Matemática - Teórico_VOLUME5

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Caro aluno 
Ao elaborar o seu material inovador, completo e moderno, o Hexag considerou como principal diferencial sua exclusiva metodologia em pe-
ríodo integral, com aulas e Estudo Orientado (E.O.), e seu plantão de dúvidas personalizado. O material didático é composto por 6 cadernos 
de aula e 107 livros, totalizando uma coleção com 113 exemplares. O conteúdo dos livros é organizado por aulas temáticas. Cada assunto 
contém uma rica teoria que contempla, de forma objetiva e transversal, as reais necessidades dos alunos, dispensando qualquer tipo de 
material alternativo complementar. Para melhorar a aprendizagem, as aulas possuem seções específicas com determinadas finalidades. A 
seguir, apresentamos cada seção:
No decorrer das teorias apresentadas, oferecemos uma cuidadosa 
seleção de conteúdos multimídia para complementar o repertório 
do aluno, apresentada em boxes para facilitar a compreensão, com 
indicação de vídeos, sites, filmes, músicas, livros, etc. Tudo isso é en-
contrado em subcategorias que facilitam o aprofundamento nos 
temas estudados – há obras de arte, poemas, imagens, artigos e até 
sugestões de aplicativos que facilitam os estudos, com conteúdos 
essenciais para ampliar as habilidades de análise e reflexão crítica, 
em uma seleção realizada com finos critérios para apurar ainda mais 
o conhecimento do nosso aluno.
multimídia
Um dos grandes problemas do conhecimento acadêmico é o seu 
distanciamento da realidade cotidiana, o que dificulta a compreensão 
de determinados conceitos e impede o aprofundamento nos temas 
para além da superficial memorização de fórmulas ou regras. Para 
evitar bloqueios na aprendizagem dos conteúdos, foi desenvolvida 
a seção “Vivenciando“. Como o próprio nome já aponta, há uma 
preocupação em levar aos nossos alunos a clareza das relações entre 
aquilo que eles aprendem e aquilo com que eles têm contato em 
seu dia a dia.
vivenciando
Sabendo que o Enem tem o objetivo de avaliar o desempenho ao 
fim da escolaridade básica, organizamos essa seção para que o 
aluno conheça as diversas habilidades e competências abordadas 
na prova. Os livros da “Coleção Vestibulares de Medicina” contêm, 
a cada aula, algumas dessas habilidades. No compilado “Áreas de 
Conhecimento do Enem” há modelos de exercícios que não são 
apenas resolvidos, mas também analisados de maneira expositiva 
e descritos passo a passo à luz das habilidades estudadas no dia. 
Esse recurso constrói para o estudante um roteiro para ajudá-lo a 
apurar as questões na prática, a identificá-las na prova e a resolvê-
-las com tranquilidade.
áreas de conhecimento do Enem
Cada pessoa tem sua própria forma de aprendizado. Por isso, cria-
mos para os nossos alunos o máximo de recursos para orientá-los 
em suas trajetórias. Um deles é o ”Diagrama de Ideias”, para aque-
les que aprendem visualmente os conteúdos e processos por meio 
de esquemas cognitivos, mapas mentais e fluxogramas.
Além disso, esse compilado é um resumo de todo o conteúdo 
da aula. Por meio dele, pode-se fazer uma rápida consulta aos 
principais conteúdos ensinados no dia, o que facilita a organiza-
ção dos estudos e até a resolução dos exercícios.
diagrama de ideias
Atento às constantes mudanças dos grandes vestibulares, é ela-
borada, a cada aula e sempre que possível, uma seção que trata 
de interdisciplinaridade. As questões dos vestibulares atuais não 
exigem mais dos candidatos apenas o puro conhecimento dos 
conteúdos de cada área, de cada disciplina.
Atualmente há muitas perguntas interdisciplinares que abrangem 
conteúdos de diferentes áreas em uma mesma questão, como Bio-
logia e Química, História e Geografia, Biologia e Matemática, entre 
outras. Nesse espaço, o aluno inicia o contato com essa realidade 
por meio de explicações que relacionam a aula do dia com aulas 
de outras disciplinas e conteúdos de outros livros, sempre utilizan-
do temas da atualidade. Assim, o aluno consegue entender que 
cada disciplina não existe de forma isolada, mas faz parte de uma 
grande engrenagem no mundo em que ele vive.
conexão entre disciplinas
Herlan Fellini
De forma simples, resumida e dinâmica, essa seção foi desenvol-
vida para sinalizar os assuntos mais abordados no Enem e nos 
principais vestibulares voltados para o curso de Medicina em todo 
o território nacional.
incidência do tema nas principais provas
Todo o desenvolvimento dos conteúdos teóricos de cada coleção 
tem como principal objetivo apoiar o aluno na resolução das ques-
tões propostas. Os textos dos livros são de fácil compreensão, com-
pletos e organizados. Além disso, contam com imagens ilustrativas 
que complementam as explicações dadas em sala de aula. Qua-
dros, mapas e organogramas, em cores nítidas, também são usados 
e compõem um conjunto abrangente de informações para o aluno 
que vai se dedicar à rotina intensa de estudos.
teoria
Essa seção foi desenvolvida com foco nas disciplinas que fazem 
parte das Ciências da Natureza e da Matemática. Nos compilados, 
deparamos-nos com modelos de exercícios resolvidos e comenta-
dos, fazendo com que aquilo que pareça abstrato e de difícil com-
preensão torne-se mais acessível e de bom entendimento aos olhos 
do aluno. Por meio dessas resoluções, é possível rever, a qualquer 
momento, as explicações dadas em sala de aula.
aplicação do conteúdo
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SUMÁRIO
MATEMÁTICA
ÁLGEBRA E SEQUÊNCIAS
ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE
GEOMETRIA ESPACIAL E ANALÍTICA
Aulas 35 e 36: Função inversa e paridade 6
Aulas 37 e 38: Noções de sequência e progressão aritmética 12
Aulas 39 e 40: Progressão geométrica e sua interpolação 19
Aulas 41 e 42: Problemas envolvendo PA e PG 28
Aulas 43 e 44: Introdução aos números complexos 38
Aulas 35 e 36: Combinação simples 44
Aulas 37 e 38: Binômio de Newton e triângulo de Pascal 51
Aulas 39 e 40: Probabilidade: adição 59
Aulas 41 e 42: Probabilidade condicional 65
Aulas 43 e 44: Estatística 74
Aulas 35 e 36: Esferas 94
Aulas 37 e 38: Inscrição e circunscrição de sólidos 100
Aulas 39 e 40: Geometria analítica: distância e ponto médio 103
Aulas 41 e 42: Geometria analítica: inclinação da reta e coeficiente angular 113
Aulas 43 e 44: Geometria analítica: posição relativa e perpendicularismo 120
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Competência 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações– naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
Competência 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.
Competência 3 – Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.
H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.
H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.
H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Competência 4 – Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.
H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
Competência 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações 
algébricas.
H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.
H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de 
tendência, extrapolação, interpolação e interpretação.
H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos ade-
quados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em 
uma distribuição estatística.
H27
Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados 
(não em classes) ou em gráficos.
H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.
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ÁLGEBRA E SEQUÊNCIAS: Incidência do 
tema nas principais provas
UFMG
Questões sobre função inversa e composta 
aparecem com grande incidência na prova.
A prova apresenta questões de elevado grau 
de dificuldade sobre os temas abordados 
neste livro.
A prova demonstra questões muito bem 
elaboradas. O candidato deve unir os conheci-
mentos passados com os conceitos abordados 
neste livro.
O candidato deve esperar uma questão 
contextualizada com elevado grau para pro-
gressões geométricas e aritméticas. Números 
complexos podem aparecer de forma direta 
em suas questões.
A prova apresenta questões elaboradas 
com boa interpretação de texto na parte de 
progressões. O candidato deve se atentar à 
introdução dos números complexos, para unir 
com o conhecimento abordado nas próximas 
aulas.
Este vestibular procura elaborar questões de 
alto nível para seus candidatos, em todos os 
temas deste livro.
Os temas que mais aparecem na prova são as 
progressões e os números complexos.
A prova do Enem possivelmente apresentará 
questões contextualizadas sobre progressões 
aritméticas e geométricas. Funções inversas e a 
base dos números complexos são temas com 
baixa incidência na prova.
A prova apresenta questões tanto na primeira 
e segunda fases sobre os temas abordados 
neste livro. O candidato deverá reconhecer 
diversos campos da Matemática em questões 
de P.A. e P.G.
A prova pode apresentar questões de médio e 
alto graus de dificuldade para seus candidatos, 
em todos os temas deste livro.
Neste vestibular, o candidato deve estar atento 
às questões de progressão aritmética. A prova 
possui grande objetividade e é muito bem 
elaborada por sua banca.
A prova abordará os temas deste livro com 
questões medianas e fáceis. O candidato deve 
se atentar aos problemas contextualizados de 
progressões.
Podemos encontrar questões com mais de 
um tema neste vestibular. O candidato deve 
relembrar conceitos dos livros antigos e aliar 
aos temas deve caderno.
Números complexos e funções inversas são 
temas com elevado índice de aplicação neste 
vestibular.
A prova procura uma boa interpretação do 
problema de seus candidatos. Visto isso, ques-
tões sobre a soma de progressões aritméticas 
e geométricas são possíveis de aparecer.
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 Função inversa e paridade
CompetênCia: 5 Habilidades: 19, 20 e 21
AULAS 
35 e 36
1. Função inversa
1.1. Definição
É denominada função inversa da função bijetora f: A → B a 
função f –1: B → A, em que os elementos de todos os pares 
ordenados da função f trocam de posição:
f = {(1,2), (2,4), (3,6)}
f -1 = {(2,1), (4,2), (6,3)}
No exemplo, é possível observar que a função f associa 
cada valor de seu domínio ao seu respectivo dobro no 
contradomínio. Por outro lado, a função f –1 associa cada 
valor de seu domínio à respectiva metade do seu con-
tradomínio.
Observe as funções f e g de domínio real dadas por f(x) = 
3x e g(x) = x __ 
3
 , sendo que g(x) é a função inversa de f(x).
Inicialmente, são dados alguns valores para x e determina-
das suas imagens pela função f, formando pares ordenados 
(x, f(x))):
x f(x)
par ordenado 
(x, f(x))
–5 3 · (–5) = –15 (–5, –15)
0 3 · 0 = 0 (0, 0)
1 3 · 1 = 3 (1, 3)
Em seguida, tomam-se os valores obtidos como ima-
gens pela função f e determinam-se as suas imagens 
pela função g:
x f(x)
par ordenado 
(x, g(x))
–15 − 15 ___ 
3
 = –5 (–15, –5)
0 0 __ 
3
 = 0 (0, 0)
3 3 __ 
3
 = 1 (3, 1)
Nesse caso, afirma-se que g é a função inversa da função f 
e é representada por g(x) = f –1 (x).
Assim, se f(x) = 3x, f –1(x) = x __ 
3
 .
Observe que f –1(x) “desfaz” a transformação feita por f(x). 
Dessa forma, segue que:
f[f –1(x)] = f o f –1 = x
Ou seja, a composta de f em f –1 é sempre x. Observe um 
exemplo:
f(x) = 2x – 1 _____ 
3
 e f –1(x) = 3x + 1 _____ 
2
 
Calculando f[f –1(x)], tem-se:
f[f –1(x)] = 
2 ( 3x + 1 _____ 2 ) – 1 ___________ 
3
 = 3x + 1 – 1 ________ 
3
 = 3x __ 
3
 = x
Na função f considerada, é possível destacar duas caracte-
rísticas importantes:
 § o contradomínio de f coincide com sua imagem, isto é, 
todo elemento do contradomínio é correspondente de 
algum elemento do domínio (f é sobrejetora);
 § cada elemento do contradomínio de f éimagem de um 
único elemento do domínio (f é injetora).
 § É necessário que a função satisfaça essa duas condi-
ções para que ela seja invertível, ou seja, possua in-
versa. As funções que satisfazem essas duas condições 
são denominadas funções bijetoras. Portanto, ape-
nas as funções bijetoras possuem inversa.
Observe a seguir uma função que não é bijetora.
Seja a função real f(x) = x2 – 2.
Considere os elementos x = 3 e x = –3 do domínio de f :
7
x = 3 ⇒ f(3) = 7 (3, 7)
x = –3 ⇒ f(–3) = 7 (–3, 7)
Essa não é uma função bijetora, pois o elemento 7 do con-
tradomínio de f é imagem de dois elementos, 3 e -3, do seu 
domínio. Caso essa função possuísse inversa g, o elemento 
7 possuiria duas imagens (3 e -3), e, como foi visto, para 
uma relação ser função, é necessário que cada elemento 
do domínio tenha uma única imagem.
Assim, a função real f(x) = x2 – 2 não possui inversa.
1.2. Determinando a função inversa
Para se obter a inversa de uma função (caso a função 
admita inversa, isto é, seja bijetora), deve-se proce-
der da seguinte maneira:
 § Troca-se x por y e y por x.
 § Coloca-se o novo y em função do novo x.
Exemplos
1. Obter a lei da função inversa da função f dada por 
y = x + 2.
y = x + 2
↓   ↓
x = y + 2 → trocando y por x e x por y
y = x – 2 → isolando
Assim, y = x – 2 é a lei da função inversa da função dada 
por y = x + 2.
2. Se g(x) = 2x + 1 e f[g(x)] = 4x² + 1, encontre a função f(x).
Se for calculada g –1(x), é possível utilizá-la para encontrar 
f(x) usando a propriedade g[g –1(x)] = x:
g(x) = y = 2x + 1
Trocando x por y e isolando y, tem-se:
x = 2y + 1
y = x – 1 ____ 
2
 
