Livro- Texto - Unidade I - Geometria Espacial

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Autores: Profa. Ana Chiummo
 Prof. Gaston Alberto Concha Henriquez
 Profa. Valéria de Carvalho 
Colaboradores: Profa. Marisa Rezende Bernardes
 Profa. Kelly Cristina Rosa
 Prof. Daniel Scodeler Raimundo
Geometria Espacial
Professores conteudistas: Ana Chiummo / 
Gaston Alberto Concha Henriquez / Valéria de Carvalho
Ana Chiummo
Possui mestrado em Educação Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (1998) e doutorado em 
Educação (Currículo) pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (2004). Tem experiência na área de Matemática com 
ênfase em Informática e Trabalho com Educação de Jovens e Adultos, atuando principalmente nos seguintes temas: Parcerias, 
Inclusão Digital, Mundo Digital, Alfabetização Digital e Inclusão Cidadã. É especialista em Mídias Digitais e Educação a Distância. 
Coordenadora auxiliar do curso de Licenciatura Plena em Matemática com Ênfase em Informática da UNIP dos campus Tatuapé 
e Chácara Santo Antonio. É diretora da Emef Dr. Fabio da Silva Prado, trabalhando com inclusão de alunos com necessidades 
especiais juntamente com a AACD – Diretoria Regional de Educação Penha.
Gaston Alberto Concha Henriquez
Doutorando em Educação Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC) e mestre em Ensino de Ciências 
e Matemática pela Universidade de São Paulo (USP). É especialista em Educação e Informática pela Universidade de Concepción, 
do Chile, e possui licenciatura em Matemática e Física também por essa instituição. Atualmente é professor na Faculdade de 
Computação e Informática da Universidade Presbiteriana Mackenzie, professor de pós‑graduação na Universidade Cidade de São 
Paulo e professor e tutor acadêmico da EaD da Universidade Paulista (UNIP). Possui ampla experiência nas áreas de Matemática, 
Novas Tecnologias e Educação. Atualmente cursa doutorado, pós‑graduação em EaD e está concluindo pós‑graduação em Bioética. 
Ministra disciplinas de Probabilidade e Estatística, Geometria Plana, Geometria Espacial, Análise Real, Cálculo a Duas Variáveis e 
Física, além de orientar trabalhos de conclusão de curso.
Valéria de Carvalho
Possui graduação em Ciências, com habilitação em Matemática pela Universidade de Bauru (1987), atual Universidade 
Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. É mestre em Educação Matemática pela Universidade Estadual de Campinas 
(1999) e doutora em Educação Matemática também pela Universidade Estadual de Campinas (2007). Foi professora 
colaboradora do Laboratório de ensino de Matemática da Universidade Estadual de Campinas e atualmente leciona na 
Universidade Paulista, sendo também coordenadora do curso de Matemática na modalidade EaD. Possui experiência nas 
áreas de Educação, com ênfase em Ensino e Tecnologias, Educação Matemática e Educação Matemática Crítica, atuando 
principalmente nos seguintes temas: Educação Matemática: Matemática Crítica; Educação Matemática: Tecnologias de 
Informação e Comunicação; Sociedade e Meio Ambiente; Educação Estatística e Tecnológias, Estatística e Cálculo.
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
C543g Chiummo, Ana.
Geometria espacial / Ana Chiummo, Gaston Alberto Concha 
Henriquez, Valéria de Carvalho. ‑ São Paulo: Editora Sol, 2013.
140 p., il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XIX, n. 2‑005/13, ISSN 1517‑9230.
1. Matemática. 2. Geometria. 3. Informática. I. Título.
CDU 514.75
U501.13 – 19
Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Prof. Dr. Yugo Okida
Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona‑Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy 
Prof. Marcelo Souza
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Lucas Kater
 Lucas Ricardi
 Luanne Batista
Sumário
Geometria Espacial
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................9
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................9
Unidade I
1 NOÇÕES PRELIMINARES SOBRE GEOMETRIA ...................................................................................... 11
1.1 Conceitos preliminares ....................................................................................................................... 11
1.2 Postulados: ponto e reta ................................................................................................................... 14
1.3 Paralelismo no espaço ........................................................................................................................ 16
1.3.1 Planos secantes ....................................................................................................................................... 16
1.3.2 Planos paralelos ....................................................................................................................................... 16
1.3.3 Planos coincidentes ............................................................................................................................... 16
1.3.4 Posições entre reta e plano ................................................................................................................. 17
1.4 Perpendicularidade de reta e plano .............................................................................................. 18
1.4.1 Perpendicularidade de dois planos .................................................................................................. 19
2 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS ............................................................................................................................... 23
2.1 Prisma ....................................................................................................................................................... 23
2.1.1 Prisma reto ................................................................................................................................................ 23
2.1.2 Prisma oblíquo ......................................................................................................................................... 23
2.2 Prisma regular ........................................................................................................................................ 24
2.2.1 Planificação de um prisma e cálculo da área lateral ................................................................ 25
2.3 Volume de um prisma ........................................................................................................................ 26
2.4 Volume de um prisma qualquer ..................................................................................................... 26
3 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS: PARALELEPÍPEDO ......................................................................................... 27
3.1 Paralelepípedo ....................................................................................................................................... 27
3.1.1 Propriedadesdo paralelepípedo ....................................................................................................... 28
3.1.2 Área lateral e área da base de um paralelepípedo retângulo ............................................... 29
3.1.3 Área total de um paralelepípedo retângulo ................................................................................. 29
3.1.4 Volume ........................................................................................................................................................ 30
3.2 Cubo ........................................................................................................................................................... 31
3.2.1 Área total do cubo, cuja aresta mede a ......................................................................................... 32
3.2.2 Volume do cubo, cuja aresta mede a .............................................................................................. 33
4 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS: PIRÂMIDES ..................................................................................................... 34
4.1 Pirâmides ................................................................................................................................................. 34
4.1.1 Classificação das pirâmides ................................................................................................................ 35
4.1.2 Elementos da pirâmide ......................................................................................................................... 36
4.1.3 Áreas de pirâmides ................................................................................................................................. 37
