Sinais e Sistemas em Tempo Discreto

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Sinais e Sistemas em Tempo Discreto
Aula 01
Introdução
Eduardo Peixoto
Departamento de Engenharia Elétrica
Faculdade de Tecnologia
Universidade de Braśılia
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Sumário
Aula 01
Apresentação do Curso
Sinais em Tempo Discreto
Classificação de Sinais
Análise no Doḿınio do Tempo de Sistemas em Tempo Discreto
Processamento de Sinais Analógicos por Sistemas Discretos
Tamanho de Sinal em Tempo Discreto
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Apresentação
Prof. Eduardo Peixoto
Departamento de Engenharia Elétrica
Faculdade de Tecnologia
Sala BT-46/18
www.ene.unb.br/eduardop
eduardopeixoto@ieee.org
Processamento de Sinais, Imagens e V́ıdeo
Codificação de Sinais, Imagens, V́ıdeo, Nuvens de Pontos
Transcodificação de V́ıdeo
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Plano de Ensino
Teams
É imprescind́ıvel a inscrição no Teams da disciplina. Os alunos que não estiverem
matriculados devem solicitar a inscrição com o Professor. Todos os recursos (slides,
textos, exerćıcios, trabalhos) e a comunicação (notas, avisos, etc..) será feita por esse
canal.
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Plano de Ensino
Conteúdo Programático
1 Sinais e Sistemas em Tempo Discreto
2 Análise no Doḿınio do Tempo de Sistemas em Tempo Discreto
3 Análise de Sistemas em Tempo Discreto usando a Transformada Z
4 Amostragem: A Ponte entre Cont́ınuo e Discreto
5 Análise de Fourier de Sinais em Tempo Discreto
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Avaliações
Estão programadas duas provas individuais escritas nos dias:
Datas
1 Prova 01 - 09/05 (quinta-feira) de 10:00 às 12:00
2 Prova 02 - 04/07 (quinta-feira) de 10:00 às 12:00
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Avaliações
Notas e Menções
A nota final da disciplina (NF) será calculada de acordo com a equação:
NF = 0.40 ·
(
1
NT
NT∑
i=1
Ti
)
+ 0.10 ·
(
1
NL
NL∑
i=1
Li
)
+ 0.50 ·
(
1
NP
NP∑
i=1
Pi
)
onde Ti, Li e Pi correspondem às notas do i-ésimo trabalho, lista e prova,
respectivamente. Estão previstos quatro trabalhos (NT = 4, cada um valendo, então,
10% da nota), cinco listas (NL = 5, cada uma valendo, então, 2% da nota) e duas provas
(NP = 2, cada uma valendo, então, 25% da nota). A cada prova, lista e trabalho será
atribúıda uma nota em uma escala de 0 a 10. As provas serão escritas e individuais. Os
trabalhos deverão ser enviados pelo Teams, em datas a serem estabelecidas no decorrer
do semestre. A listas devem ser entregues em papel na data da prova, impreterivelmente.
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Avaliações
Critério de aprovação
Para ser aprovado na disciplina, é necessário que NF ≥ 5.0 e que a frequência do aluno
seja superior a 75%. A menção será atribúıda de acordo com as normas da UnB.
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Ética e Honestidade Estudantil
Ética e Honestidade Estudantil
A honestidade do aluno é essencial - será atribúıda a menção SR a qualquer aluno que
estiver envolvido me qualquer ato de plágio ou “cola”, de qualquer natureza, em
qualquer prova ou trabalho.
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Bibliografia
Bibliografia básica:
1 Livro Texto: Lathi, B. P., Sinais e Sistemas Lineares, Editora Bookman, Segunda
Edição, 2006.
2 Oppenheim, A. V., Willsky, A. S., Sinais e Sistemas, Editora Pearson, Segunda
Edição, 2010.
3 Haykin, S., Van Veen, B., Sinais e Sistemas, Editora Bookman, 2002.
Bibliografia Complementar:
1 Hsu, H., Sinais e Sistemas, Editora Bookman, Segunda Edição Coleção Schaum,
2012.
2 WIKIBOOKS.ORG - Signal and Systems, 2013.
https://en.wikibooks.org/wiki/Signals and Systems .
3 Lourtie, I. Sinais e Sistemas, Editora Escolar, 2007.
4 Kamen, E. W. e Heck, B.S., Fundamentals of Signals and Systems Using the Web
and MATLAB 3rd ed., Prentice-Hall, 2006.
5 Boulet, B. e Chartrand, L., Fundamentals of Signals and Systems, Da Vinci
Engineering Press, 2005.
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Bibliografia
Disponibilidade do Livro
Acredito que o livro esteja dispońıvel na Biblioteca Virtual da UnB (BCE Virtual):
Livro Texto: Lathi, B. P., Sinais e Sistemas Lineares, Editora Bookman, Segunda
Edição, 2006.
