Aula_10_A&C_Modelagem Matemática de um Sistema Mecânico

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Modelagem Matemática de 
um Sistema Mecânico
Automação e Controle 1
Prof. MSc. José Fábio Abreu de Andrade
Automação e Controle 2
Introdução
Ferramenta Matemática de Controle
Transformada de Laplace
Expansão em Frações 
Parciais
Transformada Inversa de 
Laplace Método da Derivada
Resolução de EDO
Modelagem Matemática 
de Sistemas Dinâmicos
Função de TransferênciaControle
Automação e Controle 3
Elementos de um Sistema Mecânico
➢ INTRODUÇÃO:
Um sistema mecânico é composto por massas, molas e
amortecedores, conectados entre si, ou a uma estrutura fixa. O sistema
mecânico mais simples, com apenas um grau de liberdade, também
denominado sistema padrão, é composto de apenas uma massa, uma
mola e um amortecedor. Tal sistema servirá de modelo, daqui por
diante, para a dedução da equação diferencial do movimento de sistemas
com apenas um grau de liberdade. A seguir, vamos estudar cada um dos
componentes básicos de um sistema mecânico.
Automação e Controle 4
Elementos de um Sistema Mecânico
➢ Massa:
No nosso sistema padrão a massa (ou a inércia dessa massa, no caso
de movimento torcional) é considerada como um corpo rígido, podendo
ganhar ou perder energia cinética conforme sua velocidade aumente ou
diminua. Os problemas que normalmente surgem são:
1. Existem várias massas no sistema e há necessidade de se encontrar
uma massa equivalente, de modo a se obter o sistema padrão, com
apenas uma massa;
2. Existem vários eixos ligados entre si por engrenagens, correias ou
correntes, etc., e há necessidade de reduzir o sistema original a um
sistema padrão, constando de apenas um eixo de rigidez,
amortecimento e inércia equivalente, isto é, há necessidade de
transferir rigidezes, amortecimentos e inércias de um eixo para outro.
Automação e Controle 5
Elementos de um Sistema Mecânico
➢ Mola:
Entende-se por mola uma peça que possui flexibilidade elástica
relativamente alta, isto é, que apresenta grandes deformações quando
solicitada. A rigor, no entanto, todas as peças possuem alguma
flexibilidade, já que não existe o corpo totalmente rígido. A mola opõe-
se à força que a ela está aplicada, armazenando energia potencial
elástica.
Uma mola é dita linear quando as deformações que apresenta são
diretamente proporcionais às cargas a que ela é submetida, ou seja,
quando ela obedece à Lei de Hooke (o que equivale a dizer que ela
obedece ao Princípio da Superposição dos Efeitos).
Automação e Controle 6
Elementos de um Sistema Mecânico
➢ Mola:
Rigidez: A inclinação da curva F = F(x) em um determinado ponto
recebe o nome de rigidez da mola:
onde α é o ângulo que a tangente geométrica no ponto faz com o eixo
das abcissas. No caso particular de mola linear, a inclinação α é
constante e é usual chamar a rigidez, então, de constante da mola:
Automação e Controle 7
Elementos de um Sistema Mecânico
➢ Mola:
Associações de Molas: É muito comum, na prática, encontrarmos
duas ou mais molas associadas em um mecanismo. A fim de obter o
sistema mecânico padrão, no qual existe apenas uma mola, há
necessidade de encontrar uma mola fictícia cuja rigidez seja equivalente
à da associação dada.
Associação em Série: F = F1 = F2
x = x1 + x2
Automação e Controle 8
Elementos de um Sistema Mecânico
➢ Mola:
Associação em Série: Desejamos encontrar a rigidez equivalente k.
Pelo Princípio da Superposição dos Efeitos, temos:
➢ Mola:
Associação em Paralelo: duas molas de rigidezes conhecidas, k1 e
k2, solicitadas por uma força de tração F, aplicada paralela e
eqüidistantemente das molas. Consideremos a existência de restrições
laterais que obriguem as molas a se distenderem igualmente e que não
permitam a rotação da barra sem massa sobre a qual atua a força F,
assegurando ao sistema apenas um grau de liberdade.
F = F1 + F2
x = x1 = x2
Automação e Controle 9
Elementos de um Sistema Mecânico
➢ Mola:
Associação em Paralelo:
Automação e Controle 10
Elementos de um Sistema Mecânico
➢ Mola:
Exemplo de Associação de Molas:
Automação e Controle 11
Elementos de um Sistema Mecânico
➢Amortecedor:
Chama-se amortecimento o processo pelo qual a energia é retirada do
sistema elástico. A energia é consumida por atrito entre as peças móveis
