Pêndulo Simples relatorio

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Pêndulo Simples 
Jéssika Dayane Alves de Jesus, Paula Barros de Oliveira e Vinícius José Olímpio 
Rodrigues 
Laboratório de Fluidos, Ondas e Calor 
Resumo 
Neste relatório, é abordado o procedimento de medição da aceleração da gravidade a partir do 
estudo comprimentos e períodos de oscilação de quatro pêndulos simples constituídos por um 
peso esférico preso em um barbante. Foram encontrados os seguintes valores de g: 9,69 ± 0,60 
m/s² ; 𝑔𝐵 = 9,94 ± 0,60 m/s² ; 𝑔𝐶 = 9,83 ± 0,60 m/s² ; 𝑔𝐷 = 9,85 ± 0,60 m/s². Comparado os 
valores obtidos da gravidade com o valor real através do erro relativo, obteve-se 1,2%, 1,3% , 
0,2% e 0,4% de erro relativo para as medidas nos pêndulos. 
 
1. Introdução 
Pêndulos simples são exemplos de 
dispositivos que executam um movimento 
harmônico simples, que é definido como um 
movimento periódico em que ocorrem 
deslocamentos simétricos em torno de um 
ponto. A figura 1 apresenta um exemplo de 
pêndulo simples: 
 
Figura 1: Pêndulo Simples 
O período de oscilação de um pêndulo 
simples só depende do seu comprimento e da 
aceleração da gravidade. Ele não depende da 
amplitude, desde que o ângulo ɵ se 
mantenha menor ou igual a 10º. A equação 
do período de oscilação do pêndulo simples 
é dada por: 
𝑇 = 2𝜋√
𝐿
𝑔
 (1) 
Em que T corresponde ao período, dado em 
segundos, L é a distância entre o centro de 
rotação A e o centro de massa C do objeto 
preso ao fio (também chamado de 
comprimento do pêndulo) dado em metros e 
g é a aceleração da gravidade dada em 𝑚/𝑠2. 
Como a massa da Terra não está distribuída 
uniformemente, a aceleração gravitacional 
possui diferentes valores, os quais variam 
com a altitude e com a latitude. Observe que 
na Eq. 1 o período de oscilação do pêndulo 
simples independe da massa suspensa. 
Isolando g na Eq. 1, temos: 
𝑔 =
4𝜋2𝐿
𝑇²
 (2) 
O objetivo deste relatório é calcular a 
aceleração da gravidade local através de um 
pêndulo, apresentando o resultado final de 
acordo com as propagações de erro relativas 
a estas medidas. 
2. Desenvolvimento 
2.1. Materiais utilizados 
• 1 Suporte metálico 
• 1 Barbante 
• 1 Esfera metálica maciça 
• 1 Transferidor 
• 1 Paquímetro 
• 1 Cronômetro Digital 
• 1 Trena 
2.2. Metodologia 
Primeiramente foi montado o pêndulo, onde 
a esfera foi presa ao barbante e o barbante foi 
amarrado ao gancho do suporte metálico. 
Mediu-se o diâmetro da esfera metálica 
cinco vezes utilizando o paquímetro de 
resolução 0,05 mm. Também com o 
paquímetro foi medido uma vez o diâmetro 
do gancho ∅𝑔 do suporte metálico em que o 
barbante ficará preso, com o objetivo de 
aumentar a precisão da medida do 
comprimento do pêndulo simples, essa 
medida foi de ∅𝑔 = 3,05. 
Em seguida, mediu-se o comprimento do 
barbante 4 vezes com uma trena de resolução 
de 1 mm. Observou-se que na ponta da trena 
poderia existir uma interferência que poderia 
fornecer um erro sistemático ԑ no 
comprimento do barbante, por isso utilizou-
se o paquímetro para medir essa 
interferência, que foi de aproximadamente ԑ 
= 2 mm. 
Foi demarcado no transferidor uma medida 
de 10º para que as oscilações do pêndulo não 
ultrapassassem essa marca. Assim, o cálculo 
do período do pêndulo simples respeita a Eq. 
1. 
Com a esfera parada, foi demarcado no solo 
exatamente abaixo da esfera uma linha de 
referência para auxiliar no início e final da 
marcação do período de oscilação com o 
cronômetro de resolução 0,01 s. Com o 
pêndulo em movimento, iniciou-se a 
marcação do tempo no momento em que a 
esfera passa pela linha de referência e parou 
na terceira vez em que a esfera passou por 
essa mesma linha. Esse procedimento foi 
repetido 10 vezes. 
Após essas medições, o comprimento do 
barbante foi modificado mais três vezes e os 
períodos de oscilação medidos 10 vezes para 
cada comprimento. 
2.3. Resultados 
As cinco medições do diâmetro ∅𝑒𝑠𝑓 da 
esfera com o paquímetro, em mm, foram: 
33,95; 34,10; 34,15; 34,10; 34,10 
As tabelas abaixo apresentam as medidas 
do comprimento dos barbantes e os 
períodos de oscilação dos pêndulos A, B, C 
e D: 
Tabela 1: Comprimentos dos pêndulos A, B, C e 
D 
Comprimento (mm) 
Pêndulo 
A 
Pêndulo 
B 
Pêndulo 
C 
Pêndulo 
D 
1498 1368 1261 1119 
1497 1369 1261 1120 
1498 1368 1262 1119 
1498 1369 1262 1120 
 
