ELTROMAGNETISMO

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3.3 – Aplicação da Lei de Gauss: Algumas Distribuições 
Simétricas de Carga 
Consideremos agora como podemos usar a Lei de Gauss: 
𝑄 = ∮𝐷𝑑𝑠 
Para determinar Ds se a distribuição de cargas for conhecida. Este é o exemplo 
de uma equação integral na qual a incógnita aparece sob o sinal de integração. 
A solução é fácil se formos capazes de escolher uma superfície fechada que 
satisfaça às condições: 
1) Ds é em qualquer lugar normal ou tangencial a uma superfície fechada, 
de modo que Ds*ds se torne Ds*ds ou zero, respectivamente. 
2) Nesta porção da superfície fechada na qual Ds*ds não é zero, Ds é igual 
a uma constante. 
Consideremos a carga pontual Q na origem de um sistema de coordenadas 
esféricas e escolhamos uma superfície fechada conveniente que satisfaça as 
duas condições acima. A superfície em questão é evidentemente uma superfície 
esférica, centrada na origem, e com raio qualquer r. Ds é em qualquer lugar 
normal à superfície, Ds tem o mesmo valor em todos os pontos desta superfície. 
Tem-se, então, 
𝑄 = ∮ 𝐷𝑠 ∗ 𝑑𝑠 = ∮ 𝐷𝑠 ∗ 𝑑𝑠
𝑒𝑠𝑓𝑠
 
= 𝐷𝑠 ∮ 𝑑𝑠 = 𝐷𝑠 ∫ ∫ 𝑟2 sin 𝜃𝑑𝜑𝑑𝜃
𝜃= 𝜋
𝜃=0
𝜑=2𝜋
𝜑=0𝑒𝑠𝑓
 
= 4𝜋𝑟2 ∗ 𝐷𝑠 
E, portanto, 
𝐷𝑠 =
𝑄
4𝜋𝑟2
 
Como r pode ter qualquer valor e Ds está dirigido radialmente, 
𝐷 =
𝑄
4𝜋𝑟2
𝑎𝑟 
𝐸 =
𝑄
4𝜋𝜀0𝑟2
𝑎𝑟 
 
Aplicação da Lei de Gauss: Elemento Diferencial de Volume 
 
Consideremos um ponto P qualquer, mostrado na figura, localizado por um 
sistema de coordenadas cartesianas. O valor de D no ponto P pode ser expresso 
em coordenadas cartesianas, 
𝐷0 = 𝐷𝑥0𝑎𝑥 + 𝐷𝑦0𝑎𝑦 + 𝐷𝑧0𝑎𝑧 
 
 
 
 
 
Escolhemos como nossa superfície uma pequena caixa retangular centrada no 
ponto P, tendo lados de comprimento ΔX, ΔY e ΔZ e aplicamos a Lei de Gauss: 
∮ 𝐷𝑑𝑠 = 𝑄
𝑠
 
Para calcular-se a integral sobre a superfície fechada, a integral precisa ser 
dividida em seis, uma sobre cada superfície. Portanto, 
 
P (x, y, z) 
Y 
X 
Z 
Uma superfície gaussiana diferencial 
em torno de um ponto P é usada para 
investigar a taxa de variação de D no 
espaço na vizinhança de P 
∮ 𝐷𝑑𝑠 = ∫ +∫ +∫ +∫ +∫ +∫
𝑏𝑎𝑠𝑒𝑡𝑜𝑝𝑜𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎𝑎𝑡𝑟á𝑠𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
 
Consideremos a primeira destas seis integrais em detalhe. Como o elemento de 
superfície é muito pequeno, D é essencialmente constante (sobre essa porção 
de toda superfície fechada) e 
∫ ≈ 𝐷𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 ∗ ∆𝑠𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
 
≈ 𝐷𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 ∗ ∆𝑦∆𝑧𝑎𝑥 
≈ 𝐷𝑥,𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 ∗ ∆𝑦∆𝑧 
Onde temos somente que aproximar o valor de Dx nesta face frontal. A face 
frontal está a uma distância 
∆𝑥
2
 de P e, por isso, 
𝐷𝑥,𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 ≈ 𝐷𝑥0 + 
∆𝑥
2
 𝑥 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝐷𝑥 𝑐𝑜𝑚 𝑥 
 
