3 TRABALHO

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PROGRAMA FRANCISCO EDUARDO MOURÃO SABOYA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
ESCOLA DE ENGENHARIA
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
Termo da plasticidade da fratura e do dano
3º TRABALHO
MARCEL FREITAS DE SOUZA
JUNHO DE 2016
SUMÁRIO
1. Introdução	1
2. Modelo Constitutivo	2
2.1. Introdução	2
2.2. Equações constitutivas gerais	3
2.3. Critério de von Mises	5
Capítulo 1
Introdução
1.1. Considerações Gerais
	Os elementos estruturais e componentes de máquinas feitos com material dúctil geralmente são projetados de modo que o material não escoe sob as condições esperadas de carregamento. Quando o elemento ou componente está sob um estado de tensão uniaxial, o valor da tensão normal que fará o material escoar pode ser obtido facilmente por um ensaio de tração executado em um corpo de prova do mesmo material, pois o corpo de prova e o elemento estrutural ou componente de máquina estão sob o mesmo estado de tensão. Assim, independentemente do mecanismo real que faz o material escoar, podemos dizer que o elemento ou componente estará seguro desde que em que é atenção de escoamento do material do corpo de prova.
	
7
Capítulo 2
Modelo Constitutivo
2.1. Introdução
O comportamento de um material dúctil pode ser descrito por diversas formulações, como por exemplo: um modelo elasto-plástico, que leva em consideração tanto o comportamento elástico quanto o comportamento plástico do material; um modelo elasto-viscoplástico, que leva em consideração o comportamento elástico do material e o efeito da taxa de aplicação da carga no comportamento plástico do mesmo; modelo rígido plástico ou visco-plástico, que despreza a contribuição elástica no comportamento do material; modelo com dano acoplado, que incorpora a lei de evolução de uma variável interna de dano para descrever de maneira explicita, o nível de degradação do material. 
Para matérias dúcteis à temperatura ambiente de trabalho, modela-se o comportamento do material através de um modelo elasto-plástico. Porém, quando submetido a temperaturas elevadas, um modelo elasto-viscoplástico ou mesmo rígido viscoplástico é mais indicado para análise de materiais dúcteis.
2.2. Equações constitutivas gerais
O comportamento multiaxial de um material elasto-plástico ou elasto-viscoplástico pode ser modelado conforme as equações descritas abaixo:
	
	(1)
	
	(2)
Onde é o tensor tensão, é o tensor deformação, é o tensor deformação plástica e é o tensor identidade. Usa-se o símbolo para o traço de um tensor. E é o módulo de Young e é o coeficiente de Poisson.
Adicionalmente ainda são necessárias as leis de evolução apresentadas a seguir para caracterização completa dos materiais elasto-plástico e elasto-viscoplásticos.
	
	(3)
	
	(4)
Para plasticidade:
	 ; ; 
	(5)
Viscoplasticidade:
	; 
	(6)
Com,
	; 
	(7)
	
	(8)
	
	(10)
 Onde:
· são constantes positivas que caracterizam o comportamento plástico do material e que podem ser obtidas a partir de ensaios uniaxiais cíclicos;
· é o desviador da tensão, dado por:
	; 
	(11)
· A variável é chamada de endurecimento cinemático e modela a anisotropia induzida pela plastificação;
· A variável Y é chamada de endurecimento isotrópico e modela o limite de proporcionalidade que varia com a plastificação;
· F é usualmente chamada de função de plastificação e a variável J de tensão equivalente de von Mises. A lei de evolução caracteriza as chamadas equações de complementaridade. Se F<0 tem-se que J<Y e de (5) e (6) é possível concluir que , seja para o comportamento elasto-plástico, seja para o comportamento elasto-viscoplástico. Portanto, usando-se (3) conclui-se que , não há escoamento e o material se comporta elasticamente. No caso da plasticidade, só haverá escoamento quando F=0. Para a viscoplasticidade, haverá escoamento quando O critério . O critério F<0 é chamado de critério de von Mises generalizado. Se então a condição nada mais é do que o critério de von Mises clássico que estabelece que não há escoamento se:
	
	(12)
· A variável é usualmente chamada de deformação plástica acumulada. No caso da plasticidade pode ser interpretado como o multiplicado de Lagrange associado à restrição . A partir da equação (3) é possível verificar que:
	
	(13)
· Para um material virgem, ou seja, um material com as seguintes condições inicias:
	 
	(14)
2.3. Critério de von Mises
Este critério de escoamento baseia-se na determinação da energia de distorção em um dado material, isto é, da energia associada a variações na forma do material. Um componente estrutural está seguro desde que o valor máximo da energia de distorção por unidade de volume naquele material permaneça menor que a energia de distorção por unidade de volume necessária para provocar escoamento em um corpo de prova do mesmo material, em um ensaio de tração (Beer et al., 2011). A partir de sua definição segue que , ou seja, se a tensão equivalente de von Mises for menor do que o valor para o endurecimento isotrópico não há deformação permanente ou plástica.
	
	(15)
	
	(16)
O que define uma esfera de raio centrada no ponto na base das direções principais do tensor desviador. A expansão da região elástica está relacionada com o endurecimento isotrópico , e a translação dessa esfera está ligada ao endurecimento cinemático de uma esfera de raio inicial 
Figura 2.3.1 – Representação do critério de von Mises generalizado na base de direções principais do tensor desviador
Fonte: Pereira (2015)
	
Pode-se escrever o critério de von Mises como elipse inclinada em 45° da seguinte maneira.
	
	(17)
Analogamente à representação em toda as direções principais, essa elipse é centrada no ponto . A expansão da região elástica está relacionada com o endurecimento isotrópico Y(t), e a translação dessa elipse está ligada ao endurecimento cinemático .
Figura 2.3.2 – Representação plana do critério de von Mises generalizado
Fonte: Pereira (2015)
Referências:
Peres, J.M.A. Análise de deformação cíclica progressiva em tubulações elasto-viscoplásticas. 2015. 89 f. Dissertação (Mestrado em engenharia mecânica) – Universidade Federal Fluminense, Niterói, 2015.
Beer, F.P., Russel Johnston, E., Dewolf, J.T., Mazurek, D.F., Mecânica dos materiais. Tradução técnica de José Benaque Rubert e Walter Libardi. Porto Alegre, AMGH Editora, 2011. 800 p.
Paim, L.M. Análise de ensaios hidrostáticos e dimensionamento de sistemas de reparo com materiais compósitoss. 2014. 116 f. Tese (Doutorado em engenharia mecânica) – Universidade Federal Fluminense, Niterói, 2014.