Desempenho em Exercício

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A
B
C
D
E
1 Marcar para revisão
Em sistemas oscilatórios nos deparamos com sistemas em que é necessário trabalhar com muitas
variáveis ao mesmo tempo. Na figura abaixo é mostrado um sistema de três graus de liberdade. As
frequências naturais do sistema são:
0, √(k/m), √(k/3m)
0, √(k/m), √(2k/3m)
0, √(k/m), √(4k/3m)
0, k/m, k/3m
0, k/m, 4k/3m
Questão não respondida
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A matriz de rigidez é
Amatriz de inércia é e sua inversa são:
K =
⎡
⎢
⎣
k −k 0
−k 2k −k
0 −k k
⎤
⎥
⎦
Que
Em
1
6
Exercicio Tipos De Vibrações Sair
14/05/2024, 21:32 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66440293139d33d914011318/gabarito/
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A matriz dinâmica é: 
Para encontrar a equação característica é preciso resolver o determinante e igualá-lo a zero:
Ξ =
⎡
⎢
⎣
m 0 0
0 6m 0
0 0 m
⎤
⎥
⎦
; Ξ−1 =
⎡
⎢
⎣
(1/m) 0 0
0 (1/(6m)) 0
0 0 (1/m)
⎤
⎥
⎦
A = Ξ−1 K
A =
⎡
⎢
⎣
(1/m) 0 0
0 (1/6m) 0
0 0 (1/m)
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
k −k 0
−k 2k −k
0 −k k
⎤
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎣
(k/m) −(k/m) 0
−(k/6m) (k/3m) −(k/6m)
0 −(k/m) (k/m)
⎤
⎥
⎦
det(A − λI) =
∣
∣
∣
∣
∣
{(k/m) − λ} −(k/m) 0
−(k/6m) {(k/3m) − λ} −(k/6m)
0 −(k/m) {(k/m) − λ}
∣
∣
∣
∣
∣
= 0
2 Marcar para revisão
Sistemas oscilatórios podem ser encontrados em diversas situações. Um exemplo clássico são o
sistema de amortecimento presente nos veículos. Sabendo disso, as frequências naturais do Sistema
Automóvel representado na figura abaixo sẵ
Os autovetores correspondentes sẵo, na ordem:
O vetor grau de liberdade está arrumado da seguinte forma:
Avaliando os valores, e conhecendo o vetor grau de liberdade, é correto afirmar que, enquanto o veículo
trafega em uma pista ondulada de perfil senoidal, à medida que sua velocidade aumenta, o primeiro e
oúltimo grau de liberdade a entrar em ressonância são, respectivamente 
Agora considere no modelo do automóvel de quatro graus de liberdade, as molas que representam os
pneus foram substituídas por outras mais rigidas, enquanto todos os outros parâmetros permaneceram
os mesmos. Essa mudança alterou o com portamento oscilatório do sistema. Quanto às frequências
naturais, o resultado esperado é que:
f1 = 1, 04 Hz, f2 = 1, 45 Hz, f3 = 8, 15 Hz e f4 = 10, 89 Hz
u1 =
⎡
⎢⎢⎢⎢
⎣
1
−0, 5132
0, 1281
0, 0199
⎤
⎥⎥⎥⎥
⎦
, u2 =
⎡
⎢⎢⎢⎢
⎣
0, 8014
1
−0, 0290
0, 2715
⎤
⎥⎥⎥⎥
⎦
, u3 =
⎡
⎢⎢⎢⎢
⎣
−0, 0138
−0, 0142
0, 0005
1
⎤
⎥⎥⎥⎥
⎦
, u4 =
⎡
⎢⎢⎢⎢
⎣
−0, 055
0, 0041
1
0, 0001
⎤
⎥⎥⎥⎥
⎦
Z =
⎡
⎢⎢⎢
⎣
zch
θ
z1
z2
⎤
⎥⎥⎥
⎦
zchez1
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A
B
C
D
E
A
B
C
As duas frequências naturais mais altas aumentem mais do que as duas mais baixas
As duas frequências naturais mais altas aumentem menos do que as duas mais baixas
Somente as duas frequências naturais mais baixas aumentam, enquanto que as duas mais
altas permanecem as mesmas
Somente as duas frequências naturais mais altas diminuem, enquanto que as duas mais baixas
permanecem as mesmas
Todos os valores das frequências naturais caem
Questão não respondida
Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A ressonância é identificada nos autovetores pela coordenada de maior valor absoluto, e
examinando os valores, vê-se que o primeiro grau de liberdade a entrar em ressonância é , e o
último é .
