Unidade 05

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CICUITOS ELÉTRICOS II 
Professor Dr. Joel David Melo Trujillo 
5. Quadripolos 
Motivações da Aula .. 
2 
 Porque estudar esta aula? Objetivos da Aula 
5. Quadripolos 
Motivações da Aula .. 
3 
 Porque estudar esta aula? Objetivos da Aula 
Modelo para os pontos na mesma 
extremidade. Se os pontos 
estiverem em extremidades 
opostos, as mútuas são negativas. 
5. Quadripolos 
Motivações da Aula .. 
4 
 Porque estudar esta aula? Objetivos da Aula 
 O que é um quadripolo (rede de duas 
portas) ? 
• Um quadripolo tem dois pontos de acesso, que 
consistem em pares de terminais. Toda a corrente que 
entra por um dos terminais de um par sai pelo outro 
terminal do mesmo par. 
5. Quadripolos 
Motivações da Aula .. 
5 
 Porque estudar esta aula? Objetivos da Aula 
Limitações: 
 
1- Não pode haver energia armazenada; 
2- Não pode haver fontes 
independentes; 
3- i1 = i1’ e i2 = i2’; 
4- Não são permitidas ligações entre 
portas; 
5. Quadripolos 
Motivações da Aula .. 
6 
 Porque estudar esta aula? Objetivos da Aula 
No Quadripolo 
 
• Somente as variáveis terminais são de interesse (i1, 
v1, i2 e v2) 
• Deseja-se relacionar v e i de uma porta com v e i de 
outra porta. 
• A descrição mais geral é no 
domínio da frequência, sendo 
circuitos resistivos e senoidais casos 
particulares. 
5. Quadripolos 
Motivações da Aula .. 
7 
 Porque estudar esta aula? Objetivos da Aula 
No Quadripolo 
 A partir de duas variáveis pode-se determinar as 
outras duas. Assim, o circuito pode ser escrito sempre 
por duas equações simultâneas, de seis maneiras 
diferentes. 
• Analisar os parâmetros dos quadripolos; 
• Modelar quadripolos com carga ; 
• Analizar quadripolos interligados ou associados. 
 
8 
Motivações da Aula .. 
 Porque estudar esta aula? Objetivos da Aula 
5. Quadripolos 
• Equações e Parâmetros 
• Quadripolos Recíprocos 
• Qudripolos com Carga 
• Considerações Finais 
9 
5. Quadripolos 
• Equações e Parâmetros 
• Quadripolos Recíprocos 
• Quadripolos com Carga 
• Considerações Finais 
10 
5. Quadripolos 
• Equações e Parâmetros 
• Quadripolos Recíprocos 
• Quadripolos com Carga 
• Considerações Finais 
11 
5. Quadripolos 
12 
Equações e Parâmetros . 
 Equações Terminais Parâmetros 
5. Quadripolos 
• Os seis conjuntos de equações 
podem ser considerados três pares 
de relações mutuamente inversas. 
13 
Equações e Parâmetros . 
5. Quadripolos 
 Os coeficientes das variáveis V e I são 
denominados parâmetros do quadripolo. 
 Parâmetros do quadripolo: z, y, a, b, h e g. 
 Equações Terminais Parâmetros 
14 
Equações e Parâmetros . 
5. Quadripolos 
 Os parâmetros podem ser determinados por 
cálculo ou medição. 
Determinação de z 
 Equações Terminais Parâmetros 
15 
Equações e Parâmetros . 
5. Quadripolos 
zii = impedância de entrada/saída. 
 
zjk = impedância de transferência. 
 
Determinação de z 
 Equações Terminais Parâmetros 
16 
Equações e Parâmetros . 
5. Quadripolos 
• Parâmetros obtidos deixando em aberto ou curto-circuito a 
entrada ou saída. 
 
