Matemática Aplicada a Administração e Economia - TAN

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ADMINISTRAÇÃO, ECONOMIA
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FUNÇÕES DE UMA E MAIS VARIÁVEIS
Luiza Maria Oliveira da Silva e
Maria Augusta Soares Machado
ESTATÍSTICA APLICADA À
ADMINISTRAÇÃO E ECONOMIA
TRADUÇÃO DA 6ª EDIÇÃO
NORTE-AMERICANA / 3ª EDIÇÃO BRASILEIRA 
Dennis J. Sweeney, Thomas A. Williams
e David R. Anderson
INTRODUÇÃO À
LÓGICA MATEMÁTICA
Carlos Alberto F. Bispo,
Luiz B. Castanheira e Oswaldo Melo S. Filho
PRÉ-CÁLCULO
3ª EDIÇÃO REVISTA E AMPLIADA
André Machado Caldeira, Luiza Maria Oliveira da Silva, 
Maria Augusta Soares Machado e Valéria Zuma 
Medeiros (coord.)
M atemática aplicada a administração e economia apresenta uma abordagemintuitiva e de fácil compreensão, tornando-se um excelente material para utilização em sala de aula dos cursos universitários.
O autor usou de sua experiência no ensino de Administração e Ciências Humanas para
buscar introduzir cada conceito matemático abstrato com um exemplo retirado de
experiências comuns da vida real.
Nesta edição, além de atualizações dos exemplos aplicados e também dos exercícios,
muitos dos novos problemas envolvem temas atuais, como o aquecimento global, as vendas 
de smartphones, os encargos de cheques sem fundos e a produção de painéis solares.
Além disso, foram mantidos muitos dos marcos que fizeram esta obra ser tão útil e
bem recebida nas edições anteriores:
• Material de revisão para reforçar as habilidades pré-requeridas de álgebra;
• Exercícios por seção para ajudar os alunos a compreender e aplicar os conceitos;
• Seções opcionais de tecnologia para explorar ideias matemáticas e resolver problemas;
• Seções de revisão ao final do capítulo para avaliar as habilidades de compreensão
e resolução de problemas;
• Características para incentivar maior exploração.
Aplicações 
Livro-texto para as disciplinas de cálculo e matemática aplicada nos cursos
de graduação em Administração e Economia.
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MATEMÁTICA APLICADA A ADMINISTRAÇÃO E ECONOMIA
S. T. TAN
S. T. TAN
ISBN-13: 978-85-221-1646-1
ISBN-10: 85-221-1646-6
9 7 8 8 5 2 2 1 1 6 4 6 1
TRADUÇÃO DA 9ª EDIÇÃO
NORTE-AMERICANA
MATEMÁTICA
APLICADA A
ADMINISTRAÇÃO
E ECONOMIA
MATEMÁTICA APLICADA A
ADMINISTRAÇÃO E ECONOMIA
TRADUÇÃO DA 9ª EDIÇÃO NORTE-AMERICANA
S. T. TAN
capa.matematica3.final3.pdf 1 09/06/14 14:49
MATEMÁTICA APLICADA
A ADMINISTRAÇÃO E
ECONOMIA
Tradução da 9ª edição norte-americana
SOO T. TAN
STONEHILL COLLEGE
REVISÃO TÉCNICA: RICARDO MIRANDA MARTINS
Professor Doutor da Universidade Estadual de Campinas (Unicamp)
TRADUÇÃO: FOCO TRADUÇÕES
Austrália • Brasil • Japão • Coreia • México • Cingapura • Espanha • Reino Unido • Estados Unidos
Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page III
SUMÁRIO
Prefácio xi
CAPÍTULO 1 Preliminares 1
1.1 Revisão I 3
1.2 Revisão II 15
1.3 O Sistema de Coordenadas Cartesianas 25
1.4 Retas 33
Capítulo 1 Resumo das Principais Fórmulas e Termos 46
Capítulo 1 Questões Conceituais de Revisão 46
Capítulo 1 Exercícios de Revisão 46
Capítulo 1 Antes de Prosseguir... 48
CAPÍTULO 2 Funções, Limites e Derivadas 49
2.1 Funções e seus Gráficos 50
Usando Tecnologia: Representando Graficamente uma Função 63
2.2 A Álgebra de Funções 67
2.3 Funções e Modelos Matemáticos 75
PORTFÓLIO: Todd Kodet 82
Usando Tecnologia: Encontrando os Pontos de Interseção de Dois Gráficos e Modelando 93
2.4 Limites 97
Usando Tecnologia: Determinando o Limite de uma Função 116
2.5 Limites Unilaterais e Continuidade 118
Usando Tecnologia: Encontrando os Pontos de Descontinuidade de uma Função 132
2.6 A Derivada 135
Usando Tecnologia: Representando Funções e suas Retas Tangentes 152
Capítulo 2 Resumo das Principais Fórmulas e Termos 154
Capítulo 2 Questões Conceituais de Revisão 155
Capítulo 2 Exercícios de Revisão 156
Capítulo 2 Antes de Prosseguir... 159
CAPÍTULO 3 Diferenciação 161
3.1 Regras Básicas da Diferenciação 162
Usando Tecnologia: Determinando a Taxa de Variação de uma Função 174
3.2 Regra do Produto e do Quociente 176
Usando Tecnologia: Regras do Produto e do Quociente 185
3.3 Regra da Cadeia 187
Usando Tecnologia: Determinando a Derivada de uma Função Composta 198
3.4 Funções Marginais em Economia 199
3.5 Derivadas de Ordem Superior 213
Usando Tecnologia: Determinando a Segunda Derivada de uma Função em um Ponto Dado 219
3.6 Diferenciação Implícita e Taxas Relacionadas 221
3.7 Diferenciais 234
Usando Tecnologia: Determinando a Diferencial de uma Função 243
Capítulo 3 Resumo das Principais Fórmulas e Termos 245
Capítulo 3 Questões Conceituais de Revisão 245
Capítulo 3 Exercícios de Revisão 246
Capítulo 3 Antes de Prosseguir... 249
CAPÍTULO 4 Aplicações da Derivada 251
4.1 Aplicações da Primeira Derivada 252
Usando Tecnologia: Usando a Primeira Derivada para Analisar uma Função 269
4.2 Aplicações da Segunda Derivada 272
4.3 Esboçando Curvas 291
Usando Tecnologia: Analisando as Propriedades de uma Função 303
Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page VII
4.4 Otimização I 305
Usando Tecnologia: Encontrando os Extremos Absolutos de uma Função 319
4.5 Otimização II 320
Capítulo 4 Resumo dos Principais Termos 331
Capítulo 4 Questões Conceituais de Revisão 332
Capítulo 4 Exercícios de Revisão 332
Capítulo 4 Antes de Prosseguir... 335
CAPÍTULO 5 Funções Exponenciais e Logarítmicas 337
5.1 Funções Exponenciais 338
Usando Tecnologia 344
5.2 Funções Logarítmicas 346
5.3 Juros Compostos 353
Usando Tecnologia: Determinando o Valor Acumulado de um Investimento, 
a Taxa de Juros Efetiva e o Valor Presente de um Investimento 367
5.4 Derivadas de Funções Exponenciais 368
Usando Tecnologia 378
5.5 Derivadas das Funções Logarítmicas 380
5.6 Modelos Matemáticos que Usam Funções Exponenciais 388
PORTFÓLIO: Carol A. Reeb, Ph.D. 389
Usando Tecnologia: Analisando Modelos Matemáticos 400
Capítulo 5 Resumo das Principais Fórmulas e Termos 402
Capítulo 5 Questões Conceituais de Revisão 403
Capítulo 5 Exercícios de Revisão 403
Capítulo 5 Antes de Prosseguir... 405
CAPÍTULO 6 Integração 407
6.1 Antiderivadas e as Regras de Integração 408
6.2 Integração por Substituição 422
6.3 Área e a Integral Definida 431
6.4 O Teorema Fundamental do Cálculo 440
PORTFÓLIO: Molly H. Fisher, David C. Royster e Diandra Leslie-Pelecky 441
Usando Tecnologia: Calculando Integrais Definidas 451
6.5 Calculando Integrais Definidas 452
Usando Tecnologia: Calculando Integrais Definidas para Funções Definidas por Partes 462
6.6 Área entre Duas Curvas 464
Usando Tecnologia: Encontrando a Área entre Duas Curvas 475
6.7 Aplicações da Integral Definida em Negócios e Economia 476
Usando Tecnologia: Aplicações em Administração e Economia / Exercícios de Tecnologia 488
Capítulo 6 Resumo das Principais Fórmulas e Termos 489
Capítulo 6 Questões Conceituais de Revisão 491
Capítulo 6 Exercícios de Revisão 491
Capítulo 6 Antes de Prosseguir... 495
CAPÍTULO 7 Tópicos Adicionais de Integração 497
7.1 Integração por Partes 498
7.2 Integração Usando Tabelas de Integrais 505
7.3 Integração Numérica 512
7.4 Integrais Impróprias 526
7.5 Volumes de Sólidos de Revolução 534
Capítulo 7 Resumo das Principais Fórmulas e Termos 541
Capítulo 7 Questões Conceituais de Revisão 542
Capítulo 7 Exercícios de Revisão 543
Capítulo 7 Antes de Prosseguir... 544
CAPÍTULO 8 Cálculo de Várias Variáveis 545
8.1 Funções de Várias Variáveis 546
8.2 Derivadas Parciais 557
PORTFÓLIO: Karthik Ramachandran 559
Usando Tecnologia: Determinando Derivadas Parciais em um Ponto Dado 571
VIII Matemática Aplicada a Administração e Economia
Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page VIII
8.3 Máximos e Mínimos de Funções com Várias Variáveis 572
8.4 O Método dos Mínimos Quadrados 583
Usando Tecnologia: Determinandoa Equação da Reta dos Mínimos Quadrados 592
8.5 Máximos e Mínimos Restritos e o Método dos Multiplicadores de Lagrange 594
8.6 Diferenciais Totais 605
8.7 Integrais Duplas 612
8.8 Aplicações das Integrais Duplas 618
Capítulo 8 Resumo dos Principais Termos 625
Capítulo 8 Questões Conceituais de Revisão 626
Capítulo 8 Exercícios de Revisão 626
Capítulo 8 Antes de Prosseguir... 629
Índice Remissivo IR1
CAPÍTULOS ADICIONAIS DISPONÍVEIS EM PDF NA TRILHA
CAPÍTULO ADICIONAL 9 Equações Diferenciais 631
9.1 Equações Diferenciais 632
9.2 Separação de Variáveis 638
9.3 Aplicações das Equações Diferenciais Separáveis 644
9.4 Soluções Aproximadas de Equações Diferenciais 655
Capítulo 9 Resumo dos Principais Termos 661
Capítulo 9 Questões Conceituais de Revisão 661
Capítulo 9 Exercícios de Revisão 661
Capítulo 9 Antes de Prosseguir... 663
CAPÍTULO ADICIONAL 10 Probabilidade e Cálculo 665
10.1 Distribuições de Probabilidade de Variáveis Aleatórias 666
Usando Tecnologia: Esboçando um Histograma 678
10.2 Valor Esperado e Desvio Padrão 679
PORTFÓLIO: Gary Li 682
