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1 VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA ENGENHARIA AMBIENTAL E ENGENHARIA CIVIL PROF. EDER JOSÉ SIQUEIRA 1 – VETOR: Segmento orientado. B Extremidade VETOR: Define-se: V - Módulo: Tamanho - Direção: da reta suporte VABAB =−= - Sentido: de A para B. A Origem 2 – Segmento Nulo: Origem ≡ Extremidade 3 – Segmento Oposto: BAAB −= (Em módulo tem o mesmo tamanho) B B A A 4 – Segmentos Eqüipolentes: Mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido B GHEFCDAB ≠≈≈ A F G D E H C 5 – Representantes de um Vetor: Um mesmo vetor AB é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, chamados representantes desse vetor, e todos eqüipolentes entre si. Assim um segmento determina um conjunto que é o mesmo vetor. As características de um vetor V são as mesmas de qualquer um de seus representantes , isto é: O módulo, a direção e o sentido dos representantes são os mesmos valores do vetor. 2 y 4 3 2 1 0 2 3 5 6 8 x 6 – Vetores Iguais: Dois vetores AB e CD são iguais se e somente se, CDAB ≈ 7 – Vetor Unitário: Um vetor V é unitário se .1=V 8 – Versor: É um vetor unitário de um vetor qualquer, que possui a mesma direção e o mesmo sentido do vetor. Seja U um vetor qualquer, o versor do vetor U é o vetor U V . U sendo que: V é versor de U W não é versor de U V W 1=== U U VV U 9 - Vetores Colineares: Dois vetores VeU são colineares, se tiverem a mesma direção. U Sendo que WeVU , são colineares. V W Z 3 10 – Vetores Coplanares: Dois vetores são sempre coplanares, pois dois vetores determinam a base de um plano. Três vetores podem ou não serem coplanares. 11 – Operações com vetores: • Adição: U S VUS += α V Pela lei dos Cossenos, temos: αcos...2 22 VUVUS ++= U S 90º V • Diferença: U D VUD −= α V Pela lei dos cossenos, temos: αcos...2 22 VUVUD −+= 22 VUS += 4 U 90º V • Multiplicação por um número real: Seja K um número real e U um vetor qualquer, temos: Se K > 1 O vetor resultante possui a mesma direção, o mesmo sentido, porém módulo é K vezes maoir. Se 0 < K < 1 O vetor resultante possui a mesma direção, o mesmo sentido, porém módulo é K vezes menor. Se K < - 1 O vetor resultante possui a mesma direção, o sentido contrário e o módulo é K vezes maior Se – 1 < K < 0 O vetor resultante possui a mesma direção, o sentido contrário e o módulo é K vezes menor. 12 – Coordenadas Retangulares de um Vetor: y y∆ V 22 yxV ∆+∆= 0 x∆ x 22 VUD += 5 Dois vetores determinam uma base no plano. Para facilitar os cálculos adotamos a base ortogonal no plano Cartesiano que é conhecida como “base Canônica”. y Base canônica: { }ji , ( )0,1=i ( )1,0=j y j 0 i x x y jyixV += V y j Se for no espaço ( R3 ), temos: Base Canônica: { }kji ,, z z k i x kzjyixV ++= x z No espaço, a base canônica é: ( )0,0,1=i ; ( )0,1,0=j e ( )1,0,0=k y Ex.: 16 Representação Geométrica: U jiU 1612 += no plano Representação Analítica: ( )16,12=U 0 12 x 6 Exemplos: 1 – Sejam os vetores jiU += 2 , jiV 6−= e jiW 105 +−= ; Calcule: a) VU + b) VU − c) 2 43 WVU −+ d) a = ? e b = ?, tal que WVbUa =+ 2 – Determine o versor do vetor jiV 32 += 3 – Determine o módulo do vetor soma de dois vetores que formam entre si um ângulo de 60º e cujos módulos valem 6 m e 8 m. 4 – Calcule o módulo do vetor soma de bea em cada caso: a) Sendo: cma 3= cmb 25= a 45º b b) a Sendo: mbma 85 == 120º b 5 – Calcule o ângulo formado por dois vetores, de módulos 5 unidades e 6 unidades, e cujo vetor soma tem módulo 61 unidades. 