≈ 𝐷𝑥0 + 
∆𝑥
2
𝜕𝐷𝑥
𝜕𝑥
 
Onde 𝐷𝑥0 é o valor de Dx no ponto P e onde a derivada parcial deve ser usada 
para expressar a variação de Dx com x, desde que Dx é em geral também 
variável com Y e com Z. 
Temos, agora, 
∫ ≈ 
𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
(𝐷𝑥𝑜 + 
∆𝑥
2
𝜕𝐷𝑥
𝜕𝑥
)∆𝑦∆𝑧 
 
Consideremos, agora, a integral sobre a superfície posterior, 
 
∫ ≈ 𝐷𝑎𝑡𝑟á𝑠 ∗ ∆𝑠𝑎𝑡𝑟á𝑠
𝑎𝑡𝑟á𝑠
 
≈ 𝐷𝑎𝑡𝑟á𝑠 ∗ (−∆𝑦∆𝑧𝑎𝑥) 
≈ − 𝐷𝑥,𝑎𝑡𝑟á𝑠 ∗ ∆𝑦∆𝑧 
e 
𝐷𝑥,𝑎𝑡𝑟á𝑠 ≈ 𝐷𝑥0 − 
∆𝑥
2
𝜕𝐷𝑥
𝜕𝑥
 
 
Obtendo, 
∫ ≈ 
𝑎𝑡𝑟á𝑠
(−𝐷𝑥𝑜 + 
∆𝑥
2
𝜕𝐷𝑥
𝜕𝑥
)∆𝑦∆𝑧 
Se combinarmos estas duas integrais, 
∫ +
𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
∫ ≈ 
𝜕𝐷𝑥
𝜕𝑥
∆𝑥∆𝑦∆𝑧
𝑎𝑡𝑟á𝑠
 
 
Usando exatamente o mesmo processo, encontramos que 
∫ +
𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
∫ ≈ 
𝜕𝐷𝑦
𝜕𝑦
∆𝑥∆𝑦∆𝑧
𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
 
∫ +
𝑡𝑜𝑝𝑜
∫ ≈ 
𝜕𝐷𝑧
𝜕𝑧
∆𝑥∆𝑦∆𝑧
𝑏𝑎𝑠𝑒
 
E estes resultados podem ser reunidos de modo a oferecer 
 
∮ 𝐷𝑑𝑠
𝑠
≈ (
𝜕𝐷𝑥
𝜕𝑥
+ 
𝜕𝐷𝑦
𝜕𝑦
+ 
𝜕𝐷𝑧
𝜕𝑧
)∆𝑥∆𝑦∆𝑧 
∮ 𝐷𝑑𝑠
𝑠
≈ (
𝜕𝐷𝑥
𝜕𝑥
+ 
𝜕𝐷𝑦
𝜕𝑦
+ 
𝜕𝐷𝑧
𝜕𝑧
)∆𝑣 
Pode-se, então, aplicando a lei de Gauss a uma superfície fechada, 
 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ∆𝑣 ≈ (
𝜕𝐷𝑥
𝜕𝑥
+ 
𝜕𝐷𝑦
𝜕𝑦
+ 
𝜕𝐷𝑧
𝜕𝑧
) 𝑥 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ∆𝑣 
3.5 – A Divergência 
Em cálculo vetorial, o operador divergência é um operador que mede a 
magnitude de "fonte" ou "poço/sorvedouro" de um campo vetorial em um dado 
ponto, isto é, ele pode ser entendido como um escalar que mede a dispersão ou 
divergência dos vetores do campo num determinado ponto. 
Por exemplo, considere o volume de ar de uma sala sendo aquecido ou resfriado. 
O campo vetorial, neste caso, é a velocidade do ar se movendo. Se o ar é 
aquecido em uma determinada região, ele irá se expandir em todas as direções, 
então a divergência do campo de velocidade nesta região será positivo, pois, se 
observarmos um pequeno volume nessa região, teremos mais ar saindo do que 
entrando nesse volume; uma outra maneira de expressar esta condição é 
dizendo que neste caso temos "fontes" no sistema/ponto. Se o ar resfria e se 
contrai, a divergência será negativo, pois há, na região, uma convergência de ar: 
teremos mais ar entrando do que saindo neste pequeno volume. Podemos 
também expressar este caso dizendo que temos "sumidouros". 
Outro caso que pode ocorrer é o divergente ser zero. Neste caso dizemos que o 
sistema está em regime estacionário; ou seja, a energia não varia com o tempo. 
Não há, portanto, acúmulo nem sumidouro de energia. No contexto da Mecânica 
dos fluidos, temos a incompressíbilidade de fluídos (neste caso os líquidos 
especificadamente) uma vez que a densidade de líquidos é praticamente uma 
constante em regime estacionário. 
Obteremos agora uma relação exata, permitindo que o volume Δv tenda a zero. 
Escrevendo as equações anteriores como 
𝜕𝐷𝑥
𝜕𝑥
+ 
𝜕𝐷𝑦
𝜕𝑦
+ 
𝜕𝐷𝑧
𝜕𝑧
 ≈ 
∮ 𝐷𝑑𝑠
𝑠
∆𝑣
= 
𝑄
∆𝑣
 