Assim, g –1(x) = x − 1 _____ 
2
 
Então, utiliza-se g –1(x) em f[g(x)], substituindo x por g –1(x):
f[g(x)] = 4x2 + 1
f [ g ( g–1(x) ) ] = 4 [ g–1(x) ] 2 + 1
 x – 1 ____ 
2
 x
f(x) = 4 ( x – 1 ____ 2 ) 
2
 + 1
f(x) = 4 x
2 – 2x + 1 _________ 
4
 + 1 = x2 – 2x + 2
3. Encontre a função inversa f-1(x) sendo f(x) = 3x -1 ____ 
2
 
Também é possível encontrar a função inversa de uma fun-
ção afim montando uma tabela de operações e fazendo 
a inversa de cada operação. Na função f(x) = 3x - 1 _____ 
2
 , se 
for calculado, por exemplo, f(5), a primeira operação será 
a multiplicação por 3; em seguida, deve-se subtrair de 1 
e, por fim, dividir por 2. Para encontrar a inversa, deve-se 
partir da variável x realizando as operações inversas (a ope-
ração inversa da soma é a subtração, e a da multiplicação é 
a divisão) a partir da última operação.
Multiplicação 
por 3
Subtração 
por 1
Divisão 
por 2
x 3x 3x-1 3x - 1 _____ 
2
 
Multiplicação 
por 2
Adição por 1 Divisão 
por 3
x 2x 2x+1 2x + 1 _____ 
3
 
Assim, f -1(x) = 2x + 1 _____ 
3
 .
Se f admite inversa, afirma-se que f é invertível. Nesse caso, 
a função inversa é única.
Observe que o gráfico de f –1 é obtido a partir do gráfico de 
f por simetria em relação à reta y = x (função identidade).
Notas
 § As transformações feitas pela função f são desfeitas 
pela função f -1.
 § O contradomínio de f é igual ao domínio de f –1.
 § O domínio de f é igual ao contradomínio de f –1.
Pela simetria do gráfico em relação à reta y = x, é pos-
sível observar por que uma função não bijetora não é 
invertível.
Observe o gráfico da função f(x) = x² + 2, com f: R → R e 
a figura simétrica em relação à reta y = x:
8
Note que f(x) não é injetora (pois, para valores diferentes 
de x, associa-se um mesmo valor de f(x), como f(-1) = 3 e 
f(1) = 3). A função f(x) também não é sobrejetora, pois seu 
contradomínio é R, e seu conjunto imagem é 
{x [ R | x > 2} .
Perceba que a figura formada não representa uma fun-
ção, pois, para um mesmo valor de x > 2, tem-se associa-
dos dois valores distintos de f(x). Observe também que, se 
f possuísse inversa, seu domínio seria R (pois o contrado-
mínio de f é R), o que também não é compatível com a 
definição de função, dado que uma função deve associar 
todos os valores de seu domínio a pelo menos um valor do 
contradomínio – o que não é verdade, pois para x < 2 não 
há valores associados.
2. Função par
Dada uma função f(x), uma função é denominada par se, 
para qualquer x no domínio de f, tem-se f(x) = f(–x).
Como consequência, toda função par apresenta simetria 
em relação ao eixo 0y:
Exemplos:
1. f(x) = x² 
Para verificar se uma função é par, deve-se comparar f(x) e f(-x):
f(–x) = (–x)² = x²
Assim, f(–x) = f(x); portanto, a função é par.
Observe o gráfico da função f(x) = x²:
9
Note que, para todo x, seu oposto –x apresenta a mesma 
imagem f(x):
f(1) = f(-1) = 1
f(2) = f(-2) = 4
f(3) = f(-3) = 9
2. f(x) = x4 – 2x² – 1
Calculando f(-x), tem-se:
f(–x) = (–x)4 – 2(–x)² – 1 = x4 – 2x² – 1
Assim, f(–x) = f(x); portanto, a função é par. O gráfico da 
função é:
3. f(x) = x² + x – 4
Verificando se a função é par:
f(–x) = (–x)² + (-x) – 4
f(–x) = x² – x – 4 
Observe que, nesse caso, f(–x) Þ f(x); portanto, a função 
não é par.
3. Função ímpar
Dada uma função f(x), uma função é denominada ímpar 
se, para qualquer x no domínio de f, tem-se f(–x) = –f(x).
Como consequência, toda função ímpar apresenta sime-
tria em relação à origem:
Exemplos
1. f(x) = x³
Para verificar se a função é ímpar, deve-se comparar f(–x) 
com –f(x):
f(–x) = (–x)³ = –x³
f(–x) = –f(x) = –x³
Como f(-x) = - f(x), a função é ímpar. Observe o gráfico 
da função f(x) = x³:
2. f(x) = 1 __ x 
Calculando f(–x), tem-se:
f(–x) = 1 __ –x = – 
1 __ x 
Assim, f(-x) = -f(x); portanto, a função é ímpar. Observe 
o gráfico:
3. f(x) = 3x³ - x
Calculando f(-x) e –f(x), tem-se:
f(–x) = 3(–x)³ – (–x) = –3x³ + x
–f(x) = –(3x³ – x) = –3x³ + x
Como f(-x) = -f(x), a função é ímpar.
10
 Aplicação do conteúdo
1. Se f(x) é uma função par e g(x) é uma função ímpar, 
analise a paridade das funções a seguir:
a) h(x) = f(x)g(x)
b) fog(x)
Resolução:
a) Fazendo x = -x, tem-se:
f(-x) = f(x), pois é par
g(-x) = -g(x), pois é ímpar
 DIAGRAMA DE IDEIAS
DETERMINAÇÃO DA 
FUNÇÃO INVERSA
DEFINIÇÃO
FUNÇÃO INVERSA
CARACTERÍSTICAS
CONTRADOMÍNIO DE f É 
IGUAL AO DOMÍNIO DE f -1
O DOMÍNIO DE f É IGUAL AO 
CONTRADOMÍNIO DE f -1
APENAS FUNÇÕES BIJETORAS 
POSSUEM FUNÇÃO INVERSA
TROCA-SE X POR Y E Y POR X
COLOCA-SE O NOVO Y EM 
FUNÇÃO DO NOVO X
CONTRADOMÍNIO DE f CONCIDE COM 
SUA IMAGEM SOBREJETORA
CADA ELEMENTO DO CONTRADOMÍ-
NIO DE f É A IMAGEM DE UM ÚNICO 
ELEMENTO DO DOMÍNIO INJETORA
1 2
f
FUNÇÃO f: A B
FUNÇÃO INVERSA f -1: B A
A B
f
f
f -1
f -1
f -1
2 4
3 6
Assim:
h(-x) = f(-x)g(-x) = f(x)(-g(x)) = -f(x)g(x) = -h(x)
Como h(-x) = -h(x), h(x) é ímpar pela definição.
b) fog(x) = f(g(x))
Fazendo x = -x:
g(-x) = -g(x), pois é ímpar
fog(-x) = f(g(-x)) = f(-g(x)) = f(g(x)), pois f(x) é par
Assim:
fog(-x) = f(g(x)) = fog(x)
Portanto, fog(x) é par.
11
−x2 −x1 x1 x2
f (x1) = −f (−x1)
f (x2) = −f (−x2)
TODA FUNÇÃO PAR APRESENTA 
SIMETRIA EM RELAÇÃO AO EIXO 0y
f (x2)
f (−x1) = −f (x1)
f (−x2) = −f (x2)
f (x1)
−x2 −x1
x1 x2
TODA FUNÇÃO ÍMPAR APRESENTA 
SIMETRIA EM RELAÇÃO À ORIGEM
FUNÇÃO ÍMPAR FUNÇÃO PAR
PARA QUALQUER x NO DOMÍNIO 
DE f, TEMOS f (−x) = −f (x)
PARA QUALQUER x NO DOMÍNIO 
DE f, TEMOS f (x) = f (−x)
 
12
 Noções de sequêNcia e 
progressão aritmética
CompetênCias: 1, 5 e 6 Habilidades: 2, 3, 21, 24 e 26
AULAS 
37 e 38
1. Noções de sequêNcia e 
progressão aritmética
Um conjunto ordenado de elementos é chamado de 
sequência. No cotidiano, ocorrem diversos exemplos de 
sequência:
 § dias da semana: (domingo, segunda-feira, terça-Fei-
ra, ... , sábado);
 § meses do ano: (janeiro, fevereiro, março, ... , dezembro);
 § anos bissextos entre 2000 e 2020: (2000, 2004, 
2008, 2012, 2016, 2020).
Observe a seguinte sequência que representa os primeiros 
10 números primos ordenados de maneira crescente:
(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29)
É possível notar que o elemento 2 é o primeiro termo 
da sequência, enquanto o 3 é o segundo termo, e assim 
sucessivamente:
1.º termo: 2
2.º termo: 3
3.º termo: 5
...10.º termo: 29
Uma sequência pode ser finita ou infinita. A sequência 
que representa os números naturais, por exemplo, é um 
conjunto infinito:
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... )
Por outro lado, a sequência dos números naturais menores 
do que 6 é um conjunto finito:
(0, 1, 2, 3, 4, 5)
Em geral, o primeiro termo de uma sequência é represen-
tado por a1, o segundo, por a2 e assim sucessivamente. 
Quando a sequência possui n termos, tem-se:
(a1, a2, a3, a4, ... , an-2, an-1, an)
Observe que o subscrito representa a posição do termo 
da sequência:
a1 = 1.º termo;
a2 = 2.º termo;
a3 = 3.º termo;
...
an = “n-ésimo” termo.
1.1. Determinação dos 
termos de uma sequência
Com o objetivo de descrever uma sequência, em vez de 
escrevê-la de forma explícita, pode-se utilizar uma lei de 
formação, isto é, uma expressão matemática que permite 
determinar qualquer termo da sequência. Há principalmen-
te duas formas de lei de formação de uma sequência: a 
fórmula em função da posição e a fórmula de re-
corrência.
 § Em função da posição – quando uma fórmula per-
mite calcular qualquer termo an em função de sua po-
sição n.
 Aplicação do conteúdo
1. Determine os cinco primeiros termos da sequência 
definida pela seguinte fórmula de formação:
an = 2n + 1, n ∈ n*
Resolução:
Observe que “n” representa a posição de um determinado 
termo an da sequência. Ou seja, para determinar o 1.º ter-
mo, deve-se substituir n por 1, e assim por diante:
1.º termo: a1 = 2 · 1 + 1 = 3
2.º termo: a2 = 2 · 2 + 1 = 5
3.º termo: a3 = 2 · 3 + 1 = 7
4.º termo: a4 = 2 · 4 + 1 = 9
5.º termo: a5 = 2 · 5 + 1 = 11
Assim, a sequência pedida é: (3, 5, 7, 9, 11).
2. Dada a sequência definida pela lei de formação 
an = 5n – 7, n ∈ N*, faça o que se pede em cada item:
13
a) Determine o vigésimo termo da sequência.
Resolução: Pede-se o termo a20 de posição n = 20; 
portanto:
a20 = 5 · 20 – 7 = 93
b) Determine se o número 43 faz parte da sequência.
Resolução: Como n deve ser um número natural, an é 
substituído por 43; em seguida, deve-se analisar:
43 = 5n – 7 ⇒ 5n = 50 ⇒ n = 10
Assim, 43 faz parte da sequência, sendo o décimo termo.
c) Determine se o número 66 faz parte da sequência.
Resolução: De modo semelhante ao item anterior, an é 
substituído por 66:
66 = 5n – 7 ⇒ 5n = 73 ⇒ n = 73 ___ 
5
 
