notas_de_aula-2013-1

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Objetivos e Bibliografia
Introdução
Conceitos de Probabilidade
Variável Aleatória
Conceitos básicos de amostragem
Distrbuições Amostrais
Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Modelos de Probabilidade e Inferencia Estatística
Ulisses U. dos Anjos
Departamento de Estatística
Universidade Federal da Paraíba
Período 2013.1
Ulisses U. dos Anjos Modelos de Probabilidade e Inferencia Estatística
Objetivos e Bibliografia
Introdução
Conceitos de Probabilidade
Variável Aleatória
Conceitos básicos de amostragem
Distrbuições Amostrais
Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Sumário
1 Objetivos e Bibliografia
2 Introdução
3 Conceitos de Probabilidade
Propriedades de uma medida de probabilidade
Probabilidade Condicional
Testes Diagnósticos
4 Variável Aleatória
Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias
Discretas
Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias
Contínuas
5 Conceitos básicos de amostragem
Tipos de estudos
Tipos de Amostragem
Principais planos de amostragem probabilística
6 Distrbuições Amostrais
Média
Proporção
Variância
7 Intervalo de Confiança
Média
Proporção
Variância
8 Teste de Hipótese
Visão Geral
Componentes de um Teste de Hipótese
Testes Paramétricos
Teste para Média
Teste para Variância
Teste para Proporção
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Objetivos e Bibliografia
Introdução
Conceitos de Probabilidade
Variável Aleatória
Conceitos básicos de amostragem
Distrbuições Amostrais
Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Objetivos
Revisar, aprofundar e ampliar os conceitos de probabilidade e
inferência estatística dos mestrandos, visando sua utilização nas
dissertações e servindo como base para outras disciplinas do
programa.
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Objetivos e Bibliografia
Introdução
Conceitos de Probabilidade
Variável Aleatória
Conceitos básicos de amostragem
Distrbuições Amostrais
Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Bibliografia
DANIEL, w. w. Biostatics: A Foundation for Analysis in the
Health Sciences. 9
o
Ed.. Wiley, 2009.
TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística. Livros Técnicos e
Científicos Editora, 2005.
ARANGO, H. G. Bioestatística: teórica e computacional. 2a
edição. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan, 2005.
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Objetivos e Bibliografia
Introdução
Conceitos de Probabilidade
Variável Aleatória
Conceitos básicos de amostragem
Distrbuições Amostrais
Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Objetivo da Probabilidade
Fornecer o arcabouço teórico para o estudo dos fenômenos ou
experimentos aleatórios.
Criar modelos teóricos que reproduzam de maneira razoável a
distribuição de freqüências dos fenômenos ou experimentos
aleatórios. Tais modelos são chamados modelos probabilísticos.
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Introdução
Conceitos de Probabilidade
Variável Aleatória
Conceitos básicos de amostragem
Distrbuições Amostrais
Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Experimento aleatório
Definição: Um experimento que pode fornecer diferentes
resultados, muito embora seja repetido toda vez da mesma
maneira, é chamado experimento aleatório.
Característica de um experimento aleatório:
Imprevisibilidade: o resultado do experimento não pode ser
conhecido a priori, mesmo se repetido sobre iguais condições;
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Objetivos e Bibliografia
Introdução
Conceitos de Probabilidade
Variável Aleatória
Conceitos básicos de amostragem
Distrbuições Amostrais
Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Espaço amostral e evento
Espaço amostral: é o conjunto de todos os resutados de um
experimento aleatório. Notação: Ω
Evento: É um subconjunto do espaço amostral;
Os subconjuntos de Ω serão denotados por letras latinas
maiúsculas (A,B,C,. . . );
Diz-se que "‘ocorre o evento A"’ quando o resultado do
experimento aleatório for um elemento de A;
O espaço amostral Ω e o conjunto vazio ∅ também são
eventos, em que Ω é o evento certo e ∅ é o evento impossível.
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Introdução
Conceitos de Probabilidade
Variável Aleatória
Conceitos básicos de amostragem
Distrbuições Amostrais
Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Operações básicas entre conjuntos
A ∪ B =
{
ω ∈ Ω : ω ∈ A ou ω ∈ B ou ω ∈ A, ω ∈ B
}
, é a
união de A e B;
Exemplo
Suponha que iremos sortear de uma lista de casais que se casaram
há 30 anos atrás e verificar quais deles estão vivos. Considere os
seguintes eventos: A =A mulher estar viva e B =O homem estar
vivo. Então o evento pelo menos um estar vivo é dado por A ∪ B
A ∩ B =
{
ω ∈ Ω : ω ∈ A, ω ∈ B
}
, é a intersecção de A e B;
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Introdução
Conceitos de Probabilidade
Variável Aleatória
Conceitos básicos de amostragem
Distrbuições Amostrais
Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Operações básicas entre conjuntos
Exemplo
Considerando o exemplo anterior, então o evento ambos estarem
vivos é dado por A ∩ B.
Ac =
{
ω ∈ Ω : ω /∈ A
}
, deste modo segue que Ac = Ω− A é
o complementar de A, do mesmo modo Bc = Ω− B é o
complementar de B ;
Exemplo
Considerando o exemplo anterior, então o evento o homem estar
vivo pode ser representado por Ac , logo nesse caso específico
B = Ac e A = Bc .
A− B =
{
ω ∈ Ω : ω ∈ A, ω /∈ B
}
, deste modo segue que
A− B = A ∩ Bc é a diferença entre A e B ;
Exemplo
Considerando o exemplo anterior, então o evento apenas a mulher
estar viva é dado por A− B. Do mesmo modo, o evento apenas o
homem estar vivo é dado por B − A.
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Introdução
Conceitos de Probabilidade
Variável Aleatória
Conceitos básicos de amostragem
Distrbuições Amostrais
Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Operações básicas entre conjuntos
A∆B =
{
ω ∈ Ω : ω ∈ A, ω /∈ B ou ω /∈ A, ω ∈ B
}
, deste
modo segue que A∆B = (A ∩ Bc) ∪ (Ac ∩ B) é a diferença
simétrica entre A e B ;
Exemplo
Considerando o exemplo anterior, então o evento somente o
homem ou a mulher estar vivo pode ser representado por A∆B.
A e B são disjuntos(mutuamente exclusivos) se e somente se
A ∩ B = ∅;
Exemplo
Considerando o exemplo anterior, então os eventos A e B não são
disjuntos pois ambos podem estar vivos.
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Introdução
Conceitos de Probabilidade
Variável Aleatória
Conceitos básicos de amostragem
Distrbuições Amostrais
Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Partição de um evento
Seja A um subconjunto de Ω. Então A1, . . . ,An formam uma
partição de A se e somente se Ai ∩ Aj = ∅ para todo i 6= j e
∪ni=1Ai = A.
Deste modo, se A = Ω então A1, . . . ,An formam uma partição
de Ω se e somente se Ai ∩ Aj = ∅ para todo i 6= j e
∪ni=1Ai = Ω.
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Introdução
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Conceitos básicos de amostragem
Distrbuições Amostrais
Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Leis de De Morgan
Sejam A1, . . . ,An tal que Ai ⊂ Ω para todo i, então:
(i) (∪ni=1Ai )
c = ∩ni=1Aci .
Interpretação: o complementar da ocorrência de pelo menos
um dos eventos é a não ocorrência de todos os eventos;
(ii) (∩ni=1Ai )
c = ∪ni=1Aci .