Ou, como um limite, 
https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_vetorial
https://pt.wikipedia.org/wiki/Operador
https://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_vetorial
https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_dos_fluidos
https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_dos_fluidos
𝜕𝐷𝑥
𝜕𝑥
+ 
𝜕𝐷𝑦
𝜕𝑦
+ 
𝜕𝐷𝑧
𝜕𝑧
= lim
∆𝑣 →0
∮ 𝐷𝑑𝑠
𝑠
∆𝑣
= lim
∆𝑣 →0
𝑄
∆𝑣
 
Onde a aproximação foi substituída por uma igualdade. É evidente que o último 
termo é a densidade volumétrica de cargas ρ e, portanto, que, 
𝜕𝐷𝑥
𝜕𝑥
+ 
𝜕𝐷𝑦
𝜕𝑦
+ 
𝜕𝐷𝑧
𝜕𝑧
= lim
∆𝑣 →0
∮ 𝐷𝑑𝑠
𝑠
∆𝑣
= 𝜌 
A equação 
𝜕𝐷𝑥
𝜕𝑥
+ 
𝜕𝐷𝑦
𝜕𝑦
+ 
𝜕𝐷𝑧
𝜕𝑧
= lim
∆𝑣 →0
∮ 𝐷𝑑𝑠
𝑠
∆𝑣
 
 Não envolve a densidade de carga, e os métodos analisados anteriormente 
podem ser usados para qualquer vetor A, para encontrar ∮ 𝐴𝑑𝑠
𝑠
 para uma 
pequena superfície fechada, levando a 
𝜕𝐴𝑥
𝜕𝑥
+ 
𝜕𝐴𝑦
𝜕𝑦
+ 
𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑧
= lim
∆𝑣 →0
∮ 𝐴𝑑𝑠
𝑠
∆𝑣
 
Onde A pode representar velocidade, gradiente de temperatura, força ou 
qualquer outro campo vetorial. 
Esta operação recebeu o nome descritivo de divergência. A divergência de A é 
definida como: 
𝐷𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝐴 = 𝑑𝑖𝑣 𝐴 = lim
∆𝑣 →0
∮ 𝐴𝑑𝑠
𝑠
∆𝑣
 
E é usualmente abreviada de div A. A interpretação física da divergência de um 
vetor é obtida como membro de uma família de vetores de densidade de fluxo 
para ajudar a interpretação física. 
Logo, 
A divergência do vetor densidade de fluxo A é a variação do fluxo através de 
uma superfície fechada de um pequeno volume que tende a zero. 
Por exemplo, considerando a divergência da velocidade da água em uma ducha, 
depois da torneira ser aberta; se fecharmos uma área, nota-se que a diferença 
entre a água que entra e água que saí da superfície é igual a zero. Por isso, a 
divergência da velocidade é nula. 
Se, contudo, considerarmos a velocidade do ar dentro de um tubo logo depois 
de ter sido perfurado por um prego; verifica-se que o ar está se expandindo 
enquanto a pressão caí e, consequentemente, há um fluxo líquido deixando 
qualquer superfície pertencente ao tubo. A divergência desta velocidade será, 
portanto, maior que zero. 
A divergência aplicada a um volumediferencial de coordenadas cartesianas é 
dado por: 
𝐷𝑖𝑣 𝐷 =
𝜕𝐷𝑥
𝜕𝑥
+ 
𝜕𝐷𝑦
𝜕𝑦
+ 
𝜕𝐷𝑧
𝜕𝑧
 
