Tópicos de Matemática Aplicada a Física. (1)

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ (UEPA) PÓLO ............................ 
PROFESSOR : LUIZ AUGUSTO 
DISCIPLINA: TÓPICOS DE MATEMÁTICA A FÍSICA I 
ALUNO(A):............................................................................TURMA: .................... 
 Prezados alunos, 
 
 Espero que todos estejam bem de saúde (física e mental), assim como seus familiares. 
Apesar das desgraças que assolam o mundo em decorrência dessa pandemia, tenho certeza que 
paralelamente podemos tirar muitas lições e aprendizagens em prol do bem da humanidade. Fico 
feliz com a possibilidade de iniciarmos as discussões inerentes à disciplina Introdução a cálculo 
para engenharia, irei desenvolver atividades que possam contribuir à formação de vocês, tanto 
em relação aos conteúdos matemáticos quanto pedagógica. 
1ª Atividade Complementar 
Função Exponencial e o Coronavírus 
 
 
 
 
 
 
 A Matemática, entre outras funções, nos ajuda a entender fenômenos e situações do 
nosso cotidiano. É muito comum que as informações trazidas pelos meios de comunicação sejam 
amparadas por números que dimensionam e qualificam a notícia. Situações de crescimento e 
decrescimento são mais comuns quando estão ligadas ao conceito de linearidade, ou seja, a uma 
lógica que demonstra a taxa de aumento ou de declínio constante. No entanto, os números 
mostram que, no caso dessa pandemia, o crescimento não é linear, mas exponencial. 
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 O estudo das funções tem como objetivo modelar situações que nos ajudam a compreender 
o fenômeno analisado e poder agir sobre ele. A exponencial é uma função escrita na 
forma 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 , com 1 ≠ 𝑎 > 0, sendo 𝑎 um número real, que descreve situações de 
crescimento e decrescimento que podem começar de maneira lenta, mas que se acentuam de 
forma extremamente rápida. Graficamente, esse comportamento pode ser expresso pelos gráficos 
abaixo: 
Exponencial crescente 
 
 
 
 
 
 
Exponencial decrescente 
 
 
 
 
 
 
Exemplo1 :Um computador desvaloriza-se exponencialmente em função do tempo, de modo que 
seuvalor y, daqui a x anos, será y = A kx, e m que A e k são constantes positivas. Se hoje o 
computador vale R$ 5 000,00 e valerá a metade desse valor daqui a 2 anos, seu valor daqui a 6 
anos será: 
Exemplo 2:Sendo log 2 = 𝑎 𝑒 log 3 = 𝑏. Determine o valor de x na equação 2. 9𝑥 = 15. 4𝑥 =
13. 6𝑥 em função de a+b com x ≠1. 
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 Comparando as curvas acima com o gráfico abaixo, podemos notar o crescimento 
exponencial nos casos oficiais da Covid-19 no Brasil entre 26/02/2020 e 06/04/2020. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O comportamento exponencial pode ser observado em diversas áreas do conhecimento, 
como na Biologia – número de micro-organismos em uma cultura; na Economia – juros 
compostos; na Física – quebra de átomos em uma fissão nuclear; na Química – conceito de meia 
vida dos átomos radioativos; entre outros. No caso dessa pandemia, o que se espera é que haja 
um pico nesse crescimento, estabilidade e, mais uma vez, uma curva com rápido declínio, ou seja, 
a curva passe de exponencial crescente para exponencial decrescente. 
Crescimento Exponencial e Curva Epidêmica: 
 Entenda os principais conceitos matemáticos que explicam a pandemia de coronavírus."Na 
função exponencial, você vai multiplicando o número por ele mesmo. Nessa função, temos o 
crescimento exponencial, em que o valor inicial de um evento vai sendo multiplicado por um 
mesmo número a cada período de tempo”, explica Suzuki. 
 O professor dá como exemplo um cenário de uma epidemia em que o número de novos 
casos dobra a cada 3 dias."No primeiro dia você tem 1 caso; no terceiro dia terá 2 casos. Levou 
três dias para dobrar o valor inicial. No sexto dia serão 4 casos, no nono dia serão 16, e assim 
por diante." 
 
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 Ele compara: "No começo da função exponencial, o crescimento parece pequeno, se 
assemelha com uma função linear".Diferentemente da exponencial, na função linear o número 
anterior é somado – e não multiplicado. Por isso, o crescimento linear é representado no gráfico 
por uma reta; já o crescimento exponencial é uma curva acentuada. "Ao longo do tempo, o 
crescimento exponencial atinge valores exorbitantes", diz Suzuki. 
 No caso de um surto como o do coronavírus, o cenário é assustador, já que o número de 
infectados do dia anterior é sempre muito menor que o atual. O aumento exponencial de novos 
casos em uma epidemia é apenas uma fase de um ciclo de três etapas. Essas etapas formam o 
conceito matemático da curva epidêmica, que torna possível prever o ritmo do aumento de casos, 
o pico das transmissões e o decaimento delas (leia mais abaixo). 
 No estágio atual da pandemia do coronavírus, a maioria dos países do mundo e o Brasil 
estão na fase do crescimento exponencial, em que todos os dias são registrados números maiores 
de novos casos que na véspera.Veja abaixo como é feito o cálculo das epidemias: 
 Entenda o crescimento exponencial nas epidemias. O físico Silas Poloni, no Instituto de 
Física Teórica da Universidade Estadual Paulista (Unesp), explica que dizer que uma doença 
cresce exponencialmente significa na prática que "cada infectado é capaz de infectar mais de uma 
pessoa ao mesmo tempo”. 
 Por isso, segundo o físico Vitor Sudbrack, também da Unesp, quanto mais doentes por 
Covid-19 existirem, mais pessoas irão adoecer pelo vírus, já que o "crescimento exponencial é 
aquele em que, quanto mais se tem [infectados], mais se cresce [o número de contaminados]". 
 Sudbrack e Poloni são membros do Observatório Covid 19 BR, um site colaborativo feito 
por pesquisadores de diversas universidades brasileiras para observar os dados da pandemia de 
coronavírus. De acordo com Suzuki, o problema do crescimento exponencial é que ele pode 
acelerar de forma imprevisível, uma vez que "não temos controle sobre o valor da base [o número 
que vai ser multiplicado com o passar do tempo] dessa função". É o que tem acontecido com o 
crescimento dos casos de coronavírus no mundo. 
 A Organização Mundial da Saúde (OMS) já alertou para o aumento da velocidade do 
crescimento: 
 os primeiros 100 mil casos de Covid-19 foram registrados em 67 dias, 
 mas foram necessários apenas mais 11 dias para dobrar e atingir 200 mil casos 
 
 
 
 
 
 
 
https://admin.backstage.globoi.com/apps/multi-content/g1/multi-content/edit/1402fbd0-4e23-4035-a5e7-4b361149d640/
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 outros quatro dias para chegar a 300 mil casos, 
 e somente mais dois dias para somar 100 mil novos casos – superando a marca 
de meio milhão de infectados. 
As etapas da curva epidêmica 
"As pessoas acham que matemática é trabalhar com números, mas na verdade é trabalhar com 
padrões", afirma Sudbrack, da Unesp. "Conseguimos calcular epidemias porque elas, em todos os 
lugares, seguem um padrão matemático semelhante, chamado de curva epidêmica." 
Antes de entender o que é essa curva, é preciso entender o ciclo que uma epidemia segue, ou seja, 
a evolução dela ao longo do tempo. 
O ciclo epidêmico é formado por três fases, que juntas formam uma "onda da epidemia": 
1. Crescimento exponencial – representado pelo crescimento vertiginoso do número de 
novos casos de infecção 
2. Saturação – ocorre quando a epidemia alcança um pico de casos 
3. Decaimento exponencial – estágio em que a quantidade de pessoas que se recuperam 
da doença é maior que a de novas infectadas 
O padrão da curva epidêmica é justamente a onda no gráfico (veja abaixo). Ela representa o 
número de novos casos ao longo do tempo. 
 Quantomaior o número de novos casos em um menor intervalo de tempo, mais 
acentuada a curva. 
 Quanto menor o número de novos casos em um maior intervalo de tempo, menos 
acentuada a curva. 
 
 
 
 
 
https://g1.globo.com/mundo/noticia/2020/03/26/mundo-registra-100-mil-novos-casos-de-coronavirus-em-apenas-2-dias-e-total-passa-de-meio-milhao-de-infectados-diz-oms.ghtml
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As funções no Modelo Matemático 
Crescimento Linear 
Velocidade de transmissão o valor fixo 
“ O número de infectados não interfere na velocidade de propagação do vírus” 
1ª) O número de infectados está crescendo a uma taxa de 2 novos por dia mediante a tabela 
abaixo: sendo 𝑡 os números de dias e 𝑛 𝑡 os números de infectados. Complete a tabela. 
𝒏 𝒕 = 𝟐. 𝒕 
 
 
 
 
Crescimento Quadrático 
Velocidade de transmissão = 𝑢𝑚 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓𝑖𝑥𝑜 𝑥(𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑐𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠) 
2ª)O número de infectados está crescendo a uma taxa de 2𝑥(número de dias). Complete a tabela. 
𝒏 𝒕 = 𝒕² 
 
 
 
 
Modelo hipotético 
Suponha que a cada dia cada pessoa infectada passe o vírus para apenas mais duas pessoas e que 
após a transmissão a pessoa fique curada bem rápido e nem transmite para mais ninguém. 
 
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3ª)Complete a tabela , faça a sua interpretação referente as três funções e diga qual das três 
funções representam uma (PA) e uma (PG). 
 
 
 
 
 
 
 
4ª)Em epidemias de fácil contágio, como ocorre com o coronavírus, cada pessoa pode transmitir 
o vírus para diversas outras pessoas. Se toda a população for suscetível ao contágio e se cada 
infectado contagiar m novos casos em média, sendo m uma constante maior do que 1, o 
crescimento é exponencial. 
 
 
 
 
 
 
Esquema de propagação da Covid-19 e gráfico da função exponencial 
Por exemplo, se cada indivíduo infectado transmite a doença para duas pessoas, m=2, temos o 
seguinte esquema de propagação: Para saber a relação entre o tempo e o número de infectados, 
os matemáticos propõem modelos matemáticos que têm o objetivo de retratar a situação 
real.Qual é esse modelo matemático? 
 
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 
O Cálculo Diferencial e Integral está fundamentado em um conjunto de operações 
envolvendo quatro operadores: limite, diferencial, derivada, e integral. A análise teórica desses 
tópicos nos livros texto de Cálculo Diferencial e Integral encontra-se bem desenvolvida, 
principalmente do ponto de vista do rigor matemático. Talvez devido a esse rigor matemático 
associado à abstração conceptual que o assunto exige, e a falta de preparo dos alunos em absorver 
conceitos e ideias abstratas, parece que esses itens são apresentados de forma isolada, como se a 
ligação entre eles fosse puramente matemática. Na realidade existe, além da relação matemática, 
uma ligação física muito forte entre esses operadores que pode ajudar o aluno de graduação a 
compreender melhor o significado e a aplicação dessa importante ferramenta matemática. Através 
do limite se chega na diferencial e na derivada. A integral é uma operação sobre a diferencial; o 
resultado mais simples de uma integral é uma diferença, cuja aplicação é fundamental nas 
Ciências Exatas. 
O Cálculo Diferencial e Integral nada mais é que uma ferramenta de análise de 
funções, que pode ser utilizado nas mais variadas formas para resolver problemas simples e 
complexos. O cálculo avança no conhecimento sobre funções, suas tendências e variações. Ou seja, 
vamos estudar como as funções se comportam na medida que tendem para certos valores, ou então 
como essas funções variam na medida que elas crescem. 
LIMITES, DERIVADAS E INTEGRAIS 
Este estudo começa com o conceito de Limites. O limite é uma forma de avaliar o 
comportamento de uma função na medida que chegamos próximo a um valor. Por exemplo, 
sabemos que não podemos dividir qualquer número por zero. Mas podemos avaliar como uma 
função 
1
𝑥
 se comporta na medida que 𝑥 TENDE a zero, ou seja, que 𝑥 seja muito próximo de zero. 
E isso é muito útil para resolver uma série de problemas. 
Partindo deste conceito estudamos as Derivadas, que nada mais são do que uma 
aplicação específica de limites. O conceito de derivada estuda a variação das funções, como uma 
dada função varia na medida que variamos o seu valor de 𝑥. Com isso podemos saber se a função 
cresce e qual a taxa de crescimento dela. Um uso muito comum serve para identificar pontos 
máximos e mínimos de uma função. Como sabemos que nesse ponto a variação da função é igual a 
zero (devido a uma mudança de sentido), podemos facilmente identificar em que ponto a função 
tem seu valor máximo ou mínimo. 
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Por último chegamos no conceito de Integrais. As integrais são a operação inversa 
das derivadas. A integral pode ser considerada uma somatória infinita dos pontos de uma função e 
tem diversas aplicações. Um exemplo simples de aplicação é para o cálculo de áreas. 
 
