Determine o raio e o intervalo de convergência, respectivamente, da série de potência . a) 1/2, 1 b) 1/2, -1 c) 1, 1/2

Para determinar o raio e o intervalo de convergência da série de potência, é necessário utilizar o critério de convergência de Cauchy-Hadamard. A série de potência é dada por: ∑(n=0 até infinito) a_n * (x - c)^n Onde a_n são os coeficientes da série, x é a variável e c é o centro da série. Para determinar o raio de convergência, utilizamos a fórmula: R = 1 / lim sup |a_n|^(1/n) Onde lim sup representa o limite superior. Já o intervalo de convergência é dado por: (c - R, c + R) Agora, vamos aplicar o critério de convergência de Cauchy-Hadamard para a série de potência fornecida: ∑(n=0 até infinito) (n^2 / 2^n) * (x - 1)^n Calculando o limite superior: lim sup |(n^2 / 2^n)^(1/n)| = lim sup (n^(2/n) / 2) Podemos utilizar a propriedade de que lim (n^(1/n)) = 1, então: lim sup (n^(2/n) / 2) = 1/2 Portanto, o raio de convergência é R = 1/2. O intervalo de convergência será: (1 - 1/2, 1 + 1/2) = (1/2, 3/2) Portanto, a alternativa correta é a letra c) 1, 1/2.