Física - Teórico_VOLUME5

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Caro aluno 
Ao elaborar o seu material inovador, completo e moderno, o Hexag considerou como principal diferencial sua exclusiva metodologia em pe-
ríodo integral, com aulas e Estudo Orientado (E.O.), e seu plantão de dúvidas personalizado. O material didático é composto por 6 cadernos 
de aula e 107 livros, totalizando uma coleção com 113 exemplares. O conteúdo dos livros é organizado por aulas temáticas. Cada assunto 
contém uma rica teoria que contempla, de forma objetiva e transversal, as reais necessidades dos alunos, dispensando qualquer tipo de 
material alternativo complementar. Para melhorar a aprendizagem, as aulas possuem seções específicas com determinadas finalidades. A 
seguir, apresentamos cada seção:
No decorrer das teorias apresentadas, oferecemos uma cuidadosa 
seleção de conteúdos multimídia para complementar o repertório 
do aluno, apresentada em boxes para facilitar a compreensão, com 
indicação de vídeos, sites, filmes, músicas, livros, etc. Tudo isso é en-
contrado em subcategorias que facilitam o aprofundamento nos 
temas estudados – há obras de arte, poemas, imagens, artigos e até 
sugestões de aplicativos que facilitam os estudos, com conteúdos 
essenciais para ampliar as habilidades de análise e reflexão crítica, 
em uma seleção realizada com finos critérios para apurar ainda mais 
o conhecimento do nosso aluno.
multimídia
Um dos grandes problemas do conhecimento acadêmico é o seu 
distanciamento da realidade cotidiana, o que dificulta a compreensão 
de determinados conceitos e impede o aprofundamento nos temas 
para além da superficial memorização de fórmulas ou regras. Para 
evitar bloqueios na aprendizagem dos conteúdos, foi desenvolvida 
a seção “Vivenciando“. Como o próprio nome já aponta, há uma 
preocupação em levar aos nossos alunos a clareza das relações entre 
aquilo que eles aprendem e aquilo com que eles têm contato em 
seu dia a dia.
vivenciando
Sabendo que o Enem tem o objetivo de avaliar o desempenho ao 
fim da escolaridade básica, organizamos essa seção para que o 
aluno conheça as diversas habilidades e competências abordadas 
na prova. Os livros da “Coleção Vestibulares de Medicina” contêm, 
a cada aula, algumas dessas habilidades. No compilado “Áreas de 
Conhecimento do Enem” há modelos de exercícios que não são 
apenas resolvidos, mas também analisados de maneira expositiva 
e descritos passo a passo à luz das habilidades estudadas no dia. 
Esse recurso constrói para o estudante um roteiro para ajudá-lo a 
apurar as questões na prática, a identificá-las na prova e a resolvê-
-las com tranquilidade.
áreas de conhecimento do Enem
Cada pessoa tem sua própria forma de aprendizado. Por isso, cria-
mos para os nossos alunos o máximo de recursos para orientá-los 
em suas trajetórias. Um deles é o ”Diagrama de Ideias”, para aque-
les que aprendem visualmente os conteúdos e processos por meio 
de esquemas cognitivos, mapas mentais e fluxogramas.
Além disso, esse compilado é um resumo de todo o conteúdo 
da aula. Por meio dele, pode-se fazer uma rápida consulta aos 
principais conteúdos ensinados no dia, o que facilita a organiza-
ção dos estudos e até a resolução dos exercícios.
diagrama de ideias
Atento às constantes mudanças dos grandes vestibulares, é ela-
borada, a cada aula e sempre que possível, uma seção que trata 
de interdisciplinaridade. As questões dos vestibulares atuais não 
exigem mais dos candidatos apenas o puro conhecimento dos 
conteúdos de cada área, de cada disciplina.
Atualmente há muitas perguntas interdisciplinares que abrangem 
conteúdos de diferentes áreas em uma mesma questão, como Bio-
logia e Química, História e Geografia, Biologia e Matemática, entre 
outras. Nesse espaço, o aluno inicia o contato com essa realidade 
por meio de explicações que relacionam a aula do dia com aulas 
de outras disciplinas e conteúdos de outros livros, sempre utilizan-
do temas da atualidade. Assim, o aluno consegue entender que 
cada disciplina não existe de forma isolada, mas faz parte de uma 
grande engrenagem no mundo em que ele vive.
conexão entre disciplinas
Herlan Fellini
De forma simples, resumida e dinâmica, essa seção foi desenvol-
vida para sinalizar os assuntos mais abordados no Enem e nos 
principais vestibulares voltados para o curso de Medicina em todo 
o território nacional.
incidência do tema nas principais provas
Todo o desenvolvimento dos conteúdos teóricos de cada coleção 
tem como principal objetivo apoiar o aluno na resolução das ques-
tões propostas. Os textos dos livros são de fácil compreensão, com-
pletos e organizados. Além disso, contam com imagens ilustrativas 
que complementam as explicações dadas em sala de aula. Qua-
dros, mapas e organogramas, em cores nítidas, também são usados 
e compõem um conjunto abrangente de informações para o aluno 
que vai se dedicar à rotina intensa de estudos.
teoria
Essa seção foi desenvolvida com foco nas disciplinas que fazem 
parte das Ciências da Natureza e da Matemática. Nos compilados, 
deparamos-nos com modelos de exercícios resolvidos e comenta-
dos, fazendo com que aquilo que pareça abstrato e de difícil com-
preensão torne-se mais acessível e de bom entendimento aos olhos 
do aluno. Por meio dessas resoluções, é possível rever, a qualquer 
momento, as explicações dadas em sala de aula.
aplicação do conteúdo
2
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Herlan Fellini
Felipe Filatte
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SUMÁRIO
FÍSICA
MECÂNICA
ONDULATÓRIA
ELETROMAGNETISMO
Aulas 35 e 36: Trabalho, potência e rendimento  6
Aulas 37 e 38: Energias cinética, potencial e mecânica  19
Aulas 39 e 40: Energia mecânica  29
Aulas 41 e 42: Impulso e quantidade de movimento  42
Aulas 43 e 44: Conservação da quantidade de movimento  49
Aulas 35 e 36: Movimento harmônico simples  62
Aulas 37 e 38: Introdução à ondulatória 72
Aulas 39 e 40: Fenômenos ondulatórios 83
Aulas 41 e 42: Acústica 98
Aulas 43 e 44: Tubos e cordas  112
Aulas 35 e 36: Leis de Kirchhoff 124
Aulas 37 e 38: Campo magnético: ímã 133
Aulas 39 e 40: Campo magnético gerado por uma corrente 140
Aulas 41 e 42: Força magnética em partículas 149
Aulas 43 e 44: Força magnética em fios  159
4
Competência 1 – Compreender as ciências naturais e as tecnologias a elas associadas como construções humanas, percebendo seus papéis nos 
processos de produção e no desenvolvimento econômico e social da humanidade.
H1 Reconhecer características ou propriedades de fenômenos ondulatórios ou oscilatórios, relacionando-os a seus usos em diferentescontextos.
H2 Associar a solução de problemas de comunicação, transporte, saúde ou outro, com o correspondente desenvolvimento científico e tecnológico. 
H3 Confrontar interpretações científicas com interpretações baseadas no senso comum, ao longo do tempo ou em diferentes culturas.
H4
Avaliar propostas de intervenção no ambiente, considerando a qualidade da vida humana ou medidas de conservação, recuperação ou utilização sustentável 
da biodiversidade.
Competência 2 – Identificar a presença e aplicar as tecnologias associadas às ciências naturais em diferentes contextos.
H5 Dimensionar circuitos ou dispositivos elétricos de uso cotidiano.
H6 Relacionar informações para compreender manuais de instalação ou utilização de aparelhos, ou sistemas tecnológicos de uso comum.
H7
Selecionar testes de controle, parâmetros ou critérios para a comparação de materiais e produtos, tendo em vista a defesa do consumidor, a saúde do 
trabalhador ou a qualidade de vida.
Competência 3 – Associar intervenções que resultam em degradação ou conservação ambiental a processos produtivos e sociais e a instrumen-
tos ou ações científico-tecnológicos.
H8
Identificar etapas em processos de obtenção, transformação, utilização ou reciclagem de recursos naturais, energéticos ou matérias-primas, considerando 
processos biológicos, químicos ou físicos neles envolvidos.
H9
Compreender a importância dos ciclos biogeoquímicos ou do fluxo energia para a vida, ou da ação de agentes ou fenômenos que podem causar alterações 
nesses processos.
H10 Analisar perturbações ambientais, identificando fontes, transporte e(ou) destino dos poluentes ou prevendo efeitos em sistemas naturais, produtivos ou sociais.
H11
Reconhecer benefícios, limitações e aspectos éticos da biotecnologia, considerando estruturas e processos biológicos envolvidos em produtos biotecnológi-
cos.
H12 Avaliar impactos em ambientes naturais decorrentes de atividades sociais ou econômicas, considerando interesses contraditórios.
Competência 4 – Compreender interações entre organismos e ambiente, em particular aquelas relacionadas à saúde humana, relacionando 
conhecimentos científicos, aspectos culturais e características individuais.
H13 Reconhecer mecanismos de transmissão da vida, prevendo ou explicando a manifestação de características dos seres vivos.
H14
Identificar padrões em fenômenos e processos vitais dos organismos, como manutenção do equilíbrio interno, defesa, relações com o ambiente, sexualidade, 
entre outros.
H15 Interpretar modelos e experimentos para explicar fenômenos ou processos biológicos em qualquer nível de organização dos sistemas biológicos.
H16 Compreender o papel da evolução na produção de padrões, processos biológicos ou na organização taxonômica dos seres vivos.
Competência 5 – Entender métodos e procedimentos próprios das ciências naturais e aplicá-los em diferentes contextos.
H17
Relacionar informações apresentadas em diferentes formas de linguagem e representação usadas nas ciências físicas, químicas ou biológicas, como texto 
discursivo, gráficos, tabelas, relações matemáticas ou linguagem simbólica.
H18 Relacionar propriedades físicas, químicas ou biológicas de produtos, sistemas ou procedimentos tecnológicos às finalidades a que se destinam.
H19
Avaliar métodos, processos ou procedimentos das ciências naturais que contribuam para diagnosticar ou solucionar problemas de ordem social, econômica 
ou ambiental.
Competência 6 – Apropriar-se de conhecimentos da física para, em situações problema, interpretar, avaliar ou planejar intervenções científi-
co-tecnológicas.
H20 Caracterizar causas ou efeitos dos movimentos de partículas, substâncias, objetos ou corpos celestes.
H21 Utilizar leis físicas e (ou) químicas para interpretar processos naturais ou tecnológicos inseridos no contexto da termodinâmica e(ou) do eletromagnetismo.
H22
Compreender fenômenos decorrentes da interação entre a radiação e a matéria em suas manifestações em processos naturais ou tecnológicos, ou em suas 
implicações biológicas, sociais, econômicas ou ambientais.
H23
Avaliar possibilidades de geração, uso ou transformação de energia em ambientes específicos, considerando implicações éticas, ambientais, sociais e/ou 
econômicas.
Competência 7 – Apropriar-se de conhecimentos da química para, em situações problema, interpretar, avaliar ou planejar intervenções científi-
co-tecnológicas.
H24 Utilizar códigos e nomenclatura da química para caracterizar materiais, substâncias ou transformações químicas
H25
Caracterizar materiais ou substâncias, identificando etapas, rendimentos ou implicações biológicas, sociais, econômicas ou ambientais de sua obtenção ou 
produção.
H26
Avaliar implicações sociais, ambientais e/ou econômicas na produção ou no consumo de recursos energéticos ou minerais, identificando transformações 
químicas ou de energia envolvidas nesses processos.
H27 Avaliar propostas de intervenção no meio ambiente aplicando conhecimentos químicos, observando riscos ou benefícios.
Competência 8 – Apropriar-se de conhecimentos da biologia para, em situações problema, interpretar, avaliar ou planejar intervenções científico 
tecnológicas.
H28
Associar características adaptativas dos organismos com seu modo de vida ou com seus limites de distribuição em diferentes ambientes, em especial em 
ambientes brasileiros.
H29
Interpretar experimentos ou técnicas que utilizam seres vivos, analisando implicações para o ambiente, a saúde, a produção de alimentos, matérias primas 
ou produtos industriais.
H30
Avaliar propostas de alcance individual ou coletivo, identificando aquelas que visam à preservação e a implementação da saúde individual, coletiva ou do 
ambiente.
5
MECÂNICA: Incidência do tema nas principais provas
UFMG
O tema energia mecânica é recorrente na prova, 
relacionado com outros temas da Física.
Dentre os temas abordados neste livro, 
os de maiores incidência na prova são 
conservação da quantidade de movimento 
e energia mecânica.
Os temas conservação da quantidade de movimento 
e energia mecânica são recorrentes na prova.
Dentre os temas abordados neste livro, pode 
aparecer energia mecânica relacionada com 
movimento uniformemente acelerado (MRUV), 
exigindo do candidato conhecimento das 
equações.
A prova tem uma grande variação de temas, 
porém, os conteúdos impulso de uma força e 
conservação de energia podem aparecer.
A prova tem uma grande variação de 
temas. Eventualmente, podem aparecer 
trabalho de uma força e conservação de 
energia mecânica, com questões bem 
objetivas.
A prova tem uma grande variação de temas, 
porém, conservação da quantidade de 
movimento e energia aparecem com alguma 
frequência.
A prova sempre explora o tema energia e suas 
aplicações, com questões interdisciplinares 
que envolvem diversos tipos de energia, como 
potencial e cinética.
O tema energia mecânica é recorrente 
na prova.
Eventualmente, podem aparecer questões 
sobre quantidade de movimento e energia 
cinética de corpos.
A prova tem uma grande variação de temas. 
Eventualmente, podem aparecer trabalho de 
uma força e energia mecânica, com questões 
bem objetivas.
A prova tem uma grande variação de temas, 
porém, podem aparecer questões sobre 
conservação de energia mecânica e trabalho 
de forças em um corpo.
A prova tem uma grande variação de temas, 
porém, pode aparecer uma questão sobre 
conservação de energia.
A prova tem uma grande variação de 
temas, porém, há certa frequência de 
questões sobre energia mecânica, com 
questões que exigem análise dos movi-
mentos por meio de gráficos.
A prova tem uma grande variação de temas. 
Eventualmente, podem aparecer questões 
sobre problemas de mecânica que relacionam 
energia, velocidade e posição dos corpos, 
exigindo um alto nível de manipulações em 
equações horárias de movimento.
6
 Trabalho, poTência e rendimenTo
CompetênCias: 3, 5 e 6 Habilidades: 8, 17 e 23
AULAS 
35 e 36
1. Trabalho de uma força consTanTe
O corpo ilustrado na figura a seguirse desloca em uma trajetória retilínea. O deslocamento do corpo é 
 ___
 