• O parâmetro é uma impedância, uma admitância ou uma 
grandeza adimensional. 
Determinação de z 
 Equações Terminais Parâmetros 
17 
Equações e Parâmetros . 
5. Quadripolos 
Determinação de y, a e b 
* z e y  imitância 
 Equações Terminais Parâmetros 
18 
Equações e Parâmetros . 
5. Quadripolos 
Determinação de y, a e b 
a e b  transmissão 
 Equações Terminais Parâmetros 
19 
Equações e Parâmetros . 
5. Quadripolos 
Determinação de y, a e b 
a e b  transmissão 
 Equações Terminais Parâmetros 
𝑉𝑔 𝑡 = 𝑎11𝑉𝑟 𝑡 + 𝑎12𝐼𝑟 𝑡 
𝐼𝑔 𝑡 = 𝑎21𝑉𝑟 𝑡 + 𝑎22𝐼𝑟 𝑡 
20 
Equações e Parâmetros . 
5. Quadripolos 
h e g  híbridos 
 Equações Terminais Parâmetros 
Determinação de y, a e b 
21 
Equações e Parâmetros . 
5. Quadripolos 
Modelo de circuitos com transistores 
 Equações Terminais Parâmetros 
Determinação de y, a e b 
22 
Equações e Parâmetros . 
5. Quadripolos 
Relação entre os Parâmetros dos Quadripolos 
• Se um conjunto de parâmetros é conhecido, é possível 
determinar todos os outros conjuntos, pois as 
equações envolvem a mesmas variáveis. 
Exemplo: Determinação dos parâmetros z em função de y 
 Equações Terminais Parâmetros 
(1) 
(2) 
23 
Equações e Parâmetros . 
5. Quadripolos 
 Equações Terminais Parâmetros 
Exemplo: Determinação dos parâmetros z em função de y 
• Determinar V1 e V2 e comparar os coeficientes de I1 e 
I2 em (1) e I1 e I2 em (2) 
(1) (2) 
2
11
1
21221
111
2 I
y
y
I
y
y
y
Iy
Iy
V





2
12
1
22222
121
1 I
y
y
I
y
y
y
yI
yI
V






24 
Equações e Parâmetros . 
5. Quadripolos 
y
y
z

 22
11
y
y
z

 12
12
y
y
z

 2121
y
y
z

 1122
 Equações Terminais Parâmetros 
Exemplo: Determinação dos parâmetros z em função de y 
• Determinar V1 e V2 e comparar os coeficientes de I1 e 
I2 em (1) e I1 e I2 em (2) 
(1) (2) 
2
11
1
21221
111
2 I
y
y
I
y
y
y
Iy
Iy
V





2
12
1
22222
121
1 I
y
y
I
y
y
y
yI
yI
V






25 
Equações e Parâmetros . 
5. Quadripolos 
Relação entre os Parâmetros dos Quadripolos 
 Equações Terminais Parâmetros 
26 
Equações e Parâmetros . 
5. Quadripolos 
 Equações Terminais
Parâmetros 
Relação entre os Parâmetros dos Quadripolos 
27 
Equações e Parâmetros . 
5. Quadripolos 
 Equações Terminais Parâmetros 
Relação entre os Parâmetros dos Quadripolos 
28 
Equações e Parâmetros . 
5. Quadripolos 
 Equações Terminais Parâmetros 
Relação entre os Parâmetros dos Quadripolos 
• Equações e Parâmetros 
• Quadripolos Recíprocos 
• Quadripolos com Carga 
• Considerações Finais 
29 
5. Quadripolos 
• Equações de Parâmetros 
• Quadripolos Recíprocos 
• Quadripolos com Carga 
• Considerações Finais 
30 
5. Quadripolos 
31 
Quadripolos Recíprocos . 
 Definições Exemplos 
5. Quadripolos 
• No quadripolo recíproco existem as seguintes relações 
entre os seus parâmetros: 
2112
zz 
2112
yy 
1..
21122211
 aaaaa
1..
21122211
 bbbbb
2112
hh 
2112
gg 
32 
Quadripolos Recíprocos . 
5. Quadripolos 
• No quadripolo recíproco, a permuta entre uma fonte ideal 
de tensão num par de terminais e um amperímetro ideal, 
num terminal do outro par, produz a mesma leitura no 
amperímetro. 
0
2030
15
60


 bdbdbd
VVV
AIcd 75,1
 Definições Exemplos 
VVbd 5
33 
Quadripolos Recíprocos . 
5. Quadripolos 
• No quadripolo recíproco, a permuta entre uma fonte ideal 
de tensão num par de terminais e um amperímetro ideal, 
num terminal do outro par, produz a mesma leitura no 
amperímetro. 
0
3020
15
60


