Física - Teórico_VOLUME6

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Caro aluno 
Ao elaborar o seu material inovador, completo e moderno, o Hexag considerou como principal diferencial sua exclusiva metodologia em pe-
ríodo integral, com aulas e Estudo Orientado (E.O.), e seu plantão de dúvidas personalizado. O material didático é composto por 6 cadernos 
de aula e 107 livros, totalizando uma coleção com 113 exemplares. O conteúdo dos livros é organizado por aulas temáticas. Cada assunto 
contém uma rica teoria que contempla, de forma objetiva e transversal, as reais necessidades dos alunos, dispensando qualquer tipo de 
material alternativo complementar. Para melhorar a aprendizagem, as aulas possuem seções específicas com determinadas finalidades. A 
seguir, apresentamos cada seção:
No decorrer das teorias apresentadas, oferecemos uma cuidadosa 
seleção de conteúdos multimídia para complementar o repertório 
do aluno, apresentada em boxes para facilitar a compreensão, com 
indicação de vídeos, sites, filmes, músicas, livros, etc. Tudo isso é en-
contrado em subcategorias que facilitam o aprofundamento nos 
temas estudados – há obras de arte, poemas, imagens, artigos e até 
sugestões de aplicativos que facilitam os estudos, com conteúdos 
essenciais para ampliar as habilidades de análise e reflexão crítica, 
em uma seleção realizada com finos critérios para apurar ainda mais 
o conhecimento do nosso aluno.
multimídia
Um dos grandes problemas do conhecimento acadêmico é o seu 
distanciamento da realidade cotidiana, o que dificulta a compreensão 
de determinados conceitos e impede o aprofundamento nos temas 
para além da superficial memorização de fórmulas ou regras. Para 
evitar bloqueios na aprendizagem dos conteúdos, foi desenvolvida 
a seção “Vivenciando“. Como o próprio nome já aponta, há uma 
preocupação em levar aos nossos alunos a clareza das relações entre 
aquilo que eles aprendem e aquilo com que eles têm contato em 
seu dia a dia.
vivenciando
Sabendo que o Enem tem o objetivo de avaliar o desempenho ao 
fim da escolaridade básica, organizamos essa seção para que o 
aluno conheça as diversas habilidades e competências abordadas 
na prova. Os livros da “Coleção Vestibulares de Medicina” contêm, 
a cada aula, algumas dessas habilidades. No compilado “Áreas de 
Conhecimento do Enem” há modelos de exercícios que não são 
apenas resolvidos, mas também analisados de maneira expositiva 
e descritos passo a passo à luz das habilidades estudadas no dia. 
Esse recurso constrói para o estudante um roteiro para ajudá-lo a 
apurar as questões na prática, a identificá-las na prova e a resolvê-
-las com tranquilidade.
áreas de conhecimento do Enem
Cada pessoa tem sua própria forma de aprendizado. Por isso, cria-
mos para os nossos alunos o máximo de recursos para orientá-los 
em suas trajetórias. Um deles é o ”Diagrama de Ideias”, para aque-
les que aprendem visualmente os conteúdos e processos por meio 
de esquemas cognitivos, mapas mentais e fluxogramas.
Além disso, esse compilado é um resumo de todo o conteúdo 
da aula. Por meio dele, pode-se fazer uma rápida consulta aos 
principais conteúdos ensinados no dia, o que facilita a organiza-
ção dos estudos e até a resolução dos exercícios.
diagrama de ideias
Atento às constantes mudanças dos grandes vestibulares, é ela-
borada, a cada aula e sempre que possível, uma seção que trata 
de interdisciplinaridade. As questões dos vestibulares atuais não 
exigem mais dos candidatos apenas o puro conhecimento dos 
conteúdos de cada área, de cada disciplina.
Atualmente há muitas perguntas interdisciplinares que abrangem 
conteúdos de diferentes áreas em uma mesma questão, como Bio-
logia e Química, História e Geografia, Biologia e Matemática, entre 
outras. Nesse espaço, o aluno inicia o contato com essa realidade 
por meio de explicações que relacionam a aula do dia com aulas 
de outras disciplinas e conteúdos de outros livros, sempre utilizan-
do temas da atualidade. Assim, o aluno consegue entender que 
cada disciplina não existe de forma isolada, mas faz parte de uma 
grande engrenagem no mundo em que ele vive.
conexão entre disciplinas
Herlan Fellini
De forma simples, resumida e dinâmica, essa seção foi desenvol-
vida para sinalizar os assuntos mais abordados no Enem e nos 
principais vestibulares voltados para o curso de Medicina em todo 
o território nacional.
incidência do tema nas principais provas
Todo o desenvolvimento dos conteúdos teóricos de cada coleção 
tem como principal objetivo apoiar o aluno na resolução das ques-
tões propostas. Os textos dos livros são de fácil compreensão, com-
pletos e organizados. Além disso, contam com imagens ilustrativas 
que complementam as explicações dadas em sala de aula. Qua-
dros, mapas e organogramas, em cores nítidas, também são usados 
e compõem um conjunto abrangente de informações para o aluno 
que vai se dedicar à rotina intensa de estudos.
teoria
Essa seção foi desenvolvida com foco nas disciplinas que fazem 
parte das Ciências da Natureza e da Matemática. Nos compilados, 
deparamos-nos com modelos de exercícios resolvidos e comenta-
dos, fazendo com que aquilo que pareça abstrato e de difícil com-
preensão torne-se mais acessível e de bom entendimento aos olhos 
do aluno. Por meio dessas resoluções, é possível rever, a qualquer 
momento, as explicações dadas em sala de aula.
aplicação do conteúdo
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SUMÁRIO
FÍSICA
ASTRONOMIA E ESTATÍSTICA
HIDROSTÁTICA E HIDRODINÂMICA
INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA E FÍSICA MODERNA
Aulas 45 e 46: Leis de Kepler 6
Aulas 47 e 48: Força gravitacional   17
Aulas 49 e 50: Estática de ponto material  29
Aulas 51 e 52: Estática de corpo extenso  36
Aulas 45 e 46: Hidrostática: conceitos iniciais 48
Aulas 47 e 48: Hidrostática: empuxo  59
Aulas 49 e 50: Hidrodinâmica 69
Aulas 51 e 52: Grandezas físicas  77
Aulas 45 e 46: Indução eletromagnética: conceitos iniciais 86
Aulas 47 e 48: Indução eletromagnética: Lei de Faraday  96
Aulas 49 e 50: Mecânica quântica  111
Aulas 51 e 52: Teoria da relatividade  125
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Competência 1 – Compreender as ciências naturais e as tecnologias a elas associadas como construções humanas, percebendo seus papéis nos 
processos de produção e no desenvolvimento econômico e social da humanidade.
H1 Reconhecer características ou propriedades de fenômenos ondulatórios ou oscilatórios, relacionando-os a seus usos em diferentes contextos.
H2 Associar a solução de problemas de comunicação, transporte, saúde ou outro, como correspondente desenvolvimento científico e tecnológico. 
H3 Confrontar interpretações científicas com interpretações baseadas no senso comum, ao longo do tempo ou em diferentes culturas.
H4
Avaliar propostas de intervenção no ambiente, considerando a qualidade da vida humana ou medidas de conservação, recuperação ou utilização sustentável 
da biodiversidade.
Competência 2 – Identificar a presença e aplicar as tecnologias associadas às ciências naturais em diferentes contextos.
H5 Dimensionar circuitos ou dispositivos elétricos de uso cotidiano.
H6 Relacionar informações para compreender manuais de instalação ou utilização de aparelhos, ou sistemas tecnológicos de uso comum.
H7
Selecionar testes de controle, parâmetros ou critérios para a comparação de materiais e produtos, tendo em vista a defesa do consumidor, a saúde do 
trabalhador ou a qualidade de vida.
Competência 3 – Associar intervenções que resultam em degradação ou conservação ambiental a processos produtivos e sociais e a instrumen-
tos ou ações científico-tecnológicos.
H8
Identificar etapas em processos de obtenção, transformação, utilização ou reciclagem de recursos naturais, energéticos ou matérias-primas, considerando 
processos biológicos, químicos ou físicos neles envolvidos.
H9
Compreender a importância dos ciclos biogeoquímicos ou do fluxo energia para a vida, ou da ação de agentes ou fenômenos que podem causar alterações 
nesses processos.
H10 Analisar perturbações ambientais, identificando fontes, transporte e(ou) destino dos poluentes ou prevendo efeitos em sistemas naturais, produtivos ou sociais.
H11
Reconhecer benefícios, limitações e aspectos éticos da biotecnologia, considerando estruturas e processos biológicos envolvidos em produtos biotecnológi-
cos.
H12 Avaliar impactos em ambientes naturais decorrentes de atividades sociais ou econômicas, considerando interesses contraditórios.
Competência 4 – Compreender interações entre organismos e ambiente, em particular aquelas relacionadas à saúde humana, relacionando 
conhecimentos científicos, aspectos culturais e características individuais.
H13 Reconhecer mecanismos de transmissão da vida, prevendo ou explicando a manifestação de características dos seres vivos.
H14
Identificar padrões em fenômenos e processos vitais dos organismos, como manutenção do equilíbrio interno, defesa, relações com o ambiente, sexualidade, 
entre outros.
H15 Interpretar modelos e experimentos para explicar fenômenos ou processos biológicos em qualquer nível de organização dos sistemas biológicos.
H16 Compreender o papel da evolução na produção de padrões, processos biológicos ou na organização taxonômica dos seres vivos.
Competência 5 – Entender métodos e procedimentos próprios das ciências naturais e aplicá-los em diferentes contextos.
H17
Relacionar informações apresentadas em diferentes formas de linguagem e representação usadas nas ciências físicas, químicas ou biológicas, como texto 
discursivo, gráficos, tabelas, relações matemáticas ou linguagem simbólica.
H18 Relacionar propriedades físicas, químicas ou biológicas de produtos, sistemas ou procedimentos tecnológicos às finalidades a que se destinam.
H19
Avaliar métodos, processos ou procedimentos das ciências naturais que contribuam para diagnosticar ou solucionar problemas de ordem social, econômica 
ou ambiental.
Competência 6 – Apropriar-se de conhecimentos da física para, em situações problema, interpretar, avaliar ou planejar intervenções científi-
co-tecnológicas.
H20 Caracterizar causas ou efeitos dos movimentos de partículas, substâncias, objetos ou corpos celestes.
H21 Utilizar leis físicas e (ou) químicas para interpretar processos naturais ou tecnológicos inseridos no contexto da termodinâmica e(ou) do eletromagnetismo.
H22
Compreender fenômenos decorrentes da interação entre a radiação e a matéria em suas manifestações em processos naturais ou tecnológicos, ou em suas 
implicações biológicas, sociais, econômicas ou ambientais.
H23
Avaliar possibilidades de geração, uso ou transformação de energia em ambientes específicos, considerando implicações éticas, ambientais, sociais e/ou 
econômicas.
Competência 7 – Apropriar-se de conhecimentos da química para, em situações problema, interpretar, avaliar ou planejar intervenções científi-
co-tecnológicas.
H24 Utilizar códigos e nomenclatura da química para caracterizar materiais, substâncias ou transformações químicas
H25
Caracterizar materiais ou substâncias, identificando etapas, rendimentos ou implicações biológicas, sociais, econômicas ou ambientais de sua obtenção ou 
produção.
H26
Avaliar implicações sociais, ambientais e/ou econômicas na produção ou no consumo de recursos energéticos ou minerais, identificando transformações 
químicas ou de energia envolvidas nesses processos.
H27 Avaliar propostas de intervenção no meio ambiente aplicando conhecimentos químicos, observando riscos ou benefícios.
Competência 8 – Apropriar-se de conhecimentos da biologia para, em situações problema, interpretar, avaliar ou planejar intervenções científico 
tecnológicas.
H28
Associar características adaptativas dos organismos com seu modo de vida ou com seus limites de distribuição em diferentes ambientes, em especial em 
