Matemática Financeira-Web I 2020 2 B - Prof Mabel Lopes

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Matemática Financeira
Webconferência I
Professor(a): Mabel Lopes
Conceitos Básicos
O que é a Matemática Financeira?
• É a aplicação de métodos matemáticos em problemas financeiros.
• Todas as análises feitas na Matemática Financeira empregam como matéria-
prima informações representadas sob a forma da evolução do dinheiro no 
tempo.
Componentes Básicos de uma operação financeira
Capital ou valor presente (P): valor aplicado através de uma operação financeira.
Juros (J): é a remuneração do capital empregado.
Taxa de juros (i): é a remuneração em forma de percentual (%).
Tempo (n): período de tempo da operação.
Montante ou valor futuro (Fn): é o valor que resulta da ação dos juros sobre o 
valor presente.
Conceitos Básicos
Diagrama de Fluxo de caixa: é a representação gráfica da movimentação de 
recursos (entradas e saídas de caixa). 
Ex.: O diagrama de fluxo abaixo representa um projeto que envolve um 
investimento inicial de R$ 800,00, e um outro investimento no período 4 de 
R$ 250,00. E que produz receitas de R$ 200,00, R$ 400, R$ 150,00 e R$ 
600,00, nos períodos 1, 2, 3 e 5,respectivamente.
0 4321 5
-800
+200 +400 +150
-250
+600
Regimes de Capitalização
Existem duas maneiras de incidência de taxa de juros que caracterizam os 
principais regimes de operações financeiras: juros simples e juros 
compostos.
Juros simples: os juros incidem sempre sobre o capital inicial P. 
Juros compostos: os juros incidem sobre o montante acumulado 
anteriormente. 
Juros simples
Montante = principal. (1 + taxa . tempo)
Juros Compostos 
Montante=Principal .(1 + taxa) tempo
Regimes de Capitalização
Ex.: Desejo fazer uma aplicação no valor de R$ 10.000,00 durante 3 meses a uma 
taxa de juros (simples e compostos) de 10% ao mês. Quanto receberei de 
montante no final da aplicação?
M = VP . (1 + i . n)
M = 10000.( 1 + 0,10 . 3 ) 
M = 10000.( 1 + 0,30 )
M = 10000 .( 1,30 )
M = 13000
M=VP .(1 + i) n
M= 10000 . ( 1+0,10 ) ³
M = 10000 . ( 1,10 ) ³ 
M = 13.310
Regime de Capitalização Simples
Sabe-se que VF=VP+J=VP+VP.i.n.
Ex.: João obteve um empréstimo no valor de R$ 1.000. O sistema de juros do 
empréstimo é o de juros simples e a taxa de juros é de 10% ao mês. Após 5 
meses, qual o valor final que João deverá pagar?
Dados do problema: valor presente VP=1.000 , taxa de juros i=10%, e o 
tempo n=5 meses. 
VF=P[1+(i.n)] =1000[1+(0,1.5)]=1000[1,5]=1500
t VF Fórmula (desenvolvimento)
0 10.000 VF=VP
1 11.000 VF=VP+VP=VP(1+i)
2 12.000 VF=VP+VPi+VPi=VP(1+2i)
3 13.000 VF=VP+VPi+VPi+VPi=VP(1+3i)
...n ...VF ...VF=VP(1+in)
Regime de Capitalização Simples
Em alguns casos, temos que ajustar a taxa ao período de tempo requerido do 
problema. 
Ex.: Temos uma aplicação de R$ 20.000 com taxa de juros anuais de 30%. 
Qual o rendimento desta aplicação em 5 meses?
• 1° Passo: ajustar a taxa de juros : 30% ao ano = 30% em 12 meses.
Se dividirmos 30%/12 meses obteremos 2,5% ao mês de taxa.
• 2° Passo: aplicar a nova taxa à formula de rendimento.
