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IAL – Módulo 3 – Teste 1 – Turma de 8h – Prof. João Luiz 
 
Nome: __________________________________ Matrícula: _________ 
 
 
1) Seja: 
 









300
020
005
A 








3
2
1
u
u
u
u 








3
2
1
v
v
v
v 








3
0
2
x 








2
4
1
y 
 
a) Se <u,v> é o produto interno em IR3 gerado pela matriz A, escreva 
uma fórmula para <u,v> em função das entradas de A, u e v. 
 
b) Usando o produto interno da letra (a), calcule <x,y>. 
 
c) Usando o produto interno da letra (a), calcule ||x||. 
 
 2
Nome: __________________________________ Matrícula: _________ 
 
 
2) Suponha que P2 tem o produto interno discutido em aula (exemplo 8 da 
seção 6.1). 
 
2
2
2
4
223
32
xx
xx
x



r
q
p
 
 
a) Mostre que p e q são ortogonais. 
 
b) Encontre o cosseno do ângulo entre q e r. 
 
 3
Nome: __________________________________ Matrícula: _________ 
 
 
3) Suponha que IR3 tem o produto interno euclidiano. Use o processo de 
Gram-Schmidt para transformar a base {u1, u2, u3} em uma base 
ortonormal {q1, q2, q3}. 
 









1
2
1
1u 








0
2
2
2u 








1
0
2
3u 
 4
Nome: __________________________________ Matrícula: _________ 
 
 
4) Encontre a solução de mínimos quadrados do sistema linear Ax = b. 
 









13
22
31
A 









1
0
1
b 
 5
Nome: __________________________________ Matrícula: _________ 
 
Rascunho 
 6
Nome: __________________________________ Matrícula: _________ 
 
Rascunho