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UNIUBE – Universidade de Uberaba Professora Me Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes Estatística Descritiva 1 Educação e Responsabilidade social ALGUMAS MEDIDAS DE DISPERSÃO ✓ Amplitude total ou intervalo total máximo mínimoA X X= − diferença entre o maior e menor valor Só leva em conta 2 valores de todo o grupo (conjunto) Exemplo 1 Amostra de 6 tijolos: 13; 12; 11; 10; 9,5; 12,5 13 9,5 3,5máximo mínimoA X X= − = − = IDEIA! Escolher uma medida que utilize todas as observações (valores) do grupo. ✓ Variância ( )2S referente à variável X de um conjunto de dados, definida por ( ) 2 2 1 1 n i i x x Variância S n = − = = − (falar: explicar cada termo e também porque usar n-1). A variância fornece a variabilidade dos dados ATENÇÃO! Quando calculamos a variância populacional ( 2 ), dividimos por N, tamanho da população, mas em virtude de certas propriedades matemáticas desejáveis quando calculamos a variância amostral ( 2S ) dividimos por n-1, um número a menos que o valor da amostra. Outro fato importante é que à medida que cresce o tamanho amostral, a diferença (no resultado) entre a divisão por n ou por n-1, tende a se tornar cada vez menor. Vamos explorar a expressão: ( ) 2 ix x− (falar: valor da variável x menos a média x ) Essa expressão elevada ao quadrado eliminou o problema do resultado da diferença DAR ZERO, principalmente quando trabalhamos com amostras maiores. Exemplo 2: 3, 1, 1, 3 8 2 4 X = = Atenção! UNIUBE – Universidade de Uberaba Professora Me Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes Estatística Descritiva 2 Educação e Responsabilidade social 3 – 2 = 1 (este valor está a 1 unidade de distância da média) 1 – 2 = -1 1 – 2 = -1 3 – 2 = 1 Observe a diferença de cada valor em relação a média: 1 1 1 1 0 4 − + − = Expressão alternativa: 2 12 2 1 1 1 1 n n i i x Variância S x n n = = = = − − (Vantagem: evita a operação de subtração) (Atenção! A vantagem evita a operação de subtração que em muitos casos envolvem decimais e, isso poderá ser mais trabalhoso) ✓ 2 Desvio padrão S S= = (observe que o desvio padrão é a raiz da variância) Exercício Uma cerâmica fabrica tijolos de acordo com a norma de um grande cliente. A norma estabelece que os tijolos devam suportar no mínimo uma força de compressão média de 10 kg/cm2 e que o desvio padrão não deve ser superior a 5% da média. O setor da qualidade que opera para este cliente realizou um ensaio em um lote de tijolos, foram registrados os seguintes dados de uma amostra de 6 tijolos, para sua resistência à compressão em kg/cm2: 13; 12; 11; 10; 9,5 e 12,5. Nestas condições, o setor da qualidade aprovará ou reprovará o lote de tijolos? INFORMAÇÃO! Antes de iniciar os cálculos fixe a calculadora em 2 casas decimais. Desenvolvimento Amostra de 6 tijolos: 13; 12; 11; 10; 9,5; 12,5 Quadro 1 – Cálculos parciais do desvio padrão. ( )X Resistência 13 13 12 11 10 9,5 12,5 68 11,33 6 6 X + + + + + = = = 2/kg cm ( ) 2 ix X− ( ) 2 13 11,33 2,79− = UNIUBE – Universidade de Uberaba Professora Me Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes Estatística Descritiva 3 Educação e Responsabilidade social 12,5 12 11 10 9,5 Total 9,84 O valor médio encontrado é de 11,33 e o desvio padrão é de 1,40 . Portanto, o setor de qualidade reprovará o lote de tijolos, pois o resultado do desvio padrão é superior a 5% da média (5% da média é igual a 0,57, logo é superior ao resultado encontrado de 1,40). Utilizando a expressão alternativa: Quadro 1 – Cálculos parciais do desvio padrão. ( )X Resistência 2x 13 213 169= 12,5 212,5 156,25= 12 212 144= 11 211 121= 10 210 100= 9,5 29,5 90,25= 68x = 2 780,50x = ( ) 2 12,5 11,33 1,37− = ( ) 2 12 11,33 0,45− = ( ) 2 11 11,33 0,11− = ( ) 2 10 11,33 1,77− = ( ) 2 9,5 11,33 3,35− = 2( ) 9,84 1,97 1,40 1 6 1 n i i x x S n = − = = = = − − 2/kg cm 2/kg cm 2/kg cm UNIUBE – Universidade de Uberaba Professora Me Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes Estatística Descritiva 4 Educação e Responsabilidade social ( ) ( ) 2 2 12 2 1 1 2 681 1 1 780,50 9,83 1,97 1 5 6 5 1,97 1,40 n n i i x Variância S x n n Desvio padrão S S = = = = − = − = = − = = = = IMPORTANTE! Diferentemente da 2S (que corresponde a um valor elevado ao quadrado), o S é sempre