do sistema e/ou pelo atrito interno entre as moléculas das peças do
sistema, havendo uma dissipação de energia mecânica sob forma de
calor e/ou som. Um amortecedor, pois, é o componente do sistema
mecânico que dissipa energia mecânica do mesmo, assim como o
resistor é o componente do sistema elétrico que dissipa energia elétrica
do mesmo. Na modelagem consideramos que o amortecedor não tem
nem massa e nem rigidez.
Automação e Controle 12
Elementos de um Sistema Mecânico
➢Amortecedor:
Amortecimento viscoso: É o que mais ocorre na prática da
Engenharia. Ele resulta do atrito viscoso, isto é, aquele que acontece
entre um sólido (uma peça) e um fluido viscoso (um óleo lubrificante,
por exemplo) interposto entre as peças móveis do sistema mecânico.
Assim, o atrito que ocorre entre um eixo e o seu mancal de
deslizamento, quando há lubrificação, é um atrito viscoso.
A força de atrito viscoso (ou resistência viscosa) é diretamente
proporcional à velocidade relativa entre sólido e fluido.
Matematicamente, a resistência viscosa, Fv, é dada por:
Automação e Controle 13
Elementos de um Sistema Mecânico
➢Amortecedor:
Amortecimento seco: Também denominado amortecimento
constante ou de Coulomb. É o que ocorre quando o atrito é seco, isto
é, quando atritam entre si dois sólidos sem lubrificação.
Matematicamente, a força de atrito seco (também denominada força de
Coulomb), Fd, é dada por:
onde μ é o coeficiente de atrito dinâmico entre as superfícies em
contato e N é a força normal entre as superfícies. Obviamente, μ é
adimensional. Conforme podemos verificar facilmente, a força de atrito
é constante, daí o nome de amortecimento constante.
Automação e Controle 14
Elementos de um Sistema Mecânico
➢Amortecedor:
Amortecimento estrutural (ou histerético): É o que ocorre pelo
atrito interno entre moléculas quando o sólido é deformado, fazendo
com que a energia seja dissipada pelo material. A medida do
amortecimento estrutural é dada pela amplitude da tensão reinante
durante a deformação. Como exemplo de amortecimento estrutural
pode-se citar o que acontece na estrutura de uma prensa mecânica logo
após a pancada do martelo: parte da energia é consumida pelo atrito
intermolecular na estrutura da máquina.
Automação e Controle 15
Elementos de um Sistema Mecânico
➢Amortecedor:
Associações de Amortecedores: Do mesmo modo que as molas,
também os amortecedores podem estar dispostos em série, em paralelo,
articulados ou inclinados. Podemos demonstrar, de maneira semelhante
à que foi feita para as molas, que os coeficientes de amortecimento
viscoso equivalentes são dados por fórmulas análogas às das rigidezes
equivalentes das molas, isto é:
Associação em série:
Associação em paralelo:
Automação e Controle 16
Elementos de um Sistema Mecânico
Automação e Controle 17
Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
➢ INTRODUÇÃO:
A Dinâmica de muitos sistemas, sejam eles mecânicos, elétricos,
térmicos, biológicos etc., pode ser descrita em termos de equações
diferenciais. Tais equações diferenciais podem ser obtidas
utilizando as leis físicas que governam um sistema em particular,
como por exemplo as leis de Newton para sistemas mecânicos, as
leis de Kirchhoff para sistemas elétricos. Deve-se sempre ter em
mente que a obtenção de um modelo matemático razoável é a
parte mais importante de toda a análise.
Automação e Controle 18
Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
➢ SISTEMAS LINEARES:
Um sistema é chamado linear se a ele se aplica o princípio da
superposição. O princípio da superposição estabelece que a
resposta produzida pela aplicação simultânea de duas excitações
diferentes é igual à soma das duas respostas individuais a cada
uma das excitações. Como resultado, para sistemaslineares, a
resposta para várias entradas pode ser calculada considerando-se
uma única entrada de cada vez e adicionando-se os resultados.
Automação e Controle 19
Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
➢ SISTEMAS NÃO-LINEARES:
Um sistema é não linear se à ele não se aplica o princípio da
superposição. Assim, nos sistemas não-lineares a resposta á duas
entradas não pode ser calculada tratando-se uma entrada de cada
vez e adicionando-se os resultados. Exemplo:
0)1(
2
2
2
2
2
2
=+−+
=+