4.1.4 Volume de uma pirâmide .................................................................................................................... 38
4.2 Tronco de pirâmides ............................................................................................................................ 39
4.2.1 Secção transversal de uma pirâmide .............................................................................................. 39
4.2.2 Tronco de pirâmide quadrangular ................................................................................................... 41
4.2.3 Área do tronco de pirâmide ................................................................................................................ 41
4.2.4 Volume do tronco de pirâmide ......................................................................................................... 42
Unidade II
5 IDENTIFICAÇÃO DE POLIEDRO E SEUS ELEMENTOS .......................................................................... 48
5.1 Relações entre as faces de um triedro ......................................................................................... 49
5.2 Ângulo poliédrico ................................................................................................................................. 49
5.3 Poliedros ................................................................................................................................................... 50
5.3.1 Poliedro convexo ..................................................................................................................................... 50
5.3.2 Poliedro côncavo ..................................................................................................................................... 51
5.4 Relação de Euler ................................................................................................................................... 51
6 CILINDROS, CONES E ESFERAS .................................................................................................................. 52
6.1 Cilindros ................................................................................................................................................... 52
6.1.1 Elementos do cilindro ........................................................................................................................... 54
6.1.2 Classificação dos cilindros circulares .............................................................................................. 55
6.1.3 Secção transversal .................................................................................................................................. 55
6.1.4 Cilindro equilátero .................................................................................................................................. 56
6.1.5 Áreas lateral e total de um cilindro circular reto ....................................................................... 56
6.1.6 Volume do cilindro ................................................................................................................................. 58
6.2 Cone ........................................................................................................................................................... 60
6.2.1 Elementos .................................................................................................................................................. 61
6.2.2 Área lateral ................................................................................................................................................ 63
6.2.3 Área total ................................................................................................................................................... 64
6.3 Cones equiláteros ................................................................................................................................. 64
6.3.1 Volume do cone ....................................................................................................................................... 65
6.3.2 Tronco de cone ......................................................................................................................................... 69
6.3.3 Áreas de um tronco de cone .............................................................................................................. 70
6.3.4 Volume de um tronco de cone .......................................................................................................... 71
6.4 Esfera ......................................................................................................................................................... 73
6.4.1 Secção ......................................................................................................................................................... 74
6.4.2 Volume da esfera e área da superfície esférica .......................................................................... 74
6.4.3 Área da esfera ........................................................................................................................................... 75
6.4.4 Fuso esférico ............................................................................................................................................. 76
6.4.5 Cunha esférica ......................................................................................................................................... 77
Unidade III
7 GEOMETRIA ESPACIAL EM UM APLICATIVO COMPUTACIONAL LIVRE ....................................... 82
7.1 Wingeom: instalação .......................................................................................................................... 82
7.2 Wingeom: recursos tridimensionais básicos ............................................................................. 84
7.3 Construções geométricas analíticas (pontos, segmento, face, esfera, cone, 
tronco, cilindro e disco) ............................................................................................................................. 85
7.3.1 Construindo poliedros regulares ......................................................................................................85
7.3.2 Construindo poliedros semirregulares ........................................................................................... 89
7.3.3 Construindo prismas ............................................................................................................................. 91
7.3.4 Construindo pirâmides regulares ..................................................................................................... 94
7.3.5 Construindo superfícies regulares ................................................................................................... 99
7.4 Exercitando e aplicando ..................................................................................................................104
8 ATIVIDADES PARA O FÓRUM: USE AS FERRAMENTAS DO WINGEOM 3‑D PARA 
CONSTRUIR OS DESAFIOS SOLICITADOS .................................................................................................122
8.1 Exercícios ...............................................................................................................................................123
8.2 Respostas dos exercícios .................................................................................................................127
9
APRESENTAÇÃO
O objetivo desta disciplina é fazer com que os discentes desenvolvam um corpo de conhecimentos 
geométricos suscetível de ser aplicado à realidade dos Ensinos Fundamental e Médio, fazendo um link 
com a informática e levando os alunos a uma geometria mais dinâmica.
Objetiva desenvolver nos alunos hábitos de estudo e resolução de problemas em geometria e 
poliedros com aplicação de softwares matemáticos, como o Wingeom e/ou outros, que permitem a 
construção de figuras tridimensionais.
A disciplina leva os alunos a adquirir condições de discutir os conceitos e visualizar por meio dos 
aplicativos, criando um ambiente virtual.
Bom estudo!
INTRODUÇÃO
O nosso mundo é repleto de objetos, seres e variados corpos, que possuem as mais variadas formas e 
tamanhos. Observando‑os, foi possível ao homem representá‑los, ou seja, abstrair‑lhes as formas, dando‑lhes 
vida própria, criando figuras geométricas.
Assim surgiu a geometria. Utilizando a abstração, podemos transformar um baú de caminhão em 
um paralelepípedo, uma bolinha de gude em uma esfera, um chapéu de palhaço em um cone e um dado 
em um cubo, entre outras coisas.
