Fox - McDonald - CÓPIA - cap 10 1

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Máquinas de Fluxo
10.1 Introdução e Classificação de Máquinas de Fluxo
10.2 Análise de Turbomáquinas
10.3 Bombas, Ventiladores e Sopradores
10.4 Bombas de Deslocamento Positivo
10.5 Turbinas Hidráulicas
10.6 Hélices e Máquinas Eólicas
10.7 Turbomáquinas de Escoamento Compressível
10.8 Resumo e Equações Úteis
Estudo de Caso em Energia e Meio Ambiente
Energia Eólica: Turbina Eólica e Projeto de Ventiladores Usando Tubérculos
No Estudo de Caso do Capítulo 9, aprendemos que a incrível agilidade das baleias jubarte se deve à presença de
irregularidades sobre as bordas das suas nadadeiras, conhecidas como tubérculos. Ernst van Nierop, um
postulante a doutorado na Escola de Engenharia e Ciências Aplicadas da Universidade de Harvard, é coautor de
um estudo para explicar esse fenômeno em conjunto com o professor de matemática Michael Brenner e com o
pesquisador Silas Alben.
Tal como acontece com os aerofólios discutidos no Capítulo 9, quando o ângulo de ataque de uma
nadadeira de baleia torna-se demasiadamente íngreme, o resultado é estol.* Experiências anteriores
demonstraram, no entanto, que o ângulo de ataque antes do estol ocorre para uma nadadeira de baleia jubarte
é muito mais acentuado que na nadadeira lisa. A equipe de Harvard mostrou que os tubérculos alteram a
distribuição da pressão sobre a nadadeira de forma que algumas partes estolam antes das outras, evitando,
assim, a perda de sustentação brusca, dando à baleia mais liberdade para atacar segundo ângulos maiores e
mais capacidade de prever melhor as suas limitações hidrodinâmicas.
Os tentáculos sobre a pá da turbina WhalePower (Foto de cortesia de J. Subirana, WhalePower.)
Estudar os seres vivos, a fim de desenvolver ideias para melhorar a tecnologia é uma prática conhecida
como biomimética, área que vem sendo utilizada cada vez mais para aumentar a eficiência das máquinas. Neste
caso, temos a aplicação prática da tecnologia de tubérculos, especificamente no que se aplica às
turbomáquinas, o tema deste capítulo. Uma companhia em Toronto, Ontário, chamada WhalePower, demostrou
as vantagens dos tubérculos quando eles são integrados nas bordas de turbinas eólicas e nas pás do ventilador.
A fotografia mostra o protótipo das pás de uma turbina eólica incorporando tubérculos em sua borda. Testes
desses protótipos têm mostrado o dobro do desempenho das turbinas, permitindo que a turbina capte mais
energia mesmo em baixa velocidade de ventos. Como nos referimos no Estudo  de  Caso do Capítulo 9, esse
aumento de desempenho pode ser explicado observando como o estol afeta o fluxo total sobre pás rotativas.
Em particular, é bem sabido que o estol experimentado por pás convencionais faz com que o ar se desloque do
centro para a periferia das pás, em vez de se deslocar paralelamente ao eixo de rotação. O resultado desse
efeito, por vezes referido como span­wise, é que é necessária uma energia adicional para mover o ar na direção
desejada, diminuindo a eficiência do ventilador. Da mesma forma, uma turbina eólica que experimenta estol, irá
gerar menor sustentação, extraindo, assim, menos ar. Além disso, o componente radial do fluxo de ar aumenta
as vibrações das pás, causando ruído e aumento do desgaste.
Testes em andamento no Instituto de Energia Eólica do Canadá revelam que, devido ao atraso no estol, pás
revestidas com tubérculos são mais estáveis, silenciosas e duráveis do que as pás convencionais. Estudos
recentes mostram que a adição de tubérculos nas bordas de ataque das pás da turbina faz gerar sustentação
mais estável, com menor arrasto, mesmo em ângulo agudo, e quando há estol, ele é gradual, e não drástico.
WhalePower alega que a melhora na geração de energia em velocidades de vento fraco é decorrente das pás
serem mais silenciosas do que as pás convencionais, e que há uma redução na trepidação periférica (vibrações
na ponta das lâminas devido a instabilidades de fluxo); em outras palavras, nas condições reais, as pás
reforçadas com tentáculos parecem mais estáveis e sensíveis do que o tipo de turbina anterior. WhalePower
também mostrou que pás com tubérculos alinhadas em ventiladores industriais podem operar com eficiência
de 20% a mais do que as pás convencionais e que elas fazem um trabalho melhor de circulação de ar em um
prédio. Os resultados foram significativos o suficiente para convencer a Envira-Norte, a maior fabricante de
ventiladores do Canadá, a licenciar o projeto.
