Equilíbrio e estabilidade

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Equilíbrio e estabilidade
APRESENTAÇÃO
Nesta Unidade de Aprendizagem estudaremos o Equilíbrio e Estabilidade dos Sistemas e você 
perceberá que ele está muito presente nas nossas vidas. São muitas interações presentes na física 
muitas delas relacionadas ao movimento dos corpos. Neste movimento podemos ter translação e 
rotação. Neste contexto trataremos do equilíbrio quando as condições resultam na ausência de 
qualquer movimento. A estabilidade revela características desse equilíbrio. Quão fácil é tirar um 
sistema dele. Dependendo das condições, a saída do equilíbrio pode causar o abandono de vez 
desta condição.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Estabelecer as condições de equilíbrio estático.•
Identificar a estabilidade nos sistemas.•
Relacionar conceitos matemáticos do cálculo diferencial com a mecânica.•
DESAFIO
Um escultor e seu assistente estão carregando uma laje de mármore, no formato de cunha, acima 
de um lance de escadas, como mostrado na figura. A densidade do mármore é uniforme. Ambos 
estão levantando reto, à medida que seguram a laje completamente imóvel por um momento. 
Diante deste contexto, responda:
O escultor deve exercer mais força do que o assistente para manter a laje imóvel? 
Explique.
INFOGRÁFICO
Veja na imagem conceitos importantes envolvidos no equilíbrio:
CONTEÚDO DO LIVRO
Para identificarmos exemplos de equilíbrio estático acompanhe dois trechos do livro Física para 
Universitários - Mecânica, de Bower, Westfall & Dias. O primeiro trecho começa no título 
"Condições de equilíbrio". O segundo trecho inicia em "Estabilidade de estruturas".
Boa leitura. 
Wolfgang Bauer
Gary D. Westfall
Helio Dias
Fí
si
ca
MECÂNICA
pa
ra
 U
n
iv
er
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tá
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o
s
B344f Bauer, Wolfgang.
 Física para universitários [recurso eletrônico] : mecânica /
 Wolfgang Bauer, Gary D. Westfall, Helio Dias ; tradução: Iuri
 Duquia Abreu, Manuel Almeida Andrade Neto ; revisão técnica:
 Helio Dias. – Dados eletrônicos. – Porto Alegre : AMGH, 2012.
 Editado também como livro impresso em 2012.
 ISBN 978-85-8055-095-5
 1. Física. 2. Mecânica. I. Westfall, Gary D. II. Dias, Helio.
 III. Título. 
CDU 531
Catalogação na publicação: Fernanda B. Handke dos Santos – CRB 10/2107
Capítulo 11 Equilíbrio Estático 355
O prédio mais alto no mundo, em 2008, era a torre Taipei 101 (Figura 11.1), em Taiwan, com 
altura de 509 m (1.670 pés). Como qualquer arranha-céu, esse edifício balança quando ventos 
próximos ao topo sopram a altas velocidades. Para minimizar o movimento, a torre Taipei 101 
contém uma massa amortecedora entre o 87º e o 92º andares, consistindo em uma bola de aço 
construída com 5 discos grossos. O amortecedor tem uma massa de 660 toneladas métricas, o 
suficiente para reduzir o movimento da torre em 40%. Restaurantes e plataformas de observa-
ção cercam o amortecedor, fazendo-o a principal atração turística do prédio.
Estabilidade e segurança são de importância fundamental no projeto e construção de 
qualquer edifício. Neste capítulo, examinaremos as condições para o equilíbrio estático, o qual 
ocorre quando um corpo está em repouso e sujeito à forças e torques nulos. Entretanto, como 
veremos, uma estrutura deve ser capaz de resistir a forças externas que tendem a colocá-la em 
movimento. Em longo prazo, a estabilidade de uma estrutura grande – um prédio, uma ponte 
ou um monumento – depende da habilidade dos construtores em julgar quão forte as forças 
externas devem ser para projetarem a estrutura que resista a essas forças.
11.1 Condições de equilíbrio
No Capítulo 4, vimos que a condição necessária para o equilíbrio estático é a ausência de força 
resultante externa. Nesse caso, a Primeira Lei de Newton estipula que um corpo permanece em 
repouso ou se move com velocidade constante. Porém, frequentemene queremos encontrar as 
condições necessárias para um corpo rígido permanecer em repouso em equilíbrio estático. 
Um corpo (ou conjunto de corpos) está em equilíbrio estático se ele estiver em repouso e não 
experimentar movimentos translacionais ou rotacionais. A Figura 11.2 mostra um famoso 
exemplo de um conjunto de corpos em equilíbrio estático. Parte do que faz esta instalação tão 
