CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

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DENIS HENRIQUE BENETTI BACCHI
RA: 8086453
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL: FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
ATIVIDADE PORTIFÓLIO – CICLO 3
INTRODUÇÃO
	O conceito de "função" no decorrer da história da matemática propõe um longo e turbulento processo de pensamento, generalização e compreensão, que buscou suporte no pensamento científico e filosófico (PIRES, 2016). Levou séculos para chegar a um consenso sobre a definição de função de duas ou mais variáveis ​​reais. Atualmente, as funções de diversas variáveis ​​têm sido aplicadas a diversos problemas da matemática e de outras áreas, portanto, seu entendimento é essencial para o desenvolvimento gradual de outros conteúdos (SILVA et al., 2020).
Se pensarmos no conceito de correspondência entre conjuntos, é possível associar o conceito de função a eventos históricos passados, como as tabelas babilônicas e egípcias, pois contêm registros de correspondência entre números e resultados de operações (ROQUE, 2012).
Uma função de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado de números reais (x, y) de um domínio D um único valor real, denotado por f(x, y). O conjunto D é chamado domínio de f e sua imagem é o conjunto de todos os valores possíveis de f, ou seja, {f(x, y) : (x, y) ∈ D} (STEWART, 2006).
As funções multivariadas podem ser aplicadas a várias situações em nossa vida diária, como para calcular o volume de piscinas, estimar o vazamento de óleo no corpo d'água, calcular a pressão de um determinado gás, calcular a variação do preço do produto, entre outros (FRÓES; FÁBREGA; GERALDINI, 2016).
Levando em consideração a sua aplicabilidade no cotidiano, foram escolhidas três atividades para serem descritas neste plano de aula. As atividades contemplam a habilidade da BNCC de código EF09MA06, que busca “compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis” (BRASIL, 2018).
Além disso, na busca por iniciativas que favoreçam o ensino de cálculo de várias variáveis, estas propostas buscam utilizar as tecnologias de fácil acesso e que sejam gratuitas, com o intuito de despertar uma interação entre os conteúdos e o aluno. 
OBJETIVOS
O presente trabalho objetiva reconhecer a aplicabilidade do cálculo em situações do cotidiano, bem como, proporcionar condições ao aluno de compreender a definição de funções de duas variáveis, através de atividades exploratórias, com o auxílio de tecnologias digitais.
Atividade 1
A primeira atividade escolhida utiliza o software MAXIMA, que é um sistema de manipulação de expressões simbólicas e numéricas, incluindo diferenciação, integração, expansão em série de Taylor, transformadas de Laplace, equações diferenciais ordinárias, sistemas de equações lineares, vetores, matrizes e tensores. O programa produz resultados de alta precisão usando frações exatas, números inteiros de precisão arbitrária e números de vírgula flutuante com precisão variável. Além disso, pode traçar gráficos de funções e dados em duas ou três dimensões.
Essa atividade permite o contato do estudante com os recursos do MAXIMA, como rotacionar o gráfico e modificar os intervalos das variáveis. Possibilitando que ele analise os gráficos de uma função de duas variáveis, compreendendo que o seu gráfico é uma superfície em três dimensões enquanto o gráfico de uma função de uma variável é uma curva no plano. 
Procedimentos:
1) Defina, no MÁXIMA, a função f (x, y) x2 y2. Você pode fazer isso digitando na linha de comando f(x,y):=x^2+y^2; Shift + Enter.
a) Esboce o gráfico da função f (x, y) nos intervalos -2 x 2 e -2 y 2, utilizando, na barra de menu, as opções: Gráfico Gráfico 3d..., no campo Expressão digite f(x,y), variável x de -2 para 2, variável y de -2 para 2 e no Formato selecione gnuplot.
b) Com o cursor sobre a janela do gráfico, mantenha pressionado o botão esquerdo do mouse. Movimente o gráfico em diferentes direções.
c) Salve o gráfico que, em sua opinião, apresentou melhor visualização. Para isso, na janela gnuplot graph em que está o seu gráfico, selecione .
d) Utilizando, na barra de menu, as opções: Gráfico Gráfico 3d..., esboce novamente o gráfico da função f (x, y) alterando os intervalos de variação de x e de y.
Na figura abaixo, temos a construção do gráfico da função f(x, y) x2 y2.
Figura1: Gráfico da função f(x, y) x2 y2.
Fonte: OLIVEIRA, 2014.
Atividade 2
Para a segunda atividade proposta, o programa utilizado foi o GeoGebra. Este software de matemática dinâmica é recomendado para todos os níveis de ensino que reúne Geometria, Álgebra, Planilha de Cálculo, Gráficos, Probabilidade, Estatística e Cálculos Simbólicos em um único pacote fácil de se usar. O GeoGebra possui uma comunidade de milhões de usuários em praticamente todos os países e se tornou um líder na área de softwares de matemática dinâmica, apoiando o ensino e a aprendizagem em Ciência, Tecnologia, Engenharia e Matemática.
Abar e Alencar (2013) diz que a ideia é que o professor utilize o programa não apenas como mais um recurso tecnológico, mas como um recurso que colabore no desenvolvimento de conceitos matemáticos, uma vez que, o software sozinho não faz matemática. Assim, esta atividade proporcionará o conhecimento do GeoGebra e alguns de seus recursos, o que auxiliará na Atividade 3.
Procedimentos:
Dada a função 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐, responda:
1) Utilizar o aplicativo Calculadora Gráfica GeoGebra para visualizar o gráfico da função.
2) Como podemos mover esse gráfico para a direta? E para a esquerda?