3.6 – Primeira Equação de Maxwell (Eletrostática) 
O escocês James Clerck Maxwell (1831 – 1879) é considerado um dos maiores 
físicos de todos os tempos em face dos seus estudos na área do 
eletromagnetismo. Maxwell baseou-se nas teorias de Gauss, Ampére e Faraday 
para formular um conjunto de quatro equações que descreve todos os 
fenômenos eletromagnéticos e para encontrar a equação dessas ondas no 
vácuo. 
Apesar de todos os seus estudos, Maxwell morreu sem conseguir produzir ou 
detectar ondas eletromagnéticas, o que comprovaria suas teorias. Somente oito 
anos após sua morte que Heirinch Hertz provou experimentalmente as previsões 
feitas por Maxwell. As contribuições de Maxwell para o eletromagnetismo 
equiparam-no a físicos como Isaac Newton e Albert Einstein. 
As equações de Maxwell 
As equações de Maxwell firmam-se nas teorias de Gauss, Ampére e Faraday 
para fundamentar o eletromagnetismo, relacionando o campo elétrico e o campo 
magnético. A primeira dessas quatro equações fundamentais é uma reanálise 
da equação de Gauss, como se verifica abaixo: 
1. Lei de Gauss para a eletricidade: é a primeira das quatro equações de 
Maxwell e recebe esse nome em homenagem ao seu criador, o físico Carl 
Friederick Gauss. Ela estabelece a relação entre carga elétrica e campo 
elétrico, podendo ser enunciada da seguinte forma: 
“O fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada no vácuo 
é igual à soma das cargas internas à superfície dividida pela 
permissividade elétrica do vácuo”. 
Queremos agora consolidar os conhecimentos adquiridos e dar uma 
interpretação da operação divergência quando relacionada à densidade de fluxo 
elétrico. 
A expressão desenvolvida então pode ser escrita como: 
𝑑𝑖𝑣 𝐷 = lim
∆𝑣 →0
∮ 𝐷𝑑𝑠
𝑠
∆𝑣
 
𝐷𝑖𝑣 𝐷 =
𝜕𝐷𝑥
𝜕𝑥
+ 
𝜕𝐷𝑦
𝜕𝑦
+ 
𝜕𝐷𝑧
𝜕𝑧
 
𝑑𝑖𝑣 𝐷 = 𝜌 
A primeira equação é a definição de divergência; a segunda equação é o 
resultado da aplicação da definição a um volume diferencial em coordenadas 
cartesianas dando-nos uma equação pela qual a divergência de um vetor 
expresso em coordenadas cartesianas pode ser calculado e a terceira é a 
divergência de ρ. 
A terceira equação é quase um resultado óbvio se estivermos familiarizados com 
o conceito de divergência, definido pela primeira equação pois, dada a lei de 
Gauss, 
∮ 𝐷𝑑𝑠
𝑠
= 𝑄 
Por unidade de volume, 
∮ 𝐷𝑑𝑠
𝑠
∆v
= 
𝑄
∆v
 
Quando o volume tende a zero, 
lim
∆𝑣 →0
∮ 𝐷𝑑𝑠
𝑠
∆v
= lim
∆𝑣 →0
𝑄
∆v
 
Devemos notar div no lado esquerdo e densidade volumétrica de cargas no lado 
direito: 
𝑑𝑖𝑣 𝐷 = 𝜌 
Esta é a primeira das quatro equações de Maxwell e aplica-se à eletrostática e 
a campos magnéticos estacionários. 
Estabelece que o fluxo elétrico por unidade de volume deixando um volume 
infinitesimal é exatamente igual à densidade volumétrica de cargas no ponto. 
Esta equação é usualmente chamada forma pontual (ou local) da lei de Gauss. 
Esta lei relaciona o fluxo que deixa qualquer superfície fechada à carga 
envolvida, e a primeira equação de Maxwell perfaz uma afirmação idêntica em 
termos de “por unidade de volume” em um volume infinitesimal, ou em um ponto. 
Lembrando que a divergência pode ser expressa como a soma de três derivadas 
espaciais, a primeira equação de Maxwell é também descrita como a forma 
diferencial da Lei de Gauss; por outro lado, tal lei é reconhecida como a forma 
integral da primeira equação de Maxwell. 
Na próxima aula, daremos inícios aos exercícios aplicando esses conceitos. 
 
