GRAFICOS DE FUNCOES

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RUGGERO – MATERIAL COMPLEMENTAR DE MATEMÁTICA – 25.02.2015 
1 
 
 
 
 
 
 
1. Função 
 
Uma forma simples de dizer o que é uma função é: 
“Uma função é uma variável (y) que depende de 
outra (x)” 
 
Nosso esquema mental é: 
y é a função – ou variável dependente; 
x é a variável – ou variável independente. 
 
Preste atenção! 
Nem sempre os nomes das variáveis são x e y, o 
exemplo a seguir mostra isso. 
 
Exemplo: 
 
A área de um quadrado é uma função do 
comprimento da diagonal do mesmo quadrado. Vamos 
expressar a área (A) como uma função da diagonal (d). 
Isto é, vamos expressar como a variável A depende da 
variável d: 
Sabemos que a área, A, de um quadrado em função 
do lado, L, é dada por 
(1) A = L × L 
Sabemos, também, que aplicando o Teorema de 
Pitágoras a diagonal, d, de um quadrado em função do 
lado, L, é dada por 
(2) d 2 L= ⋅ 
Então 
(3) 
d
L
2
= 
 
Substituindo (3) em (2) obtemos 
 
(4) 
d d
A
2 2
= × 
Ou seja 
 
(5) 
2d
A
2
= 
 
Aí está: o valor da variável A depende do valor da 
variável d. 
 
2. Gráfico 
 
Para entender corretamente o que é o gráfico de 
uma função primeiro é bom lembrar que: 
a) o gráfico é traçado no Plano Cartesiano (eixo x × 
eixo y); 
b) no plano cartesiano cada ponto é associado a 
um par ordenado (x, y); 
EXERCÍCIO 
 
 
 
a) Marque no plano acima os pontos de 
coordenadas A (2, 3), B (3, 2), C (−4, 2), 
D (2, −4), E (−3, −3), F (−1, −3), G (−3, −1), 
H (−1, 4). 
b) Dê as coordenadas dos pontos I, J, K, L. 
 
 
 
 
Pense no que queremos dizer quando falamos que 
o gráfico da função y = f(x) é a curva abaixo: 
 
 
 
Lembre-se: cada ponto sobre esta curva – como, na 
verdade, cada ponto do plano – está associado a um par 
ordenado (x, y). 
Nos pontos que formam a curva o valor de y é igual 
ao valor de f(x). 
Se quando você fala você entende o que está 
dizendo, vai ver que é isto que significa escrever y = f(x). 
Ou seja, os pontos que formam o gráfico de y = f(x) 
são os pontos da forma (x, f(x)). 
Matemática 
Prof. Piloto 
 
 
Gráficos de Funções 
 
 
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Definição: 
 
O gráfico de uma função y = f(x) é o conjunto 
dos pares ordenados da forma (x, f(x)). 
 
Quando marcamos estes pontos no Plano 
Cartesiano representamos, visualmente, como a função 
(y) depende da variável (x). Observe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1 Traçando Gráficos 
 
Quando começamos a estudar gráficos, lá no 
Ensino Fundamental, fazíamos algo assim: 
Para traçar o gráfico de uma função como, por 
exemplo, 
 
y = x2 – 3x, 
 
Fazíamos uma cruzinha com x e y sobre os braços 
da cruz, íamos dando valores para x e calculando os 
valores correspondentes de y obtendo assim alguns 
pares ordenados. Aí marcávamos estes pares ordenados 
no plano e os uníamos meio de qualquer jeito obtendo, 
normalmente, uma linha toda quebradinha. Como 
abaixo: 
 
x y= f(x) (x, f(x)) 
0 0 (0, 0) 
1 -2 (1, -2) 
-1 4 (-1, 4) 
2 -2 (2, -2) 
-2 10 (-2, 10) 
3 0 (3, 0) 
 