›
 d . Considere uma 
força 
 __
 
›
 F constante atuando no corpo, isto é, o módulo, a direção e o sentido da força são constantes, ainda que essa força 
seja aplicada sob um ângulo q em relação ao deslocamento 
 ___
 
›
 d . O trabalho da força 
 __
 
›
 F é representado pela letra grega t 
(lê-se “tau”) e é definido por:
t = F ∙ d ∙ cos q
No SI, a unidade de trabalho é o joule, cujo símbolo é J.
O fator cos q é adimensional, ou seja, não tem unidade. Assim:
(unidade de t) = (unidade de F) ⋅ (unidade de d)
J = N ⋅ m
Dessa forma, 1 J é igual ao produto de 1 N por 1 m.
O valor de cos q varia de –1 a 1, dependendo do ângulo q, de modo que é possível separar a equação do trabalho em duas situ-
ações, uma delas considerando o ângulo q agudo, ou seja, 0 < q < 90º; nesse caso, cos q > 0, e, portanto, o trabalho será positivo.
<
Para um ângulo q obtuso, ou seja, 90º < q < 180º, tem-se cos q < 0, e o trabalho será negativo. 
Para os valores de q = 0, q = 90º e q = 180º, as situações são ainda mais simplificadas. Observe a imagem a seguir:
7
Em geral, quando 0 ≤ q < 90º, o trabalho é positivo, e a 
força age sobre o corpo de modo a aumentar sua veloci-
dade, ou seja, a força “ajuda” o movimento. Nesses casos, 
afirma-se que se trata de um trabalho motor. Quando 
90º < q ≤ 180º, o trabalho é negativo, e a força atua di-
minuindo a velocidade do corpo, isto é, a força “se opõe” 
ao movimento. Nesses casos, afirma-se que se trata de um 
trabalho resistente.
Quando o trabalho é nulo, o que ocorre para q = 90º, a for-
ça não contribui para o movimento do corpo. Nesse caso, a 
força é perpendicular ao deslocamento.
1.1. O trabalho total
Quando mais de uma força atua sobre um corpo, cada uma 
delas realiza trabalho. Por definição, o trabalho total ao 
longo de um deslocamento é a soma dos trabalhos de 
cada uma das forças:
ttotal = tF1 + tF2 + tF3 + tF4 + ...
Considerando que a resultante dessas forças seja 
 __
 
›
 F R, é pos-
sível demonstrar que o trabalho total é igual ao trabalho da 
força resultante 
 __
 
›
 F R:
tFr = ttotal
 Aplicação do conteúdo
1. A figura a seguir mostra um bloco apoiado em uma su-
perfície horizontal, sendo puxado para a direita por uma 
força 
 __
 
›
 F de intensidade F = 100 N. Sob o bloco também 
atuam o peso 
 ___
 
›
 P , a normal e a força de atrito 
 ___ 
 
› 
 FA . Supondo 
P = 90 N, FA= 20 N, sen q = 0,60 e cos q = 0,80, e que o 
deslocamento do bloco foi de 
 ___
 
› 
 d = 5 N, calcule o traba-
lho de cada força e o trabalho total.
Resolução:
O trabalho da força F e o trabalho da força de atrito 
 ____
 
›
 FA são:
tF = F d ∙ cos q = (100)(5,0)(0,80) = 400
tF = 400 joules = 400 J
tFA = FA ∙ d ∙ cos 180º = (20)(5,0)(–1)
tFA = –100 joules = –100 J
As forças 
 ____
 
›
 FN e 
 ___
 
›
 P são perpendiculares ao deslocamento e, 
portanto, seus trabalhos são nulos:
tP = tFN = 0
Assim, o trabalho total é:
ttotal = tF + tFA + tP + tFN = (400 J) 
+ (–100 J) + 0 + 0 = 300 J
Calcule o trabalho total novamente, mas através do traba-
lho da força resultante FR.
8
Decompondo a força F nas componentes horizontal Fx e 
vertical Fy, tem-se:
Fx = F ∙ cos q = (100N)(0,80) = 80 N
Fy = F ∙ sen q = (100N)(0,60) = 60 N
A força resultante é dada pelas duas componentes hori-
zontais:
FR = Fx – FA = (80 N) – (20 N) = 60 N
tFR = FR ∙ d ∙ cos 0º = (60 N)(5,0 m) = 300 J
Então, conclui-se que:
ttotal = tFR
Trabalho de um força - Mãozinha em Física 
011
Fonte: Youtube
multimídia: vídeo
2. Trabalho quando a 
força é variável ou a 
TrajeTória é curva
No tópico anterior, o trabalho de uma força constante foi 
definido para o movimento de um corpo em uma trajetória 
retilínea. Caso a força não seja constante, ou a trajetória 
não seja retilínea, ainda em ambos os casos, faz-se a se-
guinte aproximação: a trajetória é dividida em diversos se-
guimentos bem pequenos, de modo que cada trecho possa 
ser aproximado por uma trajetória retilínea, em que a força 
é aproximadamente constante. Assim, para cada trecho, 
obtém-se o trabalho pela expressão:
t = F ∙ d ∙ cos q
O trabalho na força em questão, na trajetória curva, é obti-
do pela soma do trabalho em cada trecho.
O cálculo exato desse procedimento requer a aplicação do 
cálculo integral. Contudo, existem alguns casos particula-
res que serão analisados a seguir.
2.1. Força variável
Em primeiro lugar, considere o caso de deslocamento re-
tilíneo de um bloco sob a ação de uma força 
 __
 
›
 F constante 
(figura a seguir). A força 
 __
 
›
 F pode ser decomposta nas com-
ponentes tangencial ( 
 __
 
›
 F t) e normal ( 
 __
 
›
 F n) , e, assim, o trabalho 
é dado por:
Ft = F ∙ cos q
9
tF = F ∙ d ∙ cos q = (F ∙ cos q) ∙ d = Ft ∙ d
Dessa forma, o trabalho da força 
 __
 
›
 F e o da sua componente 
tangencial 
 __
 
›
 F t são iguais. O produto Ft ⋅ d é numericamente 
igual à área da região colorida na figura a seguir.
tFt = Ft ∙ d
Para uma força 
 __
 
›
 F variável, e qualquer formato de trajetória, 
o trabalho pode ser obtido se o gráfico da componente 
tangencial da força pela posição for conhecido. Nesse caso, 
a área da região entre S1 e S2 e a curva da componente 
tangencial são numericamente iguais ao trabalho da força 
(como no caso anterior).
Por convenção, quando o gráfico está acima do eixo hori-
zontal, o trabalho é positivo ( 
 __
 
›
 F t tem o mesmo sentido do 
movimento). Quando o gráfico está abaixo do eixo hori-
zontal, o trabalho é negativo ( 
 __
 
›
 F t tem sentido oposto ao do 
movimento).
Trabalhar como área sob a curva | Trabalho 
e energia |...
Fonte: Youtube
multimídia: vídeo
2.2. Força-peso
Como exemplo, considere o movimento da partícula na 
figura a seguir, de um ponto A para um ponto B, próximo 
à superfície da Terra, ao longo de uma trajetória qualquer. 
Devido ao movimento ser próximo à superfície, pode-se 
considerar que o valor do peso 
 ___
 
›
 P da partícula é constante. 
Nesse caso, é possível demonstrar que o módulo do traba-
lho do peso 
 ___
 
