Gabarito da AP2 de Física IA

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Instituto de Física
UFRJ
Gabarito da AP2 de Física IA
16 de novembro de 2014
1a Q
2a Q
3a Q
4a Q
Nota
Obs: Em todas as questões em que for necessário, utilize que g é o módulo da aceleração da gravi-
dade. Todas as respostas devem ser justificadas.
1. [1,6 pontos] Em seu treinamento de atletismo, Junior percorreu um trecho retilíneo de uma estrada
de 20 km de comprimento do seguinte modo: nos primeiros 10 km ele manteve uma velocidade
constante de 12 km/h, enquanto nos últimos 10 km ele foi capaz de manter apenas uma velocidade,
também contante, de 8 km/h.
(a) [1,0 ponto] Seu amigo Carlos, informado desse resultado, concluiu que Junior percorreu a
distância total de 20 km com uma velocidade média de 10 km/h. Calcule essa velocidade
média e verifique se está correta ou não a conclusão de Carlos.
Uma vez que Junior percorre a mesma distância com velocidades diferentes, o tempo gasto
em cada trecho não será o mesmo. Sendo assim, não podemos fazer a média aritmética entre
as velocidades, como fez Carlos. Por se tratarem de dois movimentos uniformes, o tempo
gasto por Junior em cada trecho do treinamento foi
∆x = v1∆t1 ⇒ ∆t1 =
10
12
s e ∆t2 =
10
8
s⇒ ∆t = ∆t1 +∆t2.
Portanto, a velocidade média será, por definição
〈v〉 =
∆x
∆t
=
20
25
12
⇒ 〈v〉 = 9,6 km/h
Portanto, a conclusão de Carlos está errada.
(b) [0,6 ponto]Qual a aceleração média de Junior entre os instantes inicial e final do treinamento?
Sabemos as velocidades inicial e final do treinamento de Junior, assim como o tempo total
gasto. Portanto, a aceleração média será
〈a〉 =
vf − vi
∆t
=
8− 12
25/12
⇒ 〈a〉 = −1,9 km/h2
O sina lde meos indica que ele desacelerou durante o treinamento.
1
2. [3,2 pontos] Uma caixa de massa m está sobre outra caixa, de massa M = 4m. Uma pessoa
tenta arrastar as caixas, puxando a de baixo com uma força horizontal de módulo F , conforme
a figura abaixo. Sabe-se que o atrito entre a caixa de baixo e o chão pode ser desprezado e que
os coeficientes de atrito estático e cinético entre as duas caixas são, respectivamente, µe e µc.
Observa-se que o sistema composto pelas duas caixas se desloca em conjunto.
m
~Fat
~Pm
~Nm
M
−~Fat
− ~Nm
~PM
~NM ~F
(a) [1,0 ponto] Isole as caixas e faça um diagrama indicando as forças que atuam sobre cada uma
delas.
Atuam sobre a caixa de massa m, além da força ~F , as forças peso (~Pm) e as de contato que
a caixa debaixo exerce sobre ela: a normal ( ~Nm) e a força de atrito, que se opõe a tendência
de movimento entre as caixas (~Fat). Sobre a caixa de massaM atuam o peso (~PM ), a normal
que o chão exerce sobre ela ( ~NM ) e as forças exercidas pela caixa de cima: a de atrito (−~Fat)
e a normal (− ~Nm) que, pela terceira Lei de Newton, são menos as forças exercidas sobre a
caixa de cima.
(b) [0,5 ponto] Qual o módulo da aceleração com que as caixas se movimentam?
Uma vez que as caixas se movimentam em conjunto, podemos tratá-las como um único
objeto, de massa m +M . Sobre esse objeto, atuam apenas as forças peso, normal e a força
~F . Escrevendo a componente horizontal da Segunda Lei de Newton
~P + ~N + ~F = (m+M)~a⇒ a =
F
m+M
⇒ a =
F
5m
(c) [1,0 ponto] Qual o módulo das forças que a caixa de baixo exerce na de cima?
Escrevendo a segunda Lei de Newton para a caixa de cima e observando que o movimento
se dá na direção horizontal, e ainda que, como as caixas se movimentam em conjunto, não
há movimento entre elas:
~Pm + ~Nm + ~Fat = m~am;Nm − Pm = 0⇒ Nm = mg
Onde já escrevemos apenas os módulos das forças e foi observado que os pesos e as normais
possuem apenas componente vertical. As forças que a caixa debaixo exerce na de cima são
o atrito e a normal. Utilizando a aceleração encontrada no item anterior.
Fat =
F
5
, Nm = mg
(d) [0,7 ponto] Qual a condição que os coeficientes de atrito devem satisfazer para que os blocos
se movimentem em conjuto?
Como encontrado no item anterior, a força de atrito estático que atua entre as caixas (pois
não há movimento entre eles) tem módulo
Fat = ma =
mF
m+M
2
Portanto, quanto maior for a força ~F , maior será o módulo do atrito. Sabemos, porém, que o
atrito estático possui um valor máximo dado por
Fat ≤ µeN
Aplicando essa desigualdade para o bloco de cima:
Fat ≤ µeNm ⇒ µe ≥
F
5Nm
Escrevendo a componente vertical da segunda Lei de Newton para a caixa:
Nm −mg = 0⇒ Nm = mg ⇒ µe ≥
F
5mg
3
3. [2,6 pontos] Uma pedra é atirada do alto de um prédio de altura h em relação ao solo. A pedra
é atirada na direção horizontal, e atinge o solo a uma distância h da base do prédio. Despreze a
resistência do ar e utilize o sistema de coordenadas indicado na figura.