Gráfico de principiante 
 
 
Estudantes mais adiantados, no entanto, fazem 
assim: 
Primeiro: analisam a função e, normalmente, 
identificam o aspecto geral do gráfico. Isto é, concluem 
se o gráfico: 
É uma reta, ou 
É uma parábola, ou 
É uma curva ascendente (que sobe para a direita 
como no desenho), ou 
É uma curva descendente (que desce para a 
direita), ou 
É uma curva com o formato de uma onda (como os 
gráficos de y = senx ou de y = cosx), ou 
É uma curva que, da esquerda para a direita, vem 
subindo (ou descendo) descreve uma(s) onda(s) e volta 
a subir (ou descer) (como os gráficos de muitos 
polinômios de grau maior que dois), ou 
Tem a forma de uma letra “V” (como o gráfico da 
função y = IxI) 
Segundo: localizam alguns pontos importantes do 
gráfico, por exemplo: onde o gráfico corta o eixo y (basta 
calcular o valor de f(0), se 0 pertencer ao domínio da 
função), onde o gráfico corta o eixo x (nos valores de x 
que são as raízes da equação f(x) = 0) 
Terceiro: traçam um esboço elegante do gráfico. 
 
Para concluir você deve observar que é preciso 
conhecer o aspecto geral de alguns gráficos importantes 
e neste material a maioria deles é apresentada adiante. 
 
3. Gráficos de Funções Polinomiais 
 
As funções polinomiais são da forma 
 
y = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn 
 
3.1. Funções Constantes 
 
y = a0 
 
O gráfico é uma reta horizontal 
 
 
 
3.2. Funções polinomiais de grau 1 
 
Função Afim 
y = a0 + a1x (a0 ≠ 0) 
 
ou, na forma mais comum 
 
y = a1x + a0 (a1 ≠ 0) 
 
Ou, ainda: 
 
y = ax + b 
 
y 
x 
a0 
Valor da 
variável 
Valor da 
função 
(x, f(x)) 
y = f(x) 
Este comprimento é o 
valor da função. É 
mais fácil lê-lo 
projetando-o no eixo y
 
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3
3 
x 
a2 > 0 
2 
1 
O gráfico é uma reta inclinada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: Se a função é da forma Vd = a1.Vi + a0, 
o gráfico é uma reta. Se o gráfico é uma reta a função é 
da forma Vd = a1.Vi + a0 (ou seja, y = ax + b). 
 
Reforçando: 
Jamais o gráfico pode ser uma reta se a função 
não for da forma Vd = a1.Vi + a0!!!! 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função Linear (a0 = 0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3. Funções Polinomiais de Grau 2 (Quadráticas) 
 
y = a0 + a1x + a2x2 
 
ou na forma mais comum 
 
y = a2x2 + a1x + a0 (a2 ≠ 0) 
 
Ou ainda: 
 
y = ax² + bx + c 
 
Ou seja 
Vd = a2.(Vi)2 + a1.Vi + a0 
 
O gráfico é uma parábola 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(1) o polinômio y = ax2 + bx + c tem duas raízes 
reais distintas (∆ = b² − 4ac > 0) 
(2) o polinômio y = ax2 + bx + c tem duas raízes 
reais iguais (∆ = b² − 4ac = 0) 
(3) o polinômio y = ax2 + bx + c não tem raízes 
reais (∆ = b² − 4ac < 0) 
 
3.4. Funções Polinomiais de Grau n 
 
São as funções da forma 
 
y = anxn + an-1xn-1 + ... +a2x2 + a1x + a0 
 
O aspecto geral do gráfico depende de n ser par ou 
ímpar e do sinal de an 
 
y 
x 
a1 < 0 
a0 
y 
x 
a1 > 0 
a0 
y 
x 
a1 > 0 
y 
x 
a1 < 0 
x 
a2 < 0 
3 
2 1 
 
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• Se n for ímpar oriente-se pelo gráfico da função 
y = a1 x + a0 (reta “crescente” se a1 > 0 e 
decrescente se a1 < 0). Então: 
 
Reta 
 
 
Função polinomial de grau ímpar 
 
 
Na “porção do meio” do gráfico pode haver 
ondulações, porém, as “pontas” seguem, ou um padrão 
crescente (se an > 0) ou um padrão decrescente 
(se an < 0). 
Se n for par oriente-se pelo gráfico da função 
y = a2 x2 + a1 x + a0 (parábola com concavidade para 
cima se a2 > 0 e parábola com concavidade para baixo 
se a2 < 0). 
 
