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INSTITUTO SUPERIOR DE CIÊNCIAS E EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 
DEPARTAMENTO DE ECONOMIA E GESTÃO 
LICENCIATURA EM CIÊNCIAS POLÍTICAS E RELAÇÕES INTERNACIONAIS 
 
 
 Teoria de Probabilidade introdução 
 Definição clássica de probabilidade 
 Propriedade das probabilidade 
 Teorema da soma e produto 
 Teorema do produto para eventos dependente 
 Teorema do produto para eventos independente 
 
Probabilidade condicional e Teorema de Bayes 
 Definição 
 Propriedades 
 Generalidade do teorema do produto 
 Teorema de probabilidade total 
 Teorema de Bayes 
 
 
Derroteia Quepi Bequene 
 
 
 
 
 
 
Tete, 18 de Abril de 2021 
 
 
 
INSTITUTO SUPERIOR DE CIÊNCIAS E EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 
DEPARTAMENTO DE ECONOMIA E GESTÃO 
LICENCIATURA EM CIÊNCIAS POLÍTICAS E RELAÇÕES INTERNACIONAIS 
 
 
 Teoria de Probabilidade introdução 
 Definição clássica de probabilidade 
 Propriedade das probabilidade 
 Teorema da soma e produto 
 Teorema do produto para eventos dependente 
 Teorema do produto para eventos independente 
 
Probabilidade condicional e Teorema de Bayes 
 Definição 
 Propriedades 
 Generalidade do teorema do produto 
 Teorema de probabilidade total 
 Teorema de Bayes 
 
 
Derroteia Quepi Bequene 
 
 
 
 
Trabalho cientifico entregue no Instituto Superior de Ciências e Educação a Distância, na 
cadeira de Estatística, como um dos requisitos necessários para obtenção do resultado do 1˚ 
semestre na cadeira em menção. 
 
Tete, 18 de Abril de 2020
 
 
 
Índice 
Introdução ......................................................................................................................................... 4 
1. Teoria de Probabilidade introdução .......................................................................................... 5 
1.1. Definição clássica de probabilidade ................................................................................. 5 
1.2. Propriedade das probabilidade .......................................................................................... 6 
1.3. Teorema da soma e do produto ............................................................................................. 7 
1.3.1. Teorema da soma .......................................................................................................... 7 
1.3.2. Teorema do produto .............................................................................................................. 7 
1.4. Teorema do produto para eventos dependente ..................................................................... 8 
1.5. Teorema do produto para eventos independente .................................................................. 8 
1.5.1. Eventos Independentes ................................................................................................ 8 
2. Probabilidade condicional e Teorema de Bayes ....................................................................... 9 
2.2. Propriedades da Probabilidade Condicional .............................................................................. 9 
2.2. Teorema de probabilidade total .......................................................................................... 10 
2.3 Teorema de Bayes .................................................................................................................... 11 
Conclusão ....................................................................................................................................... 12 
Referências Bibliográficas .............................................................................................................. 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
Introdução 
No presente trabalho, iremos apresentar Teoria de Probabilidade introdução. 
Probabilidade é o estudo das chances de obtenção de cada resultado de um experimento 
aleatório. A teoria de probabilidade consiste em utilizar a intuição humana para estudar os 
fenômenos do nosso cotidiano de trabalho. Para isso, vamos utilizar o princípio básico do 
aprendizado humano que é a ideia de experimento. 
Podemos classificar os experimentos em dois tipos: aleatórios (casuais) e não aleatórios 
(determinísticos). Os experimentos determinísticos são totalmente caracterizados a priori, 
ou seja, são fenômenos em que o resultado é sabido antes mesmo em que ele ocorra e desta 
forma, nada temos a fazer. Probabilidade condicional ou probabilidade condicionada é um 
conceito da matemática que envolve dois eventos (A e B) num espaço amostral (S) finito e 
não vazio. O Teorema de Bayes é uma fórmula matemática usada para o cálculo da 
probabilidade de um evento dado que outro evento já ocorreu, o que é chamado de 
probabilidade condicional. 
A grande questão do Teorema de Bayes é que eu preciso ter alguma informação anterior, 
ou seja, preciso saber que um determinado evento já ocorreu e qual a probabilidade desse 
evento. 
 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/chances-um-evento-acontecer.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/experimento-aleatorio-espaco-amostral.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/experimento-aleatorio-espaco-amostral.htm
 