espantosa é que o olho não quer aceitar que a configuração seja estável.
A condição para nenhum movimento translacional ou rotacional é que as velocidades li-
near e angular de um corpo em equilíbrio estático sejam sempre zero. O fato de as velocidades 
linear e angular não variarem com o tempo, implica que as acelerações linear e angular também 
sejam nulas todo o tempo. No Capítulo 4, vimos que a Segunda Lei de Newton,
 (11.1)
implica o fato de que, se a aceleração linear, , é zero, a força externa resultante, , deve 
ser zero. Além disso, no Capítulo 10 observou-se que a Segunda Lei de Newton para rotação,
 (11.2)
implica o fato de que, se a aceleração angular, , é zero, o torque, , deve ser zero. Esses fatos 
conduzem a duas condições de equilíbrio estático.
Condição de equilíbrio estático 1
Um corpo pode permanecer em equilíbrio estático somente se a força resultante atuando 
sobre ele for zero:
 (11.3)
Continua 
Figura 11.2 Essa instalação de 
440 kg, criada por Alexander Calder, 
pende do teto na National Gallery 
of Art (Washington, DC) em perfeito 
equilíbrio estático.
 ■ O equilíbrio estático é definido como o equilíbrio mecânico 
para o caso especial de um corpo em repouso.
 ■ Um corpo (ou um conjunto de corpos) estará em equilíbrio 
estático somente se a força externa resultante e o torque exter-
no resultante forem zero.
 ■ Uma condição necessária para o equilíbrio estático é aquela 
em que a primeira derivada da função energia potencial é zero 
no ponto de equilíbrio.
 ■ O equilíbrio estável é alcançado no ponto onde a função ener-
gia potencial tem um mínimo.
 ■ O equilíbrio instável ocorre no ponto onde a função energia 
potencial tem um máximo.
 ■ O equilíbrio neutro (também chamado equilíbrio indiferente 
ou equilíbrio marginalmente estável) existe no ponto onde a 
primeira e a segunda derivadas da função energia potencial 
são, ambas, zero.
 ■ As considerações de equilíbrio são usadas para encontrar de 
outra maneira forças desconhecidas atuando sobre um corpo 
imóvel ou para encontrar as forças requeridas para impedir o 
movimento de um corpo.
O Q U E A P R E N D E R E M O S
356 Física para Universitários: Mecânica
Condição de equilíbrio estático 2
Um corpo pode permanecer em equilíbrio estático somente se o torque resultante atuando 
sobre ele for zero:
 (11.4)
Mesmo se a Primeira Lei de Newton for satisfeita (nenhuma força resultante atua sobre o 
corpo) e um corpo não tenha movimento translacional, ele ainda irá girar, se experimentar 
um torque resultante.
É importante lembrar que o torque é sempre definido em relação a um ponto de pivô (o ponto 
onde o eixo de rotação cruza o plano definido por e , também chamado de ponto de rota-
ção). Quando calculamos o torque resultante, o ponto de pivô dever ser o mesmo para todas 
as forças envolvidas no cálculo. Se tentarmos resolver um problema de equilíbrio estático com 
torque resultante tendendo a zero, para qualquer ponto de pivô escolhido, o torque resultante 
deve ser zero. Assim, temos a liberdade de selecionar um ponto de pivô que melhor se adapte a 
nosso propósito. Uma seleção inteligente de um ponto de pivô é, frequentemente, a chave para 
uma rápida solução. Por exemplo, se força desconhecida está presente no problema, podemos 
selecionar o ponto onde a força atua como ponto de pivô. Então, aquela força não entrará na 
equação do torque, porque ela tem o braço de alavanca de comprimento zero.
Se um corpo é suportado por um pino localizado diretamente acima de seu centro de 
massa, como na Figura 11.3a (onde o ponto vermelho marca o centro de massa), então, o corpo 
permanece equilibrado; isto é, ele não começa a girar, Por quê? Porque, nesse caso, somente 
duas forças atuam sobreo corpo – a força da gravidade, (seta azul), e a força normal (seta 
verde), do pino – e elas ficam sobre a mesma linha (linha amarela na Figura 11.3a). As duas 
forças se cancelam reciprocamente e não produzem torque resultante, resultando em equilíbrio 
estático; o corpo está em equilíbrio.
Por outro lado, se um corpo é suportado, da mesma maneira, por um pino, mas seu centro 
de massa não está abaixo do ponto de suporte, então, a situação é aquela mostrada na Figura 
11.3b. Os vetores força gravitacional e força normal ainda apontam em direções opostas, po-
rém, um torque resultante diferente de zero, agora, atua, porque o ângulo � entre o vetor força 