 
 
 
 
 
Uma vez sabendo a função que determina as extremidades de uma região, é possível identificar a 
área interna da curva muito facilmente. 
ESTUDO DOS LIMITES 
 
NOÇÃO INTUITIVA 
 
 A ideia de limite é fácil de ser captada intuitivamente. Por exemplo, imagine uma 
placa metálica quadrada que se expande uniformemente porque está sendo aquecida. Se 𝑥 é o 
comprimento do lado, a área da placa é dada por 𝐴 = 𝑥² . Evidentemente, quanto mais 𝑥 se 
avizinha de 3, a área 𝐴 tende a 9 . Expressamos isto dizendo que quando 𝑥 se aproxima de 3, 𝑥² se 
aproxima de 9 como um limite. Simbolicamente escrevemos: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
𝑥² = 9 
onde a notação "𝑥 → 3" indica 𝑥 tende a 3 e "𝑙𝑖𝑚" significa o limite de. Generalizando, se 𝑓 é uma 
função e 𝒂 é um número, entende-se a notação 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 
como " o limite de 𝑓(𝑥)quando 𝑥 tende a 𝒂 é 𝐿", isto é, 𝑓(𝑥) se aproxima do número 𝐿 quando 𝑥 
tende a 𝒂. 
Exemplo: Seja 𝑓 𝑥 = 
𝑥² − 4
𝑥 − 2
 , 𝐷𝑓 = {𝑥 𝜖 𝑅/𝑥 ≠ 2} 
 
Se 𝑥 = 2 → 𝑓 𝑥 = 
𝑥² − 4
𝑥 − 2
= 
 𝑥 − 2 (𝑥 + 2)
(𝑥 − 2)
= 𝑥 + 2. 
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Se 𝑥 ≠ 2 → 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que para todo 𝑥 𝜖 𝑉 2 , 𝛿 → 𝑓 𝑥 𝜖 𝑉(4 , 𝜖) podemos dizer que o limite de 𝑓(𝑥)quando 𝑥 
tende para 2 é igual a 4 e podemos escrever: 𝑙𝑖𝑚𝑥→2
𝑥²−4
𝑥−2
= 4. De modo geral se 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
definida em um domínio 𝐷 do qual 𝒂é ponto de acumulação. 
 
 
 
 
,,,, 
 
 
 
 
 
Na determinação do limite de 𝑓(𝑥), quando 𝑥 tende para 𝒂, não interessa como 𝑓 está definido em 
𝒂 ( nem mesmo se 𝑓 está realmente definido). A única coisa que interessa é como 𝑓 está definido 
para valores de 𝑥 na vizinhança de 𝒂. De fato podemos distinguir três casos possíveis como segue: 
Suponha que 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿. Então exatamente um dos três casos é válido: 
Caso 1: 𝒇 está definido em 𝒂 e 𝒇 𝒂 = 𝒍; 
Caso 2: 𝒇 não está definido em 𝒂; 
Caso 3: 𝒇 não está definido em 𝒂e 𝒇 𝒂 ≠ 𝒂; 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1ª) Calcule o limite, se existir. 
 
a) 𝑙𝑖𝑚𝑥→2
𝑥² + 𝑥 − 6
𝑥 − 2
 b) 𝑙𝑖𝑚𝑥→2
𝑥² + 𝑥 + 6
𝑥 − 2
 c) 𝑙𝑖𝑚𝑥→−3
𝑡² − 9
2𝑡² + 7𝑡 + 3
 d) 𝑙𝑖𝑚𝑕→0
 4+𝑕 2 − 16
𝑕
 
 
 
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e) 𝑙𝑖𝑚𝑥→−2
𝑥 + 2
𝑥² + 8
 f) 𝑙𝑖𝑚𝑡→9
 9 − 𝑡
 3− 𝑡
 g) 𝑙𝑖𝑚𝑥→7
 𝑥 + 2 − 3
 𝑥 − 7
 h) 𝑙𝑖𝑚𝑥→−4
𝑥² + 5𝑥 + 4
𝑥² + 3𝑥 − 4
 
 
𝑖) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→4
𝑥²−4𝑥 
𝑥²−3𝑥−4 
 j) 𝑙𝑖𝑚𝑥→1
𝑥³ − 1
𝑥² − 1
 k) 𝑙𝑖𝑚𝑕→0
 2+𝑕 ³ − 8
𝑕
 l) 𝑙𝑖𝑚𝑕→0
 1 +𝑕 − 1
 𝑕
 
 
 
m) 𝑙𝑖𝑚𝑥→2
𝑥4− 16 
𝑥 − 2
 n) 𝑙𝑖𝑚𝑥→3
𝑥³ − 27
𝑥 − 3
 o) 𝑙𝑖𝑚𝑥→5𝑥³ − 125
𝑥 − 5
 p) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→
1
2
𝑥²− 
1
4
𝑥− 
1
2
 
 
 
ALGUMAS PROPRIEDADES DE LIMITE 
 
 
(I) 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 + 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑔 (𝑥) (regra da adição) 
 
 
(II) 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 .𝑔 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 ] [𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔 (𝑥)] (regra do produto) 
 
(III) 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= 
𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)
𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥)
 se 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 ≠ 0 (regra do quociente) 
 
LIMITES LATERAIS 
Se 𝑥 se aproxima de 𝒂através de valores maiores que 𝒂ou pela sua direita, escrevemos: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 = 𝑏 
Esse limite é chamado de limite lateral à direita de 𝒂. 
Se 𝑥 se aproxima de a através de valores menores que 𝒂 ou pela sua esquerda, escrevemos: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎−
𝑓 𝑥 = 𝑏 
Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de 𝒂. O limite de 𝑓 𝑥 para 𝑥 → 𝑎existe se, e 
somente se, os limites laterais à direita a esquerda são iguais, ou sejas: 
 Se 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎+ 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎− 𝑓 𝑥 = 𝑏 , então 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = 𝑏 
 Se 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎+ 𝑓 𝑥 ≠ 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎− 𝑓 𝑥 = 𝑏 , então ∄ 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 
 
 
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LIMITES ENVOLVENDO INFINITO 
Conforme sabemos, a expressão 𝑥 → ∞(𝑥 tende para infinito) significa que𝑥assume valores 
superiores a qualquer número real e 𝑥 → −∞(𝑥tende para menos infinitos), da mesma forma, indica 
que 𝑥 assume valores menores que qualquer número real. 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) ,𝑙𝑖𝑚𝑥→∞
1
𝑥
 ou seja, à medida que 𝑥 aumenta, 𝑦 tende para zero e o limite é zero. 
b) 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞
1
𝑥
 ou seja, à medida que 𝑥diminui, 𝑦tende para zero e o limite é zero. 
c) 𝑙𝑖𝑚𝑥→0+
1
𝑥
= ∞ ou seja, quando 𝑥se aproxima de zero pela direita de zero 𝑥 → 0 + ou por 
valores maiores que zero, 𝑦 tende para o infinito e o limite é infinito. 
d) 𝑙𝑖𝑚𝑥→0−
1
𝑥
= −∞ , ou seja, quando 𝑥 tende para zero pela esquerda ou por valores menores 
que zero, 𝑦 tende para menos infinito. 
LIMITE DE UMA FUNÇÃO POLINOMIALPARA𝒙 → ±∞ 
Seja a função polinomial 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 + ⋯+ 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0. Então: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→±∞
𝑓 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→±∞
𝑎𝑛𝑥
𝑛 
Exemplos: 
1) 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞ 2𝑥
2 + 𝑥 − 3 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞ 2𝑥² = ∞ 
2) 𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞ 3𝑥
³ − 4𝑥² + 2 𝑥 + 1 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞ 3𝑥³ = −∞ 
3) 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞
2𝑥4+𝑥−1
𝑥³+𝑥²+4
= 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞
2𝑥4
𝑥³
= 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞ 2𝑥 = ∞ 
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1ª) Calcule os limites indicados, se existirem; se o(os) limites(s) não existir(em),especifique a razão. 
 
1) 𝑓 𝑥 
3𝑥 − 2 𝑠𝑒 𝑥 > 1
2 𝑠𝑒 𝑥 = 1
4𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 < 1
 
 
Solução 
 
a) 𝑙𝑖𝑚𝑥→1+ 𝑓 𝑥 = 1 b) 𝑙𝑖𝑚𝑥→1− 𝑓 𝑥 = 5 c) 𝑙𝑖𝑚𝑥→1 𝑓 𝑥 =∄ 
 
 
2) 𝑓 𝑥 
 3 − 2𝑥 𝑠𝑒 𝑥 ≥ −1
4 − 𝑥 𝑠𝑒 𝑥 < −1
 
Solução 
 
a) 𝑙𝑖𝑚𝑥→1+ 𝑓 𝑥 = 5 b) 𝑙𝑖𝑚𝑥→1− 𝑓 𝑥 = 5 c) 𝑙𝑖𝑚𝑥→1 𝑓 𝑥 = 5 
 
 
3) 𝑓 𝑥 𝑥² − 3𝑥 + 2 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 3
8 − 2𝑥 𝑠𝑒 𝑥 > 3
 
 
Solução 
 
 
a) 𝑙𝑖𝑚𝑥→3+ 𝑓 𝑥 = 2 b) 𝑙𝑖𝑚𝑥→3− 𝑓 𝑥 = 2 c) 𝑙𝑖𝑚𝑥→3 𝑓 𝑥 = 2 
 
 
4) 𝑓 𝑥 
2𝑥² − 3𝑥 − 1 𝑠𝑒 𝑥 > 2
1 𝑠𝑒 𝑥 = 2
−𝑥² + 6𝑥 − 7 𝑠𝑒 𝑥 < 2
 
Solução 
 
a) 𝑙𝑖𝑚𝑥→2+ 𝑓 𝑥 = 1 b) 𝑙𝑖𝑚𝑥→2− 𝑓 𝑥 = 1 c) 𝑙𝑖𝑚𝑥→2 𝑓 𝑥 = 1 
 
 
5) 𝑓 𝑥 
𝑥+1
4
𝑠𝑒 𝑥 < 0
1
 𝑥+1
𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
 
Solução 
 
a) 𝑙𝑖𝑚𝑥→0+ 𝑓 𝑥 = 1 b) 𝑙𝑖𝑚𝑥→0− 𝑓 𝑥 = 2 c) 𝑙𝑖𝑚𝑥→0 𝑓 𝑥 = ∄ 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1ª) Calcule os seguintes limites: 
 
a) 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞
1
𝑥²
 b) 𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞
1
𝑥²
 c) 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞ 𝑥
4 d) 𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞ 𝑥
4 e) 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞ 𝑥
5 
 
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f) 𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞ 𝑥
5 g) 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞ 𝑒
𝑥 h) 𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞ 𝑒
𝑥 i) 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞(2𝑥
4 − 3𝑥³ + 𝑥 + 6) 
 
j) 𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞(2𝑥
4 − 3𝑥³ + 𝑥 + 6) k) 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞(2𝑥
5 − 3𝑥² + 6) l) 𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞(2𝑥
5 − 3𝑥² + 6) 
 
m) 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞
5𝑥4−3𝑥²+1
5𝑥²+2𝑥−1
 n) 𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞
5𝑥4−3𝑥²+1
5𝑥²+2𝑥−1
 o) 𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞
−3𝑥 ³+2𝑥²+5
 𝑥+1
 
 
p) 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞
2𝑥+1
 𝑥−3
 q) 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞
𝑥−1
 𝑥²+3
 r) 𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞
𝑥2−3𝑥+1
𝑥³−𝑥²+ 𝑥−1
 
 
 
v) 𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞
4𝑥+1
2𝑥²+5𝑥−1
 w) 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞
1−2𝑥²
3−4𝑥
 x) 𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞
1−2𝑥
3−4𝑥
 
 
2ª) A função 𝑓 𝑥 = 
 2𝑥 − 1 , 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 3
3𝑥 − 4 , 𝑠𝑒 𝑥 > 3
 é contínua no ponto 𝑥 = 3? 
 
