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Pêndulo Simples Jéssika Dayane Alves de Jesus, Paula Barros de Oliveira e Vinícius José Olímpio Rodrigues Laboratório de Fluidos, Ondas e Calor Resumo Neste relatório, é abordado o procedimento de medição da aceleração da gravidade a partir do estudo comprimentos e períodos de oscilação de quatro pêndulos simples constituídos por um peso esférico preso em um barbante. Foram encontrados os seguintes valores de g: 9,69 ± 0,60 m/s² ; 𝑔𝐵 = 9,94 ± 0,60 m/s² ; 𝑔𝐶 = 9,83 ± 0,60 m/s² ; 𝑔𝐷 = 9,85 ± 0,60 m/s². Comparado os valores obtidos da gravidade com o valor real através do erro relativo, obteve-se 1,2%, 1,3% , 0,2% e 0,4% de erro relativo para as medidas nos pêndulos. 1. Introdução Pêndulos simples são exemplos de dispositivos que executam um movimento harmônico simples, que é definido como um movimento periódico em que ocorrem deslocamentos simétricos em torno de um ponto. A figura 1 apresenta um exemplo de pêndulo simples: Figura 1: Pêndulo Simples O período de oscilação de um pêndulo simples só depende do seu comprimento e da aceleração da gravidade. Ele não depende da amplitude, desde que o ângulo ɵ se mantenha menor ou igual a 10º. A equação do período de oscilação do pêndulo simples é dada por: 𝑇 = 2𝜋√ 𝐿 𝑔 (1) Em que T corresponde ao período, dado em segundos, L é a distância entre o centro de rotação A e o centro de massa C do objeto preso ao fio (também chamado de comprimento do pêndulo) dado em metros e g é a aceleração da gravidade dada em 𝑚/𝑠2. Como a massa da Terra não está distribuída uniformemente, a aceleração gravitacional possui diferentes valores, os quais variam com a altitude e com a latitude. Observe que na Eq. 1 o período de oscilação do pêndulo simples independe da massa suspensa. Isolando g na Eq. 1, temos: 𝑔 = 4𝜋2𝐿 𝑇² (2) O objetivo deste relatório é calcular a aceleração da gravidade local através de um pêndulo, apresentando o resultado final de acordo com as propagações de erro relativas a estas medidas. 2. Desenvolvimento 2.1. Materiais utilizados • 1 Suporte metálico • 1 Barbante • 1 Esfera metálica maciça • 1 Transferidor • 1 Paquímetro • 1 Cronômetro Digital • 1 Trena 2.2. Metodologia Primeiramente foi montado o pêndulo, onde a esfera foi presa ao barbante e o barbante foi amarrado ao gancho do suporte metálico. Mediu-se o diâmetro da esfera metálica cinco vezes utilizando o paquímetro de resolução 0,05 mm. Também com o paquímetro foi medido uma vez o diâmetro do gancho ∅𝑔 do suporte metálico em que o barbante ficará preso, com o objetivo de aumentar a precisão da medida do comprimento do pêndulo simples, essa medida foi de ∅𝑔 = 3,05. Em seguida, mediu-se o comprimento do barbante 4 vezes com uma trena de resolução de 1 mm. Observou-se que na ponta da trena poderia existir uma interferência que poderia fornecer um erro sistemático ԑ no comprimento do barbante, por isso utilizou- se o paquímetro para medir essa interferência, que foi de aproximadamente ԑ = 2 mm. Foi demarcado no transferidor uma medida de 10º para que as oscilações do pêndulo não