Matemática II - AVAMEC 14

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01/11/2021 23:07 Matemática - Cálculo
https://avamec.mec.gov.br/#/instituicao/labtime/curso/8901/unidade/4815/acessar 1/36
MINICURSO 3 FUNÇÕES PRIMITIVAS
UNIDADE 4 REVISÃO E AUTOAVALIAÇÃO
Slide 4 de 4
Resolva as seguintes integrais:
Marque as alternativas que você considera verdadeiras (considerando e constantes):
 
 
 
 
 
 
 
I.       ∫ cos x dxsen x− −−−−√3
II.     ∫ sen(5β − π)dβ
III.   ∫ dxln x2
x
IV .    ∫ dy
−4y+4y2
V .     ∫ ( + dxecx e2cx)2
V I.    ∫ se (5y + 2)dyc2
V II.    ∫ da
a ln a
V III.   ∫ dθcos θ
3−sen θ
c k
A resposta do item é Va I ⋅ + c34 sen4
− −−−√3
F
A resposta do item é Vb II cos(5β − π) + c15
F
A resposta do item é Vc III + cln x4r
QUESTÃO 1 DE 10



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F
A resposta do item é Vd IV − + c1y−2
F
A resposta do item é Ve V [ + + ] + k1c 12 e2cx 23 e3cx 14 e4cx
F
A resposta do item é Vf V I  tg(5y + 2) + c15
F
A resposta do item é Vg V II ln|ln a| + c
F
A resposta do item é Vh V III −ln|3 − sen θ| + c
F
Resolução - Questão 1
Todas as integrais resolveremos pelo método da substituição…
Seja Logo, Substituindo na integral, temos:
I.   ∫  cos x dxsen x − −−−−√3
 u = sen x.    du = cos x dx.  
   ∫  cos x dx = ∫  dusen x − −−−−√3 u −−√3
 
 
 
= ∫  duu 13
=
   u +1
1
3
  + 1 13
=  
3
4
u
4
3





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Seja Logo, 
Observação: é constante.
Por fim,
Seja Isso implica que 
Ainda, seja Pela regra da cadeia, e , assim, 
Outra forma de escrever é 
Logo,
 =   + c
3
4
 u4
−−−√3
=   + c
3
4
se  x n4
− −−−−−√3
II.   ∫ sen(5β − π)dβ
 u = 5β − π.    du = 5 dβ   ⟹ = dβ
du
5
 π 
     ∫ sen(5β − π) dβ = ∫ sen(u)  du
5
 
 
 
 
= ∫ sen(u) du1
5
= ⋅ ( − cos(u)) + c
1
5
= − ⋅ cos(5β − π) + c
1
5
III.   ∫ dxln x
2
x
 u = .  x2   = 2x.  u′
 v = ln( ).  x2  v = ln(u)    = l (u) ⋅ :v′ n′ u′
= ⋅    ⟹    = ⋅ 2    ⟹    = 2 ⋅    ⟹    =v′
1
u
u′ v′
1
x 2
x v′
1
x
v′
2
1
x
  =  dx
dv
2
1
x
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Observe que 
Portanto, podemos escrever que
Seja Então, 
   ∫ dx = ∫ ln( ) ⋅  dx ln( ) x
2
x
x2
1
x
 
 
 
 
 
 
 
 
   = ∫ v ⋅ dv
2
   = ∫ v dv1
2
   = ⋅ + c
1
2
v2
2
   = + c
v2
4
   = + c
 ( ln( )   x2 )
2
4
IV.   ∫ dy
  − 4y + 4 y2
  − 4y + 4 = (y − 2 .y2 )2
∫ = ∫dy
− 4y + 4y2
dy
 (y − 2  )2
 
 
   = ∫  dy1
 (y − 2  )2
   = ∫ (y − 2  dy)−2
 u = y − 2.    du = dy :  
∫ (y − 2  dy = ∫ (u  du)−2 )−2
 
 
 
   = + c
   u−2+1
  − 2 + 1 
   = − + c
 1 
 u 
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Para resolver esse item, você deve saber das seguintes propriedades de potência/produto notável:
Agora, considere Como é constante, Ou seja, 
Assim,
Nessa parte, devemos nos lembrar que se então (que é o mesmo
que ). 
Portanto, sejam respectivamente: e 
Logo, e 
Substituindo em temos:
 