Cada uma dessas figuras possui propriedades específicas e estudadas pela geometria, conforme você 
verá neste livro‑texto.
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GEOMETRIA ESPACIAL
Unidade I
1 NOÇÕES PRELIMINARES SOBRE GEOMETRIA
1.1 Conceitos preliminares
Para que possamos entender melhor as propriedades da geometria, relembraremos a seguir alguns 
conceitos ditos primitivos sobre ela.
Ponto: como você o definiria? Imagine‑o. Qual é sua dimensão?
Um ponto é considerado um conceito primitivo, ou seja, não possui definição, ele é aceito por ser 
óbvio e um pré‑requisito para uma teoria.
A notação utilizada para representar um ponto são as letras maiúsculas: A, B, C, E...
Nas figuras planas podemos localizar pontos. Por exemplo, na figura 1, no círculo, o ponto A é seu 
centro, B é um ponto qualquer sobre o círculo e a distância de A até B é o raio.
A
B
Figura 1 – Círculo
Já na figura 2, o triângulo, os pontos ABC são os seus vértices.
A
CB
Figura 2 – Triângulo
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Uma reta também é considerada um conceito primitivo. Ela é derterminada por dois pontos distintos. 
Uma reta é infinita, e nela existem infinitos pontos. Podemos dizer que, por um único ponto passam 
infinitas retas.
A notação para representarmos uma reta são as letras minúsculas: r, s, t.
Utilizando como exemplos as figuras anteriores, o círculo e o triângulo, podemos traçar retas. No 
círculo, a partir do ponto A, localizado no centro e qualquer outro ponto sobre o círculo podemos traçar 
uma reta, conforme a figura 3.
A
B
Figura 3 – Reta passando no centro do círculo
Na figura a seguir, temos uma reta que contém um lado do triângulo e que passa pelos pontos B e C.
A
CB
Figura 4 – Reta que contém um lado do triângulo
Observações:
• uma reta é infinita;
• por um único ponto passam infinitas retas;
• dois pontos distintos determinam uma única reta;
• uma reta é formada por infinitos pontos.
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GEOMETRIA ESPACIAL
Um plano é formado por infinitas retas e infinitos pontos, e dizemos que três pontos não colineares 
(não alinhados) determinam um plano.
A notação para representarmos um plano são as letras minúsculas do alfabeto grego: α, β, γ.
A
C
α
B
Figura 5
Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então ela está contida nele. Tal reta é chamada 
coplanar.
α
r
Figura 6
Podemos também formar um plano a partir de uma reta e um ponto fora dela.
A
P
B
β
r
Figura 7
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Podemos formar um plano por duas retas concorrentes, ou seja, duas retas são ditas concorrentes 
quando possuem um ponto em comum.
A
P
s
r
Rγ
Figura 8
Por duas retas paralelas distintas, também formamos um plano.
C
BA
s
α
r
Figura 9
1.2 Postulados: ponto e reta
Todas as retas contêm infinitos pontos, e, por um único ponto, passam infinitas retas; por dois 
pontos distintos passa uma única reta; e um ponto P pertencente a uma reta divide‑a em duas 
semirretas.
P
Figura 10
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GEOMETRIA ESPACIAL
Iezzi et al. (2007) apresentam as afirmações a seguir, que podem ser classificadas em verdadeiras ou 
falsas, conforme as justificativas:
I – Dado um ponto, existe uma reta que o possui.
Justificativa: verdadeiro, pois dado um ponto P, por ele passam infinitas retas e, portanto, passa pelo 
menos uma reta.
l
r
P
Figura 11
II – Dados dois pontos distintos, existe um único plano passando por eles.
Justificativa: falso, pois dados dois pontos distintos P e Q, por eles passam infinitos planos. Basta 
tomar um ponto A fora da reta 
→
PQ e temos α = (APQ)
III – Três pontos distintos determinam um único plano.
Justificativa: falso, pois os três pontos poderiam estar numa mesma reta e, nesse caso, não determinam 
um único plano. Eles precisariam ser não colineares para que fosse possível determinar um único plano.
A
B
C
r
Figura 12
IV – Os vértices de um triângulo são coplanares.
Justificativa: verdadeiro, pois os vértices de um triângulo são três pontos não colineares. Eles 
determinam um plano que contém o triângulo.
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B
C
A
α
Figura 13
1.3 Paralelismo no espaço
1.3.1 Planos secantes
Quando dois planos distintos se interceptam em uma reta, são denominados secantes. Os pontos 
comuns entre tais planos formam uma reta.
α
rβ
 α ∩ β = r
Figura 14
Assim, α e β são secantes e r é a reta intersecção.
1.3.2 Planos paralelos
Dois planos são paralelos se não possuem ponto em comum, ou seja, sua intersecção é um conjunto 
vazio.
α
β
α ∩ β = φ
Figura 15
1.3.3 Planos coincidentes
Dois ou mais planos são coincidentes quando todos seus pontos são iguais. Assim, dizemos queo 
plano α é coincidente ao plano β. α = β.
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α ≡ β
Figura 16
1.3.4 Posições entre reta e plano
Uma reta e um plano são paralelos quando sua intersecção for um conjunto vazio.
Exemplo:
α
r
t
Figura 17
Vamos analisar a figura.
Note que temos a reta r, que é paralela ao plano α. Nesse caso, podemos dizer que a reta r e o plano 
α são paralelos, pois sua intersecção é um conjunto vazio.
Verifique que temos outra reta t contida no plano. Nesse caso, podemos afirmar que todos os pontos 
da reta t estão contidos no plano α.
