Unidade 5

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Regressão e 
Modelagem
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Ms. Bruno Leonardo Silva Tardelli
Revisão Textual:
Profa. Ms. Sandra Regina F. Moreira
Regressão Linear
• Introdução
• Regressão Linear Simples e Regressão Linear Múltipla
• Exemplo de Regressão Múltipla no Software Gretl
• Resultados dos Modelos com Uso do Gretl
• Comparação de Modelos: Critérios de Informação e R-quadrado 
Ajustado
• As Hipóteses Básicas do Método MQO
 · O objetivo central desta unidade é praticar a construção de modelos 
de regressão múltipla, ou seja, aqueles nos quais mais de uma 
variável explicativa auxilia a previsão da variável explicada. Além 
disso, a unidade apresenta as hipóteses básicas do método MQO.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Regressão Linear
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja uma maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas: 
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como o seu “momento do estudo”.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo.
No material de cada Unidade, há leituras indicadas. Entre elas: artigos científicos, livros, vídeos e 
sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você também 
encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua 
interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados.
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discussão, 
pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o contato 
com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Regressão Linear
Introdução
O estudo de regressão linear ultrapassa o estudo de uma única variável explicativa 
(ou independente) como previsor do comportamento de outra variável, a variável 
explicada (ou dependente). Afinal, diversas variáveis podem ajudar a explicar o 
resultado de outra. Algumas daquelas podem ter maior impacto que outras, mas 
estas, mesmo assim, serem importantes.
O objetivo central desta unidade é praticar a construção de modelos de regressão 
múltipla, ou seja, aqueles nos quais mais de uma variável explicativa auxilia a 
previsão da variável explicada. Por exemplo, o comportamento da inflação pode 
ser explicado por diversas variáveis, como a taxa de câmbio, taxa de juros, renda 
disponível interna e externa. Entretanto, cabe ao econometrista unir a teoria 
econômica e a estatística para construir o “melhor modelo” possível.
De fato, não existe um melhor modelo absoluto, mas o econometrista poderá, 
a partir de análise econômicoestatística, chegar a um modelo satisfatório para 
explicar a realidade.
Regressão Linear Simples e Regressão 
Linear Múltipla
Um modelo de regressão linear simples pode ser enunciado como:
Y X= + +β β ε
1 2
Já um modelo de regressão múltipla se apoia na conjugação de mais de uma 
variável explicativa.
Y X Z= + + + +β β β ε
1 2 3
...
em que:
Y = variável explicada (ou independente)
X = variável explicativa X
Z = variável explicativa Z
β1 = intercepto (ou constante)
β2 = coeficiente de X
β3 = coeficiente de Z
ε = termo de erro
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Exemplo de Regressão Múltipla no 
Software Gretl
Para realizar a aplicação dos tópicos apontados ao longo desta unidade, vamos 
nos concentrar em exemplos ligados a um conjunto de dados coletados de um 
exercício de Gujarati (2006, p. 192). A variável explicada (dependente) é o consumo 
per capita de frango em libras-peso. As variáveis explicativas são resumidas por 
X2, X3, X4, X5 e X6. A descrição de cada uma delas está no quadro 1.
Quadro 1 - Descrição das variáveis explicativas do consumo de frango per capita
Y Consumo per capita de frango (em libras-peso)
X2 Renda real disponível per capita, em US$
X3 Preço real da carne de frango, no varejo, centavos de dólar por libra-peso
X4 Preço real da carne suína, no varejo, centavos de dólar por libra-peso
X5 Preço real da carne bovina, no varejo, centavos de dólar por libra-peso
Vamos simular três modelos para podermos comparar os resultados.
Modelo I Y X X= + + +β β β ε1 2 32 3
Neste modelo, o consumo de frango per capita será explicado pela renda real 
disponível per capita e pelo preço real da carne de frango no varejo.
Modelo II Y X X X= + + + +β β β β ε1 3 4 53 4 5
Neste modelo, o consumo de frango per capita será explicado pelo preço real da 
carne de frango, suína e bovina no varejo.
Modelo II Y X X X X= + + + + +β β β β β ε1 2 3 4 52 3 4 5
Neste modelo, o consumo de frango per capita será explicado pela renda real 
disponível per capita e pelos preços reais das carnes de frango, suína e bovina 
no varejo.