Como 73/5 ∉ N*, o número 66 não pertence à sequência an.
 § Pela fórmula de recorrência – quando se expressa 
um termo an qualquer da sequência em função do termo 
imediatamente anterior an-1, dado o primeiro termo a1.
2. Determine os quatro primeiros termos da sequência 
Resolução: 
Observe que, quando ocorre a fórmula de recorrência, não 
é possível determinar de imediato qualquer termo da se-
quência, diferentemente da lei de formação em função da 
posição. É preciso calcular cada termo na sequência:
1.º termo: a1 = 3
2.º termo: a2 = a1 + 5 = 3 + 5 = 8
3.º termo: a3 = a2 + 5 = 8 + 5 = 13
4.º termo: a4 = a3 + 5 = 13 + 5 = 18
Assim, os quatro primeiros termos são
(3, 8, 13, 18).
3. Uma famosa sequência matemática é definida pela 
sua fórmula de recorrência – a sequência de Fibonacci. 
Ela pode ser definida como se mostra a seguir:
Fn = 
F1 = 0, F2 = 1
Fn = Fn–1 + Fn-2', n ∈ N*
Determine os seis primeiros termos da sequência.
Resolução: 
Observe que a expressão Fn = Fn–1 + Fn–2 indica que um 
termo qualquer Fn da sequência é dado pela soma dos seus 
a1 = 3
an = an–1 + 5, onde n ∈ N*
dois termos imediatamente anteriores, Fn–1 e Fn–2. É preciso 
determinar os termos da expressão:
F1 = 0
F2 = 1
F3 = 1 + 0 = 1
F4 = 1 + 1 = 2
F5 = 2+ 1 = 3
F6 = 3 + 2 = 5
Continuando o processo, tem-se:
(0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...)
2. progressão 
aritmética (pa)
Uma progressão aritmética é um tipo especial de sequ-
ência, isto é, nem toda sequência é uma PA. 
2.1. Definição
Uma progressão aritmética é uma sequência definida por: 
a1 = k
an = an–1 + r, ∀n ∈ N, n ≥ 2,
Em que k ∈ R é o primeiro termo da sequência, e r ∈ R 
é a razão da PA. Essa definição por recorrência determina 
que um termo qualquer an da sequência é igual à soma do 
termo imediatamente anterior com um valor real r.
Da definição, tem-se:
an = an–1 + r ⇒ r = an – an–1
Portanto, em uma PA:
A diferença entre um termo qualquer e seu antecessor 
é sempre constante e igual à razão r.
Observe a sequência a seguir:
Trata-se de uma PA, pois a diferença entre dois termos con-
secutivos é sempre igual:
a2 – a1 = 3 – 1 = 2
a3 – a2 = 5 – 3 = 2
...
a7 – a6 = 15 – 13 = 2
14
Assim, a razão r da PA é igual a 2. 
Observe alguns exemplos de PA:
 § (0, 5, 10, 15, 20, 25) a1 = 0 r = 5
 § ( 1 __ 2 , 1, 3 ___ 2 , 2, 5 ___ 2 , 3, 7 ___ 2 ) a1 = 1 __ 2 r = 1 __ 2 
 § (100, 80, 60, 40, 20) a1 = 100 r = –20
 § (7, 7, 7, 7, 7, 7) a1 = 7 r = 0
De acordo com a razão, é possível classificar as progressões 
aritméticas em três tipos:
 § PA crescente: uma PA é crescente quando a razão r é 
positiva e não nula.
Exemplo: (1, 4, 7, 10, 13, 16), em que r = 3.
 § PA decrescente: uma PA é decrescente quando a ra-
zão r é negativa e não nula.
Exemplo: (15, 13, 11, 9, 7, 5), em que r = –2.
 § PA constante: uma PA é constante quando a razão r 
é igual a zero.
Exemplo: (2, 2, 2, 2, 2, 2), em que r = 0.
 § Observação: se a sequência (a, b, c) é uma PA de 
razão r, ocorre o seguinte:
b – a = r
c – b = r
b – a = c – b ⇒ 2b = a + c
b = a + c ____ 
2
 
Ou seja, dados três termos consecutivos de uma PA, o se-
gundo termo é igual à média aritmética entre o pri-
meiro e o terceiro.
 Aplicação do conteúdo
1. Determine o valor de x para que a sequência 
( x __ 2 – 2, x, 2x – 1 ) seja uma PA.
Resolução: 
Dada uma PA de três termos consecutivos, o termo do 
meio é igual à média aritmética dos outros dois:
x =CCResolvendo a equação:
2x = x __ 
2
 – 2 + 2x – 1 ⇒ 2x = x __ 
2
 + 2x – 3 ⇒ 
⇒ 4x = x + 4x – 6 ⇒ x = 6
2. Se a sequência ( 2x, x
2
 __ 
2
 , 3 ) é uma PA crescente, deter-
mine o valor de x.
Resolução: 
Novamente, tem-se a seguinte propriedade em três termos 
consecutivos de uma PA:
 x
2
 __ 
2
 = (2x) +(3) _______ 
2
 
x2 = 2x + 3 ⇒ x2 – 2x – 3 = 0 ⇒ 
x1 = –1
x2 = 3
Substituindo os valores obtidos de x na sequência:
 § para x = -1:
 ( 2 · (–1), (–1)2 ____ 2 ,3 ) ⇒ ( –2, 1 ___ 2 , 3 ) 
r = 3 – 1 __ 
2
 = 5 __ 
2
 
 § para x = 3:
 ( 2 · (3), (3)2 ___ 2 ,3 ) ⇒ ( 6, 9 ___ 2 , 3 ) 
r = 9 __ 
2
 – 6 = – 3 __ 
2
 
Observe que ambas as sequências obtidas são progressões 
aritméticas; no entanto, somente para x = –1 a PA é cres-
cente, pois r = 5 __ 
2
 > 0. Portanto: x = –1.
2.2. Representações especiais
Em alguns casos, é adequado representar uma PA em fun-
ção de sua razão. As representações a seguir são especial-
mente úteis caso o valor da soma S de todos os termos 
envolvidos seja conhecido:
 § Três termos consecutivos de uma PA:
(x – r, x, x + r)
S = (x – r) + x+ (x – r) = 3x
 § Cinco termos consecutivos de uma PA:
(x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r)
S = (x – 2r) + (x – r) + x + (x + r) + (x + 2r) = 5x
 § Quatro termos consecutivos de uma PA:
Nesse caso, é preciso utilizar uma substituição para garan-
tir a representação simétrica da progressão.
(x – 3y, x – y, x + y, x + 3y)
Em que r = 2y
S = (x – 3y) + (x – y) + (x + y) + (x + 3y) = 4x
 Aplicação do conteúdo
1. Um triângulo retângulo, de perímetro igual a 12 cm, 
possui o comprimento e seus lados em progressão arit-
mética. Determine os comprimentos dos lados.
Resolução: 
15
Como há três termos consecutivos de uma PA, é possível 
representá-los da seguinte maneira:
(x – r, x, x + r)
Representando esquematicamente, tem-se:
Observe que foi atribuído à hipotenusa o comprimento x + 
r; assim, define-se que a progressão aritmética será cres-
cente, pois, em um triângulo retângulo, a hipotenusa é 
sempre o maior lado. Essa representação é especialmente 
útil quando a soma de todos os termosé conhecida; no 
caso, o perímetro do triângulo:
(x – r) + x + (x + r) = 12
3x = 12
x = 4 cm
Assim, obtém-se um dos lados do triângulo. Aplicando o 
Teorema de Pitágoras, tem-se:
(x – r)2 + x2 = (x + r)2
(4 – r)2 + 42 = (4 + r)2
16 – 8r + r2 + 16 = 16 + 8r + r2
16 = 16r
r = 1 cm
Uma vez que a razão e um dos termos da PA são conheci-
dos, devem ser calculados os termos restantes:
(x – r, x, x + r) ⇒ (4 – 1, 4, 4 + 1) ⇒ (3, 4, 5)
Portanto, os lados do triângulo são: 3 cm, 4 cm e 5 cm.
2. Determine quatro números em progressão aritmética 
crescente, sabendo que sua soma é –2 e a soma de seus 
quadrados é 6.
Resolução: 
Utilizando o artifício sugerido, os dois termos centrais serão 
chamados de x – y e x + y; assim, a razão passa a ser:
(x + y) – (x – y) = x + y – x + y = 2y
Logo, r = 2y.
Portanto, a PA é dada por 
(x – 3y, x – y, x + y, x + 3y), com as seguintes condições:
(x – 3y) + (x – y) + (x + y) + (x + 3y) = –2
(x – 3y)2 + (x – y) 2 + (x + y) 2 + (x + 3y) 2 = 6
Efetuando os cálculos, tem-se:
4x = –2
4x2 + 20y2 = 6
4x = –2 ⇒ x = – 1 __ 
2
 
4x2 + 20y2 = 6 ⇒ 4 ( – 1 __ 2 ) 
2
+ 20y2 = 6 ⇒
⇒ 1 + 20y2 = 6 ⇒ 20y2 = 5 ⇒ y2 = 1 __ 
4
 ⇒
⇒ y = ± 1 __ 
2
 
