lista 2 metodos 20231

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Métodos Matemáticos - UnB
Lista 2
2023/1
Parte II.
1. Dado um conjuntoX definimos uma métrica sobreX como sendo uma função d W X�X ! RC
satisfazendo três condições:
A1 d.x; y/ D d.y; x/.
A2 d.x; y/ � d.x; z/C d.z; y/.
A3 d.x; y/ D 0, x D y.
Suponha que zd W X �X ! R satisfaz as propriedades seguintes:
B1 zd.x; y/ � zd.x; z/C zd.y; z/.
B2 zd.x; y/ D 0, x D y.
Verifique se a função zd é também uma métrica. (Ou seja, prove que zd é uma métrica ou produza
um contra-exemplo.)
2. Suponha que d seja uma métrica sobre X . Mostre que cada uma da funções abaixo também
definem uma métrica sobre X .
� �1.x; y/ D
d.x;y/
1Cd.x;y/
.
� �2.x; y/ D
p
d.x; y/.
� �3.x; y/ D minfd.x; y/; 1g.
3. Considere X D R, e as seguintes funções de X �X em R.
� �1.x; y/ D jxj
1
� �2.x; y/ D .x � y/
2.
� �3.x; y/ D
ˇ̌
x2 � y2
ˇ̌
.
� �4.x; y/ D jx � 2yj.
Verifique que nenhuma das funções acima define uma métrica, identificando quais propriedades
são violadas. Quais delas definem uma pseudo-métrica? Explique.
4. Um subconjunto A de um espaço métrico X é limitado quando diamA < 1, ou quando, de
forma equivalente, existir x 2 X tal que A � B.x; r/ para algum r > 0. Mostre que a união
finita de conjuntos limitados é um conjunto limitado.
5. Considere o conjunto, conhecido como cubo de Hilbert, H D Œ0; 1�N: H é o conjunto de todas
as sequências em R cujos termos estão entre 0 e 1. Defina a função d W H �H! R por
d.x; y/ D
1X
iD1
1
2i
jxi � yi j :
Mostre que d está bem definida e é uma métrica sobre H.
6. Seja X um conjunto.
a) Suponha que .X; d/ seja um espaço métrico com mais de dois elementos, e ˛; ˇ 2 R. Para
que valores de ˛ a função .x; y/ 7! ˛d.x; y/ é uma métrica, e para que valores de ˇ a função
.x; y/ 7! d.x; y/C ˇ define uma métrica.
b) Suponha que .Y; k�k/ seja um espaço normado, sendo Y um espaço vetorial não trivial, e
˛; ˇ 2 R. Para que valores de ˛ a função x 7! ˛ kxk é uma norma, para que valores de ˇ a
função x 7! kxk C ˇ define uma norma.
7. Denote por M.M;N / o conjunto de todas as matrizesM �N . Isto é, A D Œaij � é um elemento
típico desse conjunto.
a) Verifique que M.M;N / é um espaço vetorial real quando as operações de adição entre veto-
res e multiplicação por escalar são feitas componente a componente da matriz.
b) Notando por ai� a i-ésima linha da matriz A e sendo k�k W RN ! R uma norma em RN ,
verifique que qualquer uma das funções abaixo define uma norma em M.M;N /.
2
Cláudia
Realce
Cláudia
Realce
� p1.A/ D maxfkai�k W 1 � i �M g
� p2.A/ D
PM
iD1 kai�k.
� p3.A/ D
p
MX
iD1
kai�k
2.
8. Uma função L W RN ! RM é dita linear quando L.xCy/ D L.x/CL.y/, e L.˛x/ D ˛L.x/
se ˛ 2 R. Defina por L.RN ;RM / o espaço vetorial real de todas as funções lineares L W RN !
RM .
a) Seja k�kN uma norma em RN e k�kM uma norma em RM . Mostre que kLk D supfkL.x/kM W
kxkN � 1g define uma norma em L.RN ;RM /.
b) Prove que, para todo x 2 RN , temos kL.x/kM � kLk kxkN .
c) Verifique os fatos provados nas duas letras anteriores para a situação em que M D N D 2, a
norma de R2 é a euclidiana, e L.x/ D Ax, onde A D Œaij � é uma matriz real 2 � 2 em cada
um dos casos abaixo.