gravitacional, , e o braço de alavanca (direcionado ao longo da linha amarela) não é mais zero. 
Esse torque viola a condição de que o torque resultante deve ser zero para o equilíbrio estático. 
Contudo, suspender um corpo por diferentes pontos é um método prático para encontrar o 
centro de massa do corpo, mesmo um corpo de formas estranhas, como o da Figura 11.3.
Localizando experimentalmente o centro de massa
Para localizar experimentalmente o centro de massa de um corpo, podemos pendurar o corpo 
por um pino de tal maneira que ele possa girar livremente ao redor do pino e, então, deixá-lo 
vir ao repouso. Uma vez que o corpo esteja em repouso, seu centro de massa é localizado sobre 
a linha diretamente abaixo do pino. Suspendemos um peso (um fio de prumo, na Figura 11.4) 
pelo mesmo pino usado para suportar o corpo e ele identifica a linha. Marcamos essa linha so-
bre o corpo. Se fizermos isso para dois pontos de suporte, a intersecção das duas linhas marcará 
a localização exata do centro de massa.
Você pode usar outra técnica para determinar a localização do centro de massa para mui-
tos corpos (veja Figura 11.5). Você simplesmente apoia o corpo entre sobre dois dedos coloca-
dos de tal maneira que o centro de massa esteja localizado em algum lugar entre eles. (Se esse 
não é o caso, você saberá logo, porque o corpo cairá.) Então, vagarosamente, escorregue os de-
dos para mais perto um do outro. No ponto onde se encontram, eles estão diretamente abaixo 
do centro de massa e o corpo está em equilíbrio sobre as pontas dos dedos.
Por que essa técnica funciona? O dedo que está mais perto do centro de massa exerce uma 
força normal maior sobre o corpo. Assim, quando em movimento, este dedo exerce uma força de 
atrito maior sobre o corpo do que o dedo que está mais longe. Consequentemente, se os dedos 
deslizam um em direção ao outro, o dedo que está mais perto do centro de massa levará o corpo 
suspenso junto com ele. Isso continua até o outro dedo ficar mais perto do centro de massa, 
quando o efeito é revertido. Desse jeito, os dois dedos sempre mantêm o centro de massa locali-
zado entre eles. Quando os dedos estão próximos um do outro, o centro de massa está localizado.
(a)
(b)
Centro de
massa
Pino de
sustentação
Fg
Fg
N
N
�
Figura 11.3 (a) Este corpo experimen-
ta torque resultante zero, porque ele 
está sustentado por um pino localizado 
exatamente acima do centro de massa. 
(b) Um torque é resultante quando o 
centro de massa do mesmo corpo está 
em uma localização não exatamente 
abaixo do ponto de suporte.
(a)
(b)
Figura 11.4 Encontrando o centro 
de massa para um corpo de formas 
arbitrárias.
Capítulo 11 Equilíbrio Estático 357
Na Figura 4.6, mostrando a mão sustentando um laptop, o vetor força , exercido pela 
mão sobre o laptop, atuou no centro do computador, exatamente como o vetor força gravitacio-
nal, mas em direção oposta. É preciso que a mão seja colocada diretamente abaixo do centro de 
massa do computador. De outro modo, se o centro de massa não fosse sustentado diretamente 
abaixo, o computador tombaria.
Equações de equilíbrio
Com um entendimento qualitativo dos conceitos e condições para o equilíbrio estático, pode-
mos formular as condições de equilíbrio para mais uma análise quantitativa. No Capítulo 4, 
verificamos que a condição de força resultante zero se traduz em três equações independentes 
no espaço tridimensional, uma para cada componente cartesiana da força resultante zero (refi-
ra-se à equação 11.3). Além disso, a condição de torque resultante zero nas três dimensões tam-
bém implica em três equações para as componentes do torque resultante (refira-se à equação 
11.4), representando rotações independentes sobre os três possíveis eixos de rotação, os quais 
são todos perpendiculares entre si. Neste capítulo, não trataremos de situações tridimensionais 
(envolvendo seis equações), em vez disso, nos concentraremos em problemas de equilíbrio 
estático no espaço bidimensional, isto é, no plano. No plano, existem dois independentes graus 
translacionais de liberdade para um corpo rígido (nas direções x e y) e uma possível rotação, 
ou no sentido horário ou anti-horário, ao redor de um eixo de rotação, que é perpendicular ao 
plano. Assim, as duas equações para as componentes da força resultante são
 