   = − + c
 1 
 y − 2 
V.   ∫ ( +  dxecx e2cx)
2
1.  ( =ab)c ab⋅c
2.   ⋅ =am an am+n
3.  (a + b = + 2ab +)2 a2 b2
 u = cx.    c   du = c dx.     = dx.
du
c
∫ ( +  dx = ∫ ( +  ecx e2cx)
2
eu e2u)
2 du
c
 
 
 
 
 
 
= ∫ ( +  du 1 
 c 
eu e2u)
2
= ∫ [ ( + 2 + (  ] du 1 
 c 
eu)2 eue2u e2u)2
= ∫ [  + 2 +  ] du 1 
 c 
e2u e3u e4u
= [  ∫    du + ∫ 2  du + ∫  du ]     (∗) 1 
 c 
e2u e3u e4u
 v = au,  a ∈ R,    dv = a da 
  = dadv
a
 r = 2u,  s = 3u   t = 4u.  
  = du;   = du 
dr
2
ds
3
  = du
dt
4
 (∗),  
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Seja Isso implica que ou seja, 
Portanto,
Seja Dessa forma, Por fim,
∫ ( +  dx = [  ∫    du + ∫ 2  du + ∫  du ]     (∗)ecx e2cx)
2  1 
 c 
e2u e3u e4u
 
 
 
 
 
 
= [  ∫    dr + ∫ 2  ds + ∫  dt ] 1 
 c 
   er
2
es
3
et
4
= [  + +  ] 1 
 c 
   er
2
es
3
et
4
= [  + +  ] 1 
 c 
   e2u
2
e3u
3
e4u
4
= [  + +  ] 1 
 c 
   e2cx
2
e3cx
3
e4cx
4
VI.   ∫ se (5y + 2) dyc2
 u = 5y + 2.    du = 5 dy,     = dy.
du
5
     ∫ se (5y + 2) dy = ∫ se (u) c2 c2 du
5
 
 
 
 
= ∫ se (u) du 1 
 5 
c2
=  tg(u) + c
 1 
 5 
=  tg(5y + 2) + c
 1 
 5 
VII.   ∫ da
a ln(a)
 u = ln(a).    du =  da.  
1
a
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Seja Assim, Por fim,
   ∫ = ∫ ⋅ ⋅ dada
 a ln(a) 
1
a
1
 ln(a) 
 
 
 
 
 
 
= ∫ ⋅ ⋅ da1
 ln(a) 
1
a
= ∫  du1
u
= ln| u | + c
= ln  ln(a)  + c∣∣ ∣∣
VIII.   ∫ dθcos θ
3 − sen θ
 u = 3 − sen(θ).    du = −cos(θ) dθ.  
     ∫  dθ = ∫ cos θ 
 3 − sen θ 
  − du 
u
 
 
 
 
= ∫ −  du 
u
= −ln| u | + c
= −ln| 3 − sen(θ) | + c
Resolva as seguintes integrais:
 
 
I.       ∫ x ln x dx
II.     ∫ x sen x dx
III.   ∫ x co x dxs2
QUESTÃO 2 DE 10
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Dica 1: 
Dica 2: 
Dica 3: 
A alternativa que apresenta a resposta correta para cada item é:
 
 
IV .    ∫ x se x dxn2
V .     ∫  cos(2x) dxe−x
cos(a + b) = cos a cos b − sen a sen b
cos(a + a) = cos (2a) = co a − se as2 n2
co a + se a = 1 ⇒ co a − 1 = −se as2 n2 s2 n2
a I.       ∫ x ln x dx = 2 (ln x − ) + cx2 12
II.     ∫ x sen x dx = x cos x − sen x + c
III.   ∫ x co x dx = − + + cs2 x sen(2x)2
x2
2
cos(2x)
4
IV .    ∫ x se x dx = + − + + cn2 x22
x sen(2x)
4
x2
4
cos(2x)
8
V .     ∫ cos(2x)dx = + ce−x − cos(2x)+2 sen(2x)e
−x e−x
4
b I.       ∫ x ln x dx = (ln x) + cx22
II.     ∫ x sen x dx = x cos x − sen x + c
III.   ∫ x co x dx = + − + + cs2 x2 x sen(2x)2
x2
2
cos(2x)
4
IV .    ∫ x se x dx = − − − + cn2 x22
x sen(2x)
4
x2
4
cos(2x)
8
V .     ∫  cos(2x) dx = + ce−x −  cos(2x)+2 sen(2x)e
−x e−x
5
c I.       ∫ x ln x dx = (ln x − ) + cx22 12
II.     ∫ x sen x dx = −x cos x + sen x + c
III.   ∫ x co x dx = + + ] + cs2
x2
4
x sen(2x)
4
cos(2x)
8
IV .    ∫ x se x dx = − − − + cn2 x22
x sen(2x)
4
x2
4
cos(2x)
8
V .     ∫ cos(2x)dx = + ce−x −  cos(2x)+2 sen(2x)e
−x e−x
5
d I.       ∫ x ln x dx = (ln x − ) + cx22 12
II.     ∫ x sen x dx = x cos x + sen x + c
III.   ∫ x co x dx = + − + ] + cs2 x2 x sen(2x)2
x2
2
cos(2x)
4