Se tivermos uma reta r que possui um único ponto (P) no plano α, podemos afirmar que a reta e o 
plano são concorrentes.
Exemplo:
α
r
P
Figura 18
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São chamadas retas reversas r e s se não existir um único plano que as contenha.
Exemplo:
α
S
r
 r ∩ s = φ
Figura 19
Duas ou mais retas r e s serão consideradas concorrentes quando possuírem um ponto P em 
comum.
Exemplo:
α
r
R
S
P
Q
 r ∩ s = P
Figura 20
1.4 Perpendicularidade de reta e plano
Se uma reta r for perpendicular a duas retas concorrentes do plano α, então ela é perpendicular ao 
plano.
Exemplo:
α
r
t
u
S
P
Figura 21
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r ⊥ u, r ⊥ s, r ⊥ t, s ⊥ u = P t ⊂ α, s ⊂ α, u ⊂ α
Assim, r ⊥ α.
1.4.1 Perpendicularidade de dois planos
Dois planos são perpendiculares se um deles contém uma reta perpendicular ao outro.
α
β
s
r
t
Figura 22
α ⊥ β α ∩ β = s ; t ⊥ s
Logo, t ⊥ β.
 Lembrete
Até o momento, apresentamos alguns conceitos provavelmente 
já aprendidos em geometria plana, sendo alguns deles considerados 
primitivos.
A partir agora, trabalharemos com os sólidos geométricos e suas propriedades.
 Observação
Um sólido geométrico pode ser considerado uma região do espaço 
limitada por uma superfície fechada. Os sólidos geométricos são classificados 
em poliedros e não poliedros.
Os poliedros são sólidos cujas faces são polígonos, ou seja, superfícies 
planas. A superfície de um poliedro é composta por um número finito de 
faces.
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Exemplos:
Figura 23 – Poliedro (cubo)
E
A B C
Figura 24 – Poliedro (pirâmide)
E
B
A
Figura 25 – Poliedro (prisma triangular)
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B C
D
E
F G
H
Figura 26 – Poliedro (paralelepípedo)
 Saiba mais
Os sólidos platônicos são sólidos convexos cujas arestas formam 
polígonos planos regulares congruentes. Ao longo deste texto, 
exploraremos dois desses sólidos: o cubo e a pirâmide. Para saber mais, 
acesse: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm43/sol_plat.htm>.
 Lembrete
Os sólidos que não são considerados poliedros são aqueles em que uma 
das faces não é uma superfície plana ou que possuem somente superfícies 
curvas.
Vejamos alguns exemplos:
A
C
B
D
Figura 27 – Superfícies curvas (cilindro)
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C
B
Figura 28 – Superfícies curvas (cone)
B
Figura 29 – Superfícies curvas (esfera)
Uma característica importante dos sólidos são suas capacidades volumétricas. Em figuras planas, 
é impossível calcular o volume, pois elas são lineares ou bidimensionais. Como os sólidos são figuras 
geométricas espaciais, precisamos descobrir suas respectivas capacidades de armazenamento.
Imaginem se não houvesse esses sólidos, como armazenaríamos água, por exemplo?
Vamos tomar como exemplo uma caixa d’água em formato cúbico. Como calculamos a capacidade 
de água dessa caixa se suas dimensões forem de 1 metro de aresta?
Primeiro, precisamos equivaler medidas, ou seja, 1 litro de água equivale a 1 dm3 e 1 dm3 equivale 
a 1000 cm3. Sabemos que 1 metro possuiu 100 cm. Podemos dizer que em cada cubo de 10 cm cabe 1 
litro de água. Logo, em uma caixa de 1 metro de aresta cabem 1000 litros de água.
 Saiba mais
Neste link você encontra uma animação sobre os sólidos geométricos: 
<http://www.slideboom.com/presentations/116318>.
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GEOMETRIA ESPACIAL
A partir desse momento, apresentaremos os sólidos geométricos e suas respectivas propriedades.
2 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
2.1 Prisma
Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos 
paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos.
Quadro 1
Bases: regiões 
poligonais congruentes
Altura: distância entre 
as bases
Arestas laterais 
paralelas: mesmas 
medidas
Faces laterais: 
paralelogramos
Prisma reto Aspectos comuns Prisma oblíquo
2.1.1 Prisma reto
As arestas laterais têm o mesmo comprimento e são perpendiculares ao plano da base.
As faces laterais são retangulares.
2.1.2 Prisma oblíquo
As arestas laterais têm o mesmo comprimento e são oblíquas ao plano da base.
As faces laterais não são retangulares.
Vejamos alguns prismas:
Figura 30 – Prisma pentagonal reto
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Figura 31 – Prisma triangular
ha
Figura 32 – Prisma quadrangular
Figura 33 – Prisma hexagonal
2.2 Prisma regular
É um prisma reto cujas bases são regiões poligonais regulares.
Exemplos:
Polígono regular
Prisma hexagonal 
regular
Figura 34
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GEOMETRIA ESPACIAL
• Um prisma triangular regular é um prisma reto cuja base é um triângulo equilátero.
• Um prisma quadrangular regular é um prisma reto cuja base é um quadrado.
2.2.1 Planificação de um prisma e cálculo da área lateral
Base
Base
h
l
l
Figura 35
Verifique que a planificação de um prisma facilita a visão e o modo como vamos calcular a área 
lateral.
Veja que “abrindo” um prisma de base hexagonal obteremos seis retângulos, de lado l e altura h.