Como a PA é crescente, então y é positivo.
Assim, x = – 1 __ 
2
 e y = 1 __ 
2
 . Daí, vem:
x – 3y = – 2; x – y = – 1; x + y = 0; x + 3y = 1
Portanto, a PA é dada por (–2 –1, 0, 1) e sua razão é r = 1.
3. Determine a PA decrescente de três termos, de forma 
que sua soma seja 12 e seu produto seja 28.
Resolução: 
Representando os três termos da PA em função do termo 
central e da razão, tem-se:
(x – r, x, x + r)
(x – r) + x + (x + r) = 12 (I)
(x – r) (x) (x + r) = 28 (II)
Da equação (I), tem-se:
(x – r) + x + (x + r) = 12 ⇒ 3x = 12 ⇒ x = 4
Substituindo na equação (II):
(x – r) (x) (x + r) = 28 ⇒ (4 – r) (4) (4 + r) = 28
(4 – r) (4 + r) = 7
(42 – r2) = 7
16 – r2 = 7
r2 = 9 ⇒ r = ± 3
Como a PA é decrescente, sua razão deve ser negativa, 
portanto, r = –3.
Assim, a PA procurada é:
(4 – (–3), 4, 4 + (–3))
(7, 4, 1)
2.3. Fórmula do termo geral da PA
O primeiro termo e a razão de uma PA são todos os dados 
necessários para encontrar qualquer termo an da progres-
são. O segundo termo a2 é a soma do primeiro termo a1 
com a razão r:
a2 = a1 + r
16
O terceiro termo é a soma de a2 com a razão r:
a3 = a2 + r
Como já foi visto, a2 = a1 + r; portanto:
a3 = a1 + r + r ⇒ a3 = a1 + 2r
Assim, é possível escrever:
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r
a5 = a4 + r = a1 + 3r + r = a1 + 4r
a6 = a5 + r = a1 + 4r + r = a1 + 5r
...
Observe que, para se obter o sexto termo a6, toma-se a 
soma entre o primeiro termo a1 e (6 – 1)r = 5r. De modo 
geral, pode-se dizer que, em uma progressão aritmética, 
tem-se:
an = a1 + (n – 1)r
Em que:
 § an é o termo de posição n;
 § a1 é o primeiro termo;
 § n é a posição do termo an;
 § r é a razão.
Caso o objetivo seja relacionar dois termos quaisquer an e 
ap da PA, também é possível utilizar diretamente a relação:
an = ap + (n – p)r
an = a1 + (n – 1)r ⇒ an = a1 + nr – r (I)
ap = a1 + (p – 1)r ⇒ ap = a1 + pr – r (II)
Fazendo (I) – (II):
an – ap = nr – pr
an – ap = (n – p)r
an = ap + (n – p)r
 Aplicação do conteúdo
1. Dê a fórmula do termo geral da PA (5, 9,...).
Resolução: 
Na PA dada, tem-se a1 = 5 e r = 4.
Daí:
an = a1 + (n – 1)r = 5 + (n – 1) ∙ 4 
= 5 + 4n – 4 = 4n + 1
Assim, a fórmula do termo geral é an = 4n + 1.
2. Qual é o 20.º termo da PA (2, 8,...)?
Resolução:
Dados: 
a1 = 2
r = 6
n = 20
a20 = a1 + 19r = 2 + 19 . 6 = 116
Assim, a20 = 116.
3. Qual é o 1.º termo de uma PA em que a10 = 39 e r = 4?
Resolução:
Dados: 
a10 = 39
r = 4
n = 10
a10 = a1 + 9r ⇒ 39 = a1 + 9 . 4 ⇒ 39 
= a1 + 36 ⇒ a1 = 3
Então, a 1 = 3 e a PA é (3, 7, 11,...).
4. Numa PA de 14 termos, o 1.º termo é 2 e o último é 28.
Calcule a razão dessa PA.
Resolução:
Dados: 
a1 = 2
a14 = 28
n = 14
a14 = a1 + 13r ⇒ 28 = 2 + 13r ⇒ 13r = 26 ⇒ 
⇒ r = 2
Portanto, r = 2 e a PA é (2, 4, 6, 8,..., 28).
5. Quantos elementos tem a PA finita (–2, 3,..., 43)?
Resolução:
Dados: 
a1 = –2
an = 43
r = 5
an = a1 + (n – 1)r ⇒ 43 = – 2 + (n – 1) · 5 ⇒
⇒ 43 = – 2 + 5n – 5 ⇒ 5n = 50 ⇒ n = 10
Assim, a PA dada tem 10 elementos.
6. Numa PA, a10 = – 3 e a12 = 11. Calcule o 1.º termo a1 e 
a razão r dessa PA.
Resolução:
a12 = a10 + 2r ⇒ 11 = – 3 + 2r ⇒ r = 7
a12 = a1 + 11r ⇒ 11 = a1 + 11 . 7 ⇒ a1 = –66
Então, a1 = – 66, r = 7 e a PA é 
(– 66, – 59, – 52, – 45,...)
7. Numa PA crescente, a2 + a6 = 20 e a4 + a9 = 35. Deter-
mine o 1.º termo a1 e a razão r dessa PA.
17
Resolução:
a2 = a1 + r
a6 = a1 + 5r
a4 = a1 + 3r
a9 = a1 + 8r
⇒ a2 + a6 = (a1 + r) + (a1 + 5r) 
 ⇒ a2 + a6 = 2a1 + 6r
⇒ a4 + a9 = (a1 + 3r) + (a1 + 8r) 
 ⇒ a4 + a9 = 2a1 + 11r
Resolvendo o sistema a partir dos dados do problema:
2a1 + 6r = 20
2a1 + 11r = 35
–2a1 – 6r = –20 (I)
2a1 + 11r = 35 (II)
⇒
Fazendo (I) + (II), tem-se: 5r = 15 ⇒ r = 3.
Substituindo r = 3 na equação (I):
– 2a1 – 6(3) = – 20 ⇒ 2a1 = 20 – 18 ⇒
⇒ a1 = 
2 __ 
2
 ⇒ a1 = 1
Assim, a1 = 1 e r = 3. A PA é (1, 4, 7, 10, 13,...).
8. Quantos são os múltiplos de 8 compreendidos entre 
100 e 1.000?
Resolução:
 § O primeiro número múltiplo de 8 e maior do que 100 
é 104.
 § O último número múltiplo de 8 e menor do que 1.000 
é 992.
Então, os múltiplos de 8 compreendidos entre 100 e 1.000 
constituem a PA (104, 112,..., 992)
Nessa PA, tem-se: 
a1 = 104
r = 8
an = 992
Deve-se calcular o número n de termos da PA:
an = a1 + (n – 1)r ⇒ 992 = 104 + (n – 1) 8 ⇒
⇒ 992 = 104 + 8n – 8 ⇒ 8n 
= 992 – 104 + 8 ⇒ 8n = 896 ⇒ n = 112
Portanto, existem 112 múltiplos de 8 compreendidos entre 
100 e 1.000.
9. Determine o valor de x para que os números x2, (x 
+ 2)2 e (x + 3)2 sejam, nessa ordem, os três primeiros 
termos de uma PA.
Resolução:
Pelo problema, tem-se 
a1 = x
2
a2 = (x + 2)
2
a3 = (x + 3)
2
Como a2 = 
a1 + a3 ______ 
2
 , tem-se:
(x + 2)2 = x
2 + (x + 3)2 __________ 
2
 (equação em x)
Resolvendo a equação:
x2 + 4x + 4 = x
2 + x2 + 6x + 9 ____________ 
2
 ⇒
⇒ 2x2 + 8x + 8 = x2 + x2 + 6x + 9 ⇒
⇒ 8x – 6x = – 8 + 9 ⇒ 2x = 1 ⇒ x = 1 __ 
2
 
Verificação:
 ( 1 __ 2 ) 
2
, ( 1 __ 2 + 2 ) 
2
, ( 1 __ 2 + 3 ) 
2
 ⇒ ( 1 __ 2 ) 
2
, ( 5 __ 2 ) 
2
, ( 7 __ 2 ) 
2
PA: ( 1 __ 4 , 25 ___ 4 , 49 ___ 4 ) ; razão: 24 ___ 4 = 6
Portanto, o valor procurado é x = 1 __ 
2
 .
10. Um corpo caindo livremente (desprezando-se a 
resistência do ar) tem, no final do primeiro segundo, 
velocidade de 9,8 m/s; velocidade de 19,6 m/s no final 
do segundo seguinte; de 29,4 m/s no final do terceiro 
segundo; e assim por diante. Continuando nesse ritmo, 
qual será sua velocidade no final do décimo segundo?
Resolução:
É preciso estabelecer a PA (9,8; 19,6; 29,4;...), na qual 
a1 = 9,8 e r = 9,8, e determinar o termo a10:
an = a1 + (n – 1) r ⇒ a10 = 9,8 + 9 . 9,8 
⇒ a10 = 98 m/s
Assim, no final do décimo segundo, sua velocidade será 
de 98 m/s.
18
 DIAGRAMA DE IDEIAS
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS
CLASSIFICAÇÕES
PARA 3 TERMOS
(x - r , x , x + r)
S = x - r + x + x + r = 3x
PA CRESCENTE
r > 0
TERMO GERAL
an = a1 + (n - 1)r
RAZÃO
r = an + 1 - an
TERMO GERAL CONHECENDO 
QUALQUER TERMO
an = ap + (n - p)r
PA DECRESCENTE
r < 0
PA CONSTANTE
r = 0
PARA 4 TERMOS
(x - 3y , x - y , x + y , x + 3y)
Onde r = 2y
S = (x - 3y) + (x - y) + (x + y) + (x + 3y) = 4x
PARA 5 TERMOS
(x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r)
S = (x - 2r) + (x - r) + x + (x + r) + (x + 2r) = 5x
19
 Progressão geométrica 
e sua interPolação
CompetênCias: 3, 4 e 5 Habilidades: 2, 3, 21, 24, 25 e 26
AULAS 
39 e 40
1. Progressão 
geométrica (Pg)
Enquanto a população humana cresce em progressão 
geométrica, a produção de alimentos cresce em progres-
são aritmética.
Thomas malThus (economisTa briTânico)
1.1. Introdução
A taxa de crescimento relativo de uma grandeza é dada 
pela razão entreseu aumento e seu valor inicial. Dessa for-
ma, uma grandeza que passa do valor a para o valor b tem 
taxa de crescimento relativo igual a b – a _____ a .
Por exemplo, a taxa de crescimento relativo de uma gran-
deza que passa do valor 5 para o valor 8 é igual a 60%, 
pois 8 – 5 ____ 
5
 = 3 __ 
5
 = 60%.
A seguir, serão tratadas as sequências que variam com taxa 
de crescimento relativo constante. Examine, por exemplo, a 
seguinte situação-problema:
Em 2015, uma empresa produziu 200.000 unidades de 
certo produto. Uma vez que o aumento anual de produção 
foi sempre de 10% em relação ao ano anterior, quantas 
unidades a empresa produziu no período de 2015 a 2020?
O problema deve ser esquematizado da seguinte forma:
 § Produção em 2015 = 200.000
 § Produção em 2016 = produção em 2015 · 1,10 = 
200.000 · 1,10 = 220.000
 § Produção em 2017 = produção em 2016 · 1,10 = 
220.000 · 1,10 = 242.000
 § Produção em 2018 = produção em 2017 · 1,10 = 
242.000 · 1,10 = 266.200
 § Produção em 2019 = produção em 2018 · 1,10 = 
266.200 · 1,10 = 292.820
 § Produção em 2020 = produção em 2019 · 1,10 = 
292.820 · 1,10 = 322.102 
Nessas condições, a produção anual no período será re-
presentada pela sequência (200.000, 220.000, 242.000, 
266.200, 292.820, 322.102).
Nessa sequência, cada termo, a partir do segundo, é obtido 
a partir da multiplicação do termo anterior por um número 
fixo (no caso, 1,10), ou seja, a produção anual teve uma 
taxa de crescimento relativo constante de 10% em relação 
ao ano anterior.
Sequências com esse tipo de lei de formação são denomi-
nadas progressões geométricas. No exemplo dado, o valor 
1,10 é chamado de razão da progressão geométrica e 
indicado por q (no exemplo, q = 1,10). Afirma-se que os 
termos dessa sequência estão em progressão geométrica.
1.2. Definição
Progressão geométrica (PG) é toda sequência de números 
não nulos na qual é constante o quociente da divisão de 
cada termo (a partir do segundo) pelo termo anterior. Esse 
quociente constante é denominado razão (q) da progres-
são. Ou seja, uma progressão geométrica é uma sequência 
na qual a taxa de crescimento relativo de cada termo para 
o seguinte é sempre a mesma.
Exemplos
1. A sequência (2, 10, 50, 250) é uma PG de quatro termos, 
em que o 1.º termo é a1 = 2 e a razão é q = 5. Observe que:
 § a1 = 2; a2 = 10 (2 · 5); a3 = 50 (10 
. 5);
a4 = 250 (50 · 5)
250 : 50 = 5; 50 : 10 = 5; 10 : 2 = 5 → quociente 
constante = 5 (razão)
 § A taxa de crescimento relativo de a para b é dada 
por b – a ____ a . Nesse exemplo, i = 
10 – 2 _____ 
2
 = 8 __ 
2
 = 4 = 400%. 
Assim, q = 1 + i = 1 + 4 = 5.
 § A sequência (6, –12, 24, –48, 96) é uma PG de cinco 
termos, na qual a1 = 6 e q = –2, pois:
a1 = 6
a2 = –12 [–12 = 6(–2), ou seja, a2 = a1 · (–2)]
a3 = 24 [24 = (–12)(–2), ou seja, a3 = a2 · (–2)]
a4 = - 48 [-48 = 24(–2), ou seja, a4 = a3 · (–2)]
20
a5 = 96 [96 = (–48)(–2), ou seja, a5 = a4 · (–2)]
De modo equivalente:
– 12 : 6 = – 2; 24 : (–12) = –2; 
– 48 : 24 = – 2; 96 : (–48) = –2 
(quociente constante = –2 (razão))
 § Taxa de crescimento relativo
i = –12 – 6 ______ 
6
 = – 18 ___ 
6
 = – 3 = – 300%
Assim, q = 1 + i = 1 + (–3) = –2.
2. A sequência (1, 3, 9, 27, 81,...) é uma PG infinita, na qual 
a1 = 1 e q = 3, pois:
a1 = 1
a2 = 3 (3 = 1 .3, ou seja, a2 = a1 . 3)
a3 = 9 (9 = 9 .3, ou seja, a3 = a2 . 3), etc.
Taxa de crescimento relativo: i = 3 – 1 ____ 
1
 = 2 = 200%
Assim, q = 1 + 2 = 3.
3. A sequência (10, 10, 10) é uma PG de três termos, em 
que o 1.º termo é 10 e a razão é 1, pois:
a1 = 10
a2 = 10 (10 = 10 . 1, ou seja, a2 = a1 . 1)
a3 = 10 (10 = 10 . 1, ou seja, a3 = a2 . 1)
Taxa de crescimento relativo: 
i = 10 – 10 ______ 
10
 = 0 ___ 
10
 = 0%. Assim, q = 1 + 0 = 1.
Notas
1. De modo geral, observa-se que uma sequência (a1, 
a2, a3, ..., an, ...,) com a1 ≠ 0 é uma PG de razão q ≠ 
0 quando:
a2 = a1 · q ⇒ 
a2 __ a1
 = q
a3 = a2 · q ⇒ 
a3 __ a2
 = q
a4 = a3· q ⇒ 
a4 __ a3
 = q
...
an = an – 1 · q ⇒ 
a2 __ a1
 = q ⇒ 
an ____ an – 1
 = q
Comparando, tem-se:
 
a2 __ a1
 = 
a3 __ a2
 = 
a4 __ a3
 = ... = 
an ____ an – 1
 = q,
com q = 1 + i, sendo que
i = 
an – an – 1 _______ an – 1
 (an – 1 ≠ 0)
é a taxa de crescimento relativo dos termos.
2. Da definição decorre que, se ar, as e ap estão em 
PG, então:
 