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IV .    ∫ x se x dx = + + + + cn2 x22
x sen(2x)
4
x2
4
cos(2x)
8
V .     ∫ cos(2x) dx = + ce−x −  cos(2x)+2 sen(2x)e
−x e−x
5
Nenhuma das alternativas anteriorese
Resolução - Questão 2
Vamos resolver esses itens por meio da técnica de integrais por partes. 
Lembre-se que quando temos uma função do tipo então
A função nós derivamos para descobrir enquanto que a função nós integramos para
descorbir 
Ainda, temos "uma ordem prioritária" ao escolher nossa função a saber:
Vamos aos itens...
Pela nossa "ordem prioritária", vamos escolher a função e Logo:
Pela técnica da integração por partes temos que:
 f(x) = u(x) ⋅ dv,  
∫ u ⋅ dv = u ⋅ v − ∫ v ⋅ du    (∗)
 u   du,    dv 
 v.
 u,  
I.   ∫ x ln x dx
 u = ln x   dv = x dx.  
∫ x ln x dx = ∫ ln(x) x dx = ∫ u ⋅ dv
 (∗),  
∫ x ln x dx = u ⋅ v − ∫ v ⋅ du
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Integrando por partes:
Cada uma dessas funções deve representar ou pois para utilizarmos a regra da integral por
partes, temos que ter uma função do tipo 
Pensando nisso e de acordo com nossas "funções prioridades" para a função escolheremos 
 e 
Dessa forma, pelo nosso esquema, temos:
   ∫ x ln x dx =   ⋅ ln x − ∫ ⋅  dxx
2
2
x 2
2
1
x
 
 
 
 
 
 
=  ln x− ∫ x dxx
2
2
1
2
=  ln x − ⋅
x2
2
1
2
x2
2
=  ln x −
x2
2
x2
4
= (ln x − ) + c
x2
2
1
2
II.   ∫ x sen x dx
 u   dv,  
 u ⋅ dv.  
 u,  
 u = x   dv = sen x dx :
∫ x sen x dx = ∫ u ⋅ dv = u ⋅ v − ∫ v ⋅ du
 
 
= x(−cos x) − ∫ (−cos x) dx
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Pelas dicas dadas no enunciado, podemos concluir que
Dessa forma,
 
 
= −x cos(x) + ∫ cos(x) dx
= −x cos(x) + sen(x) + c
III.   ∫ x co x dxs2
Por 2:   cos(2a) = co (a) − se (a)   ⟹   cos(2a) − co (a) = −se (a)s2 n2 s2 n2
Por 3:   co (a) − 1 = −se (a)s2 n2
Por 2 e 3:    − se (a) = −se (a)n2 n2
 
 
 
 
 
 
cos(2a) − co (a) = co (a) − 1s2 s2
 cos(2a) + 1 = co (a) + co (a)s2 s2
 cos(2a) + 1 = 2 ⋅ co (a)s2
  = co (a)
cos(2a) + 1
2
s2
∫ x co x dx = ∫ x (   ) dxs2 cos(2x) + 1
2
 
 
 
= ∫ x ( 1 + cos(2x) ) dx1
2
= ∫ [ x + x cos(2x) ] dx1
2
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Vamos resolver essas duas integrais separadamente...
Em usamos a mesma técnica para resolver substituindo por uma outra variável. 
Voltando à 
 
= [  ∫ x dx  +   ∫ x cos(2x) dx]    (∗∗)1
2
 
 
∫ x dx = x
2
2
∫ x cos(2x) dx
Seja e Assim, e . u = x   dv = cos(2x) dx.    du = dx   v = ∫ dv
 v = ∫ cos(2x) dx
Seja Logo, ou seja, . 
 