Usando Tecnologia: Encontrando o Valor Médio e o Desvio Padrão 693
10.3 Distribuições Normais 695
Capítulo 10 Resumo das Principais Fórmulas e Termos 706
Capítulo 10 Questões Conceituais de Revisão 706
Capítulo 10 Exercícios de Revisão 707
Capítulo 10 Antes de Prosseguir... 708
CAPÍTULO ADICIONAL 11 Polinômios de Taylor e Séries Infinitas 709
11.1 Polinômios de Taylor 710
11.2 Sequências Infinitas 720
11.3 Séries Infinitas 727
11.4 Séries com Termos Positivos 739
11.5 Série de Potências e Série de Taylor 748
11.6 Mais Informações sobre a Série de Taylor 757
11.7 Método de Newton 764
Usando Tecnologia: Método de Newton 773
Capítulo 11 Resumo das Principais Fórmulas e Termos 774
Capítulo 11 Questões Conceituais de Revisão 774
Capítulo 11 Exercícios de Revisão 775
Capítulo 11 Antes de Prosseguir... 776
CAPÍTULO ADICIONAL 12 Funções Trigonométricas 777
12.1 Medidas de Ângulos 778
12.2 As Funções Trigonométricas 783
12.3 Diferenciação das Funções Trigonométricas 791
Usando Tecnologia: Analisando Funções Trigonométricas 802
12.4 Integração de Funções Trigonométricas 804
Usando Tecnologia: Calculando Integrais de Funções Trigonométricas 810
Sumário IX
Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page IX
Capítulo 12 Resumo das Principais Fórmulas e Termos 811
Capítulo 12 Questões Conceituais de Revisão 812
Capítulo 12 Exercícios de Revisão 813
Capítulo 12 Antes de Prosseguir... 814
APÊNDICE A
A.1 A Inversa de uma Função 816
A.2 Gráficos de Funções Inversas 818
A.3 Funções que Possuem Inversas 818
A.4 Determinando a Inversa de uma Função 819
APÊNDICE B
B.1 Formas Indeterminadas 821
B.2 As Formas Indeterminadas 0/0 e �/� e a Regra de l’Hôpital 821
APÊNDICE C
C.1 Distribuição Normal Padrão 826
Respostas 829
X Matemática Aplicada a Administração e Economia
Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page X
PREFÁCIO
Matemática Aplicada a Administração e Economia é destinado ao uso em um curso introdutório de cálculo de dois
semestres ou três trimestres para estudantes de Administração e Ciências Humanas. Ao preparar a 9a Edição, levei
em conta dois objetivos antigos: (1) escrever um texto aplicado que motivasse os alunos e (2) constituir uma ferra-
menta de ensino útil para professores. Por trás disso está a minha crença de que a matemática é parte integrante do
nosso dia a dia. Entre as lições mais importantes que aprendi durante os muitos anos de ensino em cursos de graduação
de matemática, chamou-me a atenção uma delas: é que a maioria dos estudantes – desta ou de outras áreas – responde
melhor quando conceitos e resultados matemáticos são introduzidos por meio de ilustrações da vida real.
Em minha experiência no ensino de Administração e Ciências Humanas, também aprendi que muitos alunos che-
gam a esses cursos com algum grau de conhecimento. Esse saber me levou a adotar nos meus livros uma abordagem
intuitiva. Como vocês verão, busco introduzir cada conceito matemático abstrato com um exemplo retirado de ex-
periências comuns da vida real. Só após expressar a ideia, tento dar-lhe uma maior precisão, impedindo a perda do
rigor matemático no tratamento intuitivo.
Outra lição aprendida com meus alunos é que sua motivação é maior quando as aplicações partem de seus cam-
pos de interesse e de situações cotidianas. Esse é um dos motivos por que vocês verão em meus textos vários exer-
cícios construídos com dados retirados de jornais, revistas e outras mídias. Tento introduzir tópicos de interesse atual,
como o mercado de medicamentos redutores de colesterol, financiamento de casas, licitações de direitos de trans-
missão na televisão a cabo, domicílios com conexões de banda larga, ou vendas anuais do Starbucks, buscando man-
ter o livro atrativo para todos os meus leitores.
A ABORDAGEM
Nível de Apresentação
Minha abordagem é intuitiva, e os resultados são enunciados informalmente. No entanto, tomei cuidados especiais
para garantir que essa abordagem não comprometa o conteúdo e a precisão matemática.
Abordagem de Resolução de Problemas
A abordagem de resolução de problemas é destacada durante o livro. Diversos exemplos e aplicações ilustram cada novo
conceito e resultado. Especialmente, os alunos são ajudados a formular, resolver e interpretar os resultados dos proble-
mas que envolvem aplicações. Como os alunos geralmente têm dificuldade em estabelecer e resolver problemas mate-
máticos, uma maior atenção é dada para ajudá-los a dominar essas habilidades:
■ No início do texto, os alunos praticam o estabelecimento de problemas matemáticos (veja a Seção 2.3).
■ Orientações são dadas para ajudar a formular e resolver problemas de taxas relacionadas na Seção 3.6.
■ No Capítulo 4, duas seções abrangem os problemas de otimização. Na primeira, as técnicas de cálculo são utili-
zadas para resolver problemas em que a função a ser otimizada é dada (Seção 4.4); na segunda, são tratados os
problemas de otimização que requerem a etapa adicional de formulação do problema (Seção 4.5).
■ No Capítulo 9, “Equações Diferenciais”, os alunos são novamente incentivados a estabelecer problemas que en-
volvem aplicações (veja a Seção 9.1), antes de serem apresentados aos métodos de solução desses problemas nas
Seções 9.2-9.4.
Introdução Intuitiva aos Conceitos
Quando adequado, os conceitos matemáticos são introduzidos com exemplos reais do cotidiano. Abaixo estão alguns
dos tópicos que são introduzidos dessa maneira:
■ Limites: O Movimento de um Maglev
■ A álgebra de funções: O Déficit Orçamentário Norte-Americano
■ A Regra da Cadeia: A População de Norte-Americanos com 55 Anos ou Mais
■ Diferenciais: Calculando Pagamentos Hipotecários
■ Funções crescentes e decrescentes: A Economia de Combustível de um Automóvel
■ Concavidade: O Crescimento Populacional nos Estados Unidos e no Mundo
Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page XI
■ Pontos de inflexão: O Ponto de Retorno Decrescente
■ Esboço de curvas: O Índice Dow Jones na “Segunda-feira Negra”
■ Funções exponenciais: Distribuição de Renda da Família Norte-Americana
■ Área entre duas curvas: Economia de Petróleo com Medidas Conservativas
■ Aproximando integrais definidas: O Fluxo Cardíaco
Conexões
Um exemplo (o maglev) é utilizado como fio condutor ao longo do desenvolvimento do cálculo - desde os limites
até a integração. O objetivo aqui é mostrar aos alunos as conexões entre os conceitos apresentados: limites, conti-
nuidade, taxas de variação, a derivada, a integral definida, e assim por diante.
Motivação
A ilustração do valor prático da matemática nas áreas aplicadas é um objetivo da minha abordagem. Muitas das apli-
cações são baseadas em modelos matemáticos (funções) que construí utilizando dados retirados de diversas fontes,
incluindo jornais atuais, revistas e internet. As fontes são dadas no texto desses problemas aplicados.
Modelagem
Acredito que uma das habilidades importantes que um aluno deve adquirir é a habilidade de traduzir um problema
real em um modelomatemático que pode oferecer a compreensão sobre esse problema. Na Seção 2.3, o processo de
modelagem é discutido, e pede-se aos alunos que utilizem os modelos (funções) construídos com base em dados reais
para responder às questões. Os alunos adquirem uma experiência prática ao construir esses modelos nas seções Usando
Tecnologia.
NOVIDADES DESTA EDIÇÃO
Incentivando Aplicações da Vida Real
Entre as muitas novidades e atualiza-
ções dos exemplos aplicados e dos
exercícios, estão os problemas que en-
volvem o aquecimento global, a sol-
vência dos fundos fiduciários do Insti-
tuto de Seguridade Social dos Estados
Unidos, o Índice de Preço de Imóveis
Case-Shiller, as vendas de smartpho-
nes, os encargos de cheques sem fun-
dos, a produção de painéis solares, a tá-
tica de cobertura do México, o Índice
de Gini, os usuários do Facebook, o
público de e-books, o crescimento das
cooperativas de crédito, o tempo de es-
pera para um show nas “Fontes de Bel-
lagio” e os usuários de telefone celular
na China.
Modelagem com Dados
Como na edição anterior, os exercícios de modelagem com dados são encontrados em várias seções Usando Tecno-
logia em todo o texto. Aqui, os alunos podem realmente ver como são construídas algumas das funções encontradas
nos exercícios. Muitas dessas aplicações foram atualizadas, e alguns exercícios novos foram adicionados. 
XII Matemática Aplicada a Administração e Economia
EXEMPLO APLICADO 2 Aquecimento Global O aumento de dióxido de carbono
(CO2) na atmosfera é uma das principais causas do aquecimento global. A
curva de Keeling, cujo nome é em homenagem a Charles David Keeling, um profes-
sor do Scripps Institution of Oceanography, fornece a quantidade média de CO2, me-
dida em partes por milhão em volume (ppmv), na atmosfera, de 1958 a 2010. Ainda
que os dados estivessem disponíveis para cada ano nesse intervalo, construiremos a
curva com base apenas nos seguintes pontos de dados selecionados aleatoriamente.
