Antenas

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ANTENAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO: Antenas e Propagação 
PROF.: Roberto da Costa e Silva 
Edição: 05/02/2007 
 
 
1)Principio da Propagação das Ondas 
 
Para se entender como as ondas se propagam vamos considerar o caso de 
uma linha de transmissão. Nesta linha circulam as correntes de sentidos 
opostos que alimentam as cargas, sendo assim, o vetor campo magnético que 
produzem em um ponto do espaço é praticamente nulo, devido ao 
cancelamento dos efeitos motivados pela direção oposta das correntes. 
Vamos agora dobrar as extremidades da linha. Note-se agora que a corrente 
nas extremidades dobradas tem o mesmo sentido e desta maneira o vetor 
campo magnético não mais se anulará dando origem aos campos 
eletromagnéticos que se propagam. A figura 1 mostra as linhas de força do 
campo elétrico numa linha de transmissão e como elas se comportam quando 
entortamos a linha dando origem a uma antena dipolo. Note que as linhas se 
fecham no infinito quando a linha é cortada. A figura 2 mostra as linhas de 
campo se formando e se afastando da antena. Veja que num período 
T/2(estamos supondo linha de cima positiva e linha de baixo negativa), os 
campos se formam e se afastam no espaço até �/2. No próximo período T/2( 
a linha de cima fica negativa e a de baixo positiva), as linhas se formam com 
sentido contrario e se afastam �/2, as que já haviam se formado se afastam 
mais outro �/2, totalizando �. Para a formação de um novo período as linhas 
de força do período anterior se fecham no “infinito” e temos assim a 
propagação das mesmas o que pode ser visto na figura 3. Nestas figuras as 
linha de campo estando próximas indicam valores de campo altos. As linhas 
estando mais afastadas indicam valores de campo baixos. Na figura 3 as 
linhas cheias indicam valores de campo crescentes e as linhas tracejadas 
indicam valores de campo decrescentes. A figura 2 mostra como em um 
espaço �/2 estas linhas se formam. Num espaço � temos a formação de dois 
conjuntos fechados onde cada conjunto representa uma direção do campo. 
 
 
 Figura 1 
 
Figura 2 
 
 
Figura 3 
 
1) Processo de Radiação 
 1.1) Irradiação por fios 
Vamos considerar a seguinte figura 
 
 
 Figura 4 
 
Nesta figura os pontos sobre a antena serão escritos com linhas e os pontos 
fora da antena serão escritos sem linhas. Do mesmo modo o tempo “ t’ ” será 
contado sobre a antena e o tempo “t” será o tempo contado no espaço. Estes 
tempos são diferentes pois existe uma velocidade finita de propagação da 
onda, sendo no vácuo de 3*108 m/s. A função J(r’) representa a densidade 
superficial de corrente em A/m2 na antena, esta função pode ser constante ou 
variável com a distancia “ r’ ” sobre a antena. 
)()(.)(
)()(
formulas pelas calculadosser podem t instante no )tI( corrente pela
produzidos P ponto no t instante no magnetico e eletrico campos Os
).tI( corrente a contem que volumeno calculadaser deve integralA 
dv onde )(*
4
)(
:por dado sera P ponto no vetor potencial O
)()()()(
:por dada sera corrente de densidade a modo Deste 
unitario. e não )J(r' assim fio, do longo
ao senoidalou r triangulacontinua, ãodistribuiç se-considera eNormalment
J(r teremosfio, do longo ao distancia a com variar não corrente a Quando
1. sendo como )J(r' considerar se-deve uniforme ãodistribuiç uma Para 
fio. do longo ao corrente da uniforme não ãodistribuiç uma se-ter
permite que função a sendo como )J(r' função a considerar vamosisto
para e fio no corrente de densidade acalcular Vamos .)'I(t
por dada corrente uma circule fio neste que considerar Vamos
2
0
2
0
0
2
0
~
'
0
rtjwAjw
rtA
rtE
rtxA
rtH
dzr
R
dVtrJ
rtA
r
erJI
r
rJtI
trJ
eI
V
tjw
jwt
−�
�
�
�
�
�∇∇=
∇
=
′′
′
=
′′
=
′
=
′′
=′′
=
���
′
µε
µ
pi
pi
µ
pipi
 
 
 
potencial. o determinar se-quer onde ponto ao
 volumedo ponto cada de distancia a R sendo )rJ( função a contem que
 volumeno feitaser deve integral a onde )(
4
)(
:por se-pode modo deste e )()trJ(
:por se-pode assim e )()(chamar vamos
)()()()( :por
se-pode fato este se- Usandos.dieletrico meios para somente vale
igualdade ultima esta onde 1 onde : valee
ainstantaneser não onda da propagação de e velocidada devido
 t tempoao relação em atrazado esta t tempoo que se-Note
2
0
0
2
0
0
2
0
)(
0
2
0
0
′
′
=
′=′′
′
=′
′
=
′
=
′
=′′
==−=′
′
���
−
−
−
−
′
R
dVetrJ
rtA
etrJ
r
rJeI
trJ
r
eerJI
r
erJI
r
erJI
trJ
w
v
v
R
tt
Rj
Rj
jwt
Rjjwtv
R
tjw
tjw
β
β
β
pi
µ
pi
pipipi
µεβ
Projetar-se uma antena consiste na pratica em se determinar a função J(r’). 
Uma vez que a mesma seja conhecida consegue-se mediante o uso de 
formulas matemáticas determinar-se os campos iradiados. 
 
1.2) Irradiação por superfícies 
 
A irradiação também pode acontecer por uma superfície que não seja um fio. 
Para entendermos como uma superfície pode irradiar, vamos nos lembrar do 
principio de Huygens o qual afirma que toda frente de onda pode ser 
considerada como uma nova fonte de ondas. Sendo assim vamos supor que 
na figura 5-A exista uma fonte de ondas J1 e M1 as quais produzem os 
campos E1 e H1. O valor J1 representa uma densidade de corrente 
elétrica(A/m2) e M1 uma densidade de corrente magnética(V/m2), a qual 
sabemos ser fisicamente não realizável. Esta corrente magnética vai produzir 
um vetor potencial elétrico F e um potencial escalar magnético �m, a partir 
dos quais os campos elétrico e magnético podem ser determinados por: 
jwFHFE
m
−−∇=×∇−= φ
ε
 e 
1
 
Onde “F” é o vetor potencial elétrico e �m o potencial escalar magnético. 
Este vetor potencial elétrico seria calculado por: 
�
−
=
V
jkR
dV
R
eMF
pi
ε
4
 
O campo magnético “H” pode ainda ser calculado por: 
�
�
�
�
�
� ⋅∇∇+−=
µεjw
FjwFH
 
A corrente elétrica “J” ira produzir o vetor potencial magnético “A” e o 
potencial escalar elétrico �, a partir dos quais os campos elétrico e 
magnético podem ser calculados por: 
 
jwAjw
AjwAEAH −�
�
�
�
�
�
+
⋅∇∇=−−∇=×∇=
µσµε
φ
µ
 e 
1
 
Assim um campo elétrico ou magnético pode ser formado por duas 
parcelas,uma devido ao vetor potencial magnético “A” e outra devida ao 
vetor potencial elétrico “F”, sendo o campo total dado por: 
FA
FA
HHH
EEE
+=
+=
 
 
Isto posto, vamos dividir o espaço em duas regiões V1 e V2 através de uma 
superfície S1. Deste modo pode-se raciocinar que na superfície S1 existam 
correntes equivalentes Js e Ms as quais produzem na região V2 o mesmo 
campo E1 e H1. Esta superfície se comporta baseada no principio de Huygens 
como origem de um novo campo. Para que isto aconteça o campo na região 
V1 deve ser dado por E e H, satisfazendo as seguintes condições na fronteira 
das duas regiões: 
( ) ( )
11
1
11
 e 
:em resultando 0E
por se-pode V região na osinteressad estamos não como
 e 
EnMHnJ
H
EEnMHHnJ
ss
ss
×−=×=
==
−×−=−×=
 
 
Onde Js e Ms são densidades lineares de corrente eletrica(A/m) e densidade 
linear de corrente magnética(V/m). Utilizando agora a figura 5-B, onde a 
origem do sistema de coordenadas está próxima da superfície S1 que é a 
mesma da figura 5-A, vamos supor que existam fontes de correntes Js e Ms, 
nesta superfície. Estas fontes produzem na região de campo distante vetores 
A e F que podem ser calculados fazendo-se: 
 
sdeJ
N
r
e
sd
R
eJA
rrR
rj
s
rjRj
s
′=
=′=
=
′
−=
′
−−
��
��
ϕβ
ββ
pi
µ
pi
µ
ϕ
cosN
:onde 
44
:por dados são vetoresOs amplitude. de variaçõesnasr R
e fase de variaçõesnas cos
 
 
��
��
′=
=′=
′
−−
sdeML
L
r
e
sd
R
eMF
rj
s
rjRj
s
ϕβ
ββ
pi
ε
pi
ε
cos
44
 
Com o auxilio das equações de Maxwell transformadas, dadas abaixo, onde 
estamos supondo que o meio seja não condutor ou seja � = 0. 
)(1
1)(
F
w
jFjwAH
FA
w
jAjwE
⋅∇∇−−×∇=
×∇−⋅∇∇−−=
µεµ
εµε
 
 e das expressões dos vetores A e F vistos acima chega-se as seguintesequações para os campos eletromagnéticos na região de campo distante, ou 
seja na região onde a dependência com r é do tipo 1/r. 
 