ambientes brasileiros.
H29
Interpretar experimentos ou técnicas que utilizam seres vivos, analisando implicações para o ambiente, a saúde, a produção de alimentos, matérias primas 
ou produtos industriais.
H30
Avaliar propostas de alcance individual ou coletivo, identificando aquelas que visam à preservação e a implementação da saúde individual, coletiva ou do 
ambiente.
5
ASTRONOMIA E ESTÁTICA: Incidência do tema nas 
principais provas
UFMG
Dentre os temas deste livro, o que pode apa-
recer com mais frequência é estática de corpos 
extensos, com questões mais objetivas.
Estática de corpos extensos, mesmo com 
baixa incidência no vestibular, é o que 
pode aparecer com certa frequência, 
exigindo conhecimento de equilíbrio de 
corpos extensos.
Dentre os assuntos mais abordados deste livro, 
pode aparecer com mais frequência questões sobre 
atrações gravitacionais, como entre satélites e a 
Terra, ou um certo planeta e o Sol.
Dentre os temas abordados neste livro, podem 
aparecer estática de ponto material, exigindo 
conhecimento de montar o diagrama de forças 
no corpo estudado, e, possivelmente, alguma 
questão sobre força gravitacional entre 
planetas, a Terra e o Sol.
A prova tem grande variação de temas, porém, 
podem aparecer questões relacionadas com 
forças gravitacionais.
A prova tem uma grande variação de 
temas. Eventualmente, pode aparecer o 
conteúdo de força gravitacional.
A prova tem uma grande variação de temas, 
porém, pode aparecer alguma questão 
relacionada à força gravitacional entre corpos 
e às leis de Kepler.
Dentre os temas deste livro, o mais frequente é 
estática de um corpo material, com aplicações 
do cotidiano, diferenciando os tipos de 
alavanca e aplicando o conceito de equilíbrio 
do corpo.
Dentre os assuntos mais abordados deste 
livro, pode aparecer com mais frequência 
questões sobre equilíbrio de corpos, que é 
o tema estática de corpos extensos, com 
questões mais objetivas.
Eventualmente, podem aparecer questões 
sobre estática de um ponto material, exigindo 
conhecimento de forças aplicadas em um 
corpo em equilíbrio.
A prova tem uma grande variação de temas. 
Eventualmente, podem aparecer questões so-
bre força gravitacional, exigindo conhecimento 
básico da gravitação.
A prova tem uma grande variação de temas, 
porém, podem aparecer questões relacionadas 
ao equilíbrio de forças em um corpo extenso, 
exigindo conceitos fundamentais do torque 
de forças.
A prova tem uma grande variação de temas, 
porém, pode aparecer alguma questão sobre 
força gravitacional.
A prova tem uma grande variação de 
temas, porém, podem aparecer questões 
sobre estática de ponto material, exigindo 
interpretação de desenhos.
A prova tem uma grande variação de temas. 
Eventualmente, podemaparecer questões 
sobre problemas de mecânica relacionados 
ao equilíbrio de um corpo considerado ponto 
material.
6
 Leis de KepLer
CompetênCias: 1, 5 e 6 Habilidades: 1, 17 e 20
AULAS 
45 e 46
1. As primeirAs teoriAs
Na Antiguidade, diferentes povos fizeram observações dos 
movimentos dos astros e, com algumas das regularidades 
observadas, dividiram, por exemplo, o ano em aproximada-
mente 365 dias. No entanto, essas civilizações apenas ob-
servavam e descreviam o movimento dos astros, sem pro-
por teorias que explicassem os movimentos observados. A 
partir do século VI a.C., os filósofos gregos propuseram as 
primeiras teorias para esses movimentos.
 As principais teorias propostas por eles se dividem em 
dois grupos: as geocêntricas e as heliocêntricas. Nas teo-
rias geocêntricas, a Terra ocuparia uma posição que seria 
o centro do Universo (o prefixo geo vem do grego ge, que 
significa “terra”), e todos os demais astros estariam giran-
do em torno da Terra. Nas teorias heliocêntricas, o centro 
do Universo seria ocupado pelo Sol (hélio vem do grego 
helios, que significa “Sol”), e a Lua, a Terra e os outros 
astros estariam girando em torno dele.
As teorias heliocêntricas foram abandonadas, por terem pou-
cos seguidores, uma vez que era muito difícil naquela época 
aceitar a ideia de que a Terra se movia. Outro fator impor-
tante foi que Aristóteles (384-322 a.C.), o filósofo de maior 
prestígio da Antiguidade, defendia uma teoria geocêntrica.
No século II, surgiu a teoria geocêntrica, que dominou o 
pensamento ocidental até o século XVI: a teoria de Cláudio 
Ptolomeu (d.C. 100-178).
2. o sistemA geocêntrico 
de ptolomeu
A figura apresenta um dos modelos geocêntricos anteri-
ores a Ptolomeu.
Nesse modelo, a Lua, o Sol e os cinco planetas conheci-
dos na época (Mercúrio, Vênus, Marte, Júpiter e Saturno) 
teriam órbitas circulares em torno da Terra (que não era 
considerada planeta), com movimentos uniformes. A cir-
cunferência mais externa seria uma casca esférica onde 
estariam fixadas as estrelas. Como o movimento da casca 
também seria uniforme, as estrelas se moveriam mantendo 
suas posições relativas, e, por isso, chamadas de estrelas 
fixas. Os outros astros teriam movimentos independentes 
uns dos outros, e cada um completaria uma volta em torno 
da Terra em tempos diferentes.
7
É importante notar que os telescópios ainda não tinham sido 
inventados (eles só apareceram no século XVII) e todas as 
observações eram feitas a olho nu. Assim, poucos astros eram 
conhecidos e divididos em dois grupos: as estrelas fixas e os 
planetas (o Sol e a Lua também eram considerados planetas), 
que se moviam independentemente uns dos outros (a pala-
vra planeta vem do grego planetes, que significa “errante”).
No entanto, verificou-se que o modelo da figura não expli-
cava os então observados movimentos dos planetas. Ptol-
omeu introduziu várias modificações na teoria existente, 
aprimorando esse modelo.
Uma das modificações feita por Ptolomeu foi a introdução 
do epiciclo (figura abaixo) para alguns planetas.
Com essa modificação, o planeta não orbitaria diretamente 
a Terra em uma trajetória circular, mas se moveria em uma 
órbita circular em torno do ponto A (chamado epicentro), e 
o epicentro por sua vez, teria uma órbita circular centrada 
na Terra. Para a órbita em torno do ponto A foi dado o 
nome epiciclo e à órbita do ponto A em torno da Terra foi 
dado o nome deferente.
A figura a seguir (esquerda) ilustra um dos casos em que 
foi necessário recorrer a mais de um epiciclo para se expli-
car o movimento do planeta.
Em outros casos, foi necessário supor que o centro da def-
erente fosse um ponto B, que não coincidia com o centro 
da Terra (figura anterior à direita). Além dessas, ainda out-
ras modificações foram feitas por Ptolomeu em sua teoria, 
que não mencionaremos aqui.
Esse modelo, proposto por Ptolomeu, apesar de complexo, 
explicava de forma aproximada os movimentos dos astros 
e, por isso, não foi contestado até meados do século XVI.
3. o modelo heliocêntrico 
de copérnico
No século XVI, o monge polonês Nicolau Copérnico (1473-
1543) apresentou um modelo do movimento dos astros. A 
figura apresenta um esquema simplificado desse modelo 
proposto por Copérnico, com os planetas orbitando o Sol.
Modelo siMplificado do sisteMa heliocêntrico de copérnico
No modelo de Copérnico, a Lua tem órbita em torno da 
Terra, a qual, além de orbitar o Sol em um ano também 
teria um movimento de rotação com período de 24 horas. 
A esfera das estrelas fixas ficaria imóvel e o movimento 
observado das estrelas seria devido à rotação da Terra.
Como mencionado, a figura ilustra simplificadamente o 
modelo. Como Ptolomeu, Copérnico também utilizou re-
cursos mais complexos (epiciclos etc.) para explicar alguns 
dos movimentos e, assim, seu modelo era tão complexo 
quanto o de Ptolomeu. Outra característica comum aos 
dois modelos é que ambos explicavam apenas aproxima-
damente os movimentos dos planetas.
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4. As leis de Kepler
O alemão Johannes Kepler (1571-1630) criou uma teoria 
mais precisa e simples que as teorias anteriores de Ptol-
omeu e Copérnico. Essa teoria foi publicada na forma de 
três leis, entre 1609 e 1619. Hoje, sabemos que essas três 
leis estão corretas.
4.1. Primeira Lei de Kepler
O sistema adotado por Kepler era heliocêntrico com a Lua 
girando em torno da Terra, a qual, juntamente com os ou-
tros planetas, obedeceria à seguinte lei:
Os planetas movem-se em trajetória elíptica, com o 
Sol na posição em um dos focos da elipse.
O periélio é o ponto da órbita (trajetória) que está mais pró-
ximo do Sol, e o afélio é o ponto que está mais afastado 
(figura acima).
Quando a Terra está no periélio é verão no hemisfério norte 
e inverno no hemisfério sul. O oposto ocorre quando a Terra 
está no afélio, isto é, é verão no hemisfério sul e inverno no 
hemisfério norte. Apesar de ser elíptica, a órbita da Terra pos-
sui pequena excentricidade, isto é, a trajetória é praticamente 
circular. Mas desse modo não deveria existir muita discrepân-
cia entre diferentes épocas do ano. Porém, o eixo de rotação 
da Terra é inclinado em relação ao plano da órbita e essa in-
clinação causa as diferentes estações do ano.
As órbitas dos planetas estão aproximadamente contidas em 
um mesmo plano, sendo o plano da órbita da Terra chama-
do plano da eclíptica. Como já mencionado para a órbita 
da Terra, as órbitas apesar de serem elipses têm pequenas 
excentricidades, isto é, são quase circunferências. A figura 
abaixo representa os oitos planetas conhecidos e o movi-
mento que fazem em torno do Sol.
Na época de Kepler, os planetas Urano e Netuno não eram 
conhecidos. Também, até o ano de 2006, admitia-se Plutão 
como um planeta do Sistema Solar. Porém, em um congres-
so da União Astronômica Internacional realizado naquele 
ano, ficou decidido que, por ter características diferentes 
daquelas dos outros planetas, Plutão passaria à categoria 
de planeta-anão.
4.2. Segunda Lei de Kepler
Como ilustrado pela figura, imagine uma linha ligando 
o Sol a um planeta. Após o movimento do planeta, por 
exemplo, entre P e P’, durante um intervalo de tempo Dt, 
essa linha percorre uma região do espaço caracterizando 
uma região de área A. Calculando a área A, “varrida pela 
linha” para vários intervalos de tempo, Kepler chegou à sua 
segunda lei:
A linha que liga o Sol a um planeta varre áreas iguais 
em intervalos de tempo iguais.
Uma consequência dessa lei é a velocidade variável do pla-
neta. Para mostrar essa consequência, comparemos a área 
A1 com a área A2 da figura abaixo. Para as áreas serem 
iguais, o arco BC deve ser maior do que o arco DE. Porém, 
se o planeta percorrer esses arcos no mesmo intervalo de 
tempo, é preciso que a velocidade do planeta no trecho BC 
seja mais rápida que no trecho DE. Portanto:
Primeira Lei de Kepler: Lei das Órbitas 
Elípticas
fonte: Youtube
multimídia: vídeo
9
a velocidade de uM planeta é variável. a velocidade auMenta à Medida que seaproxiMa do sol e diMinui à Medida que se afasta do sol.
De modo equivalente, o movimento de um planeta é acele-
rado à medida que vai do afélio para o periélio, e o movimen-
to é retardado à medida que vai do periélio para o afélio. De 
acordo com essa lei, é fácil perceber que, se a trajetória fosse 
exatamente circular, o movimento seria uniforme.
4.3. Terceira Lei de Kepler
Kepler também encontrou uma relação entre o período (T) 
de cada planeta, isto é, o tempo que cada planeta gasta 
para executar uma volta completa em torno do Sol e a me-
dida do semieixo maior (R) da elipse da órbita.
A relação obtida foi:
SolA
a a
planeta
A`
 T
2
 __ 
R3 
= constante
Essa relação expressa que o cubo da média da distância do 
planeta do Sol e o quadrado do período da órbita de um 
planeta são diretamente proporcionais.
Na tabela a seguir, apresentamos os valores de R, T e T
2
 __ 
R3
 
