Prob_6ºEncontro_S118(01) a S144(26)-Aula-PDF

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Curso de Estatística
Prof. Leudo
Probabilidade
Probabilidade – Métodos de Estimação
Inferência Por meio da teoria das
proabilidads
Monitoração de Parâmetros Estatísticos
Probabilidade – Métodos de Estimação
Probabilidade – Métodos de Estimação
Probabilidade – Métodos de Estimação
Estimação por intervalo
Probabilidade – Métodos de Estimação
› Comportamento da média de amostras ഥ𝑿 com relação à média populacional
𝝁 :
Considerando um erro de estimativa de 5%, então 95% das amostras contém o valor de 𝝁
 
𝑃𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 
 
 𝑋 𝐴𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑛 
 𝜇; 𝜎2 𝑋 1 
 
 𝐴𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑛 
 𝑋 2 
 
 ………………………. ………………………… 
 𝐴𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑛 
 𝑋 𝑘 
 
 
 𝑋 
 −∞ 𝜇 ∞ 
 
 𝑋 1 
 ± 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 
 𝑋 2 
 ± 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 
 
 𝑋 𝑘 
 ± 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 
Estimação por intervalo
 
 𝑋 
 −∞ 𝜇 ∞ 
 
 𝑋 1 
 ± 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 
 𝑋 2 
 ± 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 
 
 𝑋 𝑘 
 ± 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 
 
 𝑋 
 −∞ 𝜇 ∞ 
 
 𝑋 1 
 ± 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 
 𝑋 2 
 ± 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 
 
 𝑋 𝑘 
 ± 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 
 
 𝑋 
 −∞ 𝜇 ∞ 
 
 𝑋 1 
 ± 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 
 𝑋 2 
 ± 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 
 
 𝑋 𝑘 
 ± 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 
Probabilidade – Métodos de Estimação
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA POPULACIONAL (𝜇) QUANDO A VARIÂNCIA (𝜎2)
É CONHECIDA
Sabemos que:
- O estimador da média populacional (𝜇) é 𝑋;
ഥ𝑿 =
𝑑
𝑁 𝜇;
𝜎2
𝑛
para as populações infinitas;
-
ഥ𝑿 =
𝑑
𝑁 𝜇;
𝜎2
𝑛
𝑁−𝑛
𝑁−1
para as populações finitas.
Assim, para o caso de populações infinitas: 𝑍 =
 𝑋−𝜇
𝜎
𝑛
≈ 𝑁 0, 1 
Para o caso das populações finitas: : 𝑍 =
 𝑋−𝜇
𝜎
𝑛
𝑁−𝑛
𝑁−1
≈ 𝑁 0, 1 
Estimação por intervalos
Se 𝑋 =
𝑑
𝑁 𝜇; 𝜎2 
 𝑍 =
𝑋−𝜇
𝜎
 
Probabilidade – Métodos de Estimação
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA POPULACIONAL (𝜇) QUANDO A VARIÂNCIA (𝜎2) É CONHECIDA
A distribuição Normal padronizada, para uma determinada confiabilidade, apresenta a
seguinte formação gráfica:
1 − 𝛼𝛼
2
𝛼
2
Obs.:
 𝟏 − 𝜶 é tido como “medida de confiabilidade” e representa a probabilidade de um dado
valor de “𝑍” estar contido entre ±𝑍𝛼
2
ou seja: 𝑷 −𝒁𝜶
𝟐
≤ 𝒁 ≤ 𝒁𝜶
𝟐
= 𝟏 − 𝜶.
Geralmente se atribui aos termo 𝟏 − 𝜶 valores de probabilidade de 90%, 95%, 99%,..., etc.
Estimação por intervalos
 