As bases são hexágonos que serão subdivididos em seis triângulos equiláteros. 
Alat = n AFace lateral
Exemplo:
A altura de um prisma reto é 6 cm, e a base é um triângulo cujos lados medem 13 cm, 14 cm e 15 cm. 
A área lateral desse prisma é:
Resolução: altura (h) = 6
Aresta da base (ab) = 13, 14 e 15
Nº de lados = 3 (triângulo)
A Lateral = nº de faces x (Base x Altura)
A Lateral = n x (b x h)
A Lateral = (13 (aresta da face 1) + 14 (aresta da face 2) + 15 (aresta da face 3)) x 6)
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 Observação
Não há necessidade de multiplicar a base e a altura pelo número de 
lados, pois o prisma é irregular, com base triangular com lados diferentes. 
A solução foi feita somando‑se as três arestas da base e multiplicando‑se 
pelaaltura, como feito na resolução exposta anteriormente.
A Lateral = 252 cm2
2.3 Volume de um prisma
O volume de um prisma é dado por:
Vprisma = Abase. h
2.4 Volume de um prisma qualquer
H V = B.H
Figura 36
Veja um exemplo retirado de Iezzi et al (2007): um prisma hexagonal regular tem a aresta da base 
igual à altura. Determine seu volume, sabendo que sua área lateral é Y.
(a=h, Y = 6a.h) → Y a a
Y
a
Y
h= ⇒ ⇒ ⇒ = =6
6
6
6
2 2
Se a base é um hexágono regular, vem:
A
a
a ab = =6 2
3
2
3 3
1
2
2. .
Se a
Y2
6
= , temos: A Y A Yb b= ⇒ =
3 3
2 6
3
4
.
Volume:
V A hb= .
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A
Y
e h
Y
b = =
3
4
6
6
V= Y Y Y Y Y Y V Y Y
3
4
6
6
18
24
3 2
24
2
1
8
. .= = ⇒ =
3 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS: PARALELEPÍPEDO
3.1 Paralelepípedo
Uma forma geométrica, delimitada por seis retângulos, cujas faces opostas são retângulos idênticos, 
é chamada bloco retangular ou paralelepípedo.
Um paralelepípedo nada mais é do que um prisma cujas bases são paralelogramos. Os paralelepípedos podem ser:
Retos
B C
D
E
F
G
H
Figura 37 – Paralelepípedo reto
O paralelepípedo reto possui retângulos em suas faces laterais, e suas duas bases são paralelogramos.
Oblíquos
Figura 38 – Paralelepípedo oblíquo
O paralelepípedo oblíquo possuiu paralelogramos em suas seis faces.
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Retângulos
C
G
F
E
A
D
H
Figura 39 – Paralelepípedo retângulo
E os paralelepípedos retângulos, como o próprio nome já diz, possuem retângulos em suas seis 
faces.
3.1.1 Propriedades do paralelepípedo
3.1.1.1 Diagonal do paralelepípedo
Vamos verificar o paralelepípedo, que tem como dimensão das faces as medidas a, b e c; dp é a 
diagonal do paralelepípedo e db é a diagonal da face.
H G
c
F
b
db
dp C
D
A
c
a
E
B
Figura 40
Vamos aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo, para calcular a diagonal do 
paralelepípedo.
Assim, dp
2 = db
2 + c2 equação (1)
Para calcular a diagonal da face (db), aplicaremos o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo. 
Assim, db
2 = a2 + b2 equação (2)
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GEOMETRIA ESPACIAL
Substituindo a equação (1) em (2), vem:
d a b cp = + +
2 2 2
Exemplo:
Calcule a diagonal do paralelepípedo de dimensões 6 cm, 8 cm e 10 cm.
Resolução:
d = + +6 8 102 2 2
d = + +36 64 100
d = 200
d = 10 2
3.1.2 Área lateral e área da base de um paralelepípedo retângulo
O paralelepípedo, por ser um prisma que possui, como suas bases, paralelogramos, tem sua área 
lateral calculada como:
a
a a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
Figura 41
AL= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc = AL = 2(ac + bc)
Já sua área da base, é calculada como:
AB = 2 x (a x b)
3.1.3 Área total de um paralelepípedo retângulo
Considere um paralelepípedo retângulo cujas dimensões são as medidas a, b e c:
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H a G
c
C
b
BaA
c
E
b
D
b
a
c
F
bac
Figura 42
A área total do paralelepípedo é a soma das áreas de suas seis faces. Assim:
A = 2ab + 2ac + 2bc ⇒ A = 2 (ab + ac + bc)
Exemplo:
Qual a área total de um paralelepípedo reto cujas dimensões são 2 cm, 3 cm e 4 cm?
Resolução:
Área T = AI + 2Ab
Área T = 2 x (2 x 3 + 2 x 4) + 2 x (3 x 4)
Área T = 2 x (6 + 8) + 2 x (12)
Área T = 2 x 14 + 24
Área T = 28 + 24 = 52 cm2
3.1.4 Volume
O volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado por:
V = a x b x c
Como o produto de duas dimensões resulta sempre na área de uma face e como qualquer face pode 
ser considerada como base, pode‑se dizer que o volume do paralelepípedo retângulo é o produto da área 
da base pela medida da altura.