+
x
dt
dx
x
dt
xd
Asenxx
dt
dx
dt
xd
Automação e Controle 20
Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
➢ SISTEMAS NÃO-LINEARES:
Embora muitas relações físicas sejam representadas por
equações lineares, na maioria dos casos as relações reais não são
exatamente lineares.
Automação e Controle 21
Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
➢ Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos 
Translacionais pela Mecânica Newtoniana:
Objetivo: obter o modelo matemático de sistemas mecânicos
translacionais, a partir da aplicação da 2a Lei de Newton. Inicialmente,
apresentaremos as equações constitutivas de cada um dos elementos que
compõem o sistema mecânico e, após, mostraremos como tais equações
são inseridas na EDO que descreve o modelo matemático do sistema.
Automação e Controle 22
Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Sistemas Mecânicos de Translação
Automação e Controle 23
Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Sistema Mecânico de Translação Massa – Mola –Atrito Viscoso
Automação e Controle 24
Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Diagrama de Corpo Livre para o sistema 
Massa – Mola –Atrito Viscoso
Automação e Controle 25
Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Sistema Mecânico de Translação Massa – Mola –Atrito Viscoso
)(.
1
)(..
2
2
tf
m
tx
m
k
dt
dx
m
c
dt
xd v 





=





+





+
=++ )()(...
2
2
tftxk
dt
dx
c
dt
xd
m v
Automação e Controle 26
Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Sistema Mecânico de Translação Massa – Mola
)(.
1
)(.
2
2
tf
m
tx
m
k
dt
xd






=





+
=+ )()(..
2
2
tftxk
dt
xd
m
Automação e Controle 27
Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
➢ OUTROS EXEMPLOS:
Seja o sistema massa-mola-amortecedor viscoso montado sobre
uma carreta sem massa, conforme mostra a figura abaixo.
Automação e Controle 28
Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
A equação acima é um modelo matemático do sistema
considerado.
)(..)(..
2
2
tu
m
k
dt
du
m
b
ty
m
k
dt
dy
m
b
dt
yd






+





=





+





+
)(
2
2
uyk
dt
du
dt
dy
b
dt
yd
m −−





−−=
Automação e Controle 29
Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
➢ CIRCUITO ELÉTRICO RLC: 
Seja o circuito indicado na figura abaixo:
Automação e Controle 30
Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Aplicando-se as leis de Kirchoff ao sistema, obtêm-se as
seguintes equações
Que é o modelo matemático que representa a dinâmica do
circuito.


=
=++
0
1
1
eidt
C
eidt
C
Ri
dt
di
L i
Automação e Controle 31
Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
➢ SISTEMAS DE NÍVEL DE LÍQUIDO: 
Seja o sistema mostrado na figura abaixo:
Automação e Controle 32
Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
= valor da vazão em regime estacionário (antes da 
ocorrência de qualquer variação), m3/s
qi = pequeno desvio da vazão de entrada em relação a seu
valor de regime estacionário, m3/s
q0 = pequeno desvio vazão de saída em relação a seu valor de
regime estacionário, m3/s
= altura do nível em regime estacionário (antes da
ocorrência de qualquer variação)
h = pequeno desvio na altura do nível em relação a seu valor
em regime estacionário, m
Q
H
Automação e Controle 33
Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Em mecânica dos fluidos, um sistema pode ser considerado linear
se o fluxo for linear. Baseado na hipótese de que o fluxo seja
linear, ou linearizado, a equação diferencial deste sistema pode ser
obtido como segue.
Uma vez que a vazão de entrada menos a vazão de saída, durante
um pequeno intervalo dt, é igual à quantidade adicional
armazenada no reservatório, constata-se que:
Cdh=(qi-q0)dt
Automação e Controle 34
Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Considerando-se a definição de resistência, a relação entre q0 e
h é dada por:
q0= h/R
A equação diferencial para este sistema para um valor
constante de R é a seguinte
iRqh
dt
dh
RC =+
Automação e Controle 35
Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Automação e Controle 36
Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
A Figura (a) mostra o diagrama esquemático de um sistema
de suspensão de automóvel. À medida que o carro se desloca
ao longo da estrada, os deslocamentos verticais dos pneus
agem como sinais de excitação do sistema de suspensão do
automóvel. O movimento deste sistema é composto de uma
translação do centro de massa e de uma rotação em tomo do
centro de massa. A modelagem matemática do sistema
completo é bastante complicada.
Automação e Controle 37
Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Uma versão bastante simplificada do sistema de suspensão
é mostrada na Figura (b). Admitindo-se que o deslocamento xi
do ponto P seja a grandeza de entrada do sistema e que o
deslocamento vertical xo da carroceria do carro seja a
grandeza de saída (Considerar o movimento da carroceria
somente segundo o eixo vertical.) O deslocamento xo é
medido em relação a uma situação de equilíbrio, na ausência
de sinal de entrada xi.
Automação e Controle 38
Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos
Solução: A equação do movimento referente ao sistema
mostrado na Figura (b) é:
ou
0).().(. =−+−+ ioioo xxkxxbxm 
iiooo x
m
k
x
m
b
x
m
k
x
m
b
x .... 





+





=





+





+ 