5 
 
1. Teoria de Probabilidade introdução 
1.1. Definição clássica de probabilidade 
A definição clássica de probabilidade só se aplica a espaços amostrais em que os eventos 
simples são igualmente possíveis. Esse é o caso da maioria das aplicação de probabilidades 
aos jogos de azar, área que, precisamente, suscitou os primeiros problemas práticos resolvidos 
pela teoria das probabilidades. Esses mesmos jogos, entretanto, repetidos inúmeras vezes, 
levaram considerar a probabilidade de um evento como a frequência relativa, ou seja, como a 
proporção de vezes que um evento ocorre em una série suficiente grande de realizações de 
ume experimento, em condições idênticas. Surgiu então uma nova definição de probabilidade, 
a definição frequêntistica. 
 
P(A) = Número de vezes que A ocorreu 
 Número total de repetições do experimento 
 
Exemplo 1: Uma amostra de 6800 pessoas de uma determinada população foi classificada 
quanto à cor dos olhos e à cor dos cabelos. Os resultados foram: 
Classificação de uma amostra de 6800 pessoas quanto à cor dos olhos e à cor dos cabelos 
 Cor dos cabelos 
Cor dos olhos Loiro Castanho Preto Ruivo Total 
Azul 1768 807 189 47 2811 
Verde 946 1387 746 53 3132 
Castanho 115 438 288 16 857 
Total 2829 2632 1223 116 6800 
Considere o experimento aleatório que consiste em classificar um indivíduo quanto à cor dos 
olhos. O espaço amostral é E={A,V,C}. 
 
Calcule a probabilidade de sair pessoa com olhos: 
A={a pessoa tem olhos azuis}? 
V={a pessoa tem olhos verdes}? 
C={a pessoa tem olhos castanhos}? 
𝑃(𝐴) =
2811
6800
= 0,4134 → Pessoa com olhos azuis 
 𝑃(𝑉) =
3132
6800
= 0,4606 → 𝑃𝑒𝑠𝑠𝑜𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑜𝑙ℎ𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑑es 
 𝑃(𝐶) =
857
6800
= 0,126 → 𝑃𝑒𝑠𝑠𝑜𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑜𝑙ℎ𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑡𝑎𝑛ℎ𝑜𝑠 
 
6 
 
Exemplo 2: Calcular a probabilidade de no lançamento de um dado equilibrad o obter-se: 
 Um resultado igual a 4. 
 Um resultado ímpar. 
Solução 
𝑆 = {1,2,3,4,5,6} 
(𝑎)𝐴 = {4} 𝑚 =≠ (𝐴) = 1 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑃(𝐴) =
𝑚
𝑛
=
1
6
 
(𝑏)𝐵 = {1.3.5} 𝑚 =≠ (𝐵) = 3 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑃(𝐵) =
𝑚
𝑛
=
3
6
 
 
1.2. Propriedade das probabilidade 
 Propriedade 1 
𝐏(𝐀) = 𝟏 − 𝐏(𝐴𝑐) 
 Propriedade 2 
 A probabilidade da união de dois eventos AA e BB é calculada como 
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) 
 Propriedade 3 
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C) − P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C). 
 