para os oito planetas que giram em torno do Sol.
Os dados da terceira Lei de Kepler para 
os planetas do Sistema Solar
Planeta
Período 
(anos)
Distância 
média ao Sol 
(UA ≅ 15.1010m)
Constante 
de Kepler
Mercúrio 0,24085 0,387 1,001
Vênus 0,61520 0,723 1,001
Terra 1,00000 1,000 1,000
Marte 1,88071 1,524 0,999
Júpiter 11,85654 5,203 0,9981
Saturno 29,44750 9,537 0,9997
Urano 84,01697 19,191 0,9987
Netuno 164,79124 30,069 0,9989
Como podemos observar, o valor de T
2
 __ 
R3 
é praticamente o 
mesmo para todos os planetas.
É interessante notar que as leis de Kepler valem para qual-
quer sistema semelhante ao Sistema Solar. Essas relações 
são válidas sempre que um corpo de massa “grande” é or-
bitado por corpos de massas “pequenas”, como na situação 
de um planeta e seus satélites.
A Terra tem apenas um satélite natural, que é a Lua. O planeta 
Saturno, por exemplo, tem vinte satélites que giram em torno 
dele, obedecendo, aproximadamente, às três leis de Kepler. Es-
sas leis aplicam-se também aos satélites artificiais que orbitam 
a Terra. Nesse caso, supõe-se, geralmente, que as órbitas são cir-
culares e, assim, o raio médio coincide com o raio R da trajetória.
Também é possível chegar a resultados próximos utilizan-
do-se o raio médio, em vez do do semieixo maior.
Segunda Lei de Kepler (Astronomia)
fonte: Youtube
multimídia: vídeo
Física - Gravitação - Leis de Kepler
fonte: Youtube
multimídia: vídeo
10
 Aplicação do conteúdo
1. Os semieixos maiores da órbita da Terra e da órbita 
de Marte em torno do Sol são 1,5 · 1011 m e 2,3 · 1011 
m, respectivamente. Calcule o período de translação de 
Marte, isto é, o tempo gasto para o planeta completar 
uma volta em torno do Sol.
Resolução:
Resumindo as informações apresentadas acima, temos:
TT = período de translação da Terra = 1 ano
TM = período de translação de Marte = ?
RT = medida de semieixo maior da órbita da Terra
RM = medida do semieixo maior da órbita de Marte
Pela terceira lei de Kepler, temos:
 
RM
3
 ___ 
TM
2 = 
RT
3
 ___ 
TT
2 → 
RM
3
 ___ 
RT
3 = 
TM
2
 ___ 
TT
2 → ( TM __ 1 ) 
2
 = ( 2,3 · 1011 _______ 1,5 · 1011 ) 
3
 
→ TM < 1,9 ano
2. (UFG) As estações do ano devem-se basicamente à 
inclinação do eixo de rotação da Terra, a qual possui 
um período de precessão próximo de 26.000 anos. Na 
época atual, os solstícios ocorrem próximos ao afé-
lio e ao periélio. Dessa maneira, o periélio ocorre no 
mês de dezembro, quando a distância Terra–Sol é de 
145 · 106 km, e a velocidade orbital da Terra é de 30 
km/s. Considere que, no afélio, a distância Terra–Sol é 
de 150 · 106 km. Nesse sentido, a velocidade de trans-
lação da Terra no afélio e o momento astronômico 
que caracteriza o início da respectiva estação do ano 
devem ser: 
a) 28 km/s durante o solstício de verão do hemisfério norte.
b) 29 km/s durante o solstício de inverno do hemisfério sul.
c) 29 km/s durante o equinócio de outono do hemisfério sul.
d) 31 km/s durante o equinócio de primavera do 
hemisfério sul.
e) 31 km/s durante o solstício de verão do hemisfério norte.
Resolução:
Dados: rA = 150 · 10
6 km; rP = 145 · 10
6 km; vP = 30 km/s
Considerando um intervalo de tempo bem pequeno na 
passagem da Terra pelo periélio e pelo afélio, os arcos (DSA 
e DSP) podem ser aproximados por segmentos de reta.
Pela segunda lei de Kepler, as duas áreas triangulares de-
marcadas (AA e AP), mostradas na figura, são iguais, de 
alturas aproximadamente iguais aos próprios raios.
Aplicando, então, a segunda lei e dividindo membro a 
membro por Dt:
AA = AP → DSA · rA = DSP · rP → 
DSA ___ 
Dt
 rA = 
DSp ___ 
Dt
 · rP
→ vA · rA = vP · rP →
→ vA = 
vP · rP ____ rA
 = 29 km/s
A figura mostra que a passagem no afélio caracteriza o 
solstício de inverno no hemisfério sul.
Logo, a resposta correta é a alternativa B.
3. (UFV) A figura ilustra dois satélites, S1 e S2, colocados 
em órbitas circulares, de raios R1 e R2, respectivamente, 
em torno da Terra.
Após análisar a figura, é CORRETO afirmar que: 
a) a aceleração é nula para S1 e S2.
b) a velocidade de S2 é maior que a velocidade de S1.
c) a aceleração de S2 é igual à aceleração de S1.
d) a aceleração de S2 é maior que a aceleração de S1.
e) a velocidade de S1 é maior que a velocidade de S2.
Resolução:
Segundo as leis de Kepler vistas anteriormente, quanto mais 
afastado um planeta está de sua estrela, maior será o perío-
do de revolução do mesmo, e menor sua velocidade. Dessa 
maneira, a velocidade de S1 é maior que a velocidade de S2.
Alternativa E
11
4. (UFPI)
Como ilustrado na figura, um planeta gira, em órbita 
elíptica, em torno do Sol. Considere as afirmações:
I. Na posição A, a quantidade de movimento linear do 
planeta tem módulo máximo.
II. Na posição C, a energia potencial do sistema (Sol + 
planeta) é máxima.
III. Na posição B, a energia total do sistema (Sol + pla-
neta) tem um valor intermediário, situado entre os cor-
respondentes valores em A e C.
Assinale a alternativa correta.
a) I e III são verdadeiras.
b) I e II são verdadeiras.
c) II e III são verdadeiras.
d) Apenas II é verdadeira.
e) Apenas I é verdadeira.
Resolução:
A primeira afirmação é correta, pois, no periélio, o planeta 
possui velocidade máxima, e, por consequência, o momen-
to linear tem valor máximo (momento linear é o produto da 
massa pela velocidade).
A segunda afirmação é correta, pois é nessa posição (afé-
lio) em que o planeta está mais afastado da estrela e pos-
sui menor velocidade, e, por consequência, menor energia 
cinética. Por conservação da energia mecânica, quanto 
menor a energia cinética, maior será a energia potencial.
A terceira afirmativa é falsa. A energia mecânica é constan-
te quando existem apenas forças conservativas. 
Alternativa B
Massas e períodos dos planetas 
em relação à Terra
Planeta Massa Período (área 
territorial)
Mercúrio 0,054 0,241
Vênus 0,814 0,815
Terra 1,000 1,080
Marte 0,107 1,881
Júpiter 317,45 11,865
Saturno 95,00 29,650
Urano 14,6 89,745
Neturno 17,6 165,951
Massa da Terra (M1) ≃ 5,98 ∙ 10
24 kg
Massa do Sol ≃ 333.000 MT ≃ 1,99 ∙ 10
30 kg
Massa da Lua ≃ 1 ____ 
81,3
 MT
 ≃ 7,3 ∙ 1022 kg
Período da Terra (1 ano terrestre) ≃ 365,2 dias
Período de rotação da Terra ≃ 23h 56 min 4s
Período da Lua em torno da Terra ≃ 27,3 dias
 Aplicação do conteúdo
1. (Fuvest) O grande mérito do sábio toscano estava 
exatamente na apresentação de suas conclusões na for-
ma de “leis” matemáticas do mundo natural. Ele não 
apenas defendia que o mundo era governado por essas 
“leis”, como também apresentava as que havia “desco-
berto” em suas investigações.
carlos Z. caMenietZki, Galileu eM sua órbita. 01/02/2014.
www.revistadehistoria.coM.br.
Considerando que o texto se refere a Galileu Galilei 
(1564-1642):
a) identifique uma das “leis” do mundo natural 
proposta por ele;
b) indique dois dos principais motivos pelos quais 
ele foi julgado pelo Tribunal da Inquisição. 
Resolução:
a) Galileu é um dos proponentes do heliocentrismo, 
teoria que previa a movimentação dos planetas 
ao redor do Sol.Galileu, por meio da observação, 
foi capaz de reforçar o discurso de outros sábi-
os, que estavam se tornando cientistas, no final 
da Idade Média e início da Idade Moderna.
b) Galileu foi julgado pela Inquisição por alguns 
motivos, entre eles a proposta do heliocentrismo, o 
que contrariava a visão de mundo da Igreja católica 
– defensora do geocentrismo. Outro motivo que 
podemos apontar é a forma de produção do con-
hecimento proposta por ele e seus pares. A noção 
de se produzir conhecimento a partir da observação 
(como o tempo de queda livre independer da 
massa) e usando instrumentos, tais como a luneta, 
e com um método próprio (o método científico), 
preocupava a Igreja católica que, naquele momen-
to, ainda era a maior detentora de conhecimentos 
capazes de explicar o funcionamento do universo.
2. (IFSP) Os planetas do Sistema Solar giram em tor-
no do Sol. A Terra, por exemplo, está a aproximada-
mente 150 milhões de km (1u.a.) do Sol e demora 
1 ano para dar uma volta em torno dele. A tabela a 
seguir traz algumas informações interessantes sobre 
o Sistema Solar.
12
Planeta Distância média 
ao Sol (u.a.)
Diâmetro 
equatorial (km)
Mercúrio 0,4 4.800
Vênus 0,7 12.000
Terra 1,0 13.000
Marte 1,5 6.700
Júpiter 5,2 140.000
Saturno 9,5 120.000
Urano 20,0 52.000
Netuno 30,0 49.000
De acordo com a tabela, a razão entre os diâmetros 
equatoriais de Júpiter e da Terra vale, aproximadamente: 
a) 10,8. 
b) 0,2. 
c) 0,9. 
d) 1,0. 
e) 5,2. 
Resolução:
A razão (r) pedida é:
r = 
DJ ___ 
DT
 = 140.000 ______ 
13.000
 = 140 ___ 
13
 ⇒ r ≅10,8
Alternativa A
3. (Udesc) Um satélite artificial, em uma órbita geoes-
tacionária em torno da Terra, tem um período de órbita 
de 24 h. Para outro satélite artificial, cujo período de 
órbita em torno da Terra é de 48 h, o raio de sua órbita, 
sendo RGeo o raio da órbita geoestacionária, é igual a: 
a) 3 ∙ RGeo. 
b) 31/4 ∙ RGeo. 
c) 2 ∙ RGeo. 
d) 41/3 ∙ RGeo. 
e) 4 ∙ RGeo. 
Resolução:
Aplicando a terceira lei de Kepler ao sistema Terra–satéli-
tes, podemos relacionar os períodos de revolução às suas 
distâncias médias em relação ao centro da Terra.
 