Capacitor de Placas Paralelas: Cálculo da Intensidade de 
Campo Elétrico nas Placas 
Três superfícies planas, infinitas e carregadas, localizam-se, no vácuo, da 
seguinte maneira: 2,0 µC/m2 em x = -3; - 5,0 µC/m2 em x = 1 e 4,0 µC/m2 em x 
= 5. Determine o campo elétrico nos pontos: 
a) (0; 0; 0) 
b) (2,5; -1;6; 4,7) 
c) (8; -2; -5) 
d) (-3,1; 0; 3,1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1, 2, 3 → Planos 
➔ Placa carregada positivamente; 
➔ Placa carregada negativamente. 
 
No exercício anterior, vimos que a intensidade de campo elétrico em um plano 
infinito carregado é dado pela expressão: 
X = -3 X = 1 X = 5 
1 2 3 
X 
P2 
P1 P3 P4 
E1 E1 E1 E1 
E3 E3 E3 
E3 
E2 E2 
E2 E2 
�⃗� =
𝜌𝑠
2𝜀0
𝑎𝑍 
Logo, podemos substituir os valores, achando as intensidades dos campos 
elétricos. 
Então, 
𝐸1 =
𝜌𝑠1
2𝜀0
; 𝐸1 =
2𝑥10−6
2𝜀0
=
1𝑥10−6
𝜀0
 
𝐸2 =
𝜌𝑠2
2𝜀0
; 𝐸1 =
5𝑥10−6
2𝜀0
=
2,5𝑥10−6
𝜀0
 
𝐸3 =
𝜌𝑠3
2𝜀0
; 𝐸1 =
4𝑥10−6
2𝜀0
=
2𝑥10−6
𝜀0
 
Agora, para calcularmos as intensidades dos campos elétricos, somamos os 
valores, de acordo com as posições e sentidos destacados pela senta. 
É importante observar que o valor da carga, agora, não é mais relevante, no que 
tange ao seu sinal; devemos observar a diretriz apontada na aula passada para 
asseverar os reais resultados das intensidades dos campos elétricos nos pontos. 
Assim, deve-se recordar que: 
+ → Converge para Fora (se afasta da linha originária); 
- → Converge para Dentro (Se aproxima da linha originária). 
Logo, os cálculos sobre os respectivos pontos ficam: 
𝑃
1 → 𝐸1⃗⃗ ⃗⃗ = (2,5−1−2)∗
10−6
𝜀0
= 
−0,5 𝑥 10−6
𝜀0
 = −56,52𝑥103𝑎𝑥 𝑣 𝑚⁄
 
