Buscar

011-potencial_eletrico_de_distribuicoes_continuas

Prévia do material em texto

181
����� ��� ���	
����� 	�
������ �	� �����������	��
��
��
�����	�������	�
������
�
���	������
• �	�	���
��� �� ���	
����� 	�
������ �	� ����	���� ���� �������������
��
��
����	��������	�
��������
�
�
����� ���	
����� 	�
������ �	� �����������	�� ��
��
���� �	�
������
�
� ��������	
�����
�
��	���	�
	����������
�����
��
����
��
�
����	�	�	�������
�
�	���	�
	���� ��� ���������� ��� �
��
� dq , �
�
� 
� ����� �	�
��� �� �	�����	
 �� ���
�������������������
��
��
�
����������	
����	�����
�������������
�
��	���	�
	�����
�
�� == r
dq
dVV
oεπ4
1
�
�������
�
 
�
� ��������� �������
�� !
�� ��������� �� �"��
��� ��� ������	
�� �����	��� ���
�	���	�
	�#���������
������
��
�����
������$���	����#��%���	�����
�����������
��
����������������"��
� dA ���������
��� dV ��
�
�� 
�
��	���	�
	�#�������� !"!#!��$��"#�%#���
�����&� dydxdA = ��
�
�"&&�$�'#$#��"#�(��!#'#�����
�
��
���'��	����
�
��
����&� θddrrdA = ��
�
�"&&�$�'#$#���&)#����������(�����%����
���	������
)�����	�
����
���'	�	
��σ �	��	�
����*���������
��
������
�	�
������"��
��
������!�(�!*�!+,&�-&)�./(�!"#�$��"#�%#��������������������
��� dV ������
�����(��������������
����&� dzdydxdV = ��
�
�"&&�$�'#$#��"#�(��!#'#���
����&� dzddrrdV φ= ��
�
�"&&�$�'#$#��"!)0'$�!"#����
182
����&� θφθ dddrsinrdV 2= ��
�
�"&&�$�'#$#���� /�!"#����
)� ����	�
��� ���
����	�
� ��� �
��
�%� �+
�
�
� ��� ρ � 	��	�
� �� �*����� ���
�
��
������
�	�
���������
����
�
���1� ���	
����� 	�
������ �	� �����������	�� ��
	��	�� �	�
������
�
� �� ��������� ��� �
��
� �����	�
� dq � ����	��� ��� 
�� ��������� dx ���
�����	������ �
� �	���	�
	���� ��� �
��
� é dxdq λ= . �� ������	
�� ���
��� ���� �����
��������� dq �	�
������	�����	
� r ���������� ���������,���	���� Pr
�
����
��������
r
dx
r
dq
rdV P
λ
πεπε 00 4
1
4
1
=)( =
����������	
�����
������
��	���	�
	�����%��������
 
� r
dx
rV P
λ
πε 04
1
=)(
 (11.2)
)� ���
	�%� �������� 
��
��� �(������� ��� �"��
��� ��� ������	
�� �� �����
������ �
��
�(������������"��
��
�
�������
���������	��%���������"��
������������	
��'	�
��
	��
'"�	�����	�������
�
	2�.�)&������
-�� '	�� ���	������ �� +����$���� ��� �����	������ lAB 2= � ���"� �
����
���

�	'���������������
��
� q ��.
��
�
����������	
�������	������
������������'	�����
������ �!
�����"��
����	
��	/����'	���'	�
�
��������
�
0	�
�
�������0	�����	������+����$����
�
�&)�+,&3�1��
����	����
�����������
�
��������	��������%����������	�����'	�%�
183
���� �	(���/� �������	�
�
�� 
�� �
���� �� �
	���� ������ 1�������
� ��� �����
�	�
��%�
�������������+����������� ��	�
��������
���2/3�
���������
�
�������� �4%2%4���
5������	����
%��������
22 yxryrP +== �
���������������
��
� dq �����
/�
��������	
�� dV ����������� �	�
��
��
22
04
1
=)(
yx
dx
ydV
+
λ
πε
�
���!
�� r ���
��	�����	
����������������������
��
� dq ����������� ��6����%������
�
����	�
����	��
��λ �������
�����
�− +
=
l
l yx
dx
yV
22
04
1
)( λ
πε
�
 ���
���%�
������������������������������������������
�
�
�
�
�
�
�
�
−+
++
=
lly
lly
l
q
V
22
22
0
ln
24
1
πε
������������������������������7�
�
��������!
����������������	
�����
��'	�����	�������
����
���'�	��
	�� '"�	�����!
��
���������
���������	���!
��������	
��5
�
�
�������	������������
��'
������������	
��
�����	�������
�
���
���/
����
�
�������������	
����������
���������	��%�!
������
���	�
�	
�
� 	���
	��
��	��������������	�������
���������	������
��
�",���
��
��	�����
�
���������������
�
	2�.�)&����1�
.
��
�����������	
�������	������
�������� %�
�
�
��	�����	
� y %����
��'	�����	������
	�'	�	����
����
���
�	'���������������
��
�8��'	�
�
����9����
��
�
0	�
�
����9��0	�����	������	�'	�	����
����
����
184
�&)�+,&3�5��6(������������������
���%��
�
�
��'	��'	�	�����������	������ l2 ���
����	�
��� �	��
�� ��� �
��
�� λ %� !
�� �� ������	
�� ���
�	��� 
�� 	�'	�	��� �� �
��� ���
�
�!
��������7��
�
 �����������	���
��
��'	��	�'	�	��������
���
����	�	�������
��(�������%�!
����
 
