Modelagem e Linearização de Sistemas Dinâmicos

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Engenharia de Controle 1
Aula 5: Sistemas dinâmicos e sua 
modelagem. Linearização de 
sistemas não lineares. Modelos em 
transformada de Laplace.
Pedro M. G. del Foyo
 
Modelagem de sistemas dinâmicos
● A dinâmica de muitos sistemas é descrita 
através de equações diferenciais
● As equações diferenciais obtem-se a partir de 
leis físicas que descrevem o comportamento 
dos sistemas.
● Obter um modelo matemático razoável é a 
parte mais importante de todo o processo de 
análise.
 
Modelagem de sistemas dinâmicos
● O tipo de modelo matemático a ser usado na 
descrição do comportamento do sistemas 
depende do tipo de sistema e das 
especificações que pretendem ser analisadas
● Uma vez obtido o modelo matemático do 
sistema diferentes métodos analíticos podem 
ser usados para estudá-lo e sintetizá-lo.
 
Simplicidade vs precisão
● Quanto mais preciso mais complexo resulta o 
modelo.
● Sistemas lineares são mais simples, aplica-se 
o principio da superposição.
● Sistemas lineares invariantes no tempo são os 
mais simples.
 
Sistemas lineares com coeficientes 
constantes
● Os sistemas em geral são não lineares.
● É necessário um processo de linearização 
para representar um sistema através de 
equações diferenciais com coeficientes 
constantes.
● Na engenharia de controle, na operação 
normal dos sistemas acontece ao redor de um 
ponto de equilibrio. 
 
Linearização
● É possível se o sistema opera ao redor de um 
ponto de equilibrio e os sinais envolvidos são 
pequenos.
● O sistema não linear é considerado linear 
dentro de uma faixa limitada de operação.
● A técnica de linearização é baseada na 
expansão de funções não lineares em series 
de Taylor.
 
A técnica de linearização
● Considere um sistema onde a relação entre 
entrada e saída e descrita pela função
 y = f(x) (1)
● Se a operação normal corresponde a x, y 
devemos obter a expansão em series de 
Taylor da equação 1 ao redor de x, y
 
A técnica de linearização (cont.)
 y = f(x) +df (x-x) + 1 d2f (x-x)2+ ... (2)
 dx 2! dx2 
com as derivadas avaliadas em x=x
Se (x-x) é uma variação pequena, as 
derivadas de ordem superior podem ser 
desprezadas.
y = y + K(x-x) onde K = df 
 dx 
x=x
y-y = K(x-x)
 
A técnica de linearização (cont.)
 ● Considere um sistema com duas variáveis de 
entrada e aplique a técnica de linearização.
y=f(x
1
,x
2
)
y-y = K
1
(x
1
-x
1
) + K
2
(x
2
-x
2
)
Com K
1
 = ∂f K
2
 = ∂f 
 ∂x
1
 
x1=x1,x2=x2 
∂x
2 x1=x1, x2=x2
 
 
Exercicio 1: linearização de 
sistemas
 ● Dada a função não linear:
 z=xy
● Linearize a função para a região 5≤ x ≤7, 
10 ≤y ≤12 sendo o (6,11) o ponto de 
equilibrio. 
● Obtenha o erro na equação linearizada 
para o ponto (5,10).
 
 
Solução do exercício 1
● Expandendo a função em serie de Taylor:
 z-z = K
1
(x-x) + K
2
(y-y)
onde
K
1
 = ∂(xy) = y = 11 K
2
 = ∂(xy) = x = 6
 ∂x 
x=x, y=y 
∂y 
x=x, y=y 
 z - 66 = 11(x - 6) + 6(y – 11)
 z = 11x + 6y - 66
 
Solução do exercício 1
● Calculando o erro da função linearizada no 
ponto (5,10):
 z = 5 * 10 = 50 
 z = 11*5 + 6*10 – 66 = 115 – 66 = 49
 erro = 50 – 49 = 1 => 2%
 
Transformada de Laplace
● Permite levar a resolução de 
equações diferenciais à 
resolução de equações 
polinomiais, que são muito 
mais simples de resolver.
● Aplicando a transformada 
inversa de Laplace obtem-se a 
resposta temporal das 
equações diferenciais. 
 
Algumas transformadas elementares.
 
Sistema de suspensão
● m
1
 = 2kg
● m
2
 = 100kg
● k
2
 = 15N/m
● k
1
 = 40 N/m
● b = 40 N-seg/m
 
Modelagem do sistema de suspensão
m
1
 x'' + b x' + (k
1
+k
2
) x = b y' + k
2
 y + k
1
 u
m
2
 y'' + b y' + k
2
 y = b x' + k
2
 x
[m
1
s2 + bs + (k
1
+k
2
)]X(s) = (bs + k
2
)Y(s) + k
1
 U(s)
[m
2
s2 + bs + k
2
]Y(s) = (bs + k
2
)X(s)
 
Modelagem do sistema de suspensão
Y(s) = k
1
(bs + k
2
)
U(s) [(m
1
s2 + bs + k
1
+k
2
)(m
2
s2 + bs + k
2
) - (bs + k
2
)2]
u(t) = 4sen 6t U(s)= 32/(s2 + 36)
 
 
Modelagem do sistema de suspensão
num = 32k
1
bs + 32k
1
k
2
den = (m
1
m
2
s6 + (m
1
+m
2
)bs5 + [k
1
m
2
+ 36m
1
m
2
+ 
 (m
1
+m
2
)k
2
]s4 + [k
1
b+(m
1
+m
2
)36b]s3 + [36[k
1
m
2
+ 
 (m
1
+m
2
)k
2
]+ k
1
k
2
]s2 + 36k
1
bs + 36k
1
k
2
num = [51200 19200];
den = [200 4080 12730 148480 199680 57600 21600];
 
Usando MATLAB
● O pacote MATLAB possue um comando 
para obter a expansão em frações parciais.
● Primeiro deve-se entrar a função F(s) a que 
deseja-se aplicar a transformada inversa.
 F(s)= B(s) = b0sn + b1sn-1 + … + bn
 A(s) sn + a1sn-1 + … + an
● num = [b0 b1 b2 … bn]
● den = [1 a1 a2 … an]
 
Exemplo no MATLAB 
 
Exemplo no MATLAB (cont.)
● Concluir o exemplo anterior, obtendo os 
coeficientes de cada termo da solução y(t).
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