� A D
�
1 0
0 1
�
:
� A D
�
0 0
0 2
�
:
9. Seja X um espaço normado. Definimos a bola aberta com centro c 2 X e raio r > 0 pela
expressão B.c; r/ D fx 2 X W kx � ck < rg.
a) Prove que B.c; r/ D cCB.0; r/, onde o lado direito da expressão é entendido como a soma
dos conjuntos fcg e B.0; r/ i.e., fc C h W h 2 B.0; r/g.
b) Prove que B.0; r/ D rB.0; 1/ para r > 0, onde o conjunto do lado direito é a multiplicação
de r pelos elementos de B.0; 1/, ou seja, frx 2 X W x 2 B.0; 1/g.
10. Considere o espaço vetorial normado RN com norma euclidiana vinda do produto interno canô-
nico h�; �i. Um hiperplano afim, ou simplesmente hiperplano, em RN é um conjunto do tipo
H.c; ˛/ D fx 2 RN W hc; xi D ˛g, onde c 2 RN e ˛ 2 R são parâmetros. Uma esfera em
RN é um conjunto do tipo S.c; r/ D fx 2 RN W kx � ck D rg, onde c 2 RN e r > 0 são
parâmetros.
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a) Tome dois vetores distintos y; z 2 RN como dados. Mostre que o conjunto fx 2 RN W
kx � yk D kx � zkg é um hiperplano. (Ou seja, o conjunto de todo os vetores equidistantes
a dois vetores fixos forma um hiperplano.) O que ocorre se y D z? Explique.
b) Tome dois vetores distintos y; z 2 RN como dados, e seja ˇ 2 .0; 1/. Mostre que o conjunto
fx 2 RN W kx � yk D ˇ kx � zkg é uma esfera.
11. Considere o espaço RN dotado com a norma euclidiana kxk D
p
hx; xi, onde
hx; yi D
NX
iD1
xiyi
é o produto interno canônico. Mostre que kx C yk kx � yk � kxk2Ckyk2, com igualdade se,
e somente se, hx; yi D 0.
12. Seja X um espaço métrico, .xn/ uma sequência em X , e x 2 X . Suponha que .xn/ possui a
seguinte propriedade: toda subsequência .xnk
/ de .xn/ tem uma subsequência .xnkl
/ tal que
lim xnkl
D x. Mostre que lim xn D x, e dê um exemplo mostrando que a hipótese de x 2 X
ser fixo na propriedade não pode ser omitida (i.e., não basta simplesmente toda subsequência
ter uma subsequência convergente).
13. Seja X um conjunto e defina por D o conjunto de todas as métricas sobre X .
a) Mostre que D ¤ ;.
b) Defina a seguinte relação binária � sobre D. Se d1; d2 2 D, então d1 � d2 se, e somente
se, para todo sequência .xn/ em X e x 2 X : d1.xn; x/ ! 0 , d2.xn; x/ ! 0. Nesse
caso dizemos que as métricas d1 e d2 são equivalentes. Isto é, duas métricas são equivalentes
se elas geram as mesmas sequências convergentes no espaço métrico. Mostre que � é uma
relação de equivalência sobre D, ou seja, a relação binária � é reflexiva (i.e., d � d ),
simétrica (i.e., d1 � d2) d2 � d1) e transitiva (i.e., d1 � d2 e d2 � d3 implicam d1 � d3).
c) Prove que qualquer métrica d sobre X é equivalente a uma métrica que torna X um conjunto
limitado.
d) Prove que se X é um conjunto finito então qualquer métrica em X é equivalente à métrica
discreta.
e) Mostre que quando X D RN as métricas da soma, euclidiana, e do máximo/supremo são
equivalentes, e que nenhuma delas é equivalente à métrica discreta.
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Cláudia
Realce
Cláudia
Realce
Cláudia
Realce
14. Sejam .X; dX/ e .Y; dY / espaços métricos. DefinaZ D X �Y . Considere as seguintes funções
� de Z �Z em R.
� �1..x; y/; .x
0; y 0// D dX.x; x
0/C dY .y; y
0/.
� �2..x; y/; .x
0; y 0// D
q
dX.x; x
0/2 C dY .y; y
0/2.
� �1..x; y/; .x
0; y 0// D maxfdX.x; x0/; dY .y; y 0/g.
Mostre que cada uma das métricas acima faz de Z um espaço métrico, nesse caso chamado de
espaço métrico produto. Prove, ainda, que as três métricas acima são equivalentes de tal forma
que uma sequência .zn/ D ..xn; yn// em Z converge para z D .x; y/ 2 Z em qualquer uma
delas se, e somente se, lim xn D x e limyn D y.
15. Seja X um espaço métrico e .xn/ e .yn/ duas sequências em X com lim xn D x e limyn D y.
Mostre que a sequência .d.xn; yn// em R converge para d.x; y/.
