x-2y-z+3=0? 
A. 7/3
4. Retas reversas possuem um valor de distância mínima. Qual é a distância entre as retas reversas a seguir? r: x=2-t , y=3+t , z=1-2t s: x=t , y=-1-3t , z=2t 
C. (3√5)/5
5. A distância entre dois planos paralelos é dada pela fórmula de distância entre ponto e plano. Qual é a distância entre os planos paralelos π1: x-z=0 e π2: -2x+2z+8=0​​​​​​​? 
A. √8
2.2 Equações do plano, Planos paralelos aos eixos e aos planos coordenados 
1. Sabendo-se que um plano pode ser determinado por 3 pontos não colineares, determine a equação do plano π​​​​​​​ que passa pelos pontos A(-2,1,0), B(-1,4,2) e C(0,-2,2). 
A. 12x + 2y - 9z + 22 = 0
2. Sabendo-se que um plano pode ser determinado por duas retas paralelas, encontre a equação do plano determinado pelas retas. r1｛X=1+2t / ​​​y=4t / z=-1+6t, tϵR e r2｛ x=s / y=1+2s / z=-2+3s, sϵR
B. 5x + 2y - 3z - 8 = 0 
3. Sabendo-se que um plano pode ser determinado por duas retas concorrentes, encontre a equação do plano determinado pelas retas. R1: (x=1+2t / y=-2+3t z=3-t) e r2: x-1/-2 = y+2/-1 = z-3/2
D. 5x - 2y + 4z - 21 = 0
4. Sabendo-se que um plano pode ser determinado por uma reta e um ponto não pertencente a ela, encontre a equação do plano determinado pelo ponto A(3,-1,2), e a reta r1 ( x=t / y=2-t / z=3+2t, tϵR
C. x + y -2 = 0
5. Marque a alternativa que contém a equação de um plano paralelo ao eixo x. 
C. 5y + 3z - 8 = 0
3.1 Produto Escalar e Produto Vetorial entre vetores
1. Dados os vetores u = (1,2), v = (4, -2) e w = (6,0) determine u.(7v+w). 
A. 6.
2. Dados os vetores u = (-7,1,3) e v = (5,0,1), marque a alternativa correta. 
C. O ângulo entre eles é obtuso.
3. Para representar formas tridimensionais por meio de figuras planas, por exemplo, na elaboração de plantas, é comum o uso de projeções ortogonais. Na figura a seguir, o vetor p é a projeção ortogonal do vetor u na direção do vetor v.
Considerando um vetor u = (2,1) e um vetor v = (-3,2), encontre a projeção ortogonal de u em v.
B. (12/13, -8/13).
4. Determine um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores u = (-1,-1,-1) e v = (2,0,2). 
E. (-2,0,2).
5. Uma aplicação do produto vetorial se dá no cálculo da área do paralelogramo definido pelos vetores u e v.
Considerando os pontos A(1,1,0), B(3,1,0), C(1,4,2) e D(3,4,2), encontre a área do paralelogramo definido por tais pontos.
D. 2 √13 (u.a.).
3.2 Superfície cônica e superfície cilíndrica 
1. Calcule a área total e o volume de um cilindro de revolução que tem 2 metros de altura e cuja base circular tem raio igual a 0,2 metros. Considerando π = 3,1416, assinale a alternativa correta.​​​​ 
B. St = 2,764608m2. V = 0,2513m3.
2. Um cilindro de revolução tem área lateral igual a 0,62832m2. Sabendo que sua altura é igual a 0,5m, calcule o valor do raio da base, sendo π = 3,1416​​​​​​​​​​​​​​ 
E. r = 0,2m.
3. Encontre a área lateral de um cilindro de revolução que tem 3 metros de altura e cuja área da base mede 0,502656m2​​​​, sendo π = 3,1416. 
A. Sl = 7,53984m2.
4. Determine a equação da hipérbole –(x+3)²/9 + (y-4)²/4 = 1 em termos de formas quadráticas e lineares.​​​​​​​
C. (x, y) [-4 0 /0 9] [x y] +[-24 -72] [x y] +72 = 0
5. Esboce o gráfico do hiperboloide de uma folha x² + y² -z²/4 = 1
A. 
4.1 Sistemas Lineares 
1. O sistema a seguir tem infinitas soluções. Marque a alternativa que contém uma de suas soluções.
E. [-2 -2 1 1]T
2. Transforme a matriz a seguir em sua forma escalonada reduzida.
A.
3. A matriz completa associada ao sistema a seguir é:semantics
D.
4. Encontre a solução do sistema homogêneo associado à matriz a seguir.
C. [0 0 0]T
5. 5. Suponha que um sistema homogêneo tenha quatro equações e seis incógnitas e que A seja sua matriz completa. Marque a alternativa correta. 
C. Se a linha 1 e a linha 2 forem múltiplas, mas as demais não, o sistema terá três variáveis independentes.
4.2 Introdução ao Estudo de Matrizes 
1. Uma loja vende bicicletas de corrida e mountain bikes. O gerente tem as seguintes tabelas de dados disponíveis, a primeira dando o número de bicicletas vendidas de cada tipo para cada trimestre de 1998 e a segunda, para cada trimestre de 1999:
A operação com matriz que produz o resultado total de vendas nesses dois anos juntos por tipo de bicicleta e por trimestre é a _____________ e o resultado é a matriz ____________________. Marque a alternativa que preenche os espaços.
2. Se A é uma matriz m x n, então m representa o número de ____________________ e n representa o número de ______________________ . Como requisito, para que se possa somar duas matrizes A e B é necessário que elas possuam ______________________________. Marque a alternativa que preenche os espaços acima. 
C. linhas de A; colunas de A; a mesma ordem.
3. Uma matriz A é igual a sua transposta quando: 
A. A for simétrica.
4. Encontre a matriz A, sabendo que:
5. Sejam três matrizes: A, B e C de mesma ordem. Se A e B são matrizes diagonais e C é uma matriz simétrica não nula, marque a alternativaque NÃO contém matrizes diagonais. 
D. A + C.
5.1 Introdução à Geometria Vetorial
1. Considerando P(0,2,-3) e Q(4,-1,2), calcule
 