 
3ª) A função 𝑓 𝑥 = 
 𝑥² + 3 , 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 2
10 , 𝑠𝑒 𝑥 = 2
 é contínua para 𝑥 = 2? 
 
4ª) Verifique se a função 𝑓 𝑥 = 
𝑥²−1
𝑥−1
 é contínua para 𝑥 = 1. 
 
5ª) Determine 𝑘, de modo que a função 𝑓 𝑥 = 
 2𝑥 + 3, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 2
𝑘, 𝑠𝑒 𝑥 = 2
 , seja contínua. 
 
6ª) Calcule os limites indicados, se existirem; se o(os) limites(s) não existir(em),especifique a razão. 
 
a) 𝑓 𝑥 𝑥² + 4 𝑠𝑒 𝑥 < 2
𝑥³ 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2
 b) 𝑓 𝑥 𝑥² − 3𝑥 + 2 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 3
8 − 2𝑥 𝑠𝑒 𝑥 > 3
 
RESPOSTAS: 
 
1. a)0 b) 0 c) ∞ d) ∞ e) ∞ f) -∞ g) ∞ h) 0 
 
i) ∞ j) ∞ k) ∞ l) -∞ m) ∞ n) ∞0) -∞ p) 2 q) 2 r) 
25/16 
 
s) 1/2 t) 0 u) 0 v) 0 w) ∞ 𝑥) 1/2 
 
 
2. Sim 3. Não 4. Não 5. 𝑘 = 7 6. 
 
 
Exemplos Resolvidos: 
 
1ª) Uma montadora de computadores determina que um empregado após 𝑥 dias de treinamento, 
monta 𝑚 computadores por dia, onde: 
 𝑚 𝑥 = 
20𝑥²
𝑥²+𝑥+5
 
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Qual é o comportamento de 𝑚 = 𝑚(𝑥) para treinamentos longos? Observe que: 
 
Solução 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑚 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
20𝑥²
𝑥² + 𝑥 + 5
= 20 
 
 
Logo, após um longo treinamento,um empregado pode montar 20 computadores por dia. 
 
ANÁLISE GRÁFICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª) O custo para produzir 𝑥 unidades de um certo produto é dado por 𝐶 𝑥 = 0,25𝑥 + 3600 em 
reais. 
a) Determine o custo médio quando 𝑥 cresce. 
b) Interprete o resultado. 
Solução 
 
a) Primeiramente, 𝐶𝑀𝑒 𝑥 = 
𝐶(𝑥)
𝑥
=
0,25
𝑥
+
3600
𝑥
 ; então: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝐶𝑀𝑒 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
 0,25 +
3600
𝑥
 = 0,25 
 
b) Isto é, quando o bem em questão é produzido em grande escala o custo médio tende a estabilizar-
se em 0,25 reais. 
ANÁLISE GRÁFICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3ª) Um governo determina que o custo para despoluir 𝑥% de metais pesados que contaminam uma 
reserva de água doce é dado por: 
𝐶 𝑥 = 
120.000𝑥
100−𝑥
 , medido em reais. 
luizaugustooliveiradasilvaluiz@gmail.com.br página 16 
 
a) Qual é o custo para eliminar a metade dos metais pesados? 
b) Com 100.000 reais, que percentual da reserva fica despoluida? É economicamente viável 
despoluir totalmente a reserva? 
Solução 
a) Calculamos 𝐶 50 = 𝑅$ 120.000 
b) Agora, devemos resolver a equação: 
100.000 = 
120.000𝑥
100 − 𝑥
 ⇨ 𝑥 = 
625
7
 ≅ 89,2% 
Isto implica em que à medida que nos aproximamos para despoluir toda a reserva, os custos crescem 
arbitrariamente, isto é, é economicamente inviável, despoluir toda a reserva. 
ANÁLISE GRÁFICA DO CUSTO PARA DESPOLUIR 
 
 
 
 
 
 
 
 
4ª) A função de produção de um certo bem em relação à quantidade de matéria prima, em 
quilogramas, é dada por: 
 𝑃 𝑥 = 
𝑥²−4
𝑥−2
 
Determine e interprete a produção quando se tem 2 quilogramas de matéria prima. 
Solução 
Como 𝑃 = 𝑃(𝑥) não está definida para 𝑥 = 2, devemos calcular: 
𝑙𝑖𝑚𝑥→2 𝑃 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→2 𝑥 + 2 = 4 , isto é, são produzidas 4 unidades. 
 
ANÁLISE GRÁFICA DO COMPORTAMENTO DE P=P(x)5ª) Modelou-se a evolução da população de uma certa cidade, após 𝑡 anos, apartir de 2009 por: 
𝐸 𝑡 = 20.000 + 
15.000𝑡
𝑡² + 2𝑡 + 10
 
luizaugustooliveiradasilvaluiz@gmail.com.br página 17 
 
Determine o comportamento da população após 𝑡 = 3 , 𝑡 = 5, 𝑡 = 15 anos. Qual é o comportamento 
a longo prazo? 
 
Solução 
Como a função é contínua, primeiramente calculamos: 
 
 
 
 
 
A longo prazo, temos que: 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑡→+∞
𝐸 𝑡 = 𝑙𝑖𝑚
𝑡→+∞
[ 20.000 + 
15.000𝑡
𝑡² + 2𝑡 + 10
] = 20.000 
 
Isto é, a longo prazo a população fica estável. 
ANÁLISE GRÁFICA DO COMPORTAMENTO DA POPULAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
6ª) Numa cidade se observa que a despesa de uma família com 𝑇𝑉 a cabo depende do tempo 𝑡, 
mensal, que os habitantes assistem 𝑇𝑉 e esta quantidade, em centenas de reais, é modelada por: 
 𝑃 𝑡 = 
0 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑡 < 20
0, 𝑡 𝑠𝑒 20 ≤ 𝑡 ≤ 100
40𝑡−100
2𝑡+100
𝑠𝑒 100 < 𝑡
 
Estude a continuidade da despesa 𝑃 = 𝑃(𝑡). A despesa de uma família é sensivelmente diferente se o 
tempo que assiste 𝑇𝑉 é ligeiramente inferior ou superior a 20 horas? E para 100 horas? 
Solução 
Primeiramente calculamos: 
𝑙𝑖𝑚
𝑡→20−
𝑃 𝑡 = 𝑙𝑖𝑚
𝑡→20
0 = 0 
luizaugustooliveiradasilvaluiz@gmail.com.br página 18 
 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑡→20+
𝑃 𝑡 = 𝑙𝑖𝑚
𝑡→20
0,1𝑡 = 2 
 
Logo, a função é descontínua em 𝑡0 = 20. Note que a mudança de gasto de uma família varia 
sensivelmente se as horas que assiste 𝑇𝑉 é ligeiramente inferior ou superior a 20 horas. Por outro 
lado, calculamos 
lim
𝑡→100−
𝑃 𝑡 = lim
𝑡→100
0,1𝑡 = 10 
 
lim
𝑡→100 +
𝑃 𝑡 = lim
𝑡→100
40𝑡 − 1000
2𝑡 + 100
= 10 
 
Logo, a função é contínua em 𝑡𝑜 = 100. Note que não existem mudanças de gasto quando a tempo 
em que assiste 𝑇𝑉 muda ligeiramente inferior a 100 horas ou superiora 100 horas. 
 
ATIVIDADES SOBRE LIMITES 
 1ª)Para estudar a velocidade na qual os animais aprendem, um estudante de psicologia executou um 
experimento no qual um rato era enviado repetidamente através de um labirinto de laboratório. 
Suponha que o tempo requerido pelo rato para atravessar o labirinto na enésima tentativa era de 
aproximadamente 
n
nf
12
3)(  minutos. 
a)Para que valores de n a função f (n ) tem significado no contexto do experimento psicológico? 
Resposta: Todo inteiro positivo )Z(
*
 
b) Quanto tempo leva para que o rato atravesse o labirinto na terceira tentativa? Resposta: 7 
minutos. 
c) De acordo com a função 𝑓, o que acontecerá com o tempo requerido pelo rato para atravessar o 
labirinto à medida que o número de tentativas aumenta? Será o rato um dia capaz de atravessar o 
labirinto em menos de 3 minutos? 
Resposta: O tempo necessário aproximar-se-á de, mas nunca será menor do que 3 minutos. 
2ª) Um fazendeiro estabelece o preço da saca de café em função da quantidade de sacas adquiridas 
pelo comprador através da equação 
x
xP
200
50)(  , em que 𝑃(𝑥) é o preço em dólares por saca e 
𝑥 é o número de sacas vendidas. 
a) Quanto deve pagar, por saca, um comprador que adquirir 100 (cem) sacas? 
b) Quanto deve pagar, por saca, um comprador que adquirir 200 (duzentas) sacas? 
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c) Sabendo que um comprador pagou 54 dólares por saca, quantas sacas comprou? 
d) O que acontecerá com o preço de cada saca, em uma compra muito grande (x)? 
Resposta: a) 52 dólares b) 51 dólares c) 50 sacas d) 𝑃(𝑥) → $50 quando 𝑥 → ∞. 
 3ª) Um paciente em um hospital recebe uma dose inicial de 200 miligramas de um medicamento. A 
cada 4 horas recebe uma dose adicional de 100 𝑚𝑔. A quantidade 𝑓(𝑡)do medicamento presente na 
corrente sangüínea após 𝑡 horas é exibida na figura a seguir. Determine e interprete: 
 
 
 
 
 
 a) )(lim
8
tf
t 
 b) )(lim
8
tf
p  
 Resposta: a) 150 b) 250 Interpretação: Não existe limite. 
4ª)Considere a função 𝑓 𝑥 = 
𝑥²−1
𝑥−1
 , Dom 𝑓 = 𝑅 − {1}. Fatorando o numerador da 
função 𝑓, temos 𝑓 𝑥 = 
𝑥²−1
𝑥−1
 = 
 𝑥+1 (𝑥−1)
𝑥−1
= 𝑥 + 1 , para todo 𝑥 ≠ 1. A função 𝑓 não está 
definida em 1,mas está definida em todo 𝑥 "próximo" de 1 .Vamos, observar o que acontece com o 
valor de 𝑓(𝑥) a medida que 𝑥 se aproxima de 1 : 
a) Construa uma tabela com alguns valores menores que 1. 
b) Construa uma tabela com alguns valores maiores que 1. 
c) Esboce o seu gráfico e faça a sua interpretação. 
Solução: O valor de 𝑓(𝑥) parece aproximar-se de 2 quando 𝑥 aproxima-se de 1 . Se isto , 
de fato , acontece , dizemos que o limite de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 aproxima-se de 1 é 2 , e 
denotamos por : 
 