›
 P durante o deslocamento é dado por:
|tAB| = P ∙ h
O valor de h é o desnível entre os pontos A e B (diferença 
de altura ao longo da direção vertical). Se a partícula se 
mover para baixo, ou seja, se o ponto A estiver mais alto 
que o ponto B, o trabalho será positivo, uma vez que o 
movimento da partícula ocorrerá no mesmo sentido da for-
ça-peso. Se a partícula subir, ou seja, se o ponto A estiver 
abaixo do ponto B, o movimento da partícula será contrá-
rio ao peso, e o trabalho será negativo.
tAB = + Ph e tBA = – Ph
2.3. Forças conservativas
No caso anterior, o trabalho da força-peso entre dois pon-
tos A e B não depende da trajetória da partícula, apenas 
10
das posições inicial e final que determinam o valor de h. As 
forças que têm essa característica são denominadas for-
ças conservativas. Observe a seguir a razão disso.
2.3.1. Força centrípeta e força normal
No caso da força centrípeta (resultante ou não) que atua 
sobre uma partícula em movimento circular, o trabalho pode 
ser obtido pelo método exemplificado anteriormente. A tra-
jetória é dividida em pequenos trechos que podem ser consi-
derados como aproximadamente retilíneos (figura a seguir).
Como a força centrípeta é perpendicular ao deslocamento, 
o trabalho é nulo em cada trecho. O trabalho de uma força 
centrípeta é a soma do trabalho em cada trecho; portanto, 
o trabalho é nulo.
A mesma situação ocorre para a força normal no movi-
mento retilíneo ou curvo de um corpo em uma superfície.
Em cada trecho, a força normal é perpendicular ao movi-
mento; portanto, o trabalho é nulo. 
3. Trabalho da força elásTica
Nas academias de ginástica, é comum haver um apare-
lho para fortalecer os músculos feito de um elástico bem 
resistente. Para realizar o exercício, o elástico pode ser 
puxado tanto pelas mãos quanto pelas pernas.
Quando o elástico começa a ser esticado com uma força__
 
›
 F 
, o elástico exerce uma força elástica 
 ____
 
›
 Fel de resistência, ou 
seja, essa força de resistência tenta impedir que o elástico 
seja ainda mais distendido. Assim, à medida que a força 
que puxa o elástico aumenta, maior é a força de resistência 
causada pelo elástico. Dessa forma, é cada vez mais difícil 
estender o elástico. Caso a força aplicada sobre o elástico 
diminua, a força elástica fará com que o elástico retorne à 
configuração inicial sem deformação. No caso do elástico, 
a constante elástica k é a propriedade relacionada à “resis-
tência” do elástico, isto é, ela determina o quanto de força 
é necessário para esticá-lo de uma certa quantidade.
O gráfico da força aplicada pela deformação é dado pela 
lei de Hooke (F = kx). Considerando o exemplo do alonga-
mento do elástico e adotando o sentido da esquerda para 
a direita como positivo, tem-se o gráfico:
O trabalho é obtido pela área do triângulo da figura, uma 
vez que, numericamente, a área desse triângulo é igual ao 
trabalho da força. Para o caso de uma força em uma mola, 
tanto ao comprimi-la quanto ao esticá-la, o raciocínio é o 
mesmo, mas, nesse caso, como o deslocamento da mola 
pode ocorrer nos dois sentidos, as forças de distensão e 
compressão na mola são variáveis. Contudo, o trabalho 
também é obtido pela área do triângulo, como indicado 
na figura.
tF = 
1 __ 
2
 kx2 e tFel = – 
1 __ 
2
 kx2
No exemplo do elástico, o trabalho realizado pela força 
 __
 
›
 F 
exercida pela pessoa corresponde à energia que fica arma-
zenada na mola sob a forma de energia potencial elástica, 
como será visto adiante.
A força elástica sempre se opõe à deformação da mola, 
tendendo a levá-la para a posição de equilíbrio (mola não 
deformada). Desse modo, a força elástica realizará trabalho 
positivo ou negativo.
11
Em geral, pode-se dizer que o trabalho exercido por uma 
mola durante um deslocamento, em que inicialmente sua 
deformação é x1 e depois x2, é dado por:
tFel = – 
1 __ 
2
 ∙ k ∙ (x2
2 – x1
2)
Assim, se a deformação da mola aumentar (x2 > x1), o tra-
balho da força elástica será negativo (tFel < 0). E se a mola 
tiver reduzida sua deformação (x2 < x1), o trabalho da força 
elástica será positivo (tFel > 0).
Física - Introdução ao trabalho e energia 
(Khan Academy)
Fonte: Youtube
multimídia: vídeo
4. PoTência média de uma força
A figura a seguir ilustra simplificadamente um motor que é 
usado para movimentar um elevador. Quando o elevador é 
erguido, a força 
 __
 
›
 F aplicada sobre o elevador realiza trabalho. 
Dois motores diferentes podem ter desempenhos diferentes, 
isto é, a força aplicada por cada motor pode ser diferente e, 
nesse caso, o trabalho realizado por cada um, em um certo 
intervalo de tempo, será diferente. Nesse caso, considera-
-se que aquele que realizar a maior quantidade de traba-
lho nesse intervalo de tempo terá maior potência. Assim, a 
potência pode indicar com que rapidez um trabalho está 
sendo realizado.
A potência média (Pm) de uma força, no intervalo de 
tempo (Dt), é a razão entre o trabalho dessa força (t) e o 
intervalo de tempo:
Pm = 
τ ___ Dt 
Como exemplo, considere que, em 6 segundos, uma força 
tenha realizado trabalho de 30 joules. A potência média 
dessa força será:
Pm = 
τ ___ Dt = 
30 joules
 _________ 
6 segundos
 = 5 joules/segundo = 5 J/s
Assim, essa força terá realizado, em média, um trabalho de 
5 joules a cada segundo.
No Sistema Internacional, a unidade de potência é o watt, 
cujo símbolo é W. Da equação anterior:
1 W = 1 J/s
No exemplo dado, a potência, em watts, é:
Pm = 5 J/s = 5 watts = 5 W
5. PoTência insTanTânea
A potência instantânea é uma potência para um instan-
te de tempo específico. Geralmente, o cálculo da potência 
instantânea é complexo. No entanto, a potência instantâ-
nea pode ser calculada pela mesma fórmula da potência 
média nos casos em que a potência é constante.
6. PoTência e velocidade
Considere, como ilustrado na figura, uma força constante 
 __
 
›
 F 
agindo sobre um bloco durante um intervalo de tempo Dt 
e causando o deslocamento 
 ___
 
›
 d do bloco.
12
A potência média da força nesse intervalo de tempo é:
Pm = 
t ___ 
Dt
 = F ⋅ d ⋅ cos u _________ 
Dt
 = F ∙ ( d ___ Dt ) ∙ cos q
Pm = F ∙ vm ∙ cos u
Em que vm é o módulo da velocidade média.
No caso de valores instantâneos, sendo P a potência ins-
tantânea e v a velocidade instantânea, tem-se: 
P = F ∙ v ∙ cos q
Quando a força é paralela à velocidade, tem-se q = 0°, 
e, nesse caso particular, como cos 0° = 1, a potência é 
dada por:
P = F ∙ v
7. ProPriedade gráfica
Considere o gráfico a seguir da potência em função do 
tempo. Nesse caso, a potência é constante ao longo do 
tempo. A área da região colorida é numericamente igual ao 
trabalho t realizado no intervalo de tempo Dt:
P = t ___ 
Dt
 ⇒ t = P ∙ (Dt)
Essa propriedade também é válida quando a potência é va-
riável. Assim, para a potência variável do gráfico da figura, 
a área da região colorida também é numericamente igual 
ao trabalho realizado no intervalo de tempo Dt.
8. PoTência e energia
Foi considerado anteriormente o cálculo da potência por 
meio do trabalho de uma força. Entretanto, o conceito de 
potência aplica-se, em geral, a qualquer processo em que 
exista fluxo de energia. Se uma quantidade de energia DE 
for fornecida ou recebida por um sistema no intervalo de 
tempo Dt, a potência média fornecida (ou recebida) por 
esse sistema será:
Pm = 
DE ___ Dt 
A potência instantânea também é definida do mesmo modo 
para um instante de tempo específico. Como anteriormente, 
nos casos em que a potência é constante, a fórmula é válida. 
A propriedade gráfica vista para potência também pode ser 
utilizada nesse caso mais geral da potência.
 Aplicação do conteúdo
1. Um ferro elétrico de passar roupas tem a especifica-
ção de potência igual a 2.000 W. Caso esse ferro seja 
utilizado durante 3,0 horas, qual será a energia elétrica 
consumida?
Resolução:
A indicação 2.000 W significa que a potência consumida é 
2.000 W, ou seja, lembrando que: 
1 W = 1J / 1 s
A cada segundo são consumidos 2.000 joules de energia 
elétrica (que é transformada em calor). Então:
Dt = 3,0 horas = (3,0)(3.600 s) = 10.800 segundos
Assim:
P = DE ___ 
Dt
 ⇒ DE = P ⋅ (Dt) = (2.000 W) (10.800 s) 
= 2,16 ∙ 107 W ∙ s
DE = 2,16 ⋅ 107 joules ≅ 20 milhões de joules
9. ouTras unidades de 
energia e de PoTência
9.1. O quilowatt-hora
Na prática, a unidade joule é uma medida de energia muito 
pequena em comparação com a energia consumida pelos 
aparelhos comuns (como podemos perceber na resolução 
do exercício anterior). Assim, uma outra unidade de ener-
gia, o quilowatt-hora, cujo símbolo é kWh, é utilizada.
A energia correspondente à potência de 1 kW durante 1 
hora é, por definição, igual a 1 kWh. Então:
13
1 kWh = (1 kW)(1 h) = (103 W)(3.600s) = 3,6 
⋅ 106 W ⋅ s = 3,6 ⋅ 106 joules = 3,6 ∙ 106 J
1 k Wh = 3,6 ∙ 106 J
No exercício do ferro de passar roupas, a energia em kWh 
consumida pelo ferro de passar é:
DE = P ⋅ (Dt) = (2.000 W) (3 horas) 
= (2 kW)(3 h) = 6 kWh
9.2. O horsepower e o cavalo-vapor
Por razões históricas, duas unidades de potência que não 
pertencem ao SI ainda são utilizadas: o horsepower (po-
tência de um cavalo), cujo símbolo é HP, e o cavalo-va-
por, cujo símbolo é cv. As relações entre essas unidades 
e o watt são:
1 HP ≅ 746 W 
1 cv ≅ 735 
W
10. rendimenTo
A figura a seguir ilustra uma máquina qualquer que recebe 
uma potência total (Pt). Para executar a tarefa especí-
fica para a qual a máquina foi planejada, apenas uma par-
te dessa potência total é utilizada. Essa parte é a potência 
útil (Pu). A outra parte da potência é perdida: trata-se da 
denominada potência dissipada (Pd). 
Pt = Pu + Pd
O rendimento (h) é definido pela razão entre a potência 
útil e a potência total:
h = 
Pu __ 
Pt
 
 Aplicação do conteúdo
1. (Unicamp) Músculos artificiais feitos de nanotubos 
de carbonoembebidos em cera de parafina podem su-
portar até duzentas vezes mais peso que um músculo 
natural do mesmo tamanho. Considere uma fibra de 
músculo artificial de 1 mm de comprimento, suspensa 
verticalmente por uma de suas extremidades e com 
uma massa de 50 gramas pendurada, em repouso, em 
sua outra extremidade. O trabalho realizado pela fibra 
sobre a massa, ao se contrair 10% erguendo a massa 
até uma nova posição de repouso, é:
Se necessário, utilize g = 10 m/s2.
a) 5 ∙ 10-3 J.
b) 5 ∙ 10-4 J. 
c) 5 ∙ 10-5 J. 
d) 5 ∙ 10-6 J.
Resolução:
Dados: L = 1 mm = 10-3 m; m = 50g = 50 ∙ 10-3 kg; h = 
10% L = 0,1(10-3) m = 10-4; g = 10 m/s2
O trabalho realizado pela força tensora exercida pela fibra 
é igual ao ganho de energia potencial.
 tP = mgh = 50 ∙ 10
-3 ∙ 10 ∙ 10-4 ⇒ tF = 5 ∙ 10
-5 J. 
Alternativa C
2. (FMP) Um objeto de massa m, que pode ser tratado 
como uma partícula, percorre uma trajetória retilínea, e 
sua velocidade varia no tempo, de acordo com a função 
cujo gráfico está descrito na figura a seguir.
 