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b
a
c = h V = ABh
Figura 43
Exemplo:
Em um paralelepípedo retângulo com 2 cm de altura, a base tem comprimento igual ao triplo da 
medida da largura. Se esse sólido tem 10 cm² de área total, o seu volume, em centímetros cúbicos, é:
h (altura) = 2 cm
C (comprimento) = 3L
L (largura) = L
Ab (área da base) = 3L . L = 3L2
AL (área lateral) = 2(3L x 2) +2(L x 2) = 12L + 4L = AL = 16L
At (área total) = 10cm2 = 2Ab + AL
10 = 2 . Ab + AL
10 = 2 . (3L2) + 16L
6L2 + 16L – 10 = 0  L’ = ‑3,18 e L” = 0,52
V = Ab.h = 3L2 x 2 = 3 x (0,52)2 x 2 = 1,62 cm3
3.2 Cubo
Um cubo é um paralelepípedo retângulo cujas seis faces são quadradas. Suas arestas são congruentes, 
ou seja, possuem a mesma medida.
Dado um cubo de aresta a, podemos observar que essa figura possui 6 faces de mesma área, 
pois são todas quadradas. Temos também a diagonal do cubo D. Para calcular a diagonal do cubo, 
basta calcular a diagonal da face d, que se obtém aplicando o teorema de Pitágoras para qualquer 
face. Assim:
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H G
a
C
B
a
E
A a
dc
db
F
D
Figura 44
d a a
d a
d a
b
b
b
2 2 2
2 22
2
= +
=
=
Para calcular a diagonal do cubo dc, também aplicaremos o teorema de Pitágoras:
d d a
d a a
d a a
d a
d a
c
c
c
c
c
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2
2
3
3
= +
= ( ) +
= +
=
=
.
 Saiba mais
O cubo é um dos cinco sólidos platônicos, também chamado de 
hexaedro. Para mais informações acesse: <http://www.walter‑fendt.de/
m14pt/platonsolids_pt.htm>.
3.2.1 Área total do cubo, cuja aresta mede a
A seguir apresentamos um exemplo genérico para o cálculo da área total de um cubo, considerando 
que sua aresta tenha como medida a:
At = 2(a . a + a . a + a . a) → At = 6.a
2
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3.2.2 Volume do cubo, cuja aresta mede a
V = a . a . a . → V = a3
Exemplo: calcule a área total, o volume e a diagonal de um cubo cuja aresta mede 4 3cm .
Área total:
A aTotal = ⇒ ( )6 6 4 32 2. .
A
A cm
total
total
=
=
6 16 3
288 2
. .
Volume: V = a3 → V = 4 3
3
.( )
 V = 64 3 3 64 3 32. . .⇒
 V = 192. 3 3cm
Diagonal:
d a d cm= → = ⇒ =3 4 3 3 4 3 12. . .
Volume do cubo:
O cubo da figura a seguir possui aresta 4. Decompondo‑o, teremos 4 cubinhos X 4 cubinhos X 4 
cubinhos, ou seja 43 cubinhos de volume unitário.
Figura 45
Exemplo:
Sabendo que a diagonal da face de um cubo mede 10 m, pode‑se afirmar que seu volume é:
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Resolução:
diagonal da face a
a
a x
a
=
=
=
= =
2
10 2
10
2
2
2
10
2
2
5 2
V a
V
V x
V m
=
= ( )
=
=
3
3
3
5 2
125 2 2
250 2
4 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS: PIRÂMIDES
4.1 Pirâmides
Para iniciarmos o estudo sobre as pirâmides, podemos nos remeter às ditas primeiras formas de pirâmides, 
ou seja, as pirâmides egípcias, que são enormes monumentos de pedra construídos há alguns milhares de anos. 
As três mais famosas encontram‑se no planalto de Gizé. A mais alta delas é a grande Pirâmide de Quéops, que 
tem cerca de 150 metros de altura e possui uma base quadrada com 200 metros em cada lado.
Figura 46
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GEOMETRIA ESPACIAL
As pirâmides egípcias são formas harmoniosas. Elas são delimitadas por quatro faces triangulares, e 
sua base é quadrada. Os triângulos de sua face aproximam‑se de um triângulo equilátero.
Contudo, na geometria, o conceito de pirâmide é mais vasto. Sua base, por exemplo, pode ser 
qualquer polígono, e não necessariamente um quadrado, como são as pirâmides egípcias. Já suas faces 
laterais, sempre serão triângulos, mas não necessariamente equiláteros.
Vamos considerar um polígono de pontos ABCDE, todos em um plano α, e consideremos ainda um 
ponto V fora do plano. Se traçarmos segmentos de reta de V até cada um dos cinco pontos contidos no 
plano α, teremos uma pirâmide.
A pirâmide seguinte tem um nome específico: pirâmide pentagonal, porque sua base é um pentágono.
E
A
B
CR
D
α
h
V
Figura 47
 Saiba mais
Você sabia que um tetraedro regular é uma pirâmide regular em que as 
quatro faces são congruentes? A pirâmide também é um sólido platônico. 
Para mais informações, acesse:
<http://www.math.ist.utl.pt/~ppinto/plato5.htm>.
<http://www.dca.fee.unicamp.br/courses/IA841/2s2006/projects/proj_1/
hippler/index.htm>.
4.1.1 Classificação das pirâmides
As pirâmides são classificadas segundo o número de arestas de sua base:
A pirâmide regular quadrangular é assim chamada por possuir sua base quadrada.
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V
A B
C
D
O
Figura 48 – Pirâmide regular quadrangular 
(O ponto O é o centro do quadrado ABCD)
A pirâmide pentagonal tem como base um pentágono.
E
A
B
CR
D
α
h
V
Figura 49
4.1.2 Elementos da pirâmide
VO = h = altura
OM = apótema da base
VM = apótema da pirâmide
Numa pirâmide regular, as faces laterais são triângulos isósceles congruentes entre si.