 
 −𝑍𝛼
2
 0 𝑍𝛼
2
 Z 
Probabilidade – Métodos de Estimação
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA POPULACIONAL (𝝁) QUANDO A VARIÂNCIA (𝝈𝟐) É CONHECIDA
Para o caso de populações infinitas, sabemos que:
𝑍 =
 𝑋−𝜇
𝜎
𝑛
logo:
𝑷 −𝒁𝜶
𝟐
≤ 𝒁 ≤ 𝒁𝜶
𝟐
= 𝟏 − 𝜶 ⇒ 𝑷 −𝒁𝜶
𝟐
≤
 𝑋−𝜇
𝜎
𝑛
≤ 𝒁𝜶
𝟐
= 𝟏 − 𝜶 ⇒
Resolvendo-se as duas inequações para 𝝁, tem-se o intervalo de confiança para a média
populacional 𝝁 quando a variância 𝝈𝟐 é conhecida:
𝑷 ഥ𝑿 − 𝒁𝜶
𝟐
𝝈
𝒏
≤ 𝝁 ≤ ഥ𝑿 + 𝒁𝜶
𝟐
𝝈
𝒏
= 𝟏 − 𝜶
Estimação por intervalos
Probabilidade – Métodos de Estimação
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA POPULACIONAL (𝝁) QUANDO A VARIÂNCIA (𝝈𝟐) É CONHECIDA
Aplicação:
Uma máquina enche pacotes de café com uma variância (𝜎2 ) igual a 100 𝑔2 . Ela
estava regulada para encher os pacotes com 500 g, em média ( 𝜇 ). Agora ela está
desregulada, e queremos saber qual a nova média 𝜇 . Uma amostra de 25 pacotes
apresentou uma média ( 𝑋) igual a 498 g. Construa um intervalo de confiança com 95%
de confiança para 𝜇.
Sol.:
Do problema, vemos que: 𝝈 = 100 = 10; 𝒏 = 25; ഥ𝑿 = 498; 𝟏 − 𝜶 = 95% = 0,95,
logo: se 𝟏 − 𝜶 = 95% ⇒ 𝛼 = 5% = 0,05 ⇒
⇒
𝜶
𝟐
=
0,05
2
= 0,025.
Então, deve existir um valor de 𝑍𝛼
2
tal
que: 𝒁𝜶
𝟐
= 𝑍0,025 = 𝑍0,475 =?
Estimação por intervalos
 
 
 −𝑍𝛼
2
 0 𝑍𝛼
2
 Z 
 0,95 
 
 0,025 0,025 
 0,475 0,475 
Probabilidade – Métodos de Estimação
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA POPULACIONAL (𝝁) QUANDO A VARIÂNCIA (𝝈𝟐) É CONHECIDA
Sol.: (cont.)
Então:
𝑷 ഥ𝑿 − 𝒁𝜶
𝟐
𝝈
𝒏
≤ 𝝁 ≤ ഥ𝑿 + 𝒁𝜶
𝟐
𝝈
𝒏
= 𝟏 − 𝜶 ⇒ 𝑃 498 − 1,96.
10
25
≤ 𝜇 ≤ 498 + 1,96.
10
25
= 0,95 ⇒
⇒ 𝑃 498 − 1,96
10
5
≤ 𝜇 ≤ 498 + 1,96
10
5
= 0,95 ⇒ 𝑃 498 − 3,92 ≤ 𝜇 ≤ 498 + 3,92 = 0,95 ⇒
⇒ 𝑃 494,08 ≤ 𝝁 ≤ 501,92 = 0,95.
Conclusão: Para amostras de tamanho 25, em 95% das vezes, os intervalos gerados conterão
o verdadeiro valor do peso médio 𝝁 = 500 𝑔 dos pacotes de café.
Estimação por intervalos
 
 
 