X
Y
~v0
~vf
~g
~v
O h
h
(a) [1,0 ponto] Utilizando o sistema de eixos indicado na figura, qual o vetor velocidade com que
a pedra é lançada? Indique, na própria figura, esse vetor velocidade.
A pedra é lançada horizontalmente. Portanto, escolhendo o instante inicial como o do lança-
mento da pedra, podemos escrever as coordenadas x e y em função do tempo como
x(t) = v0t ; y(t) = h−
gt2
2
onde v0 é a velocidade inicial. No instante em que atinge o solo, sabemos que x(tq) = h.
Portanto
tq =
h
v0
Por outro lado, sabemos que y(tq) = 0. Sendo assim,
y(tq) = 0 = h−
gt2q
2
= h−
gh2
2v2
0
⇒ v0 =
√
gh
2
⇒ ~v0 =
√
gh
2
uˆx
O vetor está desenhado na própria figura.
(b) [1,0 ponto] Utilizando o sistema de eixos indicado na figura, qual o vetor velocidade com que
a pedra atinge o solo? Indique, na própria figura, esse vetor velocidade.
Temos um movimento de projétil que começa com uma velocidade horizontal. Sendo assim,
as componentes da velocidade em um instante de tempo t podem ser escritas como
vx(t) = v0 ; vy(t) = −gt
No instante em que atinge o solo t = tq, temos, portanto que
~vf = v0uˆx −
gh
v0
uˆy ⇒ ~vf =
√
gh
2
uˆx −
√
2ghuˆy
O vetor velocidade é tangente à trajetória e está desenhado na própria figura.
(c) [0,6 ponto] Para um instante durante o movimento (que não seja nem o do lançamento e nem
aquele em que a pedra a tinge o solo), indique, na própria figura, os vetores velocidade e
aceleração da pedra.
O vetor velocidade é tangente à trajetória e a aceleração gravitacional aponta sempre para
baixo.
4
4. [2,6 pontos] Um aluno de Física IA realizou a prática "E Newton tinha razão..." referente à Aula
20 dos Módulos de Física I. Nessa prática, o carrinho se movimenta sobre o trilho de ar, que
está inclinado em relação à direção horizontal. A tabela abaixo mostra os pontos medidos para a
posição do carrinho e a velocidade do mesmo em função do tempo t.
t (ms) x (cm) v (cm/s)
0 0,0± 0,2 -
50 2,9± 0,2 59± 1
100 5,9± 0,2 63± 1
150 9,2± 0,2 68± 1
200 12,7± 0,2 73± 1
250 16,5± 0,2 78± 1
300 20,5± 0,2 82± 1
350 24,7± 0,2 85± 1
400 29,0± 0,2 90± 1
450 33,7± 0,2 94± 1
500 38,4± 0,2 -
Obs.:O aluno sabia que a incerteza no tempo de
centelhamento era muito menor que a incerteza
na medida da posição e, por isso, foi
desprezada. Para responder todos os itens
posteriores não se esqueça que toda grandeza
obtida experimentalmente deve ser
acompanhada de sua incerteza!
(a) [0,6 ponto] Por que não é possível determinar a velocidade do carrinho no primeiro e no
último pontos?
Sabendo que as posições do carrinho são medidas em intervalos de tempo regulares ∆t, por
se tratar de um movimento uniformemente acelerado, podemos encontrar a velocidade do
carrinho em um instante t:
v(t) =
x(t+∆t)− x(t−∆t)
2∆t
Dessa forma, no primeiro ponto não é possível obter a velocidade pois não dispomos da
medida x(t−∆t = −50ms) e no último não temos a medida x(t+∆t = 550ms)
(b) [1,0 ponto] Utilizando o papel milimetrado em anexo, faça um gráfico da velocidade do
carrinhov em função do tempo.
(c) [1,0 ponto] Obtenha, a partir do gráfico, a aceleração do carrinho durante o movimento e a
velocidade em t = 0. Estime a incerteza na aceleração e na velocidade inicial como 5% dos
valores obtidos.
Observamos, conforme esperado, que o movimento é uniformemente acelerado fazendo com
que a velocidade do carrinho aumente linearmente com o tempo. Ajustando uma reta aos
pontos podemos obter a velocidade do carrinho em t=0 lendo diretamente o valor da veloci-
dade para o qual o tempo é zero. No gráfico encontramos que esse ponto é
v(0) = (55± 3) cm/s ou v(0) = (54,9± 2,7) cm/s
Onde foi adotado uma incerteza de 5% conforme pedido no enunciado e são apresentados os
valores com um ou dois significativos. A aceleração é o coeficiente angular da reta ajustada:
a =
∆v
∆t
=
88,0− 66,0
0, 375− 0, 125
= 88,0 cm/s2
a = (88± 4) cm/s2 ou a = (88,0± 4,4) cm/s2
5
0 0,1 0,2 0,3 0,4
52
60
70
80
90
t (s)
v(cm/s)
6