 bdbdbd
VVV
AIad 75,1
 Definições Exemplos 
VVbd 5,7
34 
Quadripolos Recíprocos . 
5. Quadripolos 
• Um quadripolo recíproco é simétrico se a sua entrada puder ser 
trocada com sua saída sem alteração das correntes e tensões 
em seus terminais. 
2211
zz 
2211
yy 
1.. 21122211  hhhhh
1.. 21122211  ggggg
2211
aa 
2211
bb 
• Esses quadripolos possuem as seguintes relações entre seus 
parâmetros. 
Relações 
 Definições Exemplos 
35 
Quadripolos Recíprocos . 
5. Quadripolos 
 Definições Exemplos 
(a) Circuito T simétrico 
(b) Circuito  simétrico 
(c) Circuito T simétrico com 
ponte 
(d) Circuito treliça simétrica 
• Equações e Parâmetros 
• Quadripolos Recíprocos 
• Quadripolos com Carga 
• Considerações Finais 
36 
5. Quadripolos 
• Equações e Parâmetros 
• Quadripolos Recíprocos 
• Quadripolos com Carga 
• Considerações Finais 
37 
5. Quadripolos 
Quadripolos com Carga . 
5. Quadripolos 
 Nesta aplicação típica, a análise do circuito consiste 
em expressar as correntes e tensões terminais em 
função dos parâmetros dos quadripolos, Vg, Zg e ZL. 
38 
 Carga em seus terminais Interconexão 
Quadripolos com Carga . 
5. Quadripolos 
 Seis características do quadripolo sob carga definem 
seu comportamento. 
• a impedância Zent = V1/I1, ou admitância Yent= I1/V1 
• a corrente de saída I2 
• a tensão e a impedância de Thévenin (Vth, Zth) vistas pela saída 
39 
 Carga em seus terminais Interconexão 
Quadripolos com Carga . 
5. Quadripolos 
• o ganho de corrente I2/I1 
• o ganho de tensão V2/V1 
• o ganho de tensão V2/Vg 
40 
 Seis características do quadripolo sob carga definem 
seu comportamento. 
 Carga em seus terminais Interconexão 
Quadripolos com Carga . 
5. Quadripolos 
Além das equações do quadripolo existem mais duas 
restrições adicionais impostas pelos sistemas conectados 
nas extremidades. 
41 
 Carga em seus terminais Interconexão 
Quadripolos com Carga . 
5. Quadripolos 
42 
 Carga em seus terminais Interconexão 
Quatro equações que caracterizam o circuito 
Quadripolos com Carga . 
5. Quadripolos 
Cálculo da impedância de entrada Zin = V1 / I1 
43 
 Carga em seus terminais Interconexão 
Quadripolos com Carga . 
5. Quadripolos 
Cálculo da corrente no porto de saída (I2) 
Deduzir os demais casos com procedimento semelhante 
ao descrito. 
44 
 Carga em seus terminais Interconexão 
Quadripolos com Carga . 
5. Quadripolos 
45 
 Carga em seus terminais Interconexão 
Quadripolos com Carga . 
5. Quadripolos 
46 
 Carga em seus terminais Interconexão 
Quadripolos com Carga . 
5. Quadripolos 
47 
 Carga em seus terminais Interconexão 
 Carga em seus terminais Interconexão 
Quadripolos com Carga . 
5. Quadripolos 
48 
 Útil quando se constrói subsistemas (mais fáceis de 
projetar), que depois de integrados formam sistemas 
complexos. 
 
