Avaliação II - Individual

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GABARITO | Avaliação II - Individual (Cod.:823850)
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Prova 66216423
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 6/4
Nota 6,00
O Teorema da Decomposição nos garante que qualquer polinômio pode ser reescrito como um 
produto de polinômios de grau 1, onde suas raízes ocupam um lugar de destaque.
O polinômio P(x) = x³ - 3x² + 4x - 12, possui -2i, 2i e 3 como raízes. Então, pelo Teorema da 
Decomposição, podemos escrever P(x) como:
A P(x) = 2·(x² + 4)·(x - 3).
B P(x) = 2·(x² - 4)·(x - 3).
C P(x) = (x² - 4)·(x - 3).
D P(x) = (x² + 4)·(x - 3).
Por volta do século XVIII, dois matemáticos, Paolo Ruffini e A. Briot, criaram um dispositivo prático 
para realizar esta divisão, e que recebeu seus nomes: dispositivo de Briot-Ruffini. Esse algoritmo é 
utilizado para dividirmos polinômios por um binômio do tipo (x-a).
Para o polinômio P(x) = x² - 4x + 8 dividido por D(x) = x + 2, obtém-se o resto:
A R(x) = 19.
B R(x) = 17.
C R(x) = 18.
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D R(x) = 20.
Em Teoria dos Números, algo que ajuda muito na hora de resolver problemas é a famosa "aritmética 
modular", que é equivalente à análise de restos. Ela é aplicada na criptografia utilizada hoje nos 
computadores pada mandar mensagens ou dados de forma restrita. Para esse sistema de aritmética, 
classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) 22 ≡ 3 (mod 5)
( ) 52 ≡ 2 (mod 4)
( ) 31 ≡ -2 (mod 3)
( ) 80 ≡ 3 (mod 7)
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - F - V - V.
B V - F - V - V.
C F - V - F - F.
D V - F - V - F.
Em matemática, muitas vezes nos deparamos com problemas envolvendo polinômios de grau 3. Uma 
das formas de resolver é diminuindo o seu grau, fatorando por meio de divisões de polinômios. 
Baseado nisto, dividindo x³ - 4x² + 7x - 3 por um certo polinômio D(x), obtemos quociente Q(x) = x + 
1 e resto R(x) = -15. Quanto ao valor do polinômio D(x), analise as opções a seguir:
1. x² + 5x + 12
2. x² - 5x - 12
3. x² - 5x + 12
4. x² + 5x - 12
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Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a opção IV está correta.
B Somente a opção I está correta.
C Somente a opção III está correta.
D Somente a opção II está correta.
O Teorema da Decomposição nos garante que qualquer equação algébrica possa ser escrita em função 
de suas raízes. Quanto à equação algébrica de 3º grau, cujas raízes são 2, -1, e 3 e o coeficiente 
dominante é igual a 1, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) x³ - 7 x + 6 = 0 
( ) x³ + 4 x² + x - 6 = 0 
( ) x³ - 2 x² - 5 x + 6 = 0 
( ) x³ - 4 x² + x + 6 = 0 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - V - F - F.
B F - F - V - F.
C V - F - F - F.
D F - F - F - V.
Em matemática, quando trabalhamos com raízes de equações algébricas, muitas vezes podemos criar 
problemas, fixando uma raiz e procurando descobrir um certo parâmetro para que satisfaça a fixação 
inicial.
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Neste sentido, fixando-se x = -1 como raiz do polinômio P(x) = x³ + kx² - 78x -72, classifique V para 
as opções verdadeiras e F para as falsas quanto aos possíveis valores de k para que a fixação inicial 
seja satisfeita:
( ) k = 6
( ) k = -5
( ) k = 5 
( ) k = -6
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - F - F - F.
B F - F - V - F.
C F - V - F - F.
D F - F - F - V.
Achar as soluções de equações polinomiais foi um dos grandes desafios da álgebra clássica. As 
primeiras contribuições vieram com o matemático árabe AL-Khowarizmi no século IX, com 
importantes conclusões sobre a resolução de equações de 1º e 2º graus. Mais tarde, soube-se que as 
soluções de uma equação algébrica nem sempre se encontram totalmente dentro do conjunto dos 
números reais.
Sendo assim, o conjunto solução da equação algébrica x³ + 9x = 0 é:
A S = {0, -3i, 3i}.
B S = {0, -9i, 9i}.
C S = {0, -9, 9}.
D S = {0, -3, 3}.
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Em matemática, na divisão de polinômios, utilizamos duas regras fundamentais: realizar a divisão 
entre os coeficientes numéricos e a divisão de potências de mesma base (conservar a base e subtrair 
os expoentes). 
Sendo assim, tomando as soluções da equação Q(x) = 0, em que Q(x) é o quociente da divisão do 
polinômio x4 + 3x3 - 3x2 - 7x + 6 por x2 + x - 2, a opção que apresenta a soma das soluções (raízes) 
dessa equação é:
A -1.
B 2.
C -2.
D 1.
O conjunto dos polinômios de grau n possui estrutura de anel, ou seja, existem duas operações 
binárias definidas sobre ele que obedecem a certas propriedades. Neste contexto, sejam os dois 
polinômios
P(x) = 2x3 - 3x2 + 5x + 1
Q(x) = x3 - x2 + 2x + 6
Sobre a operação P(x) - Q(x), analise as sentenças a seguir:
1. 3x3 - 2x2 + 3x - 5
2. x3 + 2x2 - 3x + 5
3. 3x3 + 2x2 - 3x + 5
4. x3 - 2x2 + 3x - 5
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Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a opção III está correta.
B Somente a opção IV está correta.
C Somente a opção II está correta.
D Somente a opção I está correta.
No estudo acerca das estruturas algébricas, perpassamos pelo conceito de Grupo Abeliano. Os Grupos 
Abelianos são assim chamados em honra ao matemático norueguês Niels Henrik Abel que trouxe 
grandes contribuições à Álgebra no início do século XIX. Analise as sentenças a seguir sobre a 
caracterização de um grupo (G, *) como Abeliano:
1. Se, não apresentar as propriedades que o caracterizam como grupo, mais sim, verificada em (G, 
*) a propriedade comutativa.
2. Se (G, *) apresentar a propriedade comutativa, além das propriedades que caracterizam um 
grupo.
3. Se (G, *) possuir as características de um grupo e a propriedade distributiva.
4. É um conjunto não vazio, munido de uma operação fechada, associativa, comutativo e que 
possui o elemento neutro e inverso de qualquer operação binária.
Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente as sentenças I e III estão corretas.
B Somente as sentenças I e IV estão corretas.
C Somente as sentenças II e IV estão corretas.
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D Somente a sentença II está correta.
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