um valor que está na mesma unidade dos dados da amostra. O desvio padrão nos ajuda a conhecer como um conjunto de dados se distribui em torno de sua média aritmética ( )X . Para todos os conjuntos de dados, no geral, a maioria dos valores da amostra está contida dentro do intervalo que tem como limites mais um desvio padrão e menos um desvio padrão; mais dois desvios padrão ou menos dois desvios padrão, e assim por diante, valores para cima e para baixo da X . Assim conhecer esses valores, no geral, nos ajuda a definir onde grande parte dos valores da amostra está se concentrando. UNIUBE – Universidade de Uberaba Professora Me Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes Estatística Descritiva 5 Educação e Responsabilidade social COMO UTILIZAR A CALCULADORA CIENTÍFICA PARA O CÁLCULO DO DESVIO PADRÃO PARA DADOS NÃO AGRUPADOS (modelo fx-82MS) PASSO 1) Ativar o módulo estatístico (tem que aparecer a função SD no visor). Como? Aperte a tecla MODE uma vez/ SD aperte opção 2/ (assim o módulo estatístico ficará ativado) PASSO 2) SHIFT/ aperte MODE CLR (CLEAR)/ScL aperte a opção 1/ aparece no visor STAT CLEAR / aperte = (esse processo limpará a memória da calculadora) PASSO 3) Inserir um a um os dados do exercício e, utilize a tecla M+ após a inserção de cada valor proposto: 13 (aperte M+) 12 (aperte M+) 11 (aperte M+) 10 (aperte M+) 9,5 (aperte M+) 12,5 (aperte M+) (veja que no visor aparece o tamanho amostral. Confira n = 6, para este exemplo) PASSO 4) SHIFT/ aperte a opção 2 (observe que aparecerá as seguintes medidas, representadas pelos números 1, 2 e 3, indicando respectivamente, a média, o desvio padrão populacional e o desvio padrão amostral) 1 2 3 x x Sx / = (aperte o valor desejado e depois o IGUAL). (veja que temos o cálculo da média ( )x em 1 e o cálculo do desvio padrão amostral ( )Sx em 3). Observe que encontramos o MESMO VALOR calculado no exercício desenvolvido, utilizando a fórmula do desvio padrão! Muito simples, não é? IMPORTANTE! Para voltar na tela com as três medidas fornecidas, caso desejarmos encontrar qualquer outro valor (outra medida), basta apertar UNIUBE – Universidade de Uberaba Professora Me Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes Estatística Descritiva 6 Educação e Responsabilidade social novamente a tecla SHIFT/ aperte a opção 2. Em seguida, aperte o valor desejado e depois o IGUAL. IMPORTANTE! A calculadora modelo fx-82MS realiza os cálculos para dados não agrupados e agrupados. A calculadora HP só faz o cálculo para dados não agrupados. IMPORTANTE! Veja se você entendeu o processo de desenvolvimento da expressão. Primeiro, tente desenvolver os cálculos passo a passo. Entenda que, isso é muito importante num processo seletivo, ou seja, entender o processo de resolução da expressão e, não apenas utilizar a calculadora! UNIUBE – Universidade de Uberaba Professora Me Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes Estatística Descritiva 7 Educação e Responsabilidade social COMO UTILIZAR A CALCULADORA CIENTÍFICA PARA O CÁLCULO DO DESVIO PADRÃO PARA DADOS NÃO AGRUPADOS (modelo fx-82 ESPLUS) PASSO 1) Aperte a tecla SHIFT E 9/ aperte a opção 3 (ALL)/ aperte = = PASSO 2) aperte MODE e 2/ aperte 1 (1- var)/ PASSO 3) Inserir um a um os dados do exercício e, aperte = (para cada número que inserir)/ 13 (aperte =) 12 (aperte =) 11 (aperte =) 10 (aperte =) 9,5 (aperte =) 12,5 (aperte =) PASSO 4) ao terminar aperte AC SHIFT 1/ aperte 4 (var)/ (observe que aparecerá as seguintes medidas, representadas pelos números 1, 2, 3 e 4 indicando respectivamente, o tamanho amostral n, a média, o desvio padrão populacional e o desvio padrão amostral) 1 2 3 4 n x x Sx / = (aperte o valor desejado e depois o IGUAL). (veja que temos o cálculo do tamanho amostral ( )n em 1, a média ( )x em 2 e o cálculo do desvio padrão amostral ( )Sx em 4). Observe que encontramos o MESMO VALOR calculado no exercício desenvolvido, utilizando a fórmula do desvio padrão! Muito simples, não é? IMPORTANTE! Para voltar na tela com as quatro medidas fornecidas, caso desejarmos encontrar qualquer outro valor (outra medida), basta apertar novamente a tecla SHIFT/ aperte a opção 1. Em seguida, aperte o valor desejado e depois o IGUAL.
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