as __ ar
 = 
ap
 __ as
 ⇒ a 2 s = ar · ap
Ou seja, dados três termos consecutivos de uma pro-
gressão geométrica, o termo do meio é a média geo-
métrica dos outros dois.
 Aplicação do conteúdo
1. Verifique se a sequência (5, 15, 45, 135, 405) é uma PG. 
Resolução:
 15 ___ 
5
 = 3 45 ___ 
15
 = 3 135 ___ 
45
 = 3 405 ___ 
135
 = 3
Assim, a sequência é uma PG de razão 3.
2. Determine o 8.º termo de uma PG na qual a4 = 12 e 
q = 2.
Resolução:
Assim:
a8 = a4 · q
4 ⇒ a8 = 12(2)
4 ⇒ 
a8 = 12 · 16 ⇒ ⇒ a8 = 192
Portanto, o 8.º termo da PG é 192.
3. A população de um país é atualmente igual a P0 e 
cresce 3% ao ano. Qual será a população desse país da-
qui a t anos?
Resolução:
Como a população cresce 3% ao ano, a cada ano a popu-
lação é 103% da população do ano anterior. Assim, a cada 
ano a população é multiplicada por 103% = 1,03.
Depois de t anos, a população será P0 · (1,03)
t.
Nesse caso, tem-se a PG:
P0, P0 . (1,03), P0 . (1,03)
2, P0 . (1,03)
3, ..., 
P0 . (1,03)
t, ... de razão 1,03.
4. Determine o 4.º termo da PG (ab, a3b2, ...), com a ≠ 0 
e b ≠ 0.
Resolução:
a1 = ab
a2 = a
3b2
 q = 
a2 __ a1
 ⇒ q = a
3b2 ____ 
ab
 ⇒ q = a2b
Então, tem-se:
21
Portanto:
a4 = a1 · q · q · q ⇒ a4 = a1 · q
3 ⇒ a4 = ab(a
2b)3 ⇒ 
⇒ a4 = ab · a
6b3 ⇒ a4 = a
7b4
Assim, a4 = a
7b4.
5. Um tanque tem capacidade C0 de água. Abre-se o 
tampão, e essa capacidade decresce 4% por minuto. 
Qual será a capacidade desse tanque depois de t mi-
nutos?
Resolução:
Como a capacidade diminui 4% por minuto, a cada minuto 
a capacidade equivalerá a 96% da capacidade do minuto 
anterior. Assim, a cada minuto que passa, a capacidade é 
multiplicada por 96% = 0,96. Depois de t minutos, a ca-
pacidade do tanque será de C0 · 0,96
t.
Nesse caso, a PG seria C0, C0 · 0,96, C0 · (0,96)
2, C0 · (0,96)
3, 
..., C0 · (0,96)
t, ... de razão 0,96.
6. Nas progressões geométricas a seguir, qual é a taxa 
de crescimento relativo de cada termo para o seguinte?
a) (1, 2, 4, 8, 16, 32, ...)
Resolução:
Nessa PG, a taxa de crescimento relativo de cada termo 
para o seguinte é de 100%, o que faz com que cada termo 
seja igual a 200% do termo anterior:
 ( 2 – 1 ____ 1 = 1 → 100% ) 
b) (100, 70, 49, ...)
Resolução:
Cada termo equivale a 70% do termo anterior. A taxa de 
crescimento relativo de cada termo para o seguinte é de: 
–30% = ( 70 – 100 _______ 100 = –30 ____ 100 → –30% ) 
7. A sequência ( 1 __ 2 , 1 __ 6 , ... ) é uma PG infinita. Determine a 
razão dessa PG e a taxa de crescimento dos seus termos.
Resolução:
Tem-se a1 = 
1 __ 
2
 e a2 = 
1 __ 
6
 
Então:
q = 
a2 __ a1
 ⇒ q = 
 1 __ 
6
 
 __ 
 1 __ 
2
 
 ⇒ q = 1 __ 
6
 · 2 __ 
1
 = 1 __ 
3
 
Assim, q = 1 __ 
3
 .
Taxa de crescimento: 
i = 
 1 __ 
6
 – 1 __ 
2
 
 _____ 
1/2
 = 
– 1 __ 
2
 
 ___ 
1/2
 = – 4 __ 
3
 = – 1,333... = –133,33%.
1.3. Classificação das 
progressões geométricas
Dependendo da razão q, uma PG pode ser:
 § Crescente: a PG é crescente quando q > 1 e os ter-
mos são positivos ou quando 0 < q < 1 e os termos são 
negativos. Por exemplo:
(2, 6, 18, 54, ...) com q = 3
(–40, –20, –10, –5, ...) com q = 1 __ 
2
 
 § Decrescente: a PG é decrescente quando q > 1 e os 
termos são negativos ou quando 0 < q < 1 e os termos 
são positivos. Por exemplo:
(200, 100, 50, 25, ...) em que q = 1 __ 
2
 
(–4, –12, –36, –108, ..) em que q = 3
 § Constante: a PG é constante quando q = 1. Por 
exemplo: 
(10, 10, 10, ...), em que q = 1
(–5, –5, –5, ...), em que q = 1
 § Alternante:a PG é alternante quando q < 0. Por 
exemplo: 
(4, –8, 16, –32, ...) em que q = – 2
(–81, 27, –9,3, ...), em que q = – 1 __ 
3
 
Introdução às progressões geométricas
FonTe: YouTube
multimídia: vídeo
1.4. Representações especiais
Como foi visto em PA, também é possível recorrer a algu-
mas representações especiais de PG, principalmente se o 
produto dos termos for conhecido.
As principais são:
 § Três termos em PG: ( x __ q , x, xq ) .
22
 § Quatro termos em PG: ( x __ y3 , x _ y , xy, xy3 ) .
Nesse caso, tem-se q = y2.
 § Cinco termos em PG: ( x __ q2 , x __ q , x, xq, xq2 ) .
 Aplicação do conteúdo
1. Três números estão em PG de forma que o produto 
deles é 729 e a soma é 39. Calcule os três números.
Resolução:
Nesse tipo de problema sobre PG com três termos consecu-
tivos, é conveniente representar a sequência na forma ( x __ q , x, 
xq ) , em que o termo médio é x e a razão é q. Assim, tem-se 
o seguinte sistema de equações:
 x __ q · x · xq = 729
 x __ q + x + xq = 39
x3 = 729
 x __ q + x + xq = 39
Da 1.ª equação, tem-se:
x3 = 729 ⇒ x = 3 √
____
 729 ⇒ x = 9
Substituindo na outra equação, tem-se:
 9 __ q + 9 + 9q = 39 ⇒ 9 + 9q + 9q
2 = 39q ⇒ 
⇒ 9q2 – 30q + 9 = 0 ⇒
⇒ 3q2 – 10q + 3 = 0; 
D = (–10)2 – 4(3)(3) = 64
q = 10 ± 8 ______ 
6
 ⇒ q’ = 3 e q” = 1 __ 
3
 
Então, para x = 9 e q = 3, tem-se:
1.º número: x __ q = 
9 __ 
3
 = 3
2.º número: x = 9
3.º número: xq = 9 · 3 = 27
Para x = 9 e q = 1 __ 
3
 , tem-se:
1.º número: x __ q = 
9 __ 
 1 __ 
3
 
 = 27
2.º número: x = 9
3.º número: xq = 9 · 1 __ 
3
 = 3 
Assim, os números procurados são 3, 9 e 27.
2. Fórmula do termo 
geral de uma Pg
Em uma progressão geométrica (a1, a2, a3, ..., 
an, ...) de razão q, partindo do 1.º termo, para avançar 
um termo basta multiplicar o 1.º termo pela razão q (a2 
= a1q); para avançar dois termos, basta multiplicar o 1.º 
termo pelo quadrado da razão q (a3 = a1q
2); para avançar 
três termos, basta multiplicar o 1.º termo pelo cubo da 
razão q (a4 = a1q
3); e assim por diante. Desse modo, en-
contra-se o termo de ordem n, denominado termo geral 
da PG, que é dado por:
an = a1q
n – 1
(ao passar de a1 para an, avançam (n – 1) termos)
Nessa fórmula:
 § an = termo geral;
 § n = número de termos (até an)
 § a1 = 1.º termo
 § q = razão
Notas
1. Observe que a10 = a3q
7, pois, ao passar de a3 para 
a10, avançam 7 termos; a5 = 
a9 __ 
q4
 , pois, ao passar de 
a9 para a5, retrocedem 4 termos; e assim por diante. 
Dessa forma, é possível estender a definição do termo 
geral para:
an = ak . q
n – k 
(ao passar de ak para an, avançam (n – k) termos)
2. Observe a PG finita (a1, a2, a3, a4). Nela, os termos a2 
e a3 são equidistantes dos extremos a1 e a4. Note que:
a2 · a3 = a1q · a3 = a1 · a3q = a1 · a4
De modo geral, afirma-se que, numa PG finita, o pro-
duto de dois termos equidistantes dos extremos é 
igual ao produto dos extremos.
Generalizando, tem-se que am . an = ak . ap se m + n 
= p + k.
Em consequência, considerando-se três termos conse-
cutivos (..., ak – 1, ak, ak + 1, ...), segue que a 
2 k = ak – 1 . ak + 
1, pois k + k = k – 1 + k + 1.
3. Muitas vezes, é conveniente colocar o 1.º termo 
como a0, e não a1, ficando o termo geral da PG dado por 
an = a0 · q
n . Por exemplo, se o número de sócios de um 
clube é 2.000 e cresce 5% ao ano, quantos sócios esse 
clube terá em 3 anos?
Tem-se uma PG com a0 = 2.000 e razão
q = 1 + i = 1 + 0,05 = 1,05
Depois de 3 anos, o clube terá:
a3 = a0 · q
3 = 2.000 (1,05)3 = 2.315 sócios.
23
 Aplicação do conteúdo
1. Um moeda, ao ser lançada, apresenta dois resultados 
possíveis: cara ou coroa. Se forem lançadas duas mo-
edas diferentes, por exemplo, uma de R$ 0,10 e outra 
de R$ 0,50, haverá quatro possibilidades: (cara, cara), 
(cara, coroa), (coroa, coroa) ou (coroa, cara). [...] Qual 
será o total de resultados possíveis se forem lançadas 
8 moedas?
Resolução:
Nessa situação, tem-se PG (2, 4, 8, 16, 32, ...) e procura-se 
o 8.º termo:
an = a1 · q
n – 1; a1 = 2; q = 2
a8 = 2 · 2
8 – 1 = 2 . 27 = 28 = 256
Assim, quando 8 moedas diferentes são lançadas, tem-se 
256 resultados possíveis.
2. Dê a fórmula do termo geral da PG (2, 4, ...).
Resolução:
Na PG dada, tem-se a1 = 2 e q = 2:
an = a1 · q
n – 1 ⇒ an = 2 · 2
n – 1 ⇒ an = 2
1 + n – 1 ⇒ 
⇒ an = 2
n
Assim, o termo geral da PG dada é an = 2
n com n [ N*.
3. Qual é o 7.º termo da PG (2, 6, ...)?
Resolução:
Dados 
a1 = 2
q = 3
n = 7 
a7 = a1 · q
6 ⇒ a7 = 2 · 3
6 ⇒ a7 = 1.458
Assim, a7 = 1.458.
4. Calcule o 1.º termo de uma PG em que a4 = 375 e q = 5.
Resolução:
Dados: 
a4 = 375
q = 5
n = 4
a4 = a1 · q
3 ⇒ 375 = a1 · 5
3 
 125a1 = 375 ⇒ a1 = 3
Assim, a1 = 3.
5. Numa PG crescente, o 1.º termo é 3 e o 5.º termo é 
30.000. Qual é o valor da razão q nessa PG?
Resolução:
Dados: 
a1 = 3
a5 = 30.000
n = 5
a5 = a1 · q
4 ⇒ 30.000 = 3 · q4 ⇒ 
⇒ q4 = 10.000 ⇒ q = ± 4 √
_____
 10000 ⇒ q = ± 10
Então, como a PG é crescente, q = 10.
6. Quantos elementos tem a PG (8, 32, ..., 231)?
Resolução:
Dados: 
a1 = 8
an =2
31
q = 4
an = a1 · q
n – 1 ⇒ 231 = 8 · 4n – 1 ⇒ 
231 = 23 · 22n – 2 ⇒ 231 = 23 + 2n – 2 ⇒ 231 = 22n + 1 ⇒ 
⇒ 2n + 1 = 31 ⇒ 2n = 30 ⇒ n = 15
Assim, a PG tem 15 termos.
7. Determine o valor de x, de modo que os números 
x + 1, x + 4 e x + 10 formem, nessa ordem, uma PG.
Resolução:
Como os números dados são três termos consecutivos de 
uma PG, pela definição, tem-se:
(x + 4)2 = (x + 1) (x + 10) ⇒ x2 + 8x + 16 = x2 + 11x + 10 
⇒ 8x – 11x = 10 – 16 ⇒ 
⇒ –3x = –6 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2 
Assim, o valor procurado é x = 2, e os números são 3, 6 
e 12.
8. Numa PG, tem-se a5 = 32 e a8 = 256. Calcule o primei-
ro termo e a razão dessa PG.
Resolução:
a8 = a5 · q
3 ⇒ 256 = 32q3 ⇒ q3 = 256 ___ 
32
 ⇒ 
⇒ q3 = 8 ⇒ q = 3 √
__
 8 ⇒ q = 2
Determinando a1:
a5 = a1 · q
4 ⇒ 32 = a1 · 2
4 ⇒ 32 = a1 · 16 ⇒ ⇒ a1 = 2
Então a1 = 2 e q = 2.
9. Numa PG, a soma do 3.º e do 5.º termo é igual a 360, 
e a soma do 4.º e do 6.º termo é igual a 1.080. Determi-
ne a razão e o 1.º termo dessa PG.
Resolução:
a3 = a1 · q
2
a5 = a1 · q
4
 ⇒ a3 + a5 = a1 . q
2 + a1 + q
4 ⇒
⇒ a1(q
2 + q4) = 360 (I)
a4 = a1 · q
3
a6 = a1 · q
5
 ⇒ a4 + a6 = a1 · q
3 + a1 · q
5 
= a1 · q(q
2 + q4) = 1080 (II)
24
Dividindo, membro a membro, (I) e (II), tem-se:
 