 −𝑍𝛼
2
 0 𝑍𝛼
2
 Z 
 
 0,95 
 
 0,025 0,025 
 0,475 0,475 
𝑃𝑟𝑜𝑐𝑢𝑟𝑎 − 𝑠𝑒 𝑛𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑢𝑚 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝒁 
𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 à𝑠 á𝑟𝑒𝑎𝑠: 𝒁𝜶
𝟐
= 𝒁𝟎,𝟎𝟐𝟓 = 𝒁𝟎,𝟒𝟕𝟓 
𝑁𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝒁𝜶
𝟐
 é 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝟏, 𝟗𝟔. 
𝐸 𝑚𝑎𝑖𝑠: 𝝈 = 10; 𝑿ഥ = 498 𝑒 𝒏 = 25. 
 498 ± 3,92 
Probabilidade – Métodos de Estimação
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA POPULACIONAL ( 𝝁 ) QUANDO A VARIÂNCIA ( 𝝈𝟐 ) É
DESCONHECIDA
Aplicação:
De um grupo de 200 alunos da UECE que fizeram uma prova de Estatística, foi retirada
uma amostra de 36 das notas obtidas: 9, 8, 10, 7, ... , 6, 4, 7, 4, 5, 8, 8, gerando uma
nota média ( 𝑋 igual a 8,0 e desvio padrão ( 𝜎𝑋 , 2,0. Construir um intervalo de
confiança para a verdadeira nota média da população a um nível de confiança de 96%.
Sol.: Do problema, vemos que: 𝝈 = 2; 𝒏 = 36; ഥ𝑿 = 8; 𝟏 − 𝜶 = 96% = 0,96
logo: se 𝟏 − 𝜶 = 96% ⇒ 𝛼 = 4% = 0,04 ⇒
⇒
𝜶
𝟐
=
0,04
2
= 0,02.
Então, deve existir um valor de 𝑍𝛼
2
tal
que: 𝒁𝜶
𝟐
= 𝑍0,02 = 𝑍0,48 =?
Estimação por intervalos
 
 
 −𝑍𝛼
2
 0 𝑍𝛼
2
 Z 
 
0,96 
 0,02 0,020,48 0,48 
Probabilidade – Métodos de Estimação
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA POPULACIONAL ( 𝝁 ) QUANDO A VARIÂNCIA ( 𝝈𝟐 ) É
DESCONHECIDA
OBS.: Quando não se tem os valores dos parâmetros populacionais 𝜇; 𝜎2 , como é o
caso do problema em questão, estima-se os mesmos através das seguintes relações:
Média Aritmética: ഥ𝑿 =
σ 𝑥𝑖
𝑛
Desvio padrão: 𝝈𝑿 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋 
Portanto:
Do problema, vimos que: 𝑋 ={9, 8, 10, 7, ... , 6, 4, 7, 4, 5, 8, 8}, logo:
Média Aritmética: ഥ𝑿 =
σ 𝑥𝑖
𝑛
=
9+8+10+7+⋯+5+8+8
36
= 𝟖, 𝟎 Ε 𝑋 = 𝜇
Desvio padrão: 𝝈𝑿 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋 =
σ 𝑥𝑖
2
𝑛
− 𝑋 2 = 𝟐, 𝟎
Estimação por intervalos
Probabilidade – Métodos de Estimação
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA POPULACIONAL (𝝁) QUANDO A VARIÂNCIA (𝝈𝟐) É
DESCONHECIDA
Sol.: (cont.)
Então:
𝑷 ഥ𝑿 − 𝒁𝜶
𝟐
𝝈
𝒏
≤ 𝝁 ≤ ഥ𝑿 + 𝒁𝜶
𝟐
𝝈
𝒏
= 𝟏 − 𝜶 ⇒ 𝑃 8 − 2,05.
2
36
≤ 𝜇 ≤ 8 + 2,05.
2
36
= 0,96 ⇒
⇒ 𝑃 8 − 2,05
2
6
≤ 𝜇 ≤ 8 + 2,05
2
6
= 0,96 ⇒ 𝑃 8 − 0,68 ≤ 𝜇 ≤ 8 + 0,68 = 0,96 ⇒
⇒ 𝑃 7,32 ≤ 𝝁 ≤ 8,68 = 0,96 ⇒ 𝑃 7,3 ≤ 𝝁 ≤ 8,7 = 0,96.
Conclusão: Para amostras de tamanho 36, em 96% das vezes, os intervalos gerados conterão
o verdadeiro valor da nota média da prova.
Estimação por intervalos
 
 
 
