TEMA 3

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DESCRIÇÃO
Abordagem das funções por vários pontos de vista complementares: descrição como conceito matemático, estudo analítico e representação gráfica. Consolidação da importante noção de função real de uma variável real.
PROPÓSITO
Compreender a relevância do conceito de função para a interpretação e a resolução de problemas diversos, inclusive fenômenos naturais, sociais e de outras áreas.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Reconhecer graficamente o domínio, a imagem e o contradomínio de funções
MÓDULO 2
Identificar graficamente os tipos de funções: injetora, sobrejetora e bijetora
MÓDULO 3
Definir funções crescentes e decrescentes
MÓDULO 4
Definir funções periódicas
MÓDULO 1
Reconhecer graficamente o domínio, a imagem e o contradomínio de funções
INTRODUÇÃO
Para fazermos modelos matemáticos de nossa realidade, associamos quantidades numéricas aos acontecimentos, fatos e objetos que desejamos estudar ou analisar.
É comum obtermos relações expressas em termos de fórmulas ou expressões matemáticas, porém, muitas vezes, as expressões obtidas nem sempre dão origem a um número real para todos os possíveis valores da variável independente.
Nessa situação, é importante determinar o conjunto dos valores da variável independente para os quais a fórmula matemática define uma função.
Imagem: Shutterstock.com
Nosso estudo se restringirá ao estudo das funções reais de variável real, ou seja, tanto o domínio quanto o contradomínio são subconjuntos de ℝ ou até mesmo todo o ℝ.
Antes de darmos prosseguimentos ao nosso estudo de funções, assista ao vídeo que relembra as definições básicas relativas às funções.
DEFINIÇÃO
O domínio da função 𝑓 é o maior subconjunto de ℝ onde a expressão (ou fórmula) que define a função assume valores reais, ou seja:
D(f)={x∈R| f(x)∈R}𝐷(𝑓)={𝑥∈ℝ| 𝑓(𝑥)∈ℝ}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Veja nas imagens três representações gráficas de funções cuja lei de formação é 𝑓(𝑥)=𝑥2 e os seus domínios.
𝐷1=ℝ
D2={−2;−√2;−1;0;1;√2;2}D2={-2;-2;-1;0;1;2;2}
𝐷3=[0;+∞[
Quando uma função está definida por uma fórmula matemática, a fórmula em si pode impor restrições sobre os valores reais para os quais podemos calculá-la.
EXEMPLO 1
Qual é o domínio da função f(x)=1x𝑓(x)=1x?
Repare que 𝑥=0 não está no domínio dessa função, pois a divisão por 0 (zero) não está definida. Logo, 𝐷(𝑓)=ℝ∗.
EXEMPLO 2
Qual é o maior subconjunto de 𝑋⊂ℝ, tal que a fórmula g(x)=√xg(x)=x define uma função 𝑓:𝑋→ℝ?
Como só podemos calcular a raiz quadrada de valores não negativos, temos: 𝐷(𝑔)=[0; +∞[.
Vamos ver na prática como determinar o domínio de uma função?
EXEMPLO 3
Pensando em construir uma piscina retangular em sua casa, João recorreu à Revista Casa e Jardim, da Globo, onde encontrou um modelo de piscina que contracena com a represa no projeto assinado pela arquiteta Eliana Marques Lisboa.
Sabendo que o terreno onde será construída a piscina deve ser cercado com 240 m de cerca, faça o que se pede:
A - Expresse a área do terreno em metros quadrados em função do comprimento do terreno.
B - Determine o domínio da função resultante. Lembre-se de que a expressão que determina a área de uma figura retangular é dada pelo produto entre o comprimento e a largura.
Assista ao vídeo com a resolução das questões apresentadas no exemplo 1.3.
EXEMPLO 4
SABENDO QUE O COMPRIMENTO DO TERRENO DE JOÃO É DE 100 M, UTILIZE A EXPRESSÃO OBTIDA 𝐴=𝑥⋅(120−𝑥) PARA DETERMINAR A ÁREA DO TERRENO ONDE SERÁ CONSTRUÍDA A PISCINA.
RESOLUÇÃO DA QUESTÃO
RESOLUÇÃO DA QUESTÃO
Conforme visto no exemplo 3, a área do terreno é dada pela expressão A=x⋅(120−x), onde x é o número de metros de comprimento do terreno.
Logo, temos:
A(100)=100⋅(120−100)=2000 m2
Isso significa que a imagem de 100 pela função A é 2000.
ATENÇÃO
Os gráficos das funções podem fornecer informações visuais importantes sobre uma função.
O gráfico de uma função pode ser definido como:
𝐺𝑟𝑎𝑓(𝑓)={(𝑥; 𝑓(𝑥)) | 𝑥∈𝐷(𝑓)}
Portanto, a ordenada 𝑦 de um ponto do gráfico da função 𝑓 é o valor de 𝑓 na abscissa 𝑥 correspondente.
O gráfico de 𝑓 também nos permite visualizar o domínio e a imagem, além de muitas outras informações.
LEITURA GRÁFICA: DOMÍNIO E IMAGEM
O domínio da função 𝑓 é o maior subconjunto de ℝ onde a expressão (ou fórmula) que define a função assume valores reais, ou seja:
COMO SABER SE UM NÚMERO REAL 𝒂 PERTENCE AO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO 𝒇?
O número real 𝑎 pertence ao domínio de uma função 𝑓 se a reta vertical 𝑥=𝑎 corta o gráfico de 𝑓 em um ponto. Como f é uma função, este ponto é necessariamente único.
Foto: Shutterstock.com
EXEMPLO 1
Taxa de crescimento 2010-2060 do Brasil e de Tocantins:
Fonte: BRASIL. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Projeção da população do Brasil e das Unidades da Federação. Brasília: IBGE, 2008. Imagem: Shutterstock.com. Imagem adaptada por: Gian Corapi.
Verifique que, no ano de 2030, temos uma única taxa de crescimento, tanto no Brasil quanto em Tocantins.
COMO SABER SE UM NÚMERO REAL 𝑏 PERTENCE À IMAGEM DE UMA FUNÇÃO 𝑓?
O número real 𝑏 pertence à imagem de uma função 𝑓 se a reta horizontal 𝑦=𝑏 corta o gráfico de 𝑓 em pelo menos um ponto.
EXEMPLO 2
Verifique que o valor 0,82 pertence tanto à imagem da função que representa a taxa de crescimento no Tocantins quanto à função que representa a taxa de crescimento no Brasil, em 2029 e 2018, respectivamente.
Taxa de crescimento 2010-2060 do Brasil e de Tocantins:
Fonte: BRASIL. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Projeção da população do Brasil e das Unidades da Federação. Brasília: IBGE, 2008.
DOMÍNIO
Dado o gráfico de uma função, uma forma de encontrar o domínio da função é projetar o gráfico no Eixo 𝑂𝑥.
Exemplo 1: Observe o gráfico da função 𝑓:
O que acontece se projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂𝑥?
Vemos que o domínio da função 𝑓 é o intervalo no eixo das abscissas indicado em vermelho.
Seu domínio é o intervalo fechado: D(f)=[−1,4]𝐷(𝑓)=[−1,4]
Exemplo 2: Observe o gráfico da função 𝑔:
O que acontece se projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂𝑥?
Vemos que o domínio da função 𝑔 é o conjunto no eixo das abscissas indicado em vermelho.
 Seu domínio é a união de intervalos disjuntos (intervalos cuja interseção é vazia): D(g)=[−72  , 1)∪(1 , 5]𝐷(𝑔)=[-72  , 1)∪(1 , 5].
Assista ao vídeo com mais um exemplo de domínio da função.
IMAGEM
Dado o gráfico de uma função, uma forma de encontrar a imagem da função é projetar o seu gráfico no Eixo 𝑂𝑦.
Exemplo 1: Observe o gráfico da função 𝑓:
O que acontece se projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂𝑦?
Vemos que a imagem da função 𝑓 é o intervalo fechado indicado em vermelho no Eixo 𝑂𝑦.
Sua imagem é o intervalo fechado [−94;3712]-94;3712,
Im(f)=[−94;3712]𝐼𝑚(𝑓)=-94;3712.