Tabela 2: Períodos de Oscilação dos pêndulos 
A, B, C e D 
Período (s) 
Pêndulo 
A 
Pêndulo 
B 
Pêndulo 
C 
Pêndulo 
D 
2,53 2,34 2,25 2,09 
2,47 2,34 2,28 2,13 
2,38 2,34 2,28 2,12 
2,50 2,28 2,25 2,19 
2,50 2,28 2,29 2,16 
2,56 2,37 2,31 2,10 
2,50 2,34 2,25 2,13 
2,50 2,34 2,25 2,16 
2,46 2,41 2,32 2,10 
2,44 2,41 2,18 2,16 
 
O gráfico abaixo contém os pontos 
experimentais e a reta da regressão do 
experimento, esse processo foi feito no 
software Gnuplot. 
 
O diâmetro da esfera e os comprimentos e 
períodos dos pêndulos foram obtidos através 
da soma dessas medidas divididas pelo 
número de medições. Respeitando, assim, a 
seguinte equação: 
�̅� =
1
n
∑ xi
n
i=1 (3) 
Em que �̅� corresponde ao valor médio e n é 
o número de medições. Assim, o valor médio 
do diâmetro d da esfera é: 
∅_𝑒𝑠𝑓̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ =
33,95 + 34,10 + 34,15 + 34,10 + 34,10
5
 
∅_𝑒𝑠𝑓̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 34,08 
Aplicando a equação para o valor médio dos 
comprimentos dos barbantes para os 
pêndulos A, B, C e D são: 
𝐶𝐴 =
1498+1497+1498+1498
4
 =1497,75 
𝐶𝐵 =
1368+1369+1368+1369
4
 = 1368,5 
𝐶𝐶 =
1261+1261+1262+1262
4
 = 1261,5 
𝐶𝐷 =
1119+1120+1119+1120
4
 = 1119,5 
Como a grandeza L da Eq. 1 é definida pela 
distância entre o centro de rotação e o centro 
de massa do objeto preso ao fio e deve-se 
levar em consideração o erro sistemático da 
trena, temos então que: 
𝐿 = 
∅𝑒𝑠𝑓̅̅ ̅̅ ̅
2
+ 𝐶 +
∅𝑔
2
− ԑ (4) 
Assim: 
𝐿𝐴 = 1514,315 mm 
𝐿𝐵 = 1385,065 mm 
𝐿𝐶 = 1278,065 mm 
𝐿𝐷 = 1136,065 mm 
O valor médio dos períodos dos pêndulos A, 
B, C e D são: 
𝑇𝐴 =
2,53+2,47+2,38+2,50+2,50+
+2,56+2,50+2,50+2,46+2,44
10
 = 2,484 𝑠 
 