Interpretação: o complementar da ocorrência de todos os
eventos é a não ocorrência de pelo menos um dos eventos.
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Introdução
Conceitos de Probabilidade
Variável Aleatória
Conceitos básicos de amostragem
Distrbuições Amostrais
Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Função indicadora
Seja A ⊂ Ω, então
IA(ω) =
{
1 se ω ∈ A
0 se ω /∈ A
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Introdução
Conceitos de Probabilidade
Variável Aleatória
Conceitos básicos de amostragem
Distrbuições Amostrais
Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
σ-Álgebra
Uma classe F de subconjuntos de Ω é denominada uma σ-álgebra
se ela satisfaz:
(F1) Ω ∈ F ;
(F2) Se A ∈ F então Ac ∈ A;
(F3) Se Ai ∈ F para todo i ≥ 1 então
⋃∞
i=1 Ai ∈ F ;
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Introdução
Conceitos de Probabilidade
Variável Aleatória
Conceitos básicos de amostragem
Distrbuições Amostrais
Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Propriedades de uma medida de probabilidade
Probabilidade Condicional
Testes Diagnósticos
Definição Clássica de Probabilidade
Seja (Ω,F) um espaço finito de eventos equiprováveis. Assim, para
todo A ∈ F tem-se que,
P(A) =
#A
#Ω
em que # é o número de elementos do conjunto.
Exemplo
Considere o experimento aleatório de lançar duas moedas. Nesse
caso o espaço amostral é dado por
Ω =
{
(c , c), (c , r), (r , c), (r , r)
}
. Seja A=Obtenção de faces iguais.
Portanto, A =
{
(c , c), (r , r)
}
. Deste modo,
P(A) =
2
4
= 0, 5.
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Conceitos básicos de amostragem
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Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Propriedades de uma medida de probabilidade
Probabilidade Condicional
Testes Diagnósticos
Definição frequentista de Probabilidade
Seja Ω um espaço amostral de um experimento aleatório. Seja n
repetições independentes de um experimento aleatório e nA o
número de ocorrências do evento A ⊂ Ω. Então, a probabilidade de
A é dada por,
P(A) = lim
n→∞
nA
n
= p
Observação
A lei dos grandes números garante a convergência sobre certas
condições do limite acima, em que 0 ≤ p ≤ 1.
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Teste de Hipótese
Propriedades de uma medida de probabilidade
Probabilidade Condicional
Testes Diagnósticos
Definição axiomática de Probabilidade
Seja (Ω,F) um espaço mensurável. Então uma função
P : F → [0, 1] é uma probabilidade se,
(P1) P(Ω) = 1;
(P2) Para todo A ∈ F tem-se P(A) ≥ 0;
(P3) P é σ-aditiva, isto é, se A1,A2, . . . , são dois a dois
disjuntos então,
P
( ∞⋃
n=1
An
)
=
∞∑
n=1
P(An).
em que
⋃∞
n=1 An = A1 ∪ A2 ∪· · ·.
Observação
Note que de um modo geral a medida de probabilidade P não
precisa assinalar uma probabilidade para todo evento em Ω, mas
apenas para os eventos em F . A trinca (Ω,∈ F ,P) é denominado
espaço de probabilidade
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Introdução
Conceitos de Probabilidade
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Teste de Hipótese
Propriedades de uma medida de probabilidade
Probabilidade Condicional
Testes Diagnósticos
Propriedades
Seja (Ω,F ,P), então para todo A ∈ F e B ∈ F , tem-se que:
P(Ac) = 1− P(A);
P(∅) = 0;
P é uma função não decrescente, isto é, para todo A,B ∈ F
tal que A ⊆ B tem-se que P(A) ≤ P(B);
Para todo A,B ∈ F tal que A ⊆ B tem-se que
P(B − A) = P(B)− P(A);
Para todo A,B ∈ F arbitrários tem-se que:
P(A−B) = P(A)−P(A∩B) e P(B−A) = P(B)−P(A∩B).
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Teste de Hipótese
Propriedades de uma medida de probabilidade
Probabilidade Condicional
Testes Diagnósticos
Propriedades
Para todo A ∈ F tem-se que 0 ≤ P(A) ≤ 1;
Para todo A,B ∈ F arbitrários tem-se que:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B).
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Probabilidade Condicional
Testes Diagnósticos
ARANGO, Exemplo 5.5, P. 144
Considere os dados abaixo que mostram 15 indivíduos classificados
quanto às variáveis obesidade e sedentarismo.
Indivíduo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Obesidade n n s n s s n n n s
Sedentarismo s n s s n s n s s s
Indivíduo 11 12 13 14 15
Obesidade n n s n n
Sedentarismo n n s n s
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Probabilidade Condicional
Testes Diagnósticos
ARANGO, Exemplo 5.5, P. 144
Considere os seguintes eventos: A=indivíduo obeso e B= indivíduo
sedentário. Supondo que essa amostra e representativa da
população de estudo, calcule(estime) a probabilidade de:
O indivíduo ser obeso;Tabela
O indivíduo ser sedentário;Tabela
O indivíduo ser obeso e sedentário;Tabela
O indivíduo ser obeso ou sedentário;Tabela
O indivíduo não ser obeso e nem sedentário;Tabela
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Propriedades de uma medida de probabilidade
Probabilidade Condicional
Testes Diagnósticos
Problema
Seja (Ω,F ,P) o espaço de probabilidade para um determinado
experimento aleatório. Suponha que tenhamos a priori alguma
informação a respeito do resultado do experimento aleatório. No
exemplo anterior, suponha que um indivíduo é sorteado
aleatoriamente e que recebemos a informação que o indíviduo é
obeso. Nessas condições qual a probabilidade do indívíduo ser
sedentário? Tabela
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Probabilidade Condicional
Testes Diagnósticos
Definição
Seja (Ω,F ,P) um espaço de probabilidade. Seja B ∈ F um evento
tal que P(B) > 0. Então a probabilidade condicional, dado o
evento B, é uma função denotada por P(.|B) e definida para todo
A ∈ F como segue,
P(A|B) = P(A ∩ B)
P(B)
. (1)
em que P(A|B) é chamada a probabilidade condicional de A dado
B.
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Testes Diagnósticos
Testes Diagnósticos
São testes que tem como objetivo identificar um evento de
interesse.
Medidas para avaliar um teste: Sensibilidade(s),
Especificidade(e), Valor Preditivo Positivo(VPP), Valor
Preditivo Negativo(VPN), Falso Positivo(FP) e Falso
Negativo(FN).
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Testes Diagnósticos
Avaliação do Teste
Resultado do Teste
Positivo Negativo
Ocorrência do Evento
Sim a b
Não c d
Consideremos os seguintes eventos:
D+=Ocorrência do evento de interesse;
D−=Não ocorrência do evento de interesse;
T+=Teste positivo;
T−=Testenegativo;
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Probabilidade Condicional
Testes Diagnósticos
Sensibilidade e Especificidade
Sensibilidade(s): É a probabilidade do teste dar positivo dado
que ocorreu o evento de interesse, isto é,
s = P(T+|D+) =
P(T+ ∩ D+)
P(D+)
=
a
a + b
Especificidade(e): É a probabilidade do teste dar negativo
dado que não ocorreu o evento de interesse, isto é,
s = P(T−|D−) =
P(T− ∩ D−)
P(D−)
=
d
c + d
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Testes Diagnósticos
Sensibilidade e Especificidade
Valor Preditivo Positivo(VPP): É a probabilidade do evento de
interesse ocorrer dado que o teste deu positivo, isto é,
VPP = P(D+|T+) =
P(T+ ∩ D+)
P(T+)
=
p × s
p × s + (1− p)× (1− e)
em que p = P(D+) é a prevalência do evento de interesse;
Valor Preditivo Negativo(VPN): É a probabilidade do evento
de interesse não ocorrer dado que o teste deu negativo, isto é,
VPN = P(D−|T−) =
P(T− ∩ D−)
P(T−)
=
(1− p)× e
p × (1− s) + (1− p)× e
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Probabilidade Condicional
Testes Diagnósticos
Regra do Produto
Sejam A e B eventos em F tal que,
P(A) > 0 e P(B) > 0
então,
P(A ∩ B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B).