Considere os três instantes assinalados na figura: o ins-
tante t0, no qual a velocidade do objeto vale v0, o instan-
te t1, no qual a velocidade vale -v0, e o instante t2, para o 
qual a velocidade do objeto continua valendo -v0.
Os trabalhos realizados pela força resultante sobre o 
objeto entre os instantes t0 e t1
 (t1), e entre os instantes 
t1 e t2 (t2), valem:
a) t1 < 0 e t2 < 0.
b) t1 > 0 e t2 < 0.
c) t1 = 0 e t2 = 0.
d) t1 > 0 e t2 = 0.
e) t1 = 0 e t2 < 0.
Resolução:
Pela segunda Lei de Newton da dinâmica: 
FR = m ∙ a
O trabalho de uma força para um deslocamento retilíneo é: 
t = F ∙ d
14
Para a força resultante:
t = m ∙ a ∙ d
De acordo com a figura a seguir, a área amarela é compos-
ta de dois triângulos de mesma área, sendo uma negativa 
e outra positiva. Essas áreas correspondem ao desloca-
mento do objeto de massa m.
Assim, o trabalho da força resultante entre t0 e t1 (W1) será 
nulo devido aos deslocamentos opostos:
t1 = m ∙ (- a) ∙ (d – d) = 0
Em que cada deslocamento refere-se à área de um triân-
gulo, com os valores iguais em módulo, mas de sinais di-
ferentes.
Já em relação à área azul, tem-se um movimento com ve-
locidade constante, ou seja, a força resultante é nula e a 
aceleração também, resultando em trabalho nulo.
t2 = m ∙ (a) ∙ (d) = 0 (a = 0) 
Portanto, em todo o trecho, o trabalho realizado pela força 
resultante é nulo. 
Alternativa C
3. (IFBA) Uma campanha publicitária afirma que o veícu-
lo apresentado, de 1.450,0 kg, percorrendo uma distân-
cia horizontal, a partir do repouso, atinge a velocidade 
de 108,0 km/h em apenas 4,0 s. Desprezando as forças 
dissipativas e considerando g = 10 m/s2, podemos afir-
mar que a potência média, em watts, desenvolvida pelo 
motor do veículo, nesse intervalo de tempo é, aproxi-
madamente, igual a:
 
a) 1,47 ∙ 105.
b) 1,63 ∙ 105 .
c) 3,26 ∙ 105.
d) 5,87 ∙ 105.
e) 6,52 ∙ 105.
Resolução:
A potência média é dada pelo produto entre o módulo da 
força e a velocidade escalar média:
P = F ∙ vm
 = F ∙ Dv ___ 
2
 
E pela segunda Lei de Newton:
F = m ∙ a = m ∙ Dv ___ Dt 
Assim,
P = m ∙ Dv ___ Dt ∙ 
Dv ___ 
2
 [ P = m ∙ (Dv)
2
 ____ 
2Dt 
Então, substituindo os valores:
P = 1450 kg ∙ (30 m/s)
2
 _______ 
2 ∙ 4 s
 [ P = 163 ∙ 125 W = 1,63 ∙ 105 W
Alternativa B
4. (Enem) Para irrigar sua plantação, um produtor rural 
construiu um reservatório a 20 metros de altura a par-
tir da barragem de onde será bombeada a água. Para 
alimentar o motor elétrico das bombas, ele instalou um 
painel fotovoltaico. A potência do painel varia de acor-
do com a incidência solar, chegando a um valor de pico 
de 80 W ao meio-dia. Porém, entre as 11 horas e 30 
minutos e as 12 horas e 30 minutos, disponibiliza uma 
potência média de 50 W. Considere a aceleração da gra-
vidade igual a 10 m/s2 e uma eficiência de transferência 
energética de 100%.
Qual é o volume de água, em litros, bombeado para o 
reservatório no intervalo de tempo citado? 
a) 150.
b) 250.
c) 450.
d) 900.
e) 1.440.
Resolução:
A potência da bomba é usada na transferência de energia 
potencial gravitacional para água.
Pm = 
Epot ___ Dt ⇒ Epot = PmDt ⇒ mgh = PmDt ⇒ 
m = 
 PmDt _____ 
gh
 = 50 ∙ 3600 ________ 
10 ∙ 20
 = 1800 ____ 
2
 ⇒ m = 900 kg ⇒ 
V = 900 L 
Alternativa D
5. (UEL) Leia o texto a seguir. 
Um dos principais impactos das mudanças ambientais 
globais é o aumento da frequência e da intensidade de 
fenômenos extremos, que quando atingem áreas ou re-
giões habitadas pelo homem, causam danos. Responsá-
veis por perdas significativas de caráter social, econô-
mico e ambiental, os desastres naturais são geralmente 
associados a terremotos, tsunamis, erupções vulcânicas, 
furacões, tornados, temporais, estiagens severas, ondas 
de calor etc.
(Disponível em: <www.inpe.br>. Acesso em: 20 mAio 2015.) 
É possível relacionar o caos de um desastre natural com 
o fenômeno de um terremoto. O sismógrafo vertical, 
representado na imagem a seguir, é um dos modelos 
utilizados para medir a intensidade dos tremores.
15
 
A massa que está na ponta da haste tem 100 g e o com-
primento da haste, da ponta até o pivô de articulação, 
é de 20 cm. Durante um tremor, a haste se move para 
baixo e isso causa um deslocamento de π __ 
6
 rad entre a 
sua posição de equilíbrio e a nova posição.
Considerando que sen ( π __ 6 ) = 
1 __ 
2
 , assinale a alternativa 
que apresenta, corretamente, a energia despendida no 
processo.
a) 0,01 J.
b) 0,10 J.
c) 1,10 J.
d) 10,001 J.
e) 100,10 J.
Resolução:
 
Usando a trigonometria, é possível obter a altura h (ca-
teto oposto ao ângulo dado) com o cateto fornecido 
(cateto adjacente) através da tangente.
tg π __ 
6
 = h _____ 
20 cm
 ⇒ √
__
 3 ___ 
3 
 = h/20 cm [ h = 11,5 cm 
= 0,115 m
Com o deslocamento vertical h, pode-se calcular o trabalho 
da força peso
tp = mgh ⇒ Ep = 0,100 kg ∙ 10 m/s
2 ∙ 0,115 m
tp = 0,115 J
Alternativa B
16
VIVENCIANDO
Antes da Primeira Revolução Industrial, o processo industrial era artesanal, exigindo gasto energético do homem para 
produzir todos os objetos manufaturados. A revolução industrial impulsionou e foi impulsionada por invenções de 
máquinas capazes de realizar trabalhos de forma muito mais eficiente.
CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS
A palavra “trabalho”, quando utilizada no cotidiano, não possui o mesmo significado de quando é utilizada dentro 
do vocabulário técnico das ciências exatas. Os dicionários definem o trabalho como:
1. conjunto de atividades, produtivas ou criativas, que o homem exerce para atingir determinado fim; e
2. atividade profissional regular, remunerada ou assalariada.
Entretanto, na Física o trabalho é definido como “uma medida da energia transferida pela aplicação de uma força ao 
longo de um deslocamento”. Por isso, deve-se tomar cuidado com a utilização das palavras a depender do contexto 
em que é empregada.
17
Avaliar possibilidades de geração, uso ou transformação de energia em ambientes específicos, considerando implica-
ções éticas, ambientais, sociais e/ou econômicas.
ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM
23
Habilidade
A habilidade 23 é aqui empregada na identificação do tipo de trabalho, do cálculo da potência energética e do rendi-
mento, uma vez que potência e rendimento são grandezas relevantes no cotidiano moderno, repleto de equipamentos 
eletrônicos.
Modelo
(Enem) Para reciclar um motor de potência elétrica igual a 200 W, um estudante construiu um elevador e verificou 
que ele foi capaz de erguer uma massa de 80 kg a uma altura de 3 metros durante 1 minuto. Considere a aceleração 
da gravidade 10,0 m/s2.
Qual a eficiência aproximada do sistema para realizar tal tarefa? 
a) 10%
b) 20%
c) 40%
d) 50%
e) 100%
Análise expositiva - Habilidade 23: Essa é uma questão rápida para os moldes do Enem, mas nem por isso é 
fácil. O aluno deve ser capaz de encadear as passagens matemáticas para resolver a questão sobre rendimento.
Trabalhoda força-peso realizado pelo motor:
t = mgh = 80 ⋅ 10 ⋅ 3 ⇒ t = 2400 J
Potência necessária para produzir o trabalho por 1 min:
P = t ___ Dt = 
2400 _____ 
60
 ⇒ P = 40 W
Portanto, a eficiência do sistema é de:
h = 40 ____ 
200
 = 0,2
∴ h = 20%
Alternativa B
B
18
 DIAGRAMA DE IDEIAS
TRABALHO
POTÊNCIA
FORÇA CONSTANTE
FORÇA TOTAL
FORÇA VARIÁVEL
POTÊNCIA MÉDIA
POTÊNCIA 
INSTANTÂNEA
CONVERSÕES
RENDIMENTO
FORÇA - PESO
FORÇA CENTRÍPETA
FORÇA ELÁSTICA
TRANSFORMA A 
ENERGIA MECÂNICA
RAPIDEZ DE REALIZAÇÃO 
DO TRABALHO
ÁREA DO GRÁFICO FXD 
P = F · v · cos q
1 HP j 746 W
1 CV j 735 W
1 kWh j 3,6 · 106 J
t = F · D · COS q
tTOTAL tTOTAL= tFR
|t| = P · h
t = 0
t = − kx2
 2 
PM = t Dt 
h = PU
 PT 
19
 EnErgias cinética, potEncial E mEcânica
CompetênCias: 3, 5 e 6 Habilidades: 8, 17 e 23
AULAS 
37 E 38
1. EnErgia
A energia é uma grandeza fundamental na Física. No en-
tanto, o conceito de energia pode não ser muito claro. Um 
motivo para isso é o fato de existirem diversas formas de 
energia; daí a dificuldade de apresentar uma definição que 
abranja todas elas. Não obstante, existe uma característica 
importante envolvendo a energia: o total de energia do Uni-
verso se mantém constante. Assim, ocorrem transformações 
de energia, ou seja, mudanças de uma forma de energia em 
outra, enquanto a energia total se mantém constante.
A definição de energia a seguir, embora não seja totalmen-
te satisfatória, serve para um grande número de situações 
do dia a dia.
Quando um conjunto formado por um ou mais corpos 
pode produzir, de algum modo, o movimento de obje-
tos, esse conjunto tem energia.
1.1. Exemplos de 
transformação de energia
Na figura, existem duas bolas de aço, A e B, sobre uma 
superfície plana. A bola A se move com velocidade vA em 
direção à bola B, que está em repouso. Depois da colisão, a 
bola B passa a se movimentar com velocidade vB, enquanto 
a bola A passa a ter outra velocidade, v’A.
Esse exemplo ilustra o fato de que, por estar em movimento, 
a bola A foi capaz de movimentar a bola B; ou seja, a bola 
A possui energia de movimento, também denominada 
energia cinética (a palavra “cinética” vem do grego kin-
neticos, que significa “movimento”).
O caso de um automóvel em movimento é outro exemplo 
que ilustra a transformação de energia. Para se movimen-
tar, o automóvel necessita de algum tipo de combustível 
(álcool, gasolina, gás ou óleo diesel). O motor do automó-
vel funciona devido à queima do combustível em uma câ-
mara de combustão. A energia da explosão do combustível 
nessa câmara é transformada em movimento, que é trans-
mitido para as rodas. Assim, o combustível possui energia, 
pois é capaz de produzir movimento. A energia armazena-
da no combustível é denominada energia química, pois 
sua liberação ocorre por meio de reações químicas entre 
as moléculas do combustível e do oxigênio (esse tema é 
estudado em detalhes nas aulas de Química).
No caso do automóvel, parte da energia química do com-
bustível transforma-se em calor. Por essa razão, os automó-
veis se aquecem quando estão em funcionamento. Além 
disso, parte da energia também é transformada em ener-
gia elétrica e é consumida pelos faróis e por outros equi-
pamentos elétricos instalados no veículo (rádio, limpadores 
de parabrisa, etc.).
Energia – nerdologia
Fonte: Youtube
multimídia: vídeo
2. TEorEma da EnErgia cinéTica
Considere o movimento de uma partícula ao longo de uma 
trajetória qualquer, como na figura a seguir. No ponto A, a 
velocidade da partícula é 
 ____
 
