Mecânica Vibratória exercício 03

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A
B
C
D
E
1 Marcar para revisão
Considere uma viga que oscila lateralmente. Determine a
velocidade de propagação de onda em \(\mathrm{m} /
\mathrm{s}\). Considere que \�E�210 \mathrm{GPa}, A�1,2
\times 10^��2� \mathrm{~m}^2, L�1,4 \mathrm{~m},
\rho=7.580 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^3 \mathrm{e} I�\) \
�40 \times 10^��5� \mathrm{~m}^4\)
152
304
486
512
602
Questão não respondida
Questão 1 de 10
Em branco �10�
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
Exercicio Tipos De Vibrações Sair
Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o
gabarito comentado!
Gabarito Comentado
\(c=\sqrt{\frac{E I}{\rho A�� \Rightarrow
\sqrt{\frac{\left(210 \times 10^9\right)\left(4,0 \times
10^��5�\right)}{(7.580�\left(1,2 \times
10^��2�\right)}}�304 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\)
2 Marcar para revisão
Sistemas oscilatórios podem ser encontrados em diversas
situações. Um exemplo clássico são o sistema de
amortecimento presente nos veículos. Sabendo disso, as
frequências naturais do Sistema Automóvel representado
na figura abaixo săo \(f_1�1,04 \mathrm{~Hz}, f_2�1,45
\mathrm{~Hz}, f_3�8,15 \mathrm{~Hz}\) e \(f_4�10,89
\mathrm{~Hz}\)
Os autovetores correspondentes são, na ordem:
$$
\mathbf{u}_{\mathbf{1}}=\left[\begin{array}{c}
\mathbf{1} \\
�0,5132 \\
0,1281 \\
0,0199
\end{array}\right], \quad
\mathbf{u}_{\mathbf{2}}=\left[\begin{array}{c}
0,8014 \\
\mathbf{1} \\
�0,0290 \\
0,2715
\end{array}\right], \quad \mathbf{u}_3�\left[\begin{array}
A
B
C
{c}
�0,0138 \\
�0,0142 \\
0,0005 \\
\mathbf{1}
\end{array}\right], \quad
\mathbf{u}_{\mathbf{4}}=\left[\begin{array}{c}
�0,055 \\
0,0041 \\
\mathbf{1} \\
0,0001
\end{array}\right]
$$
O vetor grau de liberdade está arrumado da seguinte
forma:
$$
\mathrm{Z}=\left[\begin{array}{c}
z_{c h} \\
\theta \\
z_1 \\
z_2
\end{array}\right]
$$
Avaliando os valores, e conhecendo o vetor grau de
liberdade, é correto afirmar que, enquanto o veículo
trafega em uma pista ondulada de perfil senoidal, à medida
que sua velocidade aumenta, o primeiro e oúltimo grau de
liberdade a entrar em ressonância são, respectivamente
\(z_{c h} \in \theta\).
\(z_{c h} P Z_1\).
\�Z_{c h} \in Z_2\)
D
E
\(\theta\) e \�Z_{c h}\)
\(\theta\) e \(z_1\)
Questão não respondida
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gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A ressonância é identificada nos autovetores pela
coordenada de maior valor absoluto, e examinando os
valores, vê-se que o primeiro grau de liberdade a
entrar em ressonância é \(z_{c h}\) e o último é \(z_1\).
3 Marcar para revisão
Considere o aviẫo bimotor da figura abaixo, sabendo que
sua massa é de \�1.800 \mathrm{~kg}\) e que os motores
têm massa de \�150 \mathrm{~kg}\) cada. A distância L
mede \�1,65 \mathrm{~m}\). Usando a abordagem de
parâmetros concentrados, e considerando o modelo de
três graus de liberdade, calcule as frequências naturais,
em Hertz. Considere que \�E�6,9\� GPae que \�I�5,2 \times
10^��6� \mathrm{~m}^4\).
A
B
C
D
E
0, 1,89 e 2,04
0, 2,55 e 2,78
0, 3,02 e 3,32
0, 7,26 e 9,45
0, 11,88 e 12,84
Questão não respondida
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gabarito comentado!