Exemplo
Considerando o Exemplo 5.5, ARANGO, calcule a probabilidade do
indivíduo ser obeso e sedentário utilizando a regra do produto.
Tabela
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Probabilidade Condicional
Testes Diagnósticos
Probabilidade Total
Sejam {Ai , i = 1, . . . , n} uma partição de Ω com P(Ai ) > 0 para
todo i = 1, . . . , n. Então, para todo B ∈ F tem-se que,
P(B) =
n∑
i=1
P(Ai )P(B|Ai ).
Exemplo
Considerando o Exemplo 5.5, ARANGO, calcule a probabilidade do
B =indivíduo ser obeso, considerando a partição A =o indivíduo é
sedentário e Ac =o indivíduo não é sedentário.Tabela
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Propriedades de uma medida de probabilidade
Probabilidade Condicional
Testes Diagnósticos
Teorema de Bayes
Seja {Ai , i = 1, . . . , n} uma partição de Ω com P(Ai ) > 0 para
todo i = 1, . . . , n. Então, para todo B ∈ F para o qual P(B) > 0
tem-se que,
P(Aj |B) =
P(Aj)P(B|Aj)∑n
i=1 P(Ai )P(B|Ai )
Exemplo
Considerando o Exemplo 5.5, ARANGO, calcule a probabilidade do
indivíduo não ser sedentário dado que B =indivíduo é obeso,
considerando a partição A =o indivíduo é sedentário e Ac =o
indivíduo não é sedentário.Tabela
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Teste de Hipótese
Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contínuas
Definição
É uma função X : Ω→ R que associa a cada elemento do espaço
amostral um valor na reta(um valor numérico). Assim, para cada
ω ∈ Ω tem-se que X (ω) = x ∈ R.
Observação
A função X deve ser unívoca, isto é, para cada ω ∈ Ω deve haver
apenas um X (ω) associado. Entretanto, diferentes valores de ω
podem levar a um mesmo valor de X .
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Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contínuas
Variável Aleatória: Exemplo
Exemplo
Considere o procedimento de selecionar uma amostra de uma
população U de tamanho N. Considere a variável X=altura, assim
por exemplo, X (ω1) = 1, 79, X (ω17) = 1, 98 em que ω1 e ω17 são o
primeiro e o décimo sétimo elemento da amostra.
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Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contínuas
Tipos de Variáveis Aleatórias
Discreta: Uma variável aleatória X é discreta se o número de
valores que X possa assumir for enumerável. Ex: Altura, peso,
etc.
Contínua: Uma variável aleatória X é contínua se o número de
valores que X possa assumir for não enumerável. Ex: número
de filhos, faixa etária, etc.
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Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contínuas
Variável Aleatória: Distribuição de Probabilidade
A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X
discreta é uma função que atribui probabilidade a cada um dos
valores xi de X , isto é,
PX (xi ) = P(X = xi ) = P({ω ∈ Ω : X (ω) = xi})
para todo i ∈ {1, 2, . . . , n}, n ∈ N e e satisfaz as condições:
(i) 0 ≤ P(X = xi ) ≤ 1 e (ii)
∑n
i=1 P(X = xi ) = 1. Esta
função é denominada Função de Probabilidade ou Função
Massa de Probabilidade(fmp);
A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X
contínua é dada por,
f (x) =
dF (x)
dx
para todo x ∈ R e satisfaz as condições: (i) f (x) ≥ 0 para
todo x ∈ R; e (ii)
∫∞
−∞ f (x)dx = 1. Esta função é denominada
Função Densdidade de Probabilidade(fdp).
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Teste de Hipótese
Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contínuas
Variável Aleatória: Função de Distribuição
Seja X uma variável aleatória, então sua função de distribuição é
definida como,
F (x) = P(X ≤ x).
F é também conhecida como função de distribuição acumulada de
X .
Caso discreto: F (x) =
∑
xi≤x PX (xi ) =
∑
xi≤x P(X = xi )
Caso Contínuo: F (x) =
∫ x
−∞ f (t)dt
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Teste de Hipótese
Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contínuas
Independência de Variáveis Aleatórias
Sejam X1, . . . ,Xn, n variáveis aleatórias. Então X1, . . . ,Xn sãoindependentes se:
F (x1, . . . , xn) =
n∏
i=1
Fi (xi )
em que F é a função de distribuição acumulada conjunta de
X1, . . . ,Xn e Fi é a função de distribuição acumulada de Xi .
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Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contínuas
Valor Esperado de uma Variável Aleatória
O valor esperado de variável aleatória X , denotado por E (X ) ou µ,
é para o caso em que X é discreta,
µ = E (X ) =
∑
x∈ΩX
xP(x)
e para o caso em que X é contínua
µ = E (X ) =
∫ ∞
−∞
xf (x)dx
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Variável Aleatória
Conceitos básicos de amostragem
Distrbuições Amostrais
Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contínuas
Propriedades
Seja c ∈ R uma constante, então E (c) = c ;
Seja h uma função uma função mensurável, então para
Y = h(X ) tem-se: se X for uma variável aleatória discreta,
E (Y ) =
∑
x∈ΩX
h(x)P(x)
e, se X for uma variável aleatória for contínua então,
E (Y ) =
∫ ∞
−∞
h(x)f (x)dx .
Sejam X1, . . . ,Xn n variáveis aleatória então
E
(
n∑
i=1
Xi
)
=
n∑
i=1
E (Xi ).
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Variância de uma Variável Aleatória
A variância da variável aleatória X , denotado por Var(X ) ou σ2 é
Var(X ) = E
(
(X − E (X ))2
)
= E (X 2)−
[
E (X )
]2
.
Se X for discreta,
Var(X ) =
∑
x∈ΩX
x2P(X = x)−
∑
x∈ΩX
xP(X = x)
2
e se X for contínua
Var(X ) =
∫ ∞
−∞
x2f (x)dx −
[∫ ∞
−∞
xf (x)dx
]2
.
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Propriedades
Var(c) = 0;
Var(X ± c) = Var(X );
Var(cX ) = c2Var(X );
Sejam X1, . . . ,Xn n variáveis aleatória independentes, então,
Var
(
n∑
i=1
Xi
)
= Var(X1) + · · ·+ Var(Xn)
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Distribuição Binomial
Seja A um evento de interesse. Então uma variável aleatória X que
conta o número de vezes que o evento A ocorre em n repetições
independentes de um experimento de Bernoulli(um experimento que
só possui dois resultados possíveis), possui função de probabilidade,
P(X = x) =

(
n
x
)
px × (1− p)n−x se x = {0, 1, 2, . . . , n}
0 caso contrário
Em que p = P(A).