16. Considere o espaço RN dotado com a norma euclidiana k�k. Dada uma sequência .x1; x2; : : : xi ; : : : /
de vetores em RN , a série
P1
iD1 xi é dita convergir absolutamente quando
P1
iD1 kxik < 1,
ou seja, existe o limite limI!1
PI
iD1 kxik. Mostre que, se
P1
iD1 xi converge absolutamente,
então
P1
iD1 xi 2 RN , ou seja, a série converge: limI!1
PI
iD1 xi existe em RN .
17. (2017) Seja X um conjunto não-vazio.
a) Sem nenhuma informação adicional sobre X , mostre como tornar X um espaço métrico e
argumente que isto pode ser feito ao mesmo tempo de forma que qualquer função f W X ! R
seja contínua.
b) Dê exemplo, explicando, de uma métrica sobre X D RN que é equivalente à euclidiana e
que pode ser expressa como o máximo de finitas pseudo-métricas que não são métricas.
18. (2017) Dadas duas funções f; g W R ! R defina d1.f; g/ D supx2X jf .x/ � g.x/j. Se os
valores jf .x/ � g.x/j forem ilimitados o supremo é1.
a) Dadas fn W R! R, n 2 N, e f W R! R, mostre que lim d1.fn; f / D 0, se, e somente se,
dado qualquer � > 0 existe n0 2 N tal que jfn.x/ � f .x/j < � para todo n � n0 e x 2 X .
b) Considere as funções fn.x/ D x2 C 1
n
, gn.x/ D .fn.x//
2, f .x/ D x2, e g.x/ D .f .x//2.
Verifique que d1.fn;f / converge para zero, mas que d1.gn; g/ não converge para zero
embora gn convirja para g pontualmente.
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19. (2018) Seja X um espaço métrico discreto (ou seja, X é um conjunto dotado com uma métrica
tal que toda distância entre pontos distintos é igual a 1).
a) Mostre que uma sequência .xn/ de pontos em X converge se, e somente se, ela for eventual-
mente constante.
b) Mostre que toda função f W X ! R é contínua.
20. (2018) Faça o que se pede, supondo sempre que RN é dotado com a norma euclidiana ou
qualquer outra norma equivalente.
a) Seja K � RN compacto, e f W K ! R contínua. Mostre que cada curva de nível de f é um
conjunto compacto, ou seja, que fx 2 K W f .x/ D ˛g é compacto para todo ˛ 2 R.
b) Seja K � RN um conjunto compacto. Mostre que X � K é compacto se, e somente se, X é
fechado.
21. Seja Q uma matriz N � N simétrica (ou seja, a transposta é igual à matriz: QT D Q), e
c 2 RN . Defina uma função f W RN ! R de sorte que f .x/ D �hx;Qxi C hc; xi. Mostre
que f é uma função contínua. (Dica: utilizando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, “estime”
jf .y/ � f .x/j e use, por exemplo, o critério sequencial.)
22. Seja X um espaço métrico.
a) Suponha que D é uma família de métricas sobre X , e que para todo x; y 2 X temos
supd2D d.x; y/ < 1. Mostre que �.x; y/ D supd2D d.x; y/ define uma métrica sobre
X .
b) Mostre que diamB.x; �/ � 2�, e dê um exemplo em que a desigualdade estrita é verificada.
c) Seja d a métrica deX , e considere o espaço métricoX�X dotado com a métrica �..x; y/; .x0; y 0// D
d.x; x0/Cd.y; y 0/. Verifique que a diagonal deX�X , i.e., o conjunto f.x; y/ 2 X�X W x D
yg, é um conjunto fechado. Demonstre também que A;B � X são subconjuntos fechados
de X se, e somente se, A � B é um subconjunto fechado de X �X .
23. (2019) Suponha que X D RN , que d é a métrica Euclidiana, e que � é a métrica discreta.
Caracterize as sequências .xn/ D .x1n; : : : ; xNn/ que convergem para a origem 0 em termos
do comportamento das sequências .xin/ induzidas pelas coordenadas i D 1; : : : ; N de acordo
com d e �. Explique.
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24. (2019) Suponha que X é um conjunto, e d é uma métrica sobre X .
a) Mostre que, quando X é finito, todos os subconjuntos de X são abertos e fechados. Conclua
que nesse caso os abertos gerados por d são os mesmos gerados pela métrica discreta.
b) Agora assuma que X não é mais necessariamente finito, mas que a imagem de X �X por d
é um conjunto finito. Mostre que nesse caso também todo os subconjuntos de X são abertos
e fechados.