 −𝑍𝛼
2
 0 𝑍𝛼
2
 Z 
 
 
0,96 
 0,02 0,02 
 0,48 0,48 
𝑃𝑟𝑜𝑐𝑢𝑟𝑎 − 𝑠𝑒 𝑛𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑢𝑚 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝒁 
𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 à𝑠 á𝑟𝑒𝑎𝑠: 𝒁𝜶
𝟐
= 𝒁𝟎,𝟎𝟐 = 𝒁𝟎,𝟒𝟖 
𝑁𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝒁𝜶
𝟐
 é 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝟐, 𝟎𝟓. 
𝐸 𝑚𝑎𝑖𝑠: 𝝈 = 2; 𝑿ഥ = 8 𝑒 𝒏 = 36. 
 8 ± 0,68 
Probabilidade – Métodos de Estimação
Probabilidade – Métodos de Estimação
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A PROPORÇÃO “𝑷”
Considere como Ƹ𝑝 o estimador de 𝑷 cuja distribuição de probabilidade é dada
por:
Ƹ𝑝 =
𝑑
𝑁 𝑝;
𝑝.𝑞
𝑛
para as populações infinitas;
Ƹ𝑝 =
𝑑
𝑁 𝑝;
𝑝.𝑞
𝑛
𝑁−𝑛
𝑁−1
para as populações finitas.
Assim, para o caso de populações infinitas: 𝑍 =
ො𝑝−𝑝
ෝ𝑝. 1−ෝ𝑝 
𝑛
≈ 𝑁 0,1 
Para o caso das populações finitas: : 𝑍 =
 𝑋−𝜇
ෝ𝑝. 1−෢𝑝 
𝑛
𝑁−𝑛
𝑁−1
≈ 𝑁 0,1 
Estimação por intervalos
 
𝑶𝒏𝒅𝒆: 
 
𝑝 → 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜; 
𝑞 = 1 − 𝑝 → 
 → 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑎𝑠𝑠𝑜. 
 
Probabilidade – Métodos de Estimação
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A PROPORÇÃO “𝑷”
Para o caso de populações infinitas, sabemos que:
𝑍 =
ො𝑝−𝑃
ෝ𝑝 1−ෝ𝑝 
𝑛
logo:
𝑷 −𝒁𝜶
𝟐
≤ 𝒁 ≤ 𝒁𝜶
𝟐
= 𝟏 − 𝜶 ⇒ 𝑷 −𝒁𝜶
𝟐
≤
ෝ𝒑−𝑃
ෝ𝒑 𝟏−ෝ𝒑 
𝑛
≤ 𝒁𝜶
𝟐
= 𝟏 − 𝜶 ⇒
Resolvendo-se as duas inequações para 𝑷 , tem-se o intervalo de confiança para a
proporção na população
𝑷 ෝ𝒑 − 𝒁𝜶
𝟐
ෝ𝒑 𝟏 − ෝ𝒑 
𝒏
≤ 𝑷 ≤ ෝ𝒑 + 𝒁𝜶
𝟐
ෝ𝒑 𝟏 − ෝ𝒑 
𝒏
= 𝟏 − 𝜶
Estimação por intervalos
Probabilidade – Métodos de Estimação
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A PROPORÇÃO “𝑷”
Aplicação:
Examinados 500 peças de uma grande produção encontrou-se 260 defeituosas. No
nível de confiança de 95% construir um intervalo de confiança para a verdadeira
proporção de peças defeituosas.
Sol.: Seja 𝑋 a variável aleatória representando as peças defeituosas.
Do problema, vemos que: 𝒏 = 500; 𝑋 = 260; 𝟏 − 𝜶 = 95% = 0,95,
logo: 𝟏 − 𝜶 = 95% ⇒ 𝛼 = 5% = 0,05 ⇒
⇒
𝜶
𝟐
=
0,05
2
= 0,025.
Então, deve existir um valor de 𝑍𝛼
2
tal que: 𝒁𝜶
𝟐
= 𝑍0,025 = 𝑍0,475 =?
Estimação por intervalos
 