Exemplo 2: Observe o gráfico da função 𝑔:
O que acontece se projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂y?
Vemos que a imagem da função 𝑔 é o intervalo indicado em vermelho no Eixo 𝑂y
Sua imagem é o intervalo (−2; 5,25](−2; 5,25].
Im(g)=(−2;5,25]𝐼𝑚(𝑔)=(−2;5,25].
EXEMPLO 3
Gráfico da função ℎ
Se Projetarmos o gráfico da função no Eixo 𝑂𝑦, vemos que a imagem da função ℎ é o intervalo indicado em vermelho no Eixo 𝑂𝑦.
Sua imagem é o intervalo (−2; 5,25](−2; 5,25].
Im(h)=(−2;  5,25]𝐼𝑚(ℎ)=(−2;  5,25].
Em resumo, é possível determinar a imagem de um conjunto de pontos:
Se 𝑫 é um subconjunto do domínio da função 𝑓 (pintado de azul na figura), então, a imagem deste subconjunto é dada por 𝒇(𝑫)={ 𝑓(𝑥) | 𝑥 ∈𝐷 }.
EXEMPLO 4
Assista ao vídeo com mais um exemplo de imagem da função.
EXEMPLO 5
Observe o gráfico da função 𝑓 e o intervalo [−23;512]-23;512 destacado em verde no Eixo 𝑂𝑦, que é um subconjunto da imagem de 𝑓.
Ao traçar as retas y=512y=512 e y=−23y=-23 de forma horizontal, partindo no Eixo 𝑂𝑦, temos:
Se pegarmos a parte do gráfico restrita à região entre as retas y=−23y=-23 e y=512y=512, temos:
Agora, para descobrirmos a parte do domínio correspondente ao intervalo [−25;512]-25;512 da imagem, basta projetarmos no Eixo 𝑂𝑥.
Aparte do Eixo 𝑂𝑥 que nos interessa está destacada em vermelho: [−0,4; 2]∪[3,6; 3,8]:
VERIFICANDO O APRENDIZADO
Parte superior do formulário
1. CONSIDERE A SEGUINTE FUNÇÃO:
f(x)=⎧⎪⎨⎪⎩−2x,   se   x<0√x,   se    0≤x≤42,   se   x>4   fx=-2x,   se   x<0x,   se    0≤x≤42,   se   x>4   
O DOMÍNIO E A IMAGEM DA FUNÇÃO SÃO, RESPECTIVAMENTE:
𝐷(𝑓)=ℝ e 𝐼𝑚(𝑓)=[0; +∞┤[.
𝐷(𝑓) = [0; +∞┤[ e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ.
𝐷(𝑓) = ℝ e 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ.
𝐷(𝑓) = [0; +∞┤[ e 𝐼𝑚(𝑓) = [0; +∞┤[.
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
2. (PETROBRAS - 2008) CONSIDERE QUE 𝑓 É UMA FUNÇÃO DEFINIDA DO CONJUNTO 𝐷 EM ℝ POR: 𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥+8.
SENDO 𝐼𝑚 A IMAGEM DE 𝑓, É CORRETO AFIRMAR QUE, SE:
𝐷=[−2,0], então 𝐼𝑚(𝑓)=ℝ+.
𝐷=[2,+∞[, então 𝐼𝑚(𝑓)=[0;4].
𝐷=[2,+∞[, então 𝐼𝑚(𝑓)=ℝ+.
𝐷=[0;2], então 𝐼𝑚(𝑓)=[4;8].
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
3. OBSERVE OS GRÁFICOS DAS FUNÇÕES 𝒚=𝒇(𝒙), 𝒚=𝒈(𝒙) E 𝒚=𝒉(𝒙):
NO MESMO PAR DE EIXOS, PODEMOS AFIRMAR QUE:
𝑓(2)=2, 𝑔(2)=2 𝑒 ℎ(2)=−2.
𝐷𝑜𝑚(𝑔)=[−3,3] 𝑒 𝐼𝑚(ℎ)=[−4,3].
𝐷𝑜𝑚(𝑓)=[−4,4] 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)=[−4,3].
𝐷𝑜𝑚(ℎ)=[−2,2] 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)=[−4,3].
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
4. CONSIDERE A FUNÇÃO f(x)=120x300−xf(x)=120x300-x. PODEMOS AFIRMAR QUE O DOMÍNIO DA FUNÇÃO 𝑓 É:
Todo número real 𝑥.
Todo número real 𝑥, exceto os números positivos.
Todo número real 𝑥, exceto 𝑥=300.
Todo número real 𝑥, exceto os números negativos.
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
5. CONSIDERE O GRÁFICO DA FUNÇÃO 𝑓:
APÓS A ANÁLISE DO GRÁFICO, PODEMOS AFIRMAR QUE:
A função não está definida em 𝑥=1,6.
𝐼𝑚(𝑓)=[−4,5].
𝐷𝑜𝑚(𝑓)=[−4.5, 11].
𝐷𝑜𝑚(𝑓)=[−4.5, 2)∪(2,11].
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
6. SE A FUNÇÃO REAL DEFINIDA POR f(x)=x+1√x−2+√11−xfx=x+1x-2+11-x POSSUI 𝐷=[𝑎,𝑏] COMO DOMÍNIO, ENTÃO, 𝑎+𝑏 VALE:
11
5
13
15
Parte inferior do formulário
GABARITO
1. Considere a seguinte função:
f(x)=⎧⎪⎨⎪⎩−2x,   se   x<0√x,   se    0≤x≤42,   se   x>4   fx=-2x,   se   x<0x,   se    0≤x≤42,   se   x>4   
O domínio e a imagem da função são, respectivamente:
A alternativa "A " está correta.
A função é formada por três pedaços de funções já conhecidas. Cada um desses pedaços corresponde a uma parte do domínio. Para 𝑥<0, o gráfico é parte da reta 𝑦=−2𝑥. Para traçar, basta considerarmos dois pontos.
	𝑥
	𝑦= −2𝑥
	(𝑥; -2𝑥)
	0
	-2 . 0 = 0
	(0; 0)
	-2
	-2 . (-2) = 4
	(-2; 4)
Marcando esses pontos no plano, obtemos a parte da reta que nos interessa:
Repare que o ponto (0;0) ficou traçado como “bolinha aberta”, pois 𝑥=0 não pertence a essa parte do domínio da função.
Para 0≤𝑥≤4, o gráfico é parte do gráfico de 𝑦=√𝑥. Para traçá-lo, devemos olhar para o esboço apresentado anteriormente, bem como calcular o valor da função nos extremos.
	𝑥
	𝑦=√𝑥
	(𝑥; √𝑥)
	0
	√0=0
	(0; 0)
	4
	√4=2
	(4; 2)
Marcamos, então, esses pontos e, em seguida, traçamos uma curva passando por eles com o formato parecido com o do esboço já apresentado.
Finalmente, para 𝑥>4, a função é constante e igual a 2. Seu gráfico é uma reta paralela ao Eixo 𝑂𝑥:
Aqui, o ponto (4;2) também ficou como “bolinha aberta”, pois 𝑥=4 não pertence a essa parte do domínio.
Juntando todas essas informações em um único plano, obtemos o gráfico da função 𝑓:
A partir da representação gráfica, fica fácil perceber que 𝐷(𝑓)=ℝ e 𝐼𝑚(𝑓)=[0; +∞┤[.
2. (PETROBRAS - 2008) Considere que 𝑓 é uma função definida do conjunto 𝐷 em ℝ por: 𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥+8.
Sendo 𝐼𝑚 a imagem de 𝑓, é correto afirmar que, se:
A alternativa "D " está correta.
O gráfico da função 𝑓 é dado por:
Vamos analisar cada restrição do domínio da função 𝑓.
Note que, se 𝐷=[−2,0], temos que 𝐼𝑚(𝑓)=[8,20].
Se 𝐷=[2,+∞[, temos que 𝐼𝑚(𝑓)=[4,+∞).
Se 𝐷=[0;2], temos que I𝑚(𝑓)=[4;8].
