Solução Avaliação 2 - Tipo 2: Vetores e Geometria Analítica

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Solução da Avaliação 2
Questão 1 (2.5 pontos) Calcule a equação do plano que contém a reta obtida pela interseção dos planos x− z = 1
e y + 2z = 3 e é perpendicular ao plano x+ y − 2z = 1.
Solução: Queremos encontrar as equações de um plano P que contém a reta L interseção dos planos x− z = 1
e y + 2z = 3
L :
{
x− z = 1 =⇒ z = x− 1
y + 2z = 3 =⇒ z = y−3−2
=⇒ x− 1 = y − 3
−2
= z .
Ou seja, o plano P contém o ponto P0(1, 3, 0) e é paralelo à vv = (1,−2, 1). Como o plano P deve ser
perpendicular ao plano com equações x+ y− 2z = 1, então o vetor normal ~n1 = (1, 1,−2) a este plano deve ser
paralelo ao plano P . Sendo assim, o vetor normal ao plano P pode ser obtido pelo produto vetorial dos dois
vetores paralelos
~v × ~n1 = (3, 3, 3) = 3(1, 1, 1) ,
ou seja, podemos tomar ~n = (1, 1, 1). Sendo assim, a equação do plano P será 1(x − 1) + 1(y − 3) + 1(z) = 0,
ou ainda
x+ y + z = 4
Questão 2 (2.5 ponto) Determine a distância entre as retas reversas (retas não paralelas que não se cruzam) com
equações paramétricas L1 : x = 1 + t, y = 1 + 6t, z = 2t e L2 : x = 1 + 2s, y = 5 + 15s, z = −2 + 6s.
Solução: A reta L1 é paralela ao vetor ~v1 = (1, 6, 2) enquanto que a reta L2 é paralela ao vetor ~v2 = (2, 15, 6).
Vamos construir um plano P que contém a reta L1 e, portanto contém o ponto P0(1, 1, 0), e que seja paralelo
às duas retas, ou seja, paralelo aos vetores ~v1 e ~v2. A normal deste plano será o produto vetorial desses vetores
não paralelos
~n = ~v1 × ~v2 = (6,−2, 3) .
A distância da reta L2 ao plano P será a mesma distância das duas retas. Para calcular esta distância basta
escolhermos um ponto na reta L2, seja ele P1(1, 5,−2) e então calcular a distância do plano P ao ponto P1.
Para isso podemos de�nir um vetor que vai do plano P à reta L2, seja ele,
~b =
−−−→
P0P1 = (0, 4,−2) .
A distância D do plano P ao ponto P1 será
D = comp~n~b| =
|~n ·~b|
||~n||
=
|(0, 4,−2) · (6,−2, 3)|√
36 + 4 + 9
= 2 .
Então, a distância entre as duas retas será
D = 2
Questão 3 (2.5 pontos) Encontre os focos, vértices e o centro da cônica 25x2− 150x+9y2− 36y+36 = 0 e esboce
o grá�co .
Solução: Temos que completar quadrados na equação acima
25x2 − 150x+ 9y2 − 36y + 36 = 0
25(x2 − 6x) + 9(y2 − 4y) + 36 = 0
25
[
(x− 3)2 − 9
]
+ 9
[
(y − 2)2 − 4
]
+ 36 = 0
25(x− 3)2 + 9(y − 2)2 = 25(9)
(x− 3)2
9
+
(y − 2)2
25
= 1 .
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Figura 1: Grá�co da questão 3.
Pela equação acima temos que a equação descreve uma elipse de centro C(3, 2) , semi-eixo principal paralelo ao
eixo y, a = 5, b = 3 e, portanto, c = 4. Sendo assim os focos estarão em F (3, 2± 4) e vértices em V (3, 2± 5) .
Questão 4 (2.5 pontos) Encontre a equação para a hipérbole que tem focos F1(2, 0) e F2(2, 8) e assíntota y = 3+
1
2x
e y = 5− 12x.
Solução: O centro da hipérbole está em C(2, 4) pois F (2, 4± 4), sendo, portanto, c = 4. Como os focos estão
sobre a reta x = 4, então
x− x0 = ±
b
a
(y − y0) ,
ou seja, as assíntotas podem ser reescritas como x = 2y − 6 e x = −2y + 10, o que resulta
b
a
= 2 .
Usando
c2 = 16 = a2 + b2 = a2
(
1 +
b2
a2
)
= a2(1 + 4) = 5a2 ,
então a2 = 16/5 e b2 = c2 − a2 = 64/5. A equação da hipérbole com focos sobre o a reta x = 4 será
5(y − 4)2
16
− 5(x− 2)
2
64
= 1
Questão 5 (1 ponto extra) Triangulação: Sejam três torres de sinal para celular T1, T2 e T3 localizadas, respectiva-
mente, nos pontos P1(1, 0), P2(0, 1) e P3(1, 1) previamente �xados. Se uma pessoa está posicionada num ponto
P (x, y) usando um celular, é possível que cada antena meça a distância desta pessoa com relação a ela através
do sinal deste celular. Estamos supondo a terra localmente plana, contida no plano xy. Se a antena T1 detecta
o celular a uma distância d1 = 5, a antena T2 detecta o celular a uma distância d2 =
√
13 e a antena T3 detecta
o celular a uma distância d3 =
√
18, obtenha a posição exata da pessoa que carrega o celular.
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Solução: Temos que PP1 = 5, PP2 =
√
13 e PP3 =
√
18. Elevando ao quadrado essas equações teremos
(x− 1)2 + y2 = x2 + y2 − 2x+ 1 = 25 , (1)
x2 + (y − 1)2 = x2 + y2 − 2y + 1 = 13 , (2)
(x− 1)2 + (y − 1)2 = x2 + y2 − 2x− 2y + 2 = 18 . (3)
Podemos diminuir uma equação da outra da seguinte forma:
(2)− (1) : 2y − 2x = 12 =⇒ y = x+ 6 ,
(3)− (2) : 2x− 1 = −5 =⇒ x = −2 ,
resultando y = 4. Sendo assim a pessoa está localizada no ponto
P (−2, 4)