𝑙𝑖𝑚𝑥→1 𝑓 𝑥 = 2 ou 𝑓 𝑥 → 2 quando 𝑥 → 1 
 
 
 
 
 
 
luizaugustooliveiradasilvaluiz@gmail.com.br página 20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA DERIVADA DE UMA FUNÇÃO DE VARIÁVEL REAL 
 
 Faremos agora um breve estudo da interpretação geométrica com o auxilio da taxa de 
variação média, usando o resultado para calcular os coeficientes angulares das retas secantes e 
tangentes. Posteriormente faremos a demonstração das fórmulas das derivadas de todas as funções. 
Interpretação geométrica da taxa de variação média 
 
 
 
 
 
 
 
Observando a figura temos: 
 
 
 
∆𝑃𝑆𝑄, retângulo → 𝑡𝑎𝑔𝜃 = 
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 , 𝑡𝑎𝑔𝜃 = 
𝑓 𝑥2 −𝑓 𝑥1 
𝑥2−𝑥1
 , temos: 
 
𝑚𝑃𝑄 =
𝑓 𝑥2 −𝑓 𝑥1 
𝑥2−𝑥1
=
∆𝑦
∆𝑥
 . Isto é, geometricamente, a taxa de variação média da função entre 𝑥1 𝑒 𝑥2 
, (𝑥1 ≠ 𝑥2) é igual ao coeficiente angular da reta secante ao gráfico da função nos pontos 
𝑃 𝑥1,𝑓 𝑥1 𝑒 𝑄 𝑥2,𝑓 𝑥2 . Neste exemplo estamos usando também o conceito de razão 
incremental ou razão do acréscimo, para calcular o coeficiente angular da reta secante e tangente 
ao gráfico da função dada, como vemos abaixo: 
𝑥0 + ∆𝑥 = 𝑥∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0 
 ∆𝑥 → 𝐴𝑐𝑟é𝑠𝑐𝑖𝑚𝑜 𝑜𝑢 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑥 
 𝑓 𝑥0 + ∆𝑦 = 𝑓(𝑥) 
∆𝑦 = 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0) 
 ∆𝑦 → 𝐴𝑐𝑟é𝑠𝑐𝑖𝑚𝑜 𝑜𝑢 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑓(𝑥) 
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∆𝑦
 ∆𝑥
=
𝑓 𝑥 − 𝐹(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
, 𝑅𝑎𝑧ã𝑜 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑜𝑢 𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑎𝑐𝑟é𝑠𝑐𝑖𝑚𝑜𝑠. 
𝑰𝑵𝑻𝑬𝑹𝑷𝑹𝑬𝑻𝑨ÇÃ𝑶 𝑮𝑬𝑶𝑴É𝑻𝑹𝑰𝑪𝑨 𝑫𝑨 𝑫𝑬𝑹𝑰𝑽𝑨𝑫𝑨 
 
De um modo geral, sendo 𝑓uma função continua num intervalo aberto do domínio, e sendo um 
ponto do domínio, podemos dizer que. 
 O coeficiente angular da reta 𝑡, tangente ao gráfico da função no ponto 𝑃 𝑥0,,𝑓 𝑥0 , é dado por 
𝑚𝑡 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥0 
𝑥−𝑥0
= 𝑙𝑖𝑚∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= 𝑡𝑎𝑔𝛽 se ele existir e for finito, onde passa ser o próprio 
conceito de deriva no ponto. 
 A derivada da função 𝑓(𝑥0), no ponto 𝑥0 é igual ao coeficiente angular 𝑡𝑎𝑔(𝛽) da reta 𝑡, 
tangente ao gráfico da função 𝑓 𝑥 , no ponto 𝑃 𝑥0,, 𝑓 𝑥0 . 
 Da geometria Analítica a equação da reta que passa pelos dois pontos e o coeficiente angular 
e dado pela seguinte fórmula 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚. 𝑥 − 𝑥0 , aplicando o conceito de derivada na mesma 
equação obtemos 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥0 = 𝑓
′ 𝑥0 . (𝑥 − 𝑥0) e como 𝑓 𝑥 = 𝑦. 
(𝑦 − 𝑓 𝑥0 ) = 𝑓
′ 𝑥0 . (𝑥 − 𝑥0) → Equação da reta tangente. 
 𝑦 − 𝑓 𝑥0 = −
1
𝑓 ′ (𝑥0
. (𝑥 − 𝑥0) → Equação da reta normal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TAXAS DE VARIAÇÃO 
Outra aplicação importante das taxas de variação ocorre no campo da Economia. Os economistas se 
referem a lucro marginal, receita marginal e custo marginal como as taxas de variação do lucro, da 
receita e do custo em relação ao número 𝑥 de unidades produzidas ou vendidas. A equação que 
relaciona essas três grandezas é 
𝑷 = 𝑹 − 𝑪 
onde 𝑃, 𝑅 e 𝐶 representam: 𝑃 = lucro total, 𝑅 = receita total 𝐶 =custo total. 
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As derivadas dessas grandezas chamam-se lucro marginal, receita marginal e custo marginal, 
respectivamente. 
𝑑𝑝
𝑑𝑥
 = lucro marginal , 
𝑑𝑅
𝑑𝑥
= receita marginal e 
𝑑𝐶
𝑑𝑥
= custo marginal 
NOTA: Em muitos problemas de administração e economia, o número de unidades produzidas ou 
vendidas está restrito a valores inteiros positivos, conforme indicado na figura seguinte. 
Naturalmente, uma venda pode envolver metade ou outra fração de unidades, mas é difícil conceber 
uma venda que envolva 2,72 unidades. A variável que denota tais unidades é chamada variável 
discreta. Para analisar uma função de uma variável discreta 𝑥, podemos admitir provisoriamente 
que 𝑥 seja uma variável contínua, capaz de tomar qualquer valor real em um dado intervalo. 
Utilizamos então os métodos do cálculo para achar o valor de 𝑥 que corresponde à receita marginal, 
ao lucro máximo, ao custo mínimo ou o que quer que seja. Finalmente, devemos arredondar a 
solução para o valor mais próximo cabível de 𝑥 − centavos, dólares, unidades, ou dias, dependendo 
do contexto do problema. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo5: O lucro resultante da venda de 𝑥 unidades de um artigo é dado por 𝑃 = 0,0002𝑥³ +
10𝑥. 
a) Ache o lucro marginal para um nível de produção de 50 unidades. 
b) Comparar com o aumento do lucro decorrente do aumento de produção de 50 para 51 unidades. 
Solução 
a) Como o lucro é 𝑃 = 0,0002𝑥³ + 10𝑥, o lucro marginal é dado pela derivada 
𝑑𝑃
𝑑𝑥
= 0,0006𝑥² + 10 
Quando 𝑥 = 50, o lucro marginal é 
𝑑𝑃
𝑑𝑥
= 0,0006. 50 2 + 10 = 15 + 10 = 𝑅$11,50 por unidade. 
b) Para 𝑥 = 50, o lucro efetivo é 𝑃 = 0,0002. 50 2 + 10. 50 = 25 + 500 = 𝑅$525,00e para 
𝑥 = 51, o lucro efetivo é 𝑃 = 0,0002. 51 2 + 10. 51 = 26,53 + 510 = 𝑅$536,53. 
Assim, o lucro adicional obtido pelo aumento do nível de produção de 50 para 51 unidades é Note 
que o aumento efetivo de lucro de 𝑅$11,53, (quando 𝑥 aumenta de 50 para 51unidades) pode ser 
aproximado pelo lucro marginal de 𝑅$$11,50 por unidade (quando 𝑥 = 50). 
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COMENTÁRIO 
 A função custo marginal é a derivada da função custo, a função receita marginal é a derivada da 
função receita, ... O conceito de função marginal avalia o efeito causado em 𝒇(𝒙) por uma pequena 
variação de 𝑥. 
REGRAS DE DERIVAÇÃO 
Simbologia: 𝑐𝑓 𝑥 
′
= 𝑐𝑓′ 𝑥 
 Derivada da Soma 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 
′
= 𝑓′ 𝑥 + 𝑔′(𝑥) 
 Derivada do Produto 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 
′
= 𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥) 
 Derivada do Quociente 
𝑓 𝑥 
𝑔 𝑥 
 
′
= 
𝑓 ′ 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑔 ′ (𝑥)
𝑔 𝑥 2
 
 Regra da Cadeia ou da função composta (𝑓 𝑔 
′
= (𝑓′ 𝑔 𝑥 𝑔′(𝑥) 
 Regra da Potência 𝑓(𝑥)𝑛 .𝑛′ 
ATIVIDADE PROPOSTAS 
1ª) Calcule a derivada das funções abaixo usando as propriedades adequadas. 
a) 𝑓 𝑥 = 16𝑥³ − 4𝑥² + 3 b) 𝑓 𝑥 = −5𝑥³ + 21𝑥² − 3𝑥 + 4 c) 𝑓 𝑥 = 5 
d) 𝑦 = 7𝑥4 − 2𝑥³ + 8𝑥 + 2 e) 𝑓 𝑡 = 2𝑡 − 1 𝑓) 𝑦 = 8 g) 𝑓 𝑥 = 𝑥6 
h) 𝑦 = 2𝑥 + 1 i) 𝑓 𝑥 = −2𝑡2 + 3𝑡 − 6 j) 𝑔 𝑥 = 𝑥² + 4𝑥³ k) 𝑓 𝑥 = 𝑥³ − 3𝑥² + 4𝑥² I) 
𝑦 = 𝑥²
5
 - 𝑥³
4
 + 𝑥4 m) 𝑦 = 𝑥
4
5 − 𝑥
1
6 n) 𝑓 𝑥 = 10 100
1000
 
 
2ª) Calcule a derivada das funções abaixo usando a regra do quociente e do produto, se necessário. 
a) 𝑆 𝑡 = 
5𝑡−1
2𝑡−7
 
b) 𝑔 𝑡 = 
3𝑡−2
5𝑡+1
 
c) 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 − 1 . (1 − 2𝑥) 
d) 𝑦 = 𝑥2 − 3𝑥4 . (𝑥5 − 1) 
 
 
 
 
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INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA INTEGRAL 
 
 Sabemos que, dada uma função 𝑓 𝑥 = 3𝑥², ao derivarmos 𝑓(𝑥)obtemos 𝑓′ 𝑥 = 6𝑥. 
Digamos que temos 𝑓′ 𝑥 = 6𝑥, podemos afirmar que 𝑓 𝑥 = 3𝑥² pois
𝑑
𝑑𝑥
 3𝑥² = 6𝑥, a este 
processo damos o nome de Antiderivação, ou seja, o processo que determina a função original ( 
Primitiva ) a partir de sua derivada.“Vamos utilizar a notação 𝐹(𝑥)como antiderivada de 𝑓(𝑥)”. 
OBS: Seja 𝐹(𝑥)uma antiderivada de 𝑓(𝑥), então 𝐹 𝑥 + 𝐶também o é, onde 𝐶é uma Constante de 
Integração, por exemplo: 
𝐹 𝑥 = 𝑥4, 𝐺 𝑥 = 𝑥4 + 3, 𝐻 𝑥 = 𝑥4 − 5são antiderivadas de 4𝑥³pois a derivada de cada uma 
delas é 4𝑥³. Logo, todas as antiderivadas de 4𝑥³são da forma 𝑥4 + 𝑐. Daí o processo de 
antiderivação nos dar uma família de funções que se diferenciam pela constante. 
Notações: O processo de antiderivação é a operação inversa da derivação e é também chamada de 
integração e indicamos pelo símbolo 𝑓 𝑥 .𝑑𝑥 (Integral Indefinida), como tal indica uma família de 
antiderivadas de 𝑓(𝑥), temos: 
 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙) + 𝑪 
Exemplos: 
a) 2𝑑𝑥 = 2𝑥 + 𝑐 b) 3𝑥²𝑑𝑥 = 𝑥³ + 𝑐 c) 4𝑡𝑑𝑡 = 2𝑡² + 𝑐 
 
Lembrando que 𝐹 𝑥 é uma função tal que 𝐹′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 e 𝐶uma constante arbitrária, 
 𝑠í𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 , 𝑑𝑥diferencial, 𝑓(𝑥)integrando. De acordo com o esquema abaixo temos as 
operações. 
CÁLCULO DE ANTIDERIVADAS (INTEGRAIS) 
a) 
𝑑
𝑑𝑥
[ 𝑓 𝑥 .𝑑𝑥] = 𝑓 𝑥 → A diferenciação é o inverso da integração. 
b) 𝑓′ 𝑥 .𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝐶 → A integração é o inverso da diferenciação. 
 