T 2 1 ___ 
R 3 1 
 = 
T 2 2 __ 
R 3 2 
 ⇒ (24 h)
2
 ______ 
R 3 Geo 
 = (48h)
2
 ____ 
R 3 2 
 ⇒ 
R2 = 
3
 √
______ 
 (48 h)
2 
 ______ 
(24 h)2
 · R3Geo ∴ R2 = 4
1/3 · RGeo
Alternativa D
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO.
Em seu livro O pequeno príncipe, Antoine de Saint-Exupéry 
imaginou haver vida em certo planeta ideal. Tal planeta teria 
dimensões curiosas e grandezas gravitacionais inimaginá-
veis na prática. Pesquisas científicas, entretanto, continuam 
sendo realizadas e não se descarta a possibilidade de haver 
mais planetas no sistema solar, além dos já conhecidos.
Imagine um hipotético planeta, distante do Sol 10 vezes 
mais longe do que a Terra se encontra desse astro, com 
massa 4 vezes maior que a terrestre e raio superficial igual 
à metade do raio da Terra. Considere a aceleração da gra-
vidade na superfície da Terra expressa por g. 
4. (FGV) Esse planeta completaria uma volta em torno 
do Sol em um tempo, expresso em anos terrestres, mais 
próximo de:
a) 10.
b) 14.
c) 17.
d) 28.
e) 32.
Resolução:
Sabendo que:
Rx = 10 . RT
TT = 1 ano
Tx = ?
Utilizando a terceira lei de Kepler:
 
Rx
3
 ___ 
Tx
2 = 
 
 
RT
2
 ___ 
TT
2 
 
(10 . RT)
3
 _______ 
Tx
2 = 
RT
3
 ___ 
12
 
 1000 ____ 
Tx
2 = 1
Tx
2 = 1000
Tx = √
_____
 1000 
Tx ≈ 32 anos
Alternativa E
multimídia: sites
educacao.globo.com/fisica/assunto/mecani-
ca/leis-de-kepler.html
www.algosobre.com.br/fisica/Regime Milita-
racao-universal.html
13
VIVENCIANDO
O bilionário sul-africano Elon Musk tem um plano audacioso: transformar a humanidade numa raça multiplanetária. 
Parte desse projeto é tornar o planeta Marte habitável para seres humanos. Recentemente, Musk publicou um artigo 
descrevendo uma espaçonave gigantesca que transportaria 100 pessoas até o planeta vermelho, para daqui um 
século tornar Marte um planeta habitável e sustentável.
A viagem interplanetária alimenta constantemente a imaginação de artistas e cientistas. Inspirado por um livro de 
ficção científica chamado Two Planets, e pela terceira lei de Kepler, o engenheiro alemão Walter Hohmann criou uma 
manobra para mover uma espaçonave entre duas órbitas diferentes, que é a rota mais eficiente para ir da Terra à 
Marte. As leis propostas por Kepler, apesar de serem criadas há muitos séculos, influenciam diretamente como enten-
demos os objetos espaciais, sejam criados por nós ou não.
órbita de transferência de hohMann (eM aMarelo): transferência entre duas órbitas aproxiMadaMente circulares. 
a órbita aZul é a da terra e a verMelha se refere à de Marte, aMbas coM o sol coMo centro.
14
Caracterizar causas ou efeitos dos movimentos de partículas, substâncias, objetos ou corpos celestes.
ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM
20
Habilidade
Essa habilidade cobra do aluno que seja capaz de descrever o movimento de corpos celestes. Especificamente nesta 
aula, o aluno deverá compreender o funcionamento das Leis de Kepler e como elas regem o movimento dos astros, 
desde o sistema solar até um conjunto de satélites artificiais que orbitam a Terra, por exemplo.
Modelo 1
(Enem) A característica que permite identificar um planeta no céu é o seu movimento relativo às estrelas fixas. Se obser-
varmos a posição de um planeta por vários dias, verificaremos que sua posição em relação às estrelas fixas se modifica 
regularmente. A figura destaca o movimento de Marte observado em intervalos de 10 dias, registrado da Terra.
 
Qual a causa da forma da trajetória do planeta Marte registrada na figura?
a) A maior velocidade orbital da Terra faz com que, em certas épocas, ela ultrapasse Marte.
b) A presença de outras estrelas faz com que sua trajetória seja desviada por meio da atração gravitacional.
c) A órbita de Marte, em torno do Sol, possui uma forma elíptica mais acentuada que a dos demais planetas.
d) A atração gravitacional entre a Terra e Marte faz com que este planeta apresente uma órbita irregular em torno do Sol.
e) A proximidade de Marte com Júpiter, em algumas épocas do ano, faz com que 
a atração gravitacional de Júpiter interfira em seu movimento.
Análise expositiva - Habilidade 20: Considerando órbitas circulares, a força gravitacional age como re-
sultante centrípeta. Sendo m a massa do planeta, M a massa do Sol e r o raio da órbita do planeta:A
15
Essa expressão final mostra que a velocidade orbital é inversamente proporcional à raiz quadrada do raio da 
órbita. Como a Terra está mais próxima do Sol que Marte, sua velocidade orbital é maior, possuindo, em conse-
quência, também maior velocidade angular e menor período.
 
A figura mostra seis posições da Terra e as seis correspondentes posições de Marte, bem como a trajetória de 
Marte para um observador situado na Terra. Os intervalos de tempo entre duas posições consecutivas são, apro-
ximadamente, iguais. Note que devido à maior velocidade orbital da Terra, da posição 1 até a 3, Marte parece 
avançar, de 3 a 5 ele parece regredir, tornando a avançar de 5 a 6. Aliás, esse fenômeno foi um dos grandes 
argumentos para que o heliocentrismo de Copérnico superasse o geocentrismo de Ptolomeu.
Alternativa A
Modelo 2
(Enem) Sabe-se que a posição em que o Sol nasce ou se põe no horizonte muda de acordo com a estação do ano. 
Olhando-se em direção ao poente, por exemplo, para um observador no Hemisfério Sul, o Sol se põe mais à direita 
no inverno do que no verão.
O fenômeno descrito deve-se à combinação de dois fatores: a inclinação do eixo de rotação terrestre e a:
a) precessão do periélio terrestre.
b) translação da Terra em torno do Sol.
c) nutação do eixo de rotação da Terra.
d) precessão do eixo de rotação da Terra.
e) rotação da Terra em torno de seu próprio eixo.
Análise expositiva - Habilidade 20: O fenômeno descrito depende também da posiçãorelativa entre os 
corpos celestes, ou seja, do movimento de translação da Terra em torno do Sol. 
Alternativa B
B
16
 DIAGRAMA DE IDEIAS
MODELOS/TEORIAS
HELIOCENTRISMO
Sol no centro: Copérnico
GEOCENTRISMO
Terra no centro: Ptolomeu
KEPLER
2.a LEI
lei das áreas
1.a LEI
lei das órbitas
3.a LEI
lei dos períodos
Órbita elíptica
Se A1 = A2, 
então ∆t1 = ∆t2
Sol em um 
dos focos vperiélio > vafélio
R3 CTE
=T
2
17
 Força gravitacional
CompetênCias: 5 e 6 Habilidades: 17 e 20
AULAS 
47 e 48
1. Introdução
Foi visto que a força-peso ou força gravitacional (da pala-
vra latina gravitas, que significa “peso”) é a força exercida 
pela Terra sobre corpos próximos a ela. Newton, no século 
XVII, apresentou uma compreensão mais profunda dessa 
força com sua lei da gravitação universal.
Depois de estudar as Leis de Kepler, Newton chegou a duas 
conclusões importantes:
 § As trajetórias dos planetas em torno do Sol são trajetó-
rias elípticas, o que indica que o Sol exerce uma força 
de atração em cada planeta.
 § As três Leis de Kepler podem ser explicadas pela 
seguinte relação:
Existe uma força de atração entre duas partículas 
de massa m1 e m2, cuja intensidade F é diretamente 
proporcional ao produto das massas e inversamente 
proporcional ao quadrado da distância R entre elas.
F = G · 
m1 · m2 ______ 
R2
 
R
Essa equação é a denominada lei da gravitação universal.
A constante de proporcionalidade G é denominada cons-
tante gravitacional universal e é determinada experi-
mentalmente. Seu valor no SI é:
G = 6,673 · 10-11
A unidade de G pode ser verificada a partir da equação: 
F = G · 
m1 · m2 ______ 
R2
 