25. (2019) Considere a função f W R2 ! R definida por
f .x1; x2/ D
(
x1x2
x2
1Cx
2
2
; se x ¤ 0
0; se x D 0:
Mostre que as funçõesGx2
; Gx1
W R! R definidas por Gx2
.t/ D f .t; x2/ e Gx1
.t/ D f .x1; t /
são contínuas para todo x1; x2 2 R, mas que a função f não é contínua em x D 0.
26. (2019) Seja X o conjunto de todas as funções f W N! R tais que o conjunto fi 2 N W f .i/ ¤
0g é finito. Defina a função k�k sobre X de modo que kf k D
P
i2N jf .i/j.
a) Prove que X é espaço vetorial e k�k é uma norma sobre X .
b) Dê um exemplo de sequência mostrando que X não é um espaço métrico completo quando a
métrica é induzida por aquela norma k�k. Explique.
27. Faça o que se pede, supondo sempre que RN é dotado com a norma euclidiana ou qualquer
outra norma equivalente.
a) Seja K � RN compacto, e f W K ! R contínua. Mostre que cada curva de nível de f é um
conjunto compacto, ou seja, que fx 2 K W f .x/ D ˛g é compacto para todo ˛ 2 R.
b) Suponha que K é uma família de conjuntos compactos em RN tais que, para toda coleção
finita de conjuntos K1; : : : ; Kn 2 K temos K1 \ � � � \Kn ¤ ;. Mostre que
T
K2KK ¤ ;.
c) Seja K � RN um conjunto compacto. Mostre que X � K é compacto se, e somente se, X é
fechado.
d) Dizemos que X � RN é um conjunto orçamentário quando ele tem a forma X D fx 2 RNC WPN
iD1 pixi � wg, para algum p 2 RN e w 2 R. Determine as condições sobre p e w que
tornam X um conjunto compacto.
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28. Sabemos que todo conjunto fechado e limitado de R é sequencialmente compacto, e que o R é
um espaço métrico completo. Essas propriedades importantes do R são também satisfeitas por
RN , sempre considerando a distância euclidiana entre dois pontos.
a) Utilizando o fato de conjuntos fechados e limitados de R serem sequencialmente compactos,
mostre que conjuntos fechados e limitados de RN são sequencialmente compactos.
b) Utilizando o fato de R ser um espaço métrico completo, mostre que RN também é completo.
c) Agora suponha que dotamos o conjunto RN com a métrica discreta. Verifique quais das
propriedades mencionadas nas letras anteriores são satisfeitas.
29. Dê exemplo de conjunto X em que existam uma sequência .xn/ de pontos, e duas métricas
distintas d e zd tais que d.xn; x/! 0 e zd.xn; zx/! 0, mas que x ¤ zx.
30. Sejam .X; dX/ e .Y; dY / espaços métricos, e f W X ! Y uma função. Dizemos que f é uma
função de Lipschitz com constante K > 0 se dY .f .x/; f .y// � KdX.x; y/.
a) Mostre que toda função de Lipschitz é uniformemente contínua.
b) Dado um conjunto A � X , defina a função distância de um ponto x ao conjunto A por
dA.x/ D inffd.x; y/ W y 2 Ag. Mostre que dA W X ! R é uma função de Lipschitz.
31. Seja X um espaço métrico e f W X ! R uma função. Mostre que as seguintes afirmações são
equivalentes.
(i) A função f é contínua.
(ii) Para todo ˛ 2 R os conjuntos fx 2 X W f .x/ > ˛g e fx 2 X W f .x/ < ˛g são abertos.
(iii) Para todo ˛ 2 R os conjuntos fx 2 X W f .x/ � ˛g e fx 2 X W f .x/ � ˛g são fechados.
32. (Topologia) Seja X um conjunto. Chamamos � � 2X de uma topologia de X quando:
� X;; 2 � .
� O � � )
S
O2OO 2 � .
� O1; O2 2 � ) O1 \O2 2 � .
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Cláudia
Realce
Os elementos de � são chamados de abertos do conjuntoX , e o par .X; �/ é chamado de espaço
topológico. Quando X é um espaço métrico definimos a topologia de X induzida pela métrica
como a família de todos os conjuntos abertos de X de acordo com a métrica.
a) Suponha que d é uma métrica em X . Verifique que a topologia induzida pela métrica d é
realmente uma topologia de X .
b) Seja d uma métrica sobre X , e relembre a definição de uma bola aberta: B.x; �/ D fy 2 X W
d.y; x/ < �g. Verifique que a família fB.x; �/ W x 2 X; � > 0g de bolas abertas em X não
necessariamente definem uma topologia em X .
c) Suponha que X é uma espaço métrico discreto, e seja � a topologia induzida pela métrica de
X . Mostre que � D 2X .
d) Suponha que X é um conjunto com pelo menos dois elementos. Existe alguma métrica sobre
X tal que a topologia induzida pela métrica seja fX;;g? Explique.