 
 
 
 A integral representa um dos conceitos mais importantes da Matemática. Ela segue duas 
linhas com interpretações distintas: tem um procedimento inverso à diferenciação e é um método 
eficaz no cálculo de áreas sob uma curva. Devemos destacar que o cálculo de áreas de figuras 
planas, cujos contornos são segmentos de reta, para nós, é bastante familiar. A integração surgiu 
historicamente da necessidade de se calcular áreas de figuras cujos contornos são não retilíneos. 
luizaugustooliveiradasilvaluiz@gmail.com.br página 25 
 
Porém, vale realçar que o cálculo integral, não se restringe apenas à determinação dessas áreas. 
São inúmeras as aplicações da Integral. Como operação, a integração é a inversa da diferenciação. 
Neste contexto, devemos considerar que a integral é um processo para se achar uma função a partir 
do conhecimento de sua derivada. 
 
PRIMITIVA DE UMA FUNÇÃO 
 
Dada a função 𝑓, definida num intervalo real, chamamos de primitiva de 𝑓à função 𝑔, tal que 
𝑔′(𝑥) = 𝑓(𝑥). Assim, se 𝑓 𝑥 = 2𝑥 então as funções: 𝑔 𝑥 = 𝑥²; 𝑔 𝑥 = 2𝑥 + 4; 𝑔 𝑥 = 2𝑥 −
10, são algumas das primitivas de 𝑓. Devemos considerar que as diversas primitivas de uma função 
𝑓, diferenciam-se por uma constante real. Assim, podemos estabelecer a família de primitivas de 
𝑓como sendo 𝑔 𝑥 = 𝑥² + 𝑐, onde 𝑐é um número real. 
Exemplos: Calcule a primitiva das funções abaixo: 
a) 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 → 𝑔 𝑥 = 𝑥3 + 𝑐 
b) 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 → 𝑔 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐 
c) 𝑓 𝑥 = 
1
𝑥
 → 𝑔 𝑥 = 𝑙𝑛𝑥 + 𝑐 
Daí a Regra Geral da Potência para 𝑢 função diferenciável de 𝑥 ser 
 
 
 
 
 
 
Variável com expoente constante (antidiferencial). Onde 𝐶é constante. 
 
COMPROVAÇÃO 
∪′ 𝑥 = 
𝑑
𝑥𝑛+1
𝑛+1
+ 𝐶
𝑑𝑥
 
 
∪′ 𝑥 =
1
𝑛 + 1
𝑑 𝑥𝑛+1 
𝑑𝑥
+ 
𝑑𝐶
𝑑𝑥
 
 
∪′ 𝑥 =
1
𝑛 + 1
 . 𝑛 + 1 𝑥𝑛 + 0 
 
∪′ 𝑥 = 𝑥𝑛 
luizaugustooliveiradasilvaluiz@gmail.com.br página 26 
 
INTEGRAL INDEFINIDA 
 
 O processo pelo qual se determina a primitiva de uma função dada denominamos de Integral, 
assim, dada à primitiva 𝑓 𝑥 + 𝑐de uma função 𝑓(𝑥)a relação entre 𝑓e 𝐹 é expressa por: 
, que se lê na parte esquerda, integral de 𝐹(𝑥)com relação à 𝑥, igual a integral definida que é 
𝑓 𝑥 + 𝐶. 
 
PROPRIEDADE DA INTEGRAL INDEFINITA 
1) Para todo número real a diferente de zero, 𝑎𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥. 
2) (𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥. 
Exemplos: 
a) 𝑥²𝑑𝑥 
Solução:
𝑥2+1
2+1
= 
𝑥³
3
 , logo 𝑥²𝑑𝑥 = 
𝑥³
3
+ 𝑐 
 
b) 𝑥 𝑑𝑥Solução: 𝑥 𝑑𝑥 = 1 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐 
 
c) 3𝑥2 + 5 𝑑𝑥 Solução: 3𝑥2 + 5 𝑑𝑥 = 3 𝑥²𝑑𝑥 + 5 𝑑𝑥=3 
𝑥2+1
2+1
+ 5𝑥 + 𝑐 = 3
𝑥3
3
+ 5𝑥 + 𝑐 
 
d) 
2
 𝑥
3 𝑑𝑥 =2
𝑥
1
3
 𝑑𝑥 
Solução: 2 . 𝑥
−1
3 𝑑𝑥 = 2 
𝑥
−1
3
+1
−1
3
+1
+ 𝑐 = 2. 
3
2
 . 𝑥
2
3 + 𝑐 = 3 . 𝑥²
3
+ 𝑐 
e)  





 dx
xx
5
32
23
= Solução: 𝟐𝒙−𝟑 + 𝟑𝒙−𝟐 + 𝟓 𝒅𝒙 = 𝟐 𝒙−𝟑 𝒅𝒙 + 𝟑 𝒙−𝟐𝒅𝒙 + 𝟓 𝒅𝒙 
2 .
𝑥−3+1
−3 + 1
+ 3.
𝑥−2+1
−2 + 1
+ 5𝑥 + 𝑐 = 2.
𝑥−2
−2
+ 3.
𝑥−1
−1
+ 5𝑥 + 𝑐 = −𝑥−2 − 3. 𝑥−1 + 5𝑥 + 𝑐 
 
INTEGRAL DEFINIDA 
 
O Cálculo da Área:Primeiramente aproximaremos a área da região 𝑅 delimitada por gráficos de 
funções por soma de áreas de retângulos inscritos ou circunscritos para então tomarmos o limite 
das áreas desses retângulos, à medida que se aumenta o número destes, conforme a figura as 
figuras abaixo. 
 
 
 
 
 
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Se 𝑓é uma função de 𝑥, então a sua integral definida é uma integral restrita à valores em um 
intervalo específico, digamos, 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏. O resultado é um número que depende apenas de 𝑎e 𝑏, e 
não de 𝑥. Vejamos o enunciado do teorema: 
 
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO: Se 𝑦 = 𝑓(𝑥) é uma função contínua no intervalo 
[𝑎, 𝑏] e 𝑓′ 𝑥 = 𝑓(𝑥) (isto é, 𝐹(𝑥) é uma primitiva ou anti-derivada 𝑓(𝑥)], então 
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
𝑏
𝑎
 
 
PROPRIEDADES DA INTEGRAL:Se 𝑓 e 𝑔são funções contínuas no intervalo [𝑎, 𝑏] , então: 
 
a) 𝑐𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
 , onde 𝑐 é uma constante. 
 
b) 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 
𝑏
𝑎
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 .
𝑏
𝑎
 
 
c) 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 
𝑏
𝑎
 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑐
 ,
𝑐
𝑎
 onde 𝑎 ≤ 𝑐 ≤ 𝑏. 
 
d) 𝑓(𝑥) ≥ 0, ∀ 𝑥 𝜖 𝑎, 𝑏 ⟹ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≥ 0.
𝑏
𝑎
 
 
e) 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥), ∀𝑥 𝜖 𝑎,𝑏 ⟹ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≥ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥.
𝑏
𝑎
 
f) Se ∃ 𝑓 𝑎 ⟹ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0
𝑎
𝑎
. 
 
Exemplos: Use integração para calcular a área das regiões delimitadas pelo eixo-𝑥e pelas funções 
abaixo: 
1) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1, no intervalo [1 , 3]. (Resolver em sala de aula) 
 
 
 
 
 
 
 
 
2)𝑓 𝑥 = 𝑥² − 4𝑥 , 𝑥 𝜖 [1 , 3]. (Resolver em sala de aula) 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1ª) Resolva os limites abaixo é: 
 
𝑎) 𝑙𝑖𝑚𝑥→0
 9+𝑥 − 3
𝑥
 b) 𝑙𝑖𝑚𝑥→12
3 − 𝑥−3 
𝑥²−144
 
 
c) 𝑙𝑖𝑚𝑥→4
 5− 1+𝑥
𝑥−4
 d) 𝑙𝑖𝑚𝑥→4
 𝑥 − 2
𝑥²− 4𝑥
 
 
2ª) Uma empresa estima que se gastar a milhões de reais para anunciar um produto, sua receita 
anual 𝑅, em milhões de reais, será dada pela função 𝑅 𝑥 = 
810𝑥² + 3𝑥
9𝑥²+5
 . Calcule: 
 
𝑎) 𝑙𝑖𝑚𝑥→−2 𝑅(𝑥) b) 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞ 𝑅(𝑥) 
 
3ª) Utilize a técnica da integral definida para as funções abaixo: 
a) 
2𝑥³
3
+
3𝑥
6
+
5
2
 
3
0
𝑑𝑥 b) 9𝑥2 + 4𝑥 + 5 𝑑𝑥
2
1
 
4ª) Um tanque contém 5000 litros de água pura. A Salmoura contendo 30 𝑔 de sal por litro de 
água é bombeada para dentro do tangue a uma taxa de 25 𝐿/𝑚𝑖𝑚. A concentração de sal após 𝑡 
minutos (em gramas por litro) é dada pela equação 𝐶(𝑡) =
21𝑡+50
100 +3𝑡
. O que acontece com a 
concentração quando t  . 
5ª) Sabendo que 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞ 
6𝑥²−𝑥+5
𝑘𝑥²−1
 =
2
3
 . Mostre que o valor de 𝑘 é 9? 
6ª) Mostre que a soma 1 + 𝑥2 𝑑𝑥 + 4 − 2𝑥 𝑑𝑥 é 
7
3
2
1
1
0
 𝑢𝑎. 
7ª) (VENDAS) O gerente da joalheria Ouro Fino modela o total de vendas usando a função 
𝑆 𝑡 = 
2.000𝑡
4 + 0,3𝑡
 
onde 𝑡 é o tempo (em anos) após o ano de 2006 𝑒 𝑆 está expresso em milhares de reais. 
a) Com que taxa as vendas estão variando em 2008? R: S’(2) = 378,07 
b) O que acontece com as vendas “a longo prazo” (ou seja, quando 𝑡 → ∞)? R: As vendas 
tendem para um valor limite de R$ 6.666,67 
luizaugustooliveiradasilvaluiz@gmail.com.br página 29 
 
8ª) A função de produção de um certo bem em relação à quantidade de matéria prima, em 
quilogramas, é dada por: 
 𝑃 𝑥 = 
𝑥²−144
𝑥−12
 
Determine e interprete a produção quando se tem 12 quilogramas de matéria prima e faça a sua 
análise gráfica do comportamento de 𝑃 = 𝑃 𝑥 . 
9ª) Prove que os limites abaixo é: 
 
a) 𝑙𝑖𝑚𝑕→1 
𝑕³−1
𝑕²−1
= 
3
2
 b) 𝑙𝑖𝑚𝑥→2
 8− 6+𝑥
𝑥−2
= 
−1
2 8
 
 
10ª) O número de usuários de um site de relacionamentos tem crescido rapidamente com o tempo. 
Suponha que o número 𝑁 de usuários do site (em milhares de pessoas) possa ser bem descrito 
como função do tempo por 𝑁 𝑡 = 
64𝑡³−125
8𝑡³−25
3
 , em que 𝑡 é o tempo em meses e 𝑡 = 0 é o mês atual. 
Baseado nesse modelo e pensando em longo prazo, o número de usuários deste site daqui a um 
tempo bastante longo (em milhares de usuários) será de 4.000 usuários ou 2.000 usuários, 
justifique com os seus cálculos necessários. 
11ª) O custo para fabricar 𝑥 CDs de música é 𝐶 𝑥 = 150𝑥 + 1500 reais; o custo médio por CD 
é portanto 
𝐶(𝑥)
𝑥
 : 
a) Qual é o limite do custo total para grandes valores de 𝑥? 
b) Qual é o limite do custo médio para grandes valores de 𝑥? 
 