ultrapassassem essa marca. Assim, o cálculo do período do pêndulo simples respeita a Eq. 1. Com a esfera parada, foi demarcado no solo exatamente abaixo da esfera uma linha de referência para auxiliar no início e final da marcação do período de oscilação com o cronômetro de resolução 0,01 s. Com o pêndulo em movimento, iniciou-se a marcação do tempo no momento em que a esfera passa pela linha de referência e parou na terceira vez em que a esfera passou por essa mesma linha. Esse procedimento foi repetido 10 vezes. Após essas medições, o comprimento do barbante foi modificado mais três vezes e os períodos de oscilação medidos 10 vezes para cada comprimento. 2.3. Resultados As cinco medições do diâmetro ∅𝑒𝑠𝑓 da esfera com o paquímetro, em mm, foram: 33,95; 34,10; 34,15; 34,10; 34,10 As tabelas abaixo apresentam as medidas do comprimento dos barbantes e os períodos de oscilação dos pêndulos A, B, C e D: Tabela 1: Comprimentos dos pêndulos A, B, C e D Comprimento (mm) Pêndulo A Pêndulo B Pêndulo C Pêndulo D 1498 1368 1261 1119 1497 1369 1261 1120 1498 1368 1262 1119 1498 1369 1262 1120 Tabela 2: Períodos de Oscilação dos pêndulos A, B, C e D Período (s) Pêndulo A Pêndulo B Pêndulo C Pêndulo D 2,53 2,34 2,25 2,09 2,47 2,34 2,28 2,13 2,38 2,34 2,28 2,12 2,50 2,28 2,25 2,19 2,50 2,28 2,29 2,16 2,56 2,37 2,31 2,10 2,50 2,34 2,25 2,13 2,50 2,34 2,25 2,16 2,46 2,41 2,32 2,10 2,44 2,41 2,18 2,16 O gráfico abaixo contém os pontos experimentais e a reta da regressão do experimento, esse processo foi feito no software Gnuplot. O diâmetro da esfera e os comprimentos e períodos dos pêndulos foram obtidos através da soma dessas medidas divididas pelo número de medições. Respeitando, assim, a seguinte equação: �̅� = 1 n ∑ xi n i=1 (3) Em que �̅� corresponde ao valor médio e n é o número de medições. Assim, o valor médio do diâmetro d da esfera é: ∅_𝑒𝑠𝑓̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 33,95 + 34,10 + 34,15 + 34,10 + 34,10 5 ∅_𝑒𝑠𝑓̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 34,08 Aplicando a equação para o valor médio dos comprimentos dos barbantes para os pêndulos A, B, C e D são: 𝐶𝐴 = 1498+1497+1498+1498 4 =1497,75 𝐶𝐵 = 1368+1369+1368+1369 4 = 1368,5 𝐶𝐶 = 1261+1261+1262+1262 4 = 1261,5 𝐶𝐷 = 1119+1120+1119+1120 4 = 1119,5 Como a grandeza L da Eq. 1 é definida pela distância entre o centro de rotação e o centro de massa do objeto preso ao fio e deve-se levar em consideração o erro sistemático da trena, temos então que: 𝐿 = ∅𝑒𝑠𝑓̅̅ ̅̅ ̅ 2 + 𝐶 + ∅𝑔 2 − ԑ (4) Assim: 𝐿𝐴 = 1514,315 mm 𝐿𝐵 = 1385,065 mm 𝐿𝐶 = 1278,065 mm 𝐿𝐷 = 1136,065 mm O valor médio dos períodos dos pêndulos A, B, C e D são: 𝑇𝐴 = 2,53+2,47+2,38+2,50+2,50+ +2,56+2,50+2,50+2,46+2,44 10 = 2,484 𝑠 𝑇𝐵 = 2,34+2,34+2,34+2,28+2,28+ +2,37+2,34+2,34+2,41+2,41 10 = 2,345 𝑠 𝑇𝐶 = 2,25+2,28+2,28+2,25+2,29+ +2,31+2,25+2,25+2,32+2,18 10 = 2,266 𝑠 𝑇𝐷 = 2,09+2,13+2,12+2,19+2,16+ +2,10+2,13+2,16+2,10+2,16 10 = 2,134 𝑠 Obtidos os valores de L e de T, pode-se obter o valor de g conforme a Eq. 2. Assim: 𝑔𝐴 = 4𝜋2×𝐿𝐴 𝑇𝐴² = 9,688862173 m/s² 𝑔𝐵 = 4𝜋2×𝐿𝐵 𝑇𝐵² = 9,943612637 m/s² 