›
 vA , e, depois de certo intervalo de 
tempo, a velocidade no ponto B é 
 ____
 
›
 vB .
20
A
vA
B
Pela equação, pode-se observar que, no SI, a unidade de 
energia cinética e trabalho é a mesma, o joule (J).
 Aplicação do conteúdo
1. Um automóvel tem massa de 800 kg e se move a 10 
m/s. A energia cinética Ec do automóvel é (utilizando a 
equação anterior):
Resolução:
EC = 
mv2 ___ 
2
 = (800)(10)
2
 ________ 
2
 = 4,0 ∙ 104
EC = 4,0 ∙ 10
4 joules = 4,0 ∙ 104 J
Considere o caso particular do movimento de um corpo em 
uma trajetória retilínea sob a ação de uma força resultante 
constante. Será demonstrado o teorema da energia cinéti-
ca para esse caso.
A figura a seguir ilustra o deslocamento de um corpo por 
uma força 
 __
 
›
 F entre os pontos A e B. No ponto A, a velocida-
de do corpo é 
 ____
 
›
 vA , e, no ponto B, a velocidade é 
 ____
 
›
 vB . 
O trabalho total tAB realizado pelas forças sobre a partícula, 
entre os pontos A e B, é:
tAB = 
mv 2 B ___ 
2
 – 
mv 2 A ___ 
2
 
Na equação, é importante observar que o trabalho depen-
de das velocidades apenas do início e do fim do trajeto. 
A energia cinética (Ec) de uma partícula de massa m e 
velocidade v é dada por:
EC = 
mv2 ___ 
2
 
Assim, é possível calcular a energia cinética da partícula 
nos pontos A e B.
No ponto A, a energia cinética é:
ECA
 = 
mv 2 A ___ 
2
 
De modo semelhante, no ponto B:
ECB
 = 
mv 2 B ___ 
2
 
Assim, o teorema da energia cinética pode ser expresso com:
tAB = ECB – ECA = DEC
Em que a variação de energia cinética entre os pontos A e 
B é igual DEC.
vA
d
F
vB
F
Pela equação de Torricelli, a aceleração do corpo e as velocidades nos ponto A e B estão relacionadas por:
v 2 B = v 2 A + 2ad
Pela segunda Lei de Newton, a aceleração é dada por a = F __ m . Assim, substituindo na equação anterior, obtém-se:
v 2 B = v 2 A + 2 
F __ m d
Nesse caso, porém, o trabalho da força entre os pontos A e B (tAB) é igual a F ∙ d. Assim, a equação anterior pode ser escrita:
F ∙ d = 
mv 2 B ___ 
2
 – 
mv 2 A ___ 
2
 
21
Então:
tAB = 
mv 2 B ___ 
2
 – 
mv 2 A ___ 
2
 
Essa última expressão é a fórmula que foi vista anterior-
mente do teorema da energia cinética.
Se o trabalho tAB for positivo, significa que 
mv 2 B ___ 
2
 > 
mv 2 A ___ 
2
 , ou 
seja, a energia cinética aumentará entre os pontos A e B. 
Se o trabalho tAB for negativo, então 
mv 2 B ___ 
2
 < 
mv 2 A ___ 
2
 , e nesse 
caso a energia cinética entre os pontos A e B diminuirá.
2. Um bloco de massa m = 4,0 kg é abandonado do alto 
de um tobogã. Ao passar pelo ponto A, a velocidade do 
bloco é vA = 3,0 m/s. No final do tobogã, no ponto B, a 
velocidade do bloco é vB = 8,0 m/s. A força-peso, a força 
normal e a força de atrito agiram sobre o corpo durante 
o movimento. Sendo g = 10 m/s2, calcule o trabalho da 
força de atrito no trecho AB.
B
vB
vA
A
h = 5 m
Resolução:
Como a trajetória é curva, a força normal não se mantém 
constante durante o movimento do corpo. Mesmo se o co-
eficiente de atrito m fosse conhecido, o trabalho não pode-
ria ser calculado pela fórmula t = F . d . cos q, pois a força 
de atrito não seria constante. Nesse caso, deve-se utilizar o 
teorema da energia cinética.
FN
FA
P
Nos pontos A e B, as energias cinéticas do bloco são:
ECA = 
mv 2 A ___ 
2
 = (4,0)(3,0)
2
 ________ 
2
 = 18 ECA = 18 J
ECB = 
mv 2 A ___ 
2
 = (4,0)(8,0)
2
 ________ 
2
 = 128 ECB = 128 J
O trabalho de 
 ____
 
›
 FN é nulo (sempre perpendicular ao movi-
mento) e o trabalho do peso é: 
tP = P ∙ h = mgh = (4,0)(10)(5,0) = 200 J
Então:
tFR = tP + tN + tFat
ECB – ECA = tP + tN + tFat
128 – 18 = 200 + 0 + tFat
tFat = – 90 J
3. A figura ilustra o movimento de um bloco e o gráfico 
da força que age sobre o bloco em função da distância. 
A massa do bloco é m = 6,0 kg e 
 __
 
›
 F é a resultante de 
todas as forças que atuam no bloco. No ponto s = 0, a 
velocidade do bloco é v0 = 5 m/s.
v0
F
v
0 2 4 6 8 s (m)
2 4 6 8 s (m)
30
60
F(N)
Calcule a velocidade do bloco ao passar pela posição 
s = 8 m e a força média no percurso.
Resolução:
O trabalho da força resultante 
 __
 
›
 F é, numericamente, igual à 
área da região colorida na figura. O cálculo da área pode 
ser feito, simplificadamente,dividindo a região em um re-
tângulo e em um triângulo. Assim, esse é o trabalho da 
força entre a posição inicial s = 0 m até a posição s = 8 m.
tF = (8)(30) + 
4 ∙ (30) ______ 
2
 = 300 ⇒ tF = 300 J
2 4 6 8 s (m)
30
60
F(N)
Aplicando o teorema da energia cinética, obtém-se a velo-
cidade em s = 8 m:
tF = 
mv2 ___ 
2
 – 
mv 2 0 ___ 
2
 ⇒ 300 
= (6,0) ∙ v
2
 _______ 
2
 – (6,0) ∙ (5)
2
 ________ 
2
 ⇒ v = 5 √
__
 5 m/s
A intensidade da força média ( 
 ___ 
 
› 
 Fm) corresponde a uma força 
constante agindo sobre o corpo que realizaria o mesmo 
22
trabalho nesse percurso. Sendo Fm constante e paralela ao 
deslocamento, tem-se:
Fm ∙ d = tF → Fm ∙ (8,0) = 300 → Fm = 37,5 N
O Brasil que o Brasil Quer – ENERGIA SUS-
TENTÁVEL
Fonte: Youtube
multimídia: vídeo
3. EnErgia poTEncial 
graviTacional
Considere, como na figura a seguir, que um objeto de massa 
m é solto, a partir do repouso, de uma altura h em relação 
à superfície da Terra. Na posição inicial, de onde é solto, o 
objeto não possui energia cinética, uma vez que sua veloci-
dade é nula. Entretanto, ao cair, a velocidade do objeto au-
menta como consequência da aceleração causada pela ação 
da força-peso. Assim, no ponto inicial (ponto A), apesar de 
não possuir energia cinética, o objeto possui energia po-
tencial, ou seja, o objeto possui energia que pode ser trans-
formada em energia cinética, caso o objeto possa se mover 
pela ação da força-peso. Pelo teorema da energia cinética, o 
trabalho da força-peso é igual à energia potencial.
h
A
v0 = 0
g
energia potencial = tP = Ph = mgh
Representando a energia potencial por Epg, tem-se:
Epg = mgh
O valor exato da energia potencial depende da diferença 
de energia potencial entre dois pontos. Nesse caso, o va-
lor foi calculado em relação ao ponto A, distante de h em 
relação à superfície (solo). Contudo, outro plano de refe-
rência poderia ter sido escolhido. Na análise de um mo-
vimento, depois que um plano de referência for escolhido, 
ele deverá ser mantido até o fim da análise do movimento.
 Aplicação do conteúdo
1. Uma partícula de massa m = 5,0 kg está 6,0 m acima 
de um plano a paralelo ao solo. O plano a, por sua vez, 
está distante 3,0 m do solo. Calcule a energia potencial 
gravitacional da partícula.
m
6,0 m
α
3,0 m
solo
g
a) em relação a a;
b) em relação ao solo.
Resolução:
m
6,0 m
3,0 m
solo
9,0 m
α
a) A partícula está a uma altura h = 6,0 m acima de 
a. Assim, em relação a a, a energia potencial gravita-
cional da partícula é:
Ep = mgh = (5,0 kg)(10 m/s
2)(6,0 m) ⇒ 
Ep = 3,0 ∙ 10
2 joules = 3,0 ∙ 102 J
b) A particular está a uma altura h’ = 3,0 + 6,0 = 9,0 
m em relação ao solo. Portanto, a energia potencial 
gravitacional da partícula em relação ao solo é:
E’p = mgh’ = (5,0 kg)(10 m/s
2)
(9,0 m) ⇒ E’p = 4,5 ∙ 10
2 J
A energia potencial associada ao peso é denominada 
energia potencial gravitacional, pois o peso é a 
força exercida pela massa da Terra, a força de gravidade.
23
A energia potencial gravitacional de um corpo é cal-
culada pelo trabalho da força-peso sobre o corpo no 
movimento de um certo ponto até um referencial. 
Uma característica importante é que o trabalho inde-
pende da trajetóri; dessa forma, em um dado ponto, 
o valor da energia potencial é único em relação a esse 
referencial. Isso não ocorreria caso o trabalho do peso 
dependesse da trajetória. Ao longo do curso, serão 
analisadas outras forças, cujo trabalho entre dois 
pontos também não depende da trajetória. Para cada 
uma delas é possível definir uma energia potencial.
O livro apresenta as formas de geração de 
energia comuns ao mundo atual, dando ên-
fase aos impactos sociais e ambientais acu-
sados pelas fontes de energia não renováveis 
e às vantagens do uso de fontes de energia 
não convencionais.
Geração de energia elétrica: fundamentos, de 
Paulo Cesar Marques de Carvalho e Manuel 
Rangel Borges Neto
multimídia: livros
4. EnErgia poTEncial ElásTica
O trabalho da força elástica não depende da trajetória. Assim, 
a força elástica é uma força conservativa. Em consequência, a 
energia potencial elástica é a energia potencial associada 
à força elástica. O referencial para calcular a energia potencial 
elástica será a posição na qual a mola não tem deformação.
Na figura a seguir, um corpo está preso em uma mola de 
constante elástica k, inicialmente na posição (O) de equilí-
brio, ou seja, a deformação x da mola é nula. Em seguida, a 
mola está em uma configuração contraída e a deformação 
é negativa (xB < 0). Na terceira situação, a mola está esti-
cada e a deformação é positiva (xA > 0). 
No entanto, a força elástica tenta restaurar o sistema para 
a posição de equilíbrio, e, assim, o sentido da força elástica 
aponta para a posição O, tanto quando a deformação é 
positiva (na posição xA) como quando é negativa (na posi-
ção xB). Assim, os trabalhos para ir de A ou de B até O serão 
positivos em qualquer uma das situações. 
Pela Lei de Hooke, a força elástica e a deformação se rela-
cionam por: 
| 
 ___
 