Gabarito Comentado
O sistema de equações de movimento escrito em
forma matricial é:
$$
\left[\begin{array}{ccc}
m & 0 & 0 \\
0 & M & 0 \\
0 & 0 & m
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
\ddot{x}_1 \\
\ddot{x}_2 \\
\ddot{x}_3
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}
k_{\theta q} & -k_{\theta q} & 0 \\
-k_{\theta q} & \left(k_{\theta q}+k_{\theta q}\right) & -
k_{\theta q} \\
0 & -k_{\theta q} & k_{\theta q}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right]
$$
Chega-se à equação característica a partir do
determinante da matriz \(\Xi^��1� \mathbf{K}-\lambda
\mathbf{I}\) :
$$
\begin{aligned}
& \left|\begin{array}{ccc}
\frac{k_{\theta q}}{m}-\lambda & �\frac{k_{\theta q}}{m}
& 0 \\
-\frac{k_{\theta q}}{M} & \frac{2 k_{\theta q}}{M}-
\lambda & �\frac{k_{\theta q}}{M} \\
0 & �\frac{k_{\theta q}}{m} & \frac{k_{\theta q}}{m}-
\lambda
\end{array}\right|�0 \\
& �\lambda\left(k_{\theta q}-m \lambda\right)\left[(M�2
m) k_{\theta q}-M m \lambda\right]=0 \\
&
\end{aligned}
$$
São três raizes, sendo que uma delas é nula, o que
caracteriza o movimento de corpo rigido, quando o
aviẫo se desloca para cima e para baixo como um
todo, resultando em \(\omega_1�0\). As outras duas
frequências naturais são:
$$
\begin{gathered}
\omega_2�\sqrt{\frac{k_{\beta q}}{m}} \\
\omega_3�\sqrt{k_{\text {eq }}\left(\frac{M�2 m}{m
M�\right)}
\end{gathered}
$$
Sendo \(k_{\theta q}=3 E I / L̂ 3\), e considerando \
(m=150 \mathrm{~kg} M�1.800 \mathrm{~kg}, L�1,65
\mathrm{~m}, E�6,9 \mathrm{GPa} \mathrm{e}\) \
(I�4,6 \times 10^��6�\), tem-se que:
$$
k_{\theta q}=\frac{3\left(6,9 \times 10^9\right)\left(4,6
\times 10^��6�\right)}{1,65^3��21,2 \mathrm{kN} /
\mathrm{m}
$$
Consequentemente, as frequências naturais nẵo nulas
são:
$$
\begin{gathered}
\omega_2�\sqrt{\frac{k_{\theta q}}
{m}}=\sqrt{\frac{21.200��150���11,88 \mathrm{rad} /
\mathrm{s}=1,89 \mathrm{~Hz} \\
\omega_3�\sqrt{k_{\theta q}\left(\frac{M�2 m}{m
M�\right)}=\sqrt{(21.200�\left[\frac{1.800�2�150����150�
(1.800��\right]}=12,84 \mathrm{rad} / \mathrm{s}=2,04
\mathrm{~Hz}
\end{gathered}
$$
4 Marcar para revisão
O rotor de cauda de um velho helicóptero tem cinco pás,
todas de massa igual a \�1,8 \mathrm{~kg}\). 0 centro de
massa de cada pá dista \�220 \mathrm{~mm}\) do eixo de
giro. \�O\) conjunto redutor tem uma massa igual a \�34,8
\mathrm{~kg}\). A cauda do helicóptero é considerada uma
viga com rigidez equivalente e fração de amortecimento \
(\zeta=0,08\), e apresenta ressonância na frequência igual
a \�30 \mathrm{~Hz}\). Imediatamente antes da
decolagem, quando o rotor girava a \�1080 \mathrm{rpm}\),
A
B
C
D
E
uma pá se desprende, produzindo desbalanceamento.
Calcule a amplitude de oscilação, em milím etros, nessas
condições.