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Distribuição Binomial
Diz-se que tal variável possui distribuição Binomial com parâmetros
n e p e denota-se por:
X ∼ bin(n, p)
Tem-se para essa variável que µ = E (X ) = p e σ2 = Var(X ) = np.
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Exemplo
A taxa de imunização de uma vacina é 80%. Se um grupo de 20
pessoas são vacinadas,
(a) Qual a probabilidade que 15 fiquem imunizadas?
(b) Qual o número esperado de pessoas que serão imunizadas?
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Distribuição de Poisson
Seja X uma variável aleatória que conta o número de ocorrência de
um determinado evento A por unidade (tempo, comprimento, área,
volume, etc), então a função de probabilidade de X é dada por,
P(x) =
{
e−λλx
x! se x = {0, 1, . . . , }
0 caso contrário
Esta função é chamada de distribuição de Poisson. Notação:
X ∼ P(λ)
Tem-se para essa variável que µ = E (X ) = σ2 = Var(X ) = λ.
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Distribuição Normal
Dizemos que uma v.a. X tem distribuição normal com média µ e
variância σ2 se sua função densidade de probabilidade é dada por
f (x) =
1√
2πσ2
exp
(
−(x − µ)
2
2σ2
)
para todo x ∈ R, em que E (X ) = µ e Var(X ) = σ2. Notação:
X ∼ N(µ, σ2).
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Distribuição Normal: Características
Moda = mediana = média;
A função tem dois pontos de inflexão, um em x = µ− σ e
outro em x = µ+ σ, em que σ é o desvio padrão de X ;
A curva é simétrica em torno de x = µ, isto implica que dado
um a ∈ R tem-se que f (µ− a) = f (µ+ a), logo
F (µ− a) = PX (X ≤ µ− a) = PX (X ≥ µ+ a) = 1− F (µ+ a)
se µ = 0 então F (−a) = 1− F (a).
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Distribuição Normal
Problema: Dificuldade no cálculo de PX . Existem tabelas apenas
para X ∼ N(0, 1).
Solução: Fazendo a transformação,
Z =
X − µ
σ
⇒ Z ∼ N(0, 1)
Assim,
P(X ≤ x) = P(Z ≤ z) = P
(
Z ≤ x − µ
σ
)
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Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Discretas
Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias ContínuasDistribuição t-Student “Padrão”
Dizemos que uma v.a. X tem distribuição t com ν graus de
liberdade se sua função densidade de probabilidade é dada por
f (x) =
1√
νπ
Γ
(
ν+1
2
)
Γ
(
ν
2
) (1 + x2
ν
)− ν+12
para todo x ∈ R. Notação: X ∼ tν . Tem-se ainda que E (X ) = 0
para ν > 1 e
Var(X ) =
ν
ν − 2
para ν > 2.
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Distribuição t-Student: Características
Moda = mediana = média = 0;
A curva é simétrica em torno do 0, isto implica que dado um
a ∈ R tem-se que f (−a) = f (+a), logo P(≤ −a) = P(≥ a);
quando os graus de liberdade aumentam a distribuição tν se
aproxima da distribuição normal com média zero e variância 1.
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Distribuição Qui-quadrado
Dizemos que uma v.a. X tem distribuição Qui-quadrado com ν
graus de liberdade se sua função densidade de probabilidade é dada
por
f (x) =
1
Γ
(
ν
2
)
2
ν
2
x
ν
2−1e−
x
2
para todo x ≥ 0. Notação: X ∼ χν . Tem-se ainda que E (X ) = ν
e Var(X ) = 2ν.
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Distribuição F
Dizemos que uma v.a. X tem distribuição F com ν1 e ν2 graus de
liberdade se sua função densidade de probabilidade é dada por
f (x) =
Γ
(
ν1+ν2
2
)
Γ
(
ν1
2
)
Γ
(
ν2
2
) (ν1
ν2
) ν1
2 x
ν1−2
2(
1 + ν1ν2 x
) ν1+ν2
2
para todo x ≥ 0. Notação: X ∼ Fν1,ν2 . Tem-se ainda que
E (X ) = ν2ν2−2 .
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Tipos de estudos
Tipos de Amostragem
Principais planos de amostragem probabilística
Objetivo
Amostragem é o procedimento utilizado na obtenção da amostra,
que deve ser de tal forma que a amostra obtida seja representativa
da população de interesse.
Exemplo
Quando alguém está adoçando uma xícara de café ele primeiro
coloca um pouco de açucar, mistura bem e depois prova(coleta
uma amostra) para verificar se precisa ou não mais açucar. Note
que, o processo de mexer bem antes de provar é um
procedimento(plano) amostral intuítivo.
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Tipos de estudos
Tipos de Amostragem
Principais planos de amostragem probabilística
População ou População alvo
É o conjunto de todos os seres, objetos ou informações que estão
sob investigação.
Notação: Um população de tamanho N será denotada por
U˜ = (1, . . . ,N).
Exemplo
Um grupo de pesquisadores desejam analisar a influência de fatores
sociodemográficos, físicos e mentais sobre a mobilidade de idosos,
pessoas com 60 anos ou mais, residentes no município de Santa
Cruz, Rio Grande do Norte. Neste caso a população são todas as
pessoas com 60 anos ou mais residentes no município de Santa
Cruz.
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Tipos de estudos
Tipos de Amostragem
Principais planos de amostragem probabilística
População de estudo
É o conjunto de todos os seres, objetos ou informações que podem
ser incluídas no estudo. Teoricamente, o mesmo que a população
alvo, porém muitas vezes diferente.
Exemplo
No Exemplo anterior suponha que a pesquisa tenha sido realizada
durante um determinado mês do ano, e que neste mês
possívelmente algumas das pessoas desta população poderiam não
estar na cidade e deste modo não poderiam ser incluídas na
pesquisa. Deste modo, neste caso, a população alvo é diferente da
população de estudo.
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Tipos de estudos
Tipos de Amostragem
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Amostra
É o conjunto dos elementos selecionados de uma população.
Notação: Uma amostra de tamanho n será denotada por
s˜= (k1, . . . , kn) para ki ∈ U˜ .
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Principais planos de amostragem probabilística
Unidade amostral
São os elementos alvo da pesquisa. Podem ser pessoas,
animais,objetos, domicílios, empresas, etc. Deve ser definida no
início da investigação de acordo com o interesse do estudo. É
muito importante que a unidade elementar seja claramente
definida, para que o processo de coleta e análise tenha sempre um
significado preciso e uniforme.
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Variáveis
É uma característica qualitativa ou quantitativa que observamos em
cada unidade amostral. Ex.: altura, sexo, peso, idade, classe social,
etc.
Notação: As variáveis são usualmente denotadas pelas letras
maiúsculas X ,Y ,Z ,W .
Em um população U˜ = (1, . . . ,N), o conjunto de valores queessas variáveis assumem são denotadas por
x˜ = (x1, x2, . . . , xN);
Em uma amostra s˜= (k1, . . . , kn), os valores que essasvariáveis podem assumir são denotadas por
X˜ = (X1,X2, . . . ,Xn) em que cada Xi pode assumir qualquervalor xu, para u ∈ U˜ e xu ∈ x˜.
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Parâmetro
Uma medida numérica que descreve alguma característica de uma
população.
Exemplo
Peso médio ao nascer de crianças na cidade de João Pessoa,
proporção de mulheres com câncer de mama na Paraíba.