33. Suponha que X é um espaço métrico e A � X . Note que por definição A é um subconjunto
compacto se toda cobertura aberta de A admitir uma subcobertura finita.
a) Mostre que a união de um número finito de subconjuntos compactos de X é compacto.
b) Verifique que interseção de uma família arbitrária de subconjuntos compactos de X é com-
pacta.
34. Quando X é um espaço métrico e x 2 X dizemos que V � X é uma vizinhança de x se existir
um conjunto aberto U � X tal que x 2 U � V .
a) Mostre que lim xn D x se, e somente se, para toda vizinhança V de x existir n0 tal que
n � n0 implica xn 2 V .
b) Seja f W X ! Y uma função entre espaços métricos. Mostre que f é contínua em x 2 X
se, e somente se, para todo vizinhança Vf .x/ de f .x/ 2 Y existir uma vizinhança Vx de x tal
que f .Vx/ � Vf .x/.
35. Seja X um espaço vetorial, k�k1 e k�k2 duas normas sobre X . Mostre que se existem constantes
˛; ˇ > 0 tais que ˛ kxk2 � kxk1 � ˇ kxk2 para todo x 2 X , então kxn � xk1 ! 0 ,
kxn � xk2 ! 0. Prove também que a recíproca é verdadeira.
36. Sejam X e Y espaços normados. Dizemos que uma função L W X ! Y é linear quando
L.x C y/ D L.x/C L.y/ para todo x; y 2 X , e L.˛x/ D ˛L.x/ para todo ˛ 2 R e x 2 X .
Sejam L1; L2 W X ! Y funções lineares. Mostre que, se L1.x/ D L2.x/ para todo x 2 X
com kxk D 1 então as funções L1 e L2 são iguais.
9
Cláudia
Realce
37. Suponha que f W RN ! R é uma função linear, e seja D � RN . Considere o problema de
maximização
max
x
f .x/
s.a. x 2 D:Suponha que x� é uma solução para o problema de maximização acima. Para o caso em que a
função linear f não é identicamente nula, prove que x� … intD.
38. Sejam .X; k�kX/ e .Y; k�kY / espaços vetoriais (com escalares reais) normados, e f W X ! Y
uma função linear. Prove que os enunciados abaixo são equivalentes.
(i) A função f é contínua.
(ii) A função f é contínua em 0 (origem de X ).
(iii) O conjunto fkf .x/kY W kxkX � 1g é limitado.
(iv) Existe uma constante K � 0 tal que kf .x/kY � K kxkX para todo x 2 X .
39. Seja X um espaço métrico e A;B � X .
a) Mostre que bdryA é um conjunto fechado.
b) Mostre que intA � int.clA/, e dê um exemplo em que a igualdade não vale.
c) Mostre que int.A\B/ D intA\ intB e intA[ intB � int.A[B/, e dê um exemplo onde
a igualdade não se verifica na última inclusão.
d) Mostre que cl.A [ B/ D clA [ clB e cl.A \ B/ � clA \ clB , e dê um exemplo onde a
igualdade não se verifica na última inclusão.
40. Sejam c 2 RN e ˛ 2 R. Recorde as definições:
H.c; ˛/ D fx 2 RN W hc; xi D ˛g
H�.c; ˛/ D fx 2 RN W hc; xi � ˛g
H>.c; ˛/ D fx 2 RN W hc; xi > ˛g:
Mostre que H.c; ˛/ e H�.c; ˛/ são conjuntos fechados, e que H>.c; ˛/ é aberto.
10
41. Seja A � RN e f W A! RM uma função.
a) Mostre que existem funções f1; : : : ; fM W A! R tais que f .x/ D .f1.x/; : : : ; fM .x// para
todo x 2 A.
b) Suponha que c é um ponto de acumulação de A. Mostre que limx!c f .x/ D y se, e somente
se, limx!c fi.x/ D yi para todo i D 1; : : : ;M , onde yi é a i-ésima coordenada de y.
c) Suponha que A é aberto, c 2 A, e y D limx!c f .x/. Mostre que lim˛!0 f .c C ˛h/ D y
para todo h 2 RN n f0g.1
d) Sejam as funções f; g W RN n f0g ! R definidas por:
f .x1; x2/ D
x1x2
x21 C x
2
2
g.x1; x2/ D
x21 � x
2
2
x41 C x
2
2
:
Mostre que não existe o limite de f .x/ nem de g.x/ quando x ! 0.
e) Verifique que a função f W RN n f0g ! R, definida por
f .x1; x2/ D
x1x
2
2
x21 C x
2
2
;
tem limite quando x ! 0.