3. Observe os gráficos das funções 𝒚=𝒇(𝒙), 𝒚=𝒈(𝒙) e 𝒚=𝒉(𝒙):
No mesmo par de eixos, podemos afirmar que:
A alternativa "C " está correta.
Observando o gráfico, temos: 𝑓(2)=2, 𝑔(2)=2 e ℎ(2)=2.
𝐷𝑜𝑚(𝑓)=[−4,4] e 𝐼𝑚(𝑓)=[−4,3].
𝐷𝑜𝑚(𝑔)=[−3,3] e 𝐼𝑚(𝑔)=[−1,𝑔(3)]
𝐷𝑜𝑚(ℎ)=[−2,2] e 𝐼𝑚(ℎ)=[1,2].
4. Considere a função f(x)=120x300−xf(x)=120x300-x. Podemos afirmar que o domínio da função 𝑓 é:
A alternativa "C " está correta.
A função não está definida para 𝑥=300, pois este número anula o denominador.
5. Considere o gráfico da função 𝑓:
Após a análise do gráfico, podemos afirmar que:
A alternativa "D " está correta.
Projetando o gráfico da função no eixo -𝒙, vemos que o domínio da função 𝒇 é o conjunto no eixo -𝑥 indicado em vermelho na figura.
Seu domínio é a seguinte união de intervalos:[−𝟒.𝟓 , 𝟐) ∪ (𝟐 , 𝟏𝟏].
𝑫𝒐𝒎(𝒇)=[−𝟒.𝟓 , 𝟐) ∪ (𝟐 , 𝟏𝟏].
Projetando o gráfico da função no eixo -𝒚, vemos que a imagem da função 𝒇 é o intervalo no eixo -𝑦 indicado em vermelho na figura.
Sua imagem é o intervalo [−𝟒, 𝟖.𝟑].
𝑰𝒎(𝒇)=[−𝟒, 𝟖.𝟑].
6. Se a função real definida por f(x)=x+1√x−2+√11−xfx=x+1x-2+11-x possui 𝐷=[𝑎,𝑏] como domínio, então, 𝑎+𝑏 vale:
A alternativa "C " está correta.
Primeiramente, vamos determinar o domínio da função 𝑓. Para isso, precisamos analisar para quais valores de 𝑥 a função √x−2x-2 e √11−x11-x está bem definida e fazer a interseção dos intervalos.
Note que √x−2x-2 está bem definida para 𝑥≥2, e √11−x11-x está bem definida para 11−𝑥≥0, ou seja, 𝑥≤11. Como [2,+∞)∩(−∞,11]=[2,11], temos que 𝐷=[2,11].
Logo, 𝑎+𝑏=2+11=13.
MÓDULO 2
Identificar graficamente os tipos de funções: injetora, sobrejetora e bijetora
FUNÇÕES INJETORAS
Uma função 𝑓 é dita injetora (ou injetiva) se, para quaisquer dois números 𝑎1, 𝑎 2 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), tais que 𝑎1≠𝑎2, os números 𝑓(𝑎1) e 𝑓(𝑎2) na imagem de 𝑓 são também distintos.
Assista ao vídeo com mais um exemplo de injeção, sobrejeção e bijeção.
EXEMPLO 1
A função 𝑓(𝑥)=𝑥2−1, definida para todos os números reais, é injetiva?
Observe que: 𝑓(−2)=(−2)2−1=3=22−1=𝑓(2)
 
Em outros termos, –2 e 2 têm a mesma imagem.
 
Gráfico da função 𝒇 e reta horizontal 𝒚=𝟑
 
A partir da representação gráfica da função 𝑓(𝑥)=𝑥2−1, é possível observar que há retas horizontais que intersectam seu gráfico mais de uma vez.
ATENÇÃO
Teste da reta horizontal
Uma função é injetiva se, e somente se, toda reta horizontal intersecta seu gráfico em, no máximo, um ponto.
Observe que, pelo teste da reta horizontal, a função do exemplo citado não é injetiva.
EXEMPLO 2
A função 𝑔(𝑥)=𝑥3 é injetiva.
Gráfico de 𝒈(𝒙)=𝒙𝟑
Qualquer reta horizontal intersecta o gráfico em apenas um ponto. Logo, pelo teste da reta horizontal, a função 𝑔 é injetiva.
FUNÇÕES SOBREJETORAS E BIJETORAS
SOBREJETORAS
Se 𝐴,𝐵⊂ℝ, uma função 𝑓:𝐴→𝐵 é chamada sobrejetora ou sobrejetiva, quando 𝑓(𝐴)=𝐵.
Repare que, quando restringimos o contradomínio de uma função para sua imagem, ou seja,𝑓:𝐷𝑜𝑚(𝑓)⟶𝑓(𝐷𝑜𝑚(𝑓)), estamos garantindo que não há qualquer elemento do contradomínio que não seja imagem de algum elemento do domínio. Assim, essa é uma forma de garantir que a função seja sobrejetiva.
BIJETORAS
Uma função 𝑓, que é simultaneamente injetora e sobrejetora, é chamada de bijetora ou bijetiva.
Assim, a função 𝑓:𝐷𝑜𝑚(𝑓)→𝑓(𝐷𝑜𝑚(𝑓)) (que já é sobrejetora) será bijetora se, e somente se, for injetora.
RELAÇÃO GEOMÉTRICA ENTRE OS GRÁFICOS DE UMA FUNÇÃO E SUA INVERSA
O objetivo é mostrar graficamente a relação existente entre o gráfico de uma função bijetora e sua inversa.
ATENÇÃO
Lembre-se de que uma função ter inversa é equivalente a ela ser bijetiva.
No quadro a seguir, sintetizamos algumas informações sobre uma função 𝑓 e sua inversa 𝑓−1:
f: A→Bf: A→B E f−1: B→Af-1: B→A
SE ff"LEVA" aa EM bb ENTÃO f−1f-1 "TRAZ" bb "DE VOLTA" EM aa
f(a)=b⇔f−1(b)=af(a)=b⇔f-1(b)=a
Dom(f)=Im(f−1)Dom(f)=Im(f-1) E Dom(f−1)=Im(f)Dom(f-1)=Im(f)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É preciso notar que:
f(a)=b⇔f−1(b)=af(a)=b⇔f-1(b)=a
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas o que essa equivalência significageometricamente?
Que o ponto (𝑎;𝑏) estar no gráfico da função 𝑓 é equivalente ao ponto (𝑏;𝑎) estar no gráfico da função 𝑓−1.
Simetria dos pontos (𝒂;𝒃) e (𝒃;𝒂) em relação à reta 𝒚=𝒙
No gráfico, percebemos que os pontos (𝑎;𝑏) e (𝑏;𝑎) são simétricos em relação à reta 𝑦=𝑥. Mas isso é verdade para todos os pontos das funções 𝑓 e 𝑓−1.
O GRÁFICO DE 𝐟−𝟏 É OBTIDO REFLETINDO-SE O GRÁFICO DE 𝐟 EM TORNO DA RETA 𝐲=𝐱.
Simetria entre os gráficos de 𝒇 e 𝒇−𝟏
Se 𝑓 e 𝑔 forem funções inversas entre si, temos:
𝑓(𝑓−1 (𝑦))=𝑓(𝑥)=𝑦, PARA TODO 𝑦 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓−1).
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
𝑓(𝑓−1 (𝑦))=𝑓(𝑥)=𝑦, PARA TODO 𝑦 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓−1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A lei da esquerda nos diz que, se começarmos em 𝑥, aplicando 𝑓, e, em seguida, 𝑓−1, obteremos de volta 𝑥.
Da mesma forma, a lei da direita nos diz que, se começarmos em 𝑦, aplicando 𝑓−1, e, em seguida, 𝑓, obteremos de volta 𝑦.
EXEMPLO 1
Assista ao vídeo com um exemplo de relação geométrica entre os gráficos de uma função e sua inversa.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
Parte superior do formulário
1. (ADAPTADA DE: LIVRO ABERTO - S.D.) CONSIDERE A FUNÇÃO 𝑔:ℝ→ℝ TAL QUE 𝑔(𝑥)=9−𝑥2. ASSINALE A ALTERNATIVA CORRETA:
Existe algum 𝑥∈ℝ cuja imagem é igual a 10.