 
 
Portanto, 
 
Ainda, 
 
 
 
 
 
 a = 2x.    da = 2 dx,     = dx
da
2
∫ cos(2x) dx = ∫ cos(a)  = sen(a) = sen(2x)da
2
1
2
1
2
 v = sen(2x)
1
2
    ∫ u ⋅ dv = u ⋅ v − ∫ v ⋅ du
∫ x cos(2x) dx = x  sen(2x) − ∫ sen(2x) dx1
2
1
2
∫ x cos(2x) dx = x  sen(2x) − ( − cos(2x))    (∗ ∗ ∗)1
2
1
4
∫ x cos(2x) dx = + x sen(2x) 
2
 cos(2x) 
4
 (∗ ∗ ∗),    ∫ sen(2x) dx :  
1
2
 2x 
  (∗∗) :
∫ x co x dx = [  ∫ x dx  +   ∫ x cos(2x) dx]    (∗∗)s2 1
2
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Usando as dicas, você pode chegar à conclusão (assim como no item anterior) que: 
 
Assim,
Seja e 
Portanto,
 
 
= [    +   + ]1
2
x2
2
 x sen(2x) 
2
 cos(2x) 
4
= + +
x2
4
 x sen(2x) 
4
 cos(2x) 
8
IV.   ∫ x se x dxn2
 se (a) = .n2
 1 − cos(2a) 
2
∫ x se  x dx = ∫ x( ) dxn2  1 − cos(2x) 
2
= ∫ x[ 1 − cos(2x) ] dx1
2
 u = x   dv = 1 − cos(2x) dx
∫ u ⋅ dv = u ⋅ v − ∫ v ⋅ du
∫ x se  x dx = ∫ x[ 1 − cos(2x) ]n2 1
2
 = [ x(x −  sen(2x) ) − ∫ x  −  sen(2x) dx ]1
2
1
2
1
2
= [  −   −   ∫ x dx  + ∫ sen(2x) dx ]1
2
x2
 x sen(2x) 
2
1
2
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Seja e 
Então:
Seja agora e 
Portanto,
 
= [  −   −   + (   cos(2x) ) ]1
2
x2
 x sen(2x) 
2
x2
2
1
2
−1
2
= [  −   −   −  cos(2x) ]1
2
x2
 x sen(2x) 
2
x2
2
1
4
= − − − + c
x2
2
 x sen(2x) 
4
x2
4
 cos(2x) 
8
V.   ∫  cos(2x) dxe−x
 u = cos(2x)   dv =  dxe−x
 
 
 
∫ u ⋅ dv = u ⋅ v − ∫ v ⋅ du
  ∫  cos(2x) dx = −  cos(2x) − ∫ −  (  − 2sen(2x) ) dxe−x e−x e−x
  ∫  cos(2x) dx = −  cos(2x) − ∫  2sen(2x) dx     (∗)e−x e−x e−x
  = 2sen(2x) u1  d =  dx :v1 e−x
 
∫  2sen(2x) dx = −2 sen(2x) − ∫ ( − ) ⋅ 4cos(2x) dxe−x e−x e−x
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Voltando à 
∫  2sen(2x) dx = −2 sen(2x) + 4 ∫  cos(2x) dxe−x e−x e−x
 (∗),
 
 
 
 
 