6 – Determine o módulo de dois vetores, ,VeU perpendiculares entre si e atuantes num mesmo ponto, sabendo que seus módulos estão na razão 4 3 e que o vetor soma de VeU tem módulo 10. 7 13 – Projeção de um Vetor no Plano ( Componentes Retangulares de um Vetor ) y y α x x αcosVV x = αsenVV y = Ex: 1 – Determinar o módulo, a direção e o sentido do vetor resultante do sistema abaixo: e y Sendo: 3=a a 4=b 20º 6=c 45º b 9=d x 8=e 50º d c 8 14 – Expressão Analítica de um Vetor: No Plano: No Espaço: ( )yxV ,= ( )zyxV ,,= Ex: a) No Plano: ( )1,1−=⇒+−= UjiU ( )3,03 =⇒= VjV ( )0,1010 −=⇒−= WiW b) No Espaço: ( )0,1,1−=⇒+−= UjiU ( )9,3,5935 −=⇒+−= VkjiV ( )0,2,02 −=⇒−= WjW 15 – Igualdade e Operações com Vetores: • Igualdade: Dois vetores ( )11 , yxU = e ( )22 , yxV = são iguais, se e somente se 2121 yyexx == • Operações: Sejam os vetores ( )11 , yxU = e ( )22 , yxV = , então: a) ( ) ( ) ( )2121221,1 ,, yyxxyxyxVU ++=+=+ b) ( ) ( ) ( )2121221,1 ,, yyxxyxyxVU −−=−=− c) k. ( ) ( )1111 ,,. kykxyxkU == OBS.: Para o Espaço adotam-se as mesmas condições de igualdade e operações. Ex: 1 – Dados os vetores ( )3,1,4=U e ( )5,6,2=V , calcular: a) VU + b) VU 32 − c) VU 2 1 3 2 + 9 16 – Propriedades dos Vetores no Plano: a) Para quaisquer vetores ,, WeVU tem-se: ( ) ( ) ComutativaWVUWVU ++=++ NeutroElementoUU =+ 0 ( ) OpostoElementoUU 0=−+ b) Para quaisquer vetores ,, WeVU e os números reais m e n, tem-se: ( ) ( )VnmVnm .. = ( ) ComutativaVnVmVnm +=+ ( ) AdiçãoçãomultiplicaarelaçãoemvaDistributiVmUmVUm /+=+ NeutroElementoVV =.1 Exercícios: 1 – Calcular o valor de “a” para que o vetor )2,( −= aU tenha módulo 4. 2 – Calcular o valor de “a” para que o vetor ) 2 1 ,(aU = seja unitário. 3 – Dado o vetor ( )3,1 −=V , determinar um vetor paralelo a V que tenha: a) sentido contrário ao de V e 2 vezes o módulo de V ; b) sentido contrário de V e módulo 4. 4 – Determinar o vetor W na igualdade WVUW +=+ 2 1 23 , sendo dados: ( )1,3 −=U e ( )4,2−=V . 5 – Encontrar os números 21 aea tais que: ,21 VaUaW += sendo ( ) ( ) ( )8,12,4,2,1 −=−== WeVU . 6 – Dados os pontos A(-1 , 2), B(3 , -1) e C(-2 , 4), determinar D(x , y) de modo que . 2 1 ABCD = aAssociativUVVU +=+ 10 17– Igualdade e Operações com vetores no Espaço: • Igualdade: Se ( ) ( ),,,,, 222111 zyxVezyxU == se VU = , tem-se: 212121 , zzeyyxx === • Operações: Dados VeU , tem-se: ( )212121 ,, zzyyxxVU +++=+ ( )212121 ,, zzyyxxVU −−−=− Sendo ,ℜ∈a então ( )111 ,,. azayaxUa = Se ( )222111 ,,),,( zyxBezyxA são dois pontos quaisquer no espaço, então: ( )121212 ,, zzyyxxABAB −−−=−= 18 – Condição de Paralelismo entre dois vetores: Dois vetores ( ) ( )222111 ,,,, zyxVezyxU == são colineares ou paralelos, se existe um k tal que VkU = , ou seja: 2 1 21 x x kkxx =⇒= 2 1 21 y y kkyy =⇒= 2 1 21 z z kkzz =⇒= Ex. 1 – Os vetores ( ) ( )8,6,44,3,2 −−=−−= VeU são paralelos? Exercícios: 1 – Dados os pontos )1,2,1()1,1,0( −− BeA , e os vetores ( ) ( ) ( )2,2,21,0,3,1,1,2 −=−=−−= WeVU , verificar se existem os números 321, aeaa . Tais que VaUaABaW 321 ++= . 11 2 – Dados os pontos ( ) ( ) ( )1,1,22,3,2,4,2,1 −ReQP , determinar as coordenadas de um ponto S tal que P, Q, R e S sejam vértices de um paralelogramo. 3 – Determinar o valor de nem para que sejam paralelos os vetores ( ) ( )12,2,41,3,1 −=+= nVemU . 4 – Dados os vetores ( ) ( ),2,11,3 −=−= VeU determinar o vetor W , tal que: a) ( ) WUWVU −=+− 2 3 1 4 b) ( ) ( )UWUVW 34223 −=−− 5 – Dados os vetores ( ) ( ) ( ),6,121,5,4,2 −=−=−= WeVU determinar 21 kek , tal que VkUkW 21 += . 