A função 𝑔 é injetora.
A função 𝑔 é sobrejetora.
Restringindo o domínio da função 𝑔 para o intervalo [0,+∞), temos que 𝑔 é injetora.
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
2. CONSIDERE A FUNÇÃO BIJETORA 𝑓:[1,∞)→(−∞,1] DEFINIDA POR 𝑓(𝑥)=−3𝑥2+2𝑥+2 E SEJA (𝑎,𝑏) O PONTO DE INTERSEÇÃO DE 𝑓 COM SUA INVERSA 𝑓−1. O VALOR NUMÉRICO DA EXPRESSÃO 𝑎+𝑏 É:
2
4
6
8
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
3. (ADAPTADA DE: OBMEP-2019) A CALCULADORA DE DARIO TEM UMA TECLA ESPECIAL. SE UM NÚMERO 𝑛, DIFERENTE DE 2, ESTÁ NO VISOR, ELE APERTA A TECLA ESPECIAL E APARECE O NÚMERO, 2×nn−22×nn-2. POR EXEMPLO, SE O NÚMERO 6 ESTÁ NO VISOR, AO APERTAR A TECLA ESPECIAL, APARECE 3, POIS 2×66−2=32×66-2=3. PARA QUAIS VALORES DARIO OBTÉM O MESMO NÚMERO QUE ESTÁ INICIALMENTE NO VISOR?
1 e 0
2 e 0
3 e 0
4 e 0
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
4. CONSIDERE A FUNÇÃO 𝑓:(−1,2]→ℝ, DADA POR:
f(x)=⎧⎪
⎪⎨⎪
⎪⎩x2, se −1≤x≤0x+12, se 0<x≤1−x+2, se 1<x≤2fx=x2, se -1≤x≤0x+12, se 0<x≤1-x+2, se 1<x≤2
NESTAS CONDIÇÕES, É CORRETO AFIRMAR QUE:
𝑓 é sobrejetora.
𝑓 é injetora.
𝑓 é bijetora.
𝐼𝑚(𝑓)=[0,1].
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
5. SEJA A FUNÇÃO 𝑓: ℝ\2→ℝ\3, DEFINIDA POR f(x)=2x−3x−2+1f(x)=2x-3x-2+1, CUJO GRÁFICO É ESTE:
COM OS CONHECIMENTOS ADQUIRIDOS NO EXEMPLO DO VÍDEO DESTE MÓDULO, CONSTRUA O GRÁFICO DA FUNÇÃO INVERSA DA 𝑓 ANTES DE RESPONDER À ATIVIDADE.
SOBRE A SUA INVERSA, PODEMOS GARANTIR QUE:
Não está definida, pois 𝑓 não é sobrejetora.
O gráfico da função inversa de 𝑓 é dado pelo gráfico:
O gráfico da função inversa de 𝑓 é dado pelo gráfico:
O gráfico da função inversa de 𝑓 é dado pelo gráfico:
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
6. SEJA 𝑓 A FUNÇÃO 𝑓:[𝑡,+∞)→ℝ, DEFINIDA POR 𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥2+1. O MENOR VALOR DE 𝑡 PARA QUE A FUNÇÃO SEJA INJETORA É:
-1
0
1
2
Parte inferior do formulário
GABARITO
1. (Adaptada de: LIVRO ABERTO - s.d.) Considere a função 𝑔:ℝ→ℝ tal que 𝑔(𝑥)=9−𝑥2. Assinale a alternativa correta:
A alternativa "D " está correta.
Observe o gráfico da função 𝑔(𝑥)=9−𝑥2:
Ao traçarmos a reta horizontal 𝑦=10, ela não intersecta o gráfico da função 𝑔. Logo, não existe 𝑥∈ℝ, cuja imagem é igual a 10.
Além disso, utilizando o teste da reta horizontal para saber se a função 𝑔 é injetora em todo o seu domínio, notamos que existem vários números diferentes com imagens iguais. Por exemplo: 𝑔(−1)=8 e 𝑔(1)=8. Assim, 𝑔 não é injetora em ℝ.
Em contrapartida, ao restringir o domínio da função 𝑔 ao intervalo [0,+∞), o gráfico da função 𝑔 é dado por:
Utilizando o teste da horizontal, observamos que a função é injetora nesse intervalo.
2. Considere a função bijetora 𝑓:[1,∞)→(−∞,1] definida por 𝑓(𝑥)=−3𝑥2+2𝑥+2 e seja (𝑎,𝑏) o ponto de interseção de 𝑓 com sua inversa 𝑓−1. O valor numérico da expressão 𝑎+𝑏 é:
A alternativa "A " está correta.
Para determinar o gráfico da função inversa de uma função bijetiva, basta fazer a reflexão sobre a reta y=x. Dessa forma, a fim de encontrar tal ponto, devemos apenas resolver o sistema:
{y=xy=−3x2+2x+2y=xy=-3x2+2x+2
Fique atento ao fato de que a solução deve estar contida no domínio da função 𝑓, sugerido na questão. Assim, devemos resolver a equação:
x=−3x2+2x+2x=-3x2+2x+2
−3x2+x+2=0-3x2+x+2=0
x=−1±5−6={x1=1x2=−23x=-1±5-6=x1=1x2=-23
Como −23-23 não pertence ao domínio da função 𝑓, a única solução é 𝑥=1 e, portanto, 𝑦=1, como podemos ver graficamente:
Consequentemente 𝑎+𝑏=2.
3. (Adaptada de: OBMEP-2019) A calculadora de Dario tem uma tecla especial. Se um número 𝑛, diferente de 2, está no visor, ele aperta a tecla especial e aparece o número, 2×nn−22×nn-2. Por exemplo, se o número 6 está no visor, ao apertar a tecla especial, aparece 3, pois 2×66−2=32×66-2=3. Para quais valores Dario obtém o mesmo número que está inicialmente no visor?
A alternativa "D " está correta.
Note que a tecla especial é uma função. Portanto, podemos considerar:
f(n)=nx2n−2f(n)=nx2n-2
Desejamos obter os valores de 𝑛, tais que 𝑓(𝑛)=𝑛. Note ainda que 2 não está no domínio da função dada. Vamos aos cálculos:
nx2n−2=nnx2n-2=n
0=n2−4n=n(n−4)0=n2-4n=n(n-4)
Logo, 𝑛=0 e 𝑛=4.
4. Considere a função 𝑓:(−1,2]→ℝ, dada por:
f(x)=⎧⎪
⎪⎨⎪
⎪⎩x2, se −1≤x≤0x+12, se 0<x≤1−x+2, se 1<x≤2fx=x2, se -1≤x≤0x+12, se 0<x≤1-x+2, se 1<x≤2
Nestas condições, é correto afirmar que:
A alternativa "D " está correta.
Observe o gráfico da função 𝑓:
Utilizando o teste da horizontal, vemos que a função não é injetora e, consequentemente, não é bijetora. Em contrapartida, 𝐼𝑚(𝑓)=[0,1]≠ℝ. Logo, a função 𝑓 não é sobrejetora.
5. Seja a função 𝑓: ℝ\2→ℝ\3, definida por f(x)=2x−3x−2+1f(x)=2x-3x-2+1, cujo gráfico é este:
Com os conhecimentos adquiridos no exemplo do vídeo deste módulo, construa o gráfico da função inversa da 𝑓 antes de responder à atividade.
Sobre a sua inversa, podemos garantir que:
A alternativa "D " está correta.
O gráfico da função inversa é dado por:
6. Seja 𝑓 a função 𝑓:[𝑡,+∞)→ℝ, definida por 𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥2+1. O menor valor de 𝑡 para que a função seja injetora é:
A alternativa "D " está correta.
Observe o gráfico da função 𝑓(𝑥)=𝑥3−3𝑥2+1:
Note que, para a função 𝑓 ser bijetora, 𝑡=2.
O gráfico em roxo é a função 𝑓:[2,+∞)→ℝ, que é injetora pelo teste da reta horizontal.