G = F · R
2
 ______ m1 · m2
 
No SI, a unidade da força F é o newton (N), a unidade da 
distância R é o metro (m) e a unidade das massas m1 e m2 
é o quilograma (kg):
Unidade de G = N · m
2
 _____ 
kg2
 
Assim:
G = 6,673 · 10–11 N · m
2
 _____ 
kg2
 
Nota:
A palavra "universal", na expressão “lei da gravita-
ção universal” tem o sentido de indicar que a lei é 
válida para todos os corpos do Universo. Na época de 
Newton, essa ideia não era óbvia. Até o século XVII, a 
maior parte dos pensadores acreditava que os corpos 
celestes obedeciam a leis diferentes das que regem os 
corpos terrestres.
18
Pela lei da gravitação universal, tem-se:
F = G · 
mA · mB ______ 
R2
 = (6,7 · 10–11) · (8,0)(5,0) _______ 
(2,0)2
 = 
= 6,7 · 10–10 N
Ou seja:
F = 0,00000000067 N
Como é possível observar no exercício anterior, quando a 
massa dos objetos é pequena, a intensidade da força tam-
bém é muito pequena, tornando-se difícil de ser observada. 
Esse cenário é o que ocorre com os objetos no cotidiano: 
pessoas, automóveis, pedras, etc., estão continuamente 
se atraindo, mas com forças de intensidade desprezíveis. 
Somente quando um dos corpos tem massa “grande”, 
a força de atração gravitacional tem efeitos perceptíveis, 
como é o caso dos planetas, da Lua e do Sol. Para massas 
pequenas, a força tem valor pequeno devido ao valor de G 
ser muito pequeno. Dessa forma, a determinação de G em 
laboratório não é fácil, e tal feito foi realizado apenas em 
1798 pelo inglês Henry Cavendish (1731-1810), 71 anos 
depois da morte de Newton.
2. LeI da gravItação unIversaL 
e terceIra LeI de KepLer
A seguir, será obtida a terceira Lei de Kepler, a partir da lei 
da gravitação universal de Newton, para o caso particular 
em que a órbita (trajetória) do planeta é circular.
Como na figura a seguir, considere o movimento circular, 
de raio R, e uniforme, de um planeta de massa m em tor-
no do Sol (supostamente em repouso), cuja massa é M. A 
figura indica apenas a força gravitacional 
 __
 
›
 F exercida pelo 
Sol sobre o planeta; mas lembre-se de que também existe 
a força gravitacional – 
 __
 
›
 F , que o planeta exerce sobre o Sol.
R
A lei também é válida para corpos extensos, ainda que o 
cálculo seja mais complicado. Entretanto, para dois corpos 
esféricos em que a massa esteja distribuída de forma simé-
trica, a lei da gravitação universal pode ser utilizada, sendo 
R a distância entre os centros das esferas (figura a seguir).
R
Há duas considerações importantes sobre os movimentos 
dos planetas em torno do Sol:
 § De acordo com a lei da ação e reação, se o Sol exerce 
uma força de atração em um planeta, o planeta tam-
bém exerce uma força de atração sobre o Sol. Assim, 
o Sol sofre uma força de atração de cada um dos 
planetas do sistema solar e, portanto, não fica em 
repouso. No entanto, a massa do Sol é muito maior 
que a dos planetas, e, consequentemente, o movi-
mento do Sol é muito menor em comparação com o 
movimento dos planetas. Em geral, quando se tem 
um corpo de massa m girando em torno de um corpo 
de massa M, tais que M >> m (lê-se “M muito maior 
do que m”), admite-se que o corpo de massa M está 
praticamente em repouso.
 § Assim, os movimentos dos planetas também devem 
ser considerados com as forças de atração que existem 
entre cada par de planetas, além das forças que o Sol 
exerce em cada planeta.
 Aplicação do conteúdo
1. Calcule a intensidade das forças de atração entre 
duas bolas de aço A e B, homogêneas, de massa 8,0 kg 
e 5,0 kg, respectivamente, separadas por uma distância 
R = 2,0 m. Adote G = 6,7 ⋅ 10-11 Nm²/kg²
R
Resolução:
Tem-se mA = 8,0 kg, mB = 5,0 kg, R = 2,0 m e 
G = 6,7 · 10-11Nm²/kg².
19
Pela lei da gravitação universal, sabe-se que:
F = G · M · m _____ 
R2
 
Contudo, a força 
 __
 
›
 F é a resultante centrípeta que atua no 
planeta. Então, sendo v o módulo da velocidade do plane-
ta, tem-se:
F = m · v
2
 _____ 
R
 
Igualando as duas equações, resulta:
G · M · m _____ 
R2
 = m · v
2
 _____ 
R
 
v = dXXXXX G · M _____ R 
Essa equação determina a velocidade com que o planeta 
orbita o Sol. Note que a velocidade do planeta não depen-
de de sua massa, mas apenas de G, M e R.
O período T do movimento pode ser calculado por:
v = 2pR ____ 
T
 
Das equações anteriores, obtém-se:
 dXXXXX G · M _____ R = 2pR ____ T → G · M _____ R = 4p
2R2 _____ 
T2
 
ou ainda:
 R
3
 __ 
T2
 = G · M _____ 
4p2
 
A última expressão é a equação da terceira Lei de Kepler, uma 
vez que o termo G · M _____ 
4p2
 é constante para todos os planetas.
As equações anteriores podem ser utilizadas para o mo-
vimento de um corpo de massa pequena em torno de um 
corpo de massa M muito “grande”. Um exemplo dessa si-
tuação são os satélites (naturais ou artificiais) girando em 
torno de um planeta.
2.1. Satélite geoestacionário
Como foi visto, a terceira Lei de Kepler é válida para a órbi-
ta circular, de raior R, de um satélite artificial S em torno da 
Terra, cuja massa é M:
 R
3
 __ 
T2
 = G · M _____ 
4p2
 = constante
Essa equação determina que, independentemente da mas-
sa do satélite, para cada valor de R existe um período bem 
definido, T, da órbita.
Considere um satélite cuja órbita esteja no mesmo plano do 
equador da Terra e com movimento no mesmo sentido do 
movimento de rotação da Terra. Caso o período T do movi-
mento do satélite seja igual ao período de rotação da Terra, 
ou seja, 24 horas, o satélite será denominado geoesta-
cionário. Essa denominação se deve ao fato de que nessa 
situação um observador na Terra terá a impressão de que 
o satélite está parado no céu, ou seja, o satélite será visto 
sempre na mesma posição, como ilustra a figura a seguir.
As telecomunicações (televisão, telefonia, etc.) utili-
zam satélites geoestacionaários. Como ilustra a figura 
a seguir, um sinal enviado do ponto A para o satélite 
pode ser reemitido até o ponto B.
 
Introdução à Gravitação - Física Geral - Mecânica
Fonte: Youtube
multimídia: vídeo
20
2.2. Imponderabilidade
Uma nave espacial ou um satélite em órbita ao redor da 
Terra tem a velocidade dada pela equação:
v = dXXXXX G · M _____ R 
Sendo R o raio da órbita e M a massa da Terra. Como foi 
visto, a velocidade não depende da massa do satélite(ou 
da nave espacial). 
No caso de uma nave espacial, a velocidade da nave e de 
todos os objetos dentro da nave, incluindo os astronau-
tas, são as mesmas. Nessa situação, os astronautas têm a 
sensação de estarem flutuando. O que ocorre é chamado 
de imponderabilidade, ou seja, o peso de cada corpo faz o 
papel de força centrípeta, mantendo o movimento circular.
Os astronautas são devidamente treinados para se acos-
tumarem com a imponderabilidade. Eles são colocados 
dentro de um avião especial que, depois de atingir grande 
altitude, adquire a trajetória parabólica de queda livre, a 
mesma que seria seguida por um projétil sob ação apenas 
da gravidade. Obviamente, o experimento não dura muito 
tempo. Em geral, dura em torno de 20 segundos.
3. campo gravItacIonaL
Qualquer massa possui um campo gravitacional em seu 
entorno. A intensidade do campo é determinada pela 
massa. Quanto maior for a massa, maior será a inten-
sidade do campo. Nas proximidades da Terra, os corpos 
são atraídos para o centro do planeta devido ao cam-
po gravitacional terrestre. A força de atração, ou força 
gravitacional, provoca a variação da velocidade (uma 
aceleração) nos corpos em queda livre. Essa aceleração 
é uma característica específica do planeta, diretamente 
relacionada à quantidade de matéria (massa) que ele 
possui. Essa aceleração é denominada aceleração da 
gravidade, indicada pela letra g.
No caso do planeta Terra, de massa M e raio R, a força 
gravitacional 
 __
 
›
 F pela qual um corpo é atraído é o próprio 
peso 
 ___
 
›
 P do corpo.
F = P
G · M · m ______ 
(R + h)2
 = m · g
g = G · M ______ 
(R + h)2
 
Se o corpo está na superfície do planeta, então h = 0:
gsuperficie = G · 
M _____ 
R2
 
Força gravitacional
Fonte: Youtube
multimídia: vídeo
Observe na tabela a seguir o valor aproximado da aceleração da gravidade na superfície de alguns corpos celestes do sis-
tema solar.
Corpo 
celeste Lua Mercúrio Vênus Terra Marte Júpiter Saturno Urano Netuno Plutão
g (m/s2) 1,7 3,8 8,5 9,8 3,7 24,9 10,4 10,3 13,7 8,1
21
A aceleração da gravidade de um planeta depende tan-
to de sua massa quanto de seu raio. Por exemplo, a Lua 
possui massa 81 vezes menor que a massa da Terra e raio 
3,7 vezes menor. Por esse motivo, na superfície da Lua a 
aceleração da gravidade é de aproximadamente 1/6 da 
aceleração da gravidade na superfície da Terra.
Observe também que a aceleração da gravidade diminui 
com a altitutde, ou seja, à medida que se afasta da super-
fície do planeta. Para a Terra, a variação de g é dada pela 
tabela a seguir, para alguns valores de altitude.
Para o planeta Terra
Altitude (km) g (m/s2)
0 9,83
20 9,75
60 9,63
100 9,51
200 9,22
b) Para 250 km = 0,25 · 106 m de altitude, a acele-
ração vale:
g = G · M · m/(R + h)2 = 
 
6,67 · 10–11 · 5,98 · 10
24
 ___________ 
(6,37 + 0,25)2
 = 9,10 m/s2
Assim, o peso da nave é: 
P = m · g ä P = 120 · 103 · 9,10 ä 
ä P . 1092000 N ou P = 1,1 · 106 N
2. (UFSC) Quer subir de elevador até o espaço? Apesar de 
essa ideia já ter surgido há mais de 100 anos, um avanço 
em nanotecnologia pode significar que iremos de eleva-
dor até o espaço com um cabo feito de diamante ou de 
carbono. A empresa japonesa de construção Obayashi in-
vestiga a viabilidade de um elevador espacial, visando a 
uma estação espacial ligada ao equador por um cabo de 
96000 quilômetros feito de nanotecnologia de carbono, 
conforme a figura abaixo. A estação espacial orbitaria a 
Terra numa posição geoestacionária e carros robóticos 
com motores magnéticos levariam sete dias para alcan-
çar a estação espacial, transportando carga e pessoas 
até o espaço por uma fração dos custos atuais.
 