12ª) A administração de um hospital vai implementar um novo sistema que pretende reduzir o 
tempo de espera para cirurgias. O seguinte modelo foi experimentalmente determinado para prever 
que em 𝑡 meses o percentual de pacientes que podem ser operados sem entrar em lista de espera 
é:
 𝑡% = 
230+23.𝑒−𝑡
0,4
 
Qual é o percentual que não poderá nunca ser atingido ou seja que não pode ser esperado a longo 
prazo na lista de espera. 
13ª) O número de usuários de um site de relacionamentos tem crescido rapidamente com o tempo. 
Suponha que o número 𝑁 de usuários do site (em milhares de pessoas) possa ser bem descrito 
luizaugustooliveiradasilvaluiz@gmail.com.br página 30 
 
como função do tempo por 𝑁 𝑡 = 
134+ 10000 𝑡4−125𝑡³
8𝑡³+625𝑡4
4
 , em que 𝑡 é o tempo em meses e 𝑡 = 0 é o 
mês atual. Baseado nesse modelo e pensando em longo prazo, o número de usuários deste site 
daqui a um tempo bastante longo (em milhares de usuários) será de 4.000 usuários ou 2.000 
usuários, justifique com os seus cálculos necessários. 
 
14ª) Mostre que o limite 
𝑙𝑖𝑚
𝑎→0
 3 + 𝑎 − 3 − 𝑎
𝑎
= 
1
 3
 
15ª) Prove que os limites abaixo é: 
 
a) 𝑙𝑖𝑚𝑥→7
2− 𝑥−3 
𝑥²−49
= 
−1
56
 b) 𝑙𝑖𝑚𝑥→2
 6− 4+𝑥
𝑥−2
= 
−1
2 6
 
 
16ª) A administração de um hospital vai implementar um novo sistema que pretende reduzir o 
tempo de espera para cirurgias. O seguinte modelo foi experimentalmente determinado para prever 
que em 𝑡 meses o percentual de pacientes que podem ser operados sem entrar em lista de 
espera,𝑡% = 
240 +23.𝑒−𝑡
0,5
 . Qual é o percentual que não poderá nunca ser atingido ou seja que não 
pode ser esperado a longo prazo na lista de espera. 
 
17ª) (LUCRO) Um fabricante de DVD determina que, quando 𝑥 centenas de unidades são 
produzidas, o lucro é 𝑃 𝑥 = 4.000 15 − 𝑥 . 𝑥 − 2 reais. 
a) Calcule 𝑃′ 𝑥 . R: P’(x)=4000(17-2x) 
b) Determine o valor de 𝑥 para o qual 𝑃′ 𝑥 = 0. R: P’(x)= 0 para x =
17
2
 ou 850 unidades. Para 
este nível de produção, o lucro não está aumentando e nem diminuindo. 
 
18ª) (PRODUÇÃO DE UMA FÁBRICA) Em uma certa fábrica, determina-se que 𝑄 unidades são 
produzidas quando 𝐿 homens-horas são usadas na produção, onde 
𝑸 𝑳 = 𝟑𝟏𝟎𝟎 𝑳 
a) Determine a taxa média de variação da produção quando a mão-de-obra varia de 𝐿 = 3025 
homens-horas para 3100 homens-horas. R: 
𝑄 3100 −𝑄 3025 
3100−3025
= 24,8 
b) Use os métodos do cálculo para determinar a taxa instantânea de variação da produção com a 
mão-de-obra para 𝐿 = 3025. R: 28,18 
 
luizaugustooliveiradasilvaluiz@gmail.com.br página 31 
 
19ª) (PIB) O Produto Interno Bruto de um certo país é dado por𝑁 𝑡 = 𝑡2 + 5𝑡 + 106 bilhões de 
dólares, onde 𝑡 é o número de anos após 1995. 
a) Qual foi a taxa de variação do PIB em 2005? R: A taxa de variação do PIB é a derivada 
N’(t)=2t + 5. A taxa de variação em 2005 foi de25 bilhões de dólares por ano. 
b) Qual foi a taxa de variação percentual do PIB em 2005? R: Variação Relativa = 
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎 çã𝑜 𝑑𝑒 𝑄
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑄
=
100% .
𝑁′ (10)
𝑁(10)
= 9,77% 𝑎𝑜 𝑎𝑛𝑜. 
20ª) (CUSTO DE PRODUÇÃO) Um gerente determina que o custo para produzir 𝑥 unidades de 
um certo produto é 𝐶 milhares de reais, onde 
𝑪 𝒙 = 𝟎,𝟎𝟒𝒙𝟐 + 𝟓,𝟏𝒙 + 𝟒𝟎 
a) Determine o custo médio quando o nível de produção varia de 𝑥 = 10 para 𝑥 = 11 unidades. 
R: R$5,94 a unidade 
b) Use os métodos do cálculo para determinar a taxa instantânea de variação do custo com o nível 
de produção para 𝑥 = 10 e compare o resultado com o do item (a). O custo está aumentando 
ou diminuindo quando a produção é de 10 unidades. 
R: R$5,90 a unidade; está aumentando. 
 
21ª) (DESPESA DO CONSUMIDOR) A demanda de um certo produto é dada por 𝐷 𝑥 =
 −35𝑥 + 200, ou seja, 𝑥 unidades são demandadas (vendidas) quando o preço unitário é 𝑝 = 𝐷 𝑥 
reais. 
a) A despesa do consumidor 𝐸 𝑥 é a quantia total paga pelos consumidores para comprar 𝑥 
unidades. Expresse a despesa do consumidor 𝐸 em função de 𝑥. 
b) Determine a variação média da despesa do consumidor quando 𝑥 varia de 𝑥 = 4 para 𝑥 = 5. 
c) Use os métodos do cálculo para determinar a taxa instantânea de variação da despesa do 
consumidor com o número de unidades compradas para 𝑥 = 4. A despesa está aumentando ou 
diminuindo para 𝑥 = 4 ? 
 
22ª) (MEDICINA) Um biólogo modela o efeito da introdução de uma toxina em uma colônia de 
bactérias através da função 
𝑷 𝒕 = 
𝒕 + 𝟏
𝒕² + 𝒕 + 𝟒
 
onde 𝑃 é a população da colônia (em milhões) 𝑡 horas após a toxina ser introduzida. Com que taxa 
a população está variando no momento em que a toxina é introduzida? A população está 
aumentando ou diminuindo nesta ocasião? R: 0,1875 milhões de bactérias está aumentando. 
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23ª) (ENGENHARIA DE PRODUÇÃO) Um fabricante de motocicletas estima que, se gastar 
milhares de reais por ano em publicidade, conseguirá vender 𝑀 𝑥 = 2.300 + 
125
𝑥
− 
157
𝑥²
 , com 
3 ≤ 𝑥 ≤ 18Motocicletas. Qual será a taxa de variação das vendas com a quantia gasta se o 
fabricante investir 𝑅$ 9.000,00 em publicidade? Para este nível de investimento em publicidade, as 
vendas aumentam ou diminuem com o aumento da quantia investida? 
 
24ª) (COLÔNIA DE BACTÉRIAS) A população de uma colônia da bactérias é dada por 
𝑷 𝒕 = 
𝟐𝟒𝒕 + 𝟏𝟎
𝒕² + 𝟏
 
Milhões de bactérias 𝑡 horas após a introdução de uma toxina. A que taxa a população está 
variando 1 hora após a toxina ser introduzida (𝑡 = 1)? A população está aumentando ou 
diminuindo nessa ocasião? 
25ª)Calcule as derivadas abaixo através da definição
   
.lim 00
0 x
xfxxf
x 

 
a) 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 2 b) 𝑓 𝑥 = 1 − 4𝑥2 c) 𝑓 𝑥 = 
1
𝑥+2
 d) 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 − 𝑥 − 1 
e) 𝑓 𝑥 = 𝑥 
 
26ª) (ENGENHARIA DE PRODUÇÃO) Um empregado está executando a sua tarefa com mais 
eficiência a cada dia. Suponha que 𝑁 = 640(1 − 2−0,5𝑡) seja o número de unidades fabricadas por 
dia por esse empregado, após 𝑡 dias do início do processo de fabricação. Quantas ele fabricará por 
dia quando 𝑡 → 14? 𝑅 = 635 
 
27ª) (A REAÇÃODO ORGANISMO A UM MEDICAMENTO) 
 A resposta do corpo a uma dose de um medicamento às vezes é representada por uma 
equação na forma 
𝑹 = 𝑴² 
𝑪
𝟐
−
𝑴
𝟑
 , 
onde 𝐶 é uma constante positiva e 𝑀 a quantidade de medicamento absorvida no sangue. Se a 
resposta esperada for uma variação na pressão; se a resposta for uma variação de temperatura, 𝑅 
deve ser medido em milímetros de mercúrio; se a resposta for uma variação de temperatura, 𝑅 será 
medido em graus centígrados e assim por diante: Determine 
𝑑𝑅
𝑑𝑀
 . Essa derivada, em função de 𝑀, é 
chamada de sensibilidade do corpo ao medicamento. Resposta esperada: 𝑀𝐶 −𝑀². 
 
luizaugustooliveiradasilvaluiz@gmail.com.br página 33 
 
 28ª) Em um modelo de aprendizado proposto por C. L. Huli, a força do hábito 𝐻 em um indivíduo 
está relacionada ao número de reforços r através da equação 𝐻 𝑟 = 𝑀(1 − 𝑒−𝑘𝑟 ). Plote 𝐻(𝑟). O 
que acontece com 𝐻(𝑟) quando 𝑟 → ∞ ? 𝑅𝑒𝑠𝑝:𝑀 
 29ª) (MEDICINA) Os biólogos que estudam as migrações das baleias calculam que nos últimos 
25 anos o número de baleias que passaram por uma certa península por ano é dado 
aproximadamente pela equação 𝑊 𝑦 = 200 + 
1000
𝑦+1
, onde 𝑦 é o tempo em anos. Use a teoria dos 
limites para estimar o número de baleias que passarão pela península no futuro distante? 𝑅 = 200 
30ª) Um botânico acompanhou desenvolvimento de um tipo de árvore secular da Amazônia e 
relacionou o seu crescimento através da expressão 𝐻 𝑡 = 20 − 
80
4+𝑡
 , onde 𝑡 é a idade da árvore 
em anos e 𝐻, sua altura em metros. Nessas condições, esse tipo de árvore jamais ultrapassará a 
altura de: 𝑅 = 20𝑚. 
31ª) É estimado que daqui a 𝑡anos, a população de certa comunidade urbana será de 𝑃 𝑡 = 20 −
 
6
𝑡+1
mil. O que acontece com 𝑃(𝑡) à medida que 𝑡cresce mais e mais? 𝑅 = 20 𝑚𝑖𝑙. 
 