𝑃
2 → 𝐸2⃗⃗ ⃗⃗ = (1+ 2,5 − 2)∗
10−6
𝜀0
= 
1,5 𝑥 10−6
𝜀0
 = 169,91𝑥103𝑎𝑥 𝑣 𝑚⁄
 
𝑃
3 → 𝐸3⃗⃗ ⃗⃗ = (1− 2,5 − 2)∗
10−6
𝜀0
= 
−3,5 𝑥 10−6
𝜀0
 = −395,04𝑥103𝑎𝑥 𝑣 𝑚⁄
 
𝑃
4 → 𝐸4⃗⃗ ⃗⃗ = (1+2 − 2,5)∗
10−6
𝜀0
= 
0,5 𝑥 10−6
𝜀0
 = 56,52𝑥103𝑎𝑥 𝑣 𝑚⁄
 
Capacitor de Placas Paralelas: Cálculo da Intensidade de 
Campo Elétrico as Placas 
Vamos imaginar o capacitor de placas paralelas no eixo y, conforme apresentado 
abaixo, sendo a linha vermelha a carga positiva (1) e a linha verde, a carga 
negativa (2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em qualquer ponto do espaço, temos: 
�⃗� = 𝐸1
⃗⃗⃗⃗ + 𝐸2
⃗⃗⃗⃗ 
Contudo, a intensidade do campo elétrico fora do capacitor é zero (as 
intensidades de campo elétrico se anulam, conforme apresenta o desenho). 
Logo, 
�⃗� (𝑓𝑜𝑟𝑎) = 0 
�⃗� (𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜) =
2𝜌𝑆
2𝜀0
𝑎𝑦 =
𝜌𝑆
𝜀0
𝑎𝑦 
Obs.: fica 2ρs, porque temos um capacitor de duas placas paralelas. 
 
P2 
P3 
P1 
E1 E1 E1 
E2 E2 E2 
1 2 
Capacitor de Placas Paralelas: Cálculo da Intensidade de 
Campo Elétrico as Placas 
As superfícies esféricas r = 2, 4 e 6 m possuem densidades superficiais de carga 
iguais a 100, -30 e 6 µC/m2, respectivamente. 
Determinar o módulo da densidade de fluxo elétrico para r igual a: 
a) r = 1,0 m; 
b) r = 3,0 m; 
c) r = 5,0 m; 
d) r = 8,0 m. 
 
 
 
 
 
 
r = 8,0 m 
r = 6m, com ρs = 6,0 µC/m2 
 
 
r = 4 m, com ρs = -30,0 µC/m2 
 
 
r = 5,0 m 
r = 3,0 m 
r = 1,0 m 
r = 2 m, com ρs = 100,0 µC/m2 
 
 
Obs.: As superfícies esféricas na cor vermelha representam as áreas de 
interesse para o cálculo do módulo da densidade de fluxo elétrico. As superfícies 
em azul representam as superfícies esféricas de carga positiva, enquanto que a 
superfície esférica em verde representa a superfície esférica de carga negativa. 
Voltando ao exercício, a solução, novamente, envolve trabalharmos com a Lei 
de Gauss (e, pela obviedade da forma geométrica, já sabemos qual superfície 
gaussiana será adotada) e realizarmos o mesmo missal adotado anteriormente. 
Assim, devemos calcular a Lei de Gauss: 
𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠 = ∮ �⃗⃗� 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗ 
𝑠
= 𝑄𝑖𝑛𝑡 
Assim como já realizado em exercícios anteriores, vamos calcular A (a integral) 
e B (a carga) e, então igualar A com B, obtendo a resposta. Contudo, como é 
possível verificar, temos três superfícies carregadas com ρs. 
Então, para o cálculo da carga, uma combinação matemática será necessária 
para a realização adequada dos cálculos matemáticos. 
Vamos a solução do problema: 
Cálculo de A (integral): 
∮ �⃗⃗� 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗ 
𝑠
 
�⃗⃗� = 𝐷𝑟𝑎𝑟𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑠𝑎𝑟 
Voltando a integral: 
∮ �⃗⃗� 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗ 
𝑠
= 𝐷𝑟 ∮ 𝑑𝑠
𝑠
= 𝐷𝑟 ∗ 4𝜋𝑟2 
Como podem recordar, já resolvido em exercícios anteriores, a área da esfera é 
denotada por 4𝜋𝑟2. 
Calculando agora B (a carga): 
𝑄𝑖𝑛𝑡 =? 
Devemos calcular para cada raio solicitado. 
a) r = 1,0 m 
𝑄𝑖𝑛𝑡 = 0 
É zero, pois o raio de 1,0 metros encontra-se interno a menor esfera carregada; 
portanto, não existe carga dentro desse raio, consequentemente, sendo nula a 
mesma. 
Fazendo A = B, obtém-se: 
𝐷𝑟 ∗ 4𝜋𝑟2 = 0 
�⃗⃗� = 0 
�⃗� = 0 
b) r = 3,0 m. 
𝑄𝑖𝑛𝑡 = 100𝑥10−6 ∗ 4𝜋22 
𝑄𝑖𝑛𝑡 = 5 𝑥 10−3𝐶 
Essa é, portanto, a carga interior ao raio r de 3,0 m. 
Igualando-se agora, A com B, obtém-se: 
 