01) A estação espacial japonesa deve possuir movi-
mento circular ao redor da Terra com velocidade line-
ar igual à velocidade linear de rotação da superfície 
da Terra. 
02) As pessoas que visitarem a estação espacial po-
derão flutuar no seu interior porque lá não haverá 
atração gravitacional. 
04) A velocidade angular da estação espacial deve ser 
igual à velocidade angular de rotação da Terra. 
08) Um carro robótico terá, no trajeto da Terra até a 
estação espacial, vetor velocidade constante. 
16) O período do movimento da estação espacial ao 
redor da Terra deve ser igual ao período de rotação 
diária da Terra. 
32) A força de atração gravitacional da Terra será a 
força centrífuga, responsável por manter a estação 
espacial em órbita. 
64) O valor da aceleração da gravidade (g) na posição 
da estação espacial terá um módulo menor que seu 
valor na superfície da Terra. 
Considerando G o valor do campo gravitacional 
da Terra
Fonte: Youtube
multimídia: vídeo
 Aplicação do conteúdo
1. Supondo-se que a Terra seja uma esfera homogênea 
de raio 6.370 km e massa igual a 5,98 · 1024 kg, calcule:
a) a aceleração da gravidade na superfície da Terra;
b) o peso de uma nave de 120 t que esteja a 250 km 
de altitude.
Resolução:
a) Dados: G = 6,67 · 10–11 · m2/kg2; R = 6,37 · 106 m; 
M = 5,98 · 1024 kg.
A aceleração da gravidade na superfície é dada por:
g = G · M __ 
R2
 = 6,67 · 10–11 · 5,98 · 10
24
 ________ 
6,37 · 106
 = 9,83 m/s2
22
Resolução:
01) Falsa. A velocidade linear varia com o raio; por-
tanto, são as velocidades angular da estação e da 
superfície da Terra que seriam iguais.
02) Falsa. A atração gravitacional na estação espacial 
seria equivalente a 0,04g. Ainda haveria a sensação 
de imponderabilidade, mas com a gravidade reduzida.
04) Verdadeira. A velocidade angular seria a mes-
ma, pois o local da Terra onde o cabo estivesse an-
corado faria uma volta completa na sua rotação, no 
mesmo tempo da estação espacial.
08) Falsa. À medida que o carro subisse no cabo 
da Terra rumo à estação, mesmo que com velocidade 
de subida constante, a velocidade final seria a soma 
vetorial com a velocidade linear que aumenta com 
a altura. Com isso, a velocidade resultante também 
aumentaria.
16) Verdadeira. Como as velocidades angulares da 
estação espacial e da superfície da Terra são iguais, 
os períodos e frequências de rotação de ambos serão 
iguais entre si.
32) Falsa. A força responsável em manter a estação 
em órbita é a força centrípeta devido ao peso.
64) Verdadeira. Considerando o raio da Terra de 
aproximadamente 6.400 km, então a altura da esta-
ção equivale, em raios da Terra, a:
h(RT) = 
96000 _____ 
6400
 = 15 RT 
Como o peso equivale à força gravitacional:
P = Fg → mg = 
GMm _____ 
d2
 → g = GM _________ 
(RT + 15RT)
2 
g = GM ______ 
(16RT)
2 → g = 
GM _______ 
256(RT)
2 ∴ gest. = 
gsup. ___ 
256
 ≈ 0,004gsup.
Assim, a aceleração da gravidade sentida na estação es-
pacial seria aproximadamente de 0,4% da aceleração da 
gravidade da superfície da Terra. 
3. (IFBA) Considere que um satélite de massa = 5,0 kg 
seja colocado em órbita circular ao redor da Terra, a 
uma altitude h = 650 km. Sendo o raio da Terra igual a 
6.350 km, sua massa igual a 5,98 · 1024 kg e a constante 
de gravitação universal G = 6,67 · 10-11 N · m2 /Kg2 , o 
módulo da quantidade de movimento do satélite, em 
kg · m/s, é, aproximadamente, igual a: 
a) 7,6 × 103. d) 2,8 × 1011. 
b) 3,8 × 104. e) 5,6 × 1011. 
c) 8,0 × 104. 
Resolução:
A velocidade orbital é obtida igualando-se a força centrípe-
ta e a força gravitacional:
m · v2/R = G · M · m/R2 → v = √
_____
 G · M _____ 
R
 
A intensidade da quantidade de movimento linear é dada 
por:
Q = m · v → Q = m · √
_____
 G · M _____ 
R
 → 
 Q = 5kg · √
______
 
6,67 10-11 N · m2/kg2 · 5,98 · 1024kg
 ______ 
(650000 m + 6350000m)
 
Q = 37742,8 kg · m __ s = 3,8 · 10
4 kg · m __ s 
Alternativa B
4. (Acafe) A Nasa vem noticiando a descoberta de novos 
planetas em nosso sistema solar e, também, fora dele. 
Independente de estarem mais próximos ou mais afas-
tados de nós, eles devem obedecer às leis da gravitação 
e da Física. Dessa forma,vamos imaginar um planeta 
(P) girando em volta de sua estrela (E), ambos com as 
características apresentadas na tabela a seguir.
Objeto
 Característica
Planeta (P) Estrela (E)
Massa
Dobro da massa 
da Terra
Dobro da 
massa do Sol
Raio do objeto
Metade do 
raio da Terra
Mesmo raio 
do Sol
Raio da órbita 
(distância entre os 
centros de massa)
Triplo do raio 
da órbita da 
Terra ao Sol
---
Utilize o que foi exposto acima e os conhecimentos físicos 
para colocar V, quando verdadeiro, ou F, quando falso, 
nas proposições a seguir.
( ) A gravidade na superfície do planeta P é 8 vezes 
maior que a gravidade da superfície da Terra.
( ) A força gravitacional entre o planeta P e sua estre-
la (E) é 4/9 da força gravitacional entre a Terra e o Sol.
( ) A gravidade na superfície do planeta P é 4 vezes 
maior que a gravidade da superfície da Terra.
( ) A velocidade orbital (linear) do planeta P em torno 
da estrela (E) é √
__
 2 __ 
3
 da velocidade orbital da Terra em 
torno do Sol.
( ) A força gravitacional entre o planeta P e sua estre-
la (E) é maior que a força gravitacional entre a Terra 
e o Sol.
A sequência correta, de cima para baixo, é: 
a) F – F – V – V – V. 
b) V – V – F – V – F. 
c) F – V – V – F – F. 
d) V – F – V – F – V. 
Resolução:
Verdadeira. Fazendo a razão entre as forças gravitacio-
nais colocando os dados em função da Terra, tem-se:
23
 
Fp __ 
FT
 = 
 
2MT ______ 
(0,5RT)
2 
 ______ 
 
MT ____ 
(RT)
2 
 → 
Fp __ 
FT
 = 8 
Verdadeira. Fazendo a razão entre as forças gravitacionais 
dos planetas e sua estrela usando a referência da Terra:
 
FPE __ 
FTS
 = 
 
2Ms 2MT ______ 
(3R)2
 
 ______ 
 
MS · MT ____ 
(R)2
 
 → 
FPE __ 
FTS
 = 4 __ 
9
 
Falsa. Essa razão já foi calculada na primeira afirmativa.
Verdadeira. A velocidade orbital, quando aproximada a 
uma trajetória circular, fornece a seguinte expressão:
v = √
_____
 G · M _____ 
R
 
Em que G é a constante de gravitação universal, M é a 
massa da estrela, R é a distância entre os centros de massa 
e v é a velocidade orbital.
Assim, fazendo a razão entre as velocidades orbitais da Ter-
ra e do planeta P, tem-se:
 
vP __ vT
 = √
____
 
 
2MS ____ 
3R
 
 ____ 
 
MS ___ 
R
 
 ∴ 
vP __ vT
 = √
__
 2 __ 
3
 
Falsa. Foi determinado na segunda afirmativa.
Alternativa B
5. (UPE-SSA 1) Em 16 de julho de 2015, a equipe da 
Nasa, responsável pela sonda New Horizons, que tirou 
fotografias de Plutão, publicou a seguinte mensagem:
Uau! Acabamos de tirar mais de 1.200 fotos de Plutão. 
Vamos tentar ter mais algumas enquanto estamos na vizi-
nhança. #PlutoFlyBy
Disponível em: twitter.com, usuário: @nAsAnewHorizons. 
publicADo em 16 De julHo De 2015, trADuziDo e 
AcessADo em 19 De julHo De 2015.
Uma das fotografias mostrava uma cadeia de montanhas 
em sua superfície. Suponha que você é um participante da 
missão aqui na Terra e precisa auxiliar a equipe no cálcu-
lo da massa de Plutão. Assinale a alternativa que oferece 
o método de estimativa mais preciso na obtenção de sua 
massa. Para efeitos de simplificação, suponha que Plutão é 
rochoso, esférico e uniforme. 
a) Medir o seu raio e posicionar a sonda em órbita circu-
lar, em torno de Plutão, em uma distância orbital conhe-
cida, medindo ainda o período de revolução da sonda. 
b) Medir o seu raio e compará-lo com o raio de Júpi-
ter, relacionando, assim, suas massas. 
c) Observar a duração do seu ano em torno do Sol, es-
timando sua massa utilizando a terceira lei de Kepler. 
d) Medir a distância percorrida pela sonda, da Terra 
até Plutão, relacionando com o tempo que a luz do 
Sol leva para chegar a ambos. 
e) Utilizar a linha imaginária que liga o centro do Sol 
ao centro de Plutão, sabendo que ela percorre, em 
tempos iguais, áreas iguais. 
Resolução:
Para estimar a massa de Plutão, deve-se utilizar a lei da gravi-
tação universal de Newton e o seu princípio fundamental da 
dinâmica aplicada ao movimento circular uniforme do satélite:
F = ma (1) 
F = G M m ______ 
r2
 (2)
Para o MCU, a aceleração é centrípeta:
Substituindo (3) em (1) e igualando a (2), tem-se:
 4π
2r ____ 
T2
 = G M ____ 
r2
 
Isolando a massa de Plutão:
M = 4π
2 r3 _____ 
GT2
 
Com isso, para determinar a massa de um planeta, é preciso 
obter apenas a distância entre o satélite e o planeta para uma 
órbita circular, em MCU, e o período de cada volta completa. 
Alternativa A
6. (Epcar (Afa)) Considere a Terra um planeta esférico, ho-
mogêneo, de raio R, massa M concentrada no seu centro 
de massa e que gira em torno do seu eixo E com veloci-
dade angular constante ω isolada do resto do universo.
Um corpo de prova colocado sobre a superfície da Terra, em 
um ponto de latitude ϕ, descreverá uma trajetória circular de 
raio r e centro sobre o eixo E da Terra, conforme a figura abaixo. 
Nessas condições, o corpo de prova ficará sujeito a uma força 
de atração gravitacional F que admite duas componentes, uma 
centrípeta, Fcp, e outra que traduz o peso aparente do corpo, P.
 