Parábola 
 
 
Função Polinomial de grau par 
 
 
Na “porção do meio” do gráfico pode haver 
ondulações, porém as “pontas” seguem um padrão que 
acompanha os “ramos” de uma parábola (para cima se 
an > 0, para baixo se an < 0). 
Exemplo 01 
 
 
y = x³ − 6x² + 11x − 6 
 
Exemplo 02 
 
 
y = − x5 + 6x³ − 4x² 
 
Exemplo 03 
 
 
y = x4 − 8x² + 16 
 
Exemplo 04 
 
 
 
y =− x4 + 4x³ + 4x² +4x + 5 
4. Gráficos Importantes 
 
4.1 Função Modular 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
y = x  
 
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4.2 Funções y = senx e y = cosx 
 
 
y = senx 
 
 
 
 
y = cosx 
 
 
 
 
4.3 Função Exponencial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.4 Função Logarítmica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.5 Hipérbole Equilátera 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y = bx (b > 1) 
y = logb x (b > 1) 
y = logb x (0 < b > 1) 
y = 
x
1
 
y = bx (0 < b > 1) 
1 
1 
 
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Observação: Nas aplicações (por exemplo, no estudos 
dos gases 
nRT
V
P
= , sendo P a variável independente) 
normalmente a variável independenteé positiva. Então o 
gráfico tem só o “ramo” direito. 
 
 
 
5. Alterando a Função e Traçando o Gráfico 
 
A seguir considere que n é um número positivo e 
que o gráfico de y = f(x) é conhecido. 
 
5.1 y = f(x) + n 
 
O gráfico é obtido deslocando-se o gráfico de 
y = f(x) n unidades para cima. Veja a figura. 
 
 
 
5.2 y = f(x) – n 
 
O gráfico é obtido deslocando-se o gráfico de 
y = f(x) n unidades para baixo. Veja a figura. 
 
 
 
 
 
5.3 y = f(x + n) 
 
O gráfico é obtido deslocando-se o gráfico de 
y = f(x) n unidades para a esquerda. Veja a figura. 
 
 
 
5.4 y = f(x – n) 
 
O gráfico é obtido deslocando-se o gráfico de 
y = f(x) n unidades para a direita. Veja a figura. 
 
 
 
5.5 y = |f(x)| 
 
O gráfico é obtido conservando-se a parte do 
gráfico de y = f(x) que fica acima do eixo x ou que nele 
toca, e refletindo-se no eixo x a parte do gráfico de 
y = f(x) que fica abaixo deste eixo. Veja a figura. 
 
 
 
1
y , x 0
x
= > 
 
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5.6 y = f(|x|) 
 
O gráfico é obtido conservando-se a parte do 
gráfico de y = f(x) que fica à direita do eixo y ou que nele 
toca, e refletindo-se no eixo y esta mesma parte. Veja a 
figura. 
 
 
 
 
 
 
5.7 y = – f(x) 
 
O gráfico é obtido refletindo-se o gráfico de y = f(x) 
no eixo x. Veja a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. As funções y = senx e y = cosx 
 
6.1 y = n ∙ senx e y = n ∙ cosx 
 
O gráfico de y = senx ou de y = cosx é “esticado” 
(se n>1) ou “espremido” (se n<1), verticalmente, por 
um fator n. observe que as raízes permanecem as 
mesmas. 
 
 
 
6.2 y = sen(nx) e y = cos(nx) 
 
O gráfico de y = senx ou de y = cosx é “esticado” 
(se n>1) ou “espremido” (se n<1), horizontalmente, por 
um fator n. observe que as raízes não são mais as 
mesmas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7. Funções definidas por mais de uma sentença 
 
Para traçar o gráfico de uma função como a dada a 
seguir 
 
3x 2, se x 1 (1ª sentença)
f(x) x² 1, se 1 x 3 (2ª sentença)
x 13, se x 3 (3ª sentença)
+ <
= + ≤ <
− + ≥
 
 
1º) Divida o eixo x nas regiões dadas em cada 
sentença. 
 Na função dada as regiões são: R1: x<1, 
R2: 1 ≤ x < 3 e R3: x ≥ 3. 
 