𝐷𝑟 ∗ 4𝜋𝑟2 = 5 𝑥 10−3𝐶 
𝐷𝑟 ∗ 4𝜋32 = 5 𝑥 10−3𝐶 
𝐷𝑟 = 44,44 𝑥10−6 𝑐
𝑚2⁄ 
 
Observem, novamente, a mudança do raio. Ele apresenta o valor 3, pois é onde 
se tem o interesse de saber o módulo da densidade superficial de cargas. 
c) r = 5,0 m 
𝑄𝑖𝑛𝑡 = 100𝑥10−6 ∗ 4𝜋22 − 30𝑥10−6 ∗ 4𝜋42 
𝑄𝑖𝑛𝑡 = −1 𝑥 10−3𝐶 
Já para o terceiro raio, existe agora uma combinação de duas esferas 
carregadas, apresentando o valor em epígrafe. 
Igualando-se agora, A com B, obtém-se: 
𝐷𝑟 ∗ 4𝜋𝑟2 = −1 𝑥 10−3𝐶 
𝐷𝑟 ∗ 4𝜋52 = −1 𝑥 10−3𝐶 
𝐷𝑟 = 3,20 𝑥10−6 𝑐
𝑚2⁄ 
Note que o resultado de Dr seria negativo, mas o enunciado pediu o módulo, 
portanto, positivo. 
d) r = 8,0 m 
𝑄𝑖𝑛𝑡 = 100𝑥10−6 ∗ 4𝜋22 − 30𝑥10−6 ∗ 4𝜋42 + 6𝑥10−6 ∗ 4𝜋62 
𝑄𝑖𝑛𝑡 = 1,71 𝑥 10−3𝐶 
Igualando-se novamente, A com B, obtém-se: 
𝐷𝑟 ∗ 4𝜋𝑟2 = 1,71 𝑥 10−3𝐶 
𝐷𝑟 ∗ 4𝜋82 = 1,71 𝑥 10−3𝐶 
𝐷𝑟 = 2,11 𝑥10−6 𝑐
𝑚2⁄ 
 
Lei de Gauss Diferencial 
A partir da Lei de Gauss integral, 
𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠 = ∮ �⃗⃗� 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗ 
𝑠
= 𝑄𝑖𝑛𝑡 = ∫ 𝜌𝑣𝑑𝑣
𝑣
 
E do teorema da divergência 
 ∮ �⃗⃗� 𝑑𝑠⃗⃗⃗⃗ 
𝑠
 = ∫ (∇ ⃗⃗ ⃗ ∗ �⃗⃗� )𝑑𝑣
𝑣
 
1 
2 
 
Podemos escrever a Lei de Gauss diferencial igualando os integrandos de 1 e 2: 
∇ ⃗⃗ ⃗ ∗ �⃗⃗� = 𝜌𝑣 
Em coordenadas cartesianas: 
∇ ⃗⃗ ⃗ ∗ �⃗⃗� = 
𝜕𝐷𝑥
𝜕𝑋
 + 
𝜕𝐷𝑦
𝜕𝑌
 +
𝜕𝐷𝑧
𝜕𝑍
 
Já em coordenadas cilíndricas, teríamos: 
∇ ⃗⃗ ⃗ ∗ �⃗⃗� =
1
𝜌
 
𝜕(𝜌𝐷𝜌)
𝜕𝜌
 + 
1
𝜌
𝜕𝐷𝜑
𝜕𝜑
 +
𝜕𝐷𝑧
𝜕𝑍
 
Exercício: 
Calcule a divergência de cada um dos campos vetoriais para os pontos 
indicados: 
a) �⃗⃗� = 4𝑋3𝑌3𝑍3𝑎𝑋 + 3𝑋4𝑌2𝑍2𝑎𝑌 + 2𝑋4𝑌2𝑍𝑎𝑍, P (1; 2; 3) 
b) �⃗⃗� = 𝑍 sin 𝜌 𝑎𝜌 + 𝑍 cos𝜑 𝑎𝜑 + 𝜌 sin𝜑 𝑎𝑧