›
 FE | = k|x|
Assim, o trabalho da força elástica para ir de xA até O 
(tA → 0) é dado pela área da região colorida na figura a 
seguir. Sendo EPA
 a energia potencial em A, tem-se:
EPA
 = tA → 0 = 
(xA)(kxA) ______ 
2
 ⇒ EPA = 
kx 2 A ___ 
2
 
EP = 
kx2 ___ 
2
 
 Aplicação do conteúdo
1. (IMED) Em uma perícia de acidente de trânsito, os pe-
ritos encontraram marcas de pneus referentes à frena-
gem de um dos veículos, que, ao final dessa frenagem, 
estava parado. Com base nas marcas, sabendo que o 
24
coeficiente de atrito cinético entre os pneus e o asfal-
to é de 0,5 e considerando a aceleração da gravidade 
igual a 10 m/s2, os peritos concluíram que a velocidade 
do veículo antes da frenagem era de 108 km/h.
Considerando o atrito dos pneus com o asfalto como 
sendo a única força dissipativa, o valor medido para as 
marcas de pneus foi de:
a) 30 m.
b) 45 m.
c) 60 m.
d) 75 m.
e) 90 m.
Resolução:
Pelo teorema da energia cinética, sabe-se que o trabalho 
realizado pela força de atrito é igual à variação da ener-
gia cinética desenvolvida pelo corpo. Nesse caso, a força 
é resistiva, ou seja, é contrária ao movimento do corpo e, 
portanto, tem sinal negativo.
t = DEC ⇒ - Fat ∙ d = 
mv2 ___ 
2
 – 
mv 2 0 ___ 
2
 
Como a velocidade final é nula, vem:
–Fat ∙ d = – 
mv 2 0 ___ 
2
 ⇒ d = 
mv 2 0 ________ 
2µC∙ m ∙ g
 [ d = 
mv 2 0 ______ 
2 µC ∙ g 
 
Utilizando os dados do problema com a velocidade no SI, 
tem-se que a distância medida da frenagem será:
d = 
v 2 0 _____ 
2µC ∙ g
 ⇒ d = 
 ( 108 km/h ∙ 1 m/s _______ 3,6 km/h ) 
 _________________ 
 2 ∙ 0,5 ∙ 10 m/s2
 
2
 ⇒ 
d = 900 m
2/s2 _______ 
10 m/s2
 [ d = 90 m
Alternativa E
2. (Fepar) Um barco movido à energia solar tem gran-
des limitações para transportar passageiros e cargas. O 
maior dos problemas é o baixo rendimento das células 
solares, que em sua maioria atingem 25% – convertem 
em energia elétrica apenas 25% da energia solar que 
absorvem. Outro grande problema é que a quantidade 
de energia solar disponível na superfície da Terra de-
pende da latitude e das condições climáticas.
Considere um barco movido a energia solar, com massa 
de 1.000 kg e um painel de 2 m2 de células solares, com 
rendimento de 25% localizado em sua proa. Desconsi-
dere as perdas por atrito de qualquer espécie. 
Admita 1 cal = 4 J e a aceleração da gravidade = 10 m/s2.
Com base nos dados, julgue as afirmativas. 
( ) Se a quantidade de energia solar absorvida por esse 
painel em 2 minutos for de 20 kcal/cm2, a potência ge-
rada por ele será inferior a 200 W.
( ) A energia necessária para que o barco, partindo do re-
pouso, atinja a velocidade de 20 m/s é superior a 3 . 105 J.
( ) Supondo-se que o painel de células solares forne-
cesse 200 W para que o barco fosse acelerado a partir 
do repouso até atingir a velocidade de 72 km/h seriam 
necessários mais de 15 minutos.( ) Para uma potência de 400 W gerada pelas células 
solares, teremos uma energia correspondente de 100 
cal por segundo.
( ) O rendimento do painel solar prevê que, para cada 
10 J de energia solar, 2,5 J são convertidos em energia 
elétrica.
Resolução:
Falsa. A potência é dada pela razão entre a energia e o 
tempo: P = E __ t 
Assim:
P = E/t ⇒ 
P = 
20 kcal ____ 
cm2
 ∙ 
103 cal ______ 
1 kcal
 ∙ ( 102 cm ______ 1 m ) 
2
 ∙ 2m2 ∙ 4 J ____ 
1cal 
 
 _____________________________ 
 2 min ∙ 60s _____ 
1 min
 
 ∙ 0,25 
[ P = 3,33 ∙ 106 W
Falsa. Desconsiderando os atritos: 
EC = mv
2/2 ⇒ EC = 
1000 kg ∙ (20 m/s)2
 ______________ 
2
 [ EC = 2 ∙ 10
5
 J
Verdadeira. A velocidade final no SI será:
v = 72 km/h ∙ 1 m/s _______ 
3,6 km/h
 = 20 m/s
Usando a energia para esse valor de velocidade já calcu-
lado:
t = E/P ⇒ t = 2 ∙ 10
5 J _______ 
200 W
 [ t = 1000 s 
= 16,67 min = 16 min 40s
Verdadeira. P = 400 W = 400 J/s ∙ 1 cal ____ 
4 J
 [ P = cal/s
Verdadeira. 25% de 10 J é 2,5 J
3. (Unisc) Um corpo de massa m1 e animado de uma ve-
locidade V1 possui uma energia cinética EC1 = 
1 __ 
2
 m V 2 1 . Se 
a massa inicial for quadruplicada enquanto que a velo-
cidade inicial for reduzida pela metade, a nova energia 
cinética EC2 em relação à primeira, vale:
a) o dobro;
b) o triplo;
c) a metade;
d) a mesma;
e) o quádruplo.
25
Resolução:
O aumento da massa em quatro vezes é justamente o in-
verso do que acontece com o quadrado da velocidade e, 
portanto, não haverá mudança alguma.
Outra forma de resolução seria dividir as duas energias 
cinéticas entre si:
 
EC2 ___ 
EC1
 = 
 1 __ 
2
 4 m ( V1 __ 2 ) 
2
 ________ 
 1 __ 
2
 mV 2 1 
 ⇒ 
EC2 ___ 
EC1
 = 
 1 __ 
2
 4 m 
V 2 1 __ 
4
 
 _______ 
 1 __ 
2
 m V 2 1 
 [ 
EC2 ___ 
EC1
 = 1
Alternativa D
Por que a energia solar não está em todos 
os telhados?
Fonte: Youtube
multimídia: vídeo
4. (UFPR) Um objeto de massa m está em movimento cir-
cular, deslizando sobre um plano inclinado. O objeto está 
preso em uma das extremidades de uma corda de com-
primento L cuja massa e elasticidade são desprezíveis. A 
outra extremidade da corda está fixada na superfície de 
um plano inclinado, conforme indicado na figura a seguir. 
O plano inclinado faz um ângulo u = 30º em relação ao 
plano horizontal. Considerando g a aceleração da gravi-
dade e µ = 1 ____ 
π √
__
 3 
 o coeficiente de atrito cinético entre 
a superfície do plano inclinado e o objeto, assinale a 
alternativa correta para a variação da energia cinética 
do objeto, em módulo, ao se mover do ponto P, cuja 
velocidade em módulo é vP ao ponto Q, onde sua velo-
cidade tem módulo vQ.
 
