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29/03/2015 Licenciatura em Matemática http://www.virtual.ufc.br/solar/aula_link/lmat/A_a_H/calculo_diferencial_II/aula_081236/01.html#retratil 1/8 VERSÃO TEXTUAL O objetivo deste tópico é usar derivadas parciais para definir três operadores, que aparecem em várias aplicações em Física e nos teoremas principais do Cálculo Integral de Funções Vetoriais (a ser visto no curso posterior de Cálculo). O primeiro desses operadores é chamado de gradiente e usa uma função real para definir um campo vetorial, os outros são denominados de divergente e rotacional, ambos utilizam campos vetoriais para definir uma função real e um outro campo vetorial, respectivamente. Seja uma função real de variáveis , se todas as derivadas parciais existem num subconjunto , o CAMPO GRADIENTE de f (ou simplesmente, o gradiente de f) é indicado e definido num ponto por: Em particular, se f é uma função real de variáveis x e y, o grad f é um campo vetorial dado por: E se f é uma função real de variáveis x, y e z, o grad f é um campo vetorial dado por: EXEMPLO RESOLVIDO 1 Calcular o gradiente da função . SOLUÇÃO Da definição de gradiente, temse gradf (x,y) = EXEMPLO PROPOSTO 1 Calcular o gradiente da função Se um campo vetorial tal que existe uma função onde F = grad f num subconjunto dizse que F é um campo gradiente ((ou um campo conservativo)) em B e a função f é um CÁLCULO DIFERENCIAL II AULA 08: GRADIENTE, DIVERGENTE E ROTACIONAL 29/03/2015 Licenciatura em Matemática http://www.virtual.ufc.br/solar/aula_link/lmat/A_a_H/calculo_diferencial_II/aula_081236/01.html#retratil 2/8 potencial real ((ou potencial escalar)) do campo F em B. Em geral, o potencial real de um dado campo gradiente, não é único; entretanto, é possível mostrar que dois potenciais quaisquer diferem apenas de uma constante (isto será tratado no curso posterior de Cálculo). Outra questão que surge é sobre a existência de um potencial real para um campo vetorial dado, a resposta desta questão será estabelecida futuramente (isto também será tratado no curso posterior de Cálculo). O exemplo seguinte, ilustra um método par achar um potencial de um campo gradiente. EXEMPLO RESOLVIDO 2 Sabendose que é um campo gradiente, encontrar o potencial real de f que satisfaz f(1,0,2) = 3. SOLUÇÃO Como F = grad f, temse o sistema seguinte: Da primeira equação (por exemplo), obtémse f(x,y,z) = x2 cosy xz2 + g(y,z). Resta determinar g(y,z) para que f(x,y,z) satisfaça também as duas últimas equações do sistema. Derivando f em relação a y e igualando com a segunda equação do sistema, temse x2 sen y + gy(y,z) = x2 sen y, daí gy(y,z) = 0, isto é, g só depende de z, seja então g(y,z) = h(z). Substituindo g(y,z) em f(x,y,z) = x2 cos y xz2 + g(y,x), fica f(x,y,z) = x2 cos y xz2 + h(z), que derivando em relação a z e igualando com a terceira equação do sistema, temse 2xz + h'(z) = 2xz, daí h'(z) = 0, ou seja, h(z) = c onde c é uma constante. Logo, f(x,y,z) = x2 cos y xz2 + c é a solução geral do sistema. Como 3 = f(1,0,2) = 5 + c, o potencial real procurado é: f(x,y,z) = x2 cos y xz2 2. EXEMPLO PROPOSTO 2 Sabendose que é um campo gradiente, encontrar o potencial real de f que satisfaz O OPERADOR DIFERENCIAL VETORIAL (lêse, nabla) é definido por: Para uma função , definese NABLA APLICADO a f por: 29/03/2015 Licenciatura em Matemática http://www.virtual.ufc.br/solar/aula_link/lmat/A_a_H/calculo_diferencial_II/aula_081236/01.html#retratil 3/8 Assim, da definição de campo gradiente, temse Doravante será usada a notação para indicar o gradiente de uma função f. Sejam f e g funções reais com derivadas parciais de primeira ordem em relação a todas as suas variáveis, então o gradiente tem as seguintes propriedades: Clique aqui para ver. PARADA OBRIGATÓRIA As