(11.5)
 
(11.6)
No Capítulo 10, o torque resultante sobre um eixo fixo de rotação foi definido como a diferença 
entre a soma dos torques anti-horários e a soma dos torques horários. A condição de equilíbrio 
estático de torque resultante zero sobre cada eixo de rotação pode, assim, ser
 
(11.7)
Essas três equações (11.5 até 11.7) formam a base para a análise quantitativa do equilíbrio está-
tico nos problemas deste capítulo.
11.2 Exemplos envolvendo equilíbrio estático
As duas condições para equilíbrio estático (força e torque resultantes zero) são as que preci-
samos para resolver uma grande variedade de problemas envolvendo equilíbrio estático. Não 
precisamos do cálculo para resolver esses problemas; todos os cálculos usam somente álgebra 
e trigonometria. Vamos iniciar com um exemplo para o qual as respostas parecem óbvias. Isso 
fornecerá a prática com o método e mostrará que isso conduz à resposta certa.
Figura 11.5 Determinando experi-
mentalmente o centro de massa de 
um taco de golfe.
EXEMPLO 11.1 Gangorra
Uma gangorra em uma praça de recreação consiste em um pivô e de uma barra, de massa M, a 
qual está posta sobre o pivô, de maneira que as extremidades podem mover-se para cima e para 
baixo livremente (Figura 11.6a). Um corpo de massa m1 é colocado sobre uma extremidade da 
barra, a uma distância r1 do ponto de pivô, como mostrado na Figura 11.6b, que desce, simples-
mente, devido à força e do torque que o corpo exerce sobre ela.
PROBLEMA 1
Onde temos que colocar um corpo de massa m2 (assumida igual à massa m1) para que a gangorra 
fique em equilíbrio, com a barra na horizontal e nenhuma das extremidades toque o chão?
Continua →
358 Física para Universitários: Mecânica
SOLUÇÃO 1
A Figura 11.6b é um diagrama de queda livre da barra, mostrando as forças atuantes sobre ela e 
os pontos onde elas atuam. A força que m1 exerce sobre a barra é simplesmente m1g, atuando para 
baixo, como mostrado na Figura 11.6b. O mesmo é verdadeiro para a força que m2 exerce sobre a 
barra. Além disso, em função de a barra ter massa própria M, ela experimenta uma força gravita-
cional, Mg. A força gravitacional atua no centro de massa, no meio da barra. A força final atuando 
sobre a barra é a força normal, N, exercida pelo suporte da barra. Ela atua exatamente no eixo da 
gangorra (marcado com um ponto laranja).
A equação de equilíbrio para as componentes y das forças conduz à expressão para o valor 
da força normal:
Os sinais à frente das componentes individuais das forças indicam se elas 
atuam para cima (positivo) ou para baixo (negativo).
Em virtude de todas as forças atuarem na direção y, não é necessário escrever 
as equações para as componentes da força resultante nas direções x e z.
Podemos, agora, considerar o torque resultante. A seleção do apropriado 
ponto de pivô pode fazer nossos cálculos ficarem simples. Para uma gangorra, 
a seleção natural está no eixo, o ponto marcado com um ponto laranja no centro 
da barra, na Figura 11.6b. Em função da força normal, N, e do pesoda barra, Mg, 
atuarem exatamente através desse ponto, seus braços de alavanca tem compri-
mento zero. Assim, essas duas forças não contribuem para a equação do torque, se 
este é selecionado como ponto de pivô. As forças F1 = m1g e F2 = m2g são somente 
aqueles torques contribuintes: F1 gera um torque anti-horário e F2 gera um torque 
horário. A equação do torque é, então
Mesmo que eles se igualem a 1 e, assim, não tenham efeito, os fatores sen90º estão incluídos como 