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GEOMETRIA ESPACIAL
V
M
O
Apótema da pirâmide
Apótema da base
Ponto médio
Figura 50
A base da pirâmide, nesse caso, é um hexágono regular. Ele será subdividido em seis triângulos 
equiláteros; portanto, é só calcularmos a altura de um triângulo BOC por meio do Teorema de Pitágoras 
para descobrirmos o valor do apótema da base.
B M C
O
 OM
a= 3
2
(apótema da base)
Figura 51
Portanto, a área da base é Ab. Assim, a área do hexágono é: Ab = 6.ATriângulo.
4.1.3 Áreas de pirâmides
A área da base de uma pirâmide é exatamente a área do polígono de que é constituída sua base. Já á 
área lateral de uma pirâmide, é a soma das áreas das faces laterais. E a superfície total de uma pirâmide 
é a soma da superfície da base com a superfície lateral.
Suas nomenclaturas são dadas por:
Ab = área da base
At = área lateral
At = área total
At = Ab + At
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Exemplo:
Em uma pirâmide de 10 m de altura, o apótema da base mede 4m. Quanto mede o apótema da 
pirâmide?
Resolução: g2 = 100 + 16
g = √116 m
4.1.4 Volume de uma pirâmide
O volume de uma pirâmide qualquer é a terça parte do produto da área da sua base pela sua altura.
O volume de qualquer pirâmide é a terça parte do volume do prisma que possui a mesma base e a 
mesma altura.
Se Ab é a área da base e h é a altura, temos:
V S hb=
1
3
.
Sb
h
Figura 52
Exemplo:
O lado da base de uma pirâmide regular triangular mede 10 m. Calcule o volume do sólido sabendo 
que sua altura mede √3 cm.
Comentários:
Área da base = 10 5 3
2
x
Área da base = 25√3
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GEOMETRIA ESPACIAL
h2 + 52 = 102
h2 = 100 – 25
h2 = 75
h2 = 5√3
V = Área da base x h =
3
V = 25 3 3
3
x
V = 25cm3
 Saiba mais
As pirâmides egípcias são cercadas de muito mistério. É possível 
encontrar mais informações sobre elas no trabalho de J. A. Lopez, publicado 
no livro O enigma das pirâmides. Nesse trabalho, o autor apresenta toda a 
matemática envolvida para a construção de pirâmides.
4.2 Tronco de pirâmides
Quando uma pirâmide regular for interceptada em todas suas arestas por um plano, paralelamente 
às suas bases, o plano dividirá esse sólido em dois novos sólidos: uma nova pirâmide e o tronco da 
pirâmide.
Podemos observar que no tronco de uma pirâmide, as arestas laterais são congruentes entre si e as 
bases são polígonos regulares semelhantes. Suas faces laterais são trapézios isósceles congruentes entre 
si e a altura de qualquer face lateral denomina‑se apótema do tronco.
4.2.1 Secção transversal de uma pirâmide
É a intersecção da pirâmide com um plano paralelo à base.
h é a altura da pirâmide V (A’ B’ C’ D’ E’)
H é a altura da pirâmide V (ABCDE)
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V
h
H
β
A’ E’ D’ C’
B’
α
A E D C
B
Figura 53
Quando se secciona uma pirâmide por um plano paralelo à base, as arestas laterais e a altura ficam 
divididas na mesma razão pela propriedade da semelhança.
A razão entre a área da secção e a área da base é igual ao quadrado da razão de semelhança.
VA’ = VB’ = VC’ = VD’ = VE’ = h 
VA VB VC VD VE H
área A’ B’ C’ D’ E’ = h
2 
 área A B C D E H2
A razão entre os volumes das pirâmides é igual ao cubo da razão de semelhança.
Volume V A B C
Volume V ABC
h
H
’ ’ ’ ...
...
’( )
( ) =




3
Quando cortamos uma pirâmide com um plano paralelo à base, surgem dois sólidos: o sólido que 
contém o vértice e o sólido que contém a base – a esse último, podemos chamar de tronco de pirâmide.
Altura h
Base maior
h’
H
Pirâmide Tronco de pirâmide
Base menor
α
Figura 54
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GEOMETRIA ESPACIAL
Exemplo:
Dada uma pirâmide de 12 cm de altura e 360 cm2 de área da base, a que distância do vértice deve 
estar uma secção transversal de 250 cm2, sendo x a distância pedida?
A
A
x
h
xs
b
= 



→ 



=
2 2
12
250
360
x
x cm
12
5
6
10= ⇒ =
4.2.2 Tronco de pirâmide quadrangular
As bases são paralelas e semelhantes, as faces laterais são trapézios isósceles congruentes entre si.
O apótema é a altura de qualquer um desses trapézios.
As arestas laterais são congruentes entre si.
Figura 55
4.2.3 Área do tronco de pirâmide
Área das bases: Ab+AB
Ab = área da base do menor polígono
AB = área da base do maior polígono
Área lateral: é a soma das áreas de todos os trapézios. Planificando o tronco de pirâmide para uma 
melhor visualização, temos:
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Figura 56
Área total: é a soma da área das bases com a área lateral.
Atotal = Ab + AB + Alateral
Exemplo:
Uma pirâmide de 9 cm de altura tem 270 cm2 de área da base. A que distância do vértice deve estar 
uma secção transversal de 120 cm?