 
  ∫  cos(2x) dx = −  cos(2x) − ∫  2sen(2x) dx     (∗)e−x e−x e−x
  ∫  cos(2x) dx = −  cos(2x) − [ − 2 sen(2x) + 4 ∫  cos(2x) dx]e−x e−x e−x e−x
  ∫  cos(2x) dx = −  cos(2x) + 2 sen(2x) − 4 ∫  cos(2x) dxe−x e−x e−x e−x
  ∫  cos(2x) dx + 4 ∫  cos(2x) dx = −  cos(2x) + 2 sen(2x)e−x e−x e−x e−x
 5 ∫  cos(2x) dx = −  cos(2x) + 2 sen(2x)e−x e−x e−x
∫  cos(2x) dx = + ce−x −  cos(2x) + 2 sen(2x)e
−x e−x
5
Uma função tem derivada de segunda ordem . O gráfico da função contém os
pontos ( , ) e ( , ) e, além disso, a reta tangente a no ponto ( , ) tem equação 
. Sabendo essas informações, encontre:
 A lei de formação da função ;
 A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto ( , ).
A alternativa que representa corretamente as respostas para I e II é:
(x) = 36 + 4f ′′ x2 f(x)
1 7 −1 5 f(x) 1 7
−17x + y + 10 = 0
I.       f(x)
II.     f(x) −1 5
a I.      f(x) = 3 + 2x4 x2
II.    y = 16x + 21
b I.      f(x) = 12 + 4xx3
QUESTÃO 3 DE 10
01/11/2021 23:07 Matemática - Cálculo
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II.    y = −16x − 21
c I.      f(x) = 12 + 4x + 1x3
II.    y = 5(3x − 2)
d I.      f(x) = 3 + 2 + x + 1x4 x2
II.    y = −5(3x + 2)
Nenhuma das alternativas anteriorese
Resolução - Questão 3
Para descobrir a função precisamos integrar as funções até chegar na primeira. Ou seja,
Além disso, é dado pelo enunciado que a reta tangente a no ponto tem equação 
. Ou seja, a equação é que representa uma reta com
coeficiente angular - taxa de variação - igual a Isso quer dizer que nesse ponto, a derivada é
igual a 
Outra informação é que se os pontos e pertencem ao gráfico de então 
 e 
Encontrando as função 
 f(x),  
f(x) = ∫ (x) dxf ′
(x) = ∫ (x) dxf ′ f ′′
 f(x)   (1, 7) 
  − 17x + y + 10 = 0  y = 17x − 10,  
 17.
 17 :   (1) = 17.f ′
 (1, 7)   (−1, 5)   f(x),  
 f(1) = 7   f(−1) = 5.
  (x) …f ′
 
 
 
(x) = ∫ (x) dxf ′ f ′′
(x) = ∫ [ 36 + 4 ] dxf ′ x2
(x) = + 4x + kf ′
36x3
3
(x) = 12 + 4x + kf ′ x3

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Encontrando as função 
Substituindo a informação que em 
Agora que já sabemos o valor de podemos descobrir o valor de - lembrando que :
 f(x) …
 
 
 
f(x) = ∫ (x) dxf ′
f(x) = ∫ [ 12 + 4x + k ] dxx3
f(x) = + + kx + c
12x4
4
4x2
2
f(x) = 3 + 2 + kx + cx4 x2
  (1) = 17,  f ′   (x) :f ′
 
 
 
 
(x) = 12 + 4x + kf ′ x3
(1) = 12 ⋅ + 4 ⋅ 1 + kf ′ 13
17 = 12 + 4 + k
17 − 16 = k
1 = k
 k,    c   f(1) = 7
 
 
 
 
 
f(x) = 3 + 2 + kx + cx4 x2
f(x) = 3 + 2 + x + cx4 x2
f(1) = 3 ⋅ + 2 ⋅ + 1 + c14 12
7 = 3 + 2 + 1 + c
7 − 6 = c
1 = c
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Agora sabemos a lei da função: 
Vamos descobrir a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto … 
A derivada da função - taxa de variação da reta tangente - nesse ponto será :
Substituiremos esse valor na equação geral da reta onde é um
ponto dado pertencente à reta, enquanto que é a taxa de variação:
Portanto, a equação da reta tangente ao gráfico no ponto é .
 f(x) = 3 + 2 + x + 1x4 x2
 f(x)   (−1, 5)
  (−1)f ′
 
 
 
(x) = 12 + 4x + kf ′ x3
(x) = 12 + 4x + 1f ′ x3
(−1) = 12(−1 + 4(−1) + 1f ′ )3
(−1) = −15f ′
 y − = m(x − ),  y0 x0  ( , ) x0 y0
 m 
 
 
 
 
y − = m(x − )y0 x0
y − 5 = −15(x − (−1))
y = −15(x + 1) + 5
y = −15x − 15 + 5
y = −15x − 10
 f(x)   (−1, 5)   y = −15x − 10
Qual a área entre as funções e f(x) = x−−√ g(x) = x2
a π
2
QUESTÃO 4 DE 10
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b 1
3
c 3
10
d − 3
10
e 3
Resolução - Questão 4
Precisamos primeiramente, encontrar os pontos de intersecção entre as duas funções 
 ou seja, os pontos em que suas imagens são iguais:
Essa equação é verdadeira quando e/ou ou seja, quando 
Portanto, os pontos que as funções se encontram é onde a coordenada vale ou O
intervalo de integração é 
( f(x) = ;  g(x) = ),  x −−√ x2
 