a1 (q
2 + q4)
 ___________ 
a1 · q(q
2 + q4)
 = 360 ____ 
1080
 ⇒ 1 __ q = 
1 __ 
3
 ⇒ q = 3
Calculando a1:
a1 (q
2 + q4) = 360 ⇒ a1 (3
2 + 34) = 360 
⇒ a1 · 90 = 360 ⇒ a1 = 4
Assim, na PG dada, a1 = 4 e q = 3.
10. Suponha que o valor de um carro diminui sempre 30% 
em relação ao valor do ano anterior. Sendo V o valor do 
carro no primeiro ano, qual será o seu valor no oitavo ano?
Resolução:
Valor no 1.º ano = V
Valor no 2.º ano = 70% de V = 0,7V (diminuição de 30%)
Valor no 3.º ano = 70% de (0,7V) = 0,7 (0,7V) = (0,7)2V
Tem-se, então, uma PG na qual a1 = V e q = 0,7.
Deve-se calcular a8.
an = a1 · q
n – 1 ⇒ a8 = a1 · q
7 ⇒ a8 = V(0,7)
7
Assim, o valor do carro no 8.º ano será (0,7)7V.
11. Em uma progressão geométrica, o 4.º termo vale 7 
e o 7.º termo vale 189. Quanto vale o 6.º termo dessa 
progressão?
Resolução:
a7 = a4 · q
3, pois, ao passar do 4.º termo para o 7.º, avan-
çamos três termos. Assim:
189 = 7 · q3 ⇒ q3 = 27 ⇒ q = 3
Analogamente:
a6 = a4 · q
2 ⇒ a6 = 7 · 3
2 ⇒ a6 = 63 ou
a6 = a7 : q ⇒ a6 = 189 : 3 ⇒ a6 = 63
Portanto, o 6.º termo vale 63.
3. interPretação 
geométrica de uma Pg
Já foi visto que o termo geral de uma progressão ge-
ométrica é dado por an = a1 
. qn – 1 ou por an = a0 
. 
qn, quando a enumeração dos termos é iniciada por a0. 
Nesse caso, é possível pensar em uma progressão geo-
métrica como uma função que associa a cada número 
natural n o valor dado por an = a0 
. qn. Essa função é a 
restrição aos números naturais da função exponencial 
a(x) = a0q
x. O gráfico dessa função é formado por uma 
sequência de pontos pertencentes ao gráfico de uma 
exponencial.Observe o exemplo de an = a0 · q
n, com a0 = 
1 __ 
4
 e q = 3 e o 
esboço do gráfico da função correspondente:
PG ( 1 __ 4 , 3 __ 4 , 9 __ 4 , 27 ___ 4 , ... ) 
4. interPolação geométrica
Considere o seguinte problema:
No primeiro semestre de 2019, a produção mensal de 
uma indústria cresceu em PG. Em janeiro, a produção foi 
de 1.500 unidades e, em junho, foi de 48.000 unidades. 
25
Qual foi a produção dessa indústria nos meses de fevereiro, 
março, abril e maio?
Nessas condições, o problema consiste em formar uma PG 
em que:
a1 (produção em janeiro) = 1.500
a6 (produção em junho) = 48.000
n = 6
Inicialmente, deve-se calcular o valor da razão q:
an = a1 · q
n – 1 ⇒ 48.000 = 1500 · q5 ⇒ 
⇒ q5 = 32 ⇒ q = 5 √
___
 32 ⇒ q = 2
Então, tem-se:
(1.500, 3.000, 6.000, 12.000, 24.000, 48.000)
Daí, pode-se dizer que:
a2 = produção em fevereiro = 3.000 unidades
a3 = produção em março = 6.000 unidades
a4 = produção em abril = 12.000 unidades
a5 = produção em maio = 24.000 unidades
Na realidade, foi realizada a inserção ou interpolação de 
quatro meios geométricos entre 1.500 e 48.000.
 Aplicação do conteúdo
1. Insira três meios geométricos entre 3 e 48.
Resolução:
Para inserir três meios geométricos entre 3 e 48, é preciso 
formar a 
PG (3, ____, ____, ____, 48), na qual:
a1 = 3
n = 2 + 3 = 5 
a5 = 48 
a5 = a1 · q
4 ⇒ 48 = 3q4 ⇒ q4 = 16 ⇒ 
⇒ q = ±4 √
___
 16 ⇒ ⇒ q = ± 2
Assim, tem-se:
 § Para q = 2 a PG (3, 6, 12, 24, 48)
 § Para q = -2, a PG (3, –6, 12, –24, 48)
2. Quantos meios geométricos é preciso inserir entre 1 ___ 
16
 
e 64, de modo que a sequência obtida tenha razão 4?
Dados: 
a1 = 
1 ___ 
16
 
an = 64
q = 4
Deve-se, então, calcular n:
an = a1 · q
n – 1 ⇒ 64 = 1 ___ 
16
 · 4n – 1 ⇒
⇒ 43 = 4–2 · 4n – 1 ⇒ 43 = 4n – 3 ⇒ n – 3 = 3 ⇒
⇒ n = 6
Assim, a PG deve ter 6 termos, ou seja, é preciso inserir 4 
meios geométricos.
multimídia: sites
pt.khanacademy.org/math/algebra/sequen-
ces/introduction-to-geometric-sequences/v/
geometric-sequences-introduction
26
Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM
21
Habilidade
Dentro do terceiro eixo cognitivo do Enem, a habilidade 21 exige do aluno a capacidade de resolver uma situação pro-
posta a partir de conhecimentos algébricos adquiridos.
Modelo
(Enem) Para comemorar o aniversário de uma cidade, a prefeitura organiza quatro dias consecutivos de atrações 
culturais. A experiência de anos anteriores mostra que, de um dia para o outro, o número de visitantes no evento é 
triplicado. É esperada a presença de 345 visitantes para o primeiro dia do evento.
Uma representação possível do número esperado de participantes para o último dia é:
a) 3 × 345.
b) (3 + 3 + 3) × 345.
c) 33 × 345.
d) 3 × 4 × 345.
e) 34 × 345.
Análise expositiva - Habilidade 14: O exercício exige que o aluno seja capaz de interpretar um problema do 
cotidiano e utilizar seus conhecimentos sobre progressões geométricas para a sua resolução.
Tem-se aqui uma PG de razão 3 e a1 = 345. É preciso desecobrir o a4.
a4 = a1 ∙ q(
n – 1)
a4 = 345 ∙3(
4 – 1)
a4 = 345 ∙ 3
3
Alternativa C
C
27
 DIAGRAMA DE IDEIAS
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS
CLASSIFICAÇÕES
PARA 3 TERMOS
 x ____ q , x, xq
PG CRESCENTE
q > 1
termos positivos
ou
0 < q < 1
termos negativos
PG DECRESCENTE
q > 1
termos positivos
ou
0 < q < 1
termos positivos
TERMO GERAL
an = a1 + (n - 1)r
RAZÃO
q = an ______ an-1
 
TERMO GERAL CONHECENDO 
QUALQUER TERMO
an = ak . q
n - k
PA CONSTANTE
q = 1
PA ALTERNANTE
q < 0
PARA 4 TERMOS
 x ____ y3 
, x ____ y 
,xy, xy3
*q = y2
PARA 5 TERMOS
 x ____ q2 , 
x ____ q , x, xq, xq
2
28
 Problemas envolvendo Pa e PG
CompetênCias: 1, 5 e 6 Habilidades: 2, 3, 21, 24, 25 e 26
AULAS 
41 e 42
1. Soma doS termoS de uma Pa finita 
Na tabela a seguir, é possível observar a produção anual de uma empresa num certo período:
Ano 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019
Produção
(em unidades)
10.000 12.000 14.000 16.000 18.000 20.000 22.000 24.000
Quantas unidades a empresa produziu de 2012 a 2019?
Pela tabela, no período de 2012 a 2019, a empresa produziu:
10.000 + 12.000 + 14.000 + 16.000 + 18.000 + 20.000 + 22.000 + 24.000 = 136.000 unidades
Considere a PA finita de razão r (a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an), 
cuja soma dos seus n termos pode ser escrita por:
Sn = a1 + a2 + a3 + … + an –2 + an – 1 + an = ∑ i = 1 
n (ai) 
Assim, Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an).
 n __ 2 parcelas iguais a (a1 + an)
Então:
Sn = 
n(a1 + an) ___________ 
2
 
Essa fórmula permite calcular a soma dos n primeiros ter-
mos de uma PA, em que:
 § a1 é o primeiro termo;
 § an é o enésimo termo;
 § n é o número de termos;
 § sn é o soma dos n termos.
Nota
A fórmula obtida é equivalente a esta:
Sn = 
n(ap + aq)
 ___________ 
2
 , com p + q = n + 1
 Aplicação do conteúdo
Observa-se que:
 § As parcelas formam uma PA finita (razão r = 2.000):
(10.000, 12.000, 14.000, 16.000, 
18.000, 20.000, 22.000, 24.000)
 § O número 136.000 representa a soma dos termos des-
sa PA.
1.1. Fórmula da soma dos 
termos de uma PA finita
Karl Friedrich Gauss (1777-1855) foi um matemático ale-
mão. Certo dia, quando Gauss era um estudante de apro-
ximadamente 7 ou 8 anos de idade, seu professor, queren-
do manter o silêncio em sala de aula por um bom tempo, 
pediu que os alunos somassem todos os números de 1 a 
100, ou seja, 1 + 2 + 3 + 4 ... + 99 + 100. Para surpresa 
do professor, Gauss disse, depois de alguns minutos, que o 
resultado da soma era 5.050. Observe seu raciocínio:
1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 (1 + 100 = 101; 2 + 
99 = 101 etc.)
 