yl >> , ������������
.
1/1
1/1
ln
4
1
ln
4
1
)(
22
22
22
22
�
�
	
�
�
�
−+
++
=
�
�
	
�
�
�
−+
++
=
ly
ly
lyl
lyl
yV
oo
λ
πε
λ
πε
�
:�������������
��
	/�!
��
�
�������;�����
�<	���	
�%�������
�
2
22
2
1
1/1 �
�
�
�
�
�+≈+
l
y
ly
�
!
�����
�
��
��(�����������������	
�������"��
�
2
2
2
2
2
2
2
ln
4
1
)(
l
y
l
y
yV
o
��
�
�
��
�
�
+
= λ
πε
�
=�����
�������������������������������������������
�
	
�
�
��
�
�
��
�
�
+= 14ln
4
1
)( 2
2
y
l
yV
o
λ
πε
�
)��	�
���%�
���
%�
����
��(�������%������������	������������
�	�����
�++=+
2
1)1ln(
2αα
�������%����� yl /2=α ��
��
�
�
��
�
�
≈
y
l
yV
o
2
ln
2
1
)( λ
πε
�
�������� !
�� ���
���� �� '	�� 	�'	�	��� �������� �� ������	
�� )(yV � �
�����
	�'	�	��%���	�� ∞→l ��>��������������!
��
���?��	
��	���	�
	��������
��
��� 	�'	�	�
��
)����
�����
��

�
��@����4����������
	�
�������
������+
�������������������	
��
�
�
��	���	�
	�#���	�'	�	�
������
��
���6�����(���������������
�!
��������������
�����+�����	�'	�	�������������������������'��$��	
�� ������������+��%������(�����%�

�� ������ )� !
�!
��%� �	�
��� 
� 
�
� �	�����	
� oy � ��� '	�� 	�'	�	��%� ����� 0=oV ��
185
:���
�'���
����������
��
�
�
��
�
�
−��
�
�
��
�
�
=−=−
0
0
2
ln
2
12
ln
2
1
0)()()(
y
l
y
l
yVyVyV
oo
λ
πε
λ
πε �
�
��
�
	
�
�
��
�
�
��
�
�
−��
�
�
��
�
�
=
0
2
ln
2
ln
2
)(
y
l
y
l
yV
oπε
λ
=����
����!
���
�
�
�
�
�
�=−
b
a
ba lnlnln �
��������!
����
��
�
�
��
�
�
=
y
y
yV o
o
ln
2
1
)( λ
πε
�
�
��������	������
�����+
�
�
��(����������
�
���������	
�������	������
�������� ��	�
���
�
�
�
�	�����	
� r ����
���	�	�����	�'	�	��%���������	�
����	��
������
��
��λ ��
�
	2�.�)&����4�
.
��
�����������	
�������	�����������������
��
�
�
����
��
�����������
�������
	��A%�
����
�
�����	�
����	��
������
��
������
���� λ (figura 11.4). 
186
0	�
�
����B��)��������
	��A�
Solução:;�����!
���
� r
dq
rV
04
1
=)(
πε
1��
��������������������	���������
��������������
����
�0	�
�
����B��;�����
!
��� 'θλ dRdq = �������
��	�����	
���� dq 
������������
�����������
������	�
��
���
	�������
���%������
)(
4
'
4
=)( 12
00
2
1
θθ
πε
λθ
πε
λ θ
θ
−=� dR
R
rV �
5����!
��������
�����������	��������
�	
���C
�
�
�(!-!$#$�����1�
�����+
����
�������������	
���������������
����!
���������
����
�������	��������
�����������������'������D4E�
�
�����	�
����	��
������
��
�'����4��.F���
�
���5� ���	
����� 	�
������ �	� �����������	�� ���	�6������� �	�
������
� � 
�
� �	���	�
	�#��� �
���'	�	
	�� ��� �
��
%� �� ��������� ��� �
��
� dq ��
�
���	�
���� ����� ����
��� �
� ����	�
��� �
���'	�	
�� ��� �
��
� σ ����� ��������� ���
�
���'��	�� dA ; 
� 	�����
�� �� �
��
�
�
� ������ 
� �
���'��	�� ����� 
� �
��
� ���"�
�	���	�
��
��
	7	��������8�
���	
�����	�
�������	��������������	�����
.���	�����
���	��������
	�� R �
�	'�������������
����
��������
��
� q ��.
��
���
��������	
�����
��������������
�������� �����	(������	����	
�����	�������	�
�����
�	�����	
� x ���������������
�
�������3� -�� ��������� ��� �
��
� dq ��	
� 
�� ������	
�� �����	��� dV 
� 
�
�
�	�����	
� 22' xRr += ���������� %��
��������
187
'
1
4
=)(
0 r
dq
xdV
πε
�
�
0	�
�
����G���	�����
����
���
 