4
9
15
22
34
Questão não respondida
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gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A rigidez equivalente é:
$$
\begin{gathered}
k_V=m_{c j} \omega_n^2�\left(m_{c j-r_\theta}+5 \times
m_{p a}\right) \omega_n^2 \\
k_V��34,8�5 \times 1,8��2 \pi \times 30�^2�1,56 \times
10^6 \mathrm{~N} / \mathrm{m}
\end{gathered}
$$
desbalanceamento produzido pela pá que se solta é:
$$
m_{p a} r_{C M���1,8��0,22��0,396 \mathrm{~kg}
\mathrm{~m}
$$
Afrequência natural sem a pá é:
$$
\omega_n=\sqrt{\frac{k_V}{m_�C J}-m_{p
a}}}=\sqrt{\frac{1,56 \times 10^6��42���192,72
\mathrm{rad} / \mathrm{s}
$$
A razão entre as frequências é:
$$
\frac{\omega}{\omega_n}=\frac{(1.080��2 \pi) /(60��
{192,72��0,586
$$
A amplitude de oscilação é:
$$
\begin{gathered}
\mathbf{X}=\left[\frac{m_{p a} r_{C M���\left(m_{C j}-
m_{p a}\right)}\right] \frac{\left(\omega /
\omega_n\right)^2}{\sqrt{\left[1�\left(\omega /
\omega_n\right)^2\right]^2�\left[2 \zeta\left(\omega /
\omega_n\right)\right]^2}} \\
\mathbf{X}=\left[\frac{(1,8)�0,220����42��\right]
\frac{(0,586�^2��\sqrt{\left[1�(0,586�^2\right]^2�
[2�0,08��0,586��^2���4 \mathrm{~mm}
\end{gathered}
$$
5 Marcar para revisão
É muito comum utilizar sistemas de matrizes na resolução
de equações com muitas variáveis. Dentro deste contexto,
a  equação característica do sistema de três graus de
liberdade mostrado na figura abaixo é:
A
B
C
D
E
λ(λ
2 − 7k/3mλ + k
2/m
2) = 0
λ(λ
2 − 5k/3mλ + k
2/m
2) = 0
λ(λ
2 − k/mλ + k
2/m
2) = 0
λ(λ
2 − 1k/3mλ + k
2/m
2) = 0
λ(λ
2 − 3k/mλ + k
2/m
2) = 0.
Questão não respondida
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Gabarito Comentado
A matriz de rigidez é
$$
\mathrm{K}=\left[\begin{array}{ccc}
k & -k& 0 \\
-k & 2 k & -k \\
0 & -k & k
\end{array}\right]
$$
A matriz de inércia é e sua inversa săo:
$$
\Xi=\left[\begin{array}{ccc}
m & 0 & 0 \\
0 & 2 m & 0 \\
0 & 0 & 3 m
\end{array}\right] ; \Xi^��1��\left[\begin{array}{ccc}
�1 / m) & 0 & 0 \\
0 & �1 /(2 m)) & 0 \\
0 & 0 & �3 / m)
\end{array}\right]
$$
Amatriz dinâmica é: \�A�\Xi^��1� \mathrm{~K}\)
$$
A�\left[\begin{array}{ccc}
�1 / m) & 0 & 0 \\
0 & �1 / 2 m) & 0 \\
0 & 0 & �1 / 3 m)
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}
k & -k & 0 \\
-k & 2 k & -k \\
0 & -k & k
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
k / m & -k / m & 0 \\
-k / 2 m & k / m & -k / 2 m \\
0 & -k / 3 m & k / 3 m
\end{array}\right]
$$
Para encontrar a equação característica é preciso
resolver o determinante e igualá-lo a zero:
$$
\begin{aligned}
& \operatorname{det}(A�\lambda I��\left|\begin{array}
{ccc}
\{k / m-\lambda\� & -k / m & 0 \\
-k / 2 m & \{k / m-\lambda\� & -k / 2 m \\
0 & -k / 3 m & \{k / 3 m-\lambda\}
\end{array}\right|�0 \\
& \lambda\left(\lambda^2�\frac{7 k}{3 m}
\lambda+\frac{k^2}{m^2}\right)=0
\end{aligned}
$$
6 Marcar para revisão
Quer-se instalar um conjunto de antenas de telefonia
móvel que pesa \�32 \mathrm{kgf}\) no alto de uma torre, e
para cobrir a área desejada, é preciso que o equipamento
A
B
C
D
E
esteja a \�30 \mathrm{~m}\) de altura. \�A\) regiâo é
conhecida por registrar eventuais rajadas de vento que
atingem \�45 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\), epara garantir
o bom funcionamento, as oscilaçỗes não podem
ultrapassar \�30 \mathrm{~mm}\) nessas condiçôes. A
torre é cilíndrica, e o diâmetro de sua seção transversal
circular mede \�1,5 \mathrm{~m}\). Calcule qual deve ser a
rigidez equivalente da torre, em \(\mathrm{kN} /
\mathrm{m}\), para atender os requisitos. Considere \
(\rho_{A r}=1,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^3\) e
desconsidere o amortecimento.