𝑇𝐵 =
2,34+2,34+2,34+2,28+2,28+
+2,37+2,34+2,34+2,41+2,41
10
 = 2,345 𝑠 
 
𝑇𝐶 =
2,25+2,28+2,28+2,25+2,29+
+2,31+2,25+2,25+2,32+2,18
10
 = 2,266 𝑠 
 
𝑇𝐷 =
2,09+2,13+2,12+2,19+2,16+
+2,10+2,13+2,16+2,10+2,16
10
 = 2,134 𝑠 
Obtidos os valores de L e de T, pode-se obter 
o valor de g conforme a Eq. 2. Assim: 
𝑔𝐴 =
4𝜋2×𝐿𝐴 
𝑇𝐴²
 = 9,688862173 m/s² 
𝑔𝐵 =
4𝜋2×𝐿𝐵 
𝑇𝐵²
 = 9,943612637 m/s² 
𝑔𝐶 =
4𝜋2×𝐿𝐶 
𝑇𝐶²
 = 9,826364446 m/s² 
𝑔𝐷 =
4𝜋2×𝐿𝐷 
𝑇𝐷²
 = 9,848590653 m/s² 
Entretanto, existem incertezas associadas a 
estes valores obtidos, que devem ser 
expressas junto a estes valores para fornecer 
o resultado com precisão. 
No caso do comprimento do fio, devem ser 
levadas em consideração as incertezas do 
diâmetro da esfera, do comprimento do 
barbante, do erro sistemático da trena e do 
diâmetro do gancho. Também deve ser 
levado em consideração a incerteza do valor 
do período. As incertezas podem ser obtidas 
calculando o desvio padrão da amostra, da 
seguinte forma: 
Para a incerteza do diâmentro do gancho e 
do erro da trena que são do tipo B, é usada a 
seguinte fórmula para calcular a incerteza: 
𝜎 =
𝑅
√3
 (5) 
Em que R é a resolução do instrumento. 
Assim, temos que o valor do diâmetro do 
gancho e o erro da trena são: 
∅𝑔 = 3,05 ± 0,03 mm 
ԑ = 2,0 ± 0,6 mm 
Para a incerteza do tipo A, que é o caso do 
diâmetro da esfera, dos comprimentos do 
barbante e dos períodos nos pêndulos A, B, 
C e D, são utilizadas as seguintes fórmulas: 
𝜎 = √
∑ (𝑥𝑛−�̅�)²
𝑁
𝑛=1
𝑁(𝑁−1)
 (6) 
𝜎 =
𝜎𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙
√𝑁
 (7) 
Assim, temos que o valor dos comprimentos 
dos barbantes e dos períodos são: 
∅𝑒𝑠𝑓 = 34,08 ± 0,002 mm 
𝐶𝐴 = 1497,8 ± 0,1 mm 
𝐶𝐵 = 1368,5 ± 0,1 mm 
𝐶𝐶 = 1261,5 ± 0,1 mm 
𝐶𝐷 = 1119,5 ± 0,1 mm 
𝑇𝐴 = 2,484 ± 0,005 mm 
𝑇𝐵 = 2,345 ± 0,004 mm 
𝑇𝐶 = 2,266 ± 0,004 mm 
𝑇𝐷 = 2,134± 0,003 mm 
Com isso, para calcular a incerteza 
combinada de L e g, utiliza-se: 
𝜎 = √𝑢1
2(y) + 𝑢2
2(y) + ⋯ + 𝑢𝑛
2(y) (8) 
Onde cada 𝑢𝑖²(y) é uma incerteza-padrão 
que pode resultar tanto de uma avaliação de 
incerteza do Tipo A quanto do Tipo B. Logo, 
pode-se obter os seguintes valores: 
𝐿𝐴 = 1514,3 ± 0,6 mm 
𝐿𝐵 = 1385,1 ± 0,6 mm 
𝐿𝐶 = 1278,1 ± 0,6 mm 
𝐿𝐷 = 1136,1 ± 0,6 mm 
Agora, aplicando as incertezas para o valor 
de g, temos: 
𝑔𝐴 = 9,69 ± 0,60 m/s² 
𝑔𝐵 = 9,94 ± 0,60 m/s² 
𝑔𝐶 = 9,83 ± 0,60 m/s² 
𝑔𝐷 = 9,85 ± 0,60 m/s² 
 
3. Discussão 
De acordo com Halliday (2012), o valor 
médio de g é de 9,81 m/s². Para comparar 
esse valor esperado da aceleração da 
gravidade local com o valor obtido, pode-se 
utilizar o erro relativo, que é expresso por: 
 𝐸% = |𝑥𝑡−�̅�
𝑥𝑡
| ∙ 100% (9) 
𝐸𝐴= 1,2% 
𝐸𝐵= 1,3% 
𝐸𝐶= 0,2% 
𝐸𝐷= 0,4% 
4. Conclusão 
Foi possível concluir que o método utilizado 
no experimento para determinar a aceleração 
da gravidade local é eficaz, pois os quatro 
valores obtidos para a gravidade local estão 
bem próximos do valor esperado, e 
considerando as incertezas, são totalmente 
compatíveis. A repetição das medidas do 
tempo fez com que os resultados obtidos 
fossem mais precisos, pois quanto maior o 
número de medidas, mais preciso será o 
resultado e menor será a incerteza. 
Comparado os valores obtidos da gravidade 
com o valor real através do erro relativo, 
obtemos 1,2%, 1,3% , 0,2% e 0,4% de erro 
para as medidas nos pêndulos A, B, C e D, 
respectivamente. Esses baixos valores 
percentuais confirmam ainda mais a eficácia 
do método utilizado para a determinação da 
gravidade local. 
 
5. Bibliografia 
HALLIDAY, D.; RESNICK,R.; 
WALKER, J. Fundamentos de Física: 2. 
Rio de Janeiro: LTC, 2012. 296p.