Resultados dos Modelos com Uso do Gretl
Para apresentar os resultados dos modelos, é necessário inserir os dados do 
exemplo. Para tal, siga os passos a seguir, apresentados entre as figuras 1 e 6.
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UNIDADE Regressão Linear
Figura 1 – Abrindo o Gretl
 Figura 2 – Abrindo dados
Figura 3 – Selecionando a tabela 7.9
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Figura 4 – Relação de variáveis da tabela 7.9
Figura 5 – Estimação por MQO
Figura 6 – Seleção de modelos
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UNIDADE Regressão Linear
A seguir, são apresentados resultados referentes a cada um dos modelos 
selecionados. As figuras que acompanham cada modelo apresentam a forma de 
obtenção a partir do software livre Gretl.
Modelo I
Y X X= + + +β β β ε
1 2 3
2 3
Figura 7 - Resultados do Modelo I apresentados pelo Gretl
MQO, usando as observações 1960-1982 (T = 23)
Variável dependente: Y
Coeficiente Erro Padrão razão-t p-valor
const 34,5156 3,85578 8,9517 <0,0001 ***
X2 0,0148836 0,0021935 6,7853 <0,0001 ***
X3 -0,213592 0,121905 -1,7521 0,0951 *
Média var. dependente 39,66957 D.P. var. dependente 7,372950
Soma resid. quadrados 106,6517 E.P. da regressão 2,309239
R-quadrado 0,910821 R-quadrado ajustado 0,901903
F(2, 20) 102,1340 P-valor (F) 3,18e-11
Log da verossimilhança -50,27744 Critério de Akaike 106,5549
Critério de Schwarz 109,9614 Critério Hannan-Quinn 107,4116
Rô 0,750551 Durbin-Watson 0,432741
O quadro 2 exibe a representação da equação estimada do modelo II.
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Quadro 2 - Equação Estimada do Modelo I
Y X X= + + +β β β ε
1 2 3
2 3
Equação estimada: 

Y X X= + −34 5156 0 0148836 2 0 213592 3, , * , *
Interpretação da equação estimada do modelo I
As variáveis X2 e X3 indicam, respectivamente, a renda real disponível per 
capita, em US$ e o preço real da carne de frango, no varejo, centavos de dólar por 
libra-peso. A equação estimada indica que:
 · Independentemente da renda real per capita e do preço real da carne de frango 
no varejo (ou seja, se X2 e X3 fossem iguais a zero), o consumo de carne de 
frango seria de, aproximadamente, 34,52 libras-peso;
 · A cada centavo de dólar acrescido na renda real per capita, o consumo de 
carne de frango aumentaria, em média, aproximadamente, 0,02 libras-peso; e,
 · A cada centavo de dólar acrescido no preço real da carne de frango, 
no varejo, o consumo de carne de frango seria reduzido, em média, 
aproximadamente, 0,21 libras-peso.
Importante!Observe que os sinais da equação estimada indicam a direção da variável explicada (ou 
dependente) em relação a cada uma das variáveis explicativas (ou independentes).
Importante!