 
 
 
 
f(x) = g(x)
=x −−√ x2
(   = (x −−√ )
2
x2)2
x = x4
0 = − xx4
0 = x( − 1)x3
 x = 0   ( − 1) = 0,  x3   = 1. x3
 x   0   1.  
 [0, 1] :

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Observe ainda, que nesse intervalo, a funçãoestá por cima da função 
Assim, a área será dada por:
 f(x) =  x −−√  g(x) = .  x2
[  − ] dx = [  − ] dx∫
1
0
x −−√ x2 ∫
1
0
x
1
2 x2
 
 
 
 
 
 
 
 
= [  −     x
+11
2
  + 1 12
x3
3
]
1
0
= [  −  2
3
 x3
−−−√
x3
3
]
1
0
= ( − ) − (  − )2
3
 13
−−−√ 1
3
2
3
 03
−−−√ 0
3
= −
2
3
1
3
=
1
3
QUESTÃO 5 DE 10
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Qual a área entre as funções e ? Considere h(x) = sen(3x) p(x) = 0 0 ≤ x ≤ π3
a 2
3
b π
4
c 1
3
d 3π
2
e − 1
3
Resolução - Questão 5
O exercício já nos forneceu os intervalos de integração a saber, . Por isso vamos
analisar os gráficos das funções e (essa função é constante, ou seja,
independente do valor de será igual a zero):
(   = 1, 047)π3
 h(x) = sen(3x)   p(x) = 0 
 x,  y 

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Dessa forma, a área será:
Seja Assim, ou seja, 
Dessa forma, quando então Já quando então 
 
Isso significa que nosso intervalo será de à 
A = sen(3x) dx∫
π
3
0
 u = 3x.    du = 3 dx,     = dx
du
3
 x = 0,    u = 3 ⋅ 0 = 0.   x = ,  π3
 u = 3 ⋅ = π.  π3
 0   π :
 
 
 
 
 
 
A = sen(3x) dx∫
π
3
0
A = sen(u) ∫
π
0
du
3
A = sen(u) du
1
3
∫
π
0
A = − [ cos(u) 
1
3
]π
0
A = − [ cos(π) − cos(0) ]
1
3
A = − [  − 1 − (1) ]
1
3
A =
2
3
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada por , e em torno
do eixo .
y = x3 y = 8 x = 0
y
a V = π
4
b V = 9π
5
QUESTÃO 6 DE 10
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c V = 93π
2
d V = 0
Nenhuma das alternativas anteriorese
Resolução - Questão 6
Vamos encontrar o intervalo de integração - os pontos em as funções são iguais… 
Seja e Assim, quando: 
Ora, sabemos que Assim, quando 
Ainda, a reta é o eixo 
Como a superfície será rotacionada em torno do eixo precisamos colocar todas as funções de tal
forma que seja a variável:
Podemos construir o gráfico:
 f(x) =  x3  g(x) = 8.   f(x) = g(x)    = 8x3
  = 8. 23  f(x) = g(x)   x = 2. 
 x = 0   y.
 y,  
 y 
 y = x3
= xy −−√3

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O sólido gerado pela rotação é:
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Portanto, o seu volume será:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V = π[ R(y)   dy∫
d
c
]
2
V = π[     dy∫
8
0
y −−√3 ]
2
V = π[     dy∫
8
0
y
1
3 ]
2
V = π  dy∫
8
0
y
2
3
V = π[    y
+12
3
  + 1 2
3
]
8
0
V = π ⋅ [3
5
 y5
−−−√3 ]
8
0
V = π ⋅ [  −  ]3
5
 85
−−−√3  05
−−−√3
V = π ⋅ ⋅
3
5
(  23 )5
− −−−−
√3
V = π ⋅ ⋅
3
5
 215
−−−√3
V = π ⋅ ⋅
3
5
2
15
3
V = π ⋅ ⋅
3
5
25
V = π ⋅ ⋅ 32 =
3
5
 96π 
5
A região , delimitada pelas curvas e , é girada ao redor do eixo . Qual é o volume do sólido
resultante?
R y = x y = x2 x
a V = 2π
15
QUESTÃO 7 DE 10

