12759-Cap 4 Movimento em Duas e Três Dimensões

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Física Geral A – Movimento em duas e três dimensões 2015 
 
 
 
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MOVIMENTO EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES: Cap.04. Halliday e Resnick 
 
 Neste estudo analisaremos situações relacionadas as seguintes questões: Quando um jogador chuta uma 
bola, o que determina onde a bola vai parar? Uma bola lançada horizontalmente de uma janela leva o mesmo 
tempo para atingir o solo que uma bola simplesmente largada do mesmo ponto? 
 Verificamos que muitos movimentos importantes ocorrem somente em duas dimensões, ou seja, estão 
contidos no plano. Para esses movimentos necessitamos de duas coordenadas e dois componentes para a 
velocidade e a aceleração. 
4.1 Vetor posição 
A localização de uma partícula em relação à origem de um sistema de coordenadas é dada por 
um vetor posição r

, que em termos dos vetores unitários assume a forma: 
kzjyixr ˆˆˆ 

 
onde , ( kzjyix ˆ,ˆ,ˆ ) são as componentes vetoriais do vetor posição r

 e (x, y e z) são as 
componentes escalares ( e também as coordenadas da partícula). Um vetor posição pode ser descrito 
por um módulo e um ou dois ângulos, pelas componentes vetoriais ou pelas componentes escalares. 
 
Por exemplo: 
 
 
 
 
 
Quando uma partícula se move, seu vetor posição varia de tal forma que sempre liga o ponto 
de referência (origem) à partícula. Se o vetor posição varia de para , o deslocamento da partícula 
 durante esse intervalo de tempo é dado por: 
12 rrr

 
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2 
Usando a notação de vetores unitários da equação anterior, podemos escrever esse deslocamento 
como:    kzjyixkzjyixr ˆˆˆˆˆˆ 111222 

 
Ou: 
     kzzjyyixxr ˆˆˆ 121212 

 
 
Onde as coordenadas (x1, y1, z1) correspondem ao vetor e as coordenadas (x2, y2, z2) 
correspondem ao vetor posição . Podemos também escrever o vetor deslocamento substituindo 
(x2 – x1) por x, (y2 – y1) por y e (z2 – z1) por z: 
kzjyixr ˆˆˆ 

 
Exemplo 4.1: Na figura ao lado o vetor posição de uma partícula é inicialmente: 
     kmjmimr ˆ0,5ˆ0,2ˆ0,31 

 
e depois passa a ser 
     kmjmimr ˆ0,8ˆ0,2ˆ0,92 

 
 
 
 
 
Qual é o deslocamento da partícula r

 de 1r

 para 2r

? 
 
 
 
 
 
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4.2 Velocidade média: 
Se uma partícula sofre um deslocamento r

 em um intervalo de tempo t, sua velocidade 
 nesse intervalo de tempo é dada por: 
 
t
r
vméd





 
 
Assim, por exemplo, se a partícula do exemplo 4-1 se move da posição inicial para outra 
posição em 2,0 s, ou seja, 
     kmjmimr ˆ0,5ˆ0,2ˆ0,31 

 
     kmjmimr ˆ0,8ˆ0,2ˆ0,92 

 
 
 x = y = e z = 
 
A velocidade média durante esse movimento é: 
t
r
vméd





 
 
 
 
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 Exemplo: As posições inicial e final de um barco a vela é = (110 m) î + (218 m) j e depois passa a 
ser = (130 m) i + (205 m) j. Calcule as componentes x e y, o módulo e a direção do vetor velocidade 
média deste barco sobre o intervalo de dois minutos. 
 
 
 
 
 
 
 
4.3 Aceleração: 
Quando a velocidade de uma partícula varia para em um intervalo de tempo t, sua aceleração 
média durante este intervalo de tempo é: 
 
 
Exemplo 01: Uma partícula tem inicialmente k̂ 2,0- ĵ 3,0 î 4,0 v1 

e, 4,0 s depois, tem 
k̂ 2,0- ĵ 5,0 î 2,0- v2 

 (A unidade não mencionada é o metro por segundo). Determine: (a) a sua 
aceleração média em 4,0s? (b) Qual é o módulo e a direção de 

a ? 
 