Ano 1958 1970 1974 1978 1985 1991 1998 2003 2007 2010
Quantidade 315 325 330 335 345 355 365 375 380 390
O diagrama de dispersão associado a esses dados encontra-se na Figura 18a. Um
modelo matemático que fornece uma aproximação da quantidade de CO2 na atmos-
fera durante esse período é dado por
A(t) 0,012313t2 0,7545t 313,9 (1 t 53)
Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page XII
Conectando-se à Tecnologia
Toda a arte nas seções “Usando Tecnologia” foi refeita. As te-
las da calculadora científica agora mostram as escalas nume-
radas em ambos os eixos, tornando mais fácil para os alunos a
utilização e a compreensão desses gráficos. Muitas das aplica-
ções nos exemplos e exercícios das seções Usando Tecnologia
foram atualizadas.
Variedade de Tipos de Problema
Questões de memorização, questões de falso ou verdadeiro e questões conceituais foram adicionadas ao longo do texto
para aprimorar os conjuntos de exercícios. 
Soluções Cuidadosamente Concebidas
O Manual Completo de Soluções foi completamente renovado. Todas as novas artes foram criadas para o manual, e
as soluções foram revisadas e simplificadas para facilidade de uso. Como em edições anteriores, as soluções para to-
dos os exercícios foram escritas pelo autor.
Gráficos Aprimorados
As ilustrações tridimen-
sionais na Seção 7.5 e
no Capítulo 8 foram re-
feitas para que os alu-
nos vejam com maior
facilidade os conceitos
descritos em 3D. Por
exemplo, a Figura 7 na
Seção 8.1 agora mostra
o traço do gráfico de z =
f (x, y) e o plano z = k e
sua projeção sobre o
plano xy (Figura 7a) e a
curva de nível correspondente (Figura 7b).
Mudanças Específicas de Conteúdo
■ Os Exemplos 4, 7b e 10c foram adicionados à Seção 1.1.
■ O Exemplo Aplicado 4 na subseção “Usando Tecnologia” da Seção 2.2 foi refeito. Os gráficos de déficit orça-
mentário que são utilizados como motivação para a introdução da Seção 2.2, “A Álgebra de Funções”, foram re-
feitos para refletir os números atuais de déficit. Um novo exercício conceitual gráfico foi adicionado na Seção 2.2.
Na Seção 2.3, “Funções e Modelos Matemáticos”, foram construídos novos modelos para os quatro primeiros
exemplos aplicados – Encargos de Cheques Sem Fundo, Aquecimento Global, Ativos do Fundo Fiduciário do Ins-
tituto de Seguridade Social e Custos de Direção. 
7. Falência de Banco O banco Haven Trust de Duluth, no es-
tado da Georgia, fundado em 2000, aumentou rapida-
mente seu portfólio de investimentos de risco no setor
imobiliário, apesar de muitos alertas dos órgãos regula-
dores. O banco faliu em dezembro de 2008. O volume de
empréstimos imobiliários do banco, em relação ao per-
centual de seu capital, é estimado pela função
f 1t 2 � �5,92t 4 � 58,89t 3 � 165,75t2 � 56,21t � 629
10 � t � 52
onde t � 0 corresponde ao início do ano 2003.
a. Trace o gráfico de f, usando a janela retangular 
[0, 5] � [0, 650].
b. Mostre que em nenhum momento, durante o período
compreendido entre o início do ano 2003 até o começo
de 2008, o montante de financiamento imobiliário, em
relação ao percentual do capital do banco, ficou
abaixo de 415%. Observação: A porcentagem máxima
recomendada pelos órgãos reguladores em 2008 era
de 100%.
Fonte: FDIC Office of Inspector General.
Prefácio XIII
(a) A curva de nível C com a equação f (x, y) k (b) A curva de nível C
é projeção do traço de f no plano z k sobre o plano xy
z k
f(x, y) k
y
C
f (x, y) k
C
z
0
x
z f (x, y)
x
y
0 FIGURA 7
Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page XIII
■ Os Exemplos Aplicados 8 nas Seções 3.1 e 3.3 foram modificados. Na Seção 3.4, a subseção sobre a Elasticidade
da Demanda foi reescrita e a discussão simplificada. Na Seção 3.6, “Diferenciação Implícita e Taxas Relaciona-
das”, dois novos exemplos foram adicionados. O Exemplo 5 ilustra o processo de encontrar implicitamente a se-
gunda derivada de uma função, e o Exemplo Aplicado 6 é uma aplicação econômica utilizada para introduzir a
taxa marginal de substituição técnica (TMST).
■ No Capítulo 4, as curvas orçamentárias utilizadas para motivar os extremos relativos foram atualizadas para re-
fletir o déficit atual. Sete novos exercícios gráficos foram adicionados ao Conjunto de Exercícios 4.2, incluindo
Boatos de uma Corrida ao Banco e o Índice de Preço de Imóveis Case-Shiller. A aplicação Idade Média de Au-
tomóveis, utilizada para motivar o conceito de extremo absoluto na Seção 4.4, foi atualizada. O Exemplo Apli-
cado 7 nessa seção também foi modificado.
■ Do Capítulo 5 ao 7, várias aplicações novas e únicas foram adicionadas aos conjuntos de exercícios. Entre estas,
Roubo Farmacêutico, Lobby Federal, Total de Procedimentos de Substituição de Joelho, Tática de Cobertura do
México, Déficit do Reino Unido, Gastos do Consumidor em Entretenimento e Custos Médicos para os Vetera-
nos. Na Seção 5.3, os exemplos e os exercícios foram atualizados para refletir as atuais taxas de juros mais bai-
xas. A Seção 5.4 é agora introduzida por um novo modelo para a distribuição de renda nos Estados Unidos em
2010. Duas novas aplicações no Índice de Gini nos Estados Unidos foram adicionadas ao conjunto de exercícios
7.2 para a integração numérica.
■ A ilustração tridimensional na Seção 7.5 e no Capítulo 8 foi refeita. Os novos gráficos tornam a visão dos con-
ceitos descritos em 3D mais fácil para os alunos.
CARACTERÍSTICAS CONFIÁVEIS
Além das novas características, mantivemos muitos dos marcos que fizeram esta série ser tão útil e bem recebida nas
edições anteriores:
■ Material de revisão para reforçar as habilidades pré-requeridas de álgebra
■ Exercícios por seção para ajudar os alunos a compreender e aplicar os conceitos
■ Seções opcionais de tecnologia para explorar ideias matemáticas e resolver problemas
■ Seções de revisão ao final do capítulo para avaliar as habilidades de compreensão e resolução de problemas
■ Características para incentivar uma maior exploração
A Revisão de Álgebra Oferece
aos Alunos um Plano de Ação
Um Exercício de Diagnóstico an-
tecede a revisão de álgebra. Cada
questão é referenciada pela seção
e pelo exemplono texto em que o
tópico relevante pode ser revisado.
Os alunos podem usar esse exer-
cício para diagnosticar seus pontos
fracos e revisar o material con-
forme necessário.
Testes de Conhecimento
1. a. Avalie a expressão:
(i) (ii)
b. Reescreva a expressão usando somente expoentes positivos: 
(Expoentes e radicais, Exemplos 1 e 2, páginas 6-7)
2. Racionalize o numerador
(Racionalização, Exemplo 5, página 7)
3
B
x 2
yz 3
(x 2y 1 )3
3
B
27
125
a 16
9
b
3/2
XIV Matemática Aplicada a Administração e Economia
Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page XIV
Revisão de Álgebra Posicionada
Onde os Alunos Mais Precisam 
Notas de revisão de álgebra bem posi-
cionadas, vinculadas ao capítulo de re-
visão, aparecem ao longo do texto em
lugares onde os alunos mais precisam.
Estas são indicadas pelo ícone . 
Testes de Conhecimento
Oferecendo aos alunos
um feedback imediato
sobre os conceitos-
-chave, os Testes de
Conhecimento dão iní-
cio a cada conjunto de
exercícios ao final da
seção. Suas soluções
completas podem ser
encontradas no final de
cada seção de exercícios.
Questões Conceituais
Desenvolvidas para
testar a compreensão
dos conceitos básicos
discutidos na seção, as
Questões Conceituais
encorajam o estudante
a explicar os concei-
tos aprendidos com
suas próprias palavras.
(x2)
EXEMPLO 6 Calcule:
Solução
Fazendo h tender a zero, obtemos a forma indeterminada 0/0. Em seguida, racionali-
zamos o numerador do quociente multiplicando numerador e denominador pela ex-
pressão e obtemos
Portanto,
lim
hS0
11 h 1
h
lim
hS0
1
11 h 1
1
11 1
1
2
1
11 h 1
h
h111 h 1 2
1 h 1
h111 h 1 2
11 h 1
h
111 h 1 21 11 h 1 2
h111 h 1 2
111 h 1 2
lim
hS0
11 h 1
h
11a 1b 2 11a 1b 2 a b
Veja página 19.(x2)
1. Calcule .
2. Desde a inauguração da Ryan’s Express no início de
2009, o número de passageiros (em milhões) que voam
nessa companhia tem crescido a uma taxa de 
R1t2 0,1 0,2te 0,4t
passageiros/ano (t 0 corresponde ao início de 2009).
Supondo-se que essa tendência se mantenha até 2013, de-
termine quantos passageiros voaram pela Ryan’s Express
por esse tempo. 
As soluções dos Testes de Conhecimento 7.1 podem ser en-
contradas na página 504. 
x 2 ln x dx
7.1 Testes de Conhecimento
7.1 Questões Conceituais
1. Escreva a fórmula de integração por partes. 
2. Explique como você escolheria u e dv quando se utiliza
a fórmula de integração por partes. Ilustre a sua resposta
com x 2e x dx. O que acontece se você inverter suas es-
colhas de u para d√? 
Prefácio XV
Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page XV
Exercícios
Cada seção de exercí-
cios contém um am-
plo conjunto de pro-
blemas de natureza
computacional roti-
neira, seguidos por
um extenso conjunto
de problemas orienta-
dos para aplicações.
Usando Tecnologia
Os recursos opcionais de
Usando Tecnologia apare-
cem após os exercícios da
seção. Eles podem ser utili-
zados em sala de aula, caso
desejado, ou como material
para estudo individual. Aqui,
a calculadora científica é
usada como uma ferramenta
na resolução de problemas.
Essas seções são escritas no
formato tradicional exem-
plo-exercício, com respos-
tas dadas ao final do livro.
Ilustrações com telas de cal-
culadoras científicas são
usadas extensivamente. Se-
guindo o tema da motivação
por meio de exemplos da
vida real, muitas aplicações
com fontes estão incluídas.
Os alunos podem construir
seus próprios modelos utili-
zando dados reais em diver-
sas seções Usando Tecnolo-
gia. Estes incluem modelos para o crescimento da indústria indiana de videogame, gastos com planos de saúde,
proprietários de TiVo, teor de nicotina dos cigarros, segurança do computador, jogos on-line, entre outros.