 
 
2º) Trace o gráfico da função sobre cada região 
observando como a função é definida naquela 
região. 
 
Neste momento é bom ler cada sentença 
começando pela região e pulando para a definição da 
função. 
Assim, por exemplo, leia: 
• a primeira sentença assim: 
 
“se x < 1, então, f(x) = 3x + 2” 
 
Assim você já sabe que na região x < 1 o gráfico de 
f(x) será o “pedaço” da reta de equação y = 3x + 2 
que fica sobre aquela região. 
 
• a segunda sentença assim: 
 
“se 1 ≤ x < 3, então, f(x) = x² + 1” 
 
Assim você já sabe que na região 1 ≤ x < 3 o 
gráfico de f(x) será o “pedaço” da parábola de 
equação y = x² + 1 que fica sobre aquela região. 
 
• a terceira sentença assim: 
 
“se x ≥ 3, então, f(x) = −x + 13” 
 
Assim você já sabe que na região x ≥ 3 o gráfico de 
f(x) será o “pedaço” da reta de equação y = −x+13 
que fica sobre aquela região. 
 
Portanto, o gráfico de 
 
3x 2, se x 1
f(x) x² 1, se 1 x 3
x 13, se x 3
+ <
= + ≤ <
− + ≥
 
é 
 
 
 
ATIVIDADE 
 
01) Trace os gráficos das funções 
 
a) 
x, se x 0
f(x)
x, se x 0
>
= − ≤
 
b) 
x, se x 0
f(x)
x, se x 0
<
= − ≥
 
c) 
x 1, se x 1
f(x)
x 1, se x 1
− ≥
= − + <
 
d) 
x² 2, se 1 x 1
f(x)
2x 3, se x 1 ou x 1
+ − ≤ ≤
=  − < − >
 
e) 
sen x, se 0 x
f(x) x² 1, se x 0
x 5, se x
≤ ≤ π
= − <
 − > π
 
f) 
2
2x, se x 1
f(x) x³ 1, se 1 x 4
log x, se x 4
<
= + ≤ <
 ≥
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
01) 
A) 5. (Unicamp 2014) Considere as funções f e g, 
cujos gráficos estão representados na figura 
abaixo. 
 
 
 
 O valor de f(g(1)) g(f(1))− é igual a 
 
a) 0. 
b) – 1. 
c) 2. 
d) 1. 
 
B) (NOBEL) Sendo f e g as funções dadas no item 
(A) calcule os valores de: 
 
a) f(g -1(2)) supondo g restrita ao intervalo [2,1]. 
b) g(f -1(-1)) supondo f restrita ao intervalo [-1,1]. 
c) (gof)(0) 
d) (fog)(0) 
 
C) (UEM I 2008) As figuras a seguir apresentam os 
gráficos de três funções f: ℝ → ℝ, p: ℝ → ℝ e 
q: ℝ → ℝ. 
 
 
 
 
 Analisando esses gráficos, assinale o que for 
correto. 
 
01) ( )f q (0) 0=o 
02) ( )p q f (2) 0=o o 
04) ( )f p (1) 0− = 
08) ( ) ( )p p (1) f f (1)=o o 
16) Se restringirmos o domínio da função f ao 
intervalo [0,2], então ( )1p f (3) 3− =o . 
 
D) (NOBEL) Considere o gráfico e calcule 
 
 
 
a) f(1) 
b) ( )( )f f 1 
c) ( )( )( )f f f 0 
d) ( )1f 4− 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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02) (Unesp 2014) Os gráficos de duas funções f(x) e 
g(x), definidas de � em ,� estão representados no 
mesmo plano cartesiano. 
 