Notação: Utiliza-se usualmente letras gregas,µ, σ2, τ para se
denotar parâmetros. Entretanto, existem exceções, por exemplo,
para o parâmetro proporção utiliza-se p.
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Estimador
É qualquer função dos elementos X1, . . . ,Xn da amostra X˜ , queassume valores em Θ(espaço paramétrico), em que Θ é o conjunto
de todos os valores que o parâmetro θ pode assumir.
Notação: Usualmente utiliza-se µ̂, σ̂2, p̂ para se denotar
parâmetros. Entretanto, existem exceções, por exemplo, para o
parâmetro µ utiliza-se X .
Exemplo
Seja X˜ = (X1,X2, . . . ,Xn) uma amostra, então um estimador paraa média populacional µ para essa amostra é dada por:
X =
X1 + . . .+ Xn
n
.
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Estimativa
É o valor observado de um estimador após a amostra ser coletada.
Exemplo
Considere a seguinte amostra da variável X , X˜ = (5, 3, 4, 2, 6),então
X =
5 + 3 + 4 + 2 + 6
5
= 4.
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Cadastro amostral
Lista das unidades da população de pesquisa de onde a amostra
será extraída. Nem sempre aplicável.
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Tipos de estudos: Estudos Observacionais
Se caracterizam pela não intervenção do pesquisador sobre os
dados do estudo. Dessa maneira, nos estudos observacionais
observamos e medimos características específicas, mas não
tentamos modificar os elementos objeto do estudo.
Exemplo
Em uma pesquisa na qual se quer estudar algum aspecto de um
grupo de alcoólatras, não há a possibilidade de induzir um grupo a
tornar-se alcoólatra, então o estudo é observacional e inclui o grupo
que já era alcoólatra e um grupo de não alcoólatras como grupo
controle.
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Tipos de estudos
Tipos de Amostragem
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Tipos de estudos: Estudos Experimentais
Nos estudos experimentais, o pesquisador designa os indivíduos da
amostra aos grupos por processo aleatório, aplicamos um
tratamento diferente a cada grupo e observamos seu efeito nos
elementos da amostra.
Exemplo
No artigo “Impacto da multimistura no estado nutricional de
pré-escolares matriculados em creches. Rev. Nutr. [online]. 2006,
vol.19, n.2, pp. 169-176.”, coletou-se uma amostra de 135 crianças
na faixa etária de um a seis anos. As crianças foram divididas
aleatóriamente em três grupos: intervenção 1 (GI1 n=48),
intervenção 2 (GI2 n=45) e controle (GC n=42), recebendo 5g e
10g de multimistura e placebo, respectivamente. O estado
nutricional das crianças em estudo foi avaliado antes e após a
suplementação.
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Tipos de Amostragem
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Tipos de Amostragem: Amostragem Probabilística
É o procedimento pelo qual se utilizam mecanismos aleatórios de
seleção dos elementos de uma amostra, atribuindo a cada elemento
uma probabilidade de pertencer a amostra.
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Tipos de Amostragem: Amostragem não Probabilística
É o procedimento pelo qual se utiliza alguma mecanismo aleatório
de seleção, mas sem conhecer a probabilidade de cada elemento
fazer parte da amostra ou não se utilizam mecanismos aleatórios de
seleção dos elementos de uma amostra, tais como: amostras
intencionais, nas quais os elementos são escolhidos com o auxílio de
especialistas; amostras de voluntários, onde as pessoas é que se
apresentam para participar do estudo.
Observação
A grande vantagem da amostra probabilística é medir a precisão da
amostra obtida, baseando-se apenas no resultado contido na
própria amostra.
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Amostragem aleatória(AA)
Procedimento pelo qual cada elemento da população tem a mesma
chance(probabilidade) de ser selecionada.
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Amostragem aleatória simples(AAS)
Procedimento pelo qual uma amostra de tamanho n é selecionada
de tal forma que cada amostra possível de tamanho n tem a mesma
chance(probabilidade) de ser selecionada. Esse plano amostral
subdivide-se ainda em dois outros: Amostragem aleatória simples
com reposição(AASCR) e Amostragem aleatória simples sem
reposição(AASSR).
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Amostragem sistemática
É realizada quando os elementos da população estão ordenados e a
seleção dos elementos da amostra é feita periodicamente ou
sistematicamente.
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Tipos de estudos
Tipos de Amostragem
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Amostragem estratificada
Esse procedimento consiste em dividir a população em
sub-populações (estratos). Estratos são divisões de acordo com
algum critério, por exemplo: sexo, faixa etária, estado civil, assim
dentro de cada estrato teremos uma maior homogeneidade. Dessa
forma, para uma população com N unidades amostrais e d estratos
com tamanhos N1, . . . ,Nd , tem-se que
∑d
i=1 Ni = N, portanto
teremos os seguinte coeficiente de proporcionalidade ci = NiN .
Deste modo, para uma amostra de tamanho n devemos selecionar
uma AAS de tamanho ni = ci × n de cada estrato.
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Tipos de Amostragem
Principais planos de amostragem probabilística
Amostragem por conglomerado
Neste procedimento cada unidade amostral éum grupo
(conglomerado) de elementos. Conglomerados são partes
representativas da população, por exemplo, dividimos um bairro em
quarteirões. Assim cada quarteirão é uma unidade amostral. Deste
modo, selecionamos uma AAS dos quarteirões para depois
proceder-se o levantamento dos dados de todos os elementos do
Conglomerado.
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Tipos de estudos
Tipos de Amostragem
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Erros de amostragem
Erro amostral(E). é a diferença entre o resultado amostral e
o verdadeiro resultado da população. Tais erros resultam das
flutuações amostrais devidas ao acaso.
Erro não amostral. ocorre quando os dados amostrais são
coletados ou registrados incorretamente. Exemplos de erros
não amostrais: seleção de uma amostra por conveniência, uso
de um instrumento de medida defeituoso, digitação incorreta
dos dados, etc.
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Média
Proporção
Variância
Amostra Aleatória
Uma amostra aleatória de tamanho n de uma variável aleatória X
com função distribuição F , é um vetor X˜ = (X1,X2, . . . ,Xn) emque as componentes Xi são independentes e possuem distribuição
F .
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Média
Proporção
Variância
Estatística
É qualquer função dos elementos X1, . . . ,Xn da amostra X˜ cujadistribuição de probabilidade não depende de parâmetros
desconhecidos.
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Média
Proporção
Variância
Distribuição Amostral: Definição
A Distribuição de todos os valores possíveis que podem ser
assumidos por uma estatística, calculados a partir de amostras de
mesmo tamanho selecioanadas aleatóriamente de uma mesma
popualção, é chamada de Distribuição Amostral da estatística.
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Média
Proporção
Variância
Distribuição Amostral: Objetivos
Permitir responder questões probabilisticas sobre estatisticas
amostrais;
fornecer a teoria necessária para fazer válidos os procedimentos
da inferência estatística.
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Objetivos e Bibliografia
Introdução
Conceitos de Probabilidade
Variável Aleatória
Conceitos básicos de amostragem
Distrbuições Amostrais
Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Distribuição Amostral da Média: Exemplo 5.3.1-Daniel
Suponha que temos uma população de cinco crianças que são
pacientes em um centro comunitário de saúde mental e a variável
de interesse é a idade delas, assim,
x˜ = (6, 8, 10, 12, 14).