Um Índice de Orientações de Tecnologia está incluído ao final do livro para referência.
7.1 Exercícios
Nos exercícios 1 a 26 encontre cada integral indefinida.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21.
Dica: Sendo u ln x e d√ dx.
22. 23.
Dica: Integrar por partes duas
vezes.
24.
Dica: Primeiro faça a substituição em seguida integre
por partes.
25.
Dica: Integre por partes duas vezes.
26.
Dica: Primeiro, faça a substituição u x 1; depois integre
por partes.
x ln 1x 1 2 dx
x1ln x 2 2 dx
u 1x;
e 1x dx
x 2e x dxln 1x 1 2 dx
ln x dx
ln x
x 3
dx
ln x
x 2
dx
ln x
1x dx1x ln1x dx
1x ln x dxx 3 ln x dx
x 2 ln 2x dxx ln 2x dx
3x
12x 3 dxx1x 5 dx
x1x 4 2 2 dxx 1x 1 2 3/2 dx
1x 3 2e 3x dx1x 1 2ex dx
1e x x 2 2 dx1ex x 2 2 dx
6xe3x dx
1
2
xex/4 dx
xe x dxxe 2x dx
Apesar de a prova estar fora do escopo deste livro, pode ser demonstrado que uma fun-
ção exponencial da forma f(x) bx, onde b 1, cresce mais rápido que qualquer fun-
ção de potência t(x) x n, para qualquer número real positivo n. Para visualizar esse
resultado no caso especial da função exponencial f(x) ex, podemos usar uma calcu-
ladora com recursos gráficos e fazer ambos os gráficos de f e t (fixados alguns valores
de n) no mesmo plano cartesiano em uma janela retangular apropriada e observar que
o gráfico de f está acima do gráfico de t. 
EXEMPLO 1 Use uma calculadora com recursos gráficos para fazer os gráficos de 
(a) f(x) ex e t(x) x3 nos mesmos eixos cartesianos na janela retangular [0, 6] 
[0, 250] e (b) f(x) ex e t(x) x5 na janela retangular [0, 20] [0, 1.000.000].
Solução
a. Os gráficos de f(x) ex e t(x) x 3 na janela retangular [0, 6] [0, 250] estão es-
boçados na Figura T1a.
b. Os gráficos de f(x) ex e t(x) x 5 na janela retangular [0, 20] [0, 1.000.000]
estão esboçados na Figura T1b.
60
250
200
1 000 000
Usando
TECNOLOGIA
FIGURA T1
(a) Os gráficos de f(x) ex e (b) Os gráficos de f(x) ex e 
g(x) x3 na janela retangular g(x) x5 na janela retangular
[0, 6] [0, 250] [0, 20] [0, 1,000,000]
XVI Matemática Aplicada a Administração e Economia
Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page XVI
Explorando com Tecnologia
Concebidas para explorar concei-
tos matemáticos e esclarecer
ainda mais os exemplos, as ques-
tões opcionais de Explorando
com Tecnologia aparecem ao
longo do corpo principal do texto
e servem para que os estudantes
aprimorem sua compreensão dos
conceitos e teoria apresentados.
Geralmente, uma solução gráfica
ou numérica é acrescentada à solução de um exemplo no texto. 
Resumo das
Principais Fórmulas
e Termos
Cada seção de revisão
inicia com o Resumo,
que destaca equações e
termos relevantes com
remissão do número da
página para fácil revisão.
Questões Conceituais
de Revisão
As Questões Conceituais
de Revisão oferecem aos
estudantes a possibili-
dade de verificar seu co-
nhecimento das defini-
ções e dos conceitos
básicos apresentados em
cada capítulo.
Explorando com
TECNOLOGIA
Para comprovar visualmente o fato de a expressão (1 1>m)m aproximar-se
do número e 2,71828. . . à medida que mcresce ilimitadamente, faça o grá-
fico de f(x) (1 1>x)x, utilizando uma janela retangular adequada no visor
de sua calculadora, e observe que f(x) se aproxima de 2,71828... com o au-
mento crescente do valor de x. Use ZOOM e TRACE para encontrar o valor
de f(x) para valores grandes de x. 
Prefácio XVII
Resumo das Principais Fórmulas e TermosCapítulo 5
FÓRMULAS
1. Função exponencial com base b y bx
2. O número e
3. Função exponencial com base e y ex
4. Função logarítmica com base b y log
b
x
5. Função logarítmica com base e y ln x
6. Propriedades inversas de ln x e ex ln ex x e eln x x
8. Taxa de juros efetiva
9. Juros compostos (valor presente)
10. Juros compostos contínuos A Pert
11. Derivada de uma função exponencial
12. Regra da cadeia para função exponencial
13. Derivada de uma função logarítmica
14. Regra da cadeia para funções logarítmicas
e lim
mS
a 1 1
m
b
m
2,71828p
d
dx
ln 0 u 0 1
u
du
dx
d
dx
ln 0 x 0 1
x
d
dx
1eu 2 eu du
dx
d
dx
1ex 2 ex
P A a1 r
m
b
mt
reff a1 rm b
m
1
A P a1 r
m
b
mt7. Juros compostos (quantia acumu-
lada)
Preencha as lacunas.
1. A função f(x) xb (b, um número real) é chamada função
________, enquanto a função t(x) bx, onde b
________, e b ________, é chamada de função________.
2. a. O domínio da função y 3x é ________, e sua ima-
gem é ________.
b. O gráfico da função y 0,3x passa pelo ponto
________ e é decrescente em ________.
3. a. Se b 0 e b 1, então a função logarítmica y logb x
tem domínio ________ e imagem ________; seu grá-
fico passa pelo ponto ________.
b. O gráfico de y log
b
x é decrescente se b ________
e crescente se b ________.
4. a. Se x 0, então eln x ________.
compostos continuamente, por t anos, então um valor
principal de P dólares terá um valor acumulado de A
________ dólares.
8. a. Se t(x) e f (x), onde f é uma função diferenciável,
então t (x) ________.
b. Se t(x) ln f(x), onde f(x) 0 é uma função diferen-
ciável, então t (x) ________.
9. a. No modelo de crescimento exponencial irrestrito Q
Q0e
kt, Q0 representa a quantidade presente ________,
e k é chamada constante de ________.
b. No modelo de decaimento exponencial Q Q0e
kt, k
é chamado constante de ________.
c. A meia-vida de uma substância radioativa é o
________ necessário para que a substância decaia até
a ________ ________ de sua quantidade original.
TERMOS
logaritmo comum (346)
logaritmo natural (346)
juros compostos (354)
diferenciação logarítmica (382)
crescimento exponencial (389)
crescimento constante (389)
decaimento exponencial (390)
decaimento constate (390)
meia-vida de uma substância radioativa
(391)
função logística de crescimento (394)
Questões Conceituais de RevisãoCapítulo 5
Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page XVII
Exercícios de Revisão
Oferecendo uma revisão
contínua do material do
capítulo, os Exercícios
de Revisão contêm exer-
cícios computacionais
rotineiros seguidos por
problemas aplicados.
Antes de
Prosseguir...
Encontrados no final de
cada revisão do capí-
tulo, os exercícios de
Antes de Prosseguir
oferecem aos estudan-
tes a chance de verificar
se dominaram as habili-
dades computacionais
básicas desenvolvidas
no capítulo.
Explore e Discuta
As questões opcionais de Explore
e Discuta podem ser usadas em
sala de aula ou atribuídas como
atividade extraclasse. Essas ques-
tões geralmente requerem mais es-
forço e reflexão do que os exercí-
cios usuais. Elas também podem
ser utilizadas para adicionar um
componente de escrita às aulas ou
como projetos de equipe. 
Exercícios de RevisãoCapítulo 5
1. Desenhe no mesmo plano cartesiano os gráficos das fun-
ções exponenciais definido pelas equações
a. y 2 x b.
Nos exercícios 2 e 3, reescreva as equações usando logaritmos. 
2. 3. 16 3/4 0,125
Nos exercícios 4 e 5, resolva as equações para a variável x.
4. log4 12x 1 2 2
5. ln 1x 1 2 ln 4 ln 12x 4 2 ln 2
Nos exercícios 6 a 8, dado que ln 2 x, ln 3 y, e ln 5 z, ex-
presse cada um dos logaritmos dados em termos de x, y e z.
6. ln 30 7. ln 3,6 8. ln 75
9. Represente o gráfico da função y log2 (x 3).
10. Represente o gráfico da função y log3 (x 1).
11. A soma de US$ 10.000 é depositada em um banco. Qual
será a quantia na conta depois de dois anos, se o banco
paga uma taxa de juros composto de 6% ao ano (a) dia-
riamente (supondo 365 dias por ano) e (b) continuamente.
12. Qual é a taxa de juros necessária para um investimento de
US$ 10.000 crescer para a quantia de US$ 12.000 em três
anos, se os juros são capitalizados trimestralmente?
13. Quanto tempo levará para um investimento de US$ 10.000
crescer para US$ 15.000, se o investimento rende uma
taxa de juros de 6% ao ano, capitalizada trimestralmente?
14. Encontre a taxa de juros nominal que rende uma taxa de
juros efetiva a 8% ao ano capitalizada trimestralmente.
a 2
3
b
3 27
8
y a 1
2
b
x
1. Resolva a equação para t.
2. Encontre a quantia acumulada depois de quatro anos,
considerando-se que US$ 3.000 foram investidos a 8% ao
ano, capitalizados semanalmente.
3. Encontre o declive da reta tangente no gráfico de
.
4. Encontre a taxa na qual y x ln(x2 1) varia em x 1.
5. Encontre a segunda derivada de y e2x ln 3x.
6. A temperatura de uma xícara de café no tempo t (em mi-
nutos) era
T 1t 2 70 ce kt
Inicialmente, a temperatura do café era de 200 ºF. Três
minutos depois, era de 180 ºF. Quando a temperatura do
café estará em 150 ºF?
f 1x 2 e1x
100
1 2e0,3t
40
Antes de Prosseguir...Capítulo 5
Explore e Discuta
O preço médio da gasolina na bomba ao longo de um período de três meses, durante o qual
houve uma escassez temporária de petróleo, é descrito pela função f definida no intervalo [0,
3]. Durante o primeiro mês, o preço foi crescente em uma taxa crescente. Começando o se-
gundo mês, a boa notícia foi que a taxa de crescimento diminuiu, apesar de o preço do com-
bustível ainda estar aumentando. Esse padrão continuou até o final do segundo mês. O preço
da gasolina atingiu o pico em t 2 e começou a cair a uma taxa crescente até t 3.