 
Onde os vetores N e L podem ser calculados por: ( )
( )����
����
′++=′=
′++=′=
′
′
′
′
sdezMyMxMsdeML
sdezJyJxJsdeJN
rj
rj
zyx
rj
s
zyx
rj
s
ϕβ
ϕβ
ϕβ
ϕβ
cos
cos
cos
cos
 
Em coordenadas esféricas teremos: 
( )
( )
( )
( )��
��
��
��
′+−=
′−+=
′+−=
′
−+=
′
′
′
′
sdeMML
sdeMMML
sdeJJN
sdeJJJN
rj
yx
rj
zyx
rj
yx
rj
zyx
ϕβ
φ
ϕβ
θ
ϕβ
φ
ϕβ
θ
φφ
θφθφθ
φφ
θφθφθ
cos
cos
cos
cos
cossin
sinsincoscoscos
cossin
sinsincoscoscos
 
 
( )
( )
�
�
�
�
�
�
+−=
�
�
�
�
�
�
−=
−=
=+−=
≅=
−
−
−
−
ηpi
β
ηpi
β
η
pi
β
ε
µηη
pi
β
φ
θ
β
φ
θ
φ
β
θ
φθ
β
φ
θφ
β
θ
L
N
r
ejH
LN
r
ejH
NL
r
ejE
NL
r
ejE
HE
rj
rj
rj
rj
rr
4
4
4
 
4
0
 
 Figura 5 
Considerando-se agora a figura 5-C pode-se supor a superfície S1 como 
sendo um plano e assim a depender da orientação deste plano teríamos: 
ydxdsdyxr
zdxdsdzxr
zdydsdzyr
′′=′′+′=′
′′=′′+′=′
′′=′′+′=′
 :para sinsinsinsincos
 :para cossinsincos
 :para cossinsincos
φθφθϕ
θφθϕ
θφθϕ
 
Deste modo as integrais podem ser calculadas usando-se: 
2
2
sin
2/
2/ c
c
cdze
c
c
zj
α
α
α
�
�
�
�
�
�
=�
−
 
E os campos irradiados por superfícies planas podem enfim serem 
determinados. 
 
2) Características das Antenas 
 
Quando se trabalha com uma antena em primeiro lugar deve-se considerar a 
distancia onde deseja-se calcular o campo produzido por esta antena. 
Vamos considerar que se está interessado numa região considerada como 
sendo de campo distante. Esta região é definida como sendo aquela em que a 
distancia de qualquer ponto onde se deseja calcular o campo a antena seja 
dada por: 
 
utilizado onda de ocompriment o é 
e antena da dimensãomaior a é D
:onde 2
2
λ
λ
Dd ≥
 
É a partir desta região que uma antena produzira uma onda plana. Para 
distancias menores do que a calculada se estará dentro da região de campo 
próximo, onde as formulas deduzidas para campo próximo não valem. 
É usual na pratica adotar-se a expressão d > 10�, para se definir a região de 
campo distante 
Uma antena é caracterizada pelos seguintes parâmetros: 
a) Banda de freqüência 
b) Ganho 
c) Diagrama de irradiação 
d) Impedância 
e) Polarização 
Vamos definir primeiramente o que sejam ganho e diagrama de irradiação. 
Para isto vamos definir: 
 W = potencia irradiada ou recebida por uma antena de teste 
 Wr = potencia irradiada ou recebida por uma antena de referencia 
 S = densidade de potencia irradiada por uma antena de teste 
 Sr = densidade de potencia irradiada por uma antena de referencia 
 W’ = potencia recebida por uma antena de teste 
 Wr ‘= potencia recebida por uma antena de referencia 
 
r4
WS
:modo deste direções, as todasem nteuniformeme
irradia que antena uma sejaou onal,omnidireci antena uma seja testede
antena a que considerar Vamos .),,( :escrever se-pode modo
deste e posição da função uma é Poynting de vetor o que se-Sabe
 
:sendo como antena uma de deDiretivida se-define 
2
0
0 pi
φθ
==
=
′
′
==
r
rr
S
rfS
W
W
S
SD
 
Aplicando-se este conceito considerando-se que a antena de referencia seja 
um radiador isotrópico, ou seja uma antena omnidirecional em todas as 
direções pode-se escrever( Sr = S0 e Wr = W0 ) 
 
�
��
�
���
Ω
=
=
Ω
=
Ω
=
≤≤
=
Ω
=
==
=
Ω
Ω=
==Ω
Ω===
==
df
df
f
dfS
fSD
funçãoAf
f
Sd
SD
radiaçãodeeIntensidadSr
d
dWSrdW
dd
r
dsd
poisdSrddSrSdsW
W
Sr
S
SD
SS
M
M
S
SSS
o
),(
4D
:então 1,),f( quando ocorre dediretivida da maximo
 valoro que doConsideran ),(
),(4
),(
),(4
:por se-pode Assim antena. da radiação
de diagrama o fornece que a é ),( U .1),(0
:onde constante,r para ),(SS doconsideran 4
:escrever se-Pode 
 antena uma de Use-Define 
Sr se-fazendo e d 
:se-Fazendo sin
: sin
por expressaser pode radiada potencia a como 4
max
M
2
202
0
2
22
0
2
0
φθ
pi
φθ
φθ
φθpi
φθ
φθpi
φθφθ
φθpi
φθθ
φθθ
pi
Supondo-se que a função “ f “ seja do formato de um cone, conforme pode 
ser visto na figura 6A então a expressão fica: 
graus) em (valores41253radianos) em (44 00max φθθφ
pipi
=≅
Ω
= valoresD
 
 
 
 Figura 6A 
Define-se ganho da antena como sendo : 
antena da rendimento o é onde max RRDG ηη= 
O rendimento de uma antena depende dos seguintes fatores: 
 a) Casamento da antena 
 b) perdas ôhmicas na antena 
 c) eficiência de irradiação 
 
A banda de freqüência compreende a faixa de freqüência na qual o ganho da 
antena se mantém dentro de 3 db, a mesma define a largura de faixa na qual 
a antena pode operar sem perda das suas características. A impedância da 
antena é o valor da carga que a mesma apresenta quando ligada a um 
gerador ou um receptor. Quando a antena esta descasada tem-se perda de 
potencia devido ao descasamento. A polarização da antena esta relacionada 
ao tipo de polarização da onda que a mesma produz ou recebe. Existem 
antenas de polarização simples e dupla. A figura 6B a seguir mostra a 
largura de banda de uma antena. 
 
 Figura 6B 
3) Dipolo Infinitesimal 
Vamos iniciar nosso estudo de antenas analisando a antena denominada de 
dipolo infinitesimal ou dipolo elementar. 
Vamos considerar a figura 7 a seguir. 
 
 Figura 7 
Vamos considerar a figura 7 A. O dipolo é dito infinitesimal quando seu 
comprimento total “l” for menor que �/50. Seja r0 o raio deste dipolo, onde r0 
<< l. Seja R a distancia de qualquer ponto do dipolo a um ponto afastado e r 
a distancia do ponto (0,0,0) a este mesmo ponto. Para este caso a corrente 
neste dipolo pode ser expressa por: 
 
0A sin e cos
:esfericas scoordenada se-doconsideran então 
4
 : teremosassim 1e pois 
: valeintegral a ,z como 
4
A
:fica integralA . l pois r,R
colocamosr denominado no onde ,
4
A
: teremosassim , 
4
)(
4
A
: valeramagnetico potencial vetor do valor o z, eixo do
sentido o tenha)tI( corrente a que se-supondo Assim, .cos
:que se-7A ve figura Pela 1.)rJ( pois )(
0
)(
0coscos
max0
cos
)(
0
z
0
)cos(
0
z
2
0
2
0
0
z
2
0
0
=−==
=≅=
<<==
<<<≅
=
=
=
′
=
′
−=
=′=′
�
�
�
��
−
−
−−
−−
φθ
β
θβθβ
θβ
β
θβ
ββ
θθ
pi
µ
λ
pi
µ
pi
µ
pi
pipi
µ
pi
µ
θ
pi
zzr
l
rwtj
z
zjzj
l
zj
rwtj
l zrjjwt
V
jwtRj
V
Rj
jwt
AAAA
r
leIAeldze
ldze
r
eI
R
dz
r
eeI
dzrdVonde
dV
Rr
eeIdV
R
etrJ
zrR
r
eI
trJ
Considerando-se que estamos em um meio onde � = 0, então pode-se 
calcular os campos eletromagnéticos pelas formulas: 
.377 ar vale o para que 
onde )111(
4
sin
)11(
2
cos
)11(
4
sin
0H
:se-obtendo , e 
)(
22
0
)(
2
0
)(0
r
Ω=
−+=
+=
+=
==
−�
�
�
�
�
� ⋅∇∇=×∇=
−
−
−
ε
µη
ββpi
θµ
βpi
θη
βpi
θβ
µεµ
β
θ
β
β
φ
θ
Rwtj
Rwtj
r
Rwtj
e
rrjr
lIjwE
e
rjr
lIE
e
rjr
lIjH
H
jwAjw
AEAH
 
 
Na região de campo próximo ( r < 10�) os campos são dados por: 
3
0
3
0
2
0
4
sin
 
2
cos
 
4
sin
r
lIjE
r
lIjE
r
lIH
r piβ
θη
piβ
θη
pi
θ
θφ
−
=
−
==
 Veja que nesta região os campo elétrico e magnético estão defasados de 900, 
e isto se deve ao fator “j” da equação. Deste modo este defasamento faz com 
que o vetor médio de Poyting seja nulo, conforme se pode ver pela formula: 
)cos(
2
10)Re(
2
1 *
MEmmHEHES ψψ −==×= 
Na região que nos interessa a região de campo distante (r>10�) os campos 
valem: 
µεβηβ
µ
pi
θµ
pi
θβ
φ
θ
θφ
θφ
w
w
r
lIjwE
r
lIjH
HHEE
rr
===
==
====
 pois 
H
E
:que veja
4
sin
 
4
sin
0
00
 
 
O vetor de Poyting médio vale: 
[ ]∗×== φθpiθηβ HE
r
lIS
r
Re
2
1
32
sin
22
222
0
2
 
2
222
0
2
2
32
sin
pi
θηβ lISrU
rr
== 
P
U
P
SrD rr pipi 44
2
== 
A potencia irradiada por um dipolo infinitesimal vale: 
( )� � � ==×= ∗
pi
pi
φ λ
piφθθη
2
0
0 2
22
0
2
22 40sin
2
Re
2
1 lIddrHdsHEP 
Veja que esta potencia está sendo transmitida na direção “r”( note que a 
direção é dada pelo vetor de Poyting), e se a mesma, fosse dissipada em 
uma resistência que será chamada de resistência de irradiação da antena, 
poderia se escrever: 
 aresistenci desta valor o 80R
antena da irradiação de aresistenci a R sendo 
2
2
2
r
r
2
0
�
�
�
�
�
�
=
=
λpi
l
RIP r
 
4) Dipolo de comprimento Finito 
Vamos considerar agora um dipolo de comprimento finito, conforme mostra 
a figura 7, e vamos considerar também que o raio deste dipolo r0 seja bem 
menor que o comprimento do mesmo( r0 << l), na pratica isto é conseguido 
quando se tiver : r0 < � / 40. Com esta hipótese a corrente no dipolo poderá 
ser dada pela seguinte equação: zBzAzI ββ sincos)( += sujeita as 
seguintes condições de 
contorno: 0)2/()2/( e )0()0( =−==== lIlIIIzI AD 
Onde IAD é a corrente no ponto de alimentação do dipolo. Com estas 
condições é possível se determinar os valores das constantes A e B na 
formula proposta da corrente no dipolo. 
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
±==
2
sin
2
cos
 e l
l
IBIA ADAD β
β
 