6 – Dados os pontos ( ) ( )2,5,41,3,2 −− BeA , determinar o ponto P tal que: a) ABAP 3= 7 – Encontrar os números 21 aea tal que VaUaW 21 += , sendo ( ) ( ) ( )14,4,44,0,2,1,2,1 −−=−=−= WeVU 8 – Verificar se os pontos ( ) ( ) ( )1,7,23,1,2,0,5,1 −−−−− CeBA são colineares. 9 – Mostrar que os pontos ( ) ( ) ( ) )3,1,2(5,2,33,1,5,1,0,4 DeCeBA são vértices de um paralelogramo. 10 – Determinar o simétrico do ponto ( )2,1,3 −P em relação ao ponto ( )3,0,1 −−A . 12 PRODUTO ESCALAR Sejam os vetores kzjyixVekzjyixU 222111 ++=++= , o produto escalar do vetor U com o vetor V é indicado por VU . e é obtido da seguinte forma: ( )( ) 212121222111 ....,,.,,. zzyyxxVUzyxzyxVU ++=⇒= OBS.: O Produto Escalar além de ser representado por ,.VU pode ser representado por ., >< VU 1 – Módulo de um Vetor: Seja o vetor ( )zyxV ,,= , seu módulo é obtido: ( )( ) 222,,.,,. zyxVzyxzyxVVVV ++=⇒=⇒= Ex.: 1 – Se ( )2,1,2 −=V , então V é: ( ) 39414212 222 =⇒=⇒++=⇒−++= VVVV 2 – O versor do vetor V do item 1, é : V V V V = ( ) −=⇒ − =⇒= 3 2 , 3 1 , 3 2 3 2,1,2 VVV VV V V V Cálculo do módulo do versor 1 9 9 9 4 9 1 9 4 3 2 3 1 3 2 222 =⇒=⇒++=⇒ −+ + = VVVV VVVV 3 – Distância entre dois pontos: Sejam os pontos ( ) ( )222111 ,,,, zyxBezyxA , a distância entre os pontos BeA é determinada por: ( ) ( ) ( )212 2 12 2 12 zzyyxxABdAB −+−+−== 13 Ex.: 1 – Sabendo que a distância entre os pontos ( ) ( )mBeA ,1,13,2,1 −− é 7, calcular .m 2 – Determinar α para que o vetor −= 4 1 , 2 1 ,αV seja unitário. 4 – Propriedades do Produto Escalar: Para quaisquer que sejam os vetores ( )111 ,, zyxU = , ( )222 ,, zyxV = , ( )333 ,, zyxW = e ℜ∈m , é fácil verificar que: i) 0. >UU e 0. =UU , se e somente se ( )0,0,00 ==U ii) ComutativaUVVU .. = iii) ( ) vetoresdeaudiçãoarelaçãoemvaDistributiWUVUWVU ... +=+ iv) ( ) ( ) ( )VmUVUmVUm ...... == v) ( ) UUUfatodeUUU .. 2 == 5 – Ângulo entre dois vetores: U θ V θcos... VUVU = 6 – Condição de Ortogonalidade: Dois vetores ( )111 ,, zyxU = e ( )222 ,, zyxV = são ortogonais ou perpendiculares se e somente se: 0. =VU 14 Exercícios: 1 – Verificar se o vetor ( )2,3,2−=U é ortogonal ao vetor ( )4,2,1−=V . 2 – Calcular o ângulo entre os vetores ( )4,1,1=U e ( )2,2,1−=V . 3 – Sabendo que o vetor ( )1,1,2 −=V forma um ângulo de 60º com o vetor AB determinado pelos pontos ( ) ( )mBeA ,0,42,1,3 − , calcular .m 4 – Determinar os ângulos internos ao triângulo ABC , sendo )3,3,3( −A , ( ) ( )2,0,12,1,2 CeB − , 7 – Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um Vetor: Seja o vetor kzjyixV ++= , ângulos diretores do vetor V são os ângulos γβα ,, que o vetor forma com os vetores keji , situados sobre os eixos coordenados .,, zyx y V β j α k γ i x z iV iV Cos . . =α iV iV arcCos . . =α jV jV Cos . . =β jV jV arcCos . . =β kV kV Cos . . =γ kV kV arcCos . . =γ 15 Ex: 1 – Calcular os cossenos diretores e os ângulos diretores do vetor ( )3,2,6 −=V . 2 – Dados os pontos ( ) ( )3,1,33,2,2 −− BeA , calcular os ângulos diretores do vetor .AB 8 – Propriedades dos Ângulos Diretores e Cossenos Diretores: i) Seja o vetor kzjyixV ++= , designamos o versor do vetor V por V V V V = , então obtemos: ( ) ( )γβα CosCosCosV V z V y V x V V zyx V VVV ,,,, ,, =⇒ =⇒= ii) 1= V V ( ) 1,, =γβα CosCosCos 1222 =++ γβα CosCosCos Ex: 1 – Os ângulos diretores de um vetor são α , 45º e 60º. Determine α . 