1. Descreva os sinais de f (t) e f (t) sobre cada um dos intervalos (0, 1), (1, 2) e (2, 3).
2. Faça um esboço que mostre um gráfico plausível de f sobre [0, 3].
XVIII Matemática Aplicada a Administração e Economia
Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page XVIII
Portfólios
As experiências no
mundo real de uma
variedade de
profissionais que
utilizam a matemática
no local de trabalho
são narradas nas
entrevistas do
Portfólio. Entre os
entrevistados estão
Gary Li, um associado
na JPMorgan Chase, e
Todd Kodet, Vice-
-Presidente Sênior de
Suprimentos da
Earthbound Farm.
MATERIAIS DE ENSINO
ENHANCED WEBASSIGN (www.webassign.net)
Exclusivo da Cengage Learning, Enhanced WebAssign oferece um extenso programa on-line para incentivar a prá-
tica, tão importante para o domínio de conceitos. Feedback imediato e facilidade de uso são apenas duas razões pe-
las quais o sistema de atividades extraclasse é o mais utilizado no ensino superior. O Enhanced WebAssign permite
que você atribua, receba, dê notas e registre atividades via web e inclui links para conteúdos específicos ao texto, exem-
plos de vídeo e tutoriais específicos ao problema. Agora, este consagrado sistema de atividades extraclasse foi apri-
morado para incluir o YouBook, um e-book personalizável com recursos de realce, anotações e pesquisa, bem como
links para recursos de multimídia.
CENGAGE YOUBOOK
YouBook é um e-book interativo e personalizável. Incluindo todo o conteúdo da 9a edição de Matemática Aplicada
a Administração e Economia de Tan, o YouBook possui uma ferramenta de edição de texto que permite que profes-
sores modifiquem a narrativa do livro conforme necessário. Com YouBook, os professores podem rapidamente reor-
denar seções e capítulos inteiros ou ocultar qualquer conteúdo não ensinado para criar um e-book que combina per-
feitamente com seus conteúdos programáticos. Os professores podem ainda personalizar o texto por meio da
publicação de links da web. Outros recursos de mídia incluem: figuras animadas, videoclipes, realces, notas e muito
mais! YouBook está disponível no Enhanced WebAssign.
SOLUTION BUILDER (www.cengage.com/solutionbuilder)
Esse banco de dados on-line para professores oferece as soluções completas para todos os exercícios no texto, incluindo
as questões em Explorando com Tecnologia e em Explore & Discuta. Solution Builder permite criar cópias perso-
nalizadas e seguras (em formato PDF) que correspondem exatamente aos problemas dados em sala de aula.
PORTFÓLIO
Historicamente, pensava-se que os
oceanos proporcionariam uma ili-
mitada fonte de pesca a baixo custo.
No entanto, em um mundo onde a
população humana excede 6 bi-
lhões de pessoas, a pesca excessiva impulsionou um terço de
toda a pesca marinha para um estado de colapso.
Como uma geneticista em pescaria na Estação da Marinha
Hopkins, estudo populações marinhas para colheitas comer-
ciais e uso modelos exponenciais no meu trabalho. A equação
que determina o tamanho da população que cresce ou decai
exponencialmente é x
t
x
0
ert, onde x
0
é a população inicial, t
é o tempo e r é o crescimento ou declínio constante (positivo
para crescimento e negativo para declínio).
Essa equação tanto pode ser usada para estimar a popula-
ção do passado quanto a do futuro. Sabemos que a demandapor produtos da pesca cresce conforme a população cresce,
causando assim, eventualmente, o declínio da população ma-
rinha. Por conta de a diversidade genética estar ligada ao ta-
manho da população, a função exponencial é útil para mode-
lar mudanças na população de pesca e seus conjuntos gené-
ticos ao longo do tempo.
Curiosamente, funções exponenciais podem, também, ser
usadas para modelar o aumento do valor de mercado de frutos
do mar nos Estados Unidos ao longo dos últimos 60 anos. Em ge-
ral, o preço dos frutos do mar tem crescido exponencialmente,
embora o preço tenha sido brevemente estabilizado em 1995.
Embora as curvas exponenciais sejam importantes no meu
trabalho, nem sempre são a melhor opção. As curvas expo-
nenciais são mais bem aplicadas em prazos curtos, quando o
meio ambiente e o mercado são ilimi-
tados. Para longos períodos, a função lo-
gística de crescimento é mais ade-
quada. Em minha pesquisa, selecionar o
modelo mais exato exige a análise de
diversas possibilidades.
Carol A. Reeb, Ph.D.
CARGO Pesquisadora Adjunta
INSTITUIÇÃO Estação da Marinha Hopkins, Universidade de Stanford
Michel Le Tallec; (inset) © Rich Carey/Shutterstock.com
Prefácio XIX
Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page XIX
Agradeço também aos seguintes revisores, cujos comentários e sugestões para edições anteriores moldaram a forma
atual desta edição.
AGRADECIMENTOS
Gostaria de expressar meus agradecimentos pessoais a cada um dos revisores da 9a Edição, cujas diversas sugestões
ajudaram a melhorar em muito este livro.
XX Matemática Aplicada a Administração e Economia
Mario Borha
Moraine Valley Community College
Sarah Clark
South Dakota State University
Mark Crawford
Waubonsee Community College
Charles Cunningham
James Madison University
James Hager
The Pennsylvania State University
George Hurlburt
Corning Community College
Herbert Kasube
Bradley University
Anton Kaul
California Polytechnic State University– San Luis
Obispo
Gloria M. Kittel
University of West Georgia
Mark S. Korlie
Montclair State University
Linda E. Nash
Clayton State University
Tejinder Neelon
California State University—San Marcos
Katherine Pedersen
Southeastern Louisiana University
Mari Peddycoart
Lone Star College—Kenwood
Shahla Peterman
University of Missouri—St. Louis
Yvonne Sandoval
Pima Community College
Gordon H. Shumard
Kennesaw State University
Edward E. Slaminka
Auburn University
Michael Threapleton
Centralia College
Lisa Yocco
Georgia Southern University
Laurie Zack
High Point University
Paul Abraham
Kent State University—Stark
James Adair
Missouri Valley College
Jill Britton
Camosun College
Debra D. Bryant
Tennessee Technological University
Michelle Dedeo
University of North Florida
Scott L. Dennison
University of Wisconsin—Oshkosh
Christine Devena
Miles Community College
Andrew Diener
Christian Brothers University
Mike Everett
Santa Ana College
Kevin Ferland
Bloomsburg University
Tao Guo
Rock Valley College
Mark Jacobson
Montana State University—Billings
Sarah Kilby
North Country Community College
Murray Lieb
New Jersey Institute of Technology
Lia Liu
University of Illinois at Chicago
Rebecca Lynn
Colorado State University
Mary T. McMahon
North Central College
Daniela Mihai
University of Pittsburgh
Kathy Nickell
College of DuPage
Carol Overdeep
Saint Martin’s University
Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page XX
Prefácio XXI
Também gostaria de agradecer a Tao Guo pelo esplêndido trabalho de revisão deste texto. Agradeço às equipes
de edição, produção e marketing da Brooks/Cole – Richard Stratton, Laura Wheel, Haeree Chang, Andrew Coppola,
Cheryll Linthicum e Vernon Boes – por toda a ajuda e apoio durante o desenvolvimento e a produção desta edição.
Agradeço a Martha Emry e Barbara Willette, que fizeram um trabalho excelente em garantir a exatidão e a legibili-
dade desta edição. Simplificando, a equipe com que tenho colaborado é extraordinária, e eu realmente agradeço por
todo o seu esforço e trabalho árduo.
S. T. Tan
Mohammad Siddique
Virginia Union University
Dennis H. Risher
Loras College
Brian Rodas
Santa Monica College
Dr. Arthur Rosenthal
Salem State College
Abdelrida Saleh
Miami Dade College
Stephanie Anne Salomone
University of Portland
Mohammed Rajah
Miracosta College
Jennifer Strehler
Oakton Community College
Ray Toland
Clarkson University
Justin Wyss-Gallifent
University of Maryland at College Park
Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page XXI
SOBRE O AUTOR
SOO T. TAN completou a sua graduação no Massachusetts Institute of Technology, seu mestrado
na University of Wisconsin-Madison e o seu Ph.D. na University of California em Los Angeles. Ele
publicou diversos trabalhos em Teoria do Controle Ótimo, Análise Numérica e Matemática Apli-
cada às Finanças. Ele também é autor de uma série de livros de Matemática.
Tan00:Layout 1 5/28/14 2:11 PM Page XXII
© Yuri Arcurs 2010/Shutterstock.com
Quanto dinheiro é necessário para adquirir pelo menos 100 000
ações da Starr Communications Company? Corbyco, um grande
conglomerado, deseja adquirir no mínimo 100 000 ações da
empresa. No Exemplo 11, página 21, você verá como a gerência da
Corbyco determina quanto dinheiro será necessário para a
aquisição.
As primeiras duas seções deste capítulo
contêm uma breve revisão de álgebra. Em
seguida, introduzimos o sistema de coor-
denadas cartesianas, que permite repre-
sentar os pontos do plano por meio de pa-
res ordenados e números reais. Isso, por sua
vez, possibilita calcular a distância entre
dois pontos algebricamente. Este capítulo
também trata do estudo das retas. A incli-
nação da reta é parte importante no es-
tudo do cálculo.
1 PRELIMINARES
Tan01:Layout 1 5/21/14 4:27 PM Page 1
Use este teste para identificar eventuais dificuldades no uso da álgebra necessária para
o material de cálculo a seguir. A seção de revisão e os exemplos que ajudam a relem-
brar as ferramentas necessárias para resolver o problema estão indicados após cada
exercício. As respostas são encontradas logo após o teste.
Testes de Conhecimento
1. a. Avalie a expressão:
(i) (ii)
b. Reescreva a expressão usando somente expoentes positivos: 
(Expoentes e radicais, Exemplos 1 e 2, páginas 6-7)
2. Racionalize o numerador
(Racionalização, Exemplo 5, página 7)
3. Simplifique as seguintes expressões:
a. 13x 4 � 10x 3 � 6x 2 � 10x � 32 � 12x 4 � 10x 3 � 6x 2 � 4x2
b. 13x � 42 13x 2 � 2x + 32
(Operações com expressões algébricas, Exemplos 6 e 7, páginas 8-9)
4. Fatore completamente:
a. 6a 4b 4c � 3a 3b 2c � 9a 2b 2 b. 6x 2 � xy � y2
(Fatoração, Exemplos 8-10, páginas 9-11)
5. Use a fórmula quadrática para resolver a seguinte equação: 9x 2 � 12x � 4
(Fórmula quadrática, Exemplo 11, páginas 12-13)
6. Simplifique as seguintes expressões:
a. b.