Desde a Antiguidade, o homem tem buscado controlar a natureza. O homem primitivo transportava água em baldes ou
conchas;  com  a  formação  de  grupos  maiores,  este  processo  foi  mecanizado.  As  primeiras  máquinas  de  fluxo
desenvolvidas foram rodas de conchas e bombas de parafuso para elevar água. Os romanos introduziram a roda de pás
em  torno  de  70  a.C.  para  extrair  energia  dos  cursos  de  água  [1]. Mais  tarde,  foram  desenvolvidos  os moinhos  para
extrair  energia  do  vento,  mas  a  baixa  densidade  de  potência  do  vento  limitava  a  produção  a  poucas  centenas  de
quilowatts.  O  desenvolvimento  de  rodas  de  água  tornou  possível  a  extração  de milhares  de  quilowatts  de  um  único
local.
Hoje,  tiramos  proveito  de  várias  máquinas  de  fluxo.  No  dia  a  dia,  obtemos  água  pressurizada  de  uma  torneira,
usamos  um  secador  de  cabelos,  dirigimos  um  carro,  no  qual máquinas  de  fluxo  operam os  sistemas  de  lubrificação,
refrigeração e direção, e  trabalhamos em um ambiente confortável, com circulação de ar condicionado. A lista poderia
ser estendida indefinidamente.
Uma máquina de fluxo é um dispositivo que realiza trabalho sobre um fluido ou extrai trabalho (ou potência) de um
fluido.  Como  você  pode  imaginar,  este  é  um  campo  de  estudo muito  vasto,  de modo  que  limitaremos  nosso  estudo
principalmente  aos  escoamentos  incompressíveis.  Inicialmente,  vamos  apresentar  a  terminologia  do  assunto,
classificando as máquinas em função do princípio de operação e de suas características  físicas. Em vez de  tentar uma
abordagem de todo o assunto, concentramos nossa atenção em máquinas em que a transferência de energia do fluido, ou
para o fluido, é realizada por meio de um elemento rotativo. Equações básicas são revistas e em seguida simplificadas
para  formas  úteis  na  análise  de  máquinas  de  fluxo.  As  características  de  desempenho  de  máquinas  típicas  são
consideradas. São dados exemplos de aplicações de bombas e turbinas em sistemas típicos. Em seguida, vamos discutir
hélices  e  turbinas  eólicas,  equipamentos  singulares,  que  absorvem  energia  de  um  fluido  sem  tirar  proveito  de  uma
carcaça. Uma discussão de máquinas de escoamento compressível conclui o capítulo.
10.1 Introdução e Classificação de Máquinas de Fluxo
As máquinas  de  fluxo  podem  ser  classificadas,  de modo  amplo,  como máquinas  de  deslocamento  positivo  ou  como
máquinas  dinâmicas.  Nas  máquinas  de  deslocamento  positivo,  a  transferência  de  energia  é  feita  por  variações  de
volume que ocorrem devido ao movimento da fronteira na qual o fluido está confinado. Essas incluem dispositivos do
tipo cilindro­pistão, bombas de engrenagens (por exemplo, a bomba de óleo de um motor de carro) e bombas de lóbulos
(por  exemplo,  aquelas usadas na medicina para  recirculação de  sangue através de uma máquina). Não vamos analisar
esses dispositivos neste capítulo; faremos uma breve revisão deles na Seção 10.4. Os dispositivos fluidomecânicos que
direcionam  o  fluxo  com  lâminas  ou  pás  fixadas  em  um  elemento  rotativo  são  denominados  turbomáquinas.  Em
contraste  com  as  máquinas  de  deslocamento  positivo,  não  há  volume  confinado  em  uma  turbomáquina.  Todas  as
interações de  trabalho em uma turbomáquina resultam de efeitos dinâmicos do rotor sobre a corrente de fluido. Esses
dispositivos são largamente usados na indústria para geração de potência (por exemplo, o turbo compressor de um carro
de alto desempenho). A ênfase neste capítulo é em máquinas dinâmicas.
Umadistinção adicional entre os  tipos de  turbomáquinas é fundamentada na geometria do percurso do fluido. Nas
máquinas de fluxo radial, a trajetória do fluido é essencialmente radial, com mudanças significativas no raio, da entrada
para  a  saída.  (Tais  máquinas  são,  por  vezes,  denominadas  máquinas  centrífugas.)  Nas  máquinas  de  fluxo  axial,  a
trajetória  do  fluido  é  aproximadamente  paralela  à  linha  de  centro  da  máquina,  e  o  raio  de  percurso  não  varia
significativamente.  Nas  máquinas  de  fluxo  misto,  o  raio  da  trajetória  do  fluido  varia  moderadamente.  Diagramas
esquemáticos de algumas turbomáquinas típicas são mostrados nas Figs. 10.1 a 10.5.
Toda interação de trabalho em uma turbomáquina resulta de efeitos dinâmicos do rotor sobre a corrente de fluido,
isto  é,  a  troca  de  trabalho  entre  o  fluido  e  o  rotor  da máquina  tanto  pode  aumentar  quanto  diminuir  a  velocidade  do
escoamento. Contudo, em conjunção com a transferência de energia cinética, máquinas que possuem uma carcaça (por
exemplo, compressores, bombas e turbinas) também envolvem a conversão de energia de pressão em energia cinética ou
vice­versa.  Essa  aceleração  ou  desaceleração  do  escoamento  permite  a  obtenção  de  uma  máxima  razão  pressão  em
bombas e compressores e uma máxima geração de potência em turbinas.