um lembrete de que o ângulo entre a força e o braço de alavanca geralmente afeta o cálculo dos 
torques.
A questão foi onde colocar m2 para o caso em que as duas massas fossem as mesmas: a res-
posta é r1 = r2, nesse caso. Este resultado esperado mostra que nosso caminho sistemático de apro-
ximação da solução funciona nesse caso facilmente verificável.
PROBLEMA 2
Quão grande m2 precisa ser para equilibrar m1, se r1 = 3r2, isto é, se m2 está três vezes mais perto 
do ponto de pivô do que m1?
SOLUÇÃO 2
Usamos o mesmo diagrama de queda livre (Figura 11.6b) e chegamos à mesma equação geral para 
as massas e distâncias. Resolvendo a equação (i) para m2, temos
Usando r1 = 3r2, obtemos
Para esse caso, achamos que a massa m2 deve ser três vezes m1 para estabelecermos equilíbrio 
estático.
(a)
(b)
y
x
M
m1
m1gy
m2
r1 r2
N
ˆ
m2 gŷMgŷ
Figura 11.6 (a) Uma gangorra de praça de 
recreação; (b) Diagrama de queda livre mos-
trando forças e braços de alavanca.
366 Física para Universitários: Mecânica
11.3 Estabilidade de estruturas
Para um arranha-céu ou uma ponte, projetistas e construtores precisam preocupar-se sobre a 
habilidade da estrutura em permanecer de pé sob influência de forças externas. Por exemplo, 
após resistir por 40 anos, a ponte que levava a Interstate 35W, por sobre o rio Mississipi, em 
Minneapolis, mostrada na Figura 11.13, ruiu em 1º de agosto de 2007 provavelmente por cau-
sas relacionadas ao projeto. O colapso desta ponte e outros desastres arquiteturais são doloro-
sas lembranças de que a estabilidade das estruturas é uma preocupação primordial.
Vamos tentar quantificar o conceito de estabilidade olhando a Figura 11.14a, que mostra 
uma caixa em equilíbrio estático, repousando sobre uma superfície horizontal. Nossa expe-
riência nos diz que se você usa um dedo para empurrar com uma pequena força, da maneira 
mostrada na figura, a caixa permanece na mesma posição. A pequena força que exercemos 
sobre a caixa é exatamente equilibrada pela força de atrito entre a caixa e a superfície que a 
apoia. A força resultante é zero e não há movimento. Se aumentarmos constantemente o mó-
dulo da força que aplicamos, então, existem dois possíveis resultados: se a força de atrito não é 
suficiente para contrabalançar a força exercida pelo dedo, a caixa começa a escorregar para a 
direita. Ou, se o torque da força de atrito sobre o centro de massa da caixa for menor do que o 
torque por causa da força aplicada, a caixa começa a inclinar, como mostrado na Figura 11.14b. 
Assim, o equilíbrio estático da caixa é estável em relação a pequenas forças externas, mas uma 
força externa suficientemente grande destrói o equilíbrio.
Esse simples exemplo ilustra a característica da estabilidade. Engenheiros precisam ser 
capazes de calcular as forças externas máximas e os torques que podem estar presentes sem 
abalar a estabilidade de uma estrutura.
Condição quantitativa para estabilidade
Com o intuito de quantificar a estabilidade de uma situação de equilíbrio, iniciamos com a 
relação entre energia potencial e força, do Capítulo 6:
Em uma dimensão, isso é
Uma força resultante tendendo a zero é uma das condições de equilíbrio, que podemos escre-
ver como , ou como em uma dimensão, 
em um dado ponto no espaço. Até aqui, a condição de tender a zero a primeira derivada não 
adiciona nova informação. Entretanto, podemos usar a segunda derivada da função energia 
potencial para distinguir três casos diferentes, dependendo do sinal da segunda derivada.
Caso 1 equilíbrio estável
 