42. Seja X um espaço métrico compacto e ı > 0. Mostre que existe um conjunto finito A � X tal
que se x 2 X então d.x; a/ < ı para algum a 2 A.
43. Defina �N D f� 2 RN W �i � 0;
PN
iD1 �i D 1g. Mostre que �N é compacto.
44. (2020) Seja .X; d/ um espaço métrico. Uma métrica d1 é dita sequencialmente equivalente a
outra métrica d2, ambas sobre X , quando para qualquer sequência .xn/ em X , e x 2 X , valer:
limn!1 d1.xn; x/ D 0 , limn!1 d2.xn; x/ D 0. Prove que existe uma métrica zd sobre X
sequencialmente equivalente a d e verificando a desigualdade zd.x; y/ � �minf1; d.x; y/g para
todo x; y 2 X .
45. (2020) SejaX um espaço vetorial normado com produto interno onde a norma kxk D
p
hx; xi.
Seja A D fx1; : : : ; xng � X um conjunto finito de vetores onde kxk D 1 para todo x 2 A.
1A hipótese de que A é aberto é desnecessária. Se definirmos gh.˛/ D f .xC ˛h/ e supusermos que 0 é um ponto
de acumulação do domínio de gh já seria o bastante para definir o limite.
11
(a) Utilizando a desigualdade de Cauchy-Schwarz e as ideias contidas na sua demonstração,
mostre que, se
˝
xi ; xj
˛
� �1 para todo i; j 2 f1; : : : ; ng com i ¤ j , então n � 2.
(b) Para o caso em que
˝
xi ; xj
˛
� �� para todo i; j 2 f1; : : : ; ng com i ¤ j , prove que n � 1C1
�
.
46. (2020) Seja X um espaço vetorial, e k�k W X ! R uma função. Suponha que k�k satisfaz as
seguintes condições.
� kx C yk � kxk C kyk C � para todo x; y 2 X .
� �� � k˛xk � j˛j kxk � � para todo ˛ 2 R e x 2 X .
� kxk D 0 somente se x D 0.
(a) Prove que kxk D limn!1
knxk
n
.
(b) Prove que k�k é uma norma.
47. (2020) Seja X um espaço vetorial normado com norma k�k vinda de um produto interno. Supo-
nha que X é completo quando visto como espaço métrico com métrica vinda da norma. É dada
uma função contínua f W X ! R. Sabe-se que jf .x C ˛y/ � f .x/ � f̨ .y/j � � para todo
x; y 2 X e ˛ 2 R. O objetivo é mostrar que f pode ser decomposta como f .x/ D l.x/Ce.x/,
onde l W X ! R é um funcional linear expresso por l.x/ D hz; xi para algum z 2 X , e
e W X ! R é uma função limitada. Pelo teorema da representação de Riesz, os passos abaixo
são o bastante.
– Passo 1. Utilizando o fato de R ser um espaço métrico completo, prove que, dado qualquer
x 2 X , a sequência f .2nx/
2n converge.
– Passo 2. Prove que a função g W X ! R definida por g.x/ D limn!1
f .2nx/
2n satisfaz
g.x C y/ D g.x/C g.y/ para todo x; y 2 X , e jg.x/ � f .x/j � � para todo x 2 X .
– Passo 3. Prove que para demonstrar que g é contínua, basta mostrar que g é contínua em
0. E de posse dessa informação demonstre que g é de fato contínua em 0.
– Passo 4. Prove que a função g definida acima é homogênea, ou seja, g.˛x/ D ˛g.x/ para
todo x 2 X e ˛ 2 R. )
48. (2020) Uma função f W R ! R é chamada de positivamente homogênea quando f .�x/ D
�f .x/ para todo � 2 R com � � 0 e x 2 R.
(a) Dê exemplo de uma função f W R ! R tal que f não é positivamente homogênea mas que
jf .�x/ � �f .x/j � .1C �/� para todo x 2 R e � � 0.
(b) Chame f W R ! R de �-positivamente homogênea quando jf .�x/ � �f .x/j � � para
todo x 2 R e � � 0. Prove que toda função �-positivamente homogênea é positivamente
homogênea.
12
Cláudia
Realce
49. (2021) Tome X D Œ0; 1�N , e seja P um conjunto de relações binárias < sobre o conjunto X .