MÓDULO 3
Definir funções crescentes e decrescentes
INTRODUÇÃO
Grande parte do estudo de Cálculo dirige-se à determinação do comportamento de uma função em certo intervalo. Por exemplo, estamos interessados em algumas perguntas como:
ONDE A FUNÇÃO É CRESCENTE?
ONDE ELA É DECRESCENTE?
O LUCRO DA EMPRESA AUMENTOU?
Neste módulo, mostraremos como as funções se comportam em determinados intervalos da reta real e algumas de suas aplicações.
Assista ao vídeo com mais um exemplo de função crescente e função decrescente.
DEFINIÇÃO
Uma função f:R→R 𝑓:ℝ→ℝ  é considerada crescente quando os valores das imagens, f(x)𝑓(𝑥), aumentam à medida que os valores de x𝑥 aumentam, ou seja, para x2>x1𝑥2>𝑥1, temos: f(x2 )>f(x1 )𝑓(𝑥2 )>𝑓(𝑥1 ).
Em termos gráficos:
Uma função f:R→R𝑓:ℝ→ℝ é considerada decrescente quando os valores das imagens, f(x)𝑓(𝑥), diminuem à medida em que os valores de x𝑥 aumentam, ou seja, para x2>x1𝑥2>𝑥1, temos f(x2)<f(x1)𝑓(𝑥2)<𝑓(𝑥1).
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EXEMPLO 1
O gráfico mostra a Chuva Acumulada Mensal no município de Campos (RJ), em 2020, e a Chuva Acumulada Mensal de acordo com as normas climatológicas entre 61-90:
Note que ocorreu um decréscimo da quantidade de chuva acumulada do mês de janeiro ao mês de fevereiro. Além disso, de acordo com a Normal Climatológica, no mês de outubro, a previsão é de um aumento significativodas chuvas acumuladas.
Fonte: Instituto Nacional de Meteorologia (INMET).
EXEMPLO 2
Veja a projeção do crescimento da taxa bruta de mortalidade e natalidade do Brasil, do início de 2010 a 2058.
Observe que a taxa bruta de natalidade decresceu, enquanto ocorreu um crescimento na taxa bruta de mortalidade.
EXEMPLO 3
Considere a função f(x)=x3𝑓(𝑥)=𝑥3
Note que essa função é crescente em toda a reta real.
De fato, dados x1<x2𝑥1<𝑥2, temos que f(x1)=x13<x23=f(x2)𝑓(𝑥1)=𝑥31<𝑥32=𝑓(𝑥2).
EXEMPLO 4
Considere a função f(x)=⎧⎪
⎪⎨⎪
⎪⎩−x2, x<00, 0≤x≤1(x−1)2, x>1𝑓x=−𝑥2, 𝑥<00, 0≤𝑥≤1(𝑥−1)2, 𝑥>1
Observe que a função apresentada não é estritamente crescente em toda reta real, já que ela é constante no intervalo [0,1].
As funções estritamente crescentes têm um papel especial em Cálculo I.
EXEMPLO 5
Vamos praticar: analise o gráfico da função.
Agora, determine os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente.
RESOLUÇÃO DA QUESTÃO
RESOLUÇÃO DA QUESTÃO
Observando o gráfico, vemos que a função é crescente em (−∞,−0.22)∪(1.55,+∞)(−∞,−0.22)∪(1.55,+∞) e decrescente em (−0.22,1.55)(−0.22,1.55).
VERIFICANDO O APRENDIZADO
Parte superior do formulário
1. (ADAPTADA DE: UFPE - 2017) NO GRÁFICO A SEGUIR, TEMOS O NÍVEL DA ÁGUA ARMAZENADA EM UMA BARRAGEM AO LONGO DE TRÊS ANOS:
DE ACORDO COM O GRÁFICO, PODEMOS AFIRMAR QUE:
O nível de 70 m foi atingido uma única vez.
O nível da água armazenada cresce em todo tempo.
O nível da água armazenada é estritamente decrescente.
O nível de 40 m foi atingido 2 vezes nesse período.
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
2. NO ANO DE 2020, O MUNDO FOI ASSOLADO POR UMA PANDEMIA, CAUSADA PELO VÍRUS SAR-COV-2, CONFORME MOSTRA O GRÁFICO A SEGUIR:
DE ACORDO COM O GRÁFICO, PODEMOS AFIRMAR QUE:
De 03 a 12 de fevereiro, a número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 12 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer.
De 03 a 18 de fevereiro, o número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 18 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer.
De 03 a 12 de fevereiro, o número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 24 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer.
De 03 a 12 de fevereiro, o número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 18 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer.
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
3. APÓS VÁRIAS EXPERIÊNCIAS EM LABORATÓRIOS, OBSERVOU-SE QUE A CONCENTRAÇÃO DE CERTO ANTIBIÓTICO NO SANGUE DE COBAIAS VARIA DE ACORDO COM A FUNÇÃO f(x)=12x−2x2𝑓(𝑥)=12𝑥−2𝑥2, EM QUE 𝑥 É O TEMPO DECORRIDO, EM HORAS, APÓS A INGESTÃO DO ANTIBIÓTICO.
NESSAS CONDIÇÕES, A PARTIR DE QUAL MOMENTO A CONCENTRAÇÃO DESSE ANTIBIÓTICO COMEÇA A DECRESCER?
0
6
3
18
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
4. UMA FUNÇÃO f:R+→R+𝑓:ℝ+→ℝ+ É CRESCENTE E SATISFAZ A SEGUINTE CONDIÇÃO: f(3x)=3f(x)𝑓(3𝑥)=3𝑓(𝑥), PARA TODO x∈R+𝑥∈ℝ+. SE f(9)=27𝑓(9)=27, QUAL O VALOR DE f(1)𝑓(1)?
1
2
3
4
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
5. SABENDO QUE d𝑑 É UM NÚMERO REAL, O MAIOR VALOR DE d𝑑, TAL QUE A FUNÇÃO f(x)=x2−4x+3𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥+3, PARA x < dx < d, SEJA DECRESCENTE, É:
0
1
2
3
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6. (ADAPTADA DE: ENEM - 2010) AS SACOLAS PLÁSTICAS SUJAM FLORESTAS, RIOS E OCEANOS, E QUASE SEMPRE ACABAM MATANDO POR ASFIXIA PEIXES, BALEIAS E OUTROS ANIMAIS AQUÁTICOS. NO BRASIL, EM 2007, FORAM CONSUMIDAS 18 BILHÕES DE SACOLAS PLÁSTICAS. OS SUPERMERCADOS BRASILEIROS SE PREPARARAM PARA ACABAR COM AS SACOLAS PLÁSTICAS ATÉ 2016.
SABEMOS QUE A FUNÇÃO:
N(x)=ax+b𝑁(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏
ONDE:
a,b∈R𝑎,𝑏∈ℝ;
N𝑁 = NÚMERO DE SACOLAS (EM BILHÕES);
x𝑥 = NÚMERO DE ANOS (APÓS 2007).
OBSERVE O GRÁFICO A SEGUIR, QUE CONSIDERA A ORIGEM COMO O ANO DE 2007:
DE ACORDO COM AS INFORMAÇÕES, QUANTOS BILHÕES DE SACOLAS PLÁSTICAS SERÃO CONSUMIDAS EM 2011?
4,0
6,5
7,0
10
Parte inferior do formulário
GABARITO
1. (Adaptada de: UFPE - 2017) No gráfico a seguir, temos o nível da água armazenada em uma barragem ao longo de três anos:
De acordo com o gráfico, podemos afirmar que:
A alternativa "D " está correta.
Traçando uma reta horizontal paralela ao eixo x (tempo), vemos que o nível de 40 m foi atingido 2 vezes no período de 3 anos. Isso já mostra que a função, cujo gráfico tem a representação da figura, não é injetora. Além disso, como existem oscilações no nível da água armazenada, em alguns instantes ela cresce e em outros decresce. Assim, a função em questão não é crescente nem decrescente.
2. No ano de 2020, o mundo foi assolado por uma pandemia, causada pelo vírus SAR-COV-2, conforme mostra o gráfico a seguir:
De acordo com o gráfico, podemos afirmar que:
A alternativa "D " está correta.