2 – Um vetor V forma com os vetores jei ângulos de 60º e 120º respectivamente. Determinar o vetor V , sabendo que .2=V 9 – Projeção de um vetor sobre outro Vetor: U VUojPr V 16 V VV VU Uoj V . . . Pr = Ex: 1 – Determinar o vetor projeção de ( )4,3,2=U sobre ( )0,1,1 −=V 2 – Sejam os pontos ( ) ( ) ( )2,1,21,0,1,1,2,1 CeBA −−− ; Pede-se: a) Mostrar que o triângulo ABC é retângulo em A ; b) Calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC ; c) Determinar o pé da altura do triângulo relativa ao vértice A . PRODUTO VETORIAL: Dados os vetores kzjyixVekzjyixU 222111 ++=++= , tomados nesta ordem chama-se “Produto Vetorial” dos vetores VeU , e se representa por VUouVxU ∧ , ao vetor: ( ) ( ) ( )kyxyxjzxizyzyVU yx yx ji zyx zyx kji VU 1221121221 22 11 222 111 ..... −++−=∧⇒=∧ Ex: 1 – Calcule o produto vetorial dos vetores .345 kiVekjiU +=++= 1 – Propriedades do Produto Vetorial: i) 0=∧UU qualquer que seja U , pois θsenUUUU ..=∧ ii) UVVU ∧−=∧ iii) ( ) WUVUWVU ∧+∧=+∧ iv) ( ) ( ) 0,.. ≠ℜ∈∧=∧ memVUmVUm v) 0=∧VU se e somente se um dos vetores é nulo ou se VeU são colineares ( )00 1800 == θθ ou 17 vi) VU ∧ é ortogonal simultâneamente aos vetores, VeU vii) Módulo do Produto Vetorial: θsenVUVU ..=∧ Direção: Perpendicular ao plano definido por VeU Sentido: Regra da mão direita VU ∧ V U U V VU ∧ ix) ABCDramoParaledoÁreaVU log=∧ VU ∧ V VU ∧ = Área do Paralelogramo U OBS.: A área de um triângulo é 2 1 da área do Paralelogramo. Exercícios: 1 – Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores ( ) ( )1,3,43,6,2 =−= VeU . 2 – Dados os vetores ( ) ( )3,1,01,2,1 −=−= VeU , calcular a área doparalelogramo determinado pelos vetores ( ).3 UVeU − 18 3 – Sejam os vetores ( ) ( )2,0,1,1,3 aVeU =−= . Calcular o valor de ''a para que a área do paralelogramo determinado por VeU seja igual a .62 4 – Calcular a área do triângulo de vértices ( ) ( ) ( )3,3,14,1,2;1,2,1 −−−− CeBA PRODUTO MISTO Dados os vetores kzjyixWekzjyixVkzjyixU 333222111 , ++=++=++= , tomados nesta ordem, chama-se Produto Misto dos vetores WeVU , ao número real ( )WVU ∧. . Indica-se o produto misto por ( )WVU ,, . Tendo em vista que: ( ) alNúmero yx yx yx zyx zyx zyx WVU Re,, 33 22 11 333 222 111 == Ex.: 1 – Calcular o produto misto dos vetores ekjiVkjiU 33,532 ++−=++= 1 – Propriedades do Produto Misto: i) ( ) 0,, =WVU se e somente se um dos vetores é nulo, se dois deles são colineares, ou se os três são coplanares. ii) O produto misto independe da ordem circular dos vetores ( ) ( ) ( ).,,,, ,, VUWUWVWVU == Entretanto o produto misto muda de sinal quando se trocam as posições de dois vetores consecutivos, isto é: ( ) ( )WUVWVU ,,,, −= iii) ( ) ( ) ( )RVUWVURWVU ,,,,,, +=+ iv) ( ) ( ) ( ) ( )WVmUWVUmWVUmWmVU ,,,,,,,, === OBS.: O produto vetorial e o produto misto não são definidos no .2R kjiW 234 +−= 19 Exercícios: 1 – Verificar se são coplanares os seguintes vetores: ( ),4,1,3 −=U kiV −= e ( ).0,1,2 −=W 2 – Qual deve ser o valor de m para que os vetores ( ),1,2, −= ma kjib 3+−= e kjc 42 +−= sejam coplanares? 3 – Verificar se os pontos ( ) ( ) ( ) ( )3,1,22,2,0,2,0,1,4,2,1 −−−− DeCBA estão no mesmo plano. 2 – Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto: VU ∧ W V U ( ) pedoParalelepídoVolumeWVU =,, OBS.: O Volume do Tetraedro é 6 1 do volume do Paralelepípedo. 20 ESTUDO ANALÍTICO 1. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS: y yB B yA A θ xA xB x ( ) ( )22 ABAB yyxxd −+−= 2. RAZÃO DE SECÇÃO: y y2 P2 y2 – y y P N x2 – x y – y1 y1 P1 M x – x1 x1 x x2 x r PP PP xx xx PN MP == − − = 2 1 2 11 desenvolvendo, obtemos: r rxx x + + = 1 21 , por analogia temos: r ryy y + + = 1 21 OBS.: Quando P é um ponto interno a P1P2, r é positivo; Quando P é um ponto externo a P1P2, r é negativo. 21 3. INCLINAÇÃO E COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA: Y r B yB yB - yA yA A α xB - xA xA xB x Inclinação: AB AB xx yy arctg − − =α Coeficiente angular da reta (declividade): AB AB xx yy tgm − − == α 4. RETAS PARALELAS E PERPENDICULARES: Duas retas r e s são paralelas, se e somente se: sr mm = . Duas retas r e s são perpendiculares, se e somente se: s r m m 1 −= . 22 5. ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS: y r s θ x sr sr mm mm tg .1+ − =θ Sendo: rm , coeficiente angular da reta extremidade; sm , coeficiente angular da reta origem; θ é o ângulo entre as retas r e s. 6. ÁREA DE UM POLÍGONO SENDO CONHECIDO SEUS VÉRTICES: Triângulo ABC, sendo A(xA, yA); B(xB, yB) e C(xC, yC). 1 1 1 2 1 CC BB AA yx yx yx A = ou AA CC BB AA yx yx yx yx A 2 1 = Pentágono ABCDE, sendo A(xA, yA); B(xB, yB); C(xC, yC); D(xD, yD) e E(xE, yE). AA EE DD CC BB AA yx yx yx yx yx yx A 2 1 = 23 7. ESTUDO DA RETA: – EQUAÇÃO GERAL DA RETA: 0=++ cbyax Coeficiente angular da reta partindo de sua equação: b a m −= , declividade da reta em relação ao eixo x. Coeficiente linear da reta partindo de sua equação: b c n −= , ponto onde a reta corta o eixo y. – EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA: b c x b a y −−= ou seja: – EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DA RETA: 1=+ b y a x Sendo a = abscissa à origem do plano cartesiano; b = ordenada à origem do plano cartesiano. ( 0, b ) b ( a , 0 ) a nmxy += 24 – EQUAÇÃO DA RETA QUE PASSAM POR UM PONTO DADO: Seja o ponto ),( 00 yxP , um ponto por onde passa a reta, para se obter a equação da reta utilizamos a fórmula: ( ) ( )00 xxmyy −=− – EQUAÇÃO DA RETA QUE PASSAM POR DOIS PONTOS DADOS: Sejam os pontos ),( 111 yxP e ),( 222 yxP , pontos por onde a reta passa, para se obter a equação da reta que passa por estes dois pontos podemos utilizar: 21 21 1 1 xx yy xx yy − − = − − ou 0 1 1 1 22 11 = yx yx yx – EQUAÇÃO NORMAL DA RETA: y A N p ϖ B 0 Seja a reta 0N a reta Normal à reta AB, sua equação pode ser obtida utilizando a fórmula: 0=−+ pysenxcox ϖϖ 25 – REDUÇÃO À FORMA NORMAL: Dada a equação geral Ax + By + C = 0 para se obter a equação da reta normal a partir da reta geral, aplicamos a fórmula: 0 222222 = +± + +± + +± BA C y BA B x BA A OBS.: Sendo que o sinal ± dependerá do sinal de C, ou seja, o sinal será sempre contrário ao sinal de C da equação geral. Quando não existir C na equação geral, será o mesmo sinal de B da equação geral. – DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA: Seja o ponto ),,( 00 yxP sua distância à reta r: de equação 0=++ cbyax é obtida aplicando a fórmula: 22 00 , ba cbyax d rp + ++ = – EQUAÇÃO DA RETA QUE PASSA PELA INTERSEÇÃO ENTRE DUAS RETAS EM UM PONTO DADO: Sejam as retas r: 0111 =++ cybxa e s: 0222 =++ cybxa que se interceptam no ponto ( )00 , yxP , dado, podemos obter a equação da reta que passa por esta interseção, aplicando a fórmula 0)( 222111 =+++++ cybxaKcybxa 8. EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA: A equação geral da circunferência é toda equação escrita na forma: 022 =++++ FEyDxAyAx Para se determinar a equação da circunferência, basta obtermos duas informações básicas, ou seja: As coordenadas do Centro da circunferência e o valor do raio, e utilizar a equação típica cartesiana para escrever a equação geral. 