 Propriedade 4 
P(B) = P(A) + P(B − A). 
 Propriedade 5 
P(B) = P(A ∪ (B − A)) = P(A) + P(B − A) ⇒ P(B − A) = P(B) − P(A) 
 Propridade 6 
P(A1) = lim
𝑛→∞
P(A1) − P(An) = P(A1) − lim
𝑛→∞
P(An) ⇒ lim
𝑛→∞
P(An) = 0 
Portanto P(An)→0P(An)→0. 
 
 Propriedade 7 
 𝑷(𝑪) + 𝑷(𝑨𝒏)) ≤ ∑ 𝑷(𝑨𝒊) +𝑷(𝑨𝒏) = ∑ 𝑷(𝑨𝑰)
𝒏
𝒊=𝟏
𝒏−𝟏
𝒊=𝟏 
 Propriedade 8 
𝟏 − P(An) ↓ 𝟏 − P(A) ⇒ P(An) ↑ P(A) 
http://www.portalaction.com.br/probabilidades/11-manipulacao-de-eventos#uniao
 
7 
 
 Propriedade 9 
𝑃 (⋃ 𝐴𝑖
∞
𝑖=1
) ≤ ∑ 𝑃(𝐴𝑖)
∞
𝑖=1
 
 Propriedade 10 
 
 
1.3. Teorema da soma e do produto 
1.3.1. Teorema da soma 
 Sejam A e B dois eventos quaisquer. Então, P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B); 
 Se A e B forem mutuamente exclusivos, então, P(A∪B) = P(A) + P(B); 
 Sejam A, B e C três eventos. Então, P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - 
P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C). 
 
Exemplo: 
A probabilidade de Paulo passar em Matemática é 2/3 e a probabilidade de passar em Inglês é 4/9. 
Se a probabilidade de Paulo passar em ambas as disciplinas é 1/4, qual a probabilidade de que 
Paulo passe em pelo menos uma das duas disciplinas? 
 
Solução: 
𝑃(𝑀) =
2
3
 𝑃(𝐼) =
4
9
 𝑃(𝑀 ∩ 𝐼) =
1
4
 
Pelo Teorema da Soma: P(M ∪ I) = P(M) + P(I) – P(M ∩ I) = 2/3 +4/3 + 1/4 =31/36 
 
1.3.2. Teorema do produto 
A probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos A e B, do mesmo espaço amostral, é 
igual ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade condicional do outro, dado o 
primeiro. P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B/A). 
 𝑃 (
𝐴
𝐵
) =
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐵)
→ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵). 𝑃 (
𝐴
𝐵
) 
 𝑃 (
𝐴
𝐵
) =
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐴)
→ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴). 𝑃 (
𝐵
𝐴
) 
Exemplo: 
 
8 
 
Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Duas peças são retiradas, uma após a outra, sem 
reposição. Qual a probabilidade de que ambas sejam boas? 
Solução: 
 A → a 1ª peça é boa 
 B → a 2ª peça é boa 
 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴). 𝑃 (
𝐵
𝐴
) =
8
12
.
7
11
=
4
33
 
 
1.4. Teorema do produto para eventos dependente 
Dois eventos que não são independentes são dependentes. Entre os 12 carros de uma linha de 
produção, 5 têm defeito e 2 são selecionados ao acaso. 
A = {O 1◦ carro é defeituoso} 
B = {O 2◦ carro é defeituoso} 
A probabilidade de o segundo carro ser defeituoso depende de o primeiro ter ou não defeito. Os 
eventos são dependentes. 
 
1.5. Teorema do produto para eventos independente 
1.5.1. Eventos Independentes 
Seja dois eventos A e B em um espaço amostral U, então dizemos que os eventos A e B são 
independentes, se a ocorrência no evento A não modificar a ocorrência no evento B. 
Logo, 
A e B são independentes ⇔ P(B | A) = P(B) e P(A | B) = P(A) 
Quando os eventos A e B são independentes temos que: 
 P(A ∩ B) = P(A) · P(B) 
 
Dessa forma, caso P(A ∩ B) ≠ P(A) · P(B), então os eventos A e B são dependentes. 
 