13,88
138,8
1.388
13.880
138.800
Questão não respondida
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Gabarito Comentado
A expressãoo para o cálculo da amplitude de
oscilação é:
$$
\begin{aligned}
& \mathbf{X}=\left(\frac{\Phi}
{m_l}\right)\left[\frac{\left(\omega / \omega_n\right)^2}
{1�\left(\omega / \omega_n\right)^2}\right] \\
& \left(\frac{\mathbf{X} m_l}
{\Phi}\right)=\left[\frac{\left(\omega /
\omega_n\right)^2}{1�\left(\omega /
\omega_n\right)^2}\right] \Rightarrow\left(\omega /
\omega_n\right)^2�\left[1�\left(\omega /
\omega_n\right)^2\right]\left(\frac{\mathbf{X} m_l}
{\Phi}\right) \\
& \left(\omega /
\omega_n\right)^2\left[1�\left(\frac{\mathbf{X} m_l}
{\Phi}\right)\right]=\left(\frac{\mathbf{X} m_l}
{\Phi}\right) \Rightarrow\left(\omega /
\omega_n\right)^2�\frac{\left(\mathbf{X} m_l /
\Phi\right)}{1�\left(\mathbf{X} m_l / \Phi\right)}
\end{aligned}
$$
A constante \(\Phi\) é igual a: \(\Phi=0,317 \rho_{A r} H
D^3\)
$$
\Phi=0,317�1,20��30��1,50�^3�38,52
$$
Entâo:
$$
\begin{gathered}
\left(\omega / \omega_n\right)^2�\frac{\left(30 \times
10^��3�\right)(32) /�38,52���1�\left[\left(30 \times
10^��3�\right)(32) /�38,52�\right]}=2,43 \times 10^��2�
\\
\omega / \omega_n=\sqrt{2,43 \times 10^��2���0,156
\end{gathered}
$$
Afrequência de excitação a depende da velocidade do
vento:
$$
\omega=\frac{0,4 \pi}{D} v=\frac{0,4 \pi}
{(1,50��\left(\frac{45}{3,6�\right)=10,47 \mathrm{rad} /
\mathrm{s}
$$
Daí, tem-se que:
$$
\omega / \omega_n=0,156 \Rightarrow
\omega_n=\frac{\omega}{0,156��\frac{10,47�
{0,156��65,86 \mathrm{rad} / \mathrm{s}
$$
A rigidez equivalente do postée, então: \(k_{\theta
A
B
C
D
E
q}=m_2 \omega_n^2��32�\left(65,86^2\right)=138,81
\mathrm{kN} / \mathrm{m}\)
7 Marcar para revisão
Considere uma viga engastada em uma extremidade e livre
na outra. Agora, calcule a velocidade, em \(\mathrm{m} /
\mathrm{s}\), de onda em um eixo de \�20 \mathrm{~mm}\)
de diâmetro sujeito à torção sabendo que \�G�80
\mathrm{GPa}\) e \(\rho=7.800 \mathrm{~kg} /
\mathrm{m}^3\)
4, 0 × 102
8, 0 × 102
1, 6 × 103
3, 2 × 103
6, 4 × 103
Questão não respondida
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Gabarito Comentado
A expressão do cálculo da velocidade de onda é:
$$
c=\sqrt{G / \rho}=\sqrt{\frac{80 \times 10^9�
A
B
C
D
E
{7.800���3,2 \times 10^3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
$$
8 Marcar para revisão
Um poste de \�50 \mathrm{~m}\) de altura tem no topo um
lampadário que pesa \�70 \mathrm{~kg}\), e está instalado
em uma região onde o vento nessa altura pode alcançar \
�54 \mathrm{~km} / \mathrm{he}\) a densidade do ar é
igual a 1,10 \(\mathrm{kg} / \mathrm{m}^3\). O diâmetro é
constante e igual a \�2,20 \mathrm{~m}\). Calcule qual
deve ser a rigidez equivalente do poste, em \(\mathrm{kN}
/ \mathrm{m}\) para que a amplitude de oscilação seja
inferior a \�2 \mathrm{~mm}\). Desconsidere o
amortecimento.