A equação fica então: 
z
l
lI
zIzI ADAD ββ
ββ sin)2/sin(
)2/cos(
cos)( ±= 
A qual pode ser posta na forma: 
( )
)2/sin( :I onde
)
2
(sin)
2
(sin)2/sin()(
)2/cos(sin)2/sin(cos)2/sin()(
0maxmax
max
l
IIIvale
z
lIzl
l
I
zI
lzlz
l
I
zI
AD
AD
AD
β
βββ
βββββ
==
�	
��
=�	
��
=
±=
�� 
Convem notar-se que fazendo-se : ......1,3,5,7,9,n onde 
42
==
λ
n
l
 
Teremos sempre: ADII =max . Deste modo vamos considerar que a 
corrente no dipolo seja dada por: 
λ
piββ
β
2
 onde 0zl/2- para ))2/(sin()(
:e l/2z0 para ))2/(sin()(
0
0
=≤≤+=′
≤≤−=′
jwt
jwt
ezlIrI
ezlIrI
 
Assim na região de campo distante vamos pensar que o dipolo de 
comprimento finito, seja formado por infinitos dipolos elementares de 
comprimento dz, cada um carregando uma corrente dada por I(r’). Deste 
modo cada dipolo deste produzira um campo distante dado por: 
)(0
0
4
sin
 
elementar dipolo do equação na )(I e dzl
:se-fazendo obtida foi equação esta 
4
sin)(
Rwtj
Rj
e
R
lIjwE
rI
r
dzerIjwdE
β
θ
β
θ
pi
θµ
pi
θµ
−
−
=
′==
′
=
Vimos pela figura 8 que: R = r – z cos�. O campo total pode ser 
determinado fazendo-se a integral ao longo do comprimento total da antena. 
Com a substituição de “R” a integral fica, lembrando que no denominador 
pode-se considerar, r � R, e estamos omitindo a variação temporal ( ejwt ). 
�
��
−
−
−
−−
−
′=
′
==
2/
2/
cos
2/
2/
)cos(2/
2/
)(
4
sin
4
sin)(
l
l
zj
rj
l
l
zrjl
l
dzerI
r
ejwE
dz
r
erIjwdEE
θβ
β
θ
θβ
θθ
pi
θµ
pi
θµ
 
Substituído-se I(r’) pela equação vista: [ ]
�
�
�
	
�
�
�
�
−
==
�
�
�
	
�
�
�
�
−
=
=′
−
−
θ
βθβ
piη
θ
βθβ
pi
η
β
β
θ
φ
β
θ
sin
)2/cos()cos
2
cos(
2
sin
)2/cos()cos
2
cos(
2
E
:se-obtem integral a se-resolvendo e )2/(sin)(
0
0
0
ll
r
ejIEH
ll
r
eIj
zlIrI
rj
rj
�
O vetor de Poyting médio valera: )Re(
2
1 ∗×= φθ HESr obtendo-se: 
2
22
2
0
sin
)2/cos()cos
2
cos(
8 �
�
�
	
�
�
�
�
−
=
θ
βθβ
pi
η l
l
r
IS
r
 
A potencia irradiada por um dipolo longo valera: 
[ ]
��
��
==
�
	
�
�
−++
+−+−+
=
−
==
∞−
xx
S
r
dz
z
z
xSidz
z
z
xCionde
lCilCill
lSilSillCilIP
dllIdsSP
0
2
0
0
22
0
sin)( e cos)( :
)](2)2()2/ln(5772.0)[cos(5.0
)](2)2()[sin(5.0)()ln(5772.0
4
sin
2/cos()cos2/cos(
4
ββββ
βββββ
pi
η
θ
θ
βθβ
pi
η pi
Estas integrais estão tabeladas e se chamam integral coseno e integral seno. 
Estamos aptos agora para calcularmos o ganho e o diagrama de radiação dos 
dipolos elementar e longo, porem vamos primeiramente entender o que é 
diagrama de irradiação de uma antena. 
 
5) Diagrama de Irradiação 
 
Denomina-se diagrama de radiação de uma antena os gráficos da função 
U(�,�), intensidade de radiação em dois planos perpendiculares. Um dos 
planos é obtido fixando-se � e variando-se �, e o outro fixa-se � e varia-se �. 
Estes planos denominam-se planos E e H. Para obtenção do plano E faze-se 
� = 00 e varia-se �. Para obtenção do plano H faz-se � = 900 e varia-se �. A 
figura 9 tenta melhor esclarecer. 
Irradiação de eIntensidad ),(),( 2 �= φθφθ SrU 
 
 Figura 9 
É usual apresentar-se os diagramas de radiação normalizados, ou seja: 
H plano ),90(
E plano )0,(
max
max
U
UU
U
UU
N
N
φθ
φθ
=
=
=
=
 
Também é usual expressar-se estes diagramas em db: 
Ndb UU log10= 
A potencia radiada por uma antena pode ser calculada por: 
� � ��
Ω
Ω===
pi pi φθφθθφθ2
0 0
2 ),(sin),( dUddrSSdsP
S
 
Numa região de campo distante teremos sempre: 
),(
2
1),( 2 φθ
η
φθ θES = 
Denomina-se radiador isotrópico uma antena teórica onde: 
IsotropicoRadiador tan),( 0 ��== teconsUU φθ 
Para um radiador Isotrópico teremos: 
02
2
2 4),(4),(4),(4 UU
r
UrSrP piφθpiφθpiφθpi ==== 
Vejamos agora as formulas da intensidade de irradiação para o dipolo 
elementar e o dipolo longo: 
longoDipololl
lIU
 
sin
)2/cos()cos2/cos(
8
I),U(
Elementar Dipolo 
32
sin),(
2
2
2
0
2
222
0
2
��	
��

 −
=
�=
θ
βθβ
pi
ηφθ
pi
θηβφθ
 
Vamos apresentar um exemplo de diagrama de radiação na figura 10 
abaixo 
 
 
 Figura 10 
6) Resistência de Irradiação 
Como vimos a resistência de irradiação pode ser entendida como um valor 
de resistência que dissipa a potencia irradiada pela mesma. Funcionaria 
como se a antena ao invés de irradiar uma potencia dissipa-se a mesma em 
uma resistência. Esta resistência é definida por: 
antena da radiação de aresistenci a é R onde 
2 r
2
0 �= r
RIP 
Vimos que para o dipolo elementar esta resistência é dada por: 
22 )/(80 λpi lR
r
= Para o dipolo longo esta resistência vale: 
�
	
�
�
−++
+−+−+
= )](2)2()2/ln(5772.0)[cos(5.0
)](2)2()[sin(5.0)()ln(5772.0
2 lCilCill
lSilSillCil
R
r ββββ
βββββ
pi
η
Calculando –se este valor para o dipolo longo de comprimento l = �/2 
encontra-se o valor de Rr = 73,2 �. 
 
7) Ganho da Antena 
O ganho de uma antena é como foi visto o produto de sua diretividade pelo 
seu rendimento e é dada pela seguinte formula: 
antena da rendimento o é :onde RηηRDG = 
O rendimento de uma antena depende basicamente de dois fatores: 
 a) O casamento da antena com o cabo ou guia que a alimenta. 
 b) A resistência de perda ôhmica da antena. 
Deste modo o rendimento da antena pode ser dado pelo produto de dois 
fatores, sendo o primeiro devido ao descasamento e por isto chamado de 
fator de descasamento ( er ), e o segundo devido as perdas ohmicas e por isto 
chamado fator de perda ôhmica ( el ). Estes fatores são dados pelas seguintes 
formulas: 
metros em antena dacondutor do al transversseção da perimetro o é P
metros em antena da ocompriment é L
antena a feito é que do material do eletricas constantes as são e 
hz em antena da operação de frequencia a é f onde R
:por dada antena da perda de aresistenci a é R
e antena da radiação de aresistenci a é R :onde e
antena. a alimenta
 que linha da impedancia Z antena da impedancia Z
:onde Z
:por dado antena, da reflexão de ecoeficient o é onde 1
L
L
Rl
LA
A
2
σµ
σ
piµ
ρ
ρρ
f
P
L
RR
R
ZZ
Z
e
LR
R
LA
L
r
=
+
=
==
+
−
=
−=
 O rendimento da antena é dado pelo produto destes fatores. 
 
lrR ee=η 
8) Dipolo de meia onda e comparação de ganhos 
A antena mais popular é o dipolo de meia onda, ou seja o dipolo longo com 
comprimento total de �/2. Para este dipolo o ganho do mesmo vale: 
2
sin
)cos
2
cos(
64.1),(
��
�
�
�
�
��
�
�
�
�
=
θ
θpi
ηφθ RG 
Veja que o ganhonão depende do ângulo � e é máximo para � = 900 valendo 
1.64 ou 2.1 db (10log1.64 = 2.1). Vimos que a resistência de irradiação deste 
dipolo é de 73.2 ohms. Os campos produzidos por este dipolo valem: 
2
2
2
0
0
0
sin
)cos
2
cos(15
sin
)cos
2
cos(
2
sin
)cos
2
cos(60
�
�
�
	
�
�
�
�
=
=
=
θ
θpi
pi
θ
θpi
pi
θ
θpi
φ
θ
r
IS
r
IjH
r
IjE
 
O ganho para o dipolo elementar vale: 
θφθ 2sin5.1),( =G 
Note que o ganho também independe do ângulo � e é máximo para 
� = 900 . O valor máximo deste ganho é de 1.5 ou 1.76 db. 
Para o radiador isotrópico teremos ganho unitário independente dos 
ângulos � e �. 
 
9) Teorema da Reciprocidade 
 
Vamos mostrar que uma antena funciona do mesmo modo quando esta 
transmitindo ou recebendo. Sendo assim podemos considera-la do ponto de 
vista de receptor ou transmissor a depender do caso, e esta consideração 
facilita seu estudo. Vamos considerar a figura 11 abaixo: 
Considerando o meio como um quadripolo, conforme sugere a figura 11 
pode-se escrever: 
2112
2222112
1221111
 Z:que considerar se-pode isotropico
 elinear homogeneo, meio o doconsideran 
Z
ZIZIV
ZIZIV
=
+=
+=
Vamos aplicar estas equações considerando primeiramente que a antena do 
lado esquerdo esta transmitindo e a do lado direito recebendo, e depois 
vamos considerar o contrario ou seja que a antena do lado esquerdo esteja 
recebendo e que a do lado direito transmite. 
 