24
Quando ϕ = 0º, então o corpo de prova está sobre a linha 
do equador e experimenta um valor aparente da acelera-
ção da gravidade igual a ge. Por outro lado, quando o corpo 
de prova se encontra em um dos polos, experimentando 
um valor aparente da aceleração da gravidade igual a gp. 
Sendo G a constante de gravitação universal, a razão 
ge __ gp
 vale: 
a) 1 – ω
2R3 ____ 
GM
 . 
b) 
(GM – ω2r)R2
 __________ 
GM
 . 
c) 1 – ω
2r ______ 
GM
 . 
d) GMR
2 – ω2r2 __________ 
GM
 . 
Resolução:
A força resultante centrípeta representa a diferença entre a 
força gravitacional e o peso aparente em cada localização 
no globo terrestre.
Fc = Fg – P 
Sendo,
Fg = G · M · m ________ 
R2
 
Então:
m · ω2 · r = G · M · m ________ 
R2 
 – m · g
Para o corpo no equador, tem-se r = R: 
m · ω2 · R = G · M · m ________ 
R2 
 – m · ge 
Isolando ge e simplificando:
ge = 
G · M _____ 
R2 
 – ω2 · R (1)
Para o corpo localizado em um dos polos: r = 0, e:
0 = G · M · m ________ 
R2
 – m · gp
Isolando gp e simplificando:
gp = 
G · M _____ 
R2
 (2)
Fazendo a razão (1) ___ 
(2)
 : 
 
ge __ gp
 = 
 G · M _____ 
R2
 – ω2 · R
 ___________ 
 G · M _____ 
R2
 
 → 
ge __ gp
 = 1 – ω
2 · R3 ______ 
G · M
 
Alternativa A
4. marés
Um dos fenômenos naturais mais conhecidos, a formação 
de marés, pode ser explicado pela força gravitacional.
Newton foi capaz de explicar satisfatoriamente o fenôme-
no: as marés são causadas pela atração gravitacional da 
Lua e do Sol sobre as águas.
Observe na imagem a seguir como a força gravitacional 
atua sobre a água: as marés altas ocorrem nas regiões que 
estão mais próximas do Sol e da Lua; nas demais regiões, 
ocorrem marés baixas. Durante o dia, há uma alternância 
entre maré alta e baixa a cada 6 horas em média.
Atração
gravitacional
da Lua
Atração
gravitacional
do Sol
Sol
Lua
Maré Alta
Maré Alta
Maré Baixa
Maré Baixa
multimídia: sites
www.respondeai.com.br/resumos/5/capitulos/1
www.if.ufrgs.br/cref/?area=questions&id=886
www.phet.colorado.edu/sims/html/gravity-for-
ce-lab/latest/gravity-force-lab_pt_BR.html
5. veLocIdade de escape
Para conseguir escapar do campo gravitacional terrestre, é 
preciso atingir uma velocidade mínima, denominada velo-
cidade de escape. Por conservação de energia, para escapar 
da Terra um objeto tem de ter energia cinética equivalente 
ao acréscimo de energia potencial resultante para mover-se 
para o infinito. A energia potencial gravitacional é dada por:
EPg = G · 
MT · m _____ 
R
 
25
Em que G é constante universal da gravidade;
MT é a massa da Terra;
m é a massa do corpo; e
R é o raio da Terra.
Igualando com a energia cinética, calcula-se a velocidade 
de escape ve:
Ec = EPg
 
m · VE
2
 _____ 
2
 = G · 
MT · m _____ 
R
 
V
E
2 = 2· 
G · MT _____ 
R
 
Existe uma força que sempre pode ser observada no dia a dia: a força gravitacional. As pessoas estão “presas” à 
Terra devido a essa força. E a Terra está orbitando ao redor do Sol devido à interação gravitacional. Assim, tudo o que 
existe na Terra está o tempo todo sob a ação dessa força, que, curiosamente, é a força menos intensa da natureza.
A força gravitacional é uma das quatro forças, ou interações, fundamentais do Universo. As outras são: a interação 
eletromagnética, que descreve os fenômenos elétricos e magnéticos; a força fraca, que descreve os processos de de-
caimentos radioativos; e a força forte, que produz os fenômenos que ocorrem a curta distância no interior do núcleo 
atômico e são responsáveis pela estabilidade nuclear dos átomos.
O surgimento do conceito de campo na Física mudou a concepção de como as forças agem. Cada partícula criava à 
sua volta uma perturbação, seu campo, que é sentido pelas outras partículas. Seguindo uma teoria quântica de campos 
(TCQ), cada uma das forças que existe na natureza é mediada pela troca de uma partícula, que é denominada mediado-
ra. Nas TCQ, são as mediadoras que transmitem a força entre uma partícula e outra. A força eletromagnética é mediada 
pelo fóton, a força forte, pelos glúons, e a força fraca, pelas partículas W e Z, que são denominadas bósons fracos.
As forças forte, fraca e eletromagnética são descritas pelo modelo padrão, que pode ser organizado como uma tabela peri-
ódica das partículas elementares. Apenas uma equação governa as interações de quarks e léptons (partículas de matéria) e 
bósons (partículas de força). Esse modelo teórico, desenvolvido e parcialmente confirmado ao longo do último século, ainda 
não é capaz de compatibilizar a força gravitacional com as demais interações, uma vez que a relatividade geral e a mecânica 
quântica se contradizem. Uma possibilidade de incorporação da força gravitacional no modelo padrão seria entender as inte-
rações gravitacionais como mediadas também por um bóson, chamado de gráviton. Uma dificuldade experimental da busca 
pelo gráviton seria a fraca intensidade da força gravitacional. Pode ser estranho afirmar que a força gravitacional é fraca, uma 
vez que ela é a força mais facilmente perceptível no dia a dia, mas isso só ocorre porque a Terra é gigantesca e possui uma 
quantidade incrível de massa. Em níveis atômicos, a gravidade é muitas ordens de grandeza menor do que as outras três forças.
Força (ou interação) 
fundamental
Intensidade relativa Teoria Mediador
Forte 1 Cromodinâmica quântica glúon
Eletromagnética 1/7 Eletrodinâmica quântica fóton
Fraca 10–6 Teoria eletrofraca W± e Z0
Gravitacional 6 × 10–39 Relatividade geral gráviton (não confirmado)
VIVENCIANDO
V
E
 = √
________
 
2 · G · MT ________ 
R
 
Substituindo G = 6,67 · 10-11 N · m
2
 _____ 
log
 , 
MT = 5,97 · 10
24 log, R = 6,37 · 106 m e calculando a ve-
locidade de escape:
VE ≅ 11,2 · 10
3 m/s
VE ≅ 11,2 km/s
26
ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM
Caracterizar causas ou efeitos dos movimentos de partículas, substâncias, objetos ou corpos celestes.20
Habilidade
O aluno deverá ser capaz de compreender teoricamente a teoria gravitacional de Newton e o movimento dos corpos 
celestes, explicando, dessa forma, a conclusão empírica desenvolvida por Kepler graças às suas observações.
Modelo 1
(Enem) Conhecer o movimento das marés é de suma importância para a navegação, pois permite definir com segu-
rança quando e onde um navio pode navegar em áreas, portos ou canais. Em média, as marés oscilam entre alta e 
baixa num período de 12 horas e 24 minutos. No conjunto de marés altas, existem algumas que são maiores do que 
as demais.
A ocorrência dessas maiores marés tem como causa: 
a) a rotação da Terra, que muda entre dia e noite a cada 12 horas;
b) os ventos marítimos, pois todos os corpos celestes se movimentam juntamente;
c) o alinhamento entre a Terra, a Lua e o Sol, pois as forças gravitacionais agem na mesma direção;
d) o deslocamento da Terra pelo espaço, pois a atração gravitacional da Lua e do Sol são semelhantes;
e) a maior influência da atração gravitacional do Sol sobre a Terra, pois este tem a massa muito maior que a da Lua.
Análise expositiva 1 - Habilidade 20: 
As marés ocorrem devido às forças gravitacionais de atração entre a Terra e a Lua e entre a Terra e o Sol. 
Portanto, quando os centros desses astros estão na mesma linha, nos pontos da superfície da Terra que 
estão sobre essa linha, a maré é ainda mais alta, sendo mais baixa nos pontos a 90º.
 
Ação DAs mArés, mostrADA De mAneirA exAgerADA pArA melHor entenDimento
A – situAção isopotenciAl (sem mAré); b – mAré lunAr; c – mAré lunissolAr
Alternativa C
C
27
Modelo 2
(Enem) A lei da gravitação universal, de Isaac Newton, estabelece a intensidade da força de atração entre duas mas-
sas. Ela é representada pela expressão:
F = G 
m1m2 _____ 
d2
 
onde m1 e m2 correspondem às massas dos corpos, d é a distância entre eles, G é a constante universal da gravitação 
e F é a força que um corpo exerce sobre o outro. O esquema representa as trajetórias circulares de cinco satélites, de 
mesma massa, orbitando a Terra.
 
Qual gráfico expressa as intensidades das forças que a Terra exerce sobre cada satélite em função do tempo?
a) 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
28
Análise expositiva 2 - Habilidade 20: 
A intensidade da força de atração gravitacional é inversamente proporcional ao quadrado da distância 
entre a Terra e o satélite. Como as órbitas são circulares, a distância para cada satélite é constante, sendo 
também constante a intensidade da força gravitacional sobre cada um. Como as massas são iguais, o sa-
télite mais distante sofre força de menor intensidade.
Assim: FA < FB < FC < FD < FE
Alternativa B
B
 DIAGRAMA DE IDEIAS
LEI DA GRAVITAÇÃO 
UNIVERSAL
FORÇA DE ATRAÇÃO 
ENTRE CORPOS
VELOCIDADE 
DA ÓRBITA
NEWTON + KEPLER
CAMPO 
GRAVITACIONAL
VELOCIDADE 
DE ESCAPE
|F| = GM⋅m
R2
v =
R
G⋅M
R3 G⋅M
T2 4π2
=
g =
G⋅M
(R+h)²
VE =
R
2⋅G⋅MT
Relação 
constante
Satélite 
estacionário
29
 Estática dE ponto matErial
CompetênCias: 5 e 6 Habilidades: 17 e 20
AULAS 
49 E 50
1. Equilíbrio Estático
Quando os objetos estão parados em relação à superfície 
da Terra, afirma-se que estão em uma condição de equi-
líbrio estático.
É possível verificar se um corpo está em equilíbrio estático 
a partir da primeira e da segunda lei de Newton. De acor-
do com essas leis, se a força resultante sobre um objeto 
for nula, sua velocidade permanecerá constante, isto é, a 
velocidade não se modificará. Caso um objeto esteja em 
repouso, o corpo se movimentará apenas quando a soma 
de todas as forças que atuam no corpo não for nula.
Nas situações em que mais de uma força atua sobre um 
corpo, uma vez que as linhas de ação de cada força se 
cruzam, o efeito final é equivalente a quando as forças são 
aplicadas num único ponto desse corpo. Assim, pode-se 
desconsiderar o tamanho do corpo, imaginando-o como 
um ponto sobre o qual todas as forças são aplicadas. Esse 
ponto é denominado ponto material.
A seguir, como exemplo do estudo de equilíbrio estático, 
será analisado o sistema corda-equilibrista, ilustrado na fi-
gura. Em cada instante, o equilibrista se apoia em um pon-
to da corda que o sustenta. Para analisar o equilíbrio de 
forças, é preciso verificar cada uma das forças que atuam 
sobre a corda. Para isso, é necessário estabelecer um siste-
ma de coordenadas cartesianas, o que permitirá decompor 
as forças nas direções de x e y e, em seguida, realizar a 
soma vetorial.
Decompondo as forças de tração 
 __
 