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Sinais em Tempo Discreto
Sinais em Tempo Discreto
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Túnel do Tempo
O ano é 1994...
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Televisão Analógica
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Televisão Analógica
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Televisão Analógica
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Fotografia Analógica
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Fotografia Analógica
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Fotografia Analógica
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Música Analógica
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Música Analógica
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Celular Analógico
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Celular Analógico
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Túnel do Tempo
E hoje?
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Televisão Digital
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Televisão Digital
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Televisão Digital
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Televisão Digital
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Fotografia Digital
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Fotografia Digital
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Fotografia Digital
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Música Digital
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Música Digital
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Música Digital
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Celular Digital
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Discreto vs Cont́ınuo
Sinais e Sistemas em Tempo Cont́ınuo
Sinais e Sistemas em Tempo Discreto
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Discreto vs Cont́ınuo
Sinais e Sistemas em Tempo Cont́ınuo Sinais e Sistemas em Tempo Discreto
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Discreto vs Cont́ınuo
Sinais e Sistemas em Tempo Cont́ınuo
Sinais e Sistemas em Tempo Discreto
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Discreto vs Cont́ınuo
Sinais e Sistemas em Tempo Cont́ınuo
Sinais e Sistemas em Tempo Discreto
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Sinais
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Sinais
Sinal
Um sinal é um conjunto de dados ou informação.
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Sinais
Sinal de Voz
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Sinais
Imagem
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Sinais
Bolsa de Valores
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Sinais
Em muitos casos o sinal é uma função da variável independente tempo, porém, este nem
sempre é o caso.
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Sinais
Sinais podem ser processados por um sistema, o qual pode modificá-lo ou extrair
informações adicionais.
Este sistema pode ser constrúıdo com componentes f́ısicos, elétricos, mecânicos,
hidráulicos, no que denominamos realização em hardware, ou pode ser um algoritmo
executado em um processador, o que denominamos realização em software.
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Classificação de Sinais
Sinais podem ser classificados em sinais cont́ınuos e sinais discretos no tempo.
Sinal Cont́ınuo no Tempo: são sinais especificados para valores cont́ınuos de
tempo t.
Sinal Discreto no Tempo: são sinais especificados para valores discretos de tempo
t.
Esta é uma definição diferente de função cont́ınua! ( limx→c f (x) = f (c) )
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Classificação de Sinais
Sinal Cont́ınuo no Tempo
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Sinal Discreto no Tempo
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
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Classificação de Sinais
Sinais podem ser classificados em sinais analógicos e sinais digitais.
Sinal Analógico: são sinais cuja amplitude possa assumir qualquer valor em uma
faixa cont́ınua.
Sinal Digital: são sinais cuja amplitude possa apenas assumir um conjunto finito
de valores.
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Classificação de Sinais
Sinal Analógico
0 5 10 15 20 25
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Sinal Digital
0 5 10 15 20 25
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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Classificação de Sinais
Isto é, a classificação do sinal depende de:
cont́ınuos / discretos → para quais valores da variável independente (em geral,
tempo) o sinal é especificado.
analógico / digital → valores da amplitude do sinal.
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Classificação de Sinais
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Análise no Doḿınio do Tempo de Sistemas em Tempo Discreto
Análise no Doḿınio do Tempo de Sistemas em Tempo
Discreto
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Análise no Doḿınio do Tempo de Sistemas em Tempo Discreto
Um sinal em tempo discreto é apenas uma sequência de números.
x = 1 2 3 4 5 4 3 4 5 6 7 8 7 6 4 2
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Análise no Doḿınio do Tempo de Sistemas em Tempo Discreto
Este sinal pode nascer discreto (ex: Ibovespa) ou aparecer como resultado da
amostragem de um sinal cont́ınuo (ex: mp3).
Sistemas cujas entradas e sáıdas são sinais em tempo discreto são chamados de sistemas
em tempo discreto ou sistemas discretos.
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Análise no Doḿınio do Tempo de Sistemas em Tempo Discreto
Notação
Sinal em tempo cont́ınuo x (t) t ∈ R
Sinal em tempo discretox [n] n ∈ Z
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Análise no Doḿınio do Tempo de Sistemas em Tempo Discreto
Um sinal em tempo cont́ınuo pode ser amostrado uniformemente em um peŕıodo T,
gerando amostras espaçadas:
0 5 10 15 20 25 30
t
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
y
x(t)
x[n]
T
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Análise no Doḿınio do Tempo de Sistemas em Tempo Discreto
Na notação:
x (t) para t = nT , com n ∈ N.
x [n] = x (nT )
Por exemplo:
x (t) = e−t
x [n] = x (nT ) = e−nT = e−0.1n para T = 0.1
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Análise no Doḿınio do Tempo de Sistemas em Tempo Discreto
Considere x (t) = cos (2π · 1 · t) .