 
 −𝑍𝛼
2
 0 𝑍𝛼
2
 Z 
 0,95 
 
 0,025 0,025 
 0,475 0,475 
Probabilidade – Métodos de Estimação
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A PROPORÇÃO “𝑷”
Sol.: (cont.)
Então:
𝑷 ෝ𝒑 − 𝒁𝜶
𝟐
ෝ𝒑 𝟏−ෝ𝒑 
𝒏
≤ 𝑷 ≤ ෝ𝒑 + 𝒁𝜶
𝟐
ෝ𝒑 𝟏−ෝ𝒑 
𝒏
= 𝟏 − 𝜶 ⇒
⇒ 𝑃 0,52 − 1,96
0,52 1−0,52
500
≤ 𝑃 ≤ 0,52 + 1,96
0,52 1−0,52 
500
= 0,95 ⇒
⇒ 𝑃 0,52 − 0,0223 ≤ 𝑃 ≤ 0,52 + 0,0223 = 0,95 ⇒
⇒ 𝑃 0,4977 ≤ 𝑃 ≤ 0,5423 = 0,95 𝒐𝒖 𝑃 49,77% ≤ 𝑃 ≤ 54,23% = 95%.
Estimação por intervalos
 
 
 
 −𝑍𝛼
2
 0 𝑍𝛼
2
 Z 
 
 0,95 
 
 0,025 0,025 
 0,475 0,475 
 
𝑃𝑟𝑜𝑐𝑢𝑟𝑎 − 𝑠𝑒 𝑛𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑢𝑚 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝒁 
𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 à𝑠 á𝑟𝑒𝑎𝑠: 𝒁𝜶
𝟐
= 𝒁𝟎,𝟎𝟐𝟓 = 𝒁𝟎,𝟒𝟕𝟓 
𝑁𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝒁𝜶
𝟐
 é 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝟏, 𝟗𝟔. 
𝐸 𝑚𝑎𝑖𝑠: 𝒏 = 500; 𝑋 = 260 𝑒 𝟏 − 𝜶 = 95% = 0,95. 
𝐴𝑙é𝑚 𝑑𝑖𝑠𝑠𝑜: 𝒑ෝ =
𝑋
𝑛
=
260
500
= 0,52 
𝑪𝒐𝒏𝒄𝒍𝒖𝒔ã𝒐: 
 
𝐴 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑝𝑟𝑒𝑡𝑎çã𝑜 é 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 
𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 49,77%; 54,23% 
𝑐𝑜𝑛𝑡é𝑚 𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎 
𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑔𝑒𝑚 𝑜𝑢 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟çã𝑜 
𝑑𝑒 𝑝𝑒ç𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑢𝑜𝑠𝑎𝑠. 
Probabilidade – Métodos de Estimação
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A PROPORÇÃO “𝑷”
Aplicação:
Numa pesquisa de mercado, 400 pessoas foram entrevistadas sobre determinado
produto onde 240 preferem a marca A. Construa um intervalo de confiança para a
verdadeira proporção de preferencia para essa marca a um nível de confiabilidade
de 95%.
Sol.: Seja 𝑋 a variável aleatória representando a preferência pela marca A.
Do problema, vemos que: 𝒏 = 400; 𝑋 = 240; 𝟏 − 𝜶 = 95% = 0,95,
logo: 𝟏 − 𝜶 = 95% ⇒ 𝛼 = 5% = 0,05 ⇒
⇒
𝜶
𝟐
=
0,05
2
= 0,025.
Então, deve existir um valor de 𝑍𝛼
2
tal que: 𝒁𝜶
𝟐
= 𝑍0,025 = 𝑍0,475 =?
Estimação por intervalos
 