 
 
 
 
 
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5 


162
ˆ)/5,0(ˆ)/5,1( 22

jsmismaméd

 
Exemplo 02: Uma partícula com velocidade     jsmismv ˆ/0,4ˆ/0,20 

 em t = 0, sofre uma 
aceleração constante a

, de módulo a = 3,0 m/s
2
, que faz um ângulo  = 130° com o semi-eixo positivo. 
Qual é a velocidade v

da partícula em t= 5,0 s? 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Uma certa partícula tem as seguintes coordenadas: x= - 5,0 m, y = 8,0 m e z = 0 m. Ache o seu vetor 
posição (a) em notação de vetores unitários e (b) em função do seu módulo e da sua direção. 
 
 
 
 
R: (b) mr 4,9

e  =122°) 
2. Inicialmente, o vetor posição para um próton é k̂ 2,0 ĵ 6,0 - î 5,0 r1 

e, logo depois, 
k̂2,0 ĵ6,0 î2,0- r é 2 

, onde a unidade não mencionada é o metro. Qual é o módulo e a direção do 
vetor deslocamento do próton? 
 
 
 
 
(13,9 m e direção 120°) 
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3. Um avião voa 480 km da cidade A para a cidade B na direção leste em 45,0 min e, depois, voa 960 km 
da B para a C na direção sul em 1,5 h. (a) qual o vetor deslocamento que representa a viagem total? 
Determine o vetor velocidade média e a velocidade escalar média nesta viagem? 
 
 
 
 
 
 
hkmv
jkmikmrAC
/640
63
ˆ)960(ˆ)480(





 
b) 477 km/h direção:297°e 640 km/h; 
4. Inicialmente, o vetor posição de uma partícula é k̂ 2,0 - ̂j 6,0 - î 5,0 r1 

e, 10 s depois é 
k̂ 2,0 - ĵ 8,0 î 2,0- r2 

. (A unidade não mencionada é o metro). Qual foi a sua velocidade média durante 
os 10 s? 
 
 
 
 
 
jsmismvméd
ˆ)/4,1(ˆ)/7,0( 

 
5. Um barco a vela desliza na superfície congelada de um lago, com aceleração constante produzida pelo 
vento. Em um determinado instante sua velocidade é ĵ8,42m/s) (-î(6,3m/s)v 

. Três segundos depois, 
devida a mudança do vento, o barco pára de imediato. Qual a sua aceleração média durante este intervalo 
de 3,0 s? 
 
 
 
jsmismaméd
ˆ)/8,2(ˆ)/1,2( 22 

 
 
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MOVIMENTO DE PROJÉTEIS 
 
 Um projétil é qualquer corpo lançado com uma velocidade inicial e que segue uma trajetória 
determinada exclusivamente pela aceleração da gravidade e pela resistência do ar. Uma bola de futebol 
chutada, um pacote largado de um avião são exemplos de projéteis. A curva descrita pelo projétil é a 
sua trajetória. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O movimento de um projétil ocorre em duas dimensões e podemos considerar que: 
desprezando a resistência do ar o movimento de um projétil é uma combinação de um 
movimento horizontal com velocidade constante e um movimento vertical com aceleração 
constante. Logo ax = 0 e ay = -g 
 O formato da trajetória é sempre uma parábola. 
 
Equações: 
 
 
 x0 = y0 =0 (as figuras acima mostram a trajetória de um projétil que começa na origem) 
 
 
 
 Horizontalmente o projétil exibe movimento de velocidade constante 
 
 
 (x = x0 + v0xt)  tvx )cos( 0  
 
 
 Verticalmente o projétil exibe o movimento com aceleração constante em 
resposta a força gravitacional terrestre; 
 (vy = v0y - gt) 
gtsenvvy  0 
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8 
 (y = y0+v0t -
2
1
gt
2
) 
2
0
2
1
)( gttsenvy  
 
 
 
 v
2
y = v
2
0y - 2 g ( y – y0) 
 