›
 T 1 e 
 __
 
›
 T 2 nos eixos ortogo-
nais, tem-se:
T1X = T1 · cos a e T1y = T1 · sen α
T2X = T2 · cos b e T2y = T2 · sen β
Se o sistema está em equilíbrio, a soma das forças em cada 
direção também é nula, ou seja:
FRx = SFx = 0 e FRy = SFy = 0
Para a direção x, a força resultante deve ser nula (FRx = 0):
FRx = T2x – T1x = 0
Amesma condição deve ser válida para a direção y, ou 
seja, a força resultante também deve ser nula (FRy = 0):
FRy = T2y – T1y – P = 0
Essas equações fornecem a relação entre as forças que 
atuam sobre o equilibrista na corda:
FRx = 0 ä T2x = T1x
FRx = 0 ä T2y – T1y = P
Se o peso do equilibrista for conhecido, e os ângulos a e 
b entre a corda e o plano estiverem na posição horizontal, 
será possível determinar a intensidade da força de tensão 
que atua sobre a corda enquanto o homem se equilibra.
2. condição dE Equilíbrio 
dE um ponto matErial
Foi visto que o equilíbrio de um ponto material ocorre 
quando a soma das forças que atuam sobre ele é nula. 
30
Adotanto um sistema de eixos x e y com origem no ponto 
A, para que o ponto A fique em equilíbrio, tem-se:
FR = 0 ä FRx = 0 e FRy = 0
Componentes na direção do eixo x:
T1x = T1 · cos 30º = 
 dXX 3 ___ 
2
 T1
T2x = T2 · cos 60º = 
T2 __ 
2
 
Px = P · cos 90º = P = 0
Assim, a resultante na direção do eixo x é FRx:
FRx = T1x – T2x
FRx = 
 dXX 3 ___ 
2
 T1 – 
T2 __ 
2
 
Componentes na direção do eixo y:
T1y = T1 · sen 30º = 
T1 __ 
2
 
T2y = T2 · sen 60º = 
 dXX 3 ___ 
2
 T2
Py = P · sen 90º = P · 1 = 100 N
E, então, a resultante na direção do eixo y é FRy:
FRy = T1y+ T2y– Py
FRy = + 
T1 __ 
2
 + 
dXX 3 ___ 
2
 T2 – 100
Utilizando a condição de equillíbrio, FRx = 0 e FRy = 0:
 
dXX 3 ___ 
2
 T1 – 
T2 __ 
2
 = 0
+ 
T1 __ 
2
 + 
dXX 3 ___ 
2
 T2 – 100 = 0
Resolvendo o sistema formado pelas duas equações, ob-
tém-se: T1 = 50 N e T2 = 50 dXX 3 N.
2.º modo: método do polígono 
Esse método de resolução será aplicado quando houver 
apenas três forças.
Deve-se procurar construir um polígono fechado com as 
três forças; para isso, é preciso deslocar os pontos de apli-
cação de P e T2:
Assim, o equilíbrio pode ser classificado em:
 § equilíbrio estático: o ponto material está em repou-
so ( 
 __
 
›
 v = 
 ___
 
›
 0 );
 § equilíbrio dinâmico: o ponto material está em movi-
mento constante ( 
 __
 
›
 v = constante ≠ 
 ___
 
›
 0 ).
Dessa forma, independentemente do tipo de equilíbrio, se 
a velocidade vetorial for constante, a aceleração vetorial 
 ___
 
›
 a 
será nula. Portanto, se um ponto material estiver em equilí-
brio, será necessário e suficiente que a resultante de forças 
que atuam sobre ele seja nula.
ponto material em equilíbrio ä FR = 0
Fisica - Estática - Estática do Ponto Material
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 Aplicação do conteúdo
1. Um corpo de peso 100 N é mantido em equilíbrio 
pendurado por dois fios, como ilustra a figura. Deter-
mine as intensidades das trações nos fios, admitindo-os 
ideais (inextensíveis e de massas desprezíveis).
Resolução:
É possível resolver o problema de dois modos.
1.º modo: isolando o ponto A
Nesse caso, três forças atuam no ponto A: 
 __
 
›
 T 1, 
 __
 
›
 T 2 e 
 ___
 
›
 P .
31
Aplicando a lei dos senos ao triângulo formado (em todo 
triângulo as medidas dos lados são proporcionais aos se-
nos dos ângulos opostos), tem-se:
 
T1 ______ 
sen 30°
 = 
T2 ______ 
sen 60°
 = 
T3 ______ 
sen 90°
 
 
T1 __ 
 1 __ 
2
 
 = 
T2 ___ 
 
dXX 3 ___ 
2
 
 = 100 ___ 
1
 
A partir dessa expressão, é possível obter duas igualdades:
 
T1 __ 
 1 __ 
2
 
 = 100 ___ 
1
 
T1 = 50 N
e
 
T2 ___ 
 
dXX 3 ___ 
2
 
 = 100 ___ 
1
 
T2 = 50 dXX 3 N
3. cEntro dE massa
O ponto no qual é possível considerar que toda a massa 
se concentra é denominado o centro de massa ou centro 
de gravidade de um corpo. Por exemplo, se um corpo é 
homogêneo, seu centro de massa (CM) coincide com o seu 
centro geométrico (GM).
 
CG ⇒ CM
cubo homogêneo
Quando um corpo é lançado obliquamente, seu centro de 
massa descreve a mesma trajetória que uma partícula lan-
çada com a mesma velocidade inicial, com o mesmo ângulo.
Para o caso em que se tem um sistema de pontos materiais 
P1, P2, P3,...,Pn de massas m1, m2, m3,..., mn, respectivamente.
P1
Pn
P2
P3
y
x
Sejam as coordenadas do ponto P1 = (x1y1), de P2 = (x2, y3), até 
Pn = (xn, yn), segue que as coordenadas do centro de massa são:
xCM = 
m1 . x1 + m2 . x2 + m3 . x3 + ... + mn . xn _____________________________ m1 + m2 + m3 + ... + mn
 
yCM = 
m1 . y1 + m2 . y2 + m3 . y3 + ... + mn . yn ___________________________ m1 + m2 + m3 + ... + mn
 
Estática do corpo rígido - Mãozinha em Física 023
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32
4. classificação dos 
difErEntEs tipos dE Equilíbrio
O equilíbrio de um corpo pode ser estável, instável ou indi-
ferente. Para exemplificar cada um desses tipos, considere 
uma placa com centro de gravidade indicado pela sigla 
“CG” e que esteja suspensa pelo ponto O. 
Se a placa estiver em uma posição de equilíbrio, as forças 
que agem na placa, que são o peso P, aplicado no centro 
de gravidade CG, e a força de suspensão F, aplicada em O, 
deverão ser opostas; para que isso seja possível, o ponto de 
suspensão O e o centro de gravidade CG deverão pertencer 
à mesma reta vertical.
Caso a placa seja deslocada ligeiramente da posição de 
equilíbrio, girando-a em torno de O e abandonando-a em se-
guida, a placa se movimentará de modo a retornar à posição 
de equilíbrio. Nesse caso, afirma-se que o equilíbrio é estável.
No equilíbrio estável, o centro de gravidade CG está abai-
xo do ponto de suspensão O. A figura anterior ilustra uma 
placa deslocada da posição de equilíbrio estável (indicado 
pelo retângulo tracejado). A placa girará em torno do pon-
to O até se equilibrar novamente.
Se o centro de gravidade estiver acima do centro de suspen-
são, o equilíbrio será instável. Nesse caso, qualquer desvio 
da placa da posição de equilíbrio, girando-a em torno de O e 
abandonando-a em seguida, fará com que a placa se movi-
mente e se afaste ainda mais da posição de equilíbrio.
Se o centro de gravidade coincidir com o ponto de suspen-
são, o equilíbrio será indiferente. Nesse caso, ao movimen-
tar a placa, girando-a em torno do ponto O, ela permane-
cerá em equilíbrio na nova posição, qualquer que seja a 
nova posição.
As situações de equilíbrio podem ser compreendidas por 
meio dos exemplos de uma pequena esfera sobre três su-
perfícies com características distintas:
 § No equilíbrio instável, ao retirar o corpo da sua posição 
de equilíbrio, o corpo se afasta ainda mais dela quando 
abandonado.
 § No equilíbrio estável, o corpo retorna à posição de 
equilíbrio ao ser deslocado e abandonado da posição 
de equilíbrio.
 § No equilíbrio indiferente, ao ser deslocado, o objeto 
permanece em equilíbrio na nova posição em que 
foi deslocado.
Equilíbrio instável Equilíbrio estável Equilíbrio indiferente
Equilíbrio instável Equilíbrio estável Equilíbrio indiferente
Equilíbrio instável Equilíbrio estável Equilíbrio indiferente
33
 Aplicação do conteúdo
1. (Espcex (Aman)) Um cilindro maciço e homogêneo 
de peso igual a 1.000 N encontra-se apoiado, em equi-
líbrio, sobre uma estrutura composta de duas peças 
rígidas e iguais, DB e EA, de pesos desprezíveis, que 
formam entre si um ângulo de 90º e estão unidas por 
um eixo articulado em C. As extremidades A e B estão 
apoiadas em um solo plano e horizontal. O eixo divide 
as peças de tal modo que DC = EC e CA = CB, conforme 
a figura a seguir.
 
Um cabo inextensível e de massa desprezível encontra-se 
na posição horizontal em relação ao solo, unindo as extre-
midades D e E das duas peças. Desprezando o atrito no 
eixo articulado e o atrito das peças com o solo e do cilindro 
com as peças, a tensão no cabo DE é:
Dados: cos 45º = sen45º = √
__
 2 __ 
2
 
g é a aceleração da gravidade
a) 200 N. 
b) 400 N. 
c) 500 N. 
d) 600 N. 
e) 700 N. 
Resolução:
Decompondo as forças que estão atuando na bola, segue que:
 
 
Em que,
NDY = ND ⋅ sen(45º) – comp. vertical de ND
NEY = NE ⋅ sen(45º) – comp. vertical de NE 
Sabe-se que, devido ao ângulo formado entre os apoios