Ou seja, 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100 = 5.050, pois a 
soma 101 ocorre 50 vezes na sequência.
1.2. Fórmula
O procedimento utilizado por Gauss no caso da PA (1, 2, 3, 
4 ... 99, 100) vale de modo geral.
a1 +an
a1 +an
a1 +an
29
1. Retome o problema da produção anual de uma em-
presa apresentado no início desta aula. Resolva-o apli-
cando a fórmula da soma dos termos de uma PA finita.
Resolução:
Sabe-se que a produção anual nesse período é uma PA na 
qual a1 = 10.000, r = 2.000, n = 8 e an = a8 = 24.000.
Aplicando a fórmula:
Sn = 
n(ap + aq) ________ 
2
 = 8(10000 + 24000) ______________ 
2
 = 136.000
Assim, no período de 2012 a 2019, a empresa produziu 
136.000 unidades.
2. Calcule a soma dos 50 primeiros termos da PA (2, 6, 
...). Nessa PA infinita, os 50 primeiros termos formam 
uma PA finita, na qual a1 = 2, r = 4 e n = 50.
Resolução:
Deve-se calcular an (ou seja, a50):
an = a50 = a1 + (n – 1)r ⇒ a50 = 2 + 49(4) ⇒ 
⇒ a50 = 2 + 196 ⇒ a50 = 198
Aplicando a fórmula, tem-se:
Sn = 
(a1 + an)n ________ 
2
 ⇒ S50 = 
(2 + 198) ⋅ 50 ___________ 
2
 ⇒
⇒ S50 = 5.000
A soma procurada é igual a 5.000.
3. A soma dos dez termos de uma PA é 200. Se o 1.º 
termo dessa PA é 2, calcule a razão r da PA.
Resolução:
Nessa PA, sabe-se que S10 = 200, a1 = 2 e n = 10.
Deve-se calcular a10 aplicando a fórmula da soma:
Sn = 
10(a1 + a10) _________ 
2
 ⇒ 200 = 
10(2 + a10) ______________ 
2
 ⇒
⇒ 20 + 10a10 = 400 ⇒ 10a10 = 380 ⇒ 
⇒ a10 = 38
Calculando r:
a10 = a1 + 9r ⇒ 38 = 2 + 9r = 36 ⇒ r = 4
Assim, a razão procurada é 4.
4. A soma dos cinco números de uma PA é 295. Determi-
ne o termo do meio.
Resolução:
É possível escrever 5 números em PA, assim:
x – 2r, x – r, x, x + r e x + 2r
Somando:
x – 2r + x – r + x + x + r + x + 2r = 295 ⇒
⇒ 5x = 295 ⇒ x = 59
Portanto, o termo do meio é 59.
Nota
Outra maneira de resolver seria utilizando a fórmula:
Sn = 
5(x – 2r + x +2r)
 _____________ 
2
 ⇒ 5 · 2x _____ 
2
 = 295 ⇒ x = 59
5. A soma Sn dos n primeiros termos de uma PA é 3n
2, 
qualquer que seja n. Calcule o 5.° termo dessa progressão.
Resolução:
Nessa PA, sabe-se que Sn = 3n
2. Então:
Para n = 1: S1 = a1 ⇒ 3n
2 = a1 ⇒ 
⇒ 3(1)2 = a1⇒ a1 = 3
Para n = 2: S2 = a1 + a2 = 3n
2 = 3 + a2 ⇒
⇒ 3(2)2 = 3 + a2 ⇒ a2 = 9
É possível, então, determinar o valor da razão:
r = a2 – a1 = 9 – 3 = 6
Determinando o 5.º termo da PA:
a5 = 3 + (5 – 1) · 6 = 27
Assim, o 5.º termo dessa PA é 27.
6. Determine o valor de x na igualdade 
2 + 7 + ... + 2x = 198, sabendo que as parcelas do 1.º 
membro formam uma PA.
Resolução:
Nessa PA, tem-se Sn = 198, a1 = 2, an = 2x e r = 7 – 2 = 5.
Determinando n em função de x:
an = a1 + (n – 1)r ⇒ 2x = 2 + (n – 1)5 ⇒
⇒ 2x = 2 + 5n – 5 ⇒ 5n = 2x + 3 ⇒ 
⇒ n = 2x + 3 _____ 
5
 
Aplicando a fórmula da soma, tem-se:
Sn = 
n(a1 + an) ________ 
2
 ⇒198 = 
 ( 2x + 3 _____ 5 ) (2 + 2x) _____________ 
2
 ⇒
⇒ ( 2x + 3 _____ 5 ) (2 + 2x) = 396 ⇒
⇒ 4x + 4x
2 + 6 + 6x ______________ 
5
 = 396 ⇒
⇒ 4x2 + 10x + 6 = 1.980 ⇒ 2x2 + 5x – 987 = 0
Resolvendo a equação do 2.º grau:
2x2 + 5x – 987 = 0
D = (5)2 – 4(2) (–987) = 25 + 7.896 = 7.921
x = - 5 ± 89 ______ 
4
 ⇒ x’ = 21 e x” = – 47 ___ 
2
 
Como a PA é crescente, segue que x = 21.
30
7. Determine o valor de:
a) S = ∑ i = 1 
5 (2i) 
Resolução:
O símbolo Σ significa somatório, isto é, deve-se efetuar a 
seguinte soma:
 ∑ i = 1 
5 (2i) = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 
Observe que o símbolo da somatória ∑ i = 1 
5 (2i) significa que 
serão somados os termos 2i com o valor de i indo de 1 
até n = 5.
b) S = ∑ i = 1 
30 (1 + i) 
Resolução:
S = (1 + 1) + (1 + 2) + ... + (1 + 29) 
+ (1 + 30)= = 2 + 3 + ... + 31
Assim, tem-se uma PA em que a1 = 2 e a30 = 31.
Aplicando a fórmula, tem-se:
S = (2 + 31) 30 ___ 
2
 = 495
8. Sabendo que em uma PA a12 vale 13 e a5 vale 7, obte-
nha o valor de a8 + a9.
Resolução:
Deve-se escrever a PA:
(7, a6 , a7, a8 , a9, a10 , a11, 13)
Observe que a8 e a9 são equidistantes dos termos a5 e a12, 
portanto, pela propriedade vista na dedução da fórmula da 
soma, segue que: 
a8 + a9 = a5 + a12 = 20.
2. ProgreSSõeS aritméticaS 
de Segunda ordem
Da sequência (an) = (0, 3, 8, 15, 24, 35, ...), pode-se formar 
uma progressão aritmética tomando as diferenças.
3, 5, 7, 9, 11, ...
2.1. Definição
Uma progressão aritmética de segunda ordem é uma se-
quência (an) na qual, tomando-se as diferenças (an + 1 – an) 
entre cada termo e o termo anterior, forma-se uma pro-
gressão aritmética não estacionária.
Assim, a sequência (an) = (0, 3, 8, 15, 24, 35,..., n
2 – 1, ...).
2.2. Caracterização
É possível provar que toda sequência, na qual o termo 
de ordem n é um produto em n do segundo grau, é uma 
progressão aritmética de segunda ordem. Da mesma 
forma, se (an) é uma progressão aritmética de segunda 
ordem, então an é um polinômio do segundo grau em n. 
Assim, se o domínio de uma função quadrática for uma PA, 
então sua imagem será uma PA de segunda ordem.
 Aplicação do conteúdo
1. Dada a PA de 2.ª ordem, 4, 7, 12 ,19..., determine o 
polinômio de 2.º grau que expressa o termo geral.
Resolução:
Observe que:
a1 = 4
a2 = 7 = 4 + 3
a3 =12 = 4 + 3 + 5
a4 = 19 = 4 + 3 + 5 + 7
soma dos 3
termos PA (3, 5 e 7)
 a8 = 4 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 +13 + 15
soma dos 7 termos PA (3, 5, 7, ...)
an = 4 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + ...
soma dos n termos PA (3, 5, 7, 9, ...)
Assim:
bn-1 = 3 + (n – 1 – 1) . 2 = 3 + 2n – 4 = 
= 2n – 1, em que bn é a PA (3, 5, 7, ..., bn)
Então:
3 + 5 + 7 + ... + bn – 1 = 
(3 + 2n – 1)(n – 1) ______________ 
2
 
 (2 + 2n)(n – 1) ____________ 
2
 = (n + 1)(n – 1) = n2 – 1
Portanto:
an = 4 + n
2 – 1 ⇒ an = n
2 + 3
3. fórmula da Soma 
doS n PrimeiroS termoS 
de uma Pg finita
A soma dos n primeiros termos de uma progressão
geométrica (an ) de razão q ≠ 1 é Sn = a1 · 
1 – qn
 _____ 
1 – q
 .
3.1. Demonstração
Considere a PG finita (a1, a 2, a3, ..., an – 1, an ), sendo Sn a 
soma de seus termos:
31
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an – 1 + a n (I)
Multiplique os dois membros dessa igualdade pela razão 
q, obtendo:
qSn =a1q
a2

+ a2q
a3

+ a3q
a4

+...+an–1q
an

+anq
Ou
qSn = a2 + a3 + a4 + ... + an + anq (II)
Fazendo (I) – (II), obtém-se:
Sn – qSn = a1 - anq
Como an = a1q
n – 1, então anq = a1q
n – 1 q = a1q
n
Portanto: Sn = a1 · 
1–qn
 ____ 
1 – q
 para q ≠ 1.
 Aplicação do conteúdo
1. Uma empresa produziu 10.000 unidades de certo 
produto em 2015. A cada ano, ela produziu 20% a mais 
desse produto em relação ao ano anterior. Quantas uni-
dades desse produto a empresa produziu no período de 
2015 a 2019?
Resolução:
1.ª maneira:
Ano
Produção (em 
unidades)
2015 10.000
2016 12.000 120% de 10.000 = 12.000
2017 14.400 120% de 12.000 = 14.400, etc..
2018 17.280
2019 20.736
No período de 2015 a 2019, a empresa produziu:
10.000 + 12.000 + 14.400 + 17.280 + 20.736 = 
= 74.416 unidades
As parcelas formam uma PG finita de razão q = 1,20.
Assim, a soma dos cinco primeiros termos é 74.416.
2.ª maneira:
Usando a fórmula:
Como se trata uma PG na qual a1 = 10.000, q = 1,20 e 
n = 5, tem-se:
Sn = a1 · 
1 – qn
 _____ 
1 – q
 ⇒ S5 = 10.000 · 
1 – (1, 20)5 _________ 
1 – 1,20
 
= 10.000 · –1,48832 ________ 
–0,20
 = 74.416
Assim, no período de 2015 a 2019, a empresa produziu 
74.416 unidades do produto.
2. Determine a soma:
a) dos dez primeiros termos da PG (3, 6, ...).
Resolução:
Nessa PG, são conhecidos: a1 = 3, q = 2, e n = 10.
Aplicando a fórmula:
Sn = a1 · 
1 – qn
 _____ 
1 – q
 ⇒ S10 = 3 · 
1 – 210 ______ 
1 – 2
 
S10 = 3 · 
1 – 1024 _______ 
 –1
 = 3.069
A soma pedida é 3.069.
b) dos termos da PG (2, 22, ..., 210):
Resolução:
Nessa PG, tem-se a1 = 2, q = 2 e n = 10.
S10 = 2 · 
1 – 210 ______ 
1 – 2
 = 2 · 1 – 1024 _______ 
 –1
 = 2.046
3. A soma dos termos de uma PG finita é 728. 
Sabendo que an = 486 e q = 3, calcule o primeiro termo 
dessa sequência.
Resolução:
Nessa PG, são conhecidos: Sn = 728, an = 486, q = 3.
Aplicando a fórmula Sn = 
an q – a1 _______ 
q – 1
 para calcular a1:
728 = 
486 · 3 – a1 _________ 
3 – 1
 ⇒ 728 = 
1458 – a1 ________ 
 2
 ⇒
 ⇒ 1.458 – a1 = 1.456 ⇒ a1 = 1.458 – 1.456 ⇒
 ⇒ a1 = 2 
Portanto, o primeiro termo da PG dada é a1 = 2.
4. Calcule o valor de x na igualdade 
10x + 20x + ... + 1.280x = 7.650, sabendo que os termos 
do 1.º membro formam uma PG.
Resolução:
Nesse caso, a1 = 10x, q = 2, an = 1.280x e Sn = 7.650.
Inicialmente, deve-se determinar n:
1.280x = 10x · 2n – 1 ⇒ 27 = 2n – 1 ⇒ n = 8
Sn = 
a1(q
n – 1)
 _______ 
q – 1
 ⇒ 7.650 = 10x(2
8 – 1) _________ 
2 – 1
 ⇒ 
⇒ 7.650 = 10x · 255 ⇒ 7.650 = 2.550x ⇒ 
⇒ x = 3
Assim, x = 3.
4. limite da Soma doS 
termoS de uma Pg infinita
32
Considere a sequência (an) = ( 1 __ n ) com n [ N*, explicitada 
por:
1, 1 __ 
2
 , 1 __ 
3
 , 1 __ 
4
 , 1 __ 
5
 , 1 __ 
6
 , 1 __ 
7
 , 1 __ 
8
 , 1 __ 
9
 , 1 ___ 
10
 , ..., 1 ____ 
1000
 , ... 1 ____ 
1000
 , ... 1 __ n , ...
Ou em representação decimal:
1; 0,5; 0,333...; 0,25; 0,2; 0,16...; 0,142...; 
0,125; 0,11...; 0,1;...;0,001; ...
Observe que, à medida que n cresce indefinidamente (ten-
dendo ao infinito), o termo an = 
1 __ n tende a 0 (zero). Indica-
-se assim:
n → ` ⇒ 1 __ n → 0
Ou:
 lim 
n→`
 1 __ n = 0
 ( Lê-se: limite de 1 __ n quando n tende a infinito é igual a 0. ) 
Nas progressões geométricas em que –1 < q < 1, somente 
nessas condições uma PG infinita converge, ou seja, quando 
n tende a infinito, qn tende a 0. Nesse caso, qn aproxima-se 
de zero para n suficientemente grande, ou seja, lim 
n→`
 qn = 0. 
Sabe-se que Sn = a1 · 
1 – qn
 _____ 
1 – q
 , q ≠ 1.
Assim, lim 
n→`
 Sn = a1 · 
1 – 0 ____ 
1 – q
 , isto é:
 lim 
n→`
 Sn = 
a1 ____ 
1 – q
 , – 1 < q < 1
 Aplicação do conteúdo
1. Calcule o limite da soma dos termos da progressão 
geométrica 1 __ 
2
 + 1 __ 
4
 + 1 __ 
8
 + 1 ___ 
16
 + ... + 1 __ 
2n
 + ..., n [ Z*.
Resolução:
Nesse caso, a1 = 
1 __ 
2
 , q = 1 __ 
2
 , sendo:
Sn = 
a1 ____ 
1 – q
 =1 __ 
2
 