 
 −𝑍𝛼
2
 0 𝑍𝛼
2
 Z 
 0,95 
 
 0,025 0,025 
 0,475 0,475 
Probabilidade – Métodos de Estimação
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A PROPORÇÃO “𝑷”
Sol.: (cont.)
Então:
𝑷 ෝ𝒑 − 𝒁𝜶
𝟐
ෝ𝒑 𝟏−ෝ𝒑 
𝒏
≤ 𝑷 ≤ ෝ𝒑 + 𝒁𝜶
𝟐
ෝ𝒑 𝟏−ෝ𝒑 
𝒏
= 𝟏 − 𝜶 ⇒
⇒ 𝑃 0,6 − 1,96
0,6 1−0,6
400
≤ 𝑃 ≤ 0,6 + 1,96
0,6 1−0,6 
400
= 0,95 ⇒
⇒ 𝑃 0,6 − 0,0245 ≤ 𝑃 ≤ 0,52 + 0,0245 = 0,95 ⇒
⇒ 𝑃 0,5755 ≤ 𝑃 ≤ 0,6245 = 0,95 𝒐𝒖 𝑃 57,55% ≤ 𝑃 ≤ 62,45% = 95%.
Estimação por intervalos
 
 
 
 −𝑍𝛼
2
 0 𝑍𝛼
2
 Z 
 
 0,95 
 
 0,025 0,025 
 0,475 0,475 
𝑃𝑟𝑜𝑐𝑢𝑟𝑎 − 𝑠𝑒 𝑛𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑢𝑚 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝒁 
𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 à𝑠 á𝑟𝑒𝑎𝑠: 𝒁𝜶
𝟐
= 𝒁𝟎,𝟎𝟐𝟓 = 𝒁𝟎,𝟒𝟕𝟓 
𝑁𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝒁𝜶
𝟐
 é 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝟏, 𝟗𝟔. 
𝐸 𝑚𝑎𝑖𝑠: 𝒏 = 400; 𝑋 = 240 𝑒 𝟏 − 𝜶 = 95% = 0,95. 
𝐴𝑙é𝑚 𝑑𝑖𝑠𝑠𝑜: 𝒑ෝ =
𝑋
𝑛
=
240
400
= 0,6 
𝑪𝒐𝒏𝒄𝒍𝒖𝒔ã𝒐: 
 