Resolução:
A
A
h
h
A
A
h A
A
hs
b
s
b
s
b
= 



= = = 



= = = 



’ ’ ’2 2120
270 9
12
27 9
22 24
9 9
= = = 



As
A
h
b
’
A
A
h A
A
h
hs
b
s
b
= = = = = = =4
9 9
2
3 9
6
’ ’
’
4.2.4 Volume do troncode pirâmide
Para calcular o volume do tronco de uma pirâmide basta subtrair o volume da pirâmide total do 
volume da pirâmide menor.
Assim,
V1 = é a pirâmide de volume V → (ABCDE)
V2 = é a pirâmide de volume V → (A’ B’ C’ D’ E’)
V= V1 — V2
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GEOMETRIA ESPACIAL
V
h
H
β
A’ E’ D’ C’
B’
α
A E D C
B
Figura 57
V
h
A A A AB B b b= + ⋅ + 3
Exemplo:
Calcule o volume de um tronco de pirâmide de 3 cm de altura, cujas bases têm áreas de 49 cm2 e 
121 cm2.
Temos:
h = 3 cm
Ab = 49 cm2
AB = 121 cm2
 
V
h
A A A AB B b b= + + 3
.
V = + + 
3
3
121 121 49 49.
V = + +[ ]121 11 7 49.
V = 247 cm3
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 Saiba mais
No século XVII, o matemático italiano Bonaventura Cavalieri estabelece 
um princípio básico para o cálculo de volumes, que diz que dois sólidos que 
tiverem a mesma altura e forem sempre seccionados por um mesmo plano, 
gerando áreas iguais, terão o mesmo volume. Para mais informações, acesse 
o site: <http://www.brasilescola.com/matematica/principio‑cavalieri.htm>.
 Resumo
Para iniciarmos o estudo da disciplina geometria espacial, precisamos 
primeiro recordar os conceitos preliminares da geometria plana, como de 
ponto, reta e plano.
A posição das retas e planos no espaço são importantes para 
compreensão e estudo de figuras tridimensionais. Os sólidos 
geométricos são estudados principalmente devido a sua característica 
volumétrica.
Além disso, para facilitar o cálculo tanto das áreas como de 
volumes dos sólidos, uma alternativa é a planificação dessas figuras. 
Assim, podemos subdividi‑las em outras figuras e efetuar seus 
respectivos cálculos.
 Exercícios
Questão 1. (Enade, 2005) Considere a figura a seguir:
0
A B
CD
Figura 58
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GEOMETRIA ESPACIAL
É uma pirâmide OABCD de altura OA, cuja base é o paralelogramo ABCD. Considere também o 
prisma apoiado sobre a base da pirâmide, e cujos vértices superiores são os pontos médios das arestas 
concorrentes no vértice O. Represente por V1 o volume da pirâmide OABCD e por V2 o volume do prisma. 
A respeito dessa situação, um estudante do ensino médio escreveu o seguinte:
A razão V
V
2
1
 independe de a base da pirâmide OABCD ser um retângulo ou um paralelogramo qualquer
porque
OAB é um triângulo retângulo.
Com relação ao que foi escrito pelo estudante, é correto afirmar que:
A) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.
B) As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa da 
primeira.
C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa.
D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.
E) Ambas as asserções são proposições falsas.
Resposta correta: alternativa B.
Análise das alternativas
Para o caso específico da figura do enunciado, podemos escrever, abaixo, as fórmulas dos volumes 
da pirâmide (V1) e do prisma (V2) apresentadas em seguida.
V
CD CB OA
1 3
= ( . ). , sendo OA a altura da pirâmide.
V
CD CB OA CD CB OA
2 2 2 2 8
= =. . . . .
V
V
CD CB OA
CD CB OA
2
1 3
8 8
3
= =( . ). .
. .
.
Verificamos que CD.CB e AO surgem nos dois volumes. Esses dados determinam que a base da 
pirâmide é um retângulo ou um paralelogramo qualquer e que a altura da pirâmide dada por AO é 
definida quando o ângulo OAB é retângulo ou não.
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Logo, as duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa da 
primeira. Sendo assim:
A) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos, a alternativa é incorreta.
B) Alternativa correta.
Justificativa: de acordo com os cálculos, a alternativa é correta.
C) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos, a alternativa é incorreta.
D) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos, a alternativa é incorreta.
E) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos, a alternativa é incorreta.
Questão 2. (Enade, 2005) Em uma classe da 6ª série do Ensino Fundamental, o professor de 
Matemática propôs aos alunos a descoberta de planificações para o cubo, que fossem diferentes 
daquelas trazidas tradicionalmente nos livros didáticos. Um grupo de alunos produziu a seguinte 
proposta de planificação.
Figura 59
Ao tentar montar o cubo, o grupo descobriu que isso não era possível. Muitas justificativas foram 
dadas pelos participantes e estão listadas nas opções abaixo. Assinale aquela que tem fundamento 
matemático.
A) Não se podem alinhar três quadrados.
B) Tem de haver quatro quadrados alinhados, devendo estar os dois quadrados restantes um de cada 
lado oposto dos quadrados alinhados.
C) Quando três quadrados estão alinhados, não se pode mais ter os outros três também alinhados.
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GEOMETRIA ESPACIAL
D) Cada ponto que corresponderá a um vértice deverá ser o encontro de, no máximo, três segmentos, 
que serão as arestas do cubo.
E) Tem de haver quatro quadrados alinhados, e não importa a posição de justaposição dos outros 
dois quadrados.
Resolução desta questão na plataforma.
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