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b V = π
5
c V = π
3
d V = π
5
Resolução - Questão 7
Primeiramente vamos encontrar os pontos de interseção entre as funções e 
 para assim, determinar o intervalo de integração… 
 quando:
Essa igualdade é verdadeira quando ou quando Portanto, nosso intervalo de
integração será de a 
Vamos desenhar o gráfico:
 f(x) = x 
 g(x) = ,  x2
f(x) =  g(x) 
 
 
x = x2
0 = − xx2
0 = x(x − 1)
 x = 0   x = 1. 
 0   1.
01/11/2021 23:07 Matemática - Cálculo
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Ao rotacionar essa região - em torno do eixo - serão formadas arruelas. Por isso, vamos utilizar a
seguinte fórmula do volume:
Portanto, o volume será:
 x 
V = π ([R(x) − [r(x) ) dx∫
b
a
]
2
]
2
 é o raio externo - que está "mais distante" do eixo de rotação. Assim, R(x)   R(x) = x.  
 é o raio interno - que está "mais próximo" do eixo de rotação. Assim, r(x)   r(x) = .  x2
 
 
 
 
 
V = π ([x − [ ) dx∫
0
1
]2 x2]
2
V = π ( − ) dx∫
0
1
x2 x4
V = π[ −x
3
3
x5
5
]
0
1
V = π[  −   −  ( − ) ]1
3
3
15
5
03
3
05
5
V = π[  − ]1
3
1
5
V = π[  − ] 1 ⋅ 5 
 3 ⋅ 5 
 1 ⋅ 3 
 5 ⋅ 3 
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 V = π[  − ]5
15
3
15
V =
2π
15
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região da questão anterior em torno da reta .R y = 2
a V = 5π
3
b V = 8π
15
c V = π
3
d V = − 22π
15
Resolução - Questão 8
O intervalo de integração é dado pelos pontos onde as duas funções e 
são iguais. Ou seja, quando
 (f(x) = x   g(x) = ) x2
 
 
x = x2
0 = − xx2
0 = x(x − 1)
QUESTÃO 8 DE 10

01/11/2021 23:07 Matemática - Cálculo
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Observe que agora o sólido será diferente, já que mudou o eixo de rotação:
Dessa forma, as arruelas também terão formas diferentes:
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Podemos então calcular o volume:
 é o raio externo - que está "mais distante" do eixo de rotação. Assim, R(x)   R(x) = 2 − .  x2
 é o raio interno - que está "mais próximo" do eixo de rotação. Assim, r(x)   r(x) = 2 − x.  
 
 
 
 
 
 
V = π ([R(x) − [r(x) ) dx∫
b
a
]
2
]
2
V = π ([2 − − [2 − x ) dx∫
1
0
x2]2 ]
2
V = π ([4 − 4 + ] − [4 − 4x + ]) dx∫
1
0
x2 x4 x2
V = π [4 − 4 + − 4 + 4x − ] dx∫
1
0
x2 x4 x2
V = π [ − 5 + + 4x] dx∫
1
0
x2 x4
V = π[ − 5 ⋅ + + 4 ⋅x
3
3
x5
5
x2
2
]
1
0
01/11/2021 23:07 Matemática - Cálculo
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V = π[ − 5 ⋅ + + 2x
3
3
x5
5
x2]
1
0
V = π[ − 5 ⋅ + + 2 ⋅ − ( − 5 ⋅ + + 2 ⋅ )]1
3
3
15
5
12
03
3
05
5
02
V = π[ − + + 2 − 0]5
3
1
5
V = π[ − + + 2 ⋅  ] 5 ⋅ 5 
 3 ⋅ 5 
 1 ⋅ 3 
 5 ⋅ 3 
15
15
V = π[ − + + ]25
15
3
15
30
15
V =
8π
15
Determine o volume do sólido formado pela rotação, em torno do eixo , da região delimitada pelo gráfico de 
 e pelo eixo .
x
f(x) = − + xx2 x
a V = 2π
b V = 0
c V = π
30
d V = π
2
Resolução- Questão 9
QUESTÃO 9 DE 10