(11.8)
Se a segunda derivada da função energia potencial em relação à coordenada é positiva em um 
ponto, então, a energia potencial tem um mínimo local nesse ponto. O sistema está em equi-
Figura 11.13 A ponte que levava a 
Interstate 35W, por sobre o rio Mis-
sissipi, em Minneapolis, ruiu em 1º 
de agosto de 2007, durante a hora do 
rush.
PROBLEMA 3
O que acontece à medida que o estudante sobe mais alto na escada?
SOLUÇÃO 3
Da equação (ii), vemos que R cresce mais com o aumento de r. Eventualmente, essa força supera a 
força máxima de atrito estático e a escada irá escorregar. Você pode, agora, compreender por que 
não é uma boa ideia subir tão alto numa escada nesse tipo de situação.
(a)
(b)
Figura 11.14 (a) Empurrando com 
uma pequena força a borda superior 
de uma caixa. (b) Exercendo uma for-
ça maior sobre a caixa a faz inclinar.
Capítulo 11 Equilíbrio Estático 367
líbrio estável. Nesse caso, um pequeno desvio da posição de equilíbrio cria uma força restau-
radora que leva o sistema de volta ao ponto de equilíbrio. Essa situação é ilustrada na Figura 
11.15a: se o ponto vermelho é movido para longe de sua posição de equilíbrio, em x0, ou na 
direção positiva ou na direção negativa e solto, ele retornará à posição de equilíbrio.
Caso 2 Equilíbrio instável
 
(11.9)
Se a segunda derivada da função energia potencial em relação à coordenada é negativa em um 
ponto, então, a energia potencial tem um máximo local nesse ponto. O sistema está em equilíbrio 
instável. Nesse caso, um pequeno desvio da posição de equilíbrio cria uma força que leva o siste-
ma para longe do ponto de equilíbrio. Essa situação é ilustrada na Figura 11.15b: se o ponto ver-
melho é movido, mesmo que levemente, para longe de sua posição de equilíbrio, em x0, ou na di-
reção positiva ou na direção negativa e solto, ele será movido para longe da posição de equilíbrio.
Caso 3 Equilíbrio neutro
 
(11.10)
O caso em que o sinal da segunda derivada da função energia potencial em relação à coordena-
da não é nem positivo nem negativo em um ponto é chamado de equilíbrio neutro, também 
referido como indiferente ou marginalmente estável. Essa situação é ilustrada na Figura 11.15c: 
se o ponto vermelho é deslocado por uma pequena quantidade, ele nem retornará e nem se 
moverá para longe de sua posição original de equilíbrio. Em vez disso, ele simplesmente per-
manecerá na nova posição, que é também uma posição de equilíbrio.
Superfícies multidimensionais e pontos em sela
Os três casos anteriormente discutidos, cobrem todos os possíveis tipos de estabilidade para 
sistemas unidimensionais. Eles podem ser generalizados para funções energia pontencial em 
duas e em três dimensões que dependem de mais de uma coordenada. Em vez de somente 
olharmos para derivada em relação a uma coordenada, como nas equações 11.8 até 11.10, temos 
que examinar todas as derivadas parciais. Para a função energia potencial em duas dimensões 
U(x,y), a condição de equilíbrio é aquela em que a primeira derivada em relação a cada uma das 
duas coordenadas é zero. Além disso, o equilíbrio estável requer que no ponto de equilíbrio a 
segunda derivada da função energia potencial seja positiva para ambas as coordenadas, enquan-
to o equilíbrio instável implica que ela seja negativa para ambas 
as coordenadas, e o equilíbrio neutro significa que ela seja zero 
para ambas as coordenadas. A parte (a) até a (c) da Figura 11.16 
mostra esses três casos, respectivamente.
Entretanto, em mais de uma dimensão espacial, existe tam-
bém a possibilidade de que em um ponto de equilíbrio, a segunda 
derivada em relação a uma coordenada seja positiva, enquanto é 
negativa em relação à outra coordenada. Esses pontos são chama-
dos de pontos de sela, porque a função energia potencial, local-
mente, tem a forma de uma sela. A Figura 11.16d mostra o ponto 
de sela, onde uma das segundas derivadas parciais é negativa e a 
outra é positiva. O equilíbrio nesse ponto de sela é estável em re-
lação a pequenos deslocamentosna direção y, mas é instável em 
relação a pequenos deslocamentos na direção x.
Em um estrito senso matemático, as condições notadas aci-
ma, para a segunda derivada, são suficientes para a existência de 
máximos e mínimos, mas não necessárias. Às vezes, a primeira de-
rivada da função energia potencial não é contínua, mas extremos 
podem ainda existir, como os seguintes exemplos a seguir.
x
U(x)
� 0
d2U(x)
dx2 x0
x0
x
U(x)
x0
x
U(x)
x0
� 0
d2U(x)
dx2 x0
� 0
d2U(x)
dx2 x0
(a)
(b)
(c)
Figura 11.15 Forma local da fun-
ção energia potencial em um ponto 
de equilíbrio: (a) equilíbrio estável; 
(b) equilíbrio instável; (c) equilíbrio 
neutro.
U(x,y) U(x,y)
U(x,y) U(x,y)
(b)(a)
(d)(c)
yx yx
yx yx
Figura 11.16 Diferentes tipos de equilíbrio para uma função energia 
potencial em três dimensões.
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
 