 
 Figura 11 
Sendo assim teremos: 
receba direita da a e transmitaesquerda da antena
 a que se-doconsideran obtido foi isto ))((I
:se-encontra quadripolo do equaçõs nas
equações estas se-usando e 
2
122211
12
2
2211
ZZZZZ
ZV
ZIVZIVV
LT
G
LTG
−++
−
=
−=−=
2
122211
12
1
2211
))((I
: teremosquadripolo do equações nas equações estas
se- Usando. transmitadireita da a e receba esquerda da antena a
que supondo estamos agora onde e 
ZZZZZ
ZV
ZIVVZIV
LT
G
LGT
−++
′
−
=′
′
−
′=′−=
Comparando-se estas equações das correntes nos dois caso pode-se por: 
12
G
12 I
V
ou 
I
VVIVI GGG
′
′
=′=′ 
E se fizermos VG = V’G pode-se ver obrigatoriamente que deve-se ter I2 = I’1 
Isto nos provando que as antenas funcionam do mesmo modo tanto 
transmitindo quanto recebendo, ou seja as correntes produzidas e induzidas 
são as mesmas. 
 
11) Área Elétrica e Comprimento Elétrico de uma antena 
 
Vamos considerar uma antena na presença de um campo elétrico, e vamos 
supor que seja “S” o vetor de Poyting deste campo. Este campo ira produzir 
na antena uma corrente que alimentara o receptor ligado a mesma, 
transferindo deste modo energia do campo para o receptor. Deste modo a 
antena pode ser vista como sendo um gerador de tensão alimentando uma 
carga que é o receptor. Vamos supor que exista casamento de impedância 
entre a antena e o receptor. A figura 12 sintetiza o que foi dito. 
 
 Figura 12 
Pode-se definir área elétrica de uma antena como sendo a potencia máxima 
que a mesma entrega a uma carga dividida pelo valor do vetor de Poyting 
que atinge a antena. 
S
PA
e
max
= 
Deste modo a antena é pensada como um objeto que retira potencia da onda 
quanto maior for sua área mais potencia a mesma conseguira retirar da onda. 
Vimos que: 
2
1
2
1
2
1
R
R
2
1
2
1
2
1
2
 : então recebida potencia a sera
maior eletrica, area amaior quanto sejaou Ppor se-ode
onda. uma de retira mesma a que potencia a
alproporcion ediretament éou produz mesma a que Poyting devetor 
ao alproporcion ediretament é antena uma de ganho o assim sendo
 SdsP
: valeantena umapor recebida potenciaA 
G
G
:sejaou produz mesma a que Poyting de vetor o seramaior quanto
antena uma de ganho omaior quanto Poyting, de vetor e ganho entre
lidadepropociona existe que ver se-pode assim r Ue 4
A
A
S
S
P
P
SAP
U
U
S
S
S
P
UG
R
R
E
==
=
=
==
==
�
pi
Vamos considerar agora a figura 11 e supor que : 
carga. da impedancia a Z
Seja mesma. da radiação de aresistenci a é R e
antena da perda de aresistenci a é R onde )(
L
r
p
LL
GrpG
jXR
jXRRZ
+=
++=
 
O valor da corrente induzida na carga valera: 
22
22
22
)()(22
IP
: valeiradiada potenciaA 
)()(
LGLrp
rGr
LGLrp
G
XXRRR
RVR
XXRRR
VI
++++
==
++++
=
 
A potencia máxima irradiada ocorre quando se tiver ∗= LG ZZ ou seja: 
0R que supondo estamos onde X e pG ≅−== LLR XRR 
A equação ficara: 
r
G
R
VP
42
1 2
max = 
A área elétrica valera portanto: 
SR
VA
r
G
E 8
2
= 
Considerando o dipolo infinitesimal teremos: 
pi
λpi
1202
1S 
: valeraregião nesta Poyting de vetor O
)(80 
 
2
22
E
lR
ElV
r
G
=
=
=
 
Substituindo estes valores na expressão da área elétrica resulta na sua 
formula para o dipolo infinitesimal: 
pi
λ
4
5.1
2
=
e
A 
Usando-se as expressões entre área e ganho pode-se verificar que 
considerando o radiador isotrópico e o dipolo infinitesimal conclui-se: 
pi
λ
4
A
logo 5.1G 1G como 
2
eRI
DIRI
=
===
eDI
eRI
DI
RI
A
A
G
G
 
Generalizando-se para o radiador isotrópico e uma antena qualquer 
encontra-se a formula da área elétrica de uma antena: 
pi
λ
4
2
GA
e
= que como era de se esperar a área elétrica é um 
sinônimo de ganho, ou seja quanto maior for o ganho, maior será a área 
elétrica da antena. 
Vamos agora generalizar a relação entre campo incidente e tensão 
induzida ( VG ), a qual para o dipolo elementar vale: VG = E*l, fazendo: 
eG EhV = onde he é o comprimento eletrico da antena, ou seja um 
valor que multiplicado pelo campo elétrico que chega na antena fornece a 
tensão induzida VG . 
Vamos supor que a antena esteja numa região de onda plana onde o vetor 
de Poyting vale: 
pi1202
1 2ES = 
 
Neste caso pode-se por: 
eletrico ocompriment 0291.0
120
h
:resultando 
1202
1
48
)(
8
e
2222
max
===
====
r
r
e
r
e
r
G
GRGR
EGSA
R
Eh
R
VP
λ
pi
λ
pipi
λ
 
 
12) Formula de Friis 
 
Sejam duas antenas radiadores isotrópicos separadas de uma distancia “r”. 
Uma delas esta transmitindo uma potencia “PT“ e a outra recebe uma 
potencia “PR” dada por: 
)log(*20)log(*2044.32)(a
:resulta db em exp
61.1754
10*9
10*10*16
:resulta Mhz em f e km emr se-oexpressand
livre espaço do atenuação 
10*9
16
10*3
 vacuoo para que lembrando 16
444
P 
4
0
2222
16
1262
0
0
22
16
2
8
2
2
2
2
22
R2
Mhzkm
MhzkmMhzkm
R
T
R
T
T
E
T
frdb
seressando
frfra
afr
P
P
f
r
P
P
r
PSSA
r
PS
++=
−
==
===
==
====
pi
pi
λλpi
pipi
λ
pi
λ
pi
 
 
13) Temperatura de ruído de uma antena 
 
antena da banda*Boltzman de const.
antena pela recebida ruido de PotenciaT
:por definida é antena uma de ruido de aTemperatur
==
kB
P
A
 
A constante de Boltzman vale: 1.38*10-23 J/K0 
A temperatura de ruído da antena praticamente não depende do seu ganho e 
apenas da sua freqüência de operação e seu valor médio vale conforme 
Tabela 1: 
Freq( 
Mhz) 
1 5 10 20 30 100 400 1000 10000 
TA( 
K0) 
2.6*107 106 2.6*105 6.5*104 3*104 2500 200 100 50 
 Tabela 1 
 
14) Impedância de uma Antena 
 
Seja a figura 13 a seguir: 
 
 Figura 13 
Aplicando-se uma tensão “V” nos terminais de alimentação da antena 
conforme mostra a figura 13, esta força eletromotriz ira produzir na antena a 
circulação de uma corrente I(z), que como vimos pode ser dada por: [ ]
 )2/(sin)( 0 zlIzI �β= 
Veja que a corrente varia ao longo do comprimento da antena e I0 é o seu 
valor máximo, e não esta necessariamente no ponto de alimentação. 
 
 Figura 13 
A certa distância “r” da antena esta corrente ira produzir um campo externo 
“Ez” dado por: 
)( :por dada Z
ncia transferede impedância da atravez I(z) corrente a com mentação
-ali de ponto no V"" F.E.M. a relacionar se-Pode),(
11z
0
zI
VZ
fEE
z
z
=
= φθ
O campo externo “Ez” induzira na própria antena um campo “Ei” de modo 
que o campo total no condutor da antena seja praticamente nulo (será nulo se 
a antena for um condutor perfeito), deste modo pode-se por: 
iizT EEEE −=≅+= zE :logo 0 
Em cada elemento dz da antena o campo interno “Ei” produzira uma 
diferença de potencial dada por: 
dzEzdVdzEzdV zi −== )( :por se-pode e )( 
Pelo teorema da reciprocidade, considerando-se a antena e o meio linear, 
homogêneo e isotrópico, esta diferença de potencial dV(z), produzira no 
ponto de alimentação uma corrente dI e ambas estarão relacionadas pela 
impedância de transferência Zz1 . 
I(z)dV(z)VdI :assim e )(dI
dV(z)
:por se-pode Zcomo )( 1z11
==
==
zI
V
Z
dI
zdVZ zz
 
Define-se impedância da antena como a relação entre a tensão e a corrente, 
no ponto de alimentação da mesma. 
A11 Zantena da impedância ==== dI
dV
I
VZ 
Pelas relações vistas pode-se por: 
 
dzEzIP
PPPP
ePjPPdzEzIP
XIRI
jPPjXRIZIVIP
jXRjXRdzEzI
I
Z
dzEzI
dzEzI
dzEzIzdVzIIdVVdI
z
l
l
IR
jl
l IRz
I
IR
l
l AAzA
l
l z
z
z
�
�
�
�
−
−
−
−
=
==
=+=−=
==
+=+===
+=+=−==
=
=
−===
2/
2/
2/
2/
11
2
11
2
R
1111
2
11
2
2/
2/ 1111211
2/
2/
)(
2
1
sin e cos
)(
2
1
:por se-pode e 
2
1P e 
2
1P
:onde )(
2
1
2
1
2
1
: valeraantena a entregue potenciaA 
)(1Z
: valeantena da impedancia a modo deste )(
I
1
-V
:antena da longo ao integrando )(
I
1-dV
em resultando ))(()()(
ψψ
ψ
Veja que � é a diferença de fase entre a corrente na antena (I) e o campo 
externo (Ez) produzido pela corrente. Examinando-se a figura 13, vê-se que 
o eixo “z” passa pelo centro da antena. Iremos usar a notação com linha(‘) 
para designar pontos sobre a antena. Assim um ponto sobre a antena 
obrigatoriamente terá: y=|a|. e 
x=|a|, sendo “a” o raio da antena. Assim pode-se escrever: 
 )2/(R )2/(
 )(
22
2
22
1
2222
ylzylzR
yzryzzR
++=+−=
+=+′−=
 