zch
z1
3 Marcar para revisão
Quer-se instalar um conjunto de antenas de telefonia móvel que pesa 32 kg no alto de uma torre, e para
cobrir a área desejada, é preciso que o equipamento esteja a 30 m de altura. A região é conhecida por
registrar eventuais rajadas de vento que atingem 45 km/h, epara garantir o bom funcionamento, as
oscilaçốes não podem ultrapassar 30 mm nessas condições. A torre é cilíndrica, e o diâmetro de sua
seção transversal circular mede 1,5 m. Calcule qual deve ser a rigidez equivalente da torre, em kN/m,
para atender os requisitos. Considere e desconsidere o amortecimento.ρAr = 1, 2 kg/m3
13,88
138,8
1.388
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D
E
A
B
13.880
138.800
Questão não respondida
Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A expressãoo para o cálculo da amplitude de oscilação é:
A constante é igual a: 
Entâo:
Afrequência de excitação a depende da velocidade do vento:
Daí, tem-se que:
A rigidez equivalente do postée, então: 
X = ( )[ ]
( ) = [ ] ⇒ (ω/ωn)2 = [1 − (ω/ωn)2]( )
(ω/ωn)2 [1 + ( )] = ( ) ⇒ (ω/ωn)2 =
Φ
ml
(ω/ωn)2
1 − (ω/ωn)2
Xml
Φ
(ω/ωn)2
1 − (ω/ωn)2
Xml
Φ
Xml
Φ
Xml
Φ
(Xml/Φ)
1 + (Xml/Φ)
Φ Φ = 0, 317ρArHD3
Φ = 0, 317(1, 20)(30)(1, 50)3 = 38, 52
(ω/ωn)2 = = 2, 43 × 10−2
ω/ωn = √2, 43 × 10−2 = 0, 156
(30 × 10−3) (32)/(38, 52)
1 + [(30 × 10−3) (32)/(38, 52)]
ω = v = ( ) = 10, 47rad/s
0,4π
D
0,4π
(1,50)
45
3,6
ω/ωn = 0, 156 ⇒ ωn = = = 65, 86rad/sω
0,156
10,47
0,156
kθq = m2ω2
n = (32) (65, 862) = 138, 81kN/m
4 Marcar para revisão
Sistemas matriciais são utilizados na resolução de sistemas com várias incógnitas. A equação
característica do sistema de três graus de liberdade mostrado na figura abaixo é:
λ3 − 8(k / m)λ2 + 8(k / m)2λ − (k / m)3 = 0
λ3 − 8(k/m)λ2 + 8(k/m)2λ − 2(k/m)3 = 0
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C
D
E
λ3 − 8(k/m)λ2 + 8(k/m)2λ − 3(k/m)3 = 0
2λ3 − 8(k/m)λ2 + 8(k/m)2λ − (k/m)3 = 0
2λ3 − 8(k/m)λ2 + 8(k/m)2λ − 8(k/m)3 = 0
Questão não respondida
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A matriz de rigidez é
A matriz de inércia é e sua inversa săo:
Amatriz dinâmica é: 
Para encontrar a equação característica é preciso resolver o determinante e igualá-lo a zero:
Resolvendo o determinante e manipulando a equação, tem-se:
K =
⎡
⎢
⎣
k −k 0
−k 2k −k
0 −k 2k
⎤
⎥
⎦
Ξ =
⎡
⎢
⎣
m 0 0
0 2m 0
0 0 0
⎤
⎥
⎦
; Ξ−1 =
⎡
⎢
⎣
(1/m) 0 0
0 (1/(2m)) 0
0 0 (1/m)
⎤
⎥
⎦
A = Ξ−1 K
A =
⎡
⎢
⎣
(1/m) 0 0
0 (1/2m) 0
0 0 (1/m)
⎤
⎥
⎦
⎡
⎢
⎣
k −k 0
−k 2k −k
0 −k 2k
⎤
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎣
(k/m) −(k/m) 0
−(k/2m) (k/m) −(k/2m)
0 −(k/m) (2k/m)
⎤
⎥
⎦
det(A − λI) =
∣
∣
∣
∣
∣
{(k/m) − λ} −(k/m) 0