𝑔𝐶 = 4𝜋2×𝐿𝐶 𝑇𝐶² = 9,826364446 m/s² 𝑔𝐷 = 4𝜋2×𝐿𝐷 𝑇𝐷² = 9,848590653 m/s² Entretanto, existem incertezas associadas a estes valores obtidos, que devem ser expressas junto a estes valores para fornecer o resultado com precisão. No caso do comprimento do fio, devem ser levadas em consideração as incertezas do diâmetro da esfera, do comprimento do barbante, do erro sistemático da trena e do diâmetro do gancho. Também deve ser levado em consideração a incerteza do valor do período. As incertezas podem ser obtidas calculando o desvio padrão da amostra, da seguinte forma: Para a incerteza do diâmentro do gancho e do erro da trena que são do tipo B, é usada a seguinte fórmula para calcular a incerteza: 𝜎 = 𝑅 √3 (5) Em que R é a resolução do instrumento. Assim, temos que o valor do diâmetro do gancho e o erro da trena são: ∅𝑔 = 3,05 ± 0,03 mm ԑ = 2,0 ± 0,6 mm Para a incerteza do tipo A, que é o caso do diâmetro da esfera, dos comprimentos do barbante e dos períodos nos pêndulos A, B, C e D, são utilizadas as seguintes fórmulas: 𝜎 = √ ∑ (𝑥𝑛−�̅�)² 𝑁 𝑛=1 𝑁(𝑁−1) (6) 𝜎 = 𝜎𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 √𝑁 (7) Assim, temos que o valor dos comprimentos dos barbantes e dos períodos são: ∅𝑒𝑠𝑓 = 34,08 ± 0,002 mm 𝐶𝐴 = 1497,8 ± 0,1 mm 𝐶𝐵 = 1368,5 ± 0,1 mm 𝐶𝐶 = 1261,5 ± 0,1 mm 𝐶𝐷 = 1119,5 ± 0,1 mm 𝑇𝐴 = 2,484 ± 0,005 mm 𝑇𝐵 = 2,345 ± 0,004 mm 𝑇𝐶 = 2,266 ± 0,004 mm 𝑇𝐷 = 2,134± 0,003 mm Com isso, para calcular a incerteza combinada de L e g, utiliza-se: 𝜎 = √𝑢1 2(y) + 𝑢2 2(y) + ⋯ + 𝑢𝑛 2(y) (8) Onde cada 𝑢𝑖²(y) é uma incerteza-padrão que pode resultar tanto de uma avaliação de incerteza do Tipo A quanto do Tipo B. Logo, pode-se obter os seguintes valores: 𝐿𝐴 = 1514,3 ± 0,6 mm 𝐿𝐵 = 1385,1 ± 0,6 mm 𝐿𝐶 = 1278,1 ± 0,6 mm 𝐿𝐷 = 1136,1 ± 0,6 mm Agora, aplicando as incertezas para o valor de g, temos: 𝑔𝐴 = 9,69 ± 0,60 m/s² 𝑔𝐵 = 9,94 ± 0,60 m/s² 𝑔𝐶 = 9,83 ± 0,60 m/s² 𝑔𝐷 = 9,85 ± 0,60 m/s² 3. Discussão De acordo com Halliday (2012), o valor médio de g é de 9,81 m/s². Para comparar esse valor esperado da aceleração da gravidade local com o valor obtido, pode-se utilizar o erro relativo, que é expresso por: 𝐸% = |𝑥𝑡−�̅� 𝑥𝑡 | ∙ 100% (9) 𝐸𝐴= 1,2% 𝐸𝐵= 1,3% 𝐸𝐶= 0,2% 𝐸𝐷= 0,4% 4. Conclusão Foi possível concluir que o método utilizado no experimento para determinar a aceleração da gravidade local é eficaz, pois os quatro valores obtidos para a gravidade local estão bem próximos do valor esperado, e considerando as incertezas, são totalmente compatíveis. A repetição das medidas do tempo fez com que os resultados obtidos fossem mais precisos, pois quanto maior o número de medidas, mais preciso será o resultado e menor será a incerteza. Comparado os valores obtidos da gravidade com o valor real através do erro relativo, obtemos 1,2%, 1,3% , 0,2% e 0,4% de erro para as medidas nos pêndulos A, B, C e D, respectivamente. Esses baixos valores percentuais confirmam ainda mais a eficácia do método utilizado para a determinação da gravidade local. 5. Bibliografia HALLIDAY, D.; RESNICK,R.; WALKER, J. Fundamentos de Física: 2. Rio de Janeiro: LTC, 2012. 296p.