A impedância da antena valera: 
AA
l
l z
AD
A jXRzdEzIIZ +=′′−= �− ′
2/
2/2
)(1 
A impedância de Irradiação da antena valera: 
�
−
′
′′
−=
2/
2/2
0
)(1 l
l zR
zdEzI
I
Z 
Veja que a diferença entre as formulas é o valor da corrente. Para calculo da 
impedância de radiação, usa-se o valor máximo da corrente na antena e para 
o calculo da impedância da antena usa-se o valor da corrente no ponto de 
alimentação da mesma. A integral é calculada sobre a antena, bem como o 
campo externo. O campo externo pode ser expresso pela seguinte 
formula(cuja demonstração pode ser encontrada no livro Antenna Theory de 
Constantine A.Balanis nas paginas de 285 á 290): 
[ ]
 )2/sin(
: valeoalimentaçã de corrente a e )2/(sin)(
:onde )2/cos(230
0
0
21
0
21
lII
zlIzI
r
el
R
e
R
eIjE
AD
rjRjRj
z
β
β
β
βββ
=
−=
��
�
�
��
�
�
−+−=
−−−
 
Esta formula é diferente da encontrada para o dipolo longo anteriormente 
vista (item 4) porque ela deve ser valida para o campo próximo, já que 
desejamos calcular o campo sobre a antena. O campo visto anteriormente é 
valido somente na região de campo distante. 
Re-escrevendo a equação de Ez para facilitar a identificação de sua fase com 
I(z), teremos: 
[ ]
)2/(0)2/(
2
0)2/(
1
0
j0
0
)2/cos(603030
e )2/(sin)(
21 piβpiβpiβ β
β
−−+−+− ++=
−=
rjRjRj
z e
r
lI
e
R
I
e
R
IE
zlIzI
Assim a diferença de fase “�” entre a corrente e o campo valera: 
)sin()2/cos(cos
)sin()2/cos(cos
)sin()2/cos(cos
3
222
111
rr
RR
RR
βpiβψ
βpiβψ
βpiβψ
=−=
−=+=
−=+=
 
Substituído-se estes valores na equação da impedância e calculando a 
mesma sobre a antena ou seja nos pontos com (x=a, y=a, z), encontra-se: 
�
	
�
�
−−
−−+
=
�
	
�
�
−++
+−+−+
=
)]/2()2()(2)[sin(
)]2()(2)[cos()(2
30
)](2)2()2/ln(577)[.cos(5.0
)](2)2()[sin(5.0)()ln(577.0
60
2 laCilCilCil
lSilSillSi
X
lCilCill
lSilSillCil
R
R
R
ββββ
ββββ
ββββ
βββββ
 
A impedância de alimentação da antena valera, pois: 
: teremosassim x)(sinI
: como 
2
1
2
1
2
0
22
0
β=
==
AD
AADr
I
RIRIP
 
 
Ω+≅=
=
−=
==
 6.422.73
:em resulta /2 xde caso o para que Veja
antena. da eextremidad a oalimentaçã de ponto do distancia a é x 
oalimentaçã de ponto ao antena da centro do distancia a é z
:onde 
2
 :sendo 
][sinX e ][sin 22
jZZ
z
l
x
x
X
x
RR
AR
R
A
R
A
λ
ββ
 
Com estas fórmulas pode-se calcular a impedância de uma antena 
alimentada de qualquer ponto e não apenas pelo centro. 
 
15)Impedância Mutua entre elementos 
Considere duas antenas dipolo longo, separadas por uma certa distância, 
conforme figura 14, abaixo 
 
 Figura 14 
 
Seja I1 a corrente de alimentação da antena 1, e seja V21 a F.E.M. induzida 
na antena 2 pela corrente da antena 1. Pode-se afirmar que a impedância 
mutua entre as antenas 1 e 2 pode ser expressa por: 
�
�
=
===
−=−=
+==−==
l
z
zz
l
z
m
dzEzI
I
V
EEIzIzI
VVdzEzI
I
V
jXRZ
I
VZZ
0 22
2
21
2212
21110
1
11
2121
1
21
2112
)(1
:por se-pode I )()(
 :se-fazendo )(1
:que vistofoi 
 
Onde E2z representa o campo na antena 2, induzido pela corrente I1 da 
antena 1. Vimos também que a corrente pode ser expressa por: [ ]
�−=
�
	
�
�
−+−=
−=
−−−
l
o
zm
rjrjrj
z
dzEzI
II
Z
r
el
r
e
r
eIjE
zlIzI
22
21
1
21
12
2z22
)(1
:por dadaser pode antenas as entre mutua
impedancia a assim )2/cos(230
:por expressoser pode E campo o que e )2/(sin)(
21 βββ β
β
 
 
Estes valores foram calculados para o dipolo de meia onda, para diversos 
valores de separação das antenas e constam da figura 15 a seguir. Esta figura 
mostra o valor da impedância mutua entre dipolos de meia onda separados 
longitudinalmente e transversalmente por distancias em função do 
comprimento de onda. Os gráficos apresentam os valores de resistência e 
reatância. Mostram ainda os valores em função da relação entre o 
comprimento do dipolo e seu raio, como parâmetro de separação dos 
dipolos. 
 
 Figura 15 
 
 
16) Dipolos Gordos 
Denomina-se dipolos gordos aos dipolos que possuem a (raio) > �/40. Para 
antenas com raio menor do que o especificado os efeitos da espessura são 
desprezíveis e podem ser tratadas como antenas finas ou seja sem espessura. 
A espessura do elemento do dipolo afeta sua impedância . Verifica-se que 
quanto maior for o valor do raio “a” , menor será o valor de Xr . Encurtando-
se um pouco o dipolo, verifica-se que o valor de Rr pouco se altera porem o 
valor de Xr varia bastante. Ao valor do comprimento do dipolo que anula Xr 
chama-se comprimento ressonante do dipolo. Denomina-se Cr ao valor que 
multiplicado pelo comprimento do dipolo, fornece seu comprimento 
ressonante. Este coeficiente depende da relação entre o comprimento do 
dipolo e seu raio. A figura 16 a seguir apresenta este coeficiente. 
 
 Figura 16 
 
Note que este coeficiente varia entre 0,78 e 0,98, e para valores usuais situa-
se na faixa de 0,93, fazendo com que a impedância do dipolo fique na faixa 
de 60 �, puramente resistiva. 
 
17) Dipolo sobre Plano Terra 
 
Para se resolver o problema do dipolo sobre um plano Terra (condutor 
perfeito) se lança mão do método das imagens, conforme mostra a figura 17, 
abaixo. 
 
 Figura 17 
Deste modo pelo método da imagem a Terra pode ser substituída por outro 
dipolo, com uma corrente na direção definida pela figura 17a. Os casos de 
interesse são os mostrados nas figuras 17b e 17c, para os dipolos nas 
posições horizontal e vertical. Note-se em todos os casos o método das 
imagens só fornece valores corretos no semi-plano superior, pois os campos 
sobre o condutor perfeito (plano Terra) são nulos, não existindo campos 
neste semi-plano. Assim como só temos um semi-planoa potencia que o 
dipolo propaga é a metade, como a corrente sobre o mesmo não se modifica, 
sua impedância fica então reduzida a metade do dipolo normal, para atender 
a equação P=1/2*I2*R 
1.235.36
22
1111 jjXRZZ DNPT +=
+
== 
O dipolo da figura 17c é a popular antena de quarto de onda. Ela tem o 
mesmo ganho do dipolo de meia onda com metade de sua impedância. 
 
18) Baluns e Dipolos Banda larga 
 
 18.1) Dipolo Banda Larga 
Quando o diâmetro do tubo com o qual dipolo é feito for menor que 0,05�, o 
dipolo é bastante sensível á freqüência. Quando este diâmetro for maior que 
0,05� este dipolo pode funcionar em freqüências diferentes do que foi 
projetado, constituindo-se numa antena banda-larga. Quando este diâmetro 
aumenta a resistência de radiação pouco se altera mas a reatância se altera 
bastante. Para estudar isto usa-se a teoria da antena bicônica. 
 18.2) Antena Bicônica 
Nesta antena mostrada na figura 18, a impedância característica da mesma é 
dada por: 
 
( )
)/2ln(120Z
: valepequeno para qual a )2/cot(ln120)(
)(
k θ
θθ
=
==
rI
rVZk
 
Assim uma antena cilíndrica pode ser pensada como uma antena bicônica( 
ver figura 18.a) onde cada ponto tem uma impedância característica dada 
por: 
a/z pois )/2ln(120)( == θazzZc 
Deste modo uma antena de comprimento total 2h, tem uma impedância 
característica media dada por: 
� −==
h
cc
ahdzzZ
h
Z
0
)1)/2(ln(120)(1 
E deste modo com o auxilio da equação da linha de transmissão: 
)tan(
)tan()(
0
0
0
sjZZ
sjZZZsZ
L
L
β
β
+
+
= 
Pode-se calcular a impedância da antena com a variação da freqüência. 
Shelkunoff, assim procedeu e são deles os estudos que mostram o valor da 
impedância das antenas com esta técnica. 
 
 
 
 Figura 18.a 
A técnica usada por Schelkunoff para este estudo foi lembrar que sempre 
tem-se um máximo da corrente de uma antena a �/4 do extremo da mesma, e 
deste modo calcular a impedância ZL com o uso da equação da linha de 
transmissão considerando 
24
.
2 piλ
λ
piβ ==x . Este valor de ZL seria a 
impedância de carga que a antena bicônica vê. Deste modo ele considerou a 
antena como uma linha de transmissão, entregando potencia a esta carga ZL 
Assim ele calculou: 
 
m
k
L Z
ZZ
2
= 
Onde Zm é a impedância da antena no ponto de máxima corrente ou seja ZR,( 
impedância de irradiação da antena) que é conhecida, e com o uso 
novamente da equação da linha de transmissão calcular a impedância da 
antena para qualquer freqüência. Esta técnica funciona bem para valores de � 
menores que 30. 
 