Fazendo uma análise do gráfico, ou seja, traçando uma reta vertical paralela ao eixo y (correspondente ao número de casos com o vírus SAR-COV-2) e perpendicular às retas y=20k e y=40k𝑦=20𝑘 e 𝑦=40𝑘, vemos que essas retas intersectam o eixo x (correspondente ao tempo) em 03 e 12 de fevereiro, respectivamente. Assim, o número de casos passa de 20k para 40k de 03 a 12 de fevereiro. Além disso, a partir do dia 18 de fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer.
3. Após várias experiências em laboratórios, observou-se que a concentração de certo antibiótico no sangue de cobaias varia de acordo com a função f(x)=12x−2x2𝑓(𝑥)=12𝑥−2𝑥2, em que 𝑥 é o tempo decorrido, em horas, após a ingestão do antibiótico.
Nessas condições, a partir de qual momento a concentração desse antibiótico começa a decrescer?
A alternativa "C " está correta.
Observe o gráfico da função f𝑓:
Podemos constatar que a concentração desse antibiótico começa a decrescer a partir do xV𝑥𝑉 da parábola. Logo, precisamos determinar o vértice dessa parábola. Isso pode ser feito algebricamente.
Algebricamente, temos:
xV=−b2a𝑥𝑉=−𝑏2𝑎
Onde:
a=−2 →𝑎=−2 → coeficiente de  x2 𝑥2 na função quadrática;
b=12 →𝑏=12 → coeficiente de  x 𝑥 na função quadrática.
Assim:
xV=−122(−2) =3𝑥𝑉=−122(−2) =3
4. Uma função f:R+→R+𝑓:ℝ+→ℝ+ é crescente e satisfaz a seguinte condição: f(3x)=3f(x)𝑓(3𝑥)=3𝑓(𝑥), para todo x∈R+𝑥∈ℝ+. Se f(9)=27𝑓(9)=27, qual o valor de f(1)𝑓(1)?
A alternativa "C " está correta.
Note que:
 27=f(9)=f(3⋅3)=3⋅f(3⋅1)=3⋅3⋅f(1) 27=𝑓(9)=𝑓(3⋅3)=3⋅𝑓(3⋅1)=3⋅3⋅𝑓(1)
Logo, temos:
f(1)=279=3𝑓(1)=279=3
5. Sabendo que d𝑑 é um número real, o maior valor de d𝑑, tal que a função f(x)=x2−4x+3𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥+3, para x < dx < d, seja decrescente, é:
A alternativa "C " está correta.
A parte do gráfico onde x < dx < d é uma parábola, cujo vértice é o ponto (−b2a,−Δ4a)=(2,−1)(−𝑏2𝑎,−Δ4𝑎)=(2,−1). Assim, a função é decrescente, nas condições do problema, para x≤2𝑥≤2, portanto, o maior valor de d𝑑 é 2.
6. (Adaptada de: ENEM - 2010) As sacolas plásticas sujam florestas, rios e oceanos, e quase sempre acabam matando por asfixia peixes, baleias e outros animais aquáticos. No Brasil, em 2007, foram consumidas 18 bilhões de sacolas plásticas. Os supermercados brasileiros se prepararam para acabar com as sacolas plásticas até 2016.
Sabemos que a função:
N(x)=ax+b𝑁(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏
Onde:
a,b∈R𝑎,𝑏∈ℝ;
N𝑁 = número de sacolas (em bilhões);
x𝑥 = número de anos (após 2007).
Observe o gráfico a seguir, que considera a origem como o ano de 2007:
De acordo com as informações, quantos bilhões de sacolas plásticas serão consumidas em 2011?
A alternativa "D " está correta.
Para encontrar o valor pedido, ou seja, f(4)𝑓(4), porque se passaram 4 anos de 2007 até 2011, precisamos determinar os valores de a𝑎 e b𝑏.
Analisando o gráfico, f(0)=18 𝑓(0)=18  e f(9)=0𝑓(9)=0, onde 9 corresponde ao ano de 2016. Assim, temos:
18=0a+b,     b=1818=0𝑎+𝑏,     𝑏=18.
Além disso, substituindo o valor de b𝑏 em f(9)=0𝑓(9)=0, obtemos:
0=9a+18⇒9a=−18⇒a=−20=9𝑎+18⇒9𝑎=−18⇒𝑎=−2.
Logo: f(x)=−2x+18𝑓(𝑥)=−2𝑥+18.
Portanto: f(4)=(−2)⋅4+18=10𝑓(4)=(−2)⋅4+18=10.
MÓDULO4
Definir funções periódicas
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INTRODUÇÃO
Se olharmos para a natureza, vamos descobrir muitos fenômenos que acontecem de forma repetitiva em intervalos de tempos regulares, obedecendo, portanto, a padrões cíclicos.
Veja a seguir alguns exemplos:
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AS ESTAÇÕES DO ANO
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OS BATIMENTOS CARDIÁCOS
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OS MOVIMENTOS DOS PONTEIROS DE UM RELÓGIO DE PULSO
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O MOVIMENTO DOS PLANETAS
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A CORRENTE ELÉTRICA ALTERNADA
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A CIRCULAÇÃO DO SANGUE
Fenômenos como esses são modelados usando uma classe importante de funções: as periódicas. Dentre a classe das funções periódicas, destacamos as chamadas funções trigonométricas:
SENO
COSSENO
TANGENTE
Assista ao vídeo com mais um exemplo de função periódica.
DEFINIÇÃO
Uma função é considerada periódica quando existe um número real 𝑇>0, tal que 𝑓(𝑥+𝑇)=𝑓(𝑥), para todo 𝑥 no domínio da função.
O menor dos valores de 𝑇>0, para os quais a propriedade é verificada, é chamado de período da 𝑓.
ATENÇÃO
Se uma função 𝑓 é periódica de período 𝑇, então, 𝑓 também é periódica de período 𝑛𝑇, onde 𝑛∈ℕ, já que:
𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+𝑇)=𝑓(𝑥+2𝑇)=𝑓(𝑥+3𝑇)=⋯=𝑓(𝑥+𝑛𝑇)
ELETROCARDIOGRAMA
Exame que tem o objetivo de detectar se existe alguma falha na condução elétrica pelo coração.
EXEMPLO 1
Considere a função 𝑓 do gráfico mostrado na figura a seguir, que corresponde ao eletrocardiograma de uma pessoa saudável:
Observe que o padrão de repetição ocorre em intervalos de comprimento T, e não em intervalos de comprimento menor. Assim, a função 𝑓 é uma função periódica de período T.
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EXEMPLO 2
Considere a função:
f:N→Z, tal que f(x)=(−1)x𝑓:ℕ→ℤ, tal que 𝑓(𝑥)=(−1)𝑥
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A tabela abaixo mostra o valor da função 𝑓 para os valores de 𝑥 de 0 a 5.
	x
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	f(x)
	(-1)0=1
	(-1)1=-1
	(-1)2=1
	(-1)3=-1
	(-1)4=1
	(-1)5=-1
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
2 - Se 𝑥 é um número par, 𝑓(𝑥)=1.
3 - Se 𝑥 é um número ímpar, 𝑓(𝑥)=−1.
ESTA É UMA FUNÇÃO PERIÓDICA DE PERÍODO 2. POR QUÊ?
Ora, quando 𝑥 varia duas unidades, o valor da função se repete, ou seja:
𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+2)=𝑓(𝑥+4)=𝑓(𝑥+6)...
Dessa forma, podemos afirmar que o período dessa função é 2.
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EXEMPLO 3
Considere a função 𝑓(𝑡)=sen(𝑡) e 𝑃 um ponto no ciclo trigonométrico.
Imagine que o ponto 𝑃 se movimenta no ciclo no sentido anti-horário, a partir da posição (1,0) e dá uma volta completa, ou seja, o ângulo 𝑡 varia de 0 até 2𝜋.
Pensando no ciclo, é possível perceber que:
	Quando o ângulo 𝒕 cresce de
	O valor 𝒇(𝒕)=sen(𝒕)
	0 a π20 a π2
	Cresce de 0 𝑎 1
	π2 a ππ2 a π
	Decresce de 1 𝑎 0
	π a 3π2π a 3π2
	Decresce de 0 𝑎 −1
	3π2 a 2π3π2 a 2π
	Cresce de −1 𝑎 0
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
Assista ao vídeo e veja uma representação gráfica do que foi descrito no exemplo 3.