(Expressões racionais, Exemplo 1, página 16)
7. Efetue as operações indicadas e simplifique:
a. b.
(Expressões racionais, Exemplos 2 e 3, páginas 16-18)
8. Efetue as operações indicadas e simplifique:
a. b.
(Expressões racionais, Exemplos 4 e 5, páginas 18-19)
9. Racionalize o denominador: 
(Racionalização de frações algébricas, Exemplo 6, página 19)
10. Resolva as desigualdades:
a. x 2 � x � 12 � 0
(Desigualdades, Exemplo 9, página 20)
b.
(Valor absoluto, exemplo 14, página 22)
Respostas:
1. a. (i) (ii) b. 2.
3. a. 5x 4 � 20x3 � 12x 2 � 14x � 3 b. 9x3 � 18x 2 � 17x � 12
4. a. b. 12x � y 2 13x � y 23a2b212a2b2c � ac � 3 2
x
z13 xy
1
x 6y 3
3
5
64
27
03x � 4 0 � 2
3
1 � 21x
x13x2 � 1 2
x � 1
# 3x3 � 5x2 � x
x1x � 1 2 13x2 � 1 2 1/2
1 �
1
x � 2
x �
9
x
3x
x2 � 2
�
3x2
x3 � 1
2x � 6
x � 3
# x2 � 6x � 9
x2 � 9
1t 2 � 4 2 12t � 4 2 � 1t 2 � 4t � 4 2 12t 2
1t 2 � 4 2 2
2x2 � 3x � 2
2x2 � 5x � 3
3B
x2
yz 3
1x�2y�1 2 3
3B
27
125
a 16
9
b 3>2
2 Matemática Aplicada a Administração e Economia
Tan01:Layout 1 5/21/14 4:28 PM Page 2
5. 6. a. b.
7. a. 2 b.
8. a. b.
9. 10. a. [�4, 3] b.
1.1 Revisão I
As seções 1.1 e 1.2 revisam alguns conceitos e técnicas básicas de álgebra que são es-
senciais para o estudo do cálculo.O material desta revisão ajudará nos exemplos e exer-
cícios deste livro. Agora você poderá ler todo o material e fazer os exercícios das áreas
em que se sentir “enferrujado”, ou poderá revisar o material conforme sua necessidade
enquanto estuda o texto. O Teste de Conhecimento que precede esta seção auxiliará na
identificação da extensão da dificuldade.
A Reta Real
O sistema de números reais é composto pelo conjunto dos números reais, juntamente
com as operações usuais de adição, subtração, multiplicação e divisão.
Podemos representar números reais geometricamente por pontos em uma reta
real ou reta coordenada. Essa reta pode ser construída da seguinte forma: escolha ar-
bitrariamente um ponto em uma reta para representar o número 0. Esse ponto é deno-
minado origem. Se a reta for horizontal, um ponto a uma distância conveniente à di-
reita da origem é escolhido para representar o número 1. Isso determinará a escala
numérica. Cada número real positivo se encontra a uma distância apropriada à direita
da origem, e cada número real negativo se encontra a uma distância apropriada à es-
querda da origem (Figura 1)
FIGURA 1 A reta real
Uma correspondência biunívoca é estabelecida entre o conjunto de todos os núme-
ros reais e o conjunto dos pontos na reta, ou seja, exatamente um ponto na reta é asso-
ciado a cada número real. Do mesmo modo, exatamente um número real está associado
a cada ponto na reta. O número real que está associado a um ponto na reta real é deno-
minado coordenada daquele ponto.
Intervalos 
Neste livro, frequentemente focaremos a atenção em subconjuntos do grupo de núme-
ros reais. Por exemplo, se x denota o número de carros fabricados diariamente por uma
linha de montagem, x deve ser não negativo, ou seja: x � 0. Além disso, suponha que
a gerência tenha decidido que a produção diária não poderá exceder 200 carros. Então,
x deverá satisfazer a desigualdade 0 � x � 200.
– 4 – 3 – 2 – 1 10 2 3 4
Origem
x
1
22– 3
Direção negativa Direção positiva
c 2
3
, 2 d311 � 21x 2
1 � 4x
x21 � 3x 213x 2 � 5x � 1 2
1x � 1 2 2
x
1x � 2 2 1x � 3 2
3x12x 3 � 2x � 1 2
1x 2 � 2 2 1x 3 � 1 2
41t 2 � 4 2
1t 2 � 4 2 2
x � 2
x � 3
2
3
11 � 12 2 ; 2
3
11 � 12 2
Preliminares 3
Tan01:Layout 1 5/21/14 4:28 PM Page 3
De forma geral, os seguintes subconjuntos de números reais nos interessam: inter-
valos abertos, intervalos fechados e intervalos semiabertos. O conjunto de todos os nú-
meros reais que se encontram estritamente entre dois números fixos a e b é denominado
intervalo aberto (a, b). Esse intervalo consiste em todos os números reais x que satis-
fazem a desigualdade a � x � b, sendo denominado “aberto” por não conter nenhum
de seus extremos. Um intervalo fechado contém ambos os extremos. Portanto, o con-
junto de números reais x que satisfazem a desigualdade a � x � b é o intervalo fechado
[a, b]. Note que colchetes são usados para indicar que os extremos estão incluídos no
intervalo. Intervalos semiabertos contêm apenas um dos extremos. Portanto, o inter-
valo [a, b) é o conjunto de números reais x que satisfazem a � x � b, enquanto o in-
tervalo (a, b] é descrito pelas desigualdades a � x � b. Exemplos destes intervalos fi-
nitos estão ilustrados na Tabela 1.
4 Matemática Aplicada a Administração e Economia
TABELA 1
Intervalos finitos
Intervalo Gráfico Exemplo
Aberto: (�2, 1)
Fechado: 
Semiaberto: 
Semiaberto: 3a, b 2
1a, b 4
3a, b 4
1a, b 2
3�12, 3 2
112, 3 4
3�1, 2 4
x
x
x
x
a b
a b
a b
a b
x
3210–1–2–3
–1–2–3
–1–2–3
–2–3
x
2 310–1
x
3210
x
3210–
1
2
1
2
Além de intervalos finitos, encontraremos intervalos infinitos. Exemplos de inter-
valos infinitos são as semirretas (a, �), [a, �), (��, a) e (��, a] definidas pelo conjunto
de números reais que satisfaz x 	 a, x � a, x � a e x � a, respectivamente. O símbolo
�, denominado infinito, não é um número real. Esse símbolo é usado com objetivo de
notação, juntamente com a definição de intervalos infinitos. A notação (��, �) é usada
para o conjunto de todos os números reais x. Assim, de acordo com essa definição, as 
inequações �� � x � � representam qualquer número real x. Intervalos infinitos estão
ilustrados na Tabela 2.
a
a
a
a
x
x
x
x
21
21
210
– 1
2
0–1
–1
–1 0
210
x
x
x
x
TABELA 2
Intervalos infinitos
Intervalo Gráfico Exemplo
1��, a 4
1��, a 2
3a, � 2
1a, � 2
1��, �12 4
1��, 1 2
3�1, � 2
12, � 2
Tan01:Layout 1 5/21/14 4:28 PM Page 4
Expoentes e Radicais
Lembre-se de que se b é qualquer número real e n é um inteiro positivo, então a expressão
bn (lê-se “b à potência n”) é definida como o número
�������������
n fatores 
O número b é denominado base, e o expoente n é denominado potência da expressão
exponencial bn, por exemplo,
e 
Se b 
 0, definimos
Por exemplo, 20 � 1 e , mas a expressão 00 é indefinida.
Além disso, lembre-se de que se n é um inteiro positivo, então a expressão b1/n é de-
finida como o número que, quando elevado à n-ésima potência, é igual a b. Portanto,
Tal número, caso exista, é denominado raiz n-ésima de b, representado por .
Se n for par, a raiz n-ésima de um número negativo não é definida. Por exemplo,
a raiz quadrada de �2 (n � 2) não é definida já que não há nenhum número real
b de modo que b2� �2. Igualmente, dado um número b, mais de um número po-
derá ser sua raiz n-ésima, segundo nossa definição. Por exemplo, ambos 3 e �3 ele-
vados ao quadrado resultam 9, e cada um poderia ser a raiz quadrada de 9. Então,
para evitar ambiguidades, definimos b1/n como a raiz n-ésima positiva de b sempre
que existir. Portanto, � 91/2 � 3. Por isso, a calculadora lhe mostra 3 quando
utilizada para calcular .
Além disso, lembre-se de que se (onde p e q são positivos inteiros e q 
 0) é
um número racional na forma simplificada, então a expressão bp/q é definida como nú-
mero ou, equivalentemente, , sempre que existir. Por exemplo,
Expressões envolvendo expoentes racionais negativos são resolvidas pela definição
Portanto,
As regras que definem a expressão exponencial an, onde a > 0, para todos os valores ra-
cionais de n estão apresentadas na Tabela 3.
As três primeiras definições na Tabela 3 também são válidas para valores negativos
de a. A quarta definição é válida para valores negativos de a apenas quando n é ímpar.
Assim,
n é ímpar.
não possui valor real n é par.
Por fim, é possível provar que an está bem definido para todos os números reais n.
Por exemplo, usando uma calculadora com a tecla , vemos que � 2,665144.yx 212
1�8 2 1/2
1�8 2 1/3 � 23 �8 � �2
4�5/2 �
1
45/2
�
1
141/2 2 5 �
1
25
�
1
32
b�p/q �
1
bp/q
23/2 � 121/2 2 3 � 11,4142 2 3 � 2,8283
2q bp1b1/q 2 p
p>q
1919
2n b
1b1/n 2 n � b
1�p 2 0 � 1
b0 � 1
a 2
3
b 3 � a 2
3
b a 2
3
b a 2
3
b � 8
27
25 � 2 # 2 # 2 # 2 # 2 � 32
bn � b # b # b # . . . # b
Preliminares 5
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As cinco leis de exponenciação estão listadas na Tabela 4
6 Matemática Aplicada a Administração e Economia
TABELA 3
Regras para a definição de an
Definição de an (a � 0) Exemplo Definição de an (a � 0) Exemplo
Expoente inteiro: se n é um inteiro 
positivo, então
an � a � a � a � . . . � a 25 � 2 � 2 � 2 � 2 � 2
(fatores n de a) (5 fatores)
� 32
Expoente nulo: se n é igual
a zero, então
a0 � 1 70 � 1
(00 não está definido.)