Exemplo de eventos independentes: 
Joaninha tem probabilidade de 0,8 de passar no vestibular, enquanto que Joãozinho tem 
probabilidade 0,6. Qual a probabilidade de ambos passarem no vestibular? Qual a suposição a ser 
feita nesse caso para calcular a probabilidade? 
 
9 
 
 Solução: Sejam os eventos A: Joaninha passa no vestibular e B: Joãozinho passa no Vestibular. 
Supondo independência entre os eventos A e B, temos que a probabilidade de ambos passarem no 
vestibular é P(A∩B) = 0,8 x 0,6 = 0,48. 
 
 
2. Probabilidade condicional e Teorema de Bayes 
2.1. Definição 
Probabilidade condicional ou probabilidade condicionada é um conceito da matemática que 
envolve dois eventos (A e B) num espaço amostral (S) finito e não vazio. A probabilidade 
condicional surge, por exemplo quando se deseja calcular a probabilidade de um evento A ocorre 
sabendo que um evento B já ocorre. Seja A e b dois eventos associados a um mesmo espaço 
amostral. Denota-se por P(A|B) a probabilidade condicionada do evento A, quando o evento B 
tiber ocorrido. Sempre que calculamos P(A|B, estamos essencialmente calculando P(A) em relação 
ao espaço amostral reduzido devido a B ter ocorrido, em lugar de fazê-lo em relação ao espaço 
amostral original. Assim um definição mais formal de probabilidade condicional é dada pela 
definição: Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de A dado que ocorreu B é 
representado por P(A|B) e definida por: 
P(A|B) =
P(A∩B)
P(B)
 P(B)>0 
Da expressão acima dita, obtemos a regra do produto de probabilidades dada por 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵). 𝑃(𝐴|𝐵) 
 
2.2. Propriedades da Probabilidade Condicional 
 A e B independentes ⇔ P(A ∩ B) = P(A) . P(B); 
 A e B dependentes ⇔ P(A ∩ B) ≠ P(A) . P(B); 
 Se A e B são independentes, então temos que P(B/A) = P(B) e P(A ∩ B) = P(A) . P(B). 
 
Exemplo: 
Um grupo de pessoas foram classificados quanto ao peso e pressão arterial, de acordo com as 
proporções do quadro a seguir: 
 Peso 
Pressão Excesso Normal Deficiente Total 
 
10 
 
Alta 0,10 0,08 0,02 0,20 
Normal 0,15 0,045 0,20 0,80 
Total 0,25 0,53 0,22 1,00 
a) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nesse grupo ter pressão alta? 
b) Se se verificar que a pessoa escolhida tem excesso de peso, qual a probabilidade de ela ter 
também pressão alta? 
Solução 
a. Como a pessoa escolhida ao acaso em grupo em que 20% tem pressão alta, chamado A o evento 
"ter pressão alta”, P(A) = 0,20 
b. Chamemos B evento "ter excesso de peso". Nosso interesse passa a ser 
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
=
0,10
0,25
= 0,40 
 
2.2. Teorema de probabilidade total 
Sejam E1, E2, E3, ..., En eventos que constituem uma partição do espaço amostral, isto é: 
 E1 U, E2 U,E3 ...... En =  
 P(Ei ) > 0, para todo i = 1, 2, 3, ..., n 
 Ei  Ej =  para i  j 
Assim, se B representa um evento, temos o seguinte teorema, conhecido como teorema da 
Probabilidade Total: 
𝑃(𝐵) = ∑ 𝑃(𝐸𝑖 ∩ 𝐵) = ∑ 𝑃(𝐸𝑖)𝑃(𝐵|𝐵𝑖)
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
 