−(k/2m) {(k/m) − λ} −(k/2m)
0 −(k/m) {(2k/m) − λ}
∣
∣
∣
∣
∣
= 0
2λ3 − 8(k/m)λ2 + 8(k/m)2λ − (k/m)3 = 0
5 Marcar para revisão
Um ventilador de apresentando desbalanceamento rotativo igual a , preso a uma
haste de comprimento medindo , confeccionada em liga de alumínio ( ) com
 e comportamento de amortecimento viscoso com , quando gira a uma
velocidadede 800 rpm émostrado na figura abaixo. Calcule qual deves er o valor da máxima velocidade
de operação em rpm para que a amplitude de oscilação do ventilador fique abaixo de .
Desconsidere o amortecimento viscoso.
30 kg 0, 18 kg m
1, 2 m E = 70GPa
I = 2, 2 × 10−6 m4 ζ = 0, 07
2 mm
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A
B
C
D
E
320
450
580
600
900
Questão não respondida
Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Substituindo na expressão da amplitude de oscilação, tem-se:
 Sendo φ = ω/ωn ∈ H = ( )
k = = = 267, 36 × 103 N/m
ωn = √ = √ = 94, 4rad/s
m0
m
3EI
L3
3 (70 × 109) (2, 2 × 10−6)
1, 23
k
m
267, 36 × 103
30
X = ( ) = H ⇒φ2 =
m0e
m
(ω/ωn)2
1−(ω/ωn)2
φ2
1−φ2
X
X+H
φ2 = = 0, 25 ⇒ φ = 0, 5
φ = ω/ωn ⇒ ω = φωn = 0, 5ωn = (0, 5)(94, 4) = 47, 2rad/s
N = ω = 450rpm
2 × 10−3
(2 × 10−3) + ( )0,18
30
60
2π
6 Marcar para revisão
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A
B
C
D
E
Um ventilador de apresentando desbalanceamento rotativo igual a , preso a uma
haste de comprimento medindo , confeccionada em liga de alumínio ( ) com
 e comportamento de amortecimento viscoso com , quando gira a uma
velocidade de 800 rpm é mostrado na figura abaixo. Calcule a amplitude de oscilação, em milímetros.
30 kg 0, 18 kg m
1, 2 m E = 70GPa
I = 2, 2 × 10−6 m4 ζ = 0, 07
9,7
10,3
12,9
15,4
19,6
Questão não respondida
Opa! A alternativa correta é a letra E. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A rigidez da hasteé igual a:
Calcula-se sua frequência natural:
Para calcular a amplitude de oscilação a é preciso obter a razão entre as frequências
de operação e natural:
A amplitude em regime permanente será de:
k = = = 267, 36 × 103 N/m3EI
L3
3(70×109)(2,2×10−6)
1,23
ωn = √ = √ = 94, 4rad/sk
m
267,36×103
30
N = 800rpm
ϕ = = = 0, 89ω
ωn
(800)(2π)/60
94,4
x = ( )
x = ( ) = 19, 6 mm
m0e
m
(ω/ωn)2
√[1 − (ω/ωn)2]
2
+ [2ζ (ω/ωn)]2
0, 18
30
(0, 89)2
√[1 − (0, 89)2]2 + [2(0, 07)(0, 89)]2
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A
B
C
D
E
7 Marcar para revisão
Um motor elétrico de desbalanceado, opera a em um suporte de comprimento
igual a , onde , conforme a figura abaixo. Calcule a amplitude máxima de oscilação, em
milímetros, sabendo que o suporte é considerado uma viga bi engastada com e
. A massa de desbalanceamento do motor é g, er .