DICA DO PROFESSOR
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EXERCÍCIOS
1) Uma barra uniforme, de massa M e comprimento L, é mantida em equilíbrio estático 
e o valor do torque resultante sobre seu centro de massa é zero. O valor do torque 
resultante nessa barra em uma de suas extremidades, a uma distância L/2 do centro 
de massa, é: 
A) MgL
B) MgL/2
C) 3MgL
D) 0
E) 4MgL
2) Um trilho tem uma altura que é função da posição horizontal x, dada por: 
 
 
 
Ache todas as posições sobre o trilho, onde uma bola de gude permanecerá onde for 
colocada. Que tipo de equilíbrio existe em cada uma dessas posições? 
A) x0 = 1 → equilíbrio instável; 
x0 = 3 → equilíbrio estável;
B) x0 = -4 → equilíbrio instável; 
x0 = 2 → equilíbrio estável;
C) x0 = -2 → equilíbrio instável; 
x0 = 2 → equilíbrio estável;
D) x0 = 0 → equilíbrio estável; 
x0 = -2 → equilíbrio instável;
E) x0 = -4 → equilíbrio estável; 
x0 = 2 → equilíbrio instável;
3) Qual(is) da(s) seguinte(s) situações está(ão) em equilíbrio estático?
A) Um pêndulo no topo de seu balanço.
B) Um carrossel girando à velocidade angular constante.
C) Um projétil no topo de sua trajetória (com velocidade zero).
D) Qualquer corpo em repouso que apresente movimentos translacionais.
E) Nenhuma anterior.
Duas forças de intensidades F1=10N e F2=30N estão atuando em uma manivela, 
ambas na mesma direção, fazendo um ângulo de 30o em relação à horizontal, mas em 
sentidos opostos. Determine o valor do torque resultante sobre a manivela, sabendo 
4) 
que essas forças estão sendo aplicadas a uma distância de 30 cm em relação ao ponto 
de apoio 
A) 3,0 N.m
B) 7,5 N.m
C) 1,5 N.m
D) 4,5 N.m
E) O torque resultante é nulo.
5) Considere o sistema mostrado na figura abaixo. Se um ponto de pivô é colocado na 
distância L/2 das extremidades do bastão de comprimento L e massa 5M , o sistema irá 
girar no sentido horário. Assim, para o sistema não girar, o ponto de pivô deveria estar 
longe do centro do bastão. Em qual direção do centro do bastão o ponto de pivô deveria ser 
posto? 
 
 
 
A que distância do centro do bastão o ponto de pivô deveria ser colocado para o sistema não 
girar? (Trate as massas M e 2M como massas pontuais). 
A) A uma distância d= L/12 à direita do centro do bastão.
B) A uma distância d= L/12 à esquerda do centro do bastão.
C) A uma distância d= L/6 à esquerda do centro do bastão.
D) A uma distância d= L/26 à esquerda do centro do bastão.
E) A uma distância d= L/26 à direita do centro do bastão.
NA PRÁTICA
Toda a Engenharia Civil está baseada no equilíbrio e na estabilidade.
As construções buscam suportar grandes quantidades de pesos, por exemplo, as prediais, como é 
o caso dos condomínios e casas, industriais e comerciais. Existem ainda as pontes, os viadutos, 
capazes de suportar o tráfego de carros, caminhões e ônibus por muitos anos. Em todos os casos 
citados existe uma demanda de conhecimento para projetar estas construções. E tudo isso 
baseando-se no equilíbrio e na estabilidade. Algumas construções permitem a absorção de 
oscilações no terreno, minimizando o efeito de terremotos.
 
 
 
 
Confira no item "Saiba +" vídeos e um artigo sobre estas construções!
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Equilíbrio Estático de um Corpo Extenso
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Exemplos de Equilíbrio Estático
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Vídeo sobre trabalhos de estudantes simulando as construções seguras contra terremotos 
(inglês) - Earthquake Resistant Structures vs. Shake Table
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Video sobre construções resistentes a terremotos (inglês) - Nationwide Effort to Make 
Buildings Earthquake Safe
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Entenda como são feitos os prédios resistentes a terremotos
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