Sabe-se que para cada relação binária <2 P existe uma função contínua u<WX ! R tal que
x < y , u<.x/ � u<.y/. Ou seja, u< é uma representação de utilidade contínua de <. Para
cada relação binária fixamos essa função u<. Defina U D fu< W<2 Pg, e note que U é um
subconjunto do espaço vetorial Cb.X/ de funções contínuas e limitadas sobre X . Faça o que se
pede.
(a) Defina a função d W P � P ! R por d.<1;<2/ D supx2X ju<1
.x/ � u<2
.x/j. Verifique
que .P; d / é um espaço métrico.
(b) Defina a função F W P ! U tal que F.</ D u<. Prove que F é contínua, e admite uma
inversa F �1, também contínua.
(c) Suponha agora que X D RNC . Seja <2 P e u< uma representação contínua de <, qual
seja, u<WRN ! R é contínua e x < y , u<.x/ � u<.y/. Encontre uma função
vWRN ! Œ�1; 1� que seja contínua e tal que x < y , v.x/ � v.y/ .
50. (2021) Seja X um espaço métrico com métrica d: Seja A � X um conjunto não vazio de
pontos de X . Dado x 2 X , considere o problema de encontrar um ponto a� 2 A que minimize
a distância dos pontos em A para x, ou seja, tal que
d.a�; x/ D inf
a2A
d.a; x/: (�)
Defina rA.x/ D infa2A d.a; x/ e PA.x/ D fa 2 A W d.a; x/ D rA.x/g. Faça que se pede.
(a) Verifique que o ínfimo em (�) está bem definido, ou seja, que o conjunto de números reais
fd.a; x/ W a 2 Ag admite um ínfimo.
(b) Prove que para todo ı > 0, existe aı 2 A tal que d.aı ; x/ � infa2A d.a; x/C ı.
(c) Prove que PA.x/ D BX Œx; rA.x/�\A, e dê um exemplo ondeX D R e d.x; y/ D jx � yj,
com PA.x/ D ; para algum x 2 X .2
(d) Prove que PA.x/, quando não-vazio, é um conjunto limitado, e que se A for fechado então
PA.x/ também será fechado.
(e) Suponha que A tem a seguinte propriedade: para toda sequência .an/ em A com
lim
n!1
d.an; x/ D rA.x/
existe uma subsequência .ank
/ com limite a� 2 A. Prove que nesse caso PA.x/ ¤ ;.
51. (2021) Faça o que se pede.
2Em um espaço métrico .X; d/, representamos, da forma usual, a bola fechada com centro x e raio r por BŒx; r� D
fy 2 X W d.y; x/ � rg.
13
(a) Seja .X; k�k/ um espaço vetorial normado. Dada uma sequência de vetores .xn/ em X ,
dizemos que a série
P
n xn converge para um elemento de X quando existir o limite
limL!1
PL
nD1 xn em X . Prove que as afirmações a seguir são equivalentes.
� O espaço normado .X; k�k/ é completo na métrica induzida pela norma, d.x; y/ D
kx � yk.
� Para toda sequência .xn/ em X tal que o conjunto
¸PL
nD1 kxnk W L 2 N
¹
é limitado, a
série
P
n xn converge para um elemento de X .
(b) Suponha que V é um espaço vetorial normado, e sejaX um subespaço vetorial de V . Prove
que clX é também um subespaço de V .
52. (2021) Seja k�k� uma norma qualquer em RN . Dizemos que k�k� é a norma dual de k�k� quando
kxk� D sup
¶
hx; zi W kzk
�
� 1
·
. Por exemplo, quando x é identificado com um funcional
linear sobre o RN , a normadual de x nada mais é do que a norma do operador linear l W RN !
R definido por l.z/ D hx; zi.
(a) Verifique que na definição de k�k� poderíamos ter usado equivalentemente a expressão
kxk� D sup
¶
jhx; zij W kzk
�
� 1
·
.
(b) Usando diretamente as propriedades que caracterizam uma norma, verifique que k�k�, de-
finida como acima, é de fato uma norma sobre o RN , e que vale a desigualdade hx; yi �
kxk� kyk
� para quaisquer x; y 2 RN .
(c) Considere o caso em que k�k� D k�k1, a norma do máximo ou supremo. Mostre que a
norma dual de norma do supremo é a norma do soma, ou seja, que k�k� D k�k1. Para tanto,
verifique os seguintes passos.
� Passo 1. Se kzk1 � 1, então
ˇ̌̌PN
iD1 zixi
ˇ̌̌
� kxk1. Conclua que kxk� � kxk1.
� Passo 2. Dado qualquer x 2 RN , prove que existe z 2 RN com kzk1 � 1 e tal que
hz; xi D kxk1. Conclua que kxk1 � kxk�.