J=VP.i.n=20.000x0,025x5=2.500
Lembre –se, Juros ≠ taxa de juros.
a.d= ao dia
a.m= ao mês
a.t=ao trimestre
a.s=ao semestre
a.a=ao ano
Ano civil = 365 dias
Ano comercial: 360 dias
Mês comercial: 30 dias
Regime de Capitalização Simples
É frequente a necessidade de antecipar ou de prorrogar títulos nas operações 
financeiras. Às vezes queremos substituir um título por outro ou por vários. Ou 
seja, devemos fazer uma comparação de valores diferentes referidos a datas 
diferentes, considerando-se uma dada taxa de juros. 
Equivalência de capitais de juros: dois (ou mais) capitais, com datas de vencimento 
diferentes, são ditos capitais equivalentes quando, transportados para uma 
mesma data, a mesma taxa, produzirem, nessa data, valores iguais.
𝑉𝐹1
(1 + 𝑖. 𝑛1)
=
𝑉𝐹2
(1 + 𝑖. 𝑛2)
Obs.: No caso dos juros simples, é preciso definir esta data.
VF=VP(1+in)
VP=VF/(1+in)
Regime de Capitalização Simples
Valor nominal – é quanto vale um compromisso na data de seu vencimento. 
Valor atual – é o valor que um compromisso tem em uma data que antecede 
ao seu vencimento. 
Vamos determinar se R$ 438.080 vencíveis daqui a 8 meses é equivalente a 
R$ 349.280 vencíveis daqui a 3 meses, admitindo uma taxa de juros simples 
de 6% ao mês. (considere data focal zero)
349.280
(1 + 0,06.3)
=
438.080
(1 + 0,06.8)
Taxa Proporcional
Taxa proporcional: são aquelas que, embora apresentadas em unidades 
diferentes, quando aplicadas sobre um mesmo valor presente, resultam em 
mesmo valor futuro em uma operação com mesmo prazo. 
Ex.:No caso de taxas proporcionais simples, basta utilizarmos uma regra de 
três para encontrarmos essa taxa.
2,5% a.m é proporcional à 30% a.a => 2,5%.12= 30%
3% a.s é proporcional à 6% a.a => 3%.2=6%
45% a.a é proporcional à 3,75% a.m= 45%/12=3,75%
Fórmula proporcionalidade => 
𝑖1
𝑖2
=
𝑛1
𝑛2
Regime de Capitalização Composto
A partir de manipulações matemática chegamos às fórmulas para encontrar:
O período de capitalização : n=
𝒍𝒏
𝑽𝑭
𝑽𝑷
ln(𝟏+𝒊)
A taxa de juros: i =
𝑛 𝑉𝐹
𝑉𝑃
− 1
t VF Fórmula (desenvolvimento)
0 10.000 VF=VP
1 11.000 VF=VP.(1+i)
2 12.100 VF=VP(1+i)²
3 13.310 VF=VP(1+i)³
... n ... VF ...VF=VP(1 + 𝑖)𝑛
Propriedade Logaritmo:
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃
𝒏 = 𝒏. 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃
Regime de Capitalização Composto
Ex.: Se tivermos uma aplicação de R$ 1.000 e quisermos obter um valor final 
de R$ 1610,51 com aplicação de 10% de juros ao mês, em quanto tempo 
obteremos esse valor final?
VP=1000 , VF=1610,51 , i=10%=0,1 , n=? 
n=ln(VF/VP)/ln(1+i)  n= 
ln(1610,51/1000)
ln (1+0,1)
=
ln(1610,51/1000)
ln (1,1)
=
0,47655
0,09531 = 5 Ou seja, 5 meses.
Regime de Capitalização Composto
Equivalência de Capitais (Composto): Dois (ou mais) capitais, com datas de 
vencimento diferentes, são ditos capitais equivalentes quando, 
transportados para uma mesma data, a mesma taxa, produzirem, nessa data, 
valores iguais. 
No regime de capitalização composto o fato da escolha da data focal é 
irrelevante.