demonstrações destas propriedades, decorrem diretamente da definição de gradiente e estão sugeridas no exercício 31 do exercitando deste tópico. Seja um campo vetorial , em que cada função coordenada fi (i=1,...m) possui derivada parcial em relação a variável xi num subconjunto , então a DIVERGENTE de F é a função indicada e definida num ponto P de B por: Em particular, se o campo vetorial é definido por , então: E se o campo vetorial é definido por , então: O operador é também usado para representar o divergente de um campo vetorial. Se é dado por , define se NABLA ESCALAR F por: Logo, da definição de divergente, temse A partir deste momento será usada a notação invés de div F. EXEMPLO RESOLVIDO 3 Encontrar o divergente do campo vetorial num 29/03/2015 Licenciatura em Matemática http://www.virtual.ufc.br/solar/aula_link/lmat/A_a_H/calculo_diferencial_II/aula_081236/01.html#retratil 4/8 ponto qualquer. SOLUÇÃO Da definição de divergente, temse ∇⋅ F(x,y) = assim ∇⋅ F(x,y) = y sec2 x + EXEMPLO PROPOSTO 3 Achar o divergente do campo vetorial num ponto qualquer. Se F é um campo vetorial tal que tem derivadas parciais de segunda ordem em relação a cada variável , o LAPLACIANO de f é definido por e a equação é dita a EQUAÇÃO DE LAPLACE. Uma função que é solução da equação de Laplace num subconjunto B do seu domínio é chamada uma FUNÇÃO HARMÔNICA em B. EXEMPLO RESOLVIDO 4 Sendo onde provar que f é harmônica exceto na origem. SOLUÇÃO Como ∇2f(x,y,z) = ∇.∇|r|1, temse logo f é solução da equação de Laplace exceto na origem, ou seja, f é harmônica em qualquer conjunto que não contém a origem. EXEMPLO PROPOSTO 4 Se onde , verificar se f é harmônica em algum subconjunto do seu domínio. Se F e G são campos vetoriais e f é uma função real, o divergente tem das seguintes propriedades: As demonstrações destas propriedades são consequência direta da definição e estão sugeridas no exercício 31 do exercitando deste tópico. 29/03/2015 Licenciatura em Matemática http://www.virtual.ufc.br/solar/aula_link/lmat/A_a_H/calculo_diferencial_II/aula_081236/01.html#retratil 5/8 Seja um campo vetorial definido por , tal que existem num subconjunto , então o ROTACIONAL de F é o campo vetorial definido num ponto (x,y,z) de B por: Se é definido por tal que fy e gx existem num subconjunto , a função real dada por gx fy também é chamada de ROTACIONAL de F. É possível encontrar a expressão para rot F usando o operador , sendo assim, definese NABLA VETORIAL F por: onde os produtos nos cálculos dos determinantes de segunda ordem, indicam derivadas parciais. Assim: ou seja A partir deste momento será usada a notação invés de rot F. EXEMPLO RESOLVIDO 5 Calcular o rotacional do campo vetorial SOLUÇÃO Por definição, temse EXEMPLO PROPOSTO 5 Calcular o rotacional do campo vetorial Se F é um campo vetorial tal que em todo ponto P de um subconjunto B do seu domínio, dizse que F é um campo vetorial IRROTACIONAL em B. É possível mostrar que sob certas restrições, um campo vetorial é conservativo se, e somente se, ele é irrotacional (isto será tratado 29/03/2015 Licenciatura em Matemática http://www.virtual.ufc.br/solar/aula_link/lmat/A_a_H/calculo_diferencial_II/aula_081236/01.html#retratil 6/8 no curso posterior de Cálculo). Dado um campo vetorial , se existe outro campo vetorial tal que num subconjunto , o campo G é dito um POTENCIAL VETORIAL do campo F em B. A existência de um potencial vetorial para um campo vetorial dado, está relacionada com campos solenoidais, assim como os campos conservativos estão relacionados com campos irrotacionais.