Máquinas para Realizar Trabalho sobre um Fluido
As máquinas que adicionam energia a um fluido, realizando trabalho sobre o fluido, são denominadas bombas, quando
o escoamento é de líquido ou pastoso, e ventiladores, sopradores ou compressores para unidades que lidam com gás ou
vapor, dependendo do aumento de pressão. Em geral, os ventiladores geram um pequeno aumento de pressão (inferior a
25 mm de água) e os sopradores geram um aumento de pressão moderado (da ordem de 25 mm de mercúrio); bombas e
compressores  podem  ter  aumentos  de  pressão  muito  grandes.  Os  sistemas  industriais  da  atualidade  operam  com
pressões de até 1 GPa (104 atmosferas).
Fig. 10.1 Diagramas esquemáticos de turbomáquinas centrífugas típicas, adaptados de [2].
Fig. 10.2 Diagramas esquemáticos de turbomáquinas típicas de fluxo axial e de fluxo misto, adaptados de [2].
Bombas e compressores consistem em um elemento rotativo (chamado de impulsor ou rotor dependendo do tipo de
máquina),  acionado  por  uma  fonte  de  energia  externa  (por  exemplo,  um  motor  ou  outra  máquina  de  fluxo)  para
aumentar  a  energia  cinética  do  escoamento.  Na  sequência,  um  elemento  desacelera  o  fluxo,  aumentando,  assim,  sua
pressão. Essa combinação é conhecida como estágio. Uma bomba ou compressor pode consistir em vários estágios com
uma  só  carcaça,  dependendo  do  valor  da  razão  de  pressão  requerida  da máquina.  Esses  elementos  estão  contidos  na
carcaça ou alojamento. O eixo que transfere energia mecânica para o rotor penetra na carcaça. Um sistema de mancais e
selos é necessário minimizar as perdas (mecânicas) por atrito e prevenir vazamentos do fluido de trabalho.
 VÍDEO
Fluxo e um Compressor de Fluxo Axial (Animação)
(em inglês)
Três máquinas centrífugas típicas são mostradas esquematicamente na Fig. 10.1. O elemento rotativo de uma bomba
ou  compressor  centrífugo  é  frequentemente  chamado  de  impulsor.  O  fluido  adentra  cada  máquina  quase  axialmente
através do olho do impulsor, diagrama (a), no raio pequeno r1. O fluxo é então defletido e sai pela descarga do rotor no
raio  r2,  em  que  a  largura  é  b2.  O  escoamento  deixando  o  rotor  é  coletado  no  caracol  ou  voluta,  que  aumenta
gradualmente de  área  à medida que  se  aproxima da  saída da máquina,  diagrama  (b). O  rotor  geralmente  tem pás;  ele
pode ser fechado (envolto) como mostrado no diagrama (a), ou aberto como mostrado no diagrama (c). As pás do rotor
podem ser  relativamente  retas, ou encurvadas para  tornarem­se não  radiais na saída. O diagrama (c) mostra que pode
haver um difusor entre a descarga do rotor e a voluta; o difusor faz a difusão ser mais eficiente, mas aumenta os custos
de  fabricação.  Máquinas  centrífugas  são  capazes  de  maiores  razões  de  pressão  que  as  máquinas  axiais,  mas  elas
apresentam uma maior área frontal por unidade de vazão mássica.
Fig. 10.3 Fotografia de um rotor de compressor axial de múltiplo estágio para uma turbina a gás. (Foto de cortesia da
General Electric Company. © 2010 General Electric Company. Todos direitos reservados.)
Turbomáquinas típicas de fluxo axial e de fluxo misto são mostradas esquematicamente na Fig. 10.2. A Fig. 10.2a
mostra  um  estágio  de  um  compressor  de  fluxo  axial  típico.  O  escoamento  entra  quase  paralelo  ao  eixo  do  rotor  e
mantém  aproximadamente  o  mesmo  raio  através  do  estágio.  A  bomba  de  fluxo  misto  no  diagrama  (b)  mostra  o
escoamento sendo defletido para  fora e deslocando para  raios maiores à medida que atravessa o estágio. Máquinas de
escoamento  axial  apresentam  maiores  eficiências  e  menores  áreas  frontais  que  máquinas  centrífugas,  mas  elas  não
podem gerar altas razões de pressão. Por isso, máquinas de fluxo axial são geralmente de múltiplos estágios, o que as
tornam mais complexas que as máquinas centrífugas. A Fig. 10.3 mostra um compressor axial de múltiplos estágios.
Nesta fotografia, a carcaça (que está presa nos difusores do estator) foi removida para permitir uma melhor visualização
das linhas dos difusores do rotor.
O aumento de pressão que pode ser alcançado eficientemente em um único estágio é  limitado, dependendo do tipo
de máquina.  A  razão  dessa  limitação  pode  ser  entendida  com  base  no  gradiente  de  pressão  dessas máquinas  (veja  a
Seção 9.6). Em uma bomba ou compressor, as camadas­limite adjacentes para um gradiente de pressão adverso não são
estáveis; logo, é comum haver separação da camada­limite em um compressor ou bomba. A separação da camada­limite
aumenta  o  arrasto  sobre  o  impulsor,  resultando  em  uma  diminuição  da  eficiência;  portanto,  trabalho  adicional  é
necessário para comprimir o fluxo.