 
 
 A síntese do sistema completo consta da interligação 
de quadripolos. 
 Carga em seus terminais Interconexão 
Quadripolos com Carga . 
5. Quadripolos 
49 
(a) Cascata - a; 
(b) Série - z; 
(c) Paralelo - y; 
Os cinco modos básicos de interligação são: 
Quadripolos com Carga . 
5. Quadripolos 
50 
(d) Série-Paralelo - h; (e) Paralelo-Série - g 
Os cinco modos básicos de interligação são: 
 Carga em seus terminais Interconexão 
Quadripolos com Carga . 
5. Quadripolos 
51 
Os cinco modos básicos de interligação são: 
 A ligação em cascata ocorre frequentemente na 
modelagem de grandes sistemas e não há restrição em 
utilizar os parâmetros individuais para se obter os 
parâmetros dos circuitos interligados. 
 Carga em seus terminais Interconexão 
Quadripolos com Carga
. 
5. Quadripolos 
52 
• Deseja-se encontrar os parâmetros a que relacionam 
V2 e I2 com V1 e I1. 
2222211
2122111
..
..
IaVaI
IaVaV


   
   
2222212212212211211
2221212112211211111
.''''''.''''''
.''''''.''''''
IaaaaVaaaaI
IaaaaVaaaaV


''
''
12
12
II
VV


 Carga em seus terminais Interconexão 
Quadripolos com Carga . 
5. Quadripolos 
53 
 Carga em seus terminais Interconexão 
 
 
 
 ''''''
''''''
''''''
''''''
2222122122
2122112121
2212121112
2112111111
aaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaa




 Comparando os coeficientes, chega-se a: 
• Se existirem mais de 
duas unidades, 
executa-se um par de 
quadripolos por vez. 
Quadripolos com Carga . 
5. Quadripolos 
54 
 Carga em seus terminais Interconexão 
Quadripolos com Carga . 
5. Quadripolos 
55 
 Carga em seus terminais Interconexão 
• Equações e Parâmetros 
• Quadripolos Recíprocos 
• Quadripolos com Carga 
• Considerações Finais 
56 
5. Quadripolos 
• Equações e Parâmetros 
• Quadripolos Recíprocos 
• Quadripolos com Carga 
• Considerações Finais 
57 
5. Quadripolos 
Considerações Finais .. 
• Uma porta é um par de terminais com a restrição de 
que a corrente que entra por um dos terminais deve 
ser igual à corrente que sai pelo outra; 
• A modelagem de circuitos ou dispositivos por 
quadripolos é usada para descrever o desempenho do 
circuito ou dispositivo em termos das tensões e 
correntes nas portas, sem considerara os detalhes 
internos do circuito ou dispositivo; 
58 
5. Quadripolos 
Considerações Finais .. 
• O modelo de quadripolos envolve quatro sinais, que 
correspondem à corrente e à tensão nas duas portas. 
Dois sinais são tratados como entradas e os outros 
dois como saídas. Existem seis formas de separar os 
quatro sinais em sinais de entrada e de saída, 
portanto, seis conjuntos de parâmetros para os 
quadripolos; 
• Os seis conjuntos são chamados de parâmetros de 
impedância, admitância, híbridos, híbridos inversos, 
de transmissão e de transmissão inversos; 
59 
5. Quadripolos 
Considerações Finais .. 
• Podemos usar os parâmetros dos quadripolos para 
descrever o comportamento de dois ou mais circuitos 
ligados em paralelo, em série ou em cascata. 
60 
5. Quadripolos 
Bibliografia .. 
• ORSINI, L.Q.; CONSONNI, D. “Curso de Circuitos 
Elétricos”, Vol. 2 ( 2ª Ed. – 2002 ), Ed. Blücher, São 
Paulo. 
• CONSONNI, D. “Transparências de Circuitos Elétricos 
I”, 1º semestre de 2007, EPUSP. 
• CHARLES K. ALEXANDER; MATTHEW SADIKU, 
“Fundamentos de Circuitos Elétricos”, MCGRAW-HILL 
BRASIL , 3ª Ed., 2008. 
• Obs: As figuras desse material foram obtidas com a 
autorização do autor. 
 
61 
5. Quadripolos 
Bibliografia .. 
• NILSSON, J.W.; RIEDEL, S. A.; “Circuitos Elétricos”, 8th 
Ed., Pearson, 2008. 
• ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. “Fundamentos de 
Circuitos Elétricos”, 3ª edição, Ed. Mc Graw Hill, 2008 
• BURIAN, Y.; CAVALCANTI, A. Circuitos Elétricos. 9. ed. 
São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
 
62 
5. Quadripolos