Modelo II
Y X X X= + + + +β β β β ε
1 3 4 5
3 4 5
Figura 8 - Resultados do Modelo II apresentados pelo Gretl
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UNIDADE Regressão Linear
MQO, usando as observações 1960-1982 (T = 23)
Variável dependente: Y
Coeficiente Erro Padrão razão-t p-valor
const 35,6808 3,39934 10,4964 <0,0001 ***
X3 -0,654097 0,157564 -4,1513 0,0005 ***
X4 0,232528 0,0543867 4,2755 0,0004 ***
X5 0,115422 0,0243033 4,7492 0,0001 ***
Média var. dependente 39,66957 D.P. var. dependente 7,372950
Soma resid. quadrados 72,67063 E.P. da regressão 1,955702
R-quadrado 0,939235 R-quadrado ajustado 0,929641
F(3, 19) 97,89329 P-valor (F) 9,78e-12
Log da verossimilhança -45,86568 Critério de Akaike 99,73137
Critério de Schwarz 104,2733 Critério Hannan-Quinn 100,8737
Rô 0,350998 Durbin-Watson 1,251523
Quadro 3 - Equação Estimada do Modelo II
Y X X X= + + + +β β β β ε
1 3 4 5
3 4 5
Equação estimada: 

Y X X X= − + +35 6808 0 654097 3 0 232528 4 0 115422 5, , * , * , *
Interpretação da equação estimada do modelo II
As variáveis X3, X4 e X5 indicam, respectivamente, os preços reais das carnes 
de frango, suína e bovina, no varejo, em centavos de dólar por libra-peso. A 
equação estimada indica que:
 · Independentemente dos preços reais das carnes de frango, suína e bovina no 
varejo (ou seja, se X3, X4 e X5 fossem iguais a zero), o consumo de carne de 
frango seria de, aproximadamente, 35,68 libras-peso;
 · A cada centavo de dólar acrescido no preço real da carne de frango, 
no varejo, o consumo de carne de frango seria reduzido, em média, 
aproximadamente, 0,65 libras-peso;
 · A cada centavo de dólar acrescido no preço real da carne suína, no varejo, o 
consumo de carne de frango seria acrescido, em média, aproximadamente, 
0,23 libras-peso. Este resultado reforça a hipótese lógica de que o carne de 
frango e carne suína seriam bens substitutos entre si em função de um aumento 
no preço da carne suína poder provocar um aumento no consumo de frango; e,
 · A cada centavo de dólar acrescido no preço real da carne bovina, no 
varejo, o consumo de carne de frango seria aumentado, em média, 
aproximadamente, 0,12 libras-peso. Este resultado reforça a hipótese lógica 
de que a carne de frango e carne bovina seriam bens substitutos entre si em 
função de um aumento no preço da carne suína expressar um aumento no 
consumo de frango. Entretanto, o impacto menor, comparativamente a um 
aumento na carne suína.
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Modelo III
Y X X X X= + + + + +β β β β β ε
1 2 3 4 5
2 3 4 5
Figura 9 - Resultados do Modelo III apresentados pelo Gretl
MQO, usando as observações 1960-1982 (T = 23)
Variável dependente: Y
Coeficiente Erro Padrão razão-t p-valor
const 37,2324 3,7177 10,0149 <0,0001 ***
X2 0,0050107 0,00489287 1,0241 0,3194
X3 -0,611174 0,162849 -3,7530 0,0015 ***
X4 0,198409 0,0637207 3,1137 0,0060 ***
X5 0,0695029 0,0509872 1,3631 0,1896
Média var. dependente 39,66957 D.P. var. dependente 7,372950
Soma resid. quadrados 68,66969 E.P. da regressão 1,953198
R-quadrado 0,942580 R-quadrado ajustado 0,929821
F(4, 18) 73,87052 P-valor (F) 6,43e-11
Log da verossimilhança -45,21444 Critério de Akaike 100,4289
Critério de Schwarz 106,1064 Critério Hannan-Quinn 101,8568
Rô 0,450426 Durbin-Watson 1,065034
Quadro 4 - Equação Estimada do Modelo III
Y X X X X= + + + + +β β β β β ε
1 2 3 4 5
2 3 4 5
Equação estimada: 

Y X= + − + +37 2324 0 0050107 2 0 611174 3 0 198409 4 0 0695029, , * , *X , *X , *XX5
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UNIDADE Regressão Linear
Interpretação da equação estimada do modelo III
As variáveis X2, X3, X4 e X5 indicam, respectivamente, a renda real disponível 
per capita, os preços reais das carnes de frango, suína e bovina, todas no varejo, 
em centavos de dólar por libra-peso. A equação estimada indica que:
 · Independentemente dos preços reais das carnes de frango, suína e bovina no 
varejo (ou seja, se X3, X4 e X5 fossem iguais a zero), o consumo de carne de 
frango seria de, aproximadamente, 37,23 libras-peso;
 · A cada centavo de dólar acrescido na renda real per capita, o consumo de 
carne de frango aumentaria, em média, aproximadamente, 0,005 libras-peso;
 · A cada centavo de dólar acrescido no preço real da carne de frango, no varejo, 
o consumo de carne de frango seria reduzido, em média, aproximadamente, 
0,61 libras-peso;
 · A cada centavo de dólar acrescido no preço real da carne suína, no varejo, o 
consumo de carne de frango seria acrescido, em média, aproximadamente, 
0,20 libras-peso. Este resultado reforça a hipótese lógica de que a carne de 
frango e carne suína seriam bens substitutos entre si, em função de um aumento 
no preço da carne suína poder provocar um aumento no consumo de frango; e,
 · A cada centavo de dólar acrescido no preço real da carne bovina, no varejo, o 
consumo de carne de frango seria aumentado, em média, aproximadamente, 
0,07 libras-peso. Este resultado reforça a hipótese lógica de que a carne de frango 
e carne bovina seriam bens substitutos entre si, em função de um aumento no 
preço da carne suína expressar um aumento no consumo de frango. Entretanto, 
o impacto menor, comparativamente a um aumento na carne suína.