92 kg N = 1.800rpm
4, 8 m L1 = 2L2
I = 2, 0 × 10−6 m4
E = 72GPa m = 18 = 25, 0 × 10−2 m
15
1,5
0,15
0,015
0,0015
Questão não respondida
Opa! A alternativa correta é a letra D. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A rigidez equivalente é:
Afrequência natural é:
A frequência de operaçăo é:
kV = = = = EI
kV = (72 × 109) (2 × 10−6) = 356kN/m
3EIL3
L3
1L3
2
3EIL3
(2L/3)3(L/3)3
3EIL3
(8/27)(1/27)(L)6
2.187
8L3
2.187
8 (4, 83)
ωn = √ = √ = 62, 2rad/s
kV
M
356×103
92
ω = = 30rad/s1.800
60
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A
B
C
D
E
A amplitude de oscilação é:
x = ( )[ ]
x = [ ] = 1, 5 × 10−2
mm
mr
M
(ω/ωn)2
1 − (ω/ωn)2
(18 × 10−3) (25, 0 × 10−2)
92
(30/62, 2)2
1 − (30/62, 2)2
8 Marcar para revisão
O rotor de cauda de um velho helicóptero tem cinco pás, todas de massa igual a . 0 centro de
massa de cada pá dista do eixo de giro. conjunto redutor tem uma massa igual a . A
cauda do helicóptero é considerada uma viga com rigidez equivalente e fração de amortecimento
, e apresenta ressonância na frequência igual a . Imediatamente antes da decolagem,
quando o rotor girava a , uma pá se desprende, produzindo desbalanceamento. Calcule a
amplitude de oscilação, em milím etros, nessas condições.
1, 8 kg
220 mm O 34, 8 kg
ζ = 0, 08 30 Hz
1080rpm
4
9
15
22
34
Questão não respondida
Opa! A alternativa correta é a letra A. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
14/05/2024, 21:32 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66440293139d33d914011318/gabarito/
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A
B
C
D
E
A rigidez equivalente é:
desbalanceamento produzido pela pá que se solta é:
Afrequência natural sem a pá é:
A razão entre as frequências é:
A amplitude de oscilação é:
kV = mcjω
2
n = (mcj−rθ
+ 5 × mpa) ω2
n
kV = (34, 8 + 5 × 1, 8)(2π × 30)2 = 1, 56 × 106 N/m
mparCM = (1, 8)(0, 22) = 0, 396 kg m
ωn = √ = √ = 192, 72rad/s
kV
mCJ−mpa
1,56×106
42
= = 0, 586ω
ωn
(1.080)(2π)/(60)
192,72
X = [ ]
X = [ ] = 4 mm
mparCM
(mCj − mpa)
(ω/ωn)2
√[1 − (ω/ωn)2]
2
+ [2ζ (ω/ωn)]2
(1, 8)(0, 220)
(42)
(0, 586)2
√[1 − (0, 586)2]2 + [2(0, 08)(0, 586)]2
9 Marcar para revisão
Um poste de de altura tem no topo um lampadário que pesa , e está instalado em uma
região onde o vento nessa altura pode alcançar a densidade do ar é igual a 1,10 . O
diâmetro é constante e igual a . Calcule qual deve ser a rigidez equivalente do poste, em 
para que a amplitude de oscilação seja inferior a . Desconsidere o amortecimento.