01/11/2021 23:07 Matemática - Cálculo
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Como só temos uma função e o eixo de rotação, vamos descobrir o intervalo de integração que é
determinado pelas raízes de ou seja, onde essa função corta o eixo (onde 
):
Podemos ver que as raízes são e (que zera ). Portanto, nosso intervalo de
integração é de a Veja no gráfico abaixo:
Agora veja como é o sólido de revolução:
Dessa forma, o volume será dado por:
 f(x) = − + x,  x2  x 
 y = 0 
 
 
f(x) = − + xx2
0 = − + xx2
0 = x(1 − x)
 x = 0   x = 1   1 − x 
 0   1. 
 V = π[R(x)  dx∫
b
a
]
2
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V = π [R(x)  dx∫
b
a
]
2
V = π [  − + x   dx∫
1
0
x2 ]
2
V = π [ ( − + 2( − )x + (x  ] dx∫
1
0
x2)2 x2 )2
V = π [  − 2 +  ] dx∫
1
0
x4 x3 x2
V = π[  − 2 +  x
5
5
x4
4
x3
3
]
1
0
V = π[  − +  x
5
5
x4
2
x3
3
]
1
0
V = π[  − +   −  ( − + ) ]1
5
5
14
2
13
3
05
5
04
2
03
3
V = π[  − +   − 0 ]1
5
1
2
1
3
V = π[  − +  ] 1 ⋅ 2 ⋅ 3 
 5 ⋅ 2 ⋅ 3 
 1 ⋅ 5 ⋅ 3 
 2 ⋅ 5 ⋅ 3 
 1 ⋅ 5 ⋅ 2 
 3 ⋅ 5 ⋅ 2 
V = π[  − +  ]6
30
15
30
10
30
V =
π
30
Calcule o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo , da região delimitada pelos gráficos de 
 e .
x
g(x) = 25 − x2
− −−−−−√ h(x) = 3
QUESTÃO 10 DE 10
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a V = 2π
3
b V = π
3
c V = 0
d V = 256π
3
Nenhuma das alternativas anteriorese
Resolução - Questão 10
Primeiramente vamos encontrar os pontos em que as duas funções e
 se interceptam, ou seja, os pontos que elas são iguais. Esses pontos definirão nosso
intervalo de integração:
Dessa forma, nosso intervalo de integração é de até 
 (g(x) =  25 −  x2− −−−−−−√
 h(x) = 3) 
 
 
 
 
 
 
 
g(x) = f(x) =
= 325 −  x2
− −−−−−−√
(    =25 −  x2− −−−−−−√ )
2
32
25 − = 9x2
25 − 9 = x2
16 = x2
± = x16 
−−−√
±4 = x
  − 4   4 :

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Veja que o raio exterior - que está "mais distante" do eixo de rotação nesse intervalo - é 
 Por consequência, o raio interior é o que está "mais próximo" ao eixo de
rotação nesse intervalo, que é Portanto, temos:
 g(x) = .  25 −  x2
− −−−−−−√
 h(x) = 3. 
R(x) = 25 −  x2
− −−−−−−√
r(x) = 3
 
 
 
 
 
 
 
V = π ([R(x) − [r(x) ) dx∫
b
a
]
2
]
2
V = π ([    − [3 ) dx∫
4
−4
25 −  x2
− −−−−−−√ ]2 ]
2
V = π (25 − − 9) dx∫
4
−4
x2
V = π (16 − ) dx∫
4
−4
x2
V = π[16x − x
3
3
]
4
−4
V = π[ 16 ⋅ 4 − − (16 ⋅ (−4) − ) ]4
3
3
(−4)3
3
V = π[ 64 − − ( − 64 − ) ]64
3
(−64)
3
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Respondidas 10 de 10 questões.
SLIDE 4 DE 4
ANTERIOR
IR PARA O SLIDE:
1 2 3 4
 
 
 
V = π[ 64 − + 64 −  ]64
3
(64)
3
V = π[ 128 −  ]128
3
V = π[  −  ]384
3
128
3
V =
256π
3
 REFAZER ATIVIDADE

PRÓXIMO 
REALIZAÇÃO E PRODUÇÃO:
https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m3/uni4/slide3.html
https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m3/uni4/slide1.html
https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m3/uni4/slide2.html
https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m3/uni4/slide3.html
https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m3/uni4/slide4.html
https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m3/uni4/slide4.html
http://www.labtime.ufg.br/
http://www.ufg.br/
https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m3/uni4/index.html