Comparação de Modelos: Critérios de 
Informação e R-quadrado Ajustado
Quando se insere uma nova variável explicativa a um modelo, o resultado 
imediato é que o grau de explicação do modelo se eleva. Entretanto, isto não 
implica que o modelo seja estatisticamente melhor que outro. A questão é que 
em modelos muito extensos, entre outros problemas que podem ocorrer, surge a 
questão da parcimônia. Ou seja, por mais que a soma dos quadrados dos resíduos 
tenda a diminuir à medida que novas variáveis explicativas são inseridas em um 
modelo, este se torna pouco valorizado por não conseguir encontrar os aspetos-
chave que, de fato, são os mais relevantes para a resolução de qualquer problema 
resolvido econometricamente.
A comparação de modelos é uma forma de distinguir modelos que tentem 
explicar a mesma variável, buscando selecionar um modelo que em conjunto, erre 
menos e ao mesmo tempo seja mais parcimonioso, ou seja, moderado no número 
de variáveis.
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Tradicionalmente, a comparação de modelos se baseia nos critérios de informação 
e no R-quadrado ajustado. Os critérios de informação mais utilizados na literatura 
são o critério de Akaike (CIA) e o critério de Schwarz (CIS). Quanto menor o valor 
destes critérios, melhor será considerado o modelo. Contrariamente, no caso do 
R2 Ajustado, quanto maior o valor encontrado em um modelo, melhor este será.
Importante!
É importante reforçar que para efeito de comparação de modelos não se utiliza o R2, mas 
sim o R2 ajustado! Para maiores detalhes, consulte Sartoris (2003, p. 271-72).
Importante!
Tabela 1 - Resultados dos critérios de informação e R2 ajustado para os modelos I, II e III
Modelo Critério de Schwarz Critério de Akaike R2 ajustado
I 109,9614 106,5549 0,9019
II 104,2733 99,7314 0,9296
III 106,1064 100,4289 0,9298
Os resultados dos critérios de informação e do R2 ajustado na tentativa de 
comparar modelos e encontrar aquele considerado “mais ideal” indicam que o 
modelo I foi o “pior” entre os três por apresentar maiores valores dos critérios de 
informação e por revelar o menor valor de R2 ajustado.
Entre os modelos II e III, o modelo II apresentou menores valores em relação 
aos critérios de informação, mas valor inferior quando o assunto é o R2 ajustado. 
Entretanto, a literatura de econometria tende a preferir confiar mais nos resultados 
dos critérios de informação do que no R2 ajustado. Além disso, os valores de R2 
ajustado nos modelos II e III são muito próximos. Assim, por conter menores 
valores nos critérios de informação, o modelo II seria considerado o mais adequado 
entre os três modelos, se formos considerar somente o aspecto dos critérios de 
informação.
Outra consideraçãoacerca dos resultados é que não somente estes aspectos 
podem ser utilizados para balizar a escolha por determinado modelo. Nesta 
unidade, não foram abordados outros aspectos, como: o teste t em cada coeficiente 
para verificar se cada variável é ou não importante estatisticamente para explicar 
cada modelo considerado; o teste F, o qual avalia a validade conjunta do modelo 
verificar se o modelo explica estatisticamente a variável explicada (ou dependente); 
o valor do R2, que verifica a proporção de explicação de cada modelo em relação à 
variável explicada (ou dependente). Além disso, tem-se que verificar se as hipóteses 
básicas do método de MQO estão sendo respeitadas. A seção a seguir apresenta 
as hipóteses básicas do método de regressão via mínimos quadrados ordinários. A 
violação de tais hipóteses pode, inclusive, comprometer completamente a validade 
de um modelo.