A média populacional é,
µ =
6 + 8 + 10 + 12 + 14
5
= 10
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Conceitos básicos de amostragem
Distrbuições Amostrais
Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Distribuição Amostral da Média: Exemplo 5.3.1-Daniel
e a variância populacional,
σ2 =
(6− 10)2 + (8− 10)2 + · · ·+ (14− 10)2
5
= 8
Desejamos obter a distribuição amostral da média, baseado
em amostras de tamanho 2, selecionadas dessa populaçao
com reposição.
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Conceitos básicos de amostragem
Distrbuições Amostrais
Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Distribuição Amostral da Média: Exemplo 5.3.1-Daniel
6 8 10 12 14
6 (6,6) (6,8) (6,10) (6,12) (6,14)
X 6 7 8 9 10
8 (8,6) (8,8) (8,10) (8,12) (8,14)
X 7 8 9 10 11
10 (10,6) (10,8) (10,10) (10,12) (10,14)
X 8 9 10 11 11
12 (12,6) (12,8) (12,10) (12,12) (12,14)
X 9 10 11 12 13
14 (14,6) (14,8) (14,10) (14,12) (14,14)
X 10 11 12 13 14
Table: Todas as posíveis amostras de tamanho 2 da população com
reposição Ulisses U. dos Anjos Modelos de Probabilidade e Inferencia Estatística
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Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Distribuição Amostral da Média: Amostras com reposição
X 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Frequência 1 2 3 4 5 4 3 2 1
Freq. Rel(Prob.) 125
2
25
3
25
4
25
5
25
4
25
3
25
2
25
1
25
Distribuição Amostral da Média para n=2
6 7 8 9 10 11 12 13 14
0
1
2
3
4
5
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Conceitos básicos de amostragem
Distrbuições Amostrais
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Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Distribuição Amostral da Média: Amostras com reposição
Deste modo, tem-se que o valor esperado de X é
E (X ) =
14∑
x=6
xP(X = x) = 6× 1
25
+7× 2
25
+· · ·+13× 2
25
+14× 1
25
= 10
e a variancia de X é
Var(X ) =
14∑
x=6
(
x − E (X )
)2
P(X = x)
= (6− 10)2 × 1
25
+ · · ·+ (14− 10)2 × 1
25
= 4.
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Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Distribuição Amostral da Média: Amostras com reposição
Agora note que
E (X ) = µ
e
Var(X ) = 4 =
8
2
=
σ2
n
em que n é o tamanho da amostra.
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Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Distribuição Amostral da Média: Amostras sem reposição
X 7 8 9 10 11 12 13
Frequência 2 2 4 4 4 2 2
Freq. Rel(Prob.) 220
2
20
4
20
4
20
4
20
2
20
2
20
Distribuição Amostral da Média para n=2, sem reposição
7 8 9 10 11 12 13
0
1
2
3
4
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Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Distribuição Amostral da Média: Amostras sem reposição
Deste modo, tem-se que o valor esperado de X é
E (X ) =
13∑
x=7
xP(X = x) = 7× 2
20
+ · · ·+ 13× 2
20
= 10
e a variancia de X é
Var(X ) =
13∑
x=7
(
x − E (X )
)2
P(X = x)
= (7− 10)2 × 2
20
+ · · ·+ (13− 10)2 × 2
20
= 3.
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Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Distribuição Amostral da Média: Amostras sem reposição
Agora note que
E (X ) = µ
e
Var(X ) = 3 =
8
2
× 5− 2
5− 1
=
σ2
n
× N − n
N − 1
em que n é o tamanho da amostra e N é o tamanho da populacão.Ulisses U. dos Anjos Modelos de Probabilidade e Inferencia Estatística
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Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Distribuição Amostral da Média
Seja X1, . . . ,Xn uma amostra aleatória da variável X ∼ N(µ, σ2)
então,
X ∼ N
(
µ;
σ2
n
)
.
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Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Teorema Central do Limite
Seja {Xn, n ≥ 1} uma seqüência de variáveis aleatórias
independentes e identicamente distribuídas, com média µ e
variancia σ2 <∞. Então, para Sn =
∑n
i=1 Xn, tem-se
Sn − E (Sn)√
Var (Sn)
=
Sn − nµ
σ
√
n
d−→ N(0, 1)
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Média
Proporção
Variância
Distribuição Amostral da Média
Seja X1, . . . ,Xn uma amostra aleatória da variável X , com média µ
e variância σ2 <∞. Então pelo Teorema Central do Limite(TCL)
segue que a distribuição da média amostral será aproximadamente
normal com média µ e variância σ
2
n , isto é,
X a∼ N
(
µ;
σ2
n
)
.
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Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Exemplo
Suponha que em uma certa população, o tamanho do crânio é uma
variável aleatória com distribuição aproximadamente normal com
média 185,6 mm e desvio padrão 12,7 mm. Qual é a probabilidade
que em uma amostra aleatória de tamanho 10 desta população a
média amostral seja maior que 190 mm?
P
(
X > 190
)
= P
(
Z >
190− 185, 6
12,7√
10
)
= P(Z > 1, 1) = 1− Φ(1, 1) = 0, 1357.
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Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Distribuição Amostral da Diferença de Médias
Sejam X11, . . . ,X1n1 e X21, . . . ,X2n2 amostras das variáveis
aleatórias X1 ∼ N(µ1, σ21) e X2 ∼ N(µ2, σ22) então,
X 1 − X 2 ∼ N
(
µ1 − µ2;
σ21
n1
+
σ22
n2
)
;
Se as populações não forem normais então pelo TCL segue que,
X 1 − X 2
a∼ N
(
µ1 − µ2;
σ21
n1
+
σ22
n2
)
;
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Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Distribuição Amostral da Diferença de Médias - Exemplo
5.4.2-Daniel
Suponha que o tempo médio de visita domiciliar realizado por
enfermeiras dos PSF’s, considerando um certo tipo de paciente foi
estimado em 45 minutos com um desvio padrão de 15 minutos e
para um segundo tipo de paciente o tempo médio de visita
domiciliar foi estimado em 30 minutos com um desvio padrão de 20
minutos. Se uma enfermeira visitar aleatoriamente 35 pacientes do
primeiro tipo e 40 do segundo tipo, qual a probabilidade que o
tempo de visita médio entre os dois grupos de pacientes seja
superior a 20 minutos?
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Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Exemplo 5.4.2-Daniel - Solução
Tem-se que,
X 1 − X 2 ∼ N
(
45− 30; 15
2
35
+
202
40
)
Logo,
P(X 1 − X 2 > 20) = P
Z > 20− 15√
152
35 +
202
40

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Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Distribuição Amostral da Proporção
Seja uma amostra aleatória (X1, . . . ,Xn) em que Xi ∼ ber(p). Um
estimador para o parâmetro p é dado por,
p̂ =
X1 + · · ·+ Xn
n
.
Logo, do Teorema Central do Limite, segue que, para n grande, p̂
terá distribuição aproximadamente normal com média p e variância
p(1−p)
n .
Observação
A aproximação será boa se n ×min(p, 1− p) > 5.
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Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Exemplo
Suponha que em uma determinada população de mulheres grávidas
no seu terceiro mês, 90% tiveram algum cuidado pré-natal. Se uma
amostra aleatória de 200 mulheres dessa população é selecionada,
qual a probabilidade que a proporção amostral das mulheres que
tiveram algum cuidado pré-natal seja no máximo 0,85?