2.617
4.322
6.795
8.570
9.315
Questão não respondida
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o
gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A expressão para o cálculo da amplitude de oscilação
é:
$$
\begin{aligned}
& \mathbf{x}=\left(\frac{\Phi}
{m_2}\right)\left[\frac{\left(\omega /
\omega_n\right)^2}{1�\left(\omega /
\omega_n\right)^2}\right] \\
& \left(\frac{\mathbf{X} m_l}
{\Phi}\right)=\left[\frac{\left(\omega /
\omega_n\right)^2}{1�\left(\omega /
\omega_n\right)^2}\right] \Rightarrow\left(\omega /
\omega_n\right)^2�\left[1�\left(\omega /
\omega_n\right)^2\right]\left(\frac{\mathbf{X} m_2�
{\Phi}\right) \\
& \left(\omega /
\omega_n\right)^2\left[1�\left(\frac{\mathbf{X} m_l}
{\Phi}\right)\right]=\left(\frac{\mathbf{X} m_l}
{\Phi}\right) \Rightarrow\left(\omega /
\omega_n\right)^2�\frac{\left(\mathbf{X} m_2 /
\Phi\right)}{1�\left(\mathbf{X} m_l / \Phi\right)}
\end{aligned}
$$
A constante \(\Phi\) é igual a: \(\Phi=0,317 \rho_{A r} H
D^3\)
$$
\Phi=0,317�1,10��50��2,20�^3�185,65
$$
Afrequência de excitaçăo w depende da velocidade
do vento:
$$
\omega=\frac{0,4 \pi}{D} v=\frac{0,4 \pi}
{(2,20��\left(\frac{54}{3,6�\right)=8,57 \mathrm{rad} /
\mathrm{s}
$$
Daí, tem-se que:
$$
\omega / \omega_n=2,75 \times 10^��2� \Rightarrow
\omega_n=\frac{\omega}{2,75 \times
10^��2���\frac{8,57}�2,75 \times 10^��2���311,56
\mathrm{rad} / \mathrm{s}
$$
A rigidez equivalente do poste é, então: \(k_{\theta
A
B
C
D
E
q}=m_2 \omega_n^2��70�\left(311,56^2\right)=6.795
\mathrm{kN} / \mathrm{m}\)
9 Marcar para revisão
Sistemas matriciais são utilizados na resolução de
sistemas com várias incógnitas. A equação característica
do sistema de três graus de liberdade mostrado na figura
abaixo é:
λ
3 − 8(k / m)λ
2 + 8(k / m)2
λ − (k / m)3 = 0
\(\lambda^3�8(k / m) \lambda^2�8(k / m)^2
\lambda-2(k / m)^3�0\)
\(\lambda^3�8(k / m) \lambda^2�8(k / m)^2
\lambda-3(k / m)^3�0\)
\�2 \lambda^3�8(k / m) \lambda^2�8(k / m)^2
\lambda-(k / m)^3�0\)
\�2 \lambda^3�8(k / m) \lambda^2�8(k / m)^2
\lambda-8(k / m)^3�0\)
Questão não respondida
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gabarito comentado!
