Fractais - EXPERIMENTO 1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 
 INSTITUTO DE FÍSICA 
LABORATÓRIO DE ENSINO 
 
 
 
 
 
MICAELLEN CRISTINA GONÇALVES ANDRADE 
NATHALIE OLIVEIRA DE SOUZA 
ROSIELLEN LEITE PALMEIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dimensões inteiras e fracionárias 
 
 
 
 
 
Roteiro de Física Experimental 1 
 Experimento 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Maceió 
 2021 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 
 INSTITUTO DE FÍSICA 
LABORATÓRIO DE ENSINO 
 
 
 
 
 
 
 
 
MICAELLEN CRISTINA GONÇALVES ANDRADE 
NATHALIE OLIVEIRA DE SOUZA 
ROSIELLEN LEITE PALMEIRA 
 
 
 
 
 
 
 
Roteiro de Física Experimental 1 
Experimento 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Relatório apresentado ao Professor Noelio D. na disciplina 
de Física Experimental I, para apresentação de resultados 
de experimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 INSTITUTO DE FÍSICA 
LABORATÓRIO DE ENSINO 
 
 
Maceió 
2021
 
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 INSTITUTO DE FÍSICA 
LABORATÓRIO DE ENSINO 
 
 
 
 
 
Sumário 
 
 
1. Introdução............................................................................................................................. 4 
2. Objetivo................................................................................................................................. 5 
3. Material................................................................................................................................. 5 
4. Procedimento........................................................................................................................ 5 
5. Discussão................................................................................................................................ 6 
6. Conclusão.............................................................................................................................. 8 
Referências................................................................................................................................ 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. Introdução 
Da geometria euclidiana, sabemos que a dimensão d de um objeto representa a 
dimensionalidade do espaço em que está inserido. Para formas geométricas elementares d tem 
um valor inteiro, assim se trabalharmos com esferas de aço maciças de densidade uniforme, 
teremos: 
𝑀 = 𝜌𝑉 = 𝜌 
4
3
𝜋 (
𝐷
2
)
3
= 𝜌
𝜋
6
𝐷³ (1) 
 
Onde M é a massa, ρ a densidade volumétrica de massa, V o volume e D o diâmetro. 
 
A equação (1) pode ser escrita da seguinte forma: 
𝐷 = 𝐾𝑀
1
𝑑 (2-a) 
Onde, 
 
𝐾 = (
6
𝜋𝜌
)
1
𝑑
 e d=3 (2-b) 
 
A versão bidimensional das equações (1) e (2) será: 
 
𝑀 = 𝜎𝐴 = 𝜎𝜋 (
𝐷
2
)
2
 (2-c) 
 
𝐷 = 𝐾𝑀
1
𝑑 
Onde, 
𝐾 = (
4
𝜋𝜌
)
1
𝑑
 𝑒 𝑑 = 2 
 
Já na forma unidimensional temos: 
 
𝐷 = 𝐾𝑀1/𝑑 (2-d) 
 
𝐾 = (
1
𝜋𝜌
)
1
𝑑
 e d=1 
 
Por sua vez um fractal é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes, cada 
uma das quais semelhantes ao objeto original, entretanto, das características que definem um 
fractal, a mais importante é a dimensão. Esta dimensão representa o nível de irregularidade de 
um fractal por isso, tal dimensão pode assumir valores fracionários como, por exemplo: 1,6 ou 
 
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2,5. Assim diferentemente da dimensão Euclidiana, a dimensão fractal representa o nível de 
ocupação do espaço pelo objeto e não o espaço onde o objeto está inserido. Neste experimento 
entraremos em contato com esta dimensão. Para isso analisaremos a dimensão de uma folha de 
papel amassada em bolas compactas com diâmetros variados. Material de apoio 
disponibilizado pelo prof. Dr. Noelio Dantas. 
 
2. Objetivo 
Medir a dimensão dos corpos com formas geométricas irregulares. 
 
3. Material 
 
Descrição Quantidade 
Régua milimetrada de 30 cm 1 
Paquímetro 1 
Folhas de papel 2 
 
4. Procedimento 
Foi construído sete bolas de papel amassado, sendo uma bola oriunda de uma folha 
inteira e as outras seis foram obtidas dividindo a folha em 6 partes. Foi atribuído a menor fração 
da folha massa 1 e as seguintes massas 2, 4, 8, 16, 32 e 64. 
 
 
Figura 1: Diagrama de divisão de uma folha para experimento de fractais. 
 