Ventiladores,  sopradores,  compressores  e  bombas  são  encontrados  em  vários  tamanhos  e  tipos,  desde  unidades
residenciais a unidades industriais, complexas, de grande capacidade. Os requisitos de torque e potência para bombas e
turbossopradores  idealizados  podem  ser  analisados  pela  aplicação  do  princípio  do  momento  da  quantidade  de
movimento ou princípio da quantidade de movimento angular, usando um volume de controle adequado.
As hélices  são  essencialmente  dispositivos  de  fluxo  axial  que  operam  sem  uma  carcaça  externa.  Elas  podem  ser
projetadas para operar em gases ou em líquidos. Como seria de se esperar, as hélices projetadas para essas aplicações
tão  diferentes  são  bastante  distintas.  As  hélices  marítimas  tendem  a  ter  pás  largas  comparadas  com  seus  raios,
conferindo­lhes alta solidez. As hélices de aviões tendem a ter pás longas e delgadas, com solidez relativamente baixa.
Essas máquinas serão discutidas em detalhes na Seção 10.6.
Máquinas para Extrair Trabalho (Potência) de um Fluido
As máquinas que extraem energia de um fluido na forma de trabalho (ou potência) são chamadas turbinas. Nas turbinas
hidráulicas,  o  fluido  de  trabalho  é  água,  de  modo  que  o  escoamento  é  incompressível.  Nas  turbinas  a  gás  e  nas
turbinas a vapor, a massa específica do fluido de trabalho pode variar significativamente. Em uma turbina, um estágio
consiste normalmente em um elemento para acelerar o escoamento, convertendo parte da energia de pressão em energia
cinética,  seguido por um rotor, roda ou elemento rotativo  que  extrai  energia  cinética  do  escoamento por meio de um
conjunto de difusores, pás ou conchas montados na roda.
As duas classificações mais gerais de turbinas são turbinas de impulsão e de reação. As  turbinas de  impulsão  são
acionadas  por  um  ou  mais  jatos  livres  de  alta  velocidade.  O  exemplo  clássico  de  umaturbina  a  impulsão  é  a  roda
d’água. Em uma  roda d’água, o  jato de água é gerado pela gravidade. A energia  cinética da água é  transferida para  a
roda, resultando em trabalho. Em turbinas de impulsão mais modernas, o jato é acelerado em um bocal externo à roda
da  turbina.  Se  o  atrito  e  a  gravidade  forem  desprezados,  nem  a  pressão,  nem  a  velocidade  relativa  ao  rotor mudam
enquanto o fluido passa sobre as conchas da turbina. Desse modo, em uma turbina de impulsão, a aceleração do fluido e
a queda de pressão decorrente ocorrem em bocais externos às pás, e o rotor não trabalha cheio de fluido; o  trabalho é
extraído como um resultado da grande variação na quantidade de movimento do fluido.
Nas turbinas de reação, parte da variação de pressão do fluido ocorre externamente e a outra parte dentro das pás
móveis. Ocorre aceleração externa e o escoamento é defletido para entrar no rotor na direção apropriada, à medida que
passa por bocais ou pás estacionárias chamadas de pás­guias ou de pás diretrizes. Uma aceleração adicional do fluido
relativa  ao  rotor  ocorre dentro das pás móveis,  de modo que  tanto  a velocidade  relativa quanto  a pressão da  corrente
mudam através do rotor. Como as turbinas de reação trabalham cheias de fluido, elas podem, em geral, produzir mais
potência para um dado tamanho total do que as turbinas de impulsão.
A Fig. 10.4 mostra turbinas usadas para diferentes aplicações. A Fig. 10.4a mostra uma roda de Pelton, um tipo de
roda de turbina de impulsão usada em usinas hidroelétricas. A Fig. 10.4b é uma fotografia de um rotor de uma turbina
axial a vapor, um exemplo de turbina de reação. A Fig. 10.4c é uma fazenda de turbinas eólicas. Uma turbina eólica é
outro exemplo de turbina de reação, mas, como um impulsor, também opera sem uma carcaça externa. Turbinas eólicas
modernas coletam energia do vento e a convertem em eletricidade.
Fig. 10.4 Fotografias de turbinas usadas em diferentes aplicações. (Foto de cortesia de (a) Andy Dingley; (b) e (c)
Siemens Energy 2010.)
Fig. 10.5 Diagramas esquemáticos de turbinas hidráulicas típicas, adaptados de [2].
Várias turbinas hidráulicas típicas estão mostradas esquematicamente na Fig. 10.5. A Fig. 10.5a mostra uma turbina
de  impulso acionada por um único  jato, que se  situa no plano do  rotor da  turbina. Á água do  jato atinge cada concha
sucessivamente, que gira e sai com uma velocidade relativa em sentido quase que oposto aquele de entrada na concha.
Em seguida, á água cai no canal de fuga (não mostrado).