P(p̂ ≤ 0, 85) = P
Z ≤ 0, 85− 0, 90√
0,9×0,1
200
 = P(Z ≤ −2, 36)
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Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Distribuição Amostral da diferença da Proporção
Seja X11, . . . ,X1n1 e X21, . . . ,X2n2 , amostras das variáveis
aleatórias X1 ∼ ber(p1) e X2 ∼ ber(p2), os estimadores para os
parâmetros p1 e p2 são dados por,
p̂1 =
X11 + · · ·+ X1n1
n1
e p̂2 =
X21 + · · ·+ X2n2
n2
.
Logo, do Teorema Central do Limite, segue que, para n grande,
p̂1 − p̂2 terá distribuição aproximadamente normal com média
µp̂1−p̂2 = p1 − p2 e variância σ2p̂1−p̂2 =
p1(1−p1)
n1 +
p2(1−p2)
n2 .
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Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Distribuição Amostral da Variância
Seja X1, . . . ,Xn uma amostra aleatória da variável X ∼ N(µ, σ2),
então,
(n − 1)S2
σ2
∼ χ2n−1
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Conceitos básicos de amostragem
Distrbuições Amostrais
Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Exemplo
Vinte e quatro animais com deficiencia de vitamina D foram dividos
em dois grupos de mesmo tamanho. O grupo 1 foi recebeu uma
dieta que fornecia vitamina D enquanto que o grupo dois não tinha
em sua dieta vitamina D. Ao final do período do experimento foram
determinados os níveis de cálcio sérico obtendo os seguintes
resultados:
Grupo X (mg/100ml) S
1 11,1 1,5
2 7,8 2.0
Assuma que as populações são normais e as variancias são iguais a
σ2 = 2, 56. Verifique se e razoável que as variancias σ21 e σ
2
2 sejam
iguais a 2,56.
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Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Exemplo
Visto que,
11× Si
σ2i
∼ χ211
então, como s21 = 1, 5
2 < 2, 56 então
P
(
S21 ≤ 1, 52
)
= P
(
χ211 ≤
11× 1, 52
2, 56
)
= P(χ211 ≤ 9, 667969) = 0, 4395
e como s22 = 2
2 > 2, 56 então
P
(
S22 ≥ 22
)
= P
(
χ211 ≥
11× 4
2, 56
)
= P(χ211 ≥ 17, 1875) = 0, 1025
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Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Distribuição Amostral da razão de Variâncias
Sejam X11, . . . ,X1n1 e X21, . . . ,X2n2 amostras das variáveis
aleatórias X1 ∼ N(µ1, σ21) e X2 ∼ N(µ2, σ22) então,
U =
(n1 − 1)S21
σ21
∼ χ2n1−1 e V =
(n2 − 1)S22
σ22
∼ χ2n2−1
logo,
U
n1−1
V
n2−1
=
S21
σ21
S22
σ22
∼ Fn1−1,n1−1
Observação
É usual fazer a razão da maior variância sobre a menor, entretanto
veremos adiante no exemplo que não faz diferença.
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Média
Proporção
Variância
Exemplo
Vinte e quatro animais com deficiencia de vitamina D foram dividos
em dois grupos de mesmo tamanho. O grupo 1 foi recebeu uma
dieta que fornecia vitamina D enquanto que o grupo dois não tinha
em sua dieta vitamina D. Ao final do período do experimento foram
determinados os níveis de cálcio sérico obtendo os seguintes
resultados:
Grupo X (mg/100ml) S
1 11,1 1,5
2 7,8 2.0
Assuma que as populações são normais. Verifique se é razoável que
as variancias sejam iguais?
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Média
Proporção
Variância
Exemplo
Visto que,
S21
σ2
S22
σ2
=
S21
S22
∼ F12−1,12−1
então, como S21 = 1.5
2 < 22 = S22 , isto é, tem-se que
P
(
F11,11 ≤
1.52
22
)
= 0, 1771
ou, suponha agora que S21 = 2
2 > 1.52 = S22 , assim
P
(
F11,11 ≥
22
1, 52
)
= 0, 1771
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Média
Proporção
Variância
Intervalo de Confiança
Um intervalo de confiança é um intervalo de valores utilizado para
estimar o verdadeiro valor de um parâmetro populacional (θ).
Definição
Seja X = (X1, . . . ,Xn) uma amostra aleatória da variável X ∼ F e
c1(X) e c2(X) estatísticas tais que,
P(c1(X) < θ < c2(X)) = 1− α, 0 < α < 1
Então o intervalo aleatório
(
c1(X), c2(X)
)
chama-se Intervalo de
Confiança de 100(1− α)% para (θ).
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Média
Proporção
Variância
Intervalo de Confiança
De um modo geral, estamos interessados em encontrar um intervalo
da forma
(
θ̂− E ; θ̂+ E
)
, em que θ̂ é o estimador de um parâmetro
de interesse θ e E é a margem de erro ou erro de precisão.
Todo intervalo de confiança está associado a um nível de confiança
100(1− α)% que é a probabilidade de que o intervalo contenha o
verdadeiro valor do parâmetro, isto é,
P
(
θ̂ − E < θ < θ̂ + E
)
= 1− α, 0 < α < 1
Logo, α será a probabilidade de que o intervalo não contenha o
verdadeiro valor do parâmetro.
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Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Intervalo de Confiança
Em cada caso há o interesse de se construir um uma região de
estimação ótima, isto é, fixado um nível de confiança, desejamos
encontrar um intervalo que tenha a menor amplitude possível.
Observando um grande número de amostras de tamanho n e seus
correspondentes intervalos espera-se que em média uma proporção
100(1− α)% desses intervalos contenham o verdadeiro valor do
parâmetro.
Notação: IC
(
θ ; (1− α)%
)
=
(
c1(X) , c2(X)
)
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Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Intervalo de Confiança para a Média - Caso 1 - Variância
conhecida
Suposições:
1 X = (X1, . . . ,Xn) uma amostra iid(independente e
identicamente distribuída);
2 população com distribuição normal com média µ e Variância
σ2 conhecida; ou uma amostra grande n ≥ 30 com Variância
σ2 conhecida ou não, aí nesse caso substitui-se σ2 por S2.
Nessas condições, segue que,
X − µ
σ√
n
∼ N(0, 1)
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Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Intervalo de Confiança para a Média - Caso 1 - Variância
conhecida
Deste modo, a margem de erro é dada por,
E = zα
2
σ√
n
logo,
IC
(
µ ; (1− α)%
)
=
(
X − zα
2
σ√
n
; X + zα
2
σ√
n
)
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Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Intervalo de Confiança para a Média - Caso 2 - Variância
Desconhecida
Suposições:
1 X = (X1, . . . ,Xn) uma amostra iid(independente e
identicamente distribuída);
2 população com distribuição normal com média µ e Variância
σ2 desconhecida;
Nessas condições, segue que,
X − µ
S√
n
∼ tn−1
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Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Intervalo de Confiança para a Média - Caso 2 - Variância
Desconhecida
Deste modo, a margem de erro é dada por,
E = t(n−1 , α2 )
S√
n
logo,
IC
(
µ ; (1− α)%
)
=
(
X − t(n−1 , α2 )
S√
n
; X + t(n−1 , α2 )
S√
n
)
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Distrbuições Amostrais
Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Intervalo de Confiança para a diferença de Médias - Caso 1 -
Variâncias conhecidas
Suposições:
1 X1 = (X11, . . . ,X1n1) e X2 = (X21, . . . ,X2n2) amostras
iid(independente e identicamente distribuída) provenientes de
populações independentes;
2 populações com distribuição normal, com médias µ1 e µ2 e
Variâncias σ21 e σ
2
2 conhecidas; ou amostras grandes n ≥ 30
com Variâncias conhecidas ou não.