50 m 70 kg
54 km/he kg/m3
2, 20 m kN/m
2 mm
2.617
4.322
6.795
8.570
9.315
Questão não respondida
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
14/05/2024, 21:32 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66440293139d33d914011318/gabarito/
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A
B
C
D
E
A expressão para o cálculo da amplitude de oscilação é:
A constante é igual a: 
Afrequência de excitaçăo w depende da velocidade do vento:
Daí, tem-se que:
A rigidez equivalente do poste é, então: 
x = ( )[ ]
( ) = [ ] ⇒ (ω/ωn)2 = [1 − (ω/ωn)2]( )
(ω/ωn)2 [1 + ( )] = ( ) ⇒ (ω/ωn)2 =
Φ
m2
(ω/ωn)2
1 − (ω/ωn)2
Xml
Φ
(ω/ωn)2
1 − (ω/ωn)2
Xm2
Φ
Xml
Φ
Xml
Φ
(Xm2/Φ)
1 + (Xml/Φ)
Φ Φ = 0, 317ρArHD3
Φ = 0, 317(1, 10)(50)(2, 20)3 = 185, 65
ω = v = ( ) = 8, 57rad/s
0,4π
D
0,4π
(2,20)
54
3,6
ω/ωn = 2, 75 × 10−2 ⇒ ωn = = = 311, 56rad/sω
2,75×10−2
8,57
2,75×10−2
kθq = m2ω2
n = (70) (311, 562) = 6.795kN/m
10 Marcar para revisão
A matriz modal de um sistema de três graus de liberdade é:
A primeira coluna da matriz modal é o autovetor que corresponde à frequência natural fundamental.
Asegunda coluna é o autovetor que corresponde à segunda frequência natural do sistema. A terceira
coluna corresponde à frequência natural mais alta. Sobre os modos de vibração é correto afirmar que
U =
⎡
⎢
⎣
1 −0, 35 0
0 1 1
1 0, 15 0
⎤
⎥
⎦
Na frequência fundamental todos os corpos oscilam em fase
Na frequência fundamental, todos os corpos apresentam comportamento de corpo rígido
No segundo modo de vibrar, o segundo corpo apresenta oscilação de corpo rígido
No terceiro modo de vibrar, o segundo corpo apresenta oscilação de corpo rígido
Na frequência natural mais alta do sistema, somente o segundo corpo oscila
Questão não respondida
Opa! A alternativa correta é a letra E. Confira o gabarito comentado!
Gabarito Comentado
Na frequência fundamental todos os corpos oscilam em fase. ERRADA� o segundo corpo não oscila
14/05/2024, 21:32 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66440293139d33d914011318/gabarito/
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Na frequência fundamental, todos os corpos apresentam comportamento de corpo rígido. ERRADA�
os corpos 1 e 3 oscilam, em oposição de fase entre si, com amplitudes menores do que a do corpo
2.
No segundo modo de vibrar, o segundo corpo apresenta oscilação de corpo rígido. ERRADA� para
haver movimento de corpo rígido é preciso que todas as componentes sejam iguais a 1, e é o
sistema que apresenta movimento oscilatório de corpo rígido.
No terceiro modo de vibrar, o segundo corpo apresenta oscilação de corpo rígido. ERRADA� para
haver movimento de corpo rígido é preciso que todas as componentes sejam iguais a 1, e é o
sistema que apresenta movimento oscilatório de corpo rígido.
Na frequência natural mais alta do sistema, somente o segundo corpo oscila. CORRETA� os corpos 1
e 3 não oscilam, como se pode ver pelo valor nulo nas coordenadas de seu vetor representativo da
correspondente frequência mais alta
14/05/2024, 21:32 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/66440293139d33d914011318/gabarito/
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