Gabarito Comentado
A matriz de rigidez é
$$
K�\left[\begin{array}{ccc}
k & -k & 0 \\
-k & 2 k & -k \\
0 & -k & 2 k
\end{array}\right]
$$
A matriz de inércia é e sua inversa săo:
$$
\Xi=\left[\begin{array}{ccc}
m & 0 & 0 \\
0 & 2 m & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right] ; \Xi^��1��\left[\begin{array}{ccc}
�1 / m) & 0 & 0 \\
0 & �1 /(2 m)) & 0 \\
0 & 0 & �1 / m)
\end{array}\right]
$$
Amatriz dinâmica é: \�A�\Xi^��1� \mathrm{~K}\)
$$
A�\left[\begin{array}{ccc}
�1 / m) & 0 & 0 \\
0 & �1 / 2 m) & 0 \\
0 & 0 & �1 / m)
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}
k & -k & 0 \\
-k & 2 k & -k \\
0 & -k & 2 k
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
(k / m) & -(k / m) & 0 \\
-(k / 2 m) & (k / m) & -(k / 2 m) \\
0 & -(k / m) & (2 k / m)
\end{array}\right]
$$
Para encontrar a equação característica é preciso
resolver o determinante e igualá-lo a zero:
$$
\operatorname{det}(A�\lambda I��\left|\begin{array}
{ccc}
\{(k / m)-\lambda\� & -(k/ m) & 0 \\
-(k / 2 m) & \{(k / m)-\lambda\� & -(k / 2 m) \\
A
B
0 & -(k / m) & \{�2 k / m)-\lambda\}
\end{array}\right|�0
$$
Resolvendo o determinante e manipulando a equação,
tem-se:
$$
2 \lambda^3�8(k / m) \lambda^2�8(k / m)^2 \lambda-
(k / m)^3�0
$$
10 Marcar para revisão
Um ventilador de \�30 \mathrm{~kg}\) apresentando
desbalanceamento rotativo igual a \�0,18 \mathrm{~kg}
\mathrm{~m}\), preso a uma haste de comprimento
medindo \�1,2 \mathrm{~m}\), confeccionada em liga de
alumínio ( \�E�70 \mathrm{GPa}\) ) com \�I�2,2 \times
10^��6� \mathrm{~m}^4\) e comportamento de
amortecimento viscoso com \(\zeta=0,07\), quando gira a
uma velocidade de 800 rpm é mostrado na figura abaixo.
Calcule a amplitude de oscilação, em milímetros, mas
desprezando o efeito do amortecimento viscoso para
encontrar a amplitude de oscilação.
9,02
11,43
C
D
E
22,86
27,34
30,58
Questão não respondida
Opa! A alternativa correta é a letra C. Confira o
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Gabarito Comentado
A rigidez da hasteé igual a:
$$
k=\frac{3 E I��L̂ 3��\frac{3\left(70 \times
10^9\right)\left(2,2 \times 10^��6�\right)}{1,2^3��267,36
\times 10^3 \mathrm{~N} / \mathrm{m}
$$
Calcula-se sua frequência natural:
$$
\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{267,36 \times
10^3��30���94,4 \mathrm{rad} / \mathrm{s}
$$
Para calcular a amplitude de oscilação a \�N�800
\mathrm{rpm}\) é preciso obter a razão entre as
frequências de operação e natural:
$$
\phi=\frac{\omega}{\omega_n}=\frac{(800)�2 \pi) / 60�
{94,4��0,89
$$
A amplitude em regime permanente será de:
$$
\begin{gathered}
\mathbf{x}=\left(\frac{m_0 e}{m}\right)
\frac{\left(\omega / \omega_n\right)^2}{1�\left(\omega
/ \omega_n\right)^2} \\
\mathbf{x}=\left(\frac{0,18}�30�\right) \frac{(0,89�^2�
{1��0,89�^2��22,86 \mathrm{~mm}
\end{gathered}
$$