Aula 5 4 - Condução de calor com geração de energia volumétrica

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CTD340 – Transferência de calor e 
massa
Prof. Matheus dos Santos Guzella
Contato: matheus.guzella@ict.ufvjm.edu.br
Sala 345 – ICT/UFVJM
Condução de calor com geração de 
taxa de energia volumétrica
Fundamentos de transferência de calor
Material de estudo:
• Capítulos 2 e 3 em: 
BERMAN, Theodore L. Fundamentos de transferência de calor e de 
massa. 8. Rio de Janeiro LTC 2019 1 recurso online ISBN 
9788521636656.
Equação da difusão de calor (difusão 
térmica)
c
q
z
T
y
T
x
T
t
T
c
q
z
T
y
T
x
T
c
k
t
T
q
z
T
y
T
x
T
k
t
T
c
q
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
xt
T
c
dVqdV
z
T
k
z
dV
y
T
k
y
dV
x
T
k
xt
T
cdV
dVqdV
z
T
k
z
dV
y
T
k
y
dV
x
T
k
xt
T
cdV







































































































































































































2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Somente se a condutividade térmica, k, for 
CONSTANTE!
c
k

 
Difusividade térmica [m2/s]
(Propriedade de transporte)
Equação da difusão de calor (difusão 
térmica)
r
T
kqr


''





T
r
k
q ''
z
T
kqz


''
t
T
cq
z
T
k
z
T
k
rr
T
kr
rr 


































2
11
Equação da difusão de calor (difusão 
térmica)
r
T
kqr


''





T
r
k
q ''
 


T
rsen
k
qz
''
   
 
t
T
cq
T
ksen
senr
T
k
senrr
T
kr
rr 




































222
2
2
111
21
2
1
11
2
0
CxC
k
xq
TdxCx
k
q
dT
dxCx
k
q
dTCx
k
q
dx
dT
dx
k
q
dx
dT
d
dx
k
q
dx
dT
d
dx
dT
dx
d
q
dx
dT
dx
d
kq
dx
dT
k
dx
d

















































Parede plana:
q
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
xt
T
c 

































q
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
xt
T
c 

































Condução de calor com 
1T 2T
L
q
Exemplo 1: considerando constante e temperaturas nos contornos
1° passo: obter a distribuição de temperaturas
q
0q
Parede plana:
1T 2T
2° passo: aplicar as condições de contorno
L
   
k
Lq
L
TT
C
TLC
k
Lq
T
2
2
2 Eq.1 Eq.
21
1
11
2
2






 
 
 
 




















2 Eq. 
2
1 Eq. 
2
0
2
0
2
21
2
2
21
21
2
2
21
2
1
21
2
CLC
k
Lq
T
CT
CLC
k
Lq
T
CC
k
q
T
CxC
k
xq
T




Notar que:
 xf
dx
dT
Cx
k
q
dx
dT
 1

(constante)
q
Condução de calor com 0q
3° passo: aplicar a Lei de Fourier







































k
Lq
L
TT
x
k
q
kq
k
Lq
L
TT
x
k
q
kAq
k
Lq
L
TT
x
k
q
kACx
k
q
kA
dx
dT
kAq
tr
trtrtr
2
2
2
21''
21
21
1



(Não é constante!)
(Não é constante!)
1T 2T
L
q




























k
Lq
L
TT
kA
k
Lq
L
TT
L
k
q
kAq
k
Lq
L
TT
kAq
trtrLx
trx
22
2
2121
21
0


Condução de calor com 0q
21
2
1
11
2
0
CxC
k
xq
TdxCx
k
q
dT
dxCx
k
q
dTCx
k
q
dx
dT
dx
k
q
dx
dT
d
dx
k
q
dx
dT
d
dx
dT
dx
d
q
dx
dT
dx
d
kq
dx
dT
k
dx
d

















































Parede plana:
q
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
xt
T
c 

































q
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
xt
T
c 

































1T
L
q
Exemplo 1: considerando constante e um contorno adiabático (taxa de transf. de calor 
nula) 
1° passo: obter a distribuição de temperaturas
q
Condução de calor com 0q
0
Lxdx
dT
 
 















k
Lq
CC
k
Lq
TCCC
k
q
T
Cx
k
q
dx
dT
CxC
k
xq
T




11
1221
2
1
1
21
2
0
0
2
0
2
2° passo: aplicar as condições de contorno
Condução de calor com 0q
Parede plana:
1T
L
q
0
Lxdx
dT
k
Lq
x
k
q
dx
dT
Tx
k
Lq
k
xq
T