É possível mostrar que sob certas restrições, um campo vetorial tem um potencial vetorial se, e somente se, ele é solenoidal; tais restrições, referemse ao campo vetorial e ao conjunto onde é desejado que o campo tenha o potencial vetorial. O exemplo 6 a seguir, estabelece um tipo de conjunto (que constitui um grupo de conjuntos amplamente utilizados), onde a equivalência se verifica. No curso posterior de Cálculo, será visto um tipo de conjunto onde um campo é solenoidal, mas que ele não possui um potencial vetorial nesse conjunto. EXEMPLO RESOLVIDO 6 Seja B um conjunto aberto do R3, onde dois pontos quaisquer de B podem ser ligados através de segmentos paralelos aos eixos coordenados. Se é de classe C1 em , mostrar que F tem um potencial vetorial em B se, e somente se, F é solenoidal em B. SOLUÇÃO Se F tem um potencial vetorial G num subconjunto B do domínio de F, decorre facilmente da definição de divergente que ∇⋅F = 0 em B. A verificação está sugerida no exercício 34 do exercitando deste tópico. Para mostrar que F tem um potencial vetorial em B, suponha que F seja solenoidal em B. Sendo F(x,y,z) = (f1(x,y,z),f2(x,y,z),f3(x,y,z)), a existência do potencial vetorial G(x,y,z) = (g1,(x,y,z),g2,(x,y,z),g3, (x,y,z)) significa que F = ∇ x G, ou equivalente, que existe uma solução G(x,y,z) = (g1,(x,y,z),g2,(x,y,z),g3(x,y,z)) para o sistema Considerando (isto é, g3 dependendo apenas de z), temse assim (por integração) onde z0 é constante, f e g são funções que independem de z. Resta 29/03/2015 Licenciatura em Matemática http://www.virtual.ufc.br/solar/aula_link/lmat/A_a_H/calculo_diferencial_II/aula_081236/01.html#retratil 7/8 determinar as funções f e g. Substituindo g1(x,y,z) e g2(x,y,z) f3 na equação de f3, obtémse Como F é solenoidal em B, isto é, em B, tem se em B, assim ou seja, f e g devem ser soluções da equação fx(x,y) gy(x,y) = f3(x,y,z0). Tomando f(x,y) = onde x0 é constante e g(x,y) = , a última equação se verifica. Portanto, se F é solenoidal em B, definindo o campo vetorial por temse F(x,y,z) = ∇ x G(x,y,z) para (x,y,z) € B. EXEMPLO PROPOSTO 6 Resolva o exemplo anterior fazendo Se F e G são campos vetoriais e f é uma função real, o rotacional tem as seguintes propriedades: As demonstrações destas propriedades decorrem diretamente da definição e estão sugeridas no exercício 31 do exercitando deste tópico. ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá ao exercitando (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.) e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder, individualmente ou em grupo. Os exercícios 5, 11, 15, 22 e 35 são as respectivas QUESTÕES 1 ATÉ 5 do trabalho desta aula a ser postado no PORTFÓLIO INDIVIDUAL do ambiente SOLAR. É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio num único arquivo com extensão DOC ou manuscrito e escaneado, no período indicado na AGENDA do ambiente SOLAR. LEITURA COMPLEMENTAR No texto “Mudança de Coordenadas (Visite a aula online para realizar http://www.virtual.ufc.br/solar/aula_link/lmat/A_a_H/calculo_diferencial_II/aula_08-1236/imagens/01/exercitando8unico.doc http://www.virtual.ufc.br/solar/aula_link/lmat/A_a_H/calculo_diferencial_II/aula_08-1236/imagens/01/mudanca_coordenadas.doc 29/03/2015 Licenciatura em Matemática http://www.virtual.ufc.br/solar/aula_link/lmat/A_a_H/calculo_diferencial_II/aula_081236/01.html#retratil 8/8 download deste arquivo.)”; inicialmente, apresentamos as coordenadas cilíndricas e esféricas; posteriormente, estudaremos os operadores gradiente, divergente e rotacional em outros tipos de coordenadas além das coordenadas cartesianas. O tema é aplicado principalmente em Física, é recomendável uma leitura. Responsável: Professor Jonatan Floriano da Silva Universidade Federal do Ceará Instituto UFC Virtual http://www.ufc.br/ http://www.virtual.ufc.br/ http://www.virtual.ufc.br/solar/aula_link/lmat/A_a_H/calculo_diferencial_II/aula_08-1236/imagens/01/mudanca_coordenadas.doc
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