 _____ 
1 – 1 __ 
2
 
 = 
 1 __ 
2
 
 __ 
 1 __ 
2
 
 = 1
Assim, lim 
x→`
 Sn = 1. Isso significa que, quanto maior for n, a 
soma 1 __ 
2
 + 1 __ 
4
 + 1 __ 
8
 + 1 ___ 
16
 + ... + 1 __ 
2n
 + ... será mais próxima de 1.
Observe adiante uma interpretação geométrica consi-
derando a área da região quadrada a seguir igual a 1. 
Inicialmente, deve-se colorir 1 __ 
2
 dela, depois 1 __ 
4
 , depois 1 __ 
8
 , e 
assim por diante; dessa forma, é possível se aproximar da 
área total da região quadrada, que é 1.
2. Mostre que o limite da soma 0,6 + 0,06 + 0,006 + ..., 
quando o número de parcelas tende a infinito, é igual 
a 2 __ 
3
 .
Resolução:
1.ª maneira:
Somando um número muito grande de termos dessa pro-
gressão geométrica, encontra-se, aproximadamente, a 
dízima periódica 0,6666 ... = 6 __ 
9
 = 2 __ 
3
 .
0,6
0,06
0,006 +
0,0006
0,00006 
0,6666...
2.ª maneira: Calculando o limite.
Nesse caso, a 1 = 0,6 e q = 
1 ___ 
10
 . Assim:
 lim 
n→`
 Sn = 
a1 ____ 
1 – q
 = 0,6 ______ 
1 – 1 ___ 
10
 
 = 
 6 ___ 
10
 
 ___ 
 9 ___ 
10
 
 = 6 __ 
9
 = 2 __ 
3
 
Portanto, lim 
n→`
 Sn = 
2 __ 
3
 .
3. Determine o limite da soma da PG infinita 1 __ 
3
 + 2 __ 
9
 + 4 ___ 
27
 
+ ...
Resolução:
As parcelas formam uma PG infinita, na qual 
a1 = 
1 __ 
3
 e q = 
 2 __ 
9
 
 __ 
 1 __ 
3
 
 = 2 __ 
3
 .
Como 2 __ 
3
 < 1, pode-se usar a fórmula lim 
n→`
 Sn = 
a1 ____ 
1 – q
 :
 lim 
n→`
 Sn = 
 1 __ 
3
 
 _____ 
1 – 2 __ 
3
 
 = 
 1 __ 
3
 
 __ 
 1 __ 
3
 
 = 1
Assim, o valor procurado é 1.
4. Calcule o limite da soma dos termos da
PG ( 1 __ 3 , – 1 __ 9 , 1 ___ 27 , ... ) .
Resolução:
Nessa PG, tem-se a1 = 
1 __ 
3
 e q = 
– 1 __ 
9
 
 ___ 
 1 __ 
3
 
 = – 1 __ 
3
 .
 lim 
n→`
 Sn = 
a1 ____ 
1 – q
 = 
 1 __ 
3
 
 _______ 
1 – ( – 1 __ 3 ) 
 = 
 1 __ 
3
 
 _____ 
1 + 1 __ 
3
 
 = 
 1 __ 
3
 
 __ 
 4 __ 
3
 
 = 1 __ 
4
 
Assim, o limite da soma procurada é 1 __ 
4
 .
33
5. Resolva a equação 5x + 10x ___ 
3
 + 20x ___ 
9
 + .... = 20, na qual 
o primeiro membro é o limite da soma de uma PG in-
finita.
Resolução:
a1 = 5x, q = 
 10x ___ 
3
 
 ___ 
5x
 = 2 __ 
3
 e lim 
n→`
 Sn = 20
 lim 
n→`
 Sn = 
a1 ____ 
1 – q
 ⇒ 20 = 5x _____ 
1 – 2 __ 
3
 
 ⇒ 20 = 5x __ 
 1 __ 
3
 
 
⇒ x = 20 ___ 
15
 = 4 __ 
3
 
Assim, x = 4 __ 
3
 .
6. Determine a fração geratriz:
a) da dízima periódica simples 0,333...
Resolução:
0,333... = 0,3 + 0,03 + 0,003 + ... 
= 3 ___ 
10
 + 3 ___ 
100
 + 3 ____ 
1000
 + ...
As parcelas formam a PG infinita:
 ( 3 ___ 10 , 3 ___ 102 , 3 ___ 103 , ... ) , na qual a1 = 3 ___ 10 e q = 1 ___ 10 .
A fração correspondente a 0,333... é o limite da soma des-
sa PG infinita.
 lim 
n→`
 Sn = 
a1 ____ 
1 – q
 = 
 3 ___ 
10
 
 ______ 
1 – 1 ___ 
10
 
 = 
 3 ___ 
10
 
 ___ 
 9 ___ 
10
 
 = 3 __ 
9
 = 1 __ 
3
 
Assim, a fração procurada é 1 __ 
3
 .
b) da dízima periódica composta 0,52121...
Resolução:
0,52121... = 0,5 + 0,021 + 0,00021 + ...=
= 5 ___ 
10
 + 21 ____ 
1000
 + 21 _______ 
100 000
 + ....
Observa-se que a sequência ( 21 ___ 103 , 21 ___ 105 , 21 ___ 107 ,... ) é uma PG 
infinita, na qual a1 = 
 21 ___ 
103
 e q = 1 ___ 
102
 .
 lim 
n→`
 Sn = 
a1 ____ 
1 – q
 = 
 21 ___ 
103
 
 ______ 
1 – 1 ___ 
102
 
 = 
 21 ____ 
1000
 
 _______ 
1 – 1 ___ 
100
 
 =
= 
 21 ____ 
1000 
 
 _____ 
 99 ___ 
100
 
 = 21 ____ 
1000
 · 100 ___ 
99
 = 21 ____ 
 990
 = 7 ____ 
 330
 
Calculando:
0,52121... = 5 ___ 
10
 + 7 ___ 
330
 = 165 + 7 _______ 
330
 =
= 172 ___ 
330
 = 86 ___ 
165
 
Assim, a fração geratriz é 86 ___ 
165
 .
7. A medida do lado de um triângulo equilátero é 10. 
Unindo-se os pontos médios de seus lados, obtém-se 
um segundo triângulo equilátero. Unindo-se os pon-
tos médios dos lados desse novo triângulo equilátero, 
obtém-se um terceiro, e assim por diante, indefinida-
mente. Calcule a soma dos perímetros de todos esses 
triângulos.
Resolução:
Perímetro do 1.º triângulo = 30
Perímetro do 2.º triângulo = 15
Perímetro do 3.º triângulo = 15 ___ 
2
 
A
Deve-se calcular a soma dos termos da PG infinita ( 30, 
15, 15 ___ 
2
 , ... ) , na qual a1 = 30 e q = 1 __ 2 .
 lim 
n→`
 Sn = 
a1 ____ 
1 – q
 = 30 ____ 
1– 1 __ 
2
 
 = 30 ___ 
 1 __ 
2
 
 = 60
Portanto, a soma dos perímetros é 60.
5. Produto doS termoS da Pg
Considere uma PG (a1, a2, a3, ..., an – 2, an – 1, an, ...).
O produto Pn dos n primeiros termos dessa PG pode ser 
obtido de duas maneiras.
1.ª maneira:
a1 = a1
a2 = a1q
a3 = a1q
2
A
an = a1 q
n –1 
Multiplicando-se membro a membro, encontra-se:
Então:
Pn = a1
n .q1+2+3+...+n-1
soma de PA  
Pn = a1
n.q
(1+n-1)(n-1)
2 Pn =a1
n. q
n(n-1)
2
34
2.ª maneira:
Pn = a1 · a2 · a3 · ... · an – 2 · an – 1 · an
Pn = an · an – 1 · an – 2 · ... · a3 · a2 · a1
Multiplicando-se membro a membro, encontra-se:
Pn
2 = (a1 · an)(a2 · an –1)(a3 · an – 2) · ... · 
(an – 2 · a3)( an – 1 · a2)(an · a1)
Como (a2 · an – 1) = (a3 · an–2) = ... = (a1 · an), então:
Pn
2 = (a1an)
n ⇒ Pn = ± dXXXXX (a1an)n (o sinal correto depende das 
condições da PG dada)
 Aplicação do conteúdo
1. Determine o produto dos vinte primeiros termos da 
PG (3, 6, 12, ...).
Resolução:
1.ª maneira:
P20 = 3
20 · 2
 20 ·19 ______ 2 = 320 · 2190
2.ª maneira:
a20 = a1 · q
19 ⇒ a20 = 3 · 2
19
P20 = ± dXXXXXXXXXX (3 · 3 · 2
19)20 = ± (32 · 219)10 = 
= ±320 · 2190
Como a PG tem apenas termos positivos, então P20 é posi-
tivo. Assim, P20 = 3
20 · 2190.
2. Determine o produto dos quinze primeiros termos da 
PG alternante (1, –2, 4, –8 ,...).
Resolução:
1.ª maneira:
P15 = 1
15 · (–2)
 15 · 14 ______ 2 = (–2)105 = – 2105
2.ª maneira:
a15 = 1 · (–2)
14 = 214
P15 = ± dXXXXXXXX (1 · 2
14)15 = ± 2105
Como, entre os quinze primeiros termos, 7 termos são ne-
gativos, o produto é negativo. Assim, P15 = –2
105.
6. ProblemaS 
envolvendo Pa e Pg
Para completar o capítulo sobre progressões, a seguir se-
rão analisados problemas que envolvem simultaneamen-
te PA e PG.
 Aplicação do conteúdo
1. São dados quatro números x, y, 6, 4, nessa ordem. 
Sabendo que os três primeiros estão em PA e os três 
últimos estão em PG, determine x e y.
Resolução:
Se x, y, 6 estão em PA, tem-se y = x + 6 _____ 
 2
 .
Se y, 6, 4 estão em PG, tem-se 62 = 4y.
Deve-se resolver o sistema formado por essas duas equa-
ções:
y = x +6 __ 
2
 
4y = 36 ⇒ y = 9
9 = x + 6 _____ 
2
 ⇒ x + 6 = 18 ⇒ x = 12
Assim, x = 12 e y = 9.
2. A sequência (a, b, c) é uma PG crescente, e a sequên-
cia (a – 1, b,c) é uma PA. Sabendo que a + b + c = 19, 
determine os valores de a, b e c.
Resolução:
Se (a, b, c) é uma PG, tem-se b2 = ac.
Se (a – 1, b, c) é uma PA, tem-se:
b = a – 1 + c _______ 
2
 ⇒ 2b = a – 1 + c
Deve-se, então, resolver o sistema:
b2 = ac (I)
2b = a – 1 + c (II)
a + b + c =19 (III)
De (II), tem-se:
2b = a – 1 + c ⇒ a + c = 2b + 1 (IV)
De (III), tem-se:
a + b + c =19 ⇒ a + c = 19 – b (V)
Comparando (IV) e (V), tem-se:
2b + 1 = 19 – b ⇒ 2b + b = 19 – 1 ⇒ 3b 
= 18 ⇒ b = 6
Conhecido b = 6, tem-se um novo sistema:
36 = ac
a + c = 13
a + c = 13 ⇒ a = 13 – c
36 = (13 – c) c ⇒ 36 = 13c – c2 ⇒ c2 – 13c + 36 = 0
D = 25
c’ = 9 e c” = 4
 § c = 9 ⇒ a = 13 – 9 = 4
 § c = 4 ⇒ a = 13 – 4 = 9 
35
Como a PG (a, b, c) é crescente, tem-se a = 4, b = 6 e c = 9.
3. Numa situação em que há empréstimo de dinheiro 
para devolução, depois de certo número de períodos, 
e em que esse empréstimo é baseado no sistema de 
juros simples, os