Uma  turbina  de  reação  do  tipo  Francis  é  mostrada  na  Fig.  10.5b.  A  água  que  entra  escoa  circunferencialmente
através  da  carcaça  da  turbina.  Ela  entra  na  periferia  das  pás­guias  estacionárias  e  escoa  em direção  ao  rotor. A  água
entra no rotor quase radialmente e é defletida para baixo para sair aproximadamente na direção axial; a configuração do
escoamento pode ser imaginada como a de uma bomba centrífuga reversa. A água saindo do rotor escoa através de um
difusor conhecido como tubo de extração antes de entrar no coletor. A Fig. 10.5c mostra uma turbina de  impulsão do
tipo  Kaplan.  A  entrada  da  água  é  similar  aquela  da  turbina  Francis,  mas  a  água  flui  quase  que  axialmente  antes  de
encontrar o rotor da turbina. O fluxo de saída do rotor pode passar para um tubo de extração.
Desse modo, as turbinas vão desde simples moinhos de vento até complexas turbinas a vapor ou a gás, com muitos
estágios de pás cuidadosamente projetadas. Estes dispositivos também podem ser analisados de uma forma idealizada,
aplicando­se o princípio da quantidade de movimento angular.
Em geral, a queda de pressão em um estágio da turbina é maior que a razão de pressão permitida em um estágio do
compressor. Essa diferença é decorrente do gradiente de pressão favorável  (veja a Seção 9.6), que causa separação da
camada­limite em uma escala muito menor do que no caso do compressor.
Parâmetros adimensionais,  tais como velocidade específica, coeficiente de vazão, coeficiente de  torque,  coeficiente
de potência e razão de pressão  são  frequentemente usados para  caracterizar o desempenho das  turbomáquinas. Esses
parâmetros  foram  introduzidos  no  Capítulo  7;  seus  desenvolvimentos  e  usos  serão  considerados  com mais  detalhes
adiante neste capítulo.
Abrangência
De acordo com Japikse [3], “Turbomáquinas representam um mercado de 400 bilhões de dólares (possivelmente muito
mais),  apresentando,  neste momento,  um  crescimento mundial  enorme.  Estima­se  que  apenas  as  bombas  centrífugas
industriais  consumam  5%  de  toda  energia  produzida  nos  EUA”.  Além  disso,  demandas  por  energia  amplamente
disponível,  econômica  e  não  poluente  continuaram  dirigindo  a  pesquisa  e  o  desenvolvimento  na  indústria  das
turbomáquinas [4]. Portanto, o projeto apropriado, a construção, a seleção e a aplicação de bombas e compressores são
aspectos economicamente significativos.
O projeto de máquinas  reais  envolve diversos  conhecimentos  técnicos,  incluindo mecânica dos  fluidos, materiais,
mancais, vedações e vibrações. Esses tópicos são abordados em inúmeros textos especializados. O nosso objetivo aqui
é  apresentar  somente  detalhes  suficientes  para  ilustrar  a  base  analítica  do  projeto  de  escoamento  de  fluido  e  discutir
brevemente  as  limitações  dos  resultados  obtidos  a  partir  de  modelos  analíticos  simples.  Para  informações  mais
detalhadas de projeto, consulte as referências.
A engenharia de aplicações ou de “sistemas” requer vasta experiência. Boa parte dessa experiência deve ser ganha
no campo,  trabalhando com outros  engenheiros. Nossa  abordagem não pretende  ser  completa;  discutimos  somente os
aspectos mais importantes para a aplicação sistêmica, e bem­sucedida, de bombas, compressores e turbinas.
O  material  apresentado  neste  capítulo  é  de  natureza  diferente  daqueles  discutidos  nos  capítulos  anteriores.  Os
Capítulos 1 a 9 cobriram muito dos fundamentos de mecânica dos fluidos, com resultados analíticos em muitos casos.
Este capítulo também abordará análises, mas a complexidade inerente do assunto nos conduzirá a algumas correlações e
a resultados empíricos. Para o estudante, isso pode parecer um tanto o quanto forçado, mas a obtenção de resultados a
partir da combinação de teoria e experimentação é uma prática bastante comum na ciência da engenharia.
10.2 Análise de Turbomáquinas
O método  de  análise  usado  para  turbomáquinas  é  escolhido  de  acordo  com  a  informação  desejada.  Quando  se  quer
informações gerais sobre a vazão, a variação de pressão, o torque e a potência, uma análise de volume de controle finito
deve ser usada. Caso se queiram informações detalhadas sobre ângulos de pás ou perfis de velocidade, elementos de pás
individuais  devem  ser  analisados por meio de um volume de  controle  infinitesimal  ou outro procedimento detalhado.
Consideramos apenas processos de escoamento idealizado neste livro, de modo que nos concentramos na aproximação
por volume de controle finito, aplicando o princípio da quantidade de movimento angular. A análise seguinte aplica­se
tanto a máquinas que realizam trabalho quanto a máquinas que extraem trabalho de um escoamento.