�
� ��������� �� �������
%� �
���� 
�
�� �������
�
�� ���
����� )��	�%� ��
�������������
��
� dq � ���
������� rddrdq ′′′ θσ= �� >�����
����
��!
����
�	�
�
���������
rd
xr
r
dxV
R
′
+′
′′�� 22
0
0
2
0 4
=)(
πε
σθ
π
�
)!
	%�
�	�����
����� θ ′d ����������'�	�
�	���	
�
���������
��� π2 ��6������
rd
xr
r
xV
R
′
+′
′
� 220
04
2
=)(
πε
σπ
�
)�	�����
����� r′ ��%�'�	�
�
��
��	���
��
���	�
	�����
.2== 22 rdrdurxu ′′→′+ �
�������%������%��
�
� )(xV �
��(���������
[ ]xRxu
u
du
xV
Rx
x
−+=�
	
�
�
=
+
�
22
0
2/1
00 22/142
1
2
=)(
22
2 ε
σ
ε
σ
ε
σ
][
2
=)( 22
0
xRxxV −+
ε
σ
�
�
% como 2/ RQ πσ = , �����
.][
2
=)( 22
2
0
xRx
R
Q
xV −+πε
�
188
���4�����	
�����	�
�������	������������	�������
��������	�
������
5�� �
�������	���	�
	�#��� ���
����	�
�� ��� �
��
%� �� ������������ �
��
� dq ��
�
���	�
�������������
����
�����	�
������
����	�
� ρ ��������������������
��� dV
��
�	�����
�����
��
�
�
������������
��������
��
��
����"��	���	�
��
��
�
	7	��������8�
���	
�����	�
�������	�����������	�6
���������	�����
H
����������	�
����������	
�����
�������� ����	���
�
�
��
��
���'��	�
�����
	��
R %�!
������
	�
�
�����	�
����
���'	�	
������
��
�
�	'������-�
�������� 	�'	�	���
����������������'��$��	
��
�
0	�
�
����I��.������
�
�����������������"��
�
5���	����
�����������
�
���
�0	�
�
����I%��������
θ ′−+== coszRzRrzrP 2
22 �
6������
θπε ′−+ coszRzR
dq
zdV
24
1
=)(
22
0
H
���� 
�
�� �������
�
�� ��'��	�
�� �
�
� ��������� �� �������
� �
� 	�����
���� �
�
�!
����
�	�
3�������%������%�!
���
φθθσσ ′′′= ddsinRdAdq 2= �
24
=
R
q
π
σ
189
)��	�%�
,
24
=)(
22
2
0 θ
φθθ
πε
σ
′−+
′′′
coszRzR
ddsinR
rdV P
�
>�����
���%��������
θ
θ
θφ
πε
σ ππ ′
′−+
′′�� d
coszRzR
sinR
dzV
24
=)(
22
2
0
2
0
0
�
)� 	�����
�� ��� φ′ � ����� ���� �'��
�
� 	���	
�
�����%� 
�
� ��/� !
�� �� 	�����
����
	������������φ′ ��)�	�����
�����θ ′���'
/�����
��
�
��
�����
�	"�����
�
θθθ ′′−→′ dsinzRdxcoszRx 2=2= �
��!
���"��
[ ] RzRzRz
Rz
xzR
z
R
xzR
Rzdx
RzV
2
2
22
0
22
2
2
2
0
2
4
=
/2
2
4
=)(
−
+
+
−+
−+
−⋅ � ε
σπ
πε
σ
�
[ ]zRzRzRzR
z
R
22
2
= 2222
0
−+−++
ε
σ
�
[ ].)()(
2
= 22
0
zRzR
z
R −−+
ε
σ
�
5������������������������
	�
���
���(��
	��
��
	/�!
��
�
%��
����
�������������

���*�������
����
���
�
�������� &�#��
���'��
%� Rz > ������
�������	�
�����	�	����
��
	/�!
��
�
%�
!
��'	�
��
RzzR −− =)( 2 �
6������
 )]()[(
2
=)(
0
RzzR
z
R
zV −−+
ε
σ
�
��
 )>(=)(
0
2
Rr
z
R
zV
ε
σ
�
190
��� �
�
� ������� $�'(�&� �
� ��'��
� Rz < � �� ���
���� �� �	�
�� ���
�	��� �
� �
	/�
!
��
�
%�!
��'	�
��
zRzR −− =)( 2 �
6������
)]()[(
2
=)(
0
zRzR
z
R
zV −−+
ε
σ
�
�
����
.)(=)(
0
Rr
R
zV ≤
ε
σ
�
�
�(!-!$#$�����5�
:�����	�
�%�
��
��	���������
��
�������6(���������G%���������	
�������	������������
'��
����
�
��
��
���'��	�
�����
���
�����
	��A��
�
���������(!-!$#$�����4�
0
�
�
��������������"'	������������	
�������	����
�
����������������� '��
�
��� 
�
� �
��
� ��'��	�
� ����
���
� �
����
�
� �����	�
������ ���� ����	�
���
�
���'	�	
������
��
�σ ����
	�� R ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
191
�	�����������	
������������������	������������
�
��������	������
 �����������
�����
���	�	�����	�'	�	��������
��'	��	�'	�	���!
������
	�
��
�
	�� R �������
�����
�'	�
�
����@����������	
�����
���	�	����� 	�'	�	����
����
�����
�����+
����
������
/	�������
�� '	�� 	�'	�	��3�����
����
��
�
������������	
���
�
�
������� ��� !
�� Ry > �� 5����� �
��� �������� ���
�� ����� ������ ��� ������	
�� 
�
�
���'��	������	�	����%������ Ry = . :���
�'���
����������
��
�
�
��
�
�
=
y
R
V
o
ln
2
1 λ
πε
�
�
0	�
�
����@��.	�	�����	�'	�	����
����
����
�
��������	����1�
1�������
����
�������	��������D4J%�
�'	�
�
����B����������
�!
�� °−= 351θ
e °+= 352θ ��6����%�
º180
)]º35(º35[1010/109)(
4
=)0( 322912
0
πθθ
πε
λ ×−−××××=− − CCmNV
6�� !
�� �� *��	��� ������ �"� 
� ��
��'���
���� ��� ��

�� �
�
� �
�	
�����
5
���	�
�����%������%��������
VV 21075,1)0( −×=
��������	����5�
.����
���'��
������"�	�
%�
��
��
������	�
�����	���	�
	��
��
��
���'��	���6����%����
������������6(���������G%���������	
����������
���'��
�����������!
���
��
�
�
���'��	���
192
R
Q
R
QRR
RV
0
2
00 4
1
4
=)(
πεπεε
σ ==
��������	����4�
)� '	�
�
� ����4� �����
� 
�� ������� ���� ��"'	���� ��� �
���� �����	��� �� ���
������	
�� �����	��� �
�
� ������� ������� �� '��
� ��� 
�
� �
��
� ��'��	�
� ����
���
�
�
����
�
��
�
�
0	�
�
� ����4�� K�"'	���� ��� �
���� �����	��� �� ������	
�� �����	��� ��� 
�
� ��'��
�
�
����
�
��
�
5�� 	����	����
���'��
����
���������	������
��%���������������	
�������
�����
 