O fluxo de ar através da traqueia é uma função periódica do tempo 𝑥 e ocorre em ambos os sentidos dos pulmões (inspiração e expiração).
O fluxo pode ser representado pela função:
f(x)=Asen(ωx)𝑓(𝑥)=Asen(𝜔𝑥)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
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Onde:
A = fluxo máximo durante a expiração e inspiração
𝜔 = período respiratório
ω=2πT→T=ω=2πT→T= o tempo que o indivíduo leva para fazer um ciclo completo
A função 𝑓 é, certamente, uma aproximação, pois 𝑇 varia de indivíduo para indivíduo. Mas estudos experimentais mostram que é uma “boa” aproximação da realidade.
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VERIFICANDO O APRENDIZADO
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1. OBSERVE O GRÁFICO DA FUNÇÃO A SEGUIR:
ASSINALE A RESPOSTA CORRETA:
É uma função periódica de período 2.
É uma função periódica de período 1.
É uma função periódica de período 4, e se o gráfico continuar com esse comportamento, 𝑓(14)=2.
É uma função periódica de período 4, e se o gráfico de da função 𝑓 continuar com o mesmo comportamento, 𝑓(17)=0.
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2. SENDO 𝑓:ℝ→ℝ UMA FUNÇÃO PERIÓDICA DE PERÍODO 2, PODEMOS AFIRMAR QUE:
A função 𝑔(𝑥)=𝑓(2𝑥) é periódica de período 4.
A função 𝑔(𝑥)=𝑓(2𝑥) é periódica de período 1.
A função ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥/2) é periódica de período 1.
A função ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥+𝑞), onde 𝑞 é uma constante positiva, não é periódica.
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3. CONSIDERE QUE A FUNÇÃO 𝒇:[𝟒, +∞[ →[−𝟑,𝟕] SEJA PERIÓDICA COM PERÍODO 6 E SEJA CRESCENTE NO INTERVALO [4,10]. LOGO, PODEMOS AFIRMAR QUE:
𝑓(10)=𝑓(25) 𝑒 𝑓(4)<𝑓(8).
𝑓(12)=𝑓(24) 𝑒 𝑓(15)<𝑓(16).
𝑓(15)=𝑓(21) 𝑒 𝑓(21)<𝑓(22).
𝑓(18)=𝑓(24) 𝑒 𝑓(28)<𝑓(27).
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
4. SEJA f(x)=−2+3.cos(πx4+π6)f(x)=-2+3.cosπx4+π6.
4 e [-2,2].
4 e [-5,1].
8 e [-2,2].
8 e [-5,1].
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
5. EM DETERMINADA ILHA DE TURISMO, DETERMINOU-SE QUE A VARIAÇÃO DA MARÉ AO LONGO DO DIA PODE SER DESCRITA PELA SEGUINTE FUNÇÃO: f(x)=2+sen(πx12)f(x)=2+senπx12
ONDE 𝒙 É MEDIDO EM HORAS E 𝒇(𝒙) EM METROS.
QUAL GRÁFICO REPRESENTA A VARIAÇÃO DA MARÉ AO LONGO DE UM DIA?
Parte inferior do formulário
Parte superior do formulário
6. CONSIDERANDO A FUNÇÃO 𝒇:ℝ→ℝ, DADA POR f(x)=−2+cos(πx2+π3)f(x)=-2+cosπx2+π3, DETERMINE A ALTERNATIVA CORRETA:
A função 𝒇 é periódica com período 2.
A imagem de 𝒇 é o intervalo [-2,2].
A função 𝒇 é bijetora.
Existe 𝑥 ∈ℝ, tal que 𝒇(𝒙)= −𝟏,𝟓.
Parte inferior do formulário
GABARITO
1. Observe o gráfico da função a seguir:
Assinale a resposta correta:
A alternativa "D " está correta.
Observe que a função é periódica de período 4, porque:
𝑓(𝑥+4)=𝑓(𝑥), ∀ 𝑥∈𝐷𝑜𝑚(𝑓)
Assim:
• 𝑓(14)=𝑓(10+4)=𝑓(10)=𝑓(6)=𝑓(2)=1;
• 𝑓(17)=𝑓(13+4)=𝑓(13)=0.
2. Sendo 𝑓:ℝ→ℝ uma função periódica de período 2, podemos afirmar que:
A alternativa "B " está correta.
Note que a função 𝑔(𝑥)=𝑓(2𝑥) é periódica de período 1, pois:
𝑔(𝑥+1)=𝑓(2(𝑥+1))=𝑓(2𝑥+2)=𝑓(2𝑥)=𝑔(𝑥).
A função ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥/2) é periódica de período 4.
A função ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥+𝑞) é periódica de período 4.
3. Considere que a função 𝒇:[𝟒, +∞[ →[−𝟑,𝟕] seja periódica com período 6 e seja crescente no intervalo [4,10]. Logo, podemos afirmar que:
A alternativa "D " está correta.
Inicialmente, vamos entender os dados e a situação da função dada. Sabemos que a função é periódica com período 6. Isso significa que:
𝒇(𝒙)=𝒇(𝒙+𝟔), 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒙 ∈[𝟒, +∞[.
Como a função é crescente no intervalo [4,10[, então, sempre teremos que:
𝑥,𝑦 ∈[4,10[ 𝑐𝑜𝑚 𝑥<𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥)<𝑓(𝑦).
Sendo 𝒇 uma função periódica com período 6 e valendo a desigualdade anterior, então, o mesmo vale para os intervalos:
• 𝑥,𝑦 ∈[10,16[ 𝑐𝑜𝑚 𝑥<𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥)<𝑓(𝑦);
• 𝑥,𝑦 ∈[16,22[ 𝑐𝑜𝑚 𝑥<𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥)<𝑓(𝑦);
𝑥,𝑦 ∈[22,28[ 𝑐𝑜𝑚 𝑥<𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥)<𝑓(𝑦);
𝑥,𝑦 ∈[28,34[ 𝑐𝑜𝑚 𝑥<𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥)<𝑓(𝑦).
E assim sucessivamente para os intervalos seguintes com tamanho 6 (que é o período).
Agora vamos analisar cada alternativa:
a) Como 𝒇 é uma função periódica com período 6, então:
𝒇(𝟏𝟎)=𝒇(𝟏𝟎+𝟔)=𝒇(𝟏𝟔) 𝒆 𝒇(𝟏𝟔)=𝒇(𝟏𝟔+𝟔)=𝒇(𝟐𝟐)
⇒ 𝒇(𝟏𝟎)=𝒇(𝟐𝟐).
Assim, como 22 e 25 estão no intervalo [22,28[, pelo terceiro item anterior, temos:
𝒇(𝟏𝟎)=𝒇(𝟐𝟐)<𝒇(𝟐𝟓).
Portanto, a letra A é falsa.
b) Como 𝒇 é uma função periódica com período 6, então:
𝒇(𝟏𝟐)=𝒇(𝟏𝟐+𝟔)=𝒇(𝟏𝟖) 𝒆 𝒇(𝟏𝟖)=𝒇(𝟏𝟖+𝟔)=𝒇(𝟐𝟒)
⇒ 𝒇(𝟏𝟐)=𝒇(𝟐𝟒).
Agora, vamos analisar 𝒇(𝟏𝟓) e 𝒇(𝟏𝟔). Como vimos na letra A, 𝒇(𝟏𝟎)=𝒇(𝟏𝟔). Como 10 e 15 estão no intervalo [10,16[, pelo primeiro item listado anteriormente, temos:
𝒇(𝟏𝟔)=𝒇(𝟏𝟎)<𝒇(𝟏𝟓).
Portanto, a letra B é falsa.
c) Como 𝒇 é uma função periódica com período 6, então:
𝒇(𝟏𝟓)=𝒇(𝟏𝟓+𝟔)=𝒇(𝟐𝟏).