(d) Adapte a demonstração feita na letra anterior para mostrar que, quando partimos da norma
k�k
�
D k�k1, a norma dual associada é k�k� D k�k1.
53. (2022) Seja X um espaço vetorial normado. Dado um conjunto A � X dizemos que um ponto
x 2 A é um ponto interno a A se para todo h 2 X existir N̨ > 0 tal que x C ˛h 2 A para todo
˛ 2 Œ0; N̨ /.
(a) Prove que todo x 2 intA é um ponto interno a A.
(b) Considere, para X D R2, o conjunto A D f.x1; x2/ 2 R2 W x2 � x21g [ f.x1; x2/ 2 R2 W
x2 � 0g. Prove que x D .0; 0/ é um ponto interno a A mas que x … intA.
14
54. (2022) SejaX um espaço vetorial normado, e sejam dois vetores x1; x2 2 X . Defina o conjunto
A D f˛1x1 C ˛2x2 W .˛1 � 1/.˛2 � 1/ D 0g. Suponha que 0 2 clA. Prove que fx1; x2g é um
conjunto linearmente dependente.
55. (2022) Sejam .X; k�kX/ e .Y; k�kY / espaços vetoriais normados, e sejaD um subespaço vetorial
de X . Suponha que Y é completo na métrica induzida pela norma k�kY . É dada uma função
linear f WD ! Y . (I.e., f .˛xCˇx0/ D f̨ .x/C f̌ .x0/ para quaisquer ˛; ˇ 2 R e x; x0 2 D.)
O gráfico de f é o conjunto grf ´ f.x; y/ 2 D � Y W f .x/ D yg.
(a) Suponha que a função k�kX�Y sobre X � Y é definida por k.x; y/kX�Y D kxkX C kykY .
Prove que .grf; k�kX�Y / é um espaço vetorial normado.
(b) Suponha que f é contínua. Prove que grf é um conjunto fechado se, e somente se, D é
um subespaço fechado de X .
(c) Seja `0 o espaço vetorial de todas as sequências .xn/ de números reais tais que xn D 0
exceto talvez para um número finito de termos. A norma em `0 é definida por: para
x D .xn/, kxk D
pP1
nD1 x
2
n. O conjunto `0 é visto como um subespaço vetorial do
espaço `2 de todas as sequências .xn/ de números reais tais que a série
P1
nD1 x
2
n converge.
Verifique que `0, visto como um espaço métrico com a métrica induzida pela norma, não
é completo.
(d) Considere a função f W `0 ! `0 definida por, para x D .xn/ 2 `0,
f .x/ D
 
1X
nD1
xn
n
; 0; 0; : : : ; 0; : : :
!
:
Prove que f é uma função linear contínua.
(e) Verifique por meio de um exemplo que, para a função f na letra anterior, grf não é
fechado.
56. (2022) Seja A � RN um conjunto de vetores com coordenadas não negativas. Suponha que,
para todo x 2 RN , o conjunto fha; xi 2 R W a 2 Ag admite uma cota superior. Para fins de
norma estamos considerando a norma euclidiana k�k2 no RN .
(a) Prove que A é um conjunto limitado.
(b) Prove que, para todo x 2 RN , f .x/ ´ infa2A ha; xi é um número real bem definido, e
que de fato f .x/ D mina2clA ha; xi.
(c) Prove que f WRN ! R, tal como definida como na letra anterior, tem a seguinte propri-
edade: se x; x0 2 RN são vetores tais que xi � x0i para cada coordenada i D 1; : : : ; N ,
então f .x/ � f .x0/.
(d) Encontre uma constante 
 > 0 tal que para todo x; x0 2 RN tenhamos f .x/ � f .x0/ �

 maxfxi � x0i W i D 1; : : : ; N g.
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57. Garling (11.2, p. 312) Exercício: 3.
58. Garling (11.3, pp. 316-317) Exercícios: 1, 3.
59. Garling (12.1, pp. 336-337) Exercícios: 1, 3, 4, 5, 6, 7.
60. Garling (12.2, pp. 342-337) Exercícios: 1, 3.
61. Garling (12.3, pp. 347-349) Exercícios: 1, 2, 3, 4, 7, 8, 22–24.
62. Garling (12.4, pp. 351-352) Exercícios: 2, 3, 4.
63. Garling (14.1, p. 394) Exercícios: 4, 5.
64. Garling (14.6, p. 420) Exercício: 2.
65. Garling (15.4, p. 445) Exercício: 1.
66. Garling (15.5, p. 448) Exercício: 5.
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