Na resolução desse problema, considere sen 30º = 1 __ 
2
 e 
cos 30º = 
√
__
 3 ___ 
2
 .
a) mgL.
b) 1 __ 
2
 mgL.
c) 2 __ 
3
 mgL.
d) 3 __ 
2
 mgL.
e) 2 mgL.
Resolução:
Pelo teorema da energia cinética, tem-se que t = DEC.
Analisando a questão, verifica-se que existem 3 forças atu-
ando no sistema: tração, peso e atrito.
A tração faz a função da força centrípeta, portanto, não 
executa trabalho.
O peso realiza trabalho e o seu módulo é exatamente a 
variação da energia potencial do movimento.
O atrito também realiza trabalho.
Assim:
DEC = - (tpeso + tatrito)
Visualizando o plano inclinado de lado, tem-se:
 
Do triângulo,
sen(30º) = h/2L = 1/2
h = L
Assim:
tpeso = m ∙ g ∙ h
tpeso = m ∙ g ∙ L
e tatrito = Fat ∙ d ∙ µ ∙ N ∙ d 
Por ser um plano inclinado → N = P ∙ cos (30º) 
= m ∙ g ∙ cos (30º)
Por ser uma trajetória circular (meia volta) → d = π ∙ L
Assim,
tatrito = 
1 ____ 
π √
__
 3 
 ∙ m ∙ g ∙ √
__
 3 ___ 
2
 ∙ π ∙ L
tatrito = 
1 __ 
2
 ∙ m ∙ g ∙ L
Por fim,
DEc = – ( m ∙ g ∙ L + 1 __ 2 m ∙ g ∙ L ) 
DEc = – 
3 __ 
2
 m ∙ g ∙ L
26
Como a questão pede somente a variação, pode-se assu-
mir o módulo do valor encontrado.
Alternativa D
Como gerar energia só com água (Gerador 
Termoelétrico)
Fonte: Youtube
multimídia: vídeo
multimídia: sites
www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/
Dinamica/energia2.php
www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/
Dinamica/energia.php
www.coladaweb.com/fisica/mecanica/ener-
gia-cinetica-potencial-e-mecanica
VIVENCIANDO
A busca por fontes renováveis de energia é uma das grandes preocupações do século XXI e tema de discussão 
entre os acadêmicos de todo o mundo, pois a obtenção de energia não renovável está relacionada ao alarmante 
aquecimento global. Boa parte da matriz energética mundial funciona à base de combustíveis fósseis que, quando 
utilizados, geram os chamados gases do “efeito estufa”.
Existe uma intensa pesquisa científica para a obtenção de uma matriz energética mais sustentável. O Brasil, em 
comparação ao restante do mundo, possui uma matriz energética das mais sustentáveis. 
27
Identificar etapas em processos de obtenção, transformação, utilização ou reciclagem de recursos naturais, energéti-
cos ou matérias-primas, considerando processos biológicos, químicos ou físicos neles envolvidos.
ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM
8
Habilidade
A habilidade 8 é empregada na identificação correta do tipo de energia envolvida, podendo tratar dos diferentes tipos 
de energia, como mecânica, química, elétrica, magnética, eólica, solar, etc.
Modelo 1
Modelo 2
(Enem) A energia elétrica nas instalações rurais pode ser obtida pela rede pública de distribuição ou por dispositi-
vos alternativos que geram energia elétrica, como os geradores indicados no quadro.
Tipo Geradores Funcionamento
I A gasolina Convertem energia térmica da queima da gasolina em energia elétrica.
II Fotovoltaicos Convertem energia solar em energia elétrica e armazenam-na em baterias.
III Hidráulicos Uma roda-d’água é acoplada a um dínamo, que gera energia elétrica.
IV A carvão Com a queima do carvão, a energia térmica transforma-se em energia elétrica.
Os geradores que produzem resíduos poluidores durante o seu funcionamento são: 
a) I e II.
b) I e III.
c) I e IV.
d) II e III.
e) III e IV.
(Enem) A usina termelétrica a carvão é um dos tipos de unidades geradoras de energia elétrica no Brasil. Essas usinas 
transformam a energia contida no combustível (carvão mineral) em energia elétrica.
Em que sequência ocorrem os processos para realizar essa transformação?
a) A usina transforma diretamente toda a energia química contida no carvão em energia elétrica, usando reações de fissão 
em uma célula combustível.
b) A usina queima o carvão, produzindo energia térmica, que é transformada em energia elétrica por dispositivos deno-
minados transformadores.
c) A queima do carvão produz energia térmica, que é usada para transformar água em vapor. A energia contida no vapor 
é transformada em energia mecânica na turbina e, então, transformada em energia elétrica no gerador.
d) A queima do carvão produz energia térmica, que é transformada em energia potencial na torre da usina. Essa energia 
é então transformada em energia elétrica nas células eletrolíticas.
Análise expositiva - Habilidade 8: Somente há formação de resíduos poluidores nos processos em que 
ocorrem reações químicas como subprodutos da combustão, como no caso da queima da gasolina e do carvão.
Alternativa C
C
28
Análise expositiva - Habilidade 8: Nas usinas termelétricas (a diesel ou a carvão), é usada a energia térmica 
produzida na queima do combustível para aquecer água, gerando vapor a alta pressão, movimentando as turbi-
nas acopladas aos geradores de energia elétrica.
Alternativa C
C
e) A queima do carvão produz energia térmica, que é usada para aquecer água, transformando-se novamente em energia 
química, quando a água é decomposta em hidrogênio e oxigênio, gerando energia elétrica.
ENERGIA
ENERGIA POTENCIAL
ASSOCIADA AO 
MOVIMENTO
ENERGIA 
POTENCIAL ELÁSTICA
INTERAÇÃO COM 
UMA MOLA OU 
ELASTÔMERO
ENERGIA CINÉTICA
PODE SE 
TRANSFORMAR EM 
ENERGIA CINÉTICA
PRINCÍPIO DE 
CONSERVAÇÃO 
DAENERGIA
ENERGIA POTENCIAL 
GRAVITACIONAL
INTERAÇÃO 
GRAVITACIONAL
TEC – TEOREMA DA 
ENERGIA CINÉTICA
 DIAGRAMA DE IDEIAS
29
 EnErgia mEcânica
CompetênCias: 3, 5 e 6 Habilidades: 8, 17 e 23
AULAS 
39 E 40
1. PrincíPio da 
conservação da energia
Os diversos tipos de movimentos e atividades observados 
no dia a dia ocorrem devido à transformação de uma for-
ma de energia em outra.
“A energia não é criada, a energia não é perdida, a 
energia apenas se transforma de um tipo em outro, em 
quantidades iguais.”
Antoine LAvoisier
Quando uma pessoa corre, nada ou levanta determinado 
peso, uma energia armazenada pelo corpo é transformada 
em calor e movimento. Essa energia é proveniente dos ali-
mentos ingeridos. Por sua vez, a energia armazenada em 
alimentos como os vegetais verdes é obtida pelo processo 
de fotossíntese. No corpo, essa energia é retirada dos ali-
mentos e armazenada nas células, podendo ser utilizada 
para a realização de atividades musculares.
A energiA dos ALimentos é trAnsformAdA em cALor e energiA químicA e 
permite que os múscuLos se movimentem.
A energia elétrica é obtida de diversas maneiras por meio 
das transformações de energia. Nas usinas hidrelétricas, 
a energia potencial da água é utilizada para movimentar 
turbinas acopladas a geradores elétricos. Assim, a energia 
cinética é transformada em energia elétrica. Nas usinas ter-
moelétricas, as turbinas são movimentadas por um fluxo de 
vapor de água. A energia necessária para aquecer a água 
e obter o fluxo de vapor provém da queima de combustí-
veis derivados do petróleo ou carvão. Nas usinas nucleares, 
o elemento químico urânio é utilizado como combustível. 
Depois de a energia elétrica ser gerada por alguma dessas 
usinas, seu uso é bastante diversificado, e novas transfor-
mações de energia ocorrem. Em uma residência, o liquidi-
ficador transformará a energia elétrica em energia cinética; 
uma lâmpada, em energia térmica e luminosa; um rádio, 
em energia sonora, etc.
A energia solar é uma fonte vital de energia para o planeta. 
A radiação do Sol é responsável pela produção dos alimen-
tos vegetais, pelo ciclo da água, dos ventos, etc.
o soL é fundAmentAL no cuLtivo de fLores.
Mas qual é a origem da energia solar? A energia do Sol 
existe devido às reações exotérmicas de fusão nuclear. 
Esses exemplos ilustram a afirmação inicial de que a ener-
gia total no Universo é sempre conservada, sendo esse um 
dos princípios básicos da Física. 
Minigerador eólico - transforme vento em 
energia elétrica!
fonte: Youtube
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30
2. Forças conservativas
Uma força é conservativa quando o trabalho realizado por 
ela não depende da trajetória descrita pelo objeto, mas 
apenas dos pontos inicial e final. A força gravitacional, a 
força elástica e a força elétrica são exemplos de forças con-
servativas. Na figura a seguir, pode-se observar que, inde-
pendentemente da trajetória descrita pelo corpo I ou II, o 
trabalho realizado pela força-peso depende não da trajetó-
ria, mas da altura h, que, por sua vez, depende apenas do 
ponto inicial e do ponto final.
II
I
B
P
A
h
Quando o corpo está sujeito apenas à ação de forças con-
servativas, pode-se afirmar que o trabalho da força resul-
tante é igual à variação da energia cinética. No caso ante-
rior, a única força que atua no corpo é a força-peso, então 
o trabalho da resultante é o trabalho da força-peso.
τFr = Ec – Ec0
τp= Ec – Ec0
As diferentes formas de produção de ener-
gia elétrica e o impacto ambiental
fonte: Youtube
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Também é possível dizer que o trabalho da força-peso é 
igual à diferença da energia potencial inicial e final.
τp = Epg0
 - Epg
Assim, igualando as equações e manipulando, tem-se:
Ec – Ec0 = Epg0
 – Epg
Ec0 + Epg0 = Ec 
 + Epg
Analisando a expressão, é possível perceber que a soma da 
energia cinética inicial com a energia potencial gravitacional 
inicial resulta no mesmo valor que a soma da energia cinéti-
ca final com a energia potencial gravitacional final. De modo 
geral, essa ideia pode ser aplicada sempre que existam ape-
nas forças conservativas atuando sobre o corpo estudado.
3. energia mecânica
A energia mecânica (EM) de um corpo é igual à soma da 
energia cinética com todas as energias potenciais do corpo:
EM = EC + EP
Na equação, Ec é a energia cinética do corpo e Ep é a ener-
gia potencial desse corpo (incluindo-se todas as energias 
potenciais).
Energia Mecânica - Sistema Dissipativo de 
Energia
fonte: Youtube
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É possível demonstrar a seguinte propriedade:
A energia mecânica de um corpo é constante se, dentre 
todas as forças que atuam nesse corpo, as forças conser-
vativas forem as únicas a realizarem trabalho não nulo. 
Essa proposição é denominada princípio da conserva-
ção da energia mecânica.
 Aplicação do conteúdo
1. No tobogã, sem atrito, ilustrado na figura a seguir, 
um bloco de massa m = 6,0 kg é abandonado do topo 
31
numa região onde g = 10 m/s2. Ao passar pelo ponto A, 
a velocidade vA do bloco é 4,0 m/s. Calcule a velocidade 
do bloco ao passar pelo ponto B, sabendo que a altura 
h, entre o pontos A e B é igual 0,60 m.
Resolução:
Como não existe atrito, as únicas forças que atuam no bloco 
são o peso e a força normal. No entanto, a força normal 
não realiza trabalho e, desse modo, o trabalho é realizado 
apenas pela força-peso, que é uma força conservativa. Nessa 
situação, pode-se aplicar o princípio da conservação da ener-
gia mecânica: a energia mecânica em A é igual à energia 
mecânica em B.
ECA + EPA = ECB + EPB
Para calcular a energia potencial, pode-se usar tanto o 
ponto A como o ponto B como referência. No entanto, esse 
é um caso em que é mais vantajoso considerar o referencial 
da figura (altura do ponto B). Em relação a esse referencial, 
as alturas dos pontos A e B são hA = 0,60 m e hB = 0, res-
pectivamente. Assim, aplicando o princípio da conservação 
da energia mecânica:
ECA + EPA = ECB + EPB
⇒ m · 
v2A __ 
2
 + m · g · hA = m · 
v2B __ 
2
 + m · g · hB
⇒ (4,0)2 + 2 · (10)(0,60) = v2B + 2 · (10)(0) 
 v2B = 28 
⇒ vB = 2 dXX 7 m/s
Para as forças conservativas, o trabalho entre dois pon-
tos não depende da trajetória. Quando essas forças são 
as únicas que realizam trabalho sobre um corpo, a 
energia mecânica do corpo se conserva.
Observe o bate-estaca da figura a seguir. A energia poten-
cial do bloco ao cair é transformada em energia cinética. 
Quando ocorre a colisão do bloco com a estaca, a energia 
mecânica não se conserva, pois, nesse caso, ocorre defor-
mação permanente do chão ao ser penetrado pela estaca, 
e as superfícies que se chocam sofrem aquecimento, além 
dos ruídos produzidos no instante do choque.
Nessa transformação de energia, a variação da energia 
potencial gravitacional e a variação da energia cinética 
não são iguais. A energia cinética do bloco que caiu foi 
transformada em energia sonora, energia térmica e em 
deformação permanente do solo e da estaca; portanto, a 
energia mecânica do sistema não é conservada.
De modo semelhante, quando um garoto desce escorre-
gando por um tobogã, não ocorre conservação da energia 
mecânica. A energia potencial gravitacional é transforma-
da em calor e em energia cinética. O calor é devido à dissi-
pação, em forma de calor, da energia térmica pelo atrito do 
garoto com a superfície do tobogã. 
Se as forças de atrito não existirem, a conservação da ener-
gia mecânica se torna possível. Nesse caso, afirma-se que 
o sistema é conservativo, ou seja, a variação de energia 
cinética deve-se apenas ao trabalho realizado por forças 
conservativas.
Por exemplo, no vácuo, um corpo em queda livre está sujeito 
apenas à ação da força-peso, que é uma força conservativa. 
O trabalho da força-peso, no trecho AB da trajetória, indica-
do na figura a seguir, pode ser calculado em função da va-
riação da energia cinética e da variação potencial do corpo.
32
tAB = ECB – ECA ou tAB = EPA – EPB
Como os trabalhos são iguais, tem-se:
EMA =EMB
Assim, nos dois instantes da queda, no ponto A e no ponto 
B, a energia mecânica do corpo é a mesma. Depois dessa 
demonstração, o princípio da conservação da energia me-
cânica pode ser reafirmado como:
Num sistema conservativo, a energia mecânica total 
permanece constante qualquer que seja a transfor-
mação do sistema.
 Aplicação do conteúdo
1. Um trecho de uma montanha russa, representada 
na figura a seguir, foi projetado para que os ocupantes 
de cada carrinho não experimentem uma força normal 
contra seu assento de intensidade maior do que 3,5 ve-
zes seu próprio peso. Considerando que a velocidade 
dos carrinhos no início da descida é de 5 m/s e que os 
atritos sejam desprezíveis, qual o menor raio de curva-
tura R (em m) que o trilho deve ter no seu ponto mais 
baixo para satisfazer a condição acima?
a) 25. 
b) 5. 
c) 3,5. 
d) 40. 
e) 10. 
Resolução:
Considerando o nível de referência indicado na figura para 
calcular a energia potencial e as forças que agem sobre o 
ocupante de um carrinho.
A energia mecânica é conservada, então:
EMA = EMB
⇒ m · 
v2A __ 
2
 + m · g · hA = m · 
v2B __ 
2
 + m · g · hB
⇒ m · 5
2
 _____ 
2
 + m · 10 · 30 = m · v
2
 _____ 
2
 