Agora, vamos analisar 𝒇(𝟐𝟏) e 𝒇(𝟐𝟐). Na letra A, vimos que 𝒇(𝟏𝟎)=𝒇(𝟐𝟐). Como 10 e 15 estão no intervalo [10,16[, pelo primeiroitem listado anteriormente, temos:
𝒇(𝟐𝟐)=𝒇(𝟏𝟎)<𝒇(𝟏𝟓)=𝒇(𝟐𝟏).
Portanto, a letra C é falsa.
d) Como 𝒇 é uma função periódica com período 6, então:
𝒇(𝟏𝟖)=𝒇(𝟏𝟖+𝟔)=𝒇(𝟐𝟒).
Agora, vamos analisar 𝒇(𝟐𝟖) e 𝒇(𝟐𝟕). Note que:
𝒇(𝟐𝟐)=𝒇(𝟐𝟐+𝟔)=𝒇(𝟐𝟖).
Como 22 e 27 estão no intervalo [22,28[, pelo terceiro item listado anteriormente, temos:
𝒇(𝟐𝟖)=𝒇(𝟐𝟐)<𝒇(𝟐𝟕).
Portanto, a letra D é verdadeira.
4. Seja f(x)=−2+3.cos(πx4+π6)f(x)=-2+3.cosπx4+π6.
A alternativa "D " está correta.
O período de uma função do tipo 𝒈(𝒙)= 𝒅 +𝒄.𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒙+𝒃) é dado por P=2π|a|P=2πa Então, no caso de nossa função 𝒇(𝒙), temos a=π4a=π4 O período será:
P=2π|a|=2ππ4=2π × 4π=8ππ=8P=2πa=2ππ4=2π × 4π=8ππ=8
Uma função da forma 𝑔(𝑥)=𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒙+𝒃) tem imagem:
𝑰𝒎(𝒈)=[−𝟏,𝟏]
Então, sendo f(x)=−2+3.cos(πx4+π6)f(x)=-2+3.cosπx4+π6, temos:
−1≤cos(πx4+π6)≤1 (multiplicando por 3)⇒-1≤cosπx4+π6≤1 multiplicando por 3⇒
−3≤3.cos(πx4+π6)≤3 (somando −2)⇒-3≤3.cosπx4+π6≤3 somando -2⇒
−5≤−8+3.cos(πx4+π6)≤1 (somando −2)⇒-5≤-8+3.cosπx4+π6≤1 somando -2⇒
Im(f)=[−5,1]Im(f)=[-5,1]
5. Em determinada ilha de turismo, determinou-se que a variação da maré ao longo do dia pode ser descrita pela seguinte função: f(x)=2+sen(πx12)f(x)=2+senπx12
Onde 𝒙 é medido em horas e 𝒇(𝒙) em metros.
Qual gráfico representa a variação da maré ao longo de um dia?
A alternativa "D " está correta.
Lembrando que uma função da forma 𝑔(𝑥)=𝒔𝒆𝒏(𝒂𝒙+𝒃) tem imagem dada pelo seguinte intervalo:
𝑰𝒎(𝒈)=[−𝟏,𝟏]
Então, a imagem da função f(x)=2+sen(πx12)f(x)=2+senπx12 pode ser obtida da seguinte forma:
−1 ≤sen(πx12)≤1 (somando 2)⇒-1 ≤senπx12≤1 (somando 2)⇒
−1 ≤2+sen(πx12)≤3 ⇒-1 ≤2+senπx12≤3 ⇒
−1 ≤f(x)≤3-1 ≤f(x)≤3.
Logo, a imagem da função f(x)=2+sen(πx12)f(x)=2+senπx12 é o intervalo [𝟏;𝟑], ou seja, a altura mínima da maré é de 1 metro, enquanto a altura máxima é de 3 metros.
Assim, as possíveis alternativas são as das letras (b) e (d). Pelos gráficos dessas letras, vemos que as marés baixas ocorrem às 6h e às 18h.
Calculando 𝒇(𝟔) e 𝒇(𝟏𝟖), obtemos:
f(6)=2+sen(π.612)=2+sen(π2)=2+1=3f(6)=2+senπ.612=2+senπ2=2+1=3
f(18)=2+sen(π.1812)=2+sen(3π2)=2+(−1)=1f(18)=2+senπ.1812=2+sen3π2=2+(-1)=1
Portanto, o gráfico que representa a variação da maré é o que consta na letra D.
6. Considerando a função 𝒇:ℝ→ℝ, dada por f(x)=−2+cos(πx2+π3)f(x)=-2+cosπx2+π3, determine a alternativa correta:
A alternativa "D " está correta.
Vamos analisar cada alternativa:
a) O período de uma função do tipo 𝒈(𝒙)= 𝒅 +𝒄.𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒙+𝒃) é dado por P=2π|a|P=2πa. Então, no caso de nossa função 𝒇(𝒙), temos a=π2a=π2. O período será:
P=2π|a|=2ππ2=2π×2π=4ππ=4P=2πa=2ππ2=2π×2π=4ππ=4
Logo, o período da função dada não é 2.
b) Uma função da forma 𝑔(𝑥)=𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒙+𝒃) tem imagem: 𝑰𝒎(𝒈)=[−𝟏,𝟏]
Então, sendo f(x)=−2+cos(πx2+π3)f(x)=-2+cosπx2+π3, temos:
−1≤cos(πx2+π3)≤1 (somando −2)⇒-1≤cosπx2+π3≤1 (somando -2)⇒
−3≤−2+cos(πx2+π3)≤−1⇒-3≤-2+cosπx2+π3≤-1⇒
Im(f)=[−3,−1]Im(f)=[-3,-1]
Logo, a imagem de 𝒇 não é o intervalo [-2,2].
c) Como vimos na letra B, a imagem de 𝒇 é:
Im(f)=[−3,−1] ≠R=contradomínioIm(f)=[-3,-1] ≠R=contradomínio
Logo, 𝒇 não é sobrejetora e, portanto, não pode ser bijetora.
d) Como vimos na letra B, a imagem da função é o intervalo [−𝟑,−𝟏]. Como −𝟏,𝟓 ∈[−𝟑,−𝟏], então, existe 𝒙 ∈𝑫𝒐𝒎í𝒏𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒇=ℝ, tal que 𝒇(𝒙)= −𝟏,𝟓.
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
No estudo das funções reais de variável real, você pôde observar que a descrição de problemas de nosso cotidiano é realizada com o auxílio das funções.
O entendimento das funções reais de variável real requer aprender, de maneira mais aprofundada, a determinar o domínio e a imagem de alguns tipos de funções algébricas, bem como reconhecer geometricamente quando a função é injetora, sobrejetora e bijetora.
É muito importante que você faça todos os exercícios propostos e estude bem os exemplos apresentados para compreender melhor o conteúdo.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
BRASIL. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Projeção da população do Brasil e das Unidades da Federação. Brasília: IBGE, 2008.
DELGADO GÓMEZ, J. J. Pré-cálculo. Rio de Janeiro: CEDERJ, 2002. v. 4.
FOMIN, D. A. Círculos matemáticos. Rio de Janeiro: IMPA, 2010.
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de Matemática Elementar I. São Paulo: Atual, 2013. v. 1.
LIMA, E.; CARVALHO, P. E. W.; MORCAGO, C. A Matemática do Ensino Médio. 9. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2006. v. 1.
LIVRO ABERTO. Funções. (s.d.).
LUCENA, M. Guerra às sacolinhas. Galileu, n. 225, 2010.
MAESTRI, R. Algumas boas notícias com algumas não tanto do Covid-19. Jornal GGN, mar. 2020.
STEWART, J. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006. v. 1.
VISÃO SAÚDE. Covid-19: que países conseguiram contrariar a curva do Coronavírus? Publicação em: 20 mar. 2020.
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· O aplicativo on-line GeoGebra;
· O Portal OBMEP do Saber.
Busque e analise os seguintes resultados do uso do aplicativo GeoGebra:
BORGES, A. Desenho da função seno. GeoGebra. (s.d.).
CORREIA, P. Duração do dia. GeoGebra, (s.d.).
No primeiro, você encontra a construção do gráfico da função seno, e no segundo, um exercício interessante que mostra o número de horas de sol ao longo do ano em diferentes locais do planeta.