26 Considerando que o centro da circunferência é o ponto C(h, k) e que o valor do raio é r, a equação típica passa a ser: Circunferência com centro na origem do plano cartesiano: 222 ryx =+ Circunferência com centro fora da origem do plano cartesiano: 222 )()( rkyhx =−+− Fórmulas para determinar as coordenadas do centro da circunferência e o valor do raio a partir da equaçãogeral da circunferência. Seja a equação geral 022 =++++ FEyDxyx Coordenada do Centro: −− 2 , 2 ED Valor do Raio: FEDr 4 2 1 22 −+= 27 9. ESTUDO DAS CÔNICAS: 9.1 – PARÁBOLA: Definição: Todo ponto P(x, y), situado em um lugar geométrico de forma que a distância deste ponto a um ponto fixo (Foco) é igual a distância deste mesmo ponto a uma reta fixa (Diretriz), este ponto está situado sobre uma Parábola. D y M P(x, y) a a DD’ = Diretriz F(a, 0) = Foco a = Distância do vértice ao foco V F (a, 0) x e distância do vértice à diretriz V(0, 0) = Vértice na origem D’ ( ) ( ) 22 22 01 01 + + =−+−⇒= ax yax PM PF , desenvolvendo, chegamos a equação típica da parábola com vértice na origem do plano cartesiano e eixo de simetria em x: O sinal ± depende da posição da parábola, ou seja, se estiver a direita da diretriz o sinal é positivo, se estiver a esquerda da diretriz o sinal é negativo. Se o eixo de simetria for o eixo dos y e a parábola estiver com vértice na origem do plano cartesiano, então a equação típica será: axy 42 ±= 28 F(0, a) P(x, y) a v a D D’ O sinal ± depende da posição da parábola, ou seja, se estiver acima da diretriz o sinal é positivo, se estiver abaixo da diretriz o sinal é negativo. - COMPRIMENTO DA CORDA FOCAL MÍNIMA: - EQUAÇÃO DA DIRETRIZ COM VÉRTICE NA ORIGEM: Com eixo de simetria em x: 0=± ax , o sinal depende da posição da parábola. Com eixo de simetria em y: 0=± ay , o sinal depende da posição da parábola. - EXCENTRICIDADE DA PARÁBOLA: - EQUAÇÃO TÍPICA DA PARÁBOLA COM VÉRTICE FORA DA ORIGEM: Seja o vértice de coordenada ( )kh, , temos: ayx 42 ±= aLR 4= 1=e 29 Eixo de simetria paralelo ao eixo x: Eixo de simetria paralelo ao eixo y: 9.2 – ELIPSE: Definição: Todo ponto P(x, y) situado sobre um lugar geométrico, de forma que a soma das distâncias deste ponto a dois pontos fixos (Focos) é igual a uma constante 2a (eixo maior), este ponto está situado sobre uma elípse. y D D P(x, y) x 2a D’ D’ Pela definição temos: ( ) ( ) ( ) ( ) aycxycx 200 2222 =−+−+−++ , desenvolvendo a equação, obtemos a equação típica da elipse com centro na origem e eixo maior em x: Se o centro da elipse estiver na origem e o eixo maior sobre o eixo y, a equação típica será: Comprimento do eixo Maior da Elipse: 2a Comprimento do eixo Menor da Elipse: 2b ( ) ( )hxaky −±=− 42 ( ) ( )kyahx −±=− 42 1 2 2 2 2 =+ b y a x 1 2 2 2 2 =+ a y b x 30 a = Distância do centro da elipse aos vértices; b = Distância do centro da elipse às menores extremidades da elipse; c = Distância do centro da elipse aos focos. DD’ = Diretrizes Na Elipse, temos: y P(x, y) x 2b Focos: F( - c, 0 ) e F’( c, 0 ) eixo maior em x e centro na origem; F( 0, - c ) e F’( 0, c ) eixo maior em y e centro na origem; Vértices: V( - a, 0) e V’( a, 0 ) eixo maior em x e centro na origem; V( 0, - a ) e V’( 0, a ) eixo maior em y e centro na origem. - COMPRIMENTO DA CORDA FOCAL MÍNIMA: - EQUAÇÕES DAS DIRETRIZES, ELIPSE COM CENTRO NA ORIGEM: Eixo maior sobre o eixo dos x: Eixo maior