32ª) (RESOLVIDA) Se 𝑪 𝒙 for o custo total da fabricação de "𝒙" pesos de papel, onde 
𝑪 𝒙 = 𝟐𝟎𝟎 +
𝟓𝟎
𝒙
+ 
𝒙²
𝟓
, obtenha: 
a) a função custo marginal; 
b) o custo marginal quando 𝒙 = 𝟏𝟎; 
Solução: a) A função custo marginal é a derivada da função custo, assim: 
𝒂) 𝑪 𝒙 = 𝟐𝟎𝟎 +
𝟓𝟎
𝒙
+ 
𝒙²
𝟓
→ 𝑪′ 𝒙 =
−𝟓𝟎
𝒙²
+
𝟐
𝟓
𝒙 
𝒃) 𝑪′ 𝟏𝟎 =
𝟕
𝟐
→ O custo marginal para 𝒙 = 𝟏𝟎 é de 𝑹$𝟑,𝟓𝟎. 
33ª) Se 𝑹(𝒙) for o rendimento total recebido na venda de, "𝒙" aparelhos de televisão, onde: 
𝑹 𝒙 = 𝟔𝟎𝟎𝒙 − 
𝟏
𝟐𝟎
 𝒙𝟑, obtenha: 
a) a função receita marginal; 
luizaugustooliveiradasilvaluiz@gmail.com.br página 34 
 
b) a receita marginal quando 𝒙 = 𝟐𝟎 
34ª) (RESOLVIDA) 
MAXIMIZANDO A RECEITA DE UM COMÉRCIO 
Um produtor de aparelhos de som determinou que, para vender unidades de um produto, seu preço 
por unidades dever ser dado pela seguinte função: 
𝑷 𝒙 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 − 𝒙 
Ele também determinou que o custo de produção de unidades será dado pela função 
𝑪 𝒙 = 𝟒𝟎𝟎𝟎 + 𝟏𝟔𝒙 
a) Formule a função Receita. 
b) Formule a função Lucro. 
c) Quantas unidades devem ser produzidas e vendidas para maximizar o lucro? 
d) Qual é o lucro máximo? 
e) Qual é o preço por unidade que será cobrado no ponto do lucro máximo? 
Solução: a) A receita será dada por: 
Receita total = (número de unidades vendidas).(preço) 
𝐑 𝐱 = 𝐱.𝐩 𝐱 
𝐑 𝐱 = 𝐱. 𝟏𝟎𝟎𝟎 − 𝐱 
𝐑 𝐱 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝐱 − 𝐱² 
b) A função lucro será dada por: 
𝑳 𝒙 = 𝑹 𝒙 − 𝑪 𝒙 
𝑳 𝒙 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝒙 − 𝒙𝟐 − 𝟒𝟎𝟎𝟎 + 𝟏𝟔𝒙 
𝑳 𝒙 = −𝒙² + 𝟗𝟖𝟒𝒙 − 𝟒𝟎𝟎𝟎 
c) Para achar o máximo da função lucro, iremos derivar essa função e achar o ponto crítico . 
luizaugustooliveiradasilvaluiz@gmail.com.br página 35 
 
𝑳′ 𝒙 = −𝟐𝒙 + 𝟗𝟖𝟒 
𝑳′ 𝒙 = 𝟎 
−𝟐𝒙 + 𝟗𝟖𝟒 = 𝟎 → 𝒙 = 𝟒𝟗𝟐 
Note que esse valor é constante. Assim,𝟒𝟗𝟐 é ponto de máximo. 
d) O lucro máximo é dado por 𝑷(𝟒𝟗𝟐) 
𝑷 𝟒𝟗𝟐 = − 𝟒𝟗𝟐 𝟐 + 𝟗𝟖𝟓. 𝟒𝟗𝟐 − 𝟒𝟎𝟎𝟎 
𝑷 𝟒𝟗𝟐 = 𝟐𝟑𝟖.𝟓𝟓𝟔,𝟎𝟎 
Assim, o lucro máximo é de 𝑹$𝟐𝟑𝟖.𝟓𝟓𝟔,𝟎𝟎 
e) O preço por unidade cobrado no ponto de lucro máximo será: 
𝑷 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 − 𝟒𝟗𝟐 = 𝑹$𝟓𝟎𝟖,𝟎𝟎 
35ª)O lucro de uma empresa é dado por 𝑳 𝒙 = −𝟕𝒙² + 𝟏𝟔𝟖𝟎𝒙 − 𝟔𝟎𝟎𝟎. Quantas unidades 
devem ser vendidas para que o lucro seja máximo? 
36ª) A quantidade 𝑷 (em toneladas) produzida por mês de certo produto e𝒙 o trabalho mensal 
envolvido (medido em homens-hora) é dada pela função produção 𝑷 𝒙 = 𝟏𝟎𝟏𝟔 𝒙 . Determinar 
a produtividade marginal quando 𝒙 = 𝟔𝟒. 
Respostaesperada: 𝟔𝟑,𝟓 𝒕𝒐𝒏𝒆𝒍𝒂𝒅𝒂𝒔 
37ª) Considere a função produção 𝑃 𝐻 = 500. 𝐻 − 6𝑕 , onde 𝑃 é a produção mensal (em 
toneladas), e 𝐻, o número de homens-hora empregados. Calcular: 
a) função produtividade marginal, 𝑃′(𝐻); 𝑹: 𝑷′ 𝑯 = 
𝟐𝟓𝟎
 𝒉
− 𝟔 
b) 𝑃′ 100 ; 𝑹: 𝟏𝟗 
ATIVIDADE COMPLEMENTAR 
1ª) O custo para fabricar 𝑥 CDs de música é 𝑪 𝒙 = 𝟐𝟎𝟎𝒙 + 𝟒𝟓𝟎𝟎 reais; o custo médio por CD é 
portanto 
𝑪(𝒙)
𝒙
 
a) Qual é o limite do custo total para grandes valores de 𝑥? 
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b) Qual é o limite do custo médio para grandes valores de 𝑥? 
 
2ª) A administração de um hospital vai implementar um novo sistema que pretende reduzir o tempo 
de espera para cirurgias. O seguinte modelo foi experimentalmente determinado para prever que 
em 𝑡 meses o percentual de pacientes que podem ser operados sem entrar em lista de espera é. 
 𝒕% = 
𝟒𝟐𝟎 + 𝟒𝟐.𝒆−𝒕
𝟎,𝟕
 . 
Qual é o percentual que não poderá nunca ser atingido ou seja que não pode ser esperado a longo 
prazo na lista de espera. 
3ª) O gerente da joalheria Ouro Fino modela o total de vendas usando a função 𝑆(𝑡) = 
𝟒𝟎𝟎𝟎𝒕
𝟒+𝟎,𝟓𝒕
 , onde 
𝑡 é o tempo (em anos) após o ano de 2008 𝑒 𝑆 está expresso em milhares de reais. 
a) Com que taxa as vendas estão variando em 2012? 
b) O que acontece com as vendas “a longo prazo” (ou seja, quando 𝑡 → ∞)? 
 
4ª) (Produção de uma Fábrica) Em uma certa fábrica, determina-se que 𝑄 unidades são 
produzidas quando 𝐿 homens-horas são usadas na produção, onde: 
𝑄 (𝐿) = 2100 𝒍 
a) Determine a taxa média de variação da produção quando a mão-de-obra varia de 𝐿=4225 
homens-horas para 2100 homens-horas. R:18,95 
b) Use os métodos do cálculo para determinar a taxa instantânea de variação da produção com a 
mão-de-obra para 𝐿=4225. R: 16,15 
 
5ª) Um produtor de aparelhos de som determinou que, para vender unidades de um produto, seu 
preço por unidades dever ser dado pela seguinte função: 
𝑷 𝒙 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 − 𝒙 
Ele também determinou que o custo de produção de unidades será dado pela função 
𝑪 𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟑𝟓𝟎𝟎 
a) Formule a função Receita. 
b) Formule a função Lucro. 
c) Quantas unidades devem ser produzidas e vendidas para maximizar o lucro? 
luizaugustooliveiradasilvaluiz@gmail.com.br página 37 
 
d) Qual é o lucro máximo? 
e) Qual é o preço por unidade que será cobrado no ponto do lucro máximo? 
Interpretação Cinemática da Derivada 
Após fazemos a interpretação geométrica da taxa de variação média, e calcularmos 
os coeficiente angular da reta tangente, usaremos a taxa de variação média, para fazer o estudo do 
movimento retilíneo uniformemente acelerado em Cinemática. 
Uma outra aplicação do estudo da taxa de variação média serve para explicar um 
importante tópico da Física no capitulo de Cinemática, onde sabemos que a posição de um ponto 
material em movimento sobre uma curva (trajetória) conhecida pode ser determinada, em cada 
instante t, através de sua abscissa s, medida sobre a curva. 
 Assim, S é uma função de t e indicamos por S = S(t), chamada função horária do 
ponto. 
 
 
 
 
 Observando o gráfico acima, e supondo conhecida a definição de velocidade, teremos: 
 
 
 
Então, para calcular a velocidade escalar do móvel ponto to, temos: 
 
 
 Considerando a definição de derivada, podemos afirmar que a velocidade de um ponto 
móvel num instante to é igual à derivada da função horária S(t) no instante em que t = to, isto é:
 
 
 Sabemos que, para um ponto em movimento, a velocidade v pode variar em função do 
tempo t, assim, teremos a expressão v = f(t), chamada função da velocidade do ponto. 
luizaugustooliveiradasilvaluiz@gmail.com.br página 38 
 
 Do estudo da cinemática, sabemos que: 
 
 
 A aceleração escalar do ponto to é o limite: 
 
 
 
 Considerando a definição de derivada, podemos afirmar que a aceleração de um ponto móvel 
num instante to é igual à derivada da função velocidade v(t) no instante em que t = to, isto é: 
 
ATIVIDADES PROPOSTAS 
1ª) A equação horária de uma partícula em movimento é S = 4t² (Unidade SI: t em segundos e s em 
metros). Determine: 
a) A velocidade média da partícula entre os instantes 𝑡1 = 2s e 𝑡2 = 5s. R: 24 
𝑚
𝑠
 
b) A velocidade da partícula no instante t = 10s é dada pela derivada de s no instante t = 10s. 
R: 80 
𝑚
𝑠
 
2ª) A equação da velocidade de uma partícula em movimento é v = t² - 2t (Unidade SI: t em 
segundos e v em metros por segundo). Determine: 
a) A aceleração média da partícula entre os instantes 𝑡1 = 1s e 𝑡2= 6s. R: 5 
𝑚
𝑠²
 
b) A aceleração da partícula no instante t = 3s é dada pela derivada de v no ponto t = 3s R: 4 
𝑚
𝑠²
 
3ª) Um ponto em movimento obedece à equação horária S = t² + 3t (nas unidades: S em metros e 
t em segundos). Determinar a velocidade do móvel no instante t = 4s. R:15 
𝑚
𝑠
 
4ª) Um ponto em movimento obedece à equação horária S = t² - 5t + 1 (nas unidades: S em metros e t 
em segundos). Determinar a velocidade do móvel no instante t = 10 s. R:11 
𝑚
𝑠
 
5ª) Um móvel se desloca segundo a função horária S = t³ - 5t + 3 (nas unidades: S em metros e t 
em segundos). Determinar a aceleração do móvel no instante t = 3s. R: 18 
𝑚
𝑠²
 
luizaugustooliveiradasilvaluiz@gmail.com.br página 39 
 
6ª) Um móvel se desloca segundo a função horária S = t³ + t² + t (nas unidades: S em metros e t 
em segundos). Determinar a aceleração do móvel no instante t = 1s. R: 8 
𝑚
𝑠²
 