 
 
 No intervalo [– 4, 5], o conjunto solução da 
inequação f(x) g(x) 0⋅ < é: 
 
a) { }x / 1 x 3 .∈ − < <� 
b) { }x / 1 x 0 ou 3 x 5∈ − < < < ≤� 
c) { }x / 4 x 1 ou 0 x 3 .∈ − ≤ < − < <� 
d) { }x / 4 x 0 .∈ − < <� 
e) { }x / 4 x 1 ou 3 x 5 .∈ − ≤ < − < <� 
 
03) (Insper 2013) No gráfico estão representadas duas 
funções: f(x) do primeiro grau e g(x) do segundo 
grau. 
 
 
 
 O gráfico que melhor representa a função 
h(x) = f(x) + g(x) é 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
04) (Epcar (Afa) 2013) O gráfico abaixo descreve uma 
função f : A B→ 
 
 
 
 Analise as proposições que seguem. 
 
I. A *= � 
II. f é sobrejetora se [ ]B – –e, e= � 
III. Para infinitos valores de x A,∈ tem-se 
( )f x –b= 
IV. ( ) ( ) ( ) ( )f –c – f c f –b f b 2b+ + = 
V. f é função par. 
VI. ( )x | f x d∃ ∈ = −/ � 
 
 São verdadeiras apenas as proposições 
 
a) I, III e IV 
b) I, II e VI 
c) III, IV e V 
d) I, II e IV 
 
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05) (Enem PPL 2013) O quadrado ABCD, de centro O e 
lado 2 cm, corresponde à trajetória de uma partícula 
P que partiu de M, ponto médio de AB, seguindo 
pelos lados do quadrado e passando por B, C, D, A 
até retornar ao ponto M. 
 
 
 
 Seja F(x) a função que representa a distância da 
partícula P ao centro O do quadrado, a cada 
instante de sua trajetória, sendo x (em cm) o 
comprimento do percurso percorrido por tal 
partícula. Qual o gráfico que representa F(x)? 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
06) (Espm 2011) A figura abaixo representa o gráfico 
cartesiano da função f (x). 
 
 
 
 Sabendo-se que f (1) = 2, e que a parte 
aparentemente retilínea inclinada é uma semi reta, o 
valor de f ( )f π   
 
a) 1 
b) 
3
2
 
c) 
3
4
 
d) 2 
e) 
5
2
 
 
07) (Epcar (Afa) 2011) Considere o gráfico da função 
real p : A B→ 
 
 
 
 Analise as alternativas abaixo e, a seguir, marque a 
falsa. 
 
a) ( ) { }p x 0 x | x 0 ou c x r≤ ⇔ ∈ < ≤ ≤� 
b) p(p(p(p(p(r))))) p(p(p(p(r))))= 
c) Existe um único x A∈ tal que ( )p x c= 
d) ( ) { } ] ]Im p r c,c= − ∪ − 
 
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08) (Fgv 2010) A figura indica o gráfico da função f, de 
domínio [–7,5], no plano cartesiano ortogonal. 
 
 
 
 O número de soluções da equação f(f(x)) = 6 é 
 
a) 2. 
b) 4. 
c) 5. 
d) 6. 
e) 7 
 
09) (Espm 2014) A função f(x) ax b= + é estritamente 
decrescente. Sabe-se que f(a) 2b= e f(b) 2a.= O 
valor de f(3) é: 
a) 2 
b) 4 
c) 2− 
d) 0 
e) 1− 
 
10) (Enem 2013) Deseja-se postar cartas não 
comerciais, sendo duas de 100g, três de 200g e 
uma de 350g. O gráfico mostra o custo para enviar 
uma carta não comercial pelos Correios: 
 
 
 
 
 O valor total gasto, em reais, para postar essas 
cartas é de 
 
a) 8,35.b) 12,50. 
c) 14,40. 
d) 15,35. 
e) 18,05. 
 
11) (Espcex (Aman) 2012) A função real f(x) está 
representada no gráfico abaixo. 
 