O Princípio da Quantidade de Movimento Angular: A Equação de Euler para Turbomáquinas
O princípio da quantidade de movimento angular foi aplicado a volumes de controle finitos no Capítulo 4. O resultado
obtido foi a Eq. 4.46,
A Eq. 4.46 estabelece que o momento das forças superficiais e das forças de campo, mais o  torque aplicado,  levam a
uma variação na quantidade de movimento angular do escoamento. [As forças superficiais são decorrentes do atrito e da
pressão, a força de campo é decorrente da gravidade, o torque aplicado pode ser positivo ou negativo (dependendo se o
trabalho é realizado pelo fluido ou sobre o fluido) e a variação na quantidade de movimento angular pode aparecer como
variação  na  quantidade  de  movimento  angularno  interior  do  volume  de  controle,  ou  como  fluxo  de  quantidade  de
movimento angular através da superfície de controle.]
Agora,  vamos  simplificar  a  Eq.  4.46  para  a  análise  de  turbomáquinas.  Primeiramente,  para  a  análise  de
turbomáquinas,  é  conveniente  escolher  um volume  de  controle  fixo  englobando  o  rotor,  a  fim  de  avaliar  o  torque  de
eixo. Como estamos considerando volumes de controle para os quais são esperados grandes torques de eixo, os torques
decorrentes  de  forças  de  superfícies  podem  ser  ignorados  em  uma  primeira  aproximação.  A  força  de  campo
gravitacional pode ser desprezada por simetria. Então, para escoamento permanente, a Eq. 4.46 torna­se
Fig. 10.6 Volume de controle finito e componentes da velocidade absoluta para análise da quantidade de movimento
angular.
A Eq.  10.1a  estabelece: Para uma  turbomáquina  com entrada  de  trabalho,  o  torque  requerido  causa  uma  variação  na
quantidade  de  movimento  angular  do  fluido;  para  uma  turbomáquina  com  saída  de  trabalho,  o  torque  produzido  é
decorrente  de  uma  variação  na  quantidade  de movimento  angular  do  fluido.  Vamos  escrever  essa  equação  na  forma
escalar, ilustrando a sua aplicação a máquinas de fluxo axial e radial.
Conforme mostrado na Fig. 10.6,  selecionamos um volume de controle  fixo  que  inclui um  rotor genérico de uma
turbomáquina. O sistema de coordenadas fixas é escolhido com o eixo z alinhado com o eixo de rotação da máquina. As
componentes de velocidades  idealizadas são mostradas na figura. O fluido entra no rotor na  localização radial r1, com
velocidade absoluta uniforme  1; o fluido sai do rotor na localização radial r2, com velocidade uniforme absoluta  2.
O integrando no lado direito da Eq. 10.1a é o produto de   ×   pela vazão mássica em cada seção. Para escoamento
uniforme entrando no rotor na seção 1, e saindo do rotor na seção 2, a Eq. 10.1a torna­se
(Note que na expressão   ×  , o vetor posição   é puramente radial, de modo que apenas a componente da velocidade
tangencial Vt deve ser levada em conta.) Na forma escalar,
As suposições feitas na dedução dessa equação são: escoamento permanente, sem atrito; escoamento unidirecional  na
entrada  e  na  saída;  e  efeitos  de  pressão  desprezíveis.  A  Eq.  10.1c  é  a  relação  básica  entre  torque  e  momento  da
quantidade  de  movimento  para  todas  as  turbomáquinas.  Ela  é  comumente  chamada  de  equação  de  Euler  das
turbomáquinas.
Cada velocidade que aparece na Eq. 10.1c é a componente  tangencial da velocidade absoluta do  fluido cruzando a
superfície de controle. As velocidades tangenciais são escolhidas positivas, quando no mesmo sentido da velocidade da
pá, U. Esta convenção de sinal conduz a Teixo > 0 para bombas, ventiladores, sopradores e compressores e Teixo < 0 para
turbinas.
A taxa de  trabalho realizado sobre um rotor de uma turbomáquina (a potência mecânica,  m) é dada pelo produto
escalar da velocidade angular do rotor,   pelo torque aplicado,  eixo. Usando a Eq. 10.lb, obtemos
ou
De acordo com a Eq. 10.2a, a quantidade de movimento angular do fluido é aumentada pela adição de trabalho de eixo.
Para uma bomba,  m > 0 e a quantidade de movimento angular do f1uido deve aumentar. Para uma turbina,  m < 0 e a
quantidade de movimento angular do fluido deve diminuir.movimento angular do fluido deve diminuir.
A Eq. 10.2a pode ser escrita em duas outras formas úteis. Introduzindo U = rω, em que U é a velocidade tangencial
do rotor no raio r, temos
Dividindo a Eq. 10.2b por  g, obtemos uma quantidade com as dimensões de comprimento, que pode ser vista como
uma carga teórica adicionada ao escoamento.1
As  Eqs.  10.1  e  10.2  são  formas  simplificadas  da  equação  da  quantidade  de movimento  angular  para  um  volume  de
controle.  Todas  elas  estão  escritas  para  um  volume  de  controle  fixo  com  as  hipóteses  de  escoamento  permanente  e
uniforme em cada seção. As equações mostram que apenas a diferença no produto rVt ou UVt, entre as seções de saída e
de entrada, é importante na determinação do torque aplicado ao rotor ou na potência mecânica. Embora r2 > r1 na Fig.
