Licao3 Tautologia, Contradição e Contingência - Lógica 2

Prévia do material em texto

Tabela Verdade, Tautologia, Contradição e Contingência 
 
Uma fórmula A é chamada de CONTRADIÇÃO se para 
qualquer valor de verdade de seus atomos a fórmula 
sempre assume valor F (Falso) . 
 
Uma fórmula P é chamada de TAUTOLOGIA se para 
qualquer valor de verdade de seus átomos a fórmula 
sempre assume valor V (Verdadeiro). 
 
Uma fórmula Q é chamada de CONTINGÊNCIA se para algum 
valor de verdade de seus átomos a fórmula assume valor V 
(Verdadeiro) e para algum valor de verdade de seus átomos a 
fórmula assume valor de verdade F (Falso) 
 
 
 
 
 
 
Se uma fórmula A é TAUTOLOGIA então ~A é 
CONTRADIÇÃO. 
 
Se A é CONTRADIÇÃO então ~A é TAUTOLOGIA. 
 
Por serem sempre verdadeiras – logicamente verdadeiras – as 
tautologias são aquelas fórmulas a que se costuma dar o nome 
de LEIS LÓGICAS 
p p p  p 
V F V 
F V V 
 
A fórmula p  p é uma tautologia. (Terceiro Excluído) 
p p p  p 
V F F 
F V F 
 
A fórmula p  p é uma contradição. 
Comutativa (p  q)  (q  p) (p  q)  (q  p) 
Associativa ((p  q) r)  (p  (q  r)) ((p  q) r)  (p (q r)) 
Idempotente (p  p)  p (p  p)  p 
Propriedades de V (p  V)  p (p  V)  V 
Propriedades de F (p  F)  F (p  F)  p 
Absorção (p  ( p  r ))  p (p  (p  r))  p 
Distributivas (p  (q  r))  ((p  q )  (p  r)) (p  (q  r))  ((p  q )  (p  r)) 
Distributivas (p  (q  r))  ((p q)  (p  r)) (p  (q  r))  ((p q)  (p  r)) 
Leis de De Morgan ~ (p  q)  (~ p  ~ q) ~ (p  q)  (~ p  ~ q) 
Def. implicação (p  q)  (~p  q) (p  q)  ~ ( p ~ q) 
Def. bicondicional (p  q)  ((p  q)  ( q  p)) (p  q)  ( (~p  q)  (~q  p) ) 
Negação ~ (~ p)  p 
Contraposição (p  q)  (~ q  ~ p) 
Exportação( ) Importação ( ) ((p  q)  r)  (p  ( q  r )) 
Troca de Premissas (p  (q  r ))  (q  ( p r )) 
Modus ponens (p  (p q))  q 
Modus tollens ((~p  (q p))  ~ q 
Silogismo disjuntivo ((p  q)  ~ p)  q 
Silogismo hipotético ((pq)  (qr))  (pr) 
Lei de Peirce ( (p q)  p )  p 
Lei de Duns Scot ~p  (p q) 
Prefixação p  (q p) 
Antilogismo ( (q  r)  p )  ((q  ~p)  ~r) 
Equivalência de Fórmulas e as Tabelas Verdade 
 Uma fórmula P é logicamente equivalente a uma fórmula Q se, 
e somente se, P  Q é uma tautologia. 
 Notação: P  Q ou P Q . 
 
Exemplo: pq  ~q  ~p 
 
 
 
 
p q pq ~p ~q ~q~p (pq)( ~q~p) 
V V V F F V V 
V F F F V F V 
F V V V F V V 
F F V V V V V 
Propriedades da equivalência lógica 
Propriedade Reflexiva: AA. 
 
Propriedade Simétrica: Se A  B então B  A. 
 
Propriedade Transitiva: Se A  B e B  C então A  C. 
 
Se A e B são ambas tautologias ou contradições então 
AB. 
Uma fórmula proposicional A implica logicamente uma 
fórmula proposicional B see AB é uma tautologia. 
Denotamos isto por AB. 
Propriedades da implicação lógica 
 
Propriedade Reflexiva: AA. 
 
Propriedade Antissimétrica: Se A  B e B  A então A  B. 
 
Propriedade Transitiva: Se A  B e B  C então A  C. 
 
Proposições associadas a uma condicional () 
Dada a condicional AB, as seguintes fórmulas proposicionais 
 são associadas a ela: 
 
(i) Recíproca B  A. 
(ii) Contrária ~A  ~B 
(iii) Recíproca da contrária ou Contrapositiva ~B  ~A 
Algumas equivalências lógicas importantes 
Sejam P e Q fórmulas proposicionais quaisquer. Então, são 
logicamente equivalentes às seguintes fórmulas proposicionais: 
PQ e ~(~P~Q) 
P  Q e ~(~P  ~Q) 
PQ e ~P Q 
 
Dem.: 
Basta mostrarmos que (PQ) ~(~P~Q),(P  Q)  ~(~P~Q) 
e (PQ)  (~P Q) são tautologias.