 
 
 A expressão algébrica de f(x) é 
 
a) ( ) =  ≥
- sen x , se x < 0
f x
cos x , se x 0
 
b) ( ) =  ≥
cosx , se x < 0
f x
senx , se x 0
 
c) ( ) =  ≥
- cosx , se x < 0
f x
senx , se x 0
 
d) ( ) =  ≥
senx , se x < 0
f x
cosx , se x 0
 
e) ( ) −=  ≥
senx, se x < 0
f x
cos x, se x 0
 
 
12) (Fgv 2010) 
 
a) Construa o gráfico das funções f(x) = 2 + sen x e 
g(x) = 2 + cos 2x para 0 ≤ x ≤ 2 π . 
b) Admita que f(x) e g(x) indiquem as cotações das 
ações das empresas F e G na bolsa de valores 
de São Paulo no intervalo de horas 0 ≤ x ≤ 2 π 
(x = 0 indica 12h00, e x = 2 π ≈ 6,28 indica, 
aproximadamente, 18h17). Determine 
algebricamente (equações e/ou inequações) o 
intervalo de horas, com 0 ≤ x ≤ 2 π , em que a 
cotação das ações da empresa F foi maior ou 
igual à cotação das ações da empresa G. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RUGGERO – MATERIAL COMPLEMENTAR DE MATEMÁTICA – 25.02.2015 
13
13) (Unesp 2010) Em situação normal, observa-se que 
os sucessivos períodos de aspiração e expiração de 
ar dos pulmões em um indivíduo são iguais em 
tempo, bem como na quantidade de ar inalada e 
expelida. A velocidade de aspiração e expiração de 
ar dos pulmões de um indivíduo está representada 
pela curva do gráfico, considerando apenas um 
ciclo do processo. 
 
 
 
 Sabendo-se que, em uma pessoa em estado de 
repouso, um ciclo de aspiração e expiração 
completo ocorre a cada 5 segundos e que a taxa 
máxima de inalação e exalação, em módulo, é 0,6 
1/s, a expressão da função cujo gráfico mais se 
aproxima da curva representada na figura é: 
 
a) ( ) 2 3V t sen t .
5 5
π  =  
 
 
b) ( ) 3 5V t sen t .
5 2π
 =  
 
 
c) ( ) 2V t 0,6cos t .
5
π =  
 
 
d) ( ) 2V t 0,6sen t .
5
π =  
 
 
e) ( ) ( )5V t cos 0,6t .
2π
= 
 
14) (Unifesp 2004) Considere a reta de equação 
4x - 3y + 15 = 0, a senoide de equação y = sen(x) e 
o ponto P = , 3
2
π 
 
 
, conforme a figura. 
 
 
 
 
 
 
 A soma das distâncias de P à reta e de P à senoide 
é: 
 
a) 
(12 2 )
5
π+
 
b) 
(13 2 )
5
π+
 
c) 
(14 2 )
5
π+
 
d) 
(15 2 )
5
π+
 
e) 
(16 2 )
5
π+
 
 
15) (Espcex (Aman) 2014) Na figura abaixo, está 
representado o gráfico da função y = Iog x. 
 
 
 
 Nesta representação, estão destacados três 
retângulos cuja soma das áreas é igual a: 
 
a) Iog2 + Iog3 + Iog5 
b) log30 
c) 1+ Iog30 
d) 1 + 2log15 
e) 1 + 2Iog30 
 
16) (Espm 2012) A figura abaixo mostra o gráfico da 
função f(x) = 2x. A área da região sombreada, 
formada por retângulos, é igual a: 
 
 
 
a) 3,0 
b) 3,5 
c) 4,0 
d) 4,5 
e) 5,0 
 
 
 RUGGERO – MATERIAL COMPLEMENTAR DE MATEMÁTICA – 25.02.2015 
14 
17) (Insper 2014) A figura abaixo mostra o gráfico do 
polinômio P(x), de 5° grau e coeficientes reais, que 
apresenta uma única raiz real. 
 
 
 
 O número de raízes reais do polinômio Q(x), dado, 
para todo x real, pela expressão Q(x) 2 P(x),= − é 
igual a 
 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
 
18) (Insper 2014) Sendo k uma constante real positiva, 
considere o gráfico do polinômio de 3° grau P(x), 
mostrado na figura. 
 