v = 25 m/s
No ponto mais baixo:
FCp = N – P = m 
v2 __ 
R
 
Como o limite da força normal é N = 3,5P, então:
3,5P – P = m 25
2
 ___ 
R
 
2,5m · g = m 25
2
 ___ 
R
 
R = 25 m
Alternativa A
33
2. Na figura a seguir, o carrinho de uma montanha russa 
tem velocidade igual a zero na posição 1, e desliza pelo 
trilho, sem atrito, até a posição 3, depois de passar pelo 
círculo.
Qual a menor altura h, em metros, em que o carrinho 
deve iniciar o movimento para não perder contato com 
o trilho na posição 2?
a) 36. 
b) 48. 
c) 60. 
d) 72.
Resolução:
A menor altura h é aquela que permitirá que o carrinho 
passe pela posição (2) com a velocidade mínima permitida 
para um círculo vertical (no limite de perder contato com a 
pista), ou seja, a força normal que a pista aplica no carri-
nho é nula. Assim, a força resultante centrípeta ( 
 ___
 
›
 R c ) nessa 
posição (2) é o próprio peso do carrinho.
Fcp = P
 m · v
2
 _____ 
R
 = m · g
v2 = R · g
Pela conservação da energia mecânica entre as posições 
(1) e (2):
E(1)POT = E
(2)
CIN + E
(2)
POT
m · g · h = m · v
2
 _____ 
2
 + m · g · 2R
2gh = v2 + 4Rg
Substituindo,
2h = R + 4R
h = 5R ___ 
2
 
h = 2,5 · (24)
h = 60 m
Alternativa C
3. (CFTMG) A figura a seguir exibe uma bola que é 
abandonada de uma rampa curva de 1,25 de altura 
que está sobre uma mesa nas proximidades da Terra. 
Após liberada, a bola desce pela rampa, passa pelo 
plano horizontal da mesa e toca o solo 1,00 s após 
passar pela borda.
Desprezando-se qualquer tipo de atrito, avalie as afir-
mações a seguir e assinale (V) para as verdadeiras ou 
(F) para as falsas.
( ) O alcance horizontal da bola a partir da saída da 
mesa é de 5,00 metros.
( ) Abandonado-se a bola a partir do repouso da borda 
da mesa, o tempo de queda até o solo é também de 
1,00 s. 
( ) Para se calcular o tempo de queda da bola a partir da 
saída da mesa, é necessário conhecer a massa da bola.
( ) Para se calcular o alcance da bola a partir da saída da 
mesa, é necessário conhecer a altura da mesa.
A sequência correta encontrada é: 
a) F, F, V, V. 
b) V, V, F, F.
c) F, V, F, V. 
d) V, F, V, F.
Resolução:
(Verdadeira) Cálculo da velocidade de saída, pela con-
servação da energia mecânica, tomando como referência 
a superfície da mesa.
E fin mec = E 
in mec ⇒ 
mv2 ___ 
2
 = mgh ⇒ v = √
____
 2gh 
= √
________ 
 2 · 10 · 1,25 ⇒ v = 5 m/s.
Como a componente horizontal da velocidade não varia e 
o tempo de queda é 1 s, o alcance horizontal é:
DS = vt = 5 · 1 = DS = 5 m
(Verdadeira) Para a queda livre, tem-se:
h = 1 __ 
2
 gt2 
t = √
___
 2h ___ g 
Portanto, o tempo de queda depende apenas da altura de 
queda e da intensidade do campo gravitacional local. En-
tão, o tempo de queda também é igual a 1 s.
(Falsa) Conforme demonstrado acima.
(Falsa) Quando se conhece o tempo de queda, não é ne-
cessário conhecer a altura de queda para determinação do 
alcance horizontal, como confirma a primeira afirmativa. 
Alternativa B
4. (UPE-SSA) Desejando ampliar seus conhecimentos 
sobre conservação da energia mecânica, um estudante 
observa o movimento de um pequeno carro, de massa 
34
250 g, ao longo de uma trajetória que é descrita pela 
equação x
2
 ___ 
25
 + 
y2
 __ 
4
 = 1, onde x e y são medidos em metros. 
Se no ponto A de coordenada horizontal x = RA = – 3,0 m 
o carro foi arremessado com velocidade inicial de 
módulo vA = 3,0 m/s, qual é a velocidade do carro 
no ponto B de coordenada horizontal xB = 0,0 m? 
Considere que o carro pode ser tratado como partí-
cula e despreze os efeitos do atrito.
 
a) 0,0 m/s 
b) 1,0 m/s 
c) 3,0 m/s 
d) 6,2 m/s 
e) 8,4 m/s
Resolução:
Por conservação da energia mecânica, tem-se:
EM(A) = EM(B)
Assim,
m · g · yA + 
m . vA
2
 _____ 
2 
 = m · g · yB + 
m· vB
2
 _____ 
2
 
Simplificando a massa e isolando vB: 
VB = √
______________ 
 2g . (yA – yB) + VA
2 
Determinando as posições verticais nos pontos A e B:
 x
2
 ___ 
25
 + 
y2
 __ 
4
 = 1 → y = √
________
 100 – 4x
2
 _______ 
25
 
Para o ponto A:
yA = √
________
 100 – 4(-3)
2
 _______ 
25
 ∴ yA = 1,6 m
Para o ponto B:
yB = √
________
 100 – 4(0)
2
 _______ 
25
 ∴ yB = 2 m
Substituindo os valores de g, de yA e de yB na equação de 
vB, tem-se:
vB = √
________________ 
 2 . 10 . (1,6 - 2) + 32 = √
_____
 –8 + 9 = √
__
 1 = VB = 1 m/s
Alternativa B
4. diagramas de energia
Nos exercícios anteriores, a energia mecânica permane-
ceu constante durante todo o tempo, enquanto a energia 
cinética e a energia potencial (gravitacional e elástica) va-
riaram. No entanto, a quantidade que a energia cinética 
aumentava ou diminuía era a mesma quantidade que a 
energia potencial diminuía ou aumentava, respectivamen-
te. Graficamente, é possível representar essa transforma-
ção de energia da seguinte maneira.
multimídia: sites
www.resumoescolar.com.br/fisica/teore-
ma-da-energia-mecanica-sistemas-conser-
vativo-e-nao-conservativo-e-atrito/
www.colegioweb.com.br/energia-mecani-
ca/sistema-nao-conservativo.html
www.infoescola.com/fisica/forcas-conserva-
tivas-e-nao-conservativas/
4.1. Primeiro caso: energia cinética 
e energia potencial gravitacional
No caso em que um corpo cai em queda livre, tem-se a 
transformação de energia potencial gravitacional em ener-
gia cinética. 
E E
E
E
A0 B C v
M
PG
C
E E
E
E
C
ou
0 B A h
M
PG
C
Seja em função da velocidade ou da altura, a energia me-
cânica permanece constante durante toda a queda. A ener-
gia potencial gravitacional começa com seu valor máximo 
caindo até o mínimo, e a energia cinética começa com seu 
valor mínimo até atingir seu máximo.
Nota: no primeiro diagrama, a energia cinética e a ener-
gia potencial estão em função da velocidade v; como a 
energia cinética varia com v², fica fácil perceber que o 
diagrama corresponde a um trecho de uma parábola. 
No segundo diagrama, as energias variam com a altura; 
como a energia potencial gravitacional varia com h, fica 
fácil perceber que o diagrama corresponde a um trecho 
de uma reta.
35
4.2. Segundo caso: energia cinética 
e energia potencial elástica
Muito parecido com o caso anterior, tem-se a transforma-
ção de energia cinética em energia potencial elástica, mas 
de tal modo que a energia mecânica do sistema permane-
ça constante.
E E
E
E
A0 B C v x
M
PEI
C
E E
E
C0 B A
M
EPEI
C
ou
Nota: no primeiro diagrama, a energia cinética e a ener-
gia potencial elástica estão em função da velocidade v; 
como a energia cinética varia com v², fica fácil perceber 
que o diagrama corresponde a um trecho de uma pará-
bola. No segundo diagrama, as energias variam com a 
deformação x; uma vez que a energia potencial elástica 
varia com x², o