7ª) Um ponto móvel sobre uma reta tem abscissa S dada em cada instante t dada pela lei em que 
a, w e são números reais dados. Determine. S= a. cos (wt +𝛽) em que a, w e 𝛽 são números reais 
dados. Determine. 
a) A lei que dá a velocidade do ponto em cada instante. R: v = - a.w.sen(w.t + 𝛽) 
b) A velocidade no instante t = 0. R: v(0)=- a.w.sen 𝛽 
c) A lei que dá a aceleração do ponto em cada instante. R: a= - a.w².cos(w.t + 𝛽) 
d) A aceleração no instante no instante t = 1s. R: a= - a.w².cos(w + 𝛽) 
8ª) Obtenha a velocidade e a aceleração de um ponto material que percorre um seguimento de 
reta obedecendo a equação horária , 𝑆 = 𝑎. 𝑒−𝑡 . 𝑐𝑜𝑠𝑡, com 𝑎 𝜖 𝑅. R: a = 2a𝑒−𝑡 . 𝑠𝑒𝑛𝑡. 
9ª) Durante várias semanas, o departamento de trânsito vem registrando a velocidade dos 
veículos que passam em um certo quarteirão. Os resultados mostram que entre 13h e 18h de um 
dia de semana, a velocidade nesse quarteirão é dada aproximadamente por 𝑣 𝑡 = 𝑡³ −
10,5 𝑡² + 30𝑡 + 20 , quilômetros por hora, onde t é o número de horas após o meio-dia. Qual o 
instante entre 13h e 18h em que o trânsito é mais rápido? Qual o instante em que o trânsito é 
mais lento? 
 R: O trânsito é mais rápido às 14hs, quando os carros passam no quarteirão com uma velocidade 
média de 46 
𝑘𝑚
𝑕
, e mais lento às 17hs, quando a velocidade média é 32,5 
𝑘𝑚
𝑕
. 
10ª) Um ponto material se move de acordo com a lei S(t) = sent + t (S dado em metros e t em 
segundos). Calcule: 
a) sua velocidade em função do tempo; 
b) a sua velocidade no instante 𝑡 = 
𝜋
3
𝑠; 
c) a sua aceleração em função do tempo; 
d) a sua aceleração no instante 𝑡 = 
𝜋
4
 𝑠; 
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11ª) O movimento de uma mola sujeita a uma força de atrito ou a uma força de amortecimento 
(tal como amortecedor em um carro) é frequentemente modelado como sendo o produto de uma 
função exponencial por uma função seno ou cosseno. Suponha que a equação de movimento de 
um ponto sobre essa mola é 𝒔 𝒕 = 𝟐.𝒆−𝟏,𝟓𝒕. 𝒔𝒆𝒏𝟐𝝅𝒕 , onde s é medida em centímetros e t em 
segundos.Sabendo que 𝒗 𝒕 = 
𝒅𝒔
𝒅𝒕
 𝒕 representa a velocidade v deste ponto no instante t, é 
correto afirmar que. 
a) 𝑣 𝑡 = −3𝑠𝑒𝑛2𝜋 + 4𝜋𝑐𝑜𝑠2𝜋𝑡. 
 b) 𝑣 𝑡 = 𝑒−1,5𝑡(−3𝑠𝑒𝑛2𝜋𝑡 + 4𝜋𝑐𝑜𝑠2𝜋𝑡) 
c) 𝑣 𝑡 = 𝑒−1,5𝑡(−3𝑐𝑜𝑠2𝜋𝑡 + 4𝜋𝑠𝑒𝑛2𝜋𝑡) 
d) 𝑣 𝑡 = 𝑒−1,5𝑡𝑠𝑒𝑛7𝜋𝑡 
12ª) Movimento de um elétron está sendo dado pela função 
𝑆 = 10 + 2𝑡 + 
1
2
 𝑡² − 
1
5
𝑡³ 
S e t estão em unidades do S.I, determine; 
a) A velocidade média entre 0s e 5,0s; 
 b) A função da velocidade do móvel; 
c) A aceleração média entre 0s e 5,0s; 
d) A máxima posição positiva que o móvel atinge; 
e) A função da aceleração do móvel; 
f) A máxima velocidade positiva atingida pelo móvel; 
13ª) A equação do movimento de uma partícula é 𝑠 𝑡 = 𝑡 + 2
3
 , s em metros e t em segundos. 
Determine: 
a) o instante em que a velocidade é de 
1
12
 𝑚/𝑠; resposta esperada 6s. 
b) a distância percorrida até este instante; resposta esperada 2m. 
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c) a aceleração da partícula quando t = 2s; resposta esperada 
−1
18 16
3 m/s². 
14ª) Determine a aceleração, no instante t =1 seg, de um móvel que percorre segundo a expressão 
𝑆 𝑡 = 𝑡² + 3 (t em segundos e s em metros) resposta esperada 
3
8
 m/s². 
15ª) A posição de um ponto P sobre um eixo x, é dada por x(t) = 4t² + 3t − 2, com t medido em 
segundos e x(t) em centímetros. 
(a) Determine as velocidades médias de P nos seguintes intervalos de tempo: [1; 1, 2], [1; 1, 1], 
[1; 1, 01], [1; 1, 001]. Resposta esperada: 11, 8; 11, 4; 11, 04; 11, 004 (cm/seg). 
(b) Determine a velocidade de P no instante t = 1 seg. Resposta esperada: 11 cm/seg. 
16ª) Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer obedecendo a função horária: 
S(t) = 4t³ – 5t² + 8t +1 [sendo S em metros e t em segundos]. Então: 
a) Determine a lei de sua velocidade em função do tempo. R: v(t) = 12t² – 10t + 8 
b) Calcular a velocidade da partícula no instante t = 1 s. R: v(1) = 10 m/s 
c) Obter a lei de sua aceleração em função do tempo. R: a(t) = 24t – 10 
d) Calcular a aceleração da partícula no instante t = 4 s. R: a(4) = 86 m/s² 
 
17ª) Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer obedecendo à função horária: 
S(t) = t² – 7t + 10 [com S em metros e t em segundos]. Assim: 
a) Determine a lei de sua velocidade em função do tempo. R: v(t) = 2t - 7 
b) Calcular a velocidade da partícula no instante t = 3 s. R: v(3) = -1 m/s 
c) Obter a lei de sua aceleração em função do tempo. R: a(t) =2 
d) Calcular a aceleração da partícula no instante t = 3 s. R: a(3) = 2 m/s² 
 
18ª) Um reservatório de água está sendo esvaziado e a função V(t) = 200 30 − 𝑡 2 indica o 
volume [em litros] de água presente no reservatório no tempo t [em minutos], com 0 ≤ t ≤ 30 . 
Pergunta-se: 
a) Qual a quantidade de água existente no reservatório depois de 8 minutos de escoamento? 
resposta esperada: V(8) = 96.800 l 
 
b) A que taxa o volume de água do reservatório varia após 8 minutos? 
 resposta esperada V’(8) = – 8800 l/min 
 
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c) Qual a taxa média de variação do volume de água durante os primeiros 8 minutos? 
 resposta esperada Vm = –10400 l /min 
 
19ª) Dois móveis têm seus movimentos sobre uma mesma trajetória retilínea, dados pelas 
equações 𝑆1 𝑡 = 𝑡³ + 4𝑡² + 𝑡 − 1 e 𝑆2 𝑡 = 2𝑡³ − 5𝑡² + 𝑡 + 2 . Determine as velocidades e as 
posições desses móveis quando as suas acelerações forem iguais. Considere em metros e em 
segundos. 
 resposta esperada velocidades 52 m /s e 25 m /s e posições 65m e 14m. 
 
20ª) A posição de uma partícula que descreve um movimento em linha reta sobre o eixo x é dada 
por x = 3t³ - 5t² + t (com t em segundos e x em metros). Resolva: 
a) Escreva as equações da velocidade e da aceleração para a partícula; 
 R: 𝑣 𝑡 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 9𝑡² = 10𝑡 + 1 e 𝑎 𝑡 = 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 
𝑑²𝑥
𝑑𝑡²
= 18𝑡 − 10 
b) Determine a aceleração média da partícula entre t = 2s e t = 3s; 
R: 𝑎𝑚 = 35 m/s² 
c) Calcule a aceleração instantânea da partícula, no instante de tempo inteiro em que a 
velocidade da partícula é nula; 
R: a = 8 m/s² 
 
21ª) Resolva: 
a) Uma partícula se move ao longo do eixo x à partir de um tempo t≥ 0 e sua velocidade é dada 
por: 
v(t) = - t³ + 6t² + 2t 
Em qual instante de tempo t a partícula obtém a máxima aceleração? 
R: 2 seg. 
b) Um objeto preso a uma mola vertical tem função posição dada por 𝑦 𝑡 = 𝐴. 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 , onde A 
é a amplitude de sua oscilação e w é uma constante. Encontre a velocidade e a aceleração como 
função do tempo. 
 R: 𝑣 𝑡 = 𝐴𝑤. cos 𝑤𝑡 e a(t)= -Aw². sen(wt) 
 
 22ª) [Queda livre em Júpiter] A equação para a queda livre na superfície de júpiter é S=11,44t², 
com S em metros e t em segundos. Suponha que uma esfera de aço seja largada do topo de um 
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penhasco de 500m de altura. Determine a velocidade [em km/h] e a aceleração dessa esfera [em 
m/s²], quando t = 2s. 
 resposta esperada: v(2) =164,736 km/h e a(2)= 22,88 m/s². 
 
 23ª) [Círculo de área variável] Qual é a taxa de variação da área de um círculo em relação ao 
raio, quando r=3? 
 Lembre-se que a área do círculo é: A(r)= 𝜋. 𝑟². 
 
 24ª) A população inicial de uma colônia de bactérias é 10000. Depois de t horas a colônia terá 
uma população P(t) que obedece a lei: P(t) = 10000 + 8600t + 10000t². Assim: 
a) Determine o número de bactérias presentes depois de 10 horas. 
 R: P(10) = 1.096.000 bactérias 
b) Encontre a lei que dá a taxa de variação da população P em relação ao tempo t. 
R: dP/dt = 8600 + 20000t 
c) Determine a taxa de variação [instantânea] da população quando t = 10 horas. 
 R: 208600 bactérias/hora 
 
 25ª) Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer de modo que sua velocidade obedece à 
função: v(t) = t² – 4t [sendo: “v” em m/s e “t” em segundos]. Sabe-se que a aceleração média da 
partícula [𝒂𝒎] num certo intervalo de tempo, é dada por 𝒂𝒎= Δv/Δt , determine: 
a) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [ 0 ; 1 ] ? R: –3 m/s² 
b) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [ 0 ; 0,5 ] ? R: –3,5 m/s² 
c) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [ 0 ; 0,1 ] ? R: –3,9 m/s² 
d) Qual a aceleração média da partícula no intervalo de tempo [ 0 , h ] , com h ≠ 0? R: 4 - h 
e) Como você interpreta fisicamente a aceleração média da partícula no item anterior, 
quando “h” tende a zero? R: aceleração instantânea 
 f) Qual a aceleração da partícula no instante t = 0 s? R: – 4 m/s² 
 
Bom estudo! 
“Hoje encerramos uma etapa. Ao certo não é a conclusiva da jornada que ainda temos à frente, 
mas é a mostra de que com entusiasmo e empenho, pouco a pouco, todas as outras etapas serão 
vencidas. Hoje, o que importa é que chegamos até aqui...” Luiz Augusto. 
 
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