Expoente negativo: Se n é um 
inteiro positivo, então
(a 
 0)
�
1
36
6�2 �
1
62
a�n �
1
an
Expoente fracional:
a. Se n é um positivo inteiro, 
então
a1/n ou 
denota a raíz enésima de a.
b. Se m e n são inteiros positivos, 
então
c. Se m e n são inteiros positivos, 
então
(a 
 0)
�
1
27
9�3/2 �
1
93/2
a�m/n �
1
am/n
� 4
82>3 � 123 8 2 2am>n � 2n am � 12n a 2m
� 4
161/2 � 1162n a
TABELA 4
Leis de Exponenciação
Lei Exemplo
1. am � an � am�n x2 � x3 � x2�3 � x5
2. 1a 
 0 2
3. am�n 1x4 23 � x 4�3 � x12
4. an � bn 12x 24 � 24 � x4 � 16x4
5. 1b 
 0 2
1ab 2 n �
1am 2 n �
a x
2
b 3 � x 3
23
�
x 3
8
a a
b
b n � an
bn
x 7
x 4
� x 7�4 � x 3
am
an
� am�n
Essas leis são válidaspara quaisquer números reais a, b, m e n sempre que as quanti-
dades são definidas.
Lembre-se, . A equação correta é x 2�3 � x 6.
Os diversos exemplos a seguir ilustram o uso das leis de exponenciação.
EXEMPLO 1 Simplifique as expressões:
a. b. c. d. e. 
Solução
a. Lei 1
b. Lei 2
165/4
161/2
� 165/4�1/2 � 163/4 � 124 16 2 3 � 23 � 8
13x 2 2 14x 3 2 � 12x 2�3 � 12x 5
a y3/2
x 1/4
b�21x 3y�2 2�2162/3 2 3165/4
161/2
13x 2 2 14x 3 2
1x 2 2 3 �1x 2 2 3 
 x 5
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c. Lei 3
d. Lei 4
e. Lei 5
Podemos também usar as leis de exponenciação para simplificar expressões envol-
vendo radicais, como ilustrado no exemplo a seguir.
EXEMPLO 2 Simplifique as expressões. (Supondo que x, y e n são positivos)
a. b. c. 
Solução
a. 
b. 
c. �
Se um radical aparecer no numerador ou denominador de uma expressão algébrica,
normalmente tentamos simplificar a expressão eliminando o radical do numerador ou
denominador. Esse processo, chamado racionalização, está ilustrado nos dois exemplos
a seguir.
EXEMPLO 3 Racionalize o denominador da expressão .
Solução
EXEMPLO 4 Expresse como um radical e racionalize o denominador da ex-
pressão obtida.
Solução
EXEMPLO 5 Racionalize o numerador da expressão .
Solução
Operações com Expressões Algébricas
Em cálculo, trabalhamos frequentemente com expressões algébricas como:
2x 4/3 � x 1/3 � 1 2x 2 � x �
2
1x
3xy � 2
x � 1
2x 3 � 2x � 1
32x
2x
�
32x
2x
# 2x2x �
32x 2
2x2x �
3x
2x2x �
3
22x
31x
2x
1
2
x�1/2 �
1
22x #
2x
2x �
2x
2x
1
2
x�1/2
3x
22x �
3x
22x #
2x
2x �
3x2x
22x 2 �
3x2x
2x
�
3
2
2x
3x
21x
23 �27x 6
23 8y3 �
1�27x 6 2 1/3
18y3 2 1/3 �
�271/3x 2
81/3y
� �
3x 2
2y
212m3n # 23m5n � 236m8n2 � 136m8n2 2 1/2 � 361/2 # m4n � 6m4n
24 16x 4y8 � 116x 4y8 2 1/4 � 161/4 # x 4/4y8/4 � 2xy2
23 �27x 6
23 8y3212m
3n # 23m5n24 16x 4y8
a y 3/2
x 1/4
b�2 � y 13/22 1�22
x 11/42 1�22
�
y�3
x�1/2
�
x 1/2
y 3
1x 3y�2 2�2 � 1x 3 2�21 y�2 2�2 � x 1321�22y 1�221�22 � x�6y4 � y4
x 6
162/3 2 3 � 612/32132 � 62 � 36
Preliminares 7
Tan01:Layout 1 5/21/14 4:31 PM Page 7
Uma expressão algébrica da forma axmyn, onde o coeficiente a é um número real m e
n são inteiros não negativos, é chamada de monômio, o que significa que constitui um
único termo. Por exemplo, 7x2 é um monômio. Um polinômio consiste em um monô-
mio ou na soma de dois ou mais monômios. Por exemplo, em
todos são polinômios. O grau do polinômio é a maior potência 1m � n 2 das variáveis
que aparecem no polinômio.
Termos constantes e termos contendo os mesmos fatores variáveis são denominados
termos semelhantes. Os termos semelhantes podem ser combinados adicionando-se ou
subtraindo-se seus coeficientes numéricos. Por exemplo, em:
a propriedade distributiva dos números reais
ab � ac � a 1b � c 2
é usada para justificar este procedimento.
Para adicionar ou subtrair duas ou mais expressões algébricas, primeiro remova os
parênteses e então combine os termos semelhantes. A expressão resultante é escrita em
grau decrescente, da esquerda para a direita.
EXEMPLO 6
a. 12x4 � 3x3 � 4x � 6 2 � 13x4 � 9x3 � 3x2 2
� 2x4 � 3x3 � 4x � 6 � 3x4 � 9x3 � 3x2 Remova os parênteses.
� 2x4 � 3x4 � 3x3 � 9x3 � 3x2 � 4x � 6
� �x4 � 6x3 � 3x2 � 4x � 6 Combine os termos semelhantes.
b. 2t 3 � 5t 2 � 3t � 12t � 1 2 4� 46
� 2t 3 � 5t 2 � 3t � 2t � 1 4� 46
� 2t 3 � 5t 2 � 3�t � 1 4� 46 Remova os parênteses e combine os 
termos semelhantes em colchetes.
� 2t 3 � 5t 2 � t � 1 � 46 Remova os colchetes.
� 2t 3 � 5t 2 � t � 36 Adicione os termos dentro das chaves.
� 2t 3 � t 2 � t � 3 Remova as chaves.
Note que, quando a expressão algébrica no exemplo 6b foi simplificada, os símbolos de
agrupamento mais interno foram removidos primeiro, isto é, os parênteses ( ) foram re-
movidos por primeiro, em seguida os colchetes [ ] e, por último, as chaves {}.
Quando multiplicamos expressões algébricas, cada termo de uma expressão é mul-
tiplicado pelo de outra. O resultado algébrico da expressão é então simplificado.
EXEMPLO 7 Efetue as operações indicadas:
a. 1x2 � 1 2 13x2 � 10x � 3 2 b.
c. 1et � e�t 2et � et1et � e�t 2
Solução
a. 1x2 � 12 13x2 � 10x � 3 2 � x213x2 � 10x � 3 2 � 113x2 � 10x � 3 2
� 3x4 � 10x3 � 3x2 � 3x2 � 10x � 3
� 3x4 � 10x3 � 6x2 � 10x � 3
x a300 � 1
4
x �
1
8
y b � y a240 � 1
8
x �
3
8
y b
3x � 7x � 10x e 1
2
xy � 3xy � 7
2
xy
x 2 � 4x � 4 x 3 � 5 x 4 � 3x 2 � 3 x 2y � xy � y
8 Matemática Aplicada a Administração e Economia
Tan01:Layout 1 5/28/14 9:48 AM Page 8
b.
c. 1et � e�t 2et � et1et � e�t 2 � e2t � e0 � e2t � e0
� e2t � e2t � e0 � e0
� 1 � 1 Lembre-se de que e 0 � 1.
� 2
Algumas fórmulas frequentemente usadas em cálculos algébricos estão apresenta-
das na Tabela 5.
� �
1
4
x 2 �
3
8
y2 �
1
4
xy � 300x � 240y
� 300x �
1
4
x 2 �
1
8
xy � 240y �
1
8
xy �
3
8
y2
x a300 � 1
4
x �
1
8
y b � y a240 � 1
8
x �
3
8
y b
Preliminares 9
TABELA 5
Algumas fórmulas úteis de produtos 
Fórmula Exemplo
1a � b22 � a2 � 2ab � b2 12x � 3y22 � 12x22 � 212x213y2 � 13y22
� 4x2 � 12xy � 9y2
1a � b22 � a2 � 2ab � b2 14x � 2y22 � 14x22 � 214x212y2 � 12y22
� 16x2 � 16xy � 4y2
1a � b21a � b2 � a2 � b2 12x � y212x � y2 � 12x22 � 1y22
� 4x2 � y2
Fatoração
Fatoração é o processo de decomposição de uma expressão algébrica como produto de
outras expressões algébricas. Por exemplo, aplicando a propriedade distributiva, pode-
mos escrever:
3x2 � x � x 13x � 12
Para fatorar uma expressão algébrica, primeiro verifique se há termos em comum.
Se houver, então o maior fator comum é colocado em evidência. Por exemplo, o fator
comum da expressão algébrica 2a2x � 4ax � 6a é 2a porque
2a2x � 4ax � 6a � 2a � ax � 2a � 2x � 2a � 3 � 2a 1ax � 2x � 32
EXEMPLO 8 Fatore o maior fator comum em cada expressão:
a. �3t 2 � 3t b. 2x3/2 � 3x1/2 c. 2yexy2 � 2xy3exy2
d.
Solução
a. �3t2 � 3t � �3t1t � 12
b. 2x3/2 � 3x1/2 � x1/212x � 32
c. 2yexy2 � 2xy3exy2 � 2yexy211 � xy22
d.
� x1x � 1 2�1/2 341x � 1 21/21x � 1 21/2 � x4
4x1x � 1 2 1/2 � 2x 2 a 1
2
b 1x � 1 2�1/2 � 4x1x � 1 2 1/2 � x 21x � 1 2�1/2
4x1x � 1 2 1/2 � 2x 2 a 1
2
b 1x � 1 2�1/2
Tan01:Layout 1 5/21/14 4:32 PM Page 9
� x1x � 1 2�1/2 341x � 1 2 � x4
� x1x � 1 2�1/214x � 4 � x 2 � x1x � 1 2�1/213x � 4 2
Aqui selecionamos 1x � 1 2�1/2 como o maior fator comum, pois é a maior potência
de (x � 1) contida em cada termo algébrico. Em particular, observe que
1x � 1 2�1/21x � 1 21/21x � 1 21/2 � 1x � 1 2�1/2�1/2�1/2 � 1x � 1 21/2
Às vezes, uma expressão algébrica pode ser fatorada reagrupando-se e reorganizando-
-se seus termos para que um fator comum possa ser fatorado. Essa técnica é ilustrada
no Exemplo 9.