10.6, nenhuma  restrição  foi  feita quanto à geometria; o  fluido pode entrar e  sair nos mesmos ou em diferentes  raios.
Portanto, estas equações podem ser usadas para máquinas de fluxo axial, radial e misto.
Diagramas de Velocidade
As  equações  que  deduzimos  também  sugerem  a  importância  de  definir  claramente  as  componentes  de  velocidade  do
fluido  e  do  rotor  nas  seções  de  entrada  e  de  saída.  Para  este  fim,  é  útil  desenvolver  diagramas  de  velocidade
(frequentemente chamados de polígonos de velocidade) para os escoamentos de entrada e de saída. A Fig. 10.7 mostra
os diagramas de velocidade e introduz a notação para os ângulos das pás e do escoamento. Vale relembrar que a variável
V  é  usada  tipicamente  para  indicar  velocidade  absoluta,  isto  é,  a  velocidade  do  escoamento  relativa  a  um observador
estacionário, enquanto a variável W é usada para indicar a velocidade do escoamento em relação às pás girantes.
As máquinas são projetadas de modo que, na condição de projeto, o fluido move­se suavemente (sem perturbações)
através das pás. Na situação idealizada para a velocidade de projeto, o escoamento relativo ao rotor é suposto entrar e
sair tangente ao perfil da pá em cada seção. (Esta condição de entrada idealizada é por vezes chamada de escoamento de
entrada sem choque.) Para velocidades diferentes da velocidade de projeto (e, na verdade, algumas vezes mesmo para a
velocidade de projeto!), o fluido pode sofrer  impacto com as pás na entrada, na saída em um ângulo relativo à pá, ou
pode  haver  separação  significativa  no  escoamento,  levando  a  uma  redução  na  eficiência  da  máquina.  A  Fig.  10.7  é
representativa  de  uma  máquina  de  fluxo  radial  típica.  Consideramos  que  o  fluido  está  se  movendo  sem  maiores
perturbações no escoamento, conforme mostrado na Fig. 10.7a, com os ângulos de entrada e de saída nas pás β1 e β2,
respectivamente, relativos à direção tangencial. Note que, embora os ângulos β1 e β2  sejam ambos menores que 90º na
Fig.  10.7,  em  geral,  eles  podem  ser  menores,  iguais,  ou  maiores  a  90º.  A  análise  seguinte  aplica­se  a  todas  estas
possibilidades.
A velocidade do rotor na entrada é U1 = r1ω, e é, portanto, especificada pela geometria do rotor e pela velocidade de
operação da máquina. A velocidade  absoluta  do  fluido  é  a  soma vetorial  da  velocidade do  rotor  com a velocidade do
escoamento relativa à pá. A velocidade absoluta de entrada pode ser determinada graficamente, conforme mostrado na
Fig. 10.7b. O ângulo da velocidade absoluta do fluido, α1, é medido a partir da direção normal à área de escoamento,
como mostrado.Fig.  10.7b.  Note,  da  geometria  da  figura,  que  em  cada  seção  a  componente  normal  da  velocidade
absoluta, Vn,  e  a  componente  normal  da  velocidade  relativa  à  pá, Wn,  são  iguais  (porque  a  pá  não  possui  velocidade
normal).
Fig. 10.7 Geometria e notação usadas para desenvolver diagramas de velocidade para máquinas típicas de fluxo radial.
Para  facilitar  a  determinação  da  velocidade  absoluta  na  entrada  da  máquina,  é  necessário  determinar  se  há
redemoinho  na  entrada. O  redemoinho,  que  pode  estar  presente  no  escoamento  de  entrada,  ou  introduzido  pelas pás­
guias de entrada, é a presença de componente de velocidade circunferencial. Quando o escoamento de entrada é livre de
redemoinhos, a velocidade absoluta de entrada é puramente radial. O ângulo de entrada da pá pode ser especificado para
a vazão e a velocidade de projeto da bomba de modo a gerar um escoamento na entrada suave relativo à orientação das
pás.
O diagrama de velocidade é construído de maneira similar na seção de saída. A velocidade do rotor na saída é U2 =
r2ω,  que  novamente  é  conhecida  a  partir  da  geometria  e  davelocidade  de  operação  da  turbomáquina.  O  escoamento
relativo  é  suposto  sair  do  impulsor  tangente  às  pás,  como mostrado  na  Fig.  10.7c.  Esta  consideração  idealizada  de
orientação perfeita fixa à direção do escoamento de saída relativo nas condições de projeto.
Para  uma  bomba  centrífuga  ou  turbina  de  reação,  a  velocidade  relativa  à  pá  geralmente  muda  de  intensidade  da
entrada  para  a  saída.  A  equação  da  continuidade  deve  ser  aplicada,  usando  a  geometria  do  rotor,  para  determinar  a
componente normal da velocidade em cada seção. A componente normal, junto com o ângulo de saída da pá, é suficiente
para  estabelecer  a  velocidade  relativa  à  pá  na  saída  do  rotor,  para  uma  máquina  de  fluxo  radial.  O  diagrama  de
velocidade é completado pela  soma vetorial da velocidade  relativa à pá com a velocidade do  rotor, como mostrado na
Fig. 10.7c.