E.
2.
 
A. 
3. 
D. - 43
4. Considerando
 
A.
5. Considerando 
 
determine o ângulo entre os vetores.
B.
5.2 Espaços Vetoriais: Exemplos e Propriedades Básicas
1. Marque a afirmação correta sobre espaços vetoriais. 
E. Todo o espaço vetorial contém o vetor nulo.
2. Seja V o conjunto de todas as matrizes 1x3, com a adição usual, marque a alternativa correta. 
D. Se definirmos a multiplicação por escalar em V como a[x y z]=[0 ay az], V não será um espaço vetorial.
3. Marque a alternativa que contém um espaço vetorial. 
C. c) V é o conjunto dos números complexos com a adição e multiplicação por escalar usuais.
4. Marque a alternativa correta sobre subespaço vetorial. 
A. U = {[abcd] V a+c = b+d} é um subespaço do espaço vetorial M2,2.
5. Marque a alternativa correta sobre geradores.
B. {[1000], [1001], [0110], [0100]} ​​​​​​​O conjunto abaixo gera M2,2.
6.1 Geometria Vetorial e Transformações Lineares
1. Transformações matriciais atuam sobre espaços vetoriais. A transformação F(x, y) = (2x, –y), por exemplo, atua no espaço R2. Por essa transformação, qual é a imagem do ponto P = (2, 1)? 
B. Q = (4, –1).
2. Transformações lineares do espaço R2 sobre si têm representação matricial dada por 2 x 2. Na base canônica de R2, qual é a representação matricial da transformação G(x, y) = (–y, x)?
D.
3. Um importante tipo de transformação linear são as reflexões em torno de eixos ou retas. Determine a imagem do ponto P = (1,–1) pela reflexão em torno da reta diagonal do plano. 
E. (–1, 1)
4. Uma classe de transformações lineares com muitas aplicações em Física e outras áreas são as rotações no plano. Qual é a matriz da rotação de 45º em torno da origem em R2?
E.
5. Compor transformações lineares é equivalente a multiplicar suas respectivas matrizes de representação. Sendo assim, indique qual é a matriz na base canônica de R2 que representa a composição G°F das seguintes operações: G(x, y ) = (–x, –y) e H(x, y) = (2x, 2y).
B.
6.2 Inversão de Matrizes
1. Dadas as matrizes abaixo: A=[1 2 1 3] e B=[3 2 2 2], encontre a matriz inversa do produto entre A e B, isto é, (AB)-1​​​​​​​.​​​​​​​
A. [4 -3 -9/2 7/2]
2. Considerando a matriz [10 2 2-1 3 4 1 8]​​​​​​​, encontre sua inversa.​​​​​​​​​​​​​​
E. [-11 2 2 -4 0 1 6 -1 -1]
3. Dado o sistema de equações lineares abaixo { x+2y=3 3x+4y=-2’​​​​​​​, a matriz inversa dos coeficientes e a matriz representativa da solução do sistema são, respectivamente:​​​​​​
C. [-2 1 3/2 – ½] , [ -8 11/2]
4. Determine a matriz inversa dos coeficientes e a matriz solução do seguinte sistema de equações lineares:
 x+2y+3z=5
{ 2x+5y+3z=3
 x+8z=17
D. [ -40 16 9 13 -5 -3 5 -2 -1] , [1 -1 2]
5. Para o sistema de equações lineares abaixo: ｛ ​​​​​​​x+2y+3z=1 x+3y+6z=3 2x+6y+13z=5 a matriz inversa dos coeficientes e a matriz solução do sistema são, respectivamente:
B. [ 3 -8 3 -1 7 -3 0 -2 1] , [-6 5-1