EXEMPLO 9 Fatore:
a. 2ax � 2ay � bx � by b.
Solução
a. Primeiro, coloque em evidência o fator comum 2a dos dois primeiros termos e o
fator comum b dos dois últimos. Assim,
2ax � 2ay � bx � by � 2a1x � y 2 � b 1x � y 2
Sendo (x � y) comum a ambos os termos do polinômio, podemos fatorá-lo. Portanto,
2a1x � y2 � b1x � y 2 � 12a � b 2 1x � y 2
b. Reorganize os termos
Fatore os termos comuns
Como visto anteriormente, o primeiro passo para fatorar um polinômio é encontrar
seus fatores comuns. O passo seguinte é expressar o polinômio como produto de uma
constante por um ou mais polinômios primos.
Algumas fórmulas úteis para a fatoração de binômios e trinômios estão apresenta-
das na Tabela 6
� 13x � 2 2 11y � 2 2
� 1y13x � 2 2 � 213x � 2 2
3x1y � 4 � 21y � 6x � 3x1y � 21y � 6x � 4
3x1y � 4 � 21y � 6x
10 Matemática Aplicada a Administração e Economia
TABELA 6
Fórmulas de produto usadas na fatoração
Fórmula Exemplo
Diferença de dois quadrados:
x2 � y2 � 1x � y2 1x � y2 x2 � 36 � 1x � 62 1x � 62
8x2 � 2y2 � 214x2 � y22
� 212x � y2 12x � y2
9 � a6 � 13 � a32 13 � a32
Trinômio quadrado perfeito:
x2 � 2xy � y2 � 1x � y22 x2 � 8x � 16 � 1x � 422
x2 � 2xy � y2 � 1x � y22 4x2 � 4xy � y2 � 12x � y22
Soma de dois cubos:
x3 � y3 � 1x � y2 1x2 � xy � y22 z3 � 27 � z3 � 1323
� 1z � 32 1z2 � 3z � 92
Diferença de dois cubos:
x3 � y3 � 1x � y2 1x2 � xy � y22 8x3� y6 � 12x23 � 1y223
� 12x � y22 14x2 � 2xy2 � y42
Os fatores de um polinômio de segundo grau com coeficientes inteiros
px2 � qx � r
Tan01:Layout 1 5/21/14 4:32 PM Page 10
são (ax � b)(cx � d), onde ac � p, ad � bc � q e bd � r. Como apenas um número
limitado de escolhas é possível, podemos usar o método de tentativa e erro para fatorar
polinômios que possuem essa forma.
Por exemplo, para fatorarmos x2 – 2x – 3, primeiro observamos que os únicos ter-
mos de primeiro grau possíveis são 
1x 2 1x 2 Já que o coeficiente de x2 é 1
Em seguida, observamos que o produto dos termos constantes é (�3). Temos então as
fatorações: 1x � 1 2 1x � 3 2
1x � 1 2 1x � 3 2
Olhando novamente para o polinômio x2 � 2x � 3, vemos que o coeficiente de x é
�2. Verificando qual das duas equações fornece �2 como coeficiente de x, vemos que
Preliminares 11
Coeficientes dos termos internos
Coeficientes dos termos externos
� �1�1 2 11) � 11 2 132 � 2
Coeficientes dos termos internos
Coeficientes dos termos externos
� �11 2 11 2 � 11 2 1�32 � �2
Fatores
Termos externos
� �1x � 12 1x � 32
��
Termos internos
Termos externos
� �1x � 12 1x � 32
� �
Termos internos
e concluímos que a fatoração correta é
x2 � 2x � 3 � 1x � 1 2 1x � 3 2
Com a prática, você irá descobrir rapidamente que pode efetuar muitos desses passos
mentalmente, e a necessidade de escrever todo o processo será eliminada.
EXEMPLO 10 Fatore:
a. 3x2 � 4x � 4 b. 3x2 � 6x � 24 c. �3t 2 � 192t � 195
Solução
a. Usando o método de tentativa e erro, descobrimos que a fatoração correta é
3x2 � 4x � 4 � 13x � 2 2 1x � 2 2
b. Visto que cada termo possui o fator comum 3, temos
3x2 � 6x � 24 � 31x2 � 2x � 8 2
Usando o método de fatoração de tentativa e erro, descobrimos que
x2 � 2x � 8 � 1x � 4 2 1x � 2 2
Assim, temos
3x2 � 6x � 24 � 31x � 4 2 1x � 2 2
c. Como cada termo tem o fator comum – 3, temos
�3t 2 � 192t � 195 � �31t 2 � 64t � 65 2
Usando o método de fatoração de tentativa e erro, descobrimos que
1t 2 � 64t � 65 2 � 1t � 65 2 1t � 1 2
Portanto,
�3t 2 � 192t � 195 � �31t � 652 1t � 1 2
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Raízes de Equações Polinomiais
Uma equação polinomial de grau n na variável x é uma equação da forma 
a
n
x n � a
n�1x
n�1 � � � � � a0 � 0
onde n é um inteiro não negativo e a0, a1, . . . , an são números reais com an 
 0. Por
exemplo, a equação
�2x5 � 8x3 � 6x2 � 3x � 1 � 0
é uma equação polinomial de grau 5 em x. 
As raízes de uma equação polinomial são precisamente os valores de x que satis-
fazem a referida equação*. Uma maneira de encontrar as raízes de uma equação poli-
nomial é fatorar o polinômio e então resolver a equação resultante. Por exemplo, a equa-
ção polinomial
x3 � 3x2 � 2x � 0
pode ser reescrita na forma
x1x2 � 3x � 2 2 � 0 ou x1x � 1 2 1x � 2 2 � 0
Como o produto de dois números reais pode ser igual a zero se, e apenas se, um (ou am-
bos) dos fatores for igual a zero, temos
x � 0 x � 1 � 0 ou x � 2 � 0
onde vemos que as raízes desejadas são x � 0, 1 e 2.
A Fórmula Quadrática
Geralmente, encontrar as raízes de uma equação polinomial não é uma tarefa fácil. Mas
as raízes de uma equação quadrática (uma equação polinomial de grau 2) são encontradas
por fatoração ou utilizando-se as seguintes fórmulas quadráticas.
12 Matemática Aplicada a Administração e Economia
Fórmula Quadrática
As soluções para a equação ax2 � bx � c � 0 (a 
 0) são dadas por
x �
�b 
 2b2 � 4ac
2a
Observação Caso você use a fórmula quadrática para resolver uma equação quadrática,
primeiro verifique se a equação se encontra na forma canônica ax2 � bx � c � 0.
EXEMPLO 11 Resolva as seguintes equações quadráticas:
a. 2x2 � 5x � 12 � 0 b. x2 � �3x � 8
Solução
A equação está na forma padrão (canônica), com a � 2, b � 5 e c � �12. Usando a
fórmula quadrática, encontramos
�
�5 
 1121
4
�
�5 
 11
4
x �
�b 
 2b2 � 4ac
2a
�
�5 
 252 � 412 2 1�12 2
212 2
*Neste livro, consideraremos apenas as raízes reais de uma equação.
Tan01:Layout 1 5/21/14 4:32 PM Page 12
Essa equação também pode ser resolvida por fatoração. Portanto, vemos em
2x2 � 5x � 12 � 12x � 3 2 1x � 4 2 � 0
que as raízes desejadas são ou x � �4, como obtido anteriormente. 
b. Primeiro reescrevemos a equação na forma padrão x 2 � 3x � 8 � 0, onde vemos
que a � 1, b � 3 e c � �8. Usando a fórmula quadrática, encontramos
Ou seja, as soluções são
Nesse caso, a fórmula quadrática se mostra bastante útil!
�3 � 141
2
� 1,7 e
�3 � 141
2
� �4,7
�
�3 
 141
2
x �
�b 
 2b2 � 4ac
2a
�
�3 
 232 � 411 2 1�8 2
211 2
x � 32
� �4 ou
3
2
Preliminares 13
1.1 Exercícios
Nos exercícios 1 a 6, mostre o intervalo em uma reta numérica
1. (3, 6) 2. (�2, 5] 3. [�1, 4)
4. 5. (0, �) 6. (��, 5]
Nos exercícios 7 a 22, calcule a expressão
7. 272/3 8. 8�4/3
9. 10. 171/226
11. 12. 
13. 14. 
15. 11252/32�1/2 16. 
17. 18. 
19. � 20. 
21. 161/4 � 8�1/3 22. 
Nos exercícios 23 a 32, determine se a afirmação é verdadeira
ou falsa. Justifique sua escolha.
23. x4 � 2x4 � 3x4 24. 32 � 22 � 62
25. x3 � 2x2 � 2x6 26. 33 � 32 � 35
27. �
2
1
4
3
x
x
� � 24x�3x 28. 122 � 3222 � 64
29. � 30. 
31. 11,21/22�1/2 � 1 32. 52/3 � 12522/3 � 25
Nos exercícios 33 a 38, reescreva a expressão usando apenas ex-
poentes positivos
33. 1xy2�2 34. 3s1/3 � 2s�7/3
35. 36. 
37. 120(s � t)�3 38. 1x � y2 1x�1 � y�12
Nos exercícios 39 a 54, simplifique a expressão. (Suponha que
x, y, r, s e t são positivos.)
39. 40. 149x�2 2�1/2
41. 1x2y�32 1x�5y32 42. 
43. � 44. 
45. 46. 
62,5 # 6�1,9
6�1,4
a 9�3,5 # 92,5
9�2
b�0,5
a x 3
�27y�6
b�2/3 a16 ex
ex�2
b�1/2
x 3/4
x �1/4
a x 3y2
z2
b 2
5x 5/2y3/2
2x 3/2y7/4
x 7/3
x�2
24x�1 # 29x�33x�1/3
x 1/2
43/2
24
�
1
2
1
4�3
�
1
64
165/8161/2
167/8
A3
�8
27
172
118
23 26
a 9
16
b�1/2a 8�5 # 82
8�2
b�1
c a�1
3
b 2 d�3c a 1
8
b 1/3 d�2
a 115 b
0
c�6
5
, �
1
2
d
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