𝑽𝑭𝟏
(𝟏 + 𝒊)𝒏𝟏
=
𝑽𝑭𝟐
(𝟏 + 𝒊)𝒏𝟐
Regime de Capitalização Composto
A equivalência de capitais pode então ser generalizada a partir da seguinte 
representação gráfica: 
Os capitais 𝐴1, 𝐴2, 𝐵1, 𝐵2 e 𝐵3, serão equivalentes se, quando expressos em 
valores de uma data comum ( data focal), à mesma taxa de juros, 
representarem resultados iguais. 
𝐴1
(1 + 𝑖)1
+
𝐴2
(1 + 𝑖)2
=
𝐵1
(1 + 𝑖)3
+
𝐵2
(1 + 𝑖)4
+
𝐵3
(1 + 𝑖)5
𝐴1(1 + 𝑖)
2+𝐴2 1 + 𝑖 = 𝐵1 +
𝐵2
(1 + 𝑖)1
𝐵3
(1 + 𝑖)2
(Data Focal 
Momento 0)
(Data Focal 
Momento 3 )
Capitalização
Descapitalização
Regime de Capitalização Composto
Ex.: Ana tem os seguintes compromissos a pagar:
R$ 1.500,00 daqui a 4 meses
R$ 4.000,00 daqui a 12 meses
Ana propõe trocar esses débitos por dois pagamentos iguais, um para 
daqui a 6 meses e outro para daqui a 9 meses.
i= 2% a.m.(juros compostos) e a data focal no 9º mês, quanto Ana deve 
pagar por cada parcela?
𝟏𝟓𝟎𝟎. (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟐)𝟓+
𝟒𝟎𝟎𝟎
𝟏+𝟎,𝟎𝟐 𝟑
= 𝒙 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟐 𝟑 + 𝒙
𝒙 = 𝟐. 𝟔𝟑𝟐, 𝟏𝟓
Regime de Capitalização Composto
Taxas Equivalentes: são taxas expressas em períodos de tempo diferentes, 
mas que conduzem um capital a um mesmo resultado no fim de 
determinado período.
(𝟏 + 𝒊𝒂)
𝒏𝒂 = (𝟏 + 𝒊𝒃)
𝒏𝒃
Considere uma taxa de 50% a. a. Qual é a sua equivalente mensal?
Um ano é formado por 12 meses. Então, ib = 0,50, nb = 1 (ano) e na = 12 
(meses).
Substituindo na equação, temos:
(𝟏 + 𝒊𝒂)
𝟏𝟐 = (𝟏 + 𝟎, 𝟓)𝟏
(𝟏 + 𝒊𝒂)
𝟏 = (𝟏 + 𝟎, 𝟓)𝟏/𝟏𝟐
𝒊𝒂= (1 + 0,5)
1/12 – 1 = 0,03436608=3,436608% a. m.
Taxa de Juros
Taxa nominal: é aquela taxa em que o prazo de referência para taxa é diferente do 
período de capitalização.
Ex.: 12 % ao ano com capitalização mensal
Taxa efetiva: é aquela em que o período de referência da taxa é igual ao período 
de capitalização. (taxa efetivamente paga ) é a taxa que incide sobre o capital.
Ex.: 1 % ao mês com capitalização mensal.
15 % ao ano com capitalização anual.Transformando taxa nominal em efetiva: (divide-se pelo número de 
capitalizações)
Ex.: 12 % ao ano com capitalização mensal= 12%/12= 1% ao mês
Taxa de Juros
Ex.: Um investimento A rende 6% a.a capitalizados mensalmente.
Taxa nominal : 6% a.a capitalizados mensalmente.
Taxa efetiva: 6%/ 12 =0,5% a.m (conceito de proporcionalidade)
Obtida a taxa efetiva, encontramos a taxa efetiva anual do investimento, a 
partir do conceito de equivalência de Juros compostos.
𝒊𝒂 = (𝟏 + 𝒊𝒃)
𝒏𝒃
𝒏𝒂 −𝟏= (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟓)𝟏𝟐−𝟏 = 𝟔, 𝟏𝟔𝟕𝟖% a.a