sobre o eixo dos y: - EQUAÇÃO TÍPICA DA ELÍPSE COM CENTRO ( )kh, , FORA DA ORIGEM: Com eixo maior paralelo ao eixo dos x: a b LR 22 = 0=± e a x 0=± e a y ( ) ( ) 1 2 2 2 2 = − + − b ky a hx 222 cba += 31 Com eixo maior paralelo ao eixo dos y: - EXCENTRICIDADE: e < 1 9.3 – HIPÉRBOLE: Definição: Todo ponto P(x, y) situado sobre um lugar geométrico, de forma que a diferença das distâncias deste ponto a dois pontos fixos (Focos) é igual a uma constante 2a (eixo transverso), este ponto está situado sobre uma hipérbole. y D D P(x, y) a c D’ D’ 2a Focos: F( - c, 0 ) e F’( c, 0 ) eixo transverso em x e centro na origem; F( 0, - c ) e F’( 0, c ) eixo transverso em y e centro na origem; Vértices: V( -a, 0 ) e V’( a, 0 ) eixo transverso em x e centro na origem; V( 0, - a ) e V’( 0, a ) eixo transverso em y e centro na origem Pela definição, temos: ( ) ( ) ( ) ( ) aycxycx 200 2222 =−+−−−++ , desenvolvendo esta equação obtemos a equação típica da hipérbole com centro na origem e eixo transverso sobre o eixo dos x: ( ) ( ) 1 2 2 2 2 = − + − a ky b hx 1 2 2 2 2 =− b y a x a ba a c e 22 − == 32 Com eixo transverso sobre o eixo dos y e centro na origem a equação típica da hipérbole passa a ser: Comprimento do eixo transverso (eixo real): 2a Comprimento do eixo não transverso (eixo imaginário): 2b a = Distância do centro da hipérbole aos vértices; c = Distância do centro da hipérbole aos focos; DD’ = Diretrizes. b = Distância do centro da hipérbole a um ponto imaginário. Na hipérbole: - COMPRIMENTO DA CORDA FOCAL MÍNIMA: - EQUAÇÕES DAS DIRETRIZES COM A HIPÉRBOLE COM CENTRO NA ORIGEM: Com eixo transverso sobre o eixo dos x; Com eixo transverso sobre o eixo dos y. - EQUAÇÃO TÍPICA DA HIPÉRBOLE COM CENTRO ( )kh, , FORA DA ORIGEM: Com eixo transverso paralelo ao eixo dos x: 1 2 2 2 2 =− b x a y 222 bac += a b LR 22 = 0=± e a x 0=± e a y ( ) ( ) 1 2 2 2 2 = − − − b ky a hx 33 Com eixo transverso paralelo ao eixo dos y: - EXCENTRICIDADE: e > 1 - EQUAÇÕES DAS ASSINTOTAS: Com centro na origem e eixo transverso em x: Com centro na origem e eixo transverso em y: Com centro ( )kh, fora da origem e eixo transverso paralelo ao eixo dos x: Com centro ( )kh, fora da origem e eixo transverso paralelo ao eixo dos y: ( ) ( ) 1 2 2 2 2 = − − − b hx a ky a ba a c e 22 + == x a b y ±= x b a y ±= ( ) ( )hx a b ky −±=− ( ) ( )hx b a ky −±=− 34 10 - TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS: TRANSLAÇÃO: y y’ ( h, k ) x’ (Novos eixos transladados) ( 0, 0 ) x (Eixos Primitivos) ROTAÇÃO: Equação Geral do 2º. Grau: y 022 =+++++ FEyDxcyBxyAx y’ x’ CA B tg − =θ2 θ B2 – 4AC = 0 Parábola B2 – 4AC < 0 Elipse X B2 – 4AC > 0Hipérbole hxx += ' kyy += ' θθ senyxx 'cos' −= θθ cos'' ysenxy += 35 11 - COORDENADAS POLARES: ),( θrP r θ O Eixo Polar y ),( yxP r y θ O x x (Plano Cartesiano/Eixos Coordenados) 11.1 – Relação entre coordenadas Polares e Cartesianas: 11.2 – Distância entre dois pontos: d 2r 1r 2θ 1θ x O θcosrx = θrseny = 22 yxr += x y arctg=θ )cos(2 1221 2 2 2 1 θθ −−+= rrrrd 36 11.3 – Equação da Circunferência com centro em ),( 11 θr e raio 1r : , quando centro é ( )00,a e raio a . 