AO 2 - avaliação online 2 Geometria Analítica e Álgebra Vetorial

Prévia do material em texto

1 - O núcleo de uma transformação linear, como já é de conhecimento, trata-se do conjunto de 
vetores do domínio que possuem representantes no contradomínio com valor nulo. Uma de 
suas principais aplicações na Álgebra Linear e Vetorial é a possibilidade de definir se uma 
aplicação possui a propriedade da injetividade. Baseado nisto, analise os vetores a seguir, 
verificando quais pertencem ao núcleo da transformação T(x,y) = (x-y, y-x). 
 
I- v = (1,1). 
II- v = (0,1). 
III- v = (-2,-2). 
IV- v = (1,0). 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
As opções I e III estão corretas. 
As opções II e III estão corretas. 
As opções II e IV estão corretas. 
As opções I e IV estão corretas. 
 
2 - Imagine que você queira empurrar um objeto. A força que você aplica sobre ele precisa 
estar na direção e sentido em que você pretende movimentá-lo ou não chegará ao resultado 
desejado: se desejar que o objeto vá para frente, logicamente não adiantará empurrá-lo para 
baixo! Isso porque a força é um exemplo de grandeza vetorial. Para descrevê-la, é preciso que 
se diga também o sentido e a direção em que ela é aplicada. Baseado neste estudo, quanto ao 
vetor resultado (R) da operação -2u + 3v, sendo u = (-1,2,0) e v = (-1,-2,3), analise as opções a 
seguir: 
 
I- R = (1,10,9). 
II- R = (-1,-10,9). 
III- R = (-5,2,9). 
IV- R = (5,-2,9). 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
Somente a opção IV está correta. 
Somente a opção III está correta. 
Somente a opção I está correta. 
Somente a opção II está correta. 
. 
 
 
3 Ao falar das aplicações do cálculo dos autovetores e autovalores de uma matriz, podemos 
colocar as soluções de equações diferenciais que são de interesse físico, como frequências 
naturais de vibração de um instrumento musical, ou de uma simples corda esticada. Entretanto, 
anteriormente a isto, devemos compreender corretamente este conceito para que as futuras 
aplicações sejam corretas. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta o conceito de 
autovetor de transformação: 
É um vetor que gera uma base do núcleo da transformação. 
É um número real que anula a transformação. 
É um vetor que, após ser aplicada a transformação, resulta num múltiplo de si mesmo. 
É um número real que multiplica o vetor após a transformação. 
 
 
4 - No estudo dos espaços vetoriais, pode-se realizar a análise de sua dimensão. Pode-se 
relacioná-la com a quantidade de vetores LI que geram este espaço. As aplicações desse 
conceito são puramente utilizadas na matemática, nas provas de teoremas e propriedades. 
Sobre o exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) A dimensão do conjunto de matrizes de ordem n x n é igual a n². 
( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3, é igual a 3. 
( ) A dimensão do R² é igual a 2. 
( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3, é igual a 4. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
F - V - F - V. 
V - F - F - F. 
V - F - V - V. 
F - F - V - V. 
 
 
5 - Quando trabalhamos em geometria, analisar o comportamento de duas retas ou ainda como 
estas retas estão situadas no espaço é uma simples tarefa, pois basta fazer uma simples 
visualização. No entanto, quando falamos de retas na geometria analítica ou de vetores 
representados por coordenadas, determinar a posição dessas retas não é uma tarefa tão 
simples. Sobre o ângulo formado pelos pares de vetores apresentados, com relação aos 
ângulos agudos, analise as opções a seguir: 
 
I- u = (2, -3, -2) e v = (1, 2, -2). 
II- u = (4, -2, 3) e v = (0, 2, 1). 
III- u = (-2, -1, 2) e v = (2, 1, 3). 
IV- u = (0, 2, -1) e v = (-3, -2, -4). 
V- u = (-2, 2, 0) e v = (-1, 1, -3). 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
As opções III e V estão corretas. 
Somente a opção II está correta. 
As opções I e IV estão corretas. 
As opções I, III e IV estão corretas. 
 
 
 
6 - Quando trabalhamos geometria, analisar o comportamento de duas retas ou ainda como 
estas retas estão situadas no espaço é uma simples tarefa, pois basta fazer uma simples 
visualização. Entretanto, quando falamos de retas na geometria analítica ou de vetores 
representados por coordenadas, determinar a posição destas retas não é uma tarefa tão 
simples. Sobre o ângulo formado pelos pares de vetores apresentados, analise as opções que 
são ortogonais: 
 
I- u = (2, -3, -2) e v = (1, 2, -2). 
II- u = (4, -2, 3) e v = (0, 2, 1). 
III- u = (-2, -1, 2) e v = (2, 1, 3). 
IV- u = (0, 2, -1) e v = (-3, -2, -4). 
V- u = (-2, 2, 0) e v = (-1, 1, -3). 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
Somente a opção II está correta. 
As opções III e V estão corretas. 
As opções I, III e IV estão corretas. 
As opções I e IV estão corretas. Resposta correta 
 
 
7 Na álgebra linear, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores linearmente 
independentes, que geram esse espaço. Uma razão importante para utilizar uma base B para 
um espaço vetorial qualquer V e, em particular para o Rn, é poder estabelecer um sistema de 
coordenadas no espaço vetorial. Baseado nisto, analise o conjunto de vetores a seguir e 
assinale a alternativa CORRETA: 
 
B = {(1,2),(-1,3)} 
O conjunto é uma base para R². 
O conjunto é uma base para R³. 
Não é base, pois não é LI. 
O conjunto é uma base para R. 
 
 
8 - Com frequência, matemáticos e programadores gráficos necessitam encontrar o ângulo 
entre dois vetores. Felizmente, a fórmula usada para calcular esse ângulo não exige nada além 
de um simples produto escalar. Desta forma, dados o pares de vetores a seguir, calcule os 
ângulos formados entre eles, e a seguir, assinale a alternativa CORRETA: 
u = (1,1,2) e v = (2,-1,1) 
O ângulo formado é 90°. 
O ângulo formado é 45°. 
O ângulo formado é 60°. 
O ângulo formado é 30°. 
 
 
9 - Uma transformação linear é um tipo de função que opera vetores de diferentes espaços 
vetoriais. Em especial, para poder afirmar que uma transformação é linear, temos que verificar 
se ela preserva as operações de soma e multiplicação por um escalar. Baseado nisso, assinale 
a alternativa CORRETA que apresenta a imagem do vetor (-1, 2, 4) quando aplicado na 
transformação a seguir: 
 
(7, -2). 
(-7, 2). 
(-2, 7). 
(-5, 2). 
 
 
10 - Um conjunto de vetores é dito linearmente independente (frequentemente indicado por LI) 
quando nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear dos outros. Em 
contrapartida, naturalmente, um conjunto de vetores é dito linearmente dependente (LD) se 
pelo menos um de seus elementos é combinação linear dos outros. Baseado nisso, assinale a 
alternativa CORRETA que apresenta um conjunto de vetores LD: 
{(1,1,0),(1,0,1),(0,0,3)}. 
{(2,1,-1),(0,0,1),(5,2,3)}. 
{(1,1,0),(1,0,1),(5,2,3)}. 
{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}.