�
��������'��
��
���'��
����
������	�����
�������������	��
��
��!
��
������ r
%���!
������������	
����	�����
�������������	��
��
� r ���
�
��������	����8�
���	������ ��� 6(������ ���G� �� ������	
�� �����	��� �
�
� ������� 	����	����� ��
�(���	�����
�
�
��
��
���'��	�
�����
���
��
����
�
�� 
�
��������'��
��
��
��
���
������	
����	�����
�������������	��
��
��	�����	
������������
��
��
��6��
�
��������
��������
��
��
���������	
���������
�����H��
�
�'	�
�
��������
�
193
�
0	�
�
� ������� K�"'	��� ��� ������	
�� �����	��� �
�
� 
�
� �
��
� ��'��	�
�
�
����
�
��
�
�	
�	�	��	���
���
�
 A������� 
�
���������	�
����
�
�
��	�����	
 Rz >> %���������	
�����
�
����	�
�
�
����
�
�������
/�
�����
�
��
��
��
��	'����L��
�
 A���9�� 1�� '	/������ �� �
	�� ��� 
���	���� �
����
��� ����
�
� �
��
� Q � '����
	���
��
���%�!
������������	
�������	������
���������	�
������	�����	
� z �������������
�	����� )Rz << L�
� �
 A���7�� M� ��������� '
/��� 
�� 
��
���� ��� �
��
�� �
��	'������ ���
�
�
�� ���� 
�
�
�	�����	
� '	�	�
� ��� ����� !
�� 
� �����	
� ������	
�� �����	�
� ���
� 	�
�� �� �����	
�
������	
��!
����
��	�����	
�������
���
��
��'���	�'	�	�
L�
�
 A���B����
��	������
���������
�������	���
�����	����������
/�
�
��	'�����
����
������	
�����
��
����	�+
��������������8
�������$����
�
��
�
�	
�����
������	�#���
���������!
�������
����!
�����+�!
���1�����$�������
�������
����
�
��	�+
����
��
���	����� ���� 
�� ������	
�� ����
�"���%� �� �+�!
�� ���	
� '
�
��� ��� !
�� �(	����
���
��	'�����
L�
�
 A���G�� )� �	'�����
� ��� ������	
�� ������ ��	�� ����	�
	�� ��� 
�
� �	�+
� ))� �� ��� �%G�
������8
�����
���	�+
��))������	�
�
��������	����������!
��������	�
�����	�	���
���
�
��
���	�+
�������
��������
�������������	�
�����
�	����
��
��
%�!
����
�
�	'�����
� ��� ������	
�� ������ ��� ��	�� ����	�
	�� �	����� ����
� ����	�
���L� 6(��	!
��
��
��
�	����	���
�
 A���N��8
�����	
�
��	'�����
����������	
�������������	������	�
	���	������
���	�+
��
194
�
�!
������
����	������������	�
�����	�	������
�
����
�����	�������������
�������
������	�
�����	�	����
��
��
L�
�
	7	���������	�6�7�����
� � � �
6�����������+
���������	
�������	������
�������� ��	�
�������	(�����
��
�������
�
	��	�
��
��4�����
����
���
�	'���������������
��
�����%G��.�
�
�
��	�����	
�
���94���������
���������
�
6���9��-��'	�����	��������������	������	�
��
��4������"�	���
������
����
�������

�
��
��
� CQ 9102,6 −×−= ��-������������
�
����
�����?(	���
������������'	��
�

�
��	�����	
����9%9������
� ��!
�� ���������	/��� ������ �����	�����������������������	��	�����4��� ���
���	�����L�
�� �����+
� 
�
� �(�������� �
�
� 
� 
�����
���%� �����	�
��� �� ������
������ ���
��������������	�����
�������������
�� :�����	���
������	
��������������� st 10= ��
�� M� ��������� ������ 
�
� ���
���� �
�
� �� ������
�����%� �
�
� 
� �����	�
��� ��
�����
�����
�
�!
�!
���	���
������������L�O
��	'	!
���
��������
��
�� :�����	��� 
� �	'�����
� ��� ������	
�� ������ ��� ������� 0x � ������ �� �������� ��
��������� 10x ��������������������������
��
�
�?���4����
�
6���7�� -�� �	���� ���� �
	�� cmR 11= ���"� �
����
��� ���� �
��
� nCQ 0,3= �� -�
�
��'��
� �
�	�
� �
����
�
� ���� �
��
� nCq 0,6−= %� �
	�� cmr 5,2= ���"� ��� �	(�� ���
�	����
�
�
��	�����	
������
���������
� :�����	�����������	
�������	�����������������	�����
�� 8
������������	
�������	���������������	�����������	������
���'��
��
�� :�����	��� 
� �	'�����
� ��� ������	
�� ������ ��	�� ������� �	�
���� 
� 
�
�
�	�����	
� cmr 5,31 = ��� cmr 5,82 = ������������
���'��
�!
�����	�
�
�������������	�����
�
�

Continue navegando