 
Exemplo 01: Uma bola de beisebol deixa o bastão do batedor com uma velocidade inicial de v0 = 37,0 
m/s com um ângulo inicial de  1,530 em um local onde g= 9,8 m/s
2
. a) Determine a posição da 
bola, para t= 2,0s? b) Calcule o tempo que a bola levar para atingir a altura máxima de sua trajetória e 
ache altura h desse ponto. c) Ache o alcance horizontal R, ou seja, a distância entre o ponto inicial e o 
ponto onde a bola atinge o solo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Uma pedra é catapultada para a direita com uma velocidade inicial de 20 m/s, num ângulo de 40° 
acima do solo. Calcule o seu deslocamento horizontal e vertical (a) 1,10s e (b) 1,80s depois do 
lançamento? 
R:(x: 16,9 m e 27,6 m) 
(y: 8,2 m e 7,3m) 
 
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93. Um projétil é lançado num ângulo de 37° com a horizontal e com velocidade de 200 m/s. Despreze a 
resistência do ar, calcule a altura máxima atingida pelo projétil e o alcance. 
R: (739,1 m;  3923 m) 
(utilizar quatro casas decimais para obter estas resposta) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Um filme publicitário, um ator corre pelo telhado de um prédio e salta, na horizontal, para o telhado 
de outro prédio mais abaixo, conforme mostrado na figura abaixo. Antes de tentar o salto, sabiamente 
quer avaliar se isto é possível. Ele pode realizar o salto se sua velocidade máxima sobre o telhado for 
de 4,5 m/s? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME 
 Uma partícula está em movimento circular uniforme se percorre um círculo ou um arco 
circular com velocidade constante. Embora o módulo da velocidade não varie, a partícula está 
acelerada. Pois v

é um vetor e não um escalar. Se v

 varia, mesmo que seja somente em direção, há 
uma aceleração, e este é o caso do movimento circular. 
 Logo esta partícula possui aceleração a

dirigida para o centro do circulo e perpendicular ao 
vetor velocidade v

 e seu módulo é dado pela seguinte equação: 
R
v
arad
2

 
Obs.: o índice inferior ‘rad’ utilizado é para lembrar que a direção da aceleração em cada ponto da 
trajetória é sempre orientada radialmente para o centro do circulo, em direção ao seu centro. 
 Como a aceleração é sempre orientada para dentro do círculo, ela é também chamada de 
aceleração centrípeta. 
 No movimento circular uniforme também podemos expressar a aceleração em termos do 
período T do movimento, ou seja o tempo que a partícula leva para fazer uma revolução (uma volta 
completa em torno do círculo). Portanto, num intervalo T, a partícula percorre uma distância de R2 , 
logo: 
T
R
v
2

 
Substituindo na equação anterior temos: 
2
24
T
R
a


 ( unidade: m/s
2
) 
Período, Freqüência e demais equações 
 
voltasn
t
T


 (período, unidade:segundos –s) 
 
t
voltasn
f


 (freqüência, unidade: Hz – Hertz- 1/s) 
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Logo: f
T
1

 e T
f
1

 
 
Velocidade: 
T
R
v
2

 ou Rfv 2 
Unidade: m/s 
Freqüência angular ou velocidade angular 
T


2

 ou f 2 
Unidade: rad/s 
Exemplo 01: Um determinado corpo descreve uma trajetória circular de raio 30 cm com uma 
velocidade de 360 RPM. Calcule: 
a) a velocidade escalar do corpo; 
b) a velocidade angular do corpo; 
c) o período do movimento do corpo; 
d) Sua aceleração centrípeta; 
 
 
 
 
 
 
R: (11,304m/s ; 37,68 rad/s; 0,166s; 425,93 m/s
2
) 
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Exemplo 02: Em um brinquedo num parque de diversões, os passageiros viajam com velocidade 
constante em um circulo de raio 5 m e percorrem a trajetória completa em 4s. Qual a aceleração deles? 
(R: 12,32 m/s
2
) 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 03: Um carro esportivo possui aceleração lateral máxima de 0,96 g. isso representa a 
aceleração centrípeta máxima sem que o carro deslize. Se o carro se desloca a uma velocidade 
constante de 40 m/s qual é o raio mínimo da curva que ele pode fazer sem derrapar? 
(R: 170m) 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 04: Um disco de 60 cm gira com uma determinada velocidade tal que efetua 120 voltas 
completas em 5 s. Calcule: 
a) A velocidade escalar de um ponto na borda do disco? 
b) A aceleração centrípeta deste ponto; 
 
 
(R: 90,432 m/s – 13641 m/s
2
)