Vamos amostrar com T = 0.1 s.
x [n] = x (nT )
= cos (2π · 1 · n · 0.1)
= cos (0.2πn)
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Análise no Doḿınio do Tempo de Sistemas em Tempo Discreto
Exemplo: Senóide com f = 1 Hz e amostragem T = 0.1 s.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
t
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y
x(t)
x[n]
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Análise no Doḿınio do Tempo de Sistemas em Tempo Discreto
Considere y (t) = cos (2π · 10 · t) .
Vamos amostrar com T = 0.01 s.
y [n] = y (nT )
= cos (20π · 1 · n · 0.01)
= cos (0.2πn)
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Análise no Doḿınio do Tempo de Sistemas em Tempo Discreto
Exemplo: Senóide com f = 10 Hz e amostragem T = 0.01 s.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
t
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y
y(t)
y[n]
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Análise no Doḿınio do Tempo de Sistemas em Tempo Discreto
Exemplo:
n x [n] y [n]
0 1.00 1.00
1 0.81 0.81
2 0.31 0.31
3 −0.31 −0.31
4 −0.81 −0.81
5 −1.00 −1.00
6 −0.81 −0.81
7 −0.31 −0.31
8 0.31 0.31
9 0.81 0.81
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Análise no Doḿınio do Tempo de Sistemas em Tempo Discreto
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Análise no Doḿınio do Tempo de Sistemas em Tempo Discreto
Ou seja, sinais cont́ınuos diferentes podem ser mapeados em sinais discretos iguais
quando analisamos apenas os pares n e x [n]!
Para diferenciá-los, precisamos conhecer a taxa de amostragem.
Para sinais em tempo discreto é comum trabalharmos apenas com os pares n e x [n] e
“esquecermos” a taxa de amostragem (na verdade, usarmos apenas quando necessário).
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Análise no Doḿınio do Tempo de Sistemas em Tempo Discreto
Processamento de Sinais Analógicos por Sistemas
Discretos
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Análise no Doḿınio do Tempo de Sistemas em Tempo Discreto
É comum processarmos sinais cont́ınuos usando sistemas discretos, utiizando conversores
cont́ınuo para discretos (C/D) e discretos para cont́ınuo (D/C).
Pergunta: qual a diferença de um conversor C/D para um conversor A/D (analógico para
digital)?
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Análise no Doḿınio do Tempo de Sistemas em Tempo Discreto
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Análise no Doḿınio do Tempo de Sistemas em Tempo Discreto
Tamanho de um Sinal em Tempo Discreto
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Análise no Doḿınio do Tempo de Sistemas em Tempo Discreto
A energia de um sinal em tempo discreto é dada por:
Ex =
∞∑
−∞
|x [n]|2
Para que Ex convirja, |x [n]| → 0 quando n → ∞.
Se Ex é finito, dizemos que o sinal x [n] é um sinal de energia.
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Análise no Doḿınio do Tempo de Sistemas em Tempo Discreto
A potência de um sinal em tempo discreto é dada por:
Px = lim
N→∞
1
2N + 1
N∑
−N
|x [n]|2
Se Px for finito e não-nulo, dizemos que o sinal x [n] é um sinal de potência.
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Análise no Doḿınio do Tempo de Sistemas em Tempo Discreto
Para sinais periódicos, podemos calcular Px em apenas um peŕıodo:
Px =
1
N0
N0−1∑
0
|x [n]|2
onde N0 é o peŕıodo do sinal.
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Análise no Doḿınio do Tempo de Sistemas em Tempo Discreto
Exemplo 3.1
Determine a energia do sinal x [n] abaixo:
x [n] =
{
n se 0 ≤ n ≤ 5
0 caso contrário
0
1
2
3
4
5
6
x
[n
]
-6 -4 -2 0 2 4 6
n
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Análise no Doḿınio do Tempo de Sistemas em Tempo Discreto
Exemplo 3.2
Determine a potência do sinal y [n] abaixo:
y [n] =
{
n se 0 ≤ n ≤ 5
periódico com peŕıodo 6
0
1
2
3
4
5
6
y
[n
]
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12
n
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Análise no Doḿınio do Tempo de Sistemas em Tempo Discreto
Exerćıcio 3.1
Mostre se o sinal x [n] é um sinal de energia, potência, ou nenhum dos dois quando
|a| < 1, |a| = 1 e |a| > 1 para:
x [n] =
{
an se n ≥ 0
0 caso contrário
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Referências
Este material foi elaborado com base nos seguintes caṕıtulos:
Lathi, Sinais e Sistemas Lineares, Seção 1.3
Lathi, Sinais e Sistemas Lineares, Seção 3.1
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Exerćıcios
Exerćıcios Propostos
Lista de Nivelamento
Lathi, Sinais e Sistemas Lineares, Ex. 3.1-1
Lathi, Sinais e Sistemas Lineares, Ex. 3.1-2
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