 
18.3) Balluns 
 
Balun é um dispositivo que realiza a passagem de um sistema balanceado 
para outro não balanceado e vice-versa. Denomina-se sistema balanceado 
aquele sistema, cujos componentes tem o mesmo potencial em relação ao 
plano terra. Aplicando-se estes conceitos a linhas de transmissão verifica-se 
que linhas não balanceadas apresentam perdas por irradiação. Em linhas 
balanceadas isto não acontece pois existirão correntes circulando nos dois 
sentidos de igual intensidade. Note-se que dobras muito acentuadas 
provocam o aparecimento de irregularidades ocasionando o 
desbalanceamento das linhas. Convém lembrar que: 
)1(P
: valeutil potencia a que e 
1
1
 e 
2
U
0
0
ρ
ρ
ρρ
−=
−
+
=
+
−
=
T
L
L
P
S
ZZ
ZZ
 
Existem vários tipos de Baluns, veremos os mais populares: o balun 
Bazooka e o balun Trombone. A figura 18.b, mostra estes baluns. 
 
 Figura 18.b 
Na parte de cima da figura vê-se o balun Bazooka e na de baixo o balun 
Trombone. Para estudo do balun Trombone é necessário estudar-se o dipolo 
dobrado, mostrado na figura 19. 
 
18.4) Dipolo dobrado 
 
 Figura 19 
 
O dipolo dobrado pode ser analisado considerando-se a corrente composta 
de dois modos, o modo linha e o modo antena. Seja V a tensão que alimenta 
o dipolo vinda da linha. Note que no modo linha esta tensão e composta de 
duas tensões de V/2, uma em cada dipolo com sentidos opostos devido ao 
sentido da corrente nos dipolos. No modo antena esta tensão é nula pois as 
tensões V/2 tem mesmo sentido. A figura 20 a seguir mostra estas tensões. 
 
 Figura 20 
Sendo assim pode-se escrever as seguintes equações para as correntes totais 
nos dois modos: 
)2/tan( Zonde 2/I e 2/ 0TA ljZZ
V
Z
VI
DT
T β=== 
Note que ZT é a impedância dada pala linha de transmissão curto circuitada e 
ZD é a impedância de um dipolo simples de meia onda. A corrente entregue 
pela linha vale a soma da corrente IT com metade da corrente IA . Assim a 
corrente que a linha entrega vale IT mais IA /2. A impedância vista pela linha 
vale: 
Ω≅
+==
∞=
+
=
+
=
 300Z
: valeressonante dipolo o para que 1682924Z
:finalmente resulta onda meia
de dipolo o para Zcomo 
2
4
2/
in
in
T
jZ
ZZ
ZZ
II
VZ
D
DT
DT
AT
in
 
 
Veja que o dipolo Bazooka tem como objetivo tornar idênticas as correntes 
que alimentam o dipolo, evitando que a corrente seja diferente nos dois 
ramos do dipolo, devido ao retorno da corrente pelos dois lados da malha de 
terra do cabo coaxial. O toco de �/4, cria uma alta impedância impedindo a 
circulação da corrente pelo lado externo da malha de terra do cabo coaxial. 
O balun Trombone casa um cabo de 75 � com um dipolo dobrado que tem 
impedancia de 300 �, pois teremos para o valor da potencia na saída do 
cabo: 
C
A
A
CC
Z
ZIZI
ZIP
4Z
:potencias duas as se-comparando 
4
)
2
(P
 valepotencia esta antena da entrada na 
A
2
1
21
A
1
=
==
=
 
Provando-se o que foi dito. 
 
19) Antenas com ganho maior 
 
A figura 21 mostra que a medida que o comprimento do dipolo for 
aumentando o ganho do mesmo oscila porem sempre apresenta tendência de 
subir. Assim se desejamos antenas de alto ganho deveremos ter dipolos de 
vários comprimentos de onda, fazendo com que na pratica a construção 
destes dipolos seja impossível. Deste modo para conseguir-se antenas de alto 
ganho faz-se uso de conjunto de dipolos, que será nosso próximo assunto. 
 
 
 Figura 21 
 
20) Conjunto de Antenas 
 
Seja a figura 22 abaixo: 
 
 Figura 22 
 
Vamos considerar primeiramente que só existam duas fontes radiadores 
isotrópicos. O campo num ponto distante produzido por estas duas fontes 
será dado por: 
φββ cos :onde e 
:por dados são campos Estes 2. fonte pela produzido campo
o é E e 1, fonte pela produzido campo o é E onde 
)(
02
)(
01
2121
drreEEeEE
EEE
rwtjrwtj
−=′==
+=
′
−−
 
Deste modo o campo E2, pode ser expresso por: 
φβϕβϕϕφββ cos onde eeE r)-j(wtj01cos)(02 deEeeEE jdjrwtj ==== −
 
E o campo total “E” por: 
 
)(
0021 )( rwtjj eeEEEEE βϕ −+=+= 
Mantendo-se sub-entendido )( rwtje β− resulta: 
( )
( ) �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
=+=�
�
�
�
�
�
=�
�
�
�
�
�
+
=
=++=
=++=+=
−
2
cos
2
sin2sin e cos1
2
1
2
cos
:que temospois 
2cos1
sin
tan
)2/cos(2sin)cos1(
:onde sincos1
2
1
22
0000
ϕϕϕϕϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕ
B
A
AeEjEeEEE jBj
 
 
Deste modo a expressão para o campo total E pode ser posta na forma: 
2
0 2
cos2
ϕϕ j
eEE �
�
�
�
�
�
= 
Analisando-se esta expressão, vê-se que a amplitude do campo resultante das 
duas fontes é composta pelo produto de dois fatores: 
a) A amplitude do campo da fonte isotrópica: 0E 
b) Um fator devido ao conjunto: ( )2/cos2 ϕ 
A fase do conjunto difere da fase de uma das antenas pelo fator dado 
por: 2/ϕ 
Generalizando-se esta demonstração para duas antenas quaisquer, onde E0 
fosse seu diagrama de irradiação, dependente dos ângulos � e �, pode-se 
expressar a seguinte regra geral: 
“ O diagrama de irradiação de um conjunto de duas antenas iguaisé o 
produto do diagrama de uma antena do conjunto pelo fator do conjunto e a 
fase do conjunto é a soma da fase de uma antena do conjunto com a fase do 
conjunto”. 
Vamos agora retomar a figura 22, supondo a existência de “n” fontes iguais 
e igualmente espaçadas. Seja E0 o campo produzido por cada uma destas 
fontes e 	 = 
dcos� a defasagem entre elas. O campo total “ E” pode ser 
expresso por: 
 ).........1(
:ou .........
)1(32
0
)1(
0
3
0
2
000
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
−
−
+++++=
+++++=
njjjj
njjjj
eeeeEE
eEeEeEeEEE
 
Expressão que ainda pode ser posta na forma: 
( )[ ] ( )[ ]ϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕ
jnjnjjjj
jnjjjj
j
n
x
xj
eeeeeEEeE
eeeeEEe
eeEE
++++++==−
++++=
=
−
=
−�
..E- ..1)e-E(1
:resulta ,Ee-E :se-fazendo ),.........(
:resulta ,por expressão esta se-ndomultiplica 
0
)1(2
0
j
j32
0
1
)1(
0
 resultando em: 
( )
( )
( )
( )
conjunto defator do fase de diferença a representa )
amplitude em conjunto dofator o representa 
2/sin
2/sin
 )
menteindividual antena cada de campo o representa E a)
: temosonde 
2/sin
2/sin
1
1
1
1
:portanto )1()1(
2
)1(
0
2
)1(
000
0
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−=−=−
nj
nj
j
jn
j
jn
jnjj
ec
nb
e
nE
e
eE
e
eEE
eEeEEeE
Para chegar-se a esta conclusão usou-se: 
 
2
cos e 
2
e
sin
 1 e 1
j
222222
αααα
ϕϕϕ
ϕ
ϕϕϕ
ϕ
αα
jjj
jjj
j
jnjnjn
jn
ee
j
e
eeeeeeee
−−
−−
+
=
−
=
��
�
�
��
�
�
−=−��
�
�
��
�
�
−=−
 
 
21) Conjunto Broadside e Conjunto Endfire 
 
Denomina-se conjunto Broadside ao conjunto formado por duas antenas 
idênticas, separadas por uma distância “d “ e alimentadas por correntes 
iguais e de mesmo sentido. Neste caso, pode-se escrever: ( )
 
 cos
2
 :sendo e :pois
000
φ
βββββ
d
rrrrrrr
eeeEeEeEEEE
BA
rjrjrjrjrj
BA
BA
=∆∆−=∆+=
+=+=+= ∆∆−−−−
 
)cos(2
:em resulta 
2
cos
0 reEE
ee
r
rj
rjrj
∆=
+
=∆
−
∆−∆
β
β
β
ββ
 
 
No conjunto Endfire as duas antenas estão alimentadas por correntes iguais 
mas de sentidos opostos, assim teremos: ( )
)sin(2
2
)sin(
0
000
rjeEE
j
ee
r
eeeEeEeEEEE
rj
rjrj
rjrjrjrjrj
BA
BA
∆=
−
=∆
+−=+−=+=
−
∆−∆
∆∆−−−
β
β
β
ββ
βββββ
 
Veja que a diferença entre estes conjuntos é que um é máximo para 	 = 00 
enquanto o outro é mínimo. Temos o oposto para 	 = 900 ou seja um tem o 
maximo no eixo das antenas enquanto o outro tem o maximo a 900 do eixo 
das antenas. 
A figura 23 abaixo mostra o conjunto, onde no caso broadside as antenas 
tem correntes I tanto em A como em B, e no caso endfire a antena A tem 
corrente –I e a antena B corrente I, conforme tabela 2 
 Antena A Antena B Conjunto 
I0 I0 Broadside 
-I0 I0 Endfire 
 
 Figura 23 
 
22) Ganho do Conjunto 
 
Vamos supor dois dipolos perpendiculares ao plano do papel e separados por 
uma certa distânçia d, conforme mostra a figura 23, e alimentados por 
correntes iguais. Podemos pensar neste conjunto como um quadripolo e 
escrever: 
2221212
2121111
IZIZV
IZIZV
+=
+=
 