Para cada uma das bolas de papel foram realizadas sete medidas do diâmetro em pontos 
diferentes, determinando o diâmetro médio para cada uma delas a fim de construir o gráfico 
loglog do diâmetro versus a massa. 
 
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5. Discussão 
Após realizada as medições foi montada a tabela abaixo, mostrando a incerteza estimada 
ΔD associada ao tamanho de cada bola e a media <D>. 
 
Tabela 1: Medidas de diâmetro 
 
Como é possível notar pelos dados da tabela 1, a bola de papel de forma irregular 
apresenta uma variabilidade significativa na sua medida, apresentado assim uma imprecisão ao 
que diz respeito ao seu diâmetro. 
De acordo com os dados da tabela 1, temos o gráfico log-log do diâmetro versus massa. 
 
 
-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
 
 
L
o
g
 d
e
 D
Log de M
 M 
D 
1 2 4 8 16 32 64 
D1 5,35 9,55 11,4 14,95 19,75 31,65 32,7 
D2 6,1 8,2 9,55 13,2 21,6 29,15 35,85 
D3 5,2 9,7 9,75 13,45 19 26,3 33 
D4 5,8 8,7 11,15 15,2 16,75 26,55 33 
D5 5 9,1 10,6 14,85 18,5 28,55 34 
D6 5,65 7,2 8,5 15,6 19,8 27,1 37,9 
D7 6,25 9,2 10,65 15,1 19,4 29,2 34,75 
<D> 5,6 8,8 10,2 14,62 19,25 28,36 34,46 
∆D 0,4 0,8 0,9 0,8 1,4 1,7 1,7 
 
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Tomando o logaritmo em ambos os lados da equação D = KM1/d obtemos: 
 
log (D) = log (K) + 1/d . log (M)  log (D) = 1/d . log (M) + log (K) 
 
A partir do gráfico obtemos o coeficiente angular “a” igual a 0,44 e o coeficiente linear 
“b” igual a 0,77, assim podemos calcular a dimensão d e a constate K: 
 
1/d = 0,44 => d = 2,27 
log (K) = -0,77 => K = 10-0,77 => K = 0,17 
 
Questões: 
1. Que valor você esperaria de d para uma esfera tridimensional de densidade uniforme? E para 
uma “esfera” bidimensional – um objeto circular, como uma moeda, de densidade uniforme? 
E para uma esfera unidimensional? 
R: Para uma esfera tridimensional d = 3, bidimensional d = 2 e unidimensional d = 1. 
2. Qual a expressão de K para os três tipos de objetos a que se refere à pergunta (a)? 
R: Tridimensional: K = ( 6/πρ )1/d 
 Bidimensional: K = ( 4/πρ )1/d 
 Unidimensional: K = ( 1/πρ )1/d 
3. Baseando-se nos valores de d e Δd encontrados e na resposta do item (a), como você 
interpreta o valor de d obtido? 
R: d não é um número inteiro porque a bola de papel tem forma irregular não sendo 
totalmente tridimensional, sendo assim uma dimensão fracionária, com 2 < d < 3. 
 
 
 
 
 
 
 
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6. Conclusão 
Com esse experimento, foi possível compreender a existência e a dimensão dos objetos 
fractais. Ao obter um valor de dimensão fracionário, pode-se comprovar a existência de objetos 
fractais, pois possuindo formas irregulares o objeto não teve dimensões 2 ou 3 exatamente, mas 
sim, entre esses dois valores. Apesar do objeto de medição utilizado ter sido a régua, isso não 
garante um valor exato dos diâmentos, porém esta medida garantiu um resultado satisfatório. 
 
Referências 
Backes, André Ricardo, Martinez, Odemir Bruno, Técnicas de Estimativa da Dimensão 
fractal: Um Estudo Comparativo. Disponivel 
em:<http://www.dcc.ufla.br/infocomp/artigos/v4.3/art07.pdf>. Acessado em: 15/07/2009. 
DIONISIO, P.H. Sensibilidade do equipamento x precisão da medida. Revistade Ensino de 
Física, Vol. 13, 1991, 30-33. 
HELENE, O.; VANIN, V.R. Tratamento estatístico de dados em física experimental. Ed. 
Edgar blucher, 1980, São Paulo. 
INMETRO. Sistema internacional de Unidades. Disponivel em: http://www.inmetro.gov.br. 
Acesso em agosto de 2021. 
Material de apoio de dimensões inteiras e fracionárias disponibilizado pelo prof. Dr. Noelio 
Dantas. 
http://www.dcc.ufla.br/infocomp/artigos/v4.3/art07.pdf
http://www.dcc.ufla.br/infocomp/artigos/v4.3/art07.pdf