Exemplo: Um piloto de fórmula Um tem 50% de probabilidade de vencer determinada corrida, 
quando esta se realiza sob chuva. Caso não chova durante a corrida, sua probabilidade de vitória é 
de 25%. Se o serviço de Meteorologia estimar em 30% a probabilidade de que chova durante a 
corrida, qual é a probabilidade deste piloto ganhar a corrida? 
P(G|Ch)= 50% ou 0,50 P(G|NCh) = 25% = 0,25 
P(Ch)= 30% ou 0,30 P(NCh) = 70% = 70 
Queremos a CHANCE do piloto ganhar a corrida (com ou sem chuva) P(G) = P (G  Ch) + P(G 
 NCh) ...probabilidade com chuva ou sem chuva! 
P(G) = P(G|Ch)P(Ch)+ P(G|NCh)P(NCh) 
 
11 
 
P(G) = 0, 50.0,30 + 0, 25.0,70 
P(G) = 0,325 ou 32,5% 
 
2.3 Teorema de Bayes 
Finalmente, uma das relações mais importantes envolvendo probabilidade condicionais é dada 
pelo teorema de Byes. Thomas Bayes (1702-1761) afirmou que as probabilidade devem ser 
revistas quando conhecemos algo mais sobre os dados. A forma geral do teorema de Bayes pode 
ser introduzida através de: 
A probabilidade de ocorrência do evento B, supondo a ocorrência do evento A é dado por: 
P(A|B) =
P(BI)P(BI)
∑ P(A|Bi)P(Bi)
n
i=1
 
O teorema de Bayes é uma generalização da probabilidade condicional no caso de mais de dois 
eventos. 
Exemplo: 
Uma mineradora explora três minas denominadas B1, B2 e B3. A partir de pesquisas anteriores, 
sabe-se que a probabilidade de encontrar ouro na mina B1 é 0,1, na mina B2 é 0,05 e na mina B3 é 
0,2. Além disso, essa mineradora tem explorado as minas B1, B2 e B3 nas proporções 0,3, 0,2 e 0,5, 
respectivamente. Qual a probabilidade de a mineradora encontrar ouro? 
Solução: Precisamos calcular a seguinte probabilidade: 
P(B3|A) =
P(B3)P(B3)
∑ P(A|Bi)P(Bi)
n
i=1
=
0,2 ∗ 0,5
0,14
=
0,10
0,14
≅ 0,7143 
 
 
12 
 
Conclusão 
No final do presente trabalho, conclui-se que a resolução de problemas, que é o princípio norteador da 
aprendizagem da matemática, pode possibilitar o desenvolvimento do trabalho com estatística e 
probabilidade em sala de aula, pois da mesma forma que a matemática, a estatística também se desenvolveu 
através da resolução de problemas de ordem prática na história da humanidade. Acreditamos que não faz 
sentido trabalharmos atividades envolvendo conceitos estatísticos e probabilísticos que nãoestejam 
vinculados a uma problemática. Propor coleta de dados desvinculada de uma situação-problema não levará 
à possibilidade de uma análise real. Construir gráficos e tabelas desvinculados de um contexto ou 
relacionados a situações muito distantes do aluno pode estimular a elaboração de um pensamento, mas não 
garante o desenvolvimento de sua criticidade. 
 
 
13 
 
Referências Bibliográficas 
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probabilidade na educação infantil. 2003. Tese (Doutorado em Educação) – Faculdade de 
Educação, Universidade Estadual de Campinas, Campinas. 
LOPES, C.A.E. A probabilidade e a estatística no ensino fundamental: uma análise curricular. 
1998. Dissertação (Mestrado em Educação) – Faculdade de Educação, Universidade Estadual de 
Campinas, Campinas. 
LOPES, C.A.E. Literacia estatística e INAF 2002. In: FONSECA, M.C.F.R. (Org.). Letramento 
no Brasil: habilidades matemáticas. São Paulo: Global, 2004. p. 187-197. 
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MARCELO GARCÍA, C. Formação de professores: para uma mudança educativa. Lisboa: Porto, 
1999. 
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MacMillan, 1992. p. 465-494.