Como a antena é um sistema linear pode-se por: Z12 = Z21. Estas 
impedâncias são dadas pelas impedâncias próprias e mutuas entre os dipolos. 
O campo produzido por cada dipolo individualmente vale: 
)(PP : valedipolos dos conjunto ao entregue
potenciaA )(
2
1
 : valedipolo cada a entregue
irradiada potenciaA 60K : valeconstante a onde KIE
por expressoser pode campo este referencia como distância
 certa uma dado 60 :por dado sera campo o e 90
papel do plano no que ver se-pode 
sin
cos
2
cos60
1211
2
A
1211
2
0
RRIP
RRIPP
r
j
r
IjE
r
IjE
B
BA
+=+=
+==
==
==
�
�
�
�
�
�
=
θ
θ
θpi
Assim pode-se expressar a corrente de alimentação dos dipolos por: 
1211
DC
1211
KE
:por dadoser pode dipolo estepor produzido campo o e 
RR
P
RR
PI
+
=
+
=
Supondo-se que esta mesma potência fosse entregue a um único dipolo 
isolado teríamos usando-se o mesmo raciocínio, o campo elétrico dado por: 
mutua. impedancia da atravez manifestam se que elementos outros de
influencia sofre não isolado esta dipolo o como pois 2
11R
PKEDI =
Usando-se o que foi visto no item 18 para o conjunto dos dipolos, pode-se 
por para o campo produzido pelo conjunto dos dipolos 
dddEE
r
r
C βφ == onde )2
cos
cos(2 
O ganho do conjunto em relação ao dipolo isolado vale: 
�
�
�
�
�
�
+
=
+
==
2
cos
cos
2
2
)
2
cos
cos(2
1211
11
11
1211
φ
φ
r
r
DI
C
d
RR
RG
R
PK
d
RR
PK
E
EG
 
A figura 24 ilustra a situação 
 
 Figura 24 
 
23) Rede de Antenas 
 
Considerando-se duas antenas radiadores isotrópicos separados por uma 
certa distância “d” e alimentados por correntes iguais, mas de fases 
diferentes chega-se ao seguinte diagrama de irradiação no plano H, mostrado 
na figura 25. 
 
 Figura 25 
Estes diagramas podem ser obtidos fazendo-se: 
φβδϕ cosd+= na equação do conjunto de antenas visto no tópico 
19. A equação do campo vale: �
�
�
�
�
� +
=
2
cos
cos2 0
φβδ dEE 
Para entender-se como estes diagramas são desenhados é necessário lembrar 
que: 
RIZIIZIZIVIP 222
2
1)Re(
2
1)Re(
2
1)*Re(
2
1)Re(
2
1
=====
∗∗
 
24) Antena Yagi 
 
Vamos iniciar nosso estudo pela antena yagi de dois elementos. Esta antena 
é constituída por dois dipolos separados de uma distancia d, onde somente 
um deles é alimentado por uma corrente I. Vamos supor referindo-se a figura 
24 que o dipolo alimentado esteja em A e o dipolo sem alimentação esteja 
em B. Deste modo pode-se escrever tratando-se o conjunto das duas antenas 
como um quadripolo: 
)(
22
12
1
)(
22
12
1
22
12
1
22
12
12
12
2221212
1221111
22122212
22
12
:resulta I de função em I se-calculando
alimentado esta não dipolo segundo o pois 0
ααpiαα
α
α
−+−
=−=−=−=
=+=
+=
jj
j
j
e
Z
Z
Ie
Z
Z
I
eZ
eZ
I
Z
ZII
ZIZIV
ZIZIV
fazendo-se: 2212 ααpiδ −+= resulta: 
δj
e
Z
Z
II
22
12
12 = 
O campo elétrico a uma distancia grande do conjunto pode ser expresso por: 
��
�
�
��
�
�
+=
=+=
+ )cos(
22
12
1
cos
21
1)(
:por se-podeanterior equação da
uso o com assim onde )(
φδ
φ
φ
βφ
r
r
dj
r
jd
e
Z
Z
KIE
ddeKIKIE
 
Retornando-se as equações do quadripolo tem-se: 
22
12
22
22
12
11
22
2
12
111
1
1
22
2
12
111
22
2
12
11111
α
α
j
j
eZ
eZ
Z
Z
ZZZ
I
V
Z
ZZI
Z
ZIZIV
−=−==
��
�
�
��
�
�
−=−=
 
 
Sabe-se que: 121212111111 e jXRZjXRZ +=+= então: 
 
Entregando-se uma potencia “P” ao dipolo alimentado do conjunto tem-se: 
)2cos(
:em resultando 
2212
22
2
12
111
111
αα −−=
+=
Z
Z
RR
jXRZ
)2cos(
22
2212
22
2
12
11
1
1
αα −−
==
Z
Z
R
P
R
PI 
Substituindo este valor da corrente na equação do campo resulta em: 
��
�
�
��
�
�
+
−−
=
+ )cos(
22
12
2212
22
2
12
11
1
)2cos(
2)( φδ
αα
φ rdje
Z
Z
Z
Z
R
PKE 
Entregando-se esta mesma potencia a um dipolo de meia onda resulta: 
1111
2)( :em resultando 2
R
PKE
R
PI DD == φ
 
O ganho do conjunto em ralação ao dipolo de meia onda pode ser expresso 
por: 
��
�
�
��
�
�
+
−−
==
+ )cos(
22
12
2212
22
2
12
11
11 1
)2cos()(
)()( φδ
αα
φ
φφ rdj
D
e
Z
Z
Z
Z
R
R
E
EG
 
Procedendo-se de modo análogo pode-se construir Yagis de vários 
elementos. A tabela 2 a seguir mostra algumas antenas Yagi já 
desenvolvidas com excelentes resultados. 
 
 Tabela 2 
 
As antenas yagi possuem largura de banda inferior a 10% da sua freqüência 
de operação. 
 
25) Antena log-periodica 
As antenas log-periodicas são antenas caracterizadas por terem uma largura 
de banda bastante ampla, sendo conhecidas como antenas independentes da 
freqüência. Nestas antenas a impedância e o diagrama de radiação variam 
periodicamente com o logaritmo da freqüência. 
 
 Figura 26 
O principiode funcionamento destas antenas baseia-se no fato de que se 
todas as dimensões de uma antena forem reduzidas de um fator K, a 
performance da antena (diagrama de radiação, impedância) permanece 
inalterada se a freqüência de operação for aumentada do mesmo fator K. Isto 
se chama escalonamento de uma antena. Este escalonamento é conseguido 
com estrutura como as mostradas na figura 26 onde se deve ter: 
�
	
�
�
��
�
�
��
�
�
=
0
0 lnsin
r
rbθθ 
brr
rrb
bww
wew b
/2lnln
2)/ln(
/2lnln
0
0
/2
pi
pi
pi
pi
+=
=
+=′
=′
 
Assim, os valores de w e r são repetidos na razão do logaritmo da freqüência 
inicial e distancia inicial respectivamente e são periódicos em 2�/b. 
Na antena log deve-se ter: 
a) A impedância de entrada e o diagrama de radiação devem variar 
periodicamente com o logaritmo da freqüência, isto é não devem portanto se 
alterar com o logaritmo da freqüência permanecendo constantes. 
b) Para que isto seja possível deve-se ter em coordenadas esféricas que a 
estrutura da antena deve ter: � = f ( ln(r)), ou seja a coordenada � da antena 
deve ser uma função logarítmica da coordenada r. 
 A antena log-periodica é formada por dois braços, tendo cada um deles uma 
estrutura deste tipo conforme mostra a figura 26. A realização disto na 
pratica é feito com estruturas com as mostradas na figura 27 abaixo. 
 
)ln(
: omod jvurew
jyxln(w)z
f(ln(r))
y e x como bem s,coordenada são ,
j
θ
θ
θ
θ
=
=
+==
+==
=
y
rx
teremosdesde
r
 
 
Nesta geometria deve-se ter: 
 
...
1 11
1
2
1
2
1
2
1
2
=======
++
n
n
n
n
R
R
l
l
s
s
d
d
R
R
l
l
τ
 
Deve-se ter em mente que a relação: 
12
1n
n
3
2
2
1 f :para 
f
f
...... ff
f
f
f ≥====
+
τ define a gama de 
funcionamento da antena em termos da freqüência. Define-se também nesta 
estrutura um parâmetro de espaçamento dado por: 
1
1
2 +
+ −
=
n
nn
l
RR
σ 
 
 
 Figura 27 
O projeto destas antenas é realizado com o auxilio das curvas da figura 28 
obedecendo os seguintes passos: 
 
 Figura 28 
( )
[ ]
τ
σ
σ
τ
α
λ
λ
ατ
ατ
σ
τ
α
στ
=′
=
�
	
�
�
−��
�
�
��
�
�
=
+=
��
�
�
��
�
�
−=
==
−+==
−+=
=�
�
�
�
�
� −
=
−
)120/cosh(
25.2ln120
)/1ln(
ln1
cot
11
4
2
cot)1(7.71.1
cot17.71.1
 
4
1
tan
:então se-calculando 28, figura da
uso o com e fatores os se-escolhe desejado ganho o Com
0
max
min
maxmax
2
2
min
max1
ZDs
d
lZ
BN
B
L
f
vl
BBBB
B
f
fB
n
n
a
s
s
ars
ar
 onde: 
Bs = largura de banda utilizada nos cálculos 
B = largura de banda desejada 
Bar = largura de banda da região ativa da antena 
L = comprimento total da antena 
N = numero de dipolos da antena 
Za = impedância media dos dipolos da antenas 
Z0 = impedância característica da linha de alimentação dos dipolos 
Rin = impedância de entrada da antena 
d = diâmetro dos elementos 
D= diâmetro do elemento da linha de transmissão 
s = espaçamento entre os condutores da linha de transmissão 
fmax = freqüência máxima desejada. fmin = freqüência mínima de operação 
Valores típicos de projeto são: 100 < � <450 e 0,7 < 
 < 0,95. A terminação 
da linha de alimentação normalmente é feita por um curto a uma distancia 
menor ou igual a �max/8 do maior dipolo da estrutura. 
 