 
 
 Dentre as figuras a seguir, a única que pode 
representar o gráfico da função Q(x), definida, para 
todo x 0,≠ pela lei P(x)Q(x)
x
= é 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
19) (Mackenzie 2014) Se a função f : →� � é definida 
por xf(x) | 3 1|,= − a afirmação correta sobre f é 
 
a) ( ) ( )D f e Im f .= =� � 
b) f é uma função crescente para todo x real. 
c) f não é injetora nem sobrejetora. 
d) f é injetora mas não é sobrejetora. 
e) ( ) *Im f .+= � 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RUGGERO – MATERIAL COMPLEMENTAR DE MATEMÁTICA – 25.02.2015 
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20) (Espcex (Aman) 2013) Na figura abaixo estão 
representados os gráficos de três funções reais, 
sendo a 1> e b 0.> 
 
 
 
 
Gráficos fora de escala 
 
 As expressões algébricas que podem representar 
cada uma dessas funções são, respectivamente, 
 
a) y x a b;= − − 
x1
y a
1 b
 = + + 
 e 
x a
y
x a
+=
−
 
b) y x a b;= − + ( )xy 1 a b= + + e xy a
x
= + 
c) y x a b;= + − 
x1
y b
a
 = + 
 
 e 
x a
y
x a
+=
+
 
d) y x a b;= − + 
x1
y b
a
 = + 
 
 e 
x
y a
x
= + 
e) y x a b;= + + 
x1
y a
1 b
 = + + 
 e 
x a
y
x a
+=
−
 
 
21) (Espm 2012) A figura em destaque representa o 
gráfico da função y = f(x). 
 
 
 Assinale a alternativa que melhor se aproxima do 
gráfico da função y = f(x – 1). 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
22) (Epcar (Afa) 2012) Considere a figura abaixo que 
representa um esboço do gráfico da função real f 
 
 
 
 Sabe-se que ( ) ( )g x f x 3u,= − ( ) ( )h x g x u= + e 
( ) ( )j x h x .= 
 Um esboço do gráfico que melhor representa a 
função j é 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
 
 
 
 RUGGERO – MATERIAL COMPLEMENTAR DE MATEMÁTICA – 25.02.2015 
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23) (Insper 2012) A figura a seguir mostra o gráfico da 
função f(x). 
 
 
 
 O número de elementos do conjunto solução da 
equação f(x) 1= , resolvida em � é igual a 
 
a) 6. 
b) 5. 
c) 4. 
d) 3 
e) 2. 
 
24) (Fgv 2012) No plano cartesiano, os pontos (x, y) que 
satisfazem a equação + =x y 2 determinam um 
polígono cujo perímetro é: 
 
a) 2 2 
b) +4 2 2 
c) 4 2 
d) +8 4 2 
e) 8 2 
 
25) (Espcex (Aman) 2012) Na figura abaixo, dois 
vértices do trapézio sombreado estão no eixo x e os 
outros dois vértices estão sobre o gráfico da função 
real ( ) = kf x log x, com >k 0 e ≠k 1. Sabe-se que o 
trapézio sombreado tem 30 unidades de área; 
assim, o valor de + −k p q é 
 
 
 
a) −20 
b) −15 
c) 10 
d) 15 
e) 20 
26) (Fatec 2011) A figura apresenta parte do gráfico da 
função f : ] 1+ ∞ → �[ I 
 
 
 Assinale a alternativa que melhor representa o 
gráfico da função g(x) = - f(x - 1) + 1 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
 
 
 
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27) (Espcex (Aman) 2011) A represa de uma usina 
hidroelétrica está situada em uma região em que a 
duração do período chuvoso é 100 dias. A partir 
dos dados hidrológicos dessa região, os projetistas 
concluíram que a altura do nível da represa varia, 
dentro do período chuvoso, segundo a função real 
 
2
t
8, para 0 t 20
5
t 4t
N(t) , para 20 t 50
100 5
3t
21, para 50 t 100
25
 + ≤ <


= − + ≤ <

− + ≤ ≤

 
 