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UNIDADE Regressão Linear
As Hipóteses Básicas do Método MQO
A validade ou robustez de um modelo de regressão via método dos mínimos 
quadrados ordinários dependerá da sustentação de algumas hipóteses básicas. O 
quadro 5 apresenta estas hipóteses com uma explicação prática acerca destas.
Quadro 5 - Hipóteses Básicas do MQO
Hipóteses Explicações práticas
I. Erros têm média zero
Implica dizer que os erros de um modelo são distribuídos de modo que parte deles 
estará acima da reta estimada e parte estará abaixo, de modo que os erros positivos e 
negativos cancelar-se-ão e, em média, serão iguais a zero.
II. Erros são normalmente 
distribuídos
Assume-se que se forem obtidos todos os erros possíveis de um modelo, os quais 
representam a distância entre a reta populacional (verdadeira) e as informações 
verdadeiras – de uma variável explicativa X, por exemplo – então estes erros 
seguiriam uma distribuição normal. Isto implica dizer que erros circulando em torno 
da reta populacional (verdadeira) de um modelo seriam mais recorrentes que erros 
mais distantes dessa reta. A reta populacional representaria a média da distribuição 
normal dos erros. Os erros, então, gravitariam ao redor dessa reta e, a maior parte 
destes estariam relativamente mais próximos dela.
III. Os xi não são 
correlacionados com 
os erros
Os erros não teriam conexão com as informações das variáveis explicativas do modelo. 
Se assim o fossem, os valores do termo de erro poderiam estar explicando as variáveis 
explicativas e o modelo poderia apresentar alguns problemas.
IV. A variância dos erros é 
constante
Os erros gravitariam ao redor de uma reta populacional (verdadeira) com distribuição 
normal e a variância dispersão desses erros seriam constantes ao longo da reta.
V. Erros não são 
autocorrelacionados Se os erros “conversarem” entre si, então haverá um modelo escondido.
VI. Cada variável 
independente Xi não 
pode ser combinação 
linear das demais
Na prática, implica que o modelo não será possível de ser “rodado” e obter algum 
resultado no software sem que duas variáveis inseridas no modelo sejam combinações 
perfeitas uma das outras. Por exemplo, inserindo as variáveis explicativas X2 e X3, se 
todas as informações de uma variável X1 forem o dobro dos elementos de X2, o modelo 
não terá qualquer resultado no Gretl e apresentará uma série de mensagens.
Fonte: Sartoris (2003, p. 262) / Elaboração própria.
Para mais detalhes sobre hipóteses básicas do método MQO, você poderá consultar Sartoris 
(2003, p. 252-62) e Gujarati (2006, p. 53-61).Ex
pl
or
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Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Livros
Estatística Aplicada à Administração e Economia
DOANE, David P.; SEWARD, Lori E. Porto Alegre: Grupo A, 2012. (e-book)
Álgebra Linear Aplicada a Finanças, Economia e Econometria
FONSECA, M. A. R. da. São Paulo: Manole, 2003.
Econometria
HILL, R. C.; GRIFFITHS, W. E.; JUDGE, G. São Paulo: Saraiva, 2003.
Estatística para Administração e Economia
MCCLAVE, James T.; BENSON, P.; GEORGE; Sincich Terry. 10.ed. São Paulo: 
Pearson, 2009. (e-book)
Estatística Aplicada: Administração, Economia e Negócios
SHARPE, Norean R.; DE VEAUX, Richard D.; VELLEMAN, Paul F. Porto Alegre: 
Grupo A, 2011. (e-book).
Introdução à econometria: uma abordagem moderna
WOOLDRIDGE, Jeffrey M. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006.
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UNIDADE Regressão Linear
Referências
GUJARATI, D. Econometria Básica. 4. ed. São Paulo: Elsevier, 2006.
SARTORIS, A. Estatística e Introdução a Econometria. São Paulo: Saraiva, 
2003.
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