26) Antenas de abertura 
Vejamos agora com base na teoria de irradiação por superfícies já vista 
como pode ser calculado o campo irradiado por uma superfície plana que 
contem uma onda plana. 
26.1) Irradiação por uma superfície plana 
 
 Figura 29 
 
Considere uma onda como mostra a figura 29 com campo elétrico Ex e 
campo magnético Hy viajando na direção ‘z ‘. Como vimos esta onda plana 
pode ser substituída na superfície por correntes equivalentes dadas por: 
yEnyEMEn
xHnxExHJHn
xzxyxz
yz
x
yxyz
90sin
90sin
−=−=−=×−
====×
η
 
 
��
��
+
+
=
=
ba
yxj
y
ba
yxj
x
dxdyeML
dxdyeJN
,
)sinsinsinsin(
,
)sinsinsinsin(
φθφθβ
φθφθβ
 
��
��
��
��
+
=
+
+
+
=
−=
=
ba
yxj
y
ba
yxj
y
ba
yxj
x
ba
yxj
x
dxdyeML
dxdyeML
dxdyeJN
dxdyeJN
,
)sinsinsinsin(
,
)sinsinsinsin(
,
)sinsinsinsin(
,
)sinsinsinsin(
cos
sincos
sin
coscos
φθφθβ
φ
φθφθβ
θ
φθφθβ
φ
φθφθβ
θ
φ
φθ
φ
φθ
 
Fazendo-se uso destas equações chega-se a: 
( )
( )
φθβ
φθβ
pi
β
ηη
θφ
θφ
β
θ
φ
φ
θ
φ
θ
cossin
2
cossin
2
H 
sinsin
cos1cos
2
sinsin
cos1sin
2
bY
aX
r
eEjab
c
EEH
Y
Y
X
XcE
Y
Y
X
XcE
rj
x
=
=
=
=−=
+=
+=
−
 
 
26.3) Irradiação por cabo coaxial 
 
Seja um cabo coaxial alimentado por um lado e com o outro aberto 
conforme mostra a figura 30. O campo irradiado por esta estrutura pode ser 
calculado pela teoria, supondo-se que exista uma tensão V entre a alma e a 
malha do cabo no lado aberto, pode-se por: 
η
θεηβ
φ
ρ
ρ
ρ
θ
φ
β
θ
ρ
E
He
abr
abVwE
ab
V
ab
VE
rj
=
−
−=
−=
=
−
 sin)/ln(8
)(
:á se-chega vista teoriada uso o com e
)/ln(M 
 M determinar se-pode valor este com )/ln(
22
s
s
 
 
 
 Figura 30 
 
26.4) Cornetas 
Uma superfície plana conforme a que foi vista e que na pratica, pode ser 
pensada como uma guia de onda em aberto, apresenta um baixo rendimento 
devido a súbita mudança do meio de propagação e ao fato de suas dimensões 
serem pequenas. Para resolver tais problemas surgiram as cornetas que 
podem ser vistas na figura 31. A figura mostra por ordem a corneta H, a 
corneta E, a corneta piramidal e a corneta cônica. A corneta H pode ser 
projetada com o uso da figuras 32 e 33. Para entendimento desta figuras 
deve-se observar a figura 32 que vale tanto para o plano H como para o 
plano E. Nesta figura teremos: 
1
2
1
1
2
1
max
1
2
1
8
)2/(
2
1fase
)y(fase 
2
1)(
cos
ρ
β
ρ
β
βδ
ρ
δ
ϕρρ
bb
yy
ee
==
′=
′
=′
=
 
 
 Figura 31 
 
 
 
 Figura 32 
 
 
 
 
 Figura 33 
1
2
1
1
2
1max
882
1
2 λρρ
β
pipi
bbfase
t === 
As curvas são apresentadas em função do parâmetro “t” e do parâmetro 
“�1”( dado em função de �). A figura 33 permite o dimensionamento da 
corneta em função da Diretividade pretendida DH. A figura 34, permite o 
calculo dos diagramas de irradiação. 
 
 Figura 34 
 
As cornetas E podem ser dimensionadas com o uso das figuras 35 e 36. 
 
 Figura 35 
 
 Figura 36 
A corneta piramidal apresenta diagrama de irradiação no plano E idêntico ao 
diagrama no mesmo plano da corneta setorial E. O diagrama de irradiação 
no plano H é igual ao diagrama no mesmo plano da corneta setorial H. A 
diretividade da corneta piramidal é dada por: 
B
D
A
DD HE λλpi
32
= 
Onde DE e DH são as diretividades das cornetas setoriais. 
 
26.5) Parábolas 
As antenas parabólicas nada mais são do que antenas de aberturas com áreas 
grandes. Esta grandes áreas são obtidas colocando-se uma antena de abertura 
no foco de um refletor parabólico e deste modo consegue-se maiores áreas 
devido as propriedades da parábola. A diretividade de uma abertura pode ser 
calculada com o uso de: 
SrU
ESdsSP
P
UD
2
2
2
 e onde 4
=
=•== � η
pi
 
Com o auxilo destas formulas, sendo o campo calculado pelas diversas 
formas das aberturas( guias, cabos), chega-se a seguinte formula para ganho 
máximo da antena: 
 2
4
λ
piAD = 
Onde “A” é a área da abertura. Para antenas parabólicas de diâmetro “d” esta 
formula fica: 
 
2
2
2
dD λ
pi
= 
Expressando em db com troca de unidades resulta em: 
 
 )log(204.20 Ghzm fdG += 
 
Como em geral esta alimentação é feita com guias deondas que não 
produzem um campo plano em toda a abertura a eficiência da antena fica em 
torno de 57%. Resultando em um ganho de: 
 2
22
57,0 λ
pi dG = 
Expressando-se em db com mudança de unidades temos a seguinte formula 
pratica: 
 )log(2018 Ghzm fdG += 
 
27) Exercícios 
 
 
 
 
 
 
1) Qual o ganho máximo de uma antena supondo-se que seu rendimento 
seja de 80% e que o vetor de Poyting por ela produzido seja: 
 φθ 22 sinsin101
r
S = 
2) Em uma antena foram lidos os seguintes valores: 
Ângulo(graus) Campo horizontal(mV/m) Campo vertical(mV/m) 
90 1.23 7.98 
80 1.65 3.59 
70 2.07 11.0 
60 2.38 6.5 
50 3.04 9.0 
40 5.82 13.0 
30 11.7 22.2 
25 17.4 26.3 
20 28.02 32.8 
10 32.77 36.6 
0 39.63 37.15 
-10 35.7 28.8 
-15 28.02 26.3 
-20 27.65 17.74 
-30 15.55 14.48 
-40 9.45 12.5 
-50 5.95 6.4 
-60 1.4 7.3 
-70 2.4 2.5 
-80 1.37 6.5 
-90 2.01 5.6 
Qual o ganho mínimo e máximo da antena considerando-se pontos de 
3db? 
3) Plote o diagrama de radiação de um dipolo elementar operando em 
300 Mhz, com I = 2A e l = 2cm. 
4) Qual o ganho do dipolo elementar nas direções de 200 e 600 ? 
5) Calcule a área e o comprimento eletrico das seguintes antenas: 
Fequencia(Mhz) 170 470 850 
Ganho(db) 13 17 20 
Resistência de Radiação(�) 50 50 50 
6) Plote o diagrama de radiação de um dipolo de meia onda, operando 
em 200Mhz com corrente de alimentação de 5A. 
7) Qual a potencia em dbm na entrada de um receptor operando em 850 
Mhz, submetido a um campo de 50 �V/m se sua antena tem: 
a) 20 db de ganho 
b) -1 db de ganho 
8) Calcule a impedância do dipolo de meia onda operando em 150 Mhz, 
alimentado a 25 cm de distancia do seu fim. O diâmetro do condutor do 
dipolo é de 0,25 cm. 
9) Calcule a impedância de radiação e a de alimentação de um dipolo de 
1,5 m de comprimento, operando em 300 Mhz, alimentado pelo centro, 
feito com condutor de 0.3 cm de diâmetro. 
10) Calcule as impedâncias de radiação e alimentação para dipolos de 0.5 
cm de condutor, operando em 200 Mhz com os seguintes comprimentos: 
0.75 cm, 3m, 4.5m, 6m. 
11) Calcule os ganhos dos dipolos da questão 10. 
12) Calcule a impedância mutua entre dipolos de meia onda espaçados de: 
0,25�; 0,1� e 1.5� 
13) Qual a potencia de ruído na saída de uma antena operando em 100 
Mhz, com banda de 20 Mhz. 
14) Projete uma antena log-periodica para operar de 54 á 216 Mhz, com 
ganho de 9 dbi(�= 0,157 e 
= 0,865) e 75 � de impedancia. Use para 
linha de alimentação tubo de 1,18” de diametro e como elementos tubo 
de 3/8”. 
15) Projete uma antena Yagi para funcionar no canal 7 de TV com ganho 
de 8dbi e impedancia de 50 ohms. Use tubos de 3/8”. Qual a largura de 
banda estimada para esta antena? 
 
16) Projete um dipolo de meia onda ressonante para operar no canal 2 de 
TV. Use tubo de diametro 3/8”. Qual o valor esperado para a 
impedancia deste dipolo? 
 
17) Qual o ganho estimado para uma parabola de 3m de diametro 
operando em 7,5Ghz? Qual seu comprimento eletrico supondo sua 
impedancia de 50 omhs? 
�
18) Calcule o ganho e impedancia de uma antena yagi de tres elementos 
de meio comprimento de onda com separação de: 
a. R-A: 0,25 � 
b. A-D: 0,2 � 
 
19) Projete uma antena log-periodica com ganho de 8 dbi e 75 � de 
impedancia para funcionar de 174 á 216 Mhz. 
 
20) Calcule o ganho de dois dipolos de meia onda alimentados com 
corrente iguais e espaçados de 0,3 �. 
 
21) Calcule o ganho de dois dipolos de meia onda alimentados com 
correntes iguais e de fase opostas espaçadas de 0,4 �. 
 
22) Calcule o ganho e impedancia de uma antena Yagi de dois elementos 
de meio comprimento de onda espaçados de 0,3 �. 
�
���������	
��
�����
�����
�����������	�������������	�������	���������������	���	��������	��	�
����	��
1. RIOS, L. G. & PERRI, E. B, Engenharia de Antenas. 2.ª Edição. Ed. 
Edgard Blücher 
2. KRAUS, John D., Antenas. 1ª edição. Ed.LTC 
3. BALANIS, C., Antenna Theory – Analysis and Design. Ed. John Wiley & 
Sons 
4. Roberto da Costa e Silva; Eletromagnetismo Aplicado; Ed. EDUFBA; 
Salvador 1998 
5.Luiz Cláudio Esteves; Antenas; Ed. McGraw-Hill do Brasil; São-Paulo 
1981 
6. M. Dolukhanov; Propagation of Radio Waves; Ed. Mir; Moscou 1971 
7.Robert E. Collin; Antennas and Radio Wave Propagation; Ed. McGraw-
Hill; Singapore 1985 
 8.Contel; NTC-19; Ed. Arte Moderna; Rio de Janeiro 1967 
 9. Vincent F. Fusco; Teoria e pratica de antenas, Ed. Bookman, Porto 
Alegre 2006 