 Em que N(t) é a altura do nível da represa, medido 
em metros, t é o número de dias, contados a partir 
do início do período chuvoso. 
 Segundo esse modelo matemático, o número de 
dias, dentro do período chuvoso, em que a altura do 
nível da represa é maior ou igual a 12 metros é 
 
a) 40 
b) 41 
c) 53 
d) 56 
e) 60 
 
28) (Espm 2012) Sejam x e y números naturais e F(x,y) 
uma função tal que 
 
( )
( )
y se x 0
F x,y = x se y 0
F x 1, y 1 se x 0 e y 0
 =
 =
 − − > >
 
 
 O valor de F(52,70) é: 
 
a) 24 
b) 18 
c) 15 
d) 6 
e) 11 
 
29) (Insper 2011) O gráfico a seguir representa uma 
função polinomial do quarto grau p(x), tal que 
p(0) = 1. 
 
 
 
 Dos pares de funções abaixo, aquele em que g(x) 
tem exatamente duas raízes reais distintas e h(x) 
não admite raízes reais é 
a) g(x) p(x) 1= − e h(x) p(x) 3.= − 
b) g(x) p(x) 2= − e h(x) p(x) 2.= + 
c) g(x) p(x) 1= + e h(x) p(x) 3.= + 
d) g(x) p(x) 2= + e h(x) p(x) 2.= − 
e) g(x) p(x) 1= − e h(x) p(x) 3.= + 
 
30) (Unicamp 2014) O gráfico abaixo exibe a curva de 
potencial biótico q(t) para uma população de micro-
organismos, ao longo do tempo t.Sendo a e b constantes reais, a função que pode 
representar esse potencial é 
 
a) q(t) at b.= + 
b) tq(t) a b .= 
c) 2q(t) at bt.= + 
d) bq(t) a log t.= + 
 
31) (Enem PPL 2013) Em um experimento, uma cultura 
de bactérias tem sua população reduzida pela 
metade a cada hora, devido à ação de um agente 
bactericida. 
 Neste experimento, o número de bactérias em 
função do tempo pode ser modelado por uma 
função do tipo 
 
a) afim. 
b) seno. 
c) cosseno. 
d) logarítmica crescente. 
e) exponencial. 
 
32) (Mackenzie 2011) Dadas as funções reais definidas 
por ( ) 2 2f x x 4 x e g(x) x 4x= − = − considere 
I, II, III e IV abaixo. 
 
I. Ambas as funções possuem gráficos simétricos 
em relação ao eixo das ordenadas. 
II. O número de soluções reais da equação f(x) = 
g(x) é 3. 
III. A soma de todas as raízes das funções dadas é 
4. 
IV. Não existe x real tal que f(x) < g(x). 
 
 O número de afirmações corretas é 
 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
 RUGGERO – MATERIAL COMPLEMENTAR DE MATEMÁTICA – 25.02.2015 
18 
GABARITO 
 
01) A – d 
 B – a) 1 
 b) 0 
 c) 0 
 d) 1 
 C – 11 
 D – a) 2 
 b) 4 
 c) 4 
 d) 2 
02) C 
03) C 
04) A 
05) A 
06) D 
07) C 
08) D 
09) C 
10) D 
11) A 
12) a) 
 
 
 b) 
 
≥
+ ≥ +
+ ≥ + −
≥ −
≥ − −
+ − ≥
2 2 2
2 22 2
2 2
2 21
22 1 0
f(x) g(x)
senx cos( x)
senx cos x sen x
senx cos x sen x
senx sen x sen x
sen x senx
Re solvendo a inequação, temos:
 
 senx = -1 logo x = 3 π /2 (16h e 43 min). 
 senx = 
1
2
 logo π /6 ≤ x ≤ 5 π /6 (12h e 31min ≤ x ≤ 14h e 37 
min). 
 
13) D 
14) E 
15) D 
16) B 
17) C 
18) B 
19) C 
20) D 
21) B 
22) A 
23) B 
24) E 
25) B 
26) A 
27) D 
28) B 
29) C 
30) B 
31) E 
32) B