Nessas condições, segue que,
(X 1 − X 2)− (µ1 − µ2)√
σ21
n1 +
σ22
n2
∼ N (0, 1) ;
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Introdução
Conceitos de Probabilidade
Variável Aleatória
Conceitos básicos de amostragem
Distrbuições Amostrais
Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Intervalo de Confiança para a diferença de Médias - Caso 1 -
Variâncias conhecidas
Deste modo, a margem de erro é dada por,
E = zα
2
√
σ21
n1
+
σ22
n2
Logo, o intervalo de confiança IC
(
µ1 − µ2 ; (1− α)%
)
é dado por,(X 1 − X 2)− zα2
√
σ21
n1
+
σ22
n2
, (X 1 − X 2) + zα2
√
σ21
n1
+
σ22
n2

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Distrbuições Amostrais
Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
MédiaProporção
Variância
Intervalo de Confiança para a diferença de Médias - Caso 2 -
Variâncias desconhecidas e iguais
Suposições:
1 X1 = (X11, . . . ,X1n1) e X2 = (X21, . . . ,X2n2) amostras
iid(independente e identicamente distribuída) provenientes de
populações independentes;
2 populações com distribuição normal, com médias µ1 e µ2 e
Variâncias σ21 e σ
2
2 desconhecidas e iguais.
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Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Intervalo de Confiança para a diferença de Médias - Caso 2 -
Variâncias desconhecidas e iguais
Nessas condições, segue que,
(X 1 − X 2)− (µ1 − µ2)√
S2p
n1 +
S2p
n2
∼ tn1+n2−2
em que,
S2p =
(n1 − 1)S21 + (n2 − 1)S22
n1 + n2 − 2
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Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Intervalo de Confiança para a diferença de Médias - Caso 2 -
Variâncias desconhecidas e iguais
A margem de erro é dada por,
E = tn1+n2−2,α2
√
S2p
n1
+
S2p
n2
logo,
IC
(
µ1 − µ2 ; (1− α)%
)
=
(
(X 1 − X 2)− E , (X 1 − X 2) + E
)
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Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Intervalo de Confiança para a diferença de Médias - Caso 3 -
Variâncias desconhecidas e diferentes
Quando não é possivel concluir que as variancias são iguais então,
(X 1 − X 2)− (µ1 − µ2)√
S21
n1 +
S22
n2
não tem distribuição tn1+n2−2. A solução proposta por Cochran
consiste em calcular,
t
′
α
2
=
w1tn1−1,α2 + w2tn2−1,α2
w1 + w2
em que wi =
S2i
ni
.
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Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Intervalo de Confiança para a diferença de Médias - Caso 3 -
Variâncias desconhecidas e diferentes
Deste modo, a margem de erro é dada por,
E = t
′
α
2
√
S21
n1
+
S22
n2
Assim, o intervalo de confiança IC
(
µ1 − µ2 ; (1− α)%
)
é dado por,(X 1 − X 2)− t ′α
2
√
S21
n1
+
S22
n2
, (X 1 − X 2) + t
′
α
2
√
S21
n1
+
S22
n2

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Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Intervalo de Confiança para a Proporção
Seja uma amostra aleatória (X1, . . . ,Xn) de Xi ∼ ber(p). Então,
pelo TCL segue que a margem de erro aproximada é dada por,
E = zα
2
√
p̂(1− p̂)
n
Logo,
IC
(
p ; (1− α)%
)
=
(
p̂ − zα
2
√
p̂(1− p̂)
n
; p̂ + zα
2
√
p̂(1− p̂)
n
)
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Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Intervalo de Confiança para a diferença de Proporções
Seja X11, . . . ,X1n1 e X21, . . . ,X2n2 , amostras das variáveis
aleatórias X1 ∼ ber(p1) e X2 ∼ ber(p2), então pelo Teorema
Central do Limite, segue que, para n grande, a margem de erro
aproximada é dada por,
E = zα
2
√
p̂1(1− p̂1)
n1
+
p̂2(1− p̂2)
n2
logo,
IC
(
p1 − p2 ; (1− α)%
)
= ((p̂1 − p̂2)− E ; (p̂1 − p̂2) + E )
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Distrbuições Amostrais
Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Intervalo de Confiança para a Variância
Suposições: Suposições:
1 X = (X1, . . . ,Xn) uma amostra iid(independente e
identicamente distribuída);
2 população com distribuição normal com média µ e Variância
σ2.
Nessas condições segue que,
(n − 1)S2
σ2
∼ χ2n−1
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Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Intervalo de Confiança para a Variância
Logo,
χ2n−1,α2
<
(n − 1)S2
σ2
< χ2n−1,1−α2
portanto,
(n − 1)S2
χ2n−1,α2
> σ2 >
(n − 1)S2
χ2n−1,1−α2
Assim, um IC
(
σ2 ; (1− α)
)
é dado por,(
(n − 1)S2
χ2n−1,1−α2
,
(n − 1)S2
χ2n−1,α2
)
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Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Intervalo de Confiança para a razão de Variâncias
Suposições:
1 X1 = (X11, . . . ,X1n1) e X2 = (X21, . . . ,X2n2) amostras
iid(independente e identicamente distribuída) provenientes de
populações independentes;
2 populações com distribuição normal, com médias µ1 e µ2 e
Variâncias σ21 e σ
2
2.
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Conceitos básicos de amostragem
Distrbuições Amostrais
Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Média
Proporção
Variância
Intervalo de Confiança para a razão de Variâncias
Nessas condições, segue que,
S21
σ21
S22
σ22
∼ Fn1−1,n1−1
logo,
IC
(
σ21
σ22
; (1− α)
)
=
 S21S22
Fn1−1,n2−1,1−α2
,
S21
S22
Fn1−1,n2−1,α2

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Intervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Visão Geral
Componentes de um Teste de Hipótese
Teste para Média
Teste para Variância
Teste para Proporção
Motivação
Um Jornal na Cidade St. Paul, Mineápolis, o Star Tribune
patrocinou uma pesquisa destinada a revelar as opiniões sobre o uso
de câmeras fotográficas para flagrar os motoristas que passam o
sinal vermelho e depois são notificados pelo correio sobre a infração
cometida. Os pesquisadores entrevistaram 829 adultos de
Minnesota, e verificaram que 51% se opunham à essa nova
legislação que aprovará o uso dessas câmeras.
Baseado nessas informações, podemos concluir que há evidência
amostral suficiente para apoiar a afirmativa que a maioria de todos
os adultos de Minnesota, isto é, p > 0, 5 são contra a nova
legislação?
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Teste de Hipótese
Visão Geral
Componentes de um Teste de Hipótese
Teste para Média
Teste para Variância
Teste para Proporção
Visão Geral
O objetivo de um teste de hipótese é fornecer uma
metodologia(procedimento) que nos permita verificar se os dados
amostrais trazem evidências que apóiem ou não uma hipótese
estatística formulada. Assim sendo, a formulação de um teste de
hipótese estatístico inicia-se com a afirmação de uma hipótese
estatística.
Definição (Hipótese Estatística)
É usualmente uma conjectura a respeito de um parâmetro
populacional.
Para cada situação existem dois tipos de hipótese estatística: a
hipótese nula denotada por H0 e a hipótese alternativa denotada
por H1
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