11.4 – Equação das Cônicas: Com a diretriz perpendicular ao eixo polar e a esquerda do ponto ),( θrP ; Com a diretriz perpendicular ao eixo polar e a direita do ponto ),( θrP ; Com a diretriz paralela ao eixo polar e abaixo do ponto ),( θrP ; Com a diretriz paralela ao eixo polar e acima do ponto ),( θrP ; 12 – ESTUDO DO PLANO: Todo plano é representado por uma equação do primeiro grau com três variáveis x, y e z. A proposição recíproca também é verdadeira. Toda equação do primeiro grau com três variáveis x, y e z representa um plano. A equação geral de um Plano é 0=+++ DCzByAx , desde que A, B e C não sejam simultaneamente nulos. A equação de uma família de planos que passam pelo ponto ),,( 000 zyxP é: 0)()()( 000 =−+−+− zzCyyBxxA 2 11 2 1 2 )cos(2 arrrr =−−+ θθ θcos2ar = θcos1 e ep r − = θcos1 e ep r + = θesen ep r − = 1 θesen ep r + = 1 37 - RETA PERPENDICULAR A UM PLANO: Uma reta é perpendicular a um plano se os parâmetros diretores a, b, c da reta forem proporcionais aos coeficientes de x, y, e z da equação do plano, e somente neste caso. Se a, b, c, A, B e C forem todos diferentes de zero, a condição C c B b A a == , poderá ser satisfeita e, nesse caso, a reta e o plano serão perpendiculares entre si. - PLANOS PARALELOS E PERPENDICULARES: Dois planos 01111 =+++ DzCyBxA e 02222 =+++ DzCyBxA serão paralelos se os coeficientes de x, y e z em suas equações forem proporcionais, isto é, se a condição 2 1 2 1 2 1 C C B B A A == , for satisfeita e somente neste caso. Dois planos 01111 =+++ DzCyBxA e 02222 =+++ DzCyBxA serão perpendiculares se a condição 0212121 =++ CCBBAA for satisfeita e somente neste caso. - FORMA NORMAL: A forma normal da equação de um plano é: 0coscoscos =−++ pzyx γβα Para passarmos a equação de um plano na forma geral para a forma normal, utilizamos a seguinte fórmula: 0 222 = ++± +++ CBA DCzByAx , o sinal do radical é o oposto do sinal do coeficiente D ou é igual ao sinal do coeficiente C, caso D=0. - FORMA SEGMENTÁRIA: 1=++ c z b y a x onde a, b e c, são as coordenadas à origem do plano, ou seja, abscissa à origem, ordenada à origem e cota à origem, respectivamente. - DISTANCIA DE UM PONTO A UM PLANO: 222 CBA DCzByAx d ++ +++ = 38 - ÂNGULOS ENTRE DOIS PLANOS: O ângulo θ entre os planos 01111 =+++ DzCyBxA e 02222 =+++ DzCyBxA é determinado por: 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121cos CBACBA CCBBAA ++++ ++ =θ - PLANOS PARTICULARES: As equações: 0=++ DByAx 0=++ DCzBy 0=++ DCzAx Representam planos perpendiculares, respectivamente, aos planos xy, yz e xz. As equações: 0=+ DAx 0=+ DBy 0=+ DCz Representam planos perpendiculares, respectivamente aos eixos dos x, dos y e dos z. 13 – SUPERFICIES // QUÁDRICAS: Segue aabaixo o resumo do estudo das superfícies/quádricas: ESTUDO DA ESFERA; ESTUDO DA ELIPSÓIDE; ESTUDO DA HIPERBOLÓIDE DE UMA E DE DUAS FOLHAS; ESTUDO DA PARABOLÓIDE ELÍPTICA; ESTUDO DA PARABOLÓIDE HIPERBÓLICA; ESTUDO DO CONE RETO; ESTUDO DO CILINDRO. 39 ESTUDO DAS SUPERFÍCIES: ELIPSÓIDE: Fórmula Típica: (x – h)2 + (y – k)2 + (z – j)2 = 1 a2 b2 c2 Para a ESFERA: Consideramos a mesma fórmula, porém a = b = c. PARABOLÓIDE ELÍPTICO: Fórmula Típica: (x – h)2 + (y – k)2 = 2cz a2 b2 PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO: Fórmula Típica: (x – h)2 - (y – k)2 = 2cz a2 b2 40 HIPERBOLÓIDES: Fórmulas Típicas: (x – h)2 + (y – k)2 - (z – j)2 = 1 (1 Folha) a2 b2 c2 ou (x – h)2 - (y – k)2 + (z – j)2 = 1 (1 Folha) a2 b2 c2 (x – h)2 - (y – k)2 - (z – j)2 = 1 (2 Folhas) a2 b2 c2 CONE CIRCULAR RETO: Fórmula Típica: (x – h)2 + (y – k)2 – c2z2 = 0 OBS: Quando o coeficiente a for igual a b ou c, isto é, quando dois coeficientes forem iguais a superfície é denominada, superfície de revolução. 41 SUPERFÍCIE CILÍNDRICA: Fórmula Típica: (x – h)2 + (y – k)2 = 1 a2 b2