Introdução ao cálculo - Aula 01

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Introdução ao cálculo 
 
Funções 
 
Uma função surge quando uma quantidade depende da outra. Observe a 
seguinte situação: 
 
A População mundial em função do tempo: 
 
Ano População 
(milhões) 
1900 1650 
1910 1750 
1920 1860 
1930 2070 
1940 2300 
1950 2560 
1960 3040 
 
 
A tabela acima relaciona o período (t) com a estimativa da População mundial 
P(t), representando numericamente uma função. 
 
Def.: Uma função é uma lei que associa cada elemento x de um conjunto A 
exatamente a um elemento f(x), em um conjunto B. Podemos defini-la utilizando 
uma lei de formação, em que, para cada valor de x, temos um valor de f(x). 
 
Domínio: Dada uma função qualquer, o domínio é formado pelos valores que o 
x pode assumir. Este será representado pelo conjunto A. Observe as funções 
f(x) = x² e g(x) =1/x. 
 
Contradomínio: é o conjunto que contém todas as imagens possíveis para a 
função. 
 
Imagem: O conjunto imagem da função é um subconjunto do contradomínio 
formado por todos os elementos correspondentes de algum elemento do 
domínio. 
 
Encontre o domínio das funções a seguir: 
 
a) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 2 
 
b) 𝑔(𝑥) = 
1
𝑥2−1
 
 
c) 𝑘(𝑥) = 
1
𝑥2−𝑥
 
 
 
 
Notação 
f: A → B (Função de A em B) 
 
Condições para ser uma função: 
 
1 – Todo elemento em A deve ter um correspondente em B. 
2 – O elemento do conjunto A não poderá ter mais de um 
correspondente em B. 
3 – Dois elementos em A podem ter o mesmo correspondente em B. 
 
Vejamos um exemplo para ficar mais claro: 
 
F(x) = x², note que para os valores x = -2 e x = 2 temos como imagem 4. 
 
Observando os diagramas, assinale as alternativas que são funções: 
(Representação de funções por diagrama de flechas) 
 
 
 
 
 
 
 
Como avaliamos isso graficamente? 
 
 
 
Tipos de funções: 
 
Função injetora: uma função é injetora se elementos distintos do 
domínio tiverem imagens distintas. Por exemplo, dada a função f : 
A→B, tal que f(x) = 3x. 
 
Função sobrejetora: uma função é sobrejetora se, e somente se, o seu 
conjunto imagem for especificadamente igual ao contradomínio. Por 
exemplo, se temos uma função f: Z→Z definida por y = x +1 ela é 
sobrejetora, pois Im = Z. 
 
Função bijetora: uma função é bijetora se ela é injetora e sobrejetora 
ao mesmo tempo. As duas condições são satisfeitas. 
 
Funções polinomiais 
 
Função do 1º grau: 
 
F (x) = Ax +B 
 
A → Coeficiente angular da reta 
B →Coeficiente linear da reta 
Esboce o gráfico e encontre o domínio e a imagem da função f(x) = 2x -1 
 
 
 
Função do segundo grau: 
 
F(x) = Ax² + Bx + C 
 
A, B e C → Coeficientes da equação. 
 
Esboce o gráfico e encontre o domínio e a imagem da função g (x) = x². 
 
 
 
 
Visto isso, podemos representar uma função de quatro maneiras diferentes: 
• Verbalmente (descrevendo com palavras) 
• Numericamente (por meio de tabelas e valores) 
• Visualmente (através de um gráfico) 
• Algebricamente (utilizando uma fórmula explícita) 
 
 
 
Calculo I 
Limite de uma função 
 
Considere a seguinte função: 
 
𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 𝑥 − 2
𝑥 − 2
= 
(𝑥 − 2). (𝑥 + 1)
(𝑥 − 2)
= 𝑥 + 1 
 
Para todo x≠2. 
 
Note que o domínio da função é o conjunto dos números reais, menos o número 
2, ou seja, Df = ( IR -2 ou / {2} ). Não podemos calcular a imagem para o número 
2, pois isso levaria a uma divisão por zero. 
 
Entretanto é interessante estudar o comportamento da função nas proximidades 
do 2. Observe a tabela abaixo: 
 
x 1,95 1,97 1,99 1,999 2,3 2,1 2,001 2,000001 
f(x) 2,95 2,97 2,99 2,999 3,3 3,1 3,001 3,000001 
 
Note que temos um determinado padrão. À medida que x se aproxima de 2, f(x) 
se aproxima de 3. Matematicamente, dizemos que f(x) tende a 3 quando x tende 
a 2. 
 
Notação: 
𝐿𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 3 
𝑥 → 2 
 
Lemos da seguinte forma: “O limite de f(x) quando x tende para 2 é igual a 3.” 
Desta forma, escrevemos: 
 
𝐿𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝐿 
𝑥 → 𝑎 
 
Quando podemos obter valores para f(x) tão próximos de L quanto quisermos, 
bastando para isso tomar valores de x suficientemente próximos de “a” (para 
ambos os lados, isto é, tanto maiores que a quanto menores que a) mas não 
igual a “a”. 
 
Exercícios: 
a) 𝑓(𝑥) =
𝑥2−9
𝑥−3
 
 
b) 𝑔(𝑥) = 
𝑥2+12𝑥+36
𝑥+6