Os diagramas de velocidade de entrada e de saída fornecem todas as informações necessárias para calcular o torque
ou  a  potência  ideal,  absorvida  ou  entregue  pelo  rotor,  usando  as  Eqs.  10.1  ou  10.2.  Os  resultados  representam  o
desempenho da turbomáquina sob condições ideais no ponto de operação de projeto, desde que tenhamos considerado:
•   Torque desprezível devido às forças superficiais (viscosas e de pressão).
•   Escoamentos de entrada e de saída, tangentes às pás.
•   Escoamento uniforme na entrada e na saída.
Uma turbomáquina real não se comporta de modo a atender todas estas considerações. Por isso, os resultados de nossa
análise representam o limite superior do desempenho de máquinas reais.
O desempenho de  uma máquina  real  pode  ser  estimado usando  esta mesma  aproximação básica, mas  levando  em
conta variações nas propriedades do escoamento através da extensão da pá nas seções de entrada e de saída, e desvios
entre  os  ângulos  das  pás  e  as  direções  do  escoamento. Tais  cálculos  detalhados  estão  além do  escopo  deste  livro. A
alternativa é medir o desempenho global de uma máquina em uma bancada de testes adequada. Dados de fabricantes são
exemplos de informação de desempenho medido.
No Exemplo 10.1, usaremos a Equação de Euler para Turbomáquina para analisar uma bomba centrífuga ideal.
Exemplo 10.1 BOMBA CENTRÍFUGA IDEALIZADA
Uma bomba centrífuga é utilizada para bombear 0,009 m3/s de água. A água entra no rotor axialmente através
de um orifício de 32 mm diâmetro. A velocidade de entrada é axial e uniforme. O diâmetro de saída do rotor é
100 mm. O escoamento sai do rotor a 3 m/s em relação às pás, que são radiais na saída. A velocidade do rotor é
3450 rpm. Determine a largura de saída do rotor, b2, o torque de entrada e a potência requerida prevista pela
equação de Euler para turbinas.
Dados: Escoamento conforme mostrado na figura: Vr2 = 3 m/s, Q = 0,009 m3/s.
Determinar: (a) b2.
(b) Teixo.
(c) m.
Solução:
Aplique a equação da quantidade de movimento angular a um volume de controle fixo.
Equações básicas:
Considerações: (1) Desprezar torques causados por forças superficiais e de campo.
(2) Escoamento permanente.
(3) Escoamento uniforme nas seções de entrada e de saída.
(4) Escoamento incompressível.
Então, da continuidade,
(−ρV1 π ) + (ρVr22πR2b2) = 0
ou
 = ρQ = ρVr22πR2b2
de modo que
Para uma entrada axial, a velocidade tangencial Vt1 = 0, e para pás de saída radial Vt2 = R2ω, de modo que a Eq.
10.1c fica reduzida a
Teixo = ω = ω ρQ
em que usamos a continuidade ( = ρQ).
Portanto,
e
Este problema ilustra a aplicação da equação de Euler para turbomáquina para um volume de controle fixo a uma máquina de fluxo
centrífuga.
Eficiência – Potência Hidráulica
O  torque  e  a  potência  previstos  pela  aplicação  da  equação  da  quantidade  de  movimento  angular  ao  rotor  de  uma
turbomáquina  (Eqs.  10.1c  e  10.2a)  são  valores  idealizados.  Na  prática,  a  potência  do  rotor  e  a  taxa  de  variação  da
energia do fluido não são iguais. A transferência de energia entre o rotor e o fluido causa perdas por efeitos viscosos,
por  desvios  do  escoamento  uniforme  e  por  desvios  de  direção  do  escoamento  em  relação  aos  ângulos  das  pás.  A
transformação  de  energia  cinética  em  aumento  de  pressão  pela  difusão  do  fluido  no  invólucro  fixo  introduz  mais
perdas. Dissipação  de  energia  ocorre  em  selos  e  mancais  e  no  atrito  do  fluido  entre  o  rotor  e  a  carcaça  (perdas
“windage”). A aplicação da primeira lei da termodinâmica a um volume de controle envolvendo o rotor mostra que estas
“perdas” na energia mecânica  são conversões  irreversíveis de energia mecânica em energia  térmica. Da mesma  forma
que no caso de escoamento em tubo discutido no Capítulo 8, a energia térmica aparece sob a forma de energia interna na
corrente de fluido, ou como calor transferido para a vizinhança.
Por  causa  dessas  perdas,  a  potência  real  entregue  ao  fluido  por  uma  bomba  é menor  do  que  aquela  prevista  pela
equação de quantidade de movimento angular. No caso de uma turbina, a potência real entregue ao eixo é menor do que
a potência cedida pela corrente de fluido.
Podemos definir a potência, a altura de carga e a eficiência de uma  turbomáquina, baseados em que a máquina ou
realiza trabalho (ou potência) sobre o fluido ou extrai trabalho (ou potência) do fluido.
Para uma bomba, a potência hidráulica é dada pela taxa de energia mecânica cedida ao fluido,
em que