𝐴 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑝𝑟𝑒𝑡𝑎çã𝑜 é 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 
𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 57,55%; 62,45% 
𝑐𝑜𝑛𝑡é𝑚 𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑎 
𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑔𝑒𝑚 𝑜𝑢 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟çã𝑜 
𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑐𝑎 𝐴. 
Probabilidade – Tamanho da Amostra
As fórmulas para o cálculo do tamanho da amostra são extraídas das expressões dos
intervalos deconfiança, fixando a priori o nível de confiança e o erro amostral tolerado.
Sabemos que são os seguintes os intervalos de confiança para a média e proporção:
𝑷 ഥ𝑿 − 𝒁𝜶
𝟐
𝝈
𝒏
≤ 𝝁 ≤ ഥ𝑿 + 𝒁𝜶
𝟐
𝝈
𝒏
= 𝟏 − 𝜶 𝑷 ෝ𝒑 − 𝒁𝜶
𝟐
ෝ𝒑 𝟏−ෝ𝒑 
𝒏
≤ 𝑷 ≤ ෝ𝒑 + 𝒁𝜶
𝟐
ෝ𝒑 𝟏−ෝ𝒑 
𝒏
= 𝟏 − 𝜶 ⇒
erro amostral (e)
Obs.: O tamanho da amostra será, então:
Para a média Para a proporção
𝒏𝟎 = 𝒁 𝜶
𝟐
𝟐 .
𝝈𝟐
𝒆𝟐
𝒏𝟎 = 𝒁 𝜶
𝟐
𝟐 ෝ𝒑 𝟏−ෝ𝒑 
𝒆𝟐
Obs.: 𝒏𝟎 é o tamanho inicial da amostra.
Determinação do Tamanho da Amostra Aleatória Simples 
𝑶𝒃𝒔.: 
𝑄𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑡𝑎𝑚𝑎𝑛ℎ𝑜 𝑑𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 é 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑞𝑢𝑒 5% 
𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜, 𝑑𝑒𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑎 𝑓ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑜𝑢 
𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟çã𝑜 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 , 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑛𝑑𝑜: 𝒏 =
𝑁.𝑛0
𝑁+𝑛0
. 
Probabilidade – Tamanho da Amostra
Aplicação:
1.) Um determinado município possui 1000 crianças matriculas no ensino fundamental. Deseja-
se estimar o ganho médio de peso das crianças da rede municipal de ensino, durante o primeiro
ano letivo. Um estudo semelhante foi realizado no ano passado com as 1000 crianças
matriculadas naquele ano, tendo gerado um desvio padrão igual a 1,95 kg. Fixando-se um nível
de confiança de 95%, e tolerando um erro amostral de até 200 gramas (isto é, um erro e =0,2kg),
qual deve ser o tamanho da amostra?
Sol.: N = 1000; 𝜎 = 1,95; 1 − 𝛼 = 95% = 095; e = 200 g = 0,2 kg.
Logo: 𝒏𝟎 = 𝒁 𝜶
𝟐
𝟐 .
𝝈𝟐
𝒆𝟐
=?
⇒ 𝒏𝟎 = 1,96
2.
1,95 2
0,2 2
= 3,8416.
3,8025
0,04
= 365,19 ≅ 366.
Obs.: REGRA: 5%(1000)=50 < 366, logo 𝑛 =
𝑁.𝑛0
𝑁+𝑛0
=
1000 . 366 
1000+366
⇒
⇒ 𝒏 =
366.000
1366
= 269,18 ≅ 270. Logo, o tamanho da amostra deve ser de, no mínimo, 270
crianças.
Determinação do Tamanho da Amostra Aleatória Simples 
𝑶𝒃𝒔.: 
 1 − 𝛼 = 0,95 ⇒ 
⇒ 𝛼 = 0,05 ⇒ 
⇒ 
𝛼
2
= 0,025 ⇒ 
⇒ 𝑍𝛼
2
= 1,96. 
Probabilidade – Tamanho da Amostra
Aplicação:
2.) Com o objetivo de avaliar a preferência do eleitor na véspera de uma eleição para a
prefeitura de um município com 5.000 eleitores, planeja-se um levantamento por
amostragem aleatória simples, admitindo-se um erro amostral de 2%, com 95% de
confiabilidade para as estimativas do percentuais dos vários candidatos. Quantos eleitores
devem ser pesquisados, sabendo-se que, de pesquisas anteriores, Ƹ𝑝 = 0,2.
Sol.: N = 5000; e = 2% = 0,02; 1 − 𝛼 = 95% = 0,95; Ƹ𝑝 = 0,2; 𝑍𝛼
2
= 1,96.
Logo: 𝒏𝟎 = 𝑍 𝛼
2
2 ො𝑝 1− ො𝑝 
𝑒2
= 1,96 2.
0,2 1−0,2 
0,02 2
= 3,8416.
0,16
0,0004
≅ 1.537
Obs.: REGRA: 5%(5000)=250 < 1.537, logo 𝑛 =
𝑁.𝑛0
𝑁+𝑛0
=
5.000 1.537
5.000+1.537
⇒
𝒏 =
7.685.000
6.537
= 1.175,62 ≅ 1.176 𝑒𝑙𝑒𝑖𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠.
Logo, o tamanho da amostra deve ser de, no mínimo 1.176 eleitores.
Determinação do Tamanho da Amostra Aleatória Simples 
𝑶𝒃𝒔.: 
𝑄𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝Ƹ 
𝑛ã𝑜 é 𝑖𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜 
𝑛𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎, 
𝑑𝑒𝑣𝑒 − 𝑠𝑒 𝑢𝑠𝑎𝑟 
𝑢𝑚 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 = 0,5 
(𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎: 𝑝Ƹ = 0,5). 
Probabilidade 
Dever de casa
Livro: Curso de Estatística
Autores: Jairo Simon da Fonseca
Gilberto de Andadre Martins
Pag. 193 – exercícios 1.), 2.), e 3.) 
Pag. 195 – exercícios 15.), 16.) e 19.)
Pag. 182/183 – exercícios 1.), 4.) e 5.)
Obs.: As respostas estão a partir das páginas 285, do livro.