3) Caso mudarmos o coeficiente do termo que está ao quadrado, o que acontecerá com o gráfico? Utilize o aplicativo para verificar se existe mudança.
4) Essa função tem uma Imagem restrita?
5) Como podemos alterar a Imagem da função 2?
6) Como podemos mover o gráfico da função para cima ou para baixo?
Atividade 3 (Explicada)
Assim como a atividade anterior, esta atividade irá utilizar o GeoGebra. Segue abaixo a situação-problema proposta:
Laís gerente de uma loja de bolos resolveu contratar uma empresa de distribuição para fazer as entregas no raio de 30Km para isso foi feito um orçamento com quatro distribuidores que utilizam para os cálculos dos custos um valor fixo adicionado um valor variável que depende da quantidade de quilômetros rodados os valores dos distribuidores A, B, C e D podem ser localizadas na tabela abaixo:
Tabela 1: Valores fixos e por Km dos distribuidores (MELO, 2021).
Procedimentos:
1) Peça que os alunos se organizem em duplas e façam a leitura da situação-problema.
2) Após a leitura, ajude Laís a analisar os custos com distribuição respondendo os itens abaixo:
a) Escrever as funções que representam um custo de cada empresa.
Resolução: primeiramente vamos elaborar cada uma das leis das funções analisando a tabela que relaciona os custos que serão a variável Independente com a quantidade de quilômetros rodados que serão as variáveis dependentes. Para tal, multiplique o valor por Km por X e some ao valor fixo. Assim, temos:
	Distribuidora A: f(x) = 5x + 12
Distribuidora B: f(x) = 2x + 25
Distribuidora C: f(x) = 12x + 1
Distribuidora D: f(x) = x + 40
b) Construir o gráfico das funções utilizando o GeoGebra.
Resolução: Utilizando as funções encontradas podemos construir o gráfico abaixo para ilustrar o problema.
Figura 2: Gráfico montado com as funções f(x) obtidas na letra a (MELO, 2021).
Para tal, em Entrada digite a função da distribuidora A e pressione Enter. Repita para as outras 3 distribuidoras. Caso precise de mais ajuda para fazer o gráfico assista ao vídeo “Escrever função no Geogebra”, disponível em https://www.youtube.com/watch?v=GytOUg5l2Jg. 
c) Elaborar um texto que destaque quais empresas são mais vantajosas em relação à gestão seus percorridas.
Resolução: Observando o gráfico das funções percebemos que:
- Para distâncias no raio de 1 km o distribuidor C é o melhor;
- No raio de 2 até 4 km o distribuidor A é o mais vantajoso;- Nas distâncias entre 5 e 15 km do distribuidor B é o que tem melhor custo; e
- Acima de 15 km a opção pelo distribuidor D é a mais econômica.
CONCLUSÕES
O ensino da matemática requer intervenção e inovação para usar adequadamente os mais diversos conceitos. Nesse sentido, este trabalho propôs uma sequência de três atividades que levam em consideração o conteúdo de funções de várias variáveis e o contexto ao qual o aluno está inserido. Atividades práticas no ensino de cálculo, além de atrair a atenção dos alunos, pode incentivá-los a se dedicarem mais à matéria, propiciando assim, uma aprendizagem mais sólida dos conteúdos.
Dentro deste contexto tecnológico, foi proposto que o professor trabalhe as funções de forma algébrica e geométrica utilizando os softwares GeoGebra e MAXIMA. Vale lembrar que, estes recursos não substituem, em momento algum, a função do professor de vivenciar resultados satisfatórios em suas práticas.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ABAR, C. A. A. P.; ALENCAR, S. V. A Gênese Instrumental na Interação com o GeoGebra: uma proposta para a formação continuada de professores de Matemática. Bolema. Rio Claro, v. 27, n. 46, p. 349-365, 2013.
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, 2018.
FRÓES, A. L. D.; FÁBREGA, F. de M.; GERALDINI, D. Cálculo diferencial e integral II. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S.A., 2016. 232 p.
GEOGEBRA. Manual. Disponível em: https://wiki.geogebra.org/pt/Manual. Acesso em 10 mai. 2021.
MAXIMA. Sistema de álgebra computacional Maxima. Disponível em: https://maxima.sourceforge.io/pt/index.html. Acesso em: 10 mai. 2021.
MELO, R. A. F. P. de. Plano de aula: O uso das tecnologias na construção do gráfico de funções. Nova Escola, 2021. Disponível em: https://planosdeaula.novaescola.org.br/fundamental/9ano/matematica/o-uso-das-tecnologias-na-construcao-do-grafico-de-funcoes/1005#section-slide8. Acesso em: 10 mai. 2021. 
PIRES, R. F. O Conceito de Função: Uma Análise Histórico Epistemológica. XII Encontro Nacional de Educação Matemática. São Paulo, 2016. Disponível em: http://www.sbem.com.br/enem2016/anais/pdf/6006_2426_ID.pdf. Acesso em: 10 mai. 2021. 
ROQUE, T. História da matemática: uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas. Editora Zahar, 2012.
SILVA, D. F. de L.; FEITOSA, M. C.; AQUINO, A. A de.; MARTINS, K. M.de L.; BEZERRA, P. I. M.; LAVOR, O. P. Proposta de Sequência Didática para o Ensino de Funções de Duas Variáveis Utilizando o Geogebra Mobile. Braz. J. of Develop., Curitiba, v. 6, n. 2, p. 9217-9229, feb. 2020.
STEWART, J. Cálculo. 5 ed. São Paulo: Thomson, v.1, 2006.