 1
2
2
3° passo: aplicar a Lei de Fourier



























k
Lq
x
k
q
kq
k
Lq
x
k
q
kAq
k
Lq
x
k
q
kACx
k
q
kA
dx
dT
kAq
tr
trtrtr
2
2
2
''
1



(Não é constante!)
(Não é constante!)
0
20







 k
Lq
kAq trx

Condução de calor com 0q
Notar que: 1T
L
q
0
Lxdx
dT
T
x
0x
q
Seja a condução unidimensional em uma parede plana composta. 
Suas superfícies externas estão expostas a um fluido a 25°C com um 
coeficiente convectivo de 1000 W/m2K. Na parede intermediária B há 
geração uniforme de calor a uma taxa , enquanto não existe 
geração nas paredes A e C. As temperaturas nas interfaces são 
T1=261°C e T2=211°C.
Supondo resistência de contato desprezível nas interfaces, determine 
a taxa volumétrica de geração de calor em B e a condutividade 
térmica kB.
Exercício
1T
AL
2T
BL2
Th,
CL
Ak Bk Ck
Bq
mm20
mm30
mm30
W/mK50
W/mK25





C
B
A
C
A
L
L
L
k
k
Bq
Th,
Supondo resistência de contato desprezível nas interfaces, determine 
a taxa volumétrica de geração de calor em B e a condutividade 
térmica kB.
Exercício
C2611 T
AL
C2112 T
BL2
Th,
CL
Ak Bk Ck
Bq
Th,
1TT 3TconvtR , T4T convtR ,CcondtR ,,AcondtR ,, 2T
3T 4T
C52T
K1000W/mh
mm20
mm30
mm30
W/mK50
W/mK25
2








C
B
A
C
A
L
L
L
k
k
Exercício
C2611 T
AL
C2112 T
BL2
Th,
CL
Ak Bk Ck
Bq
Th,
1TT 3TconvtR , T4T convtR ,CcondtR ,,AcondtR ,, 2T
3T 4T
1,eqR 1TT 2,eq
R
T2T
trA
A
s
eq
Ak
L
hA
R 
1
1,
strC
C
eq
hAAk
L
R
1
2, 
CqAq
Notar o sentido 
adotado para 
as taxas de 
transf. de calor!
C52T
K1000W/mh
mm20
mm30
mm30
W/mK50
W/mK25
2








C
B
A
C
A
L
L
L
k
k
Exercício
C2611 T
AL
C2112 T
BL2
Th,
CL
Ak Bk Ck
Bq
Th,
3T 4T
''
1,eqR 1TT
''
2,eqR T2T
A
A
A
A
A
eq
k
L
h
TT
q
k
L
h
R





1
1
1''
''
1,
hk
L
TT
q
hk
L
R
C
C
C
C
C
eq
1
1
2''
''
2,





''
Cq
''
Aq
Eq. (1) Eq. (2)
C52T
K1000W/mh
mm20
mm30
mm30
W/mK50
W/mK25
2








C
B
A
C
A
L
L
L
k
k
Exercício
C2611 T
AL
C2112 T
BL2
Th,
CL
Ak Bk Ck
Bq
Th,
3T 4T
x
121
2
dx
d
 e 
2
 :B Em Cx
k
qT
CxCx
k
q
T
B
B
B
B 

C52T
K1000W/mh
mm20
mm30
mm30
W/mK50
W/mK25
2








C
B
A
C
A
L
L
L
k
k
 
 
 
B
BB
B
B
B
BB
B
B
k
Lq
L
TT
CCLC
k
Lq
T
TCCC
k
q
T










2
2
2
2
0
2
0
21
121
2
2
1221
2
1
Exercício
C2611 T
AL
C2112 T
BL2
Th,
CL
Ak Bk Ck
C52T
K1000W/mh
mm20
mm30
mm30
W/mK50
W/mK25
2








C
B
A
C
A
L
L
L
k
k
Bq
Th,
3T 4T
























B
BB
B
B
Lx
BC
B
BB
B
B
x
BA
k
Lq
L
TT
k
dx
dT
kq
k
Lq
L
TT
k
dx
dT
kq
B


2
2
21
2
''
21
0''
x
Eq. (3)
Eq. (4)
























B
BB
B
B
Lx
BC
B
BB
B
B
x
BA
k
Lq
L
TT
k
dx
dT
kq
k
Lq
L
TT
k
dx
dT
kq
B


2
2
21
2
''
21
0
''
Exercício
Eq. (3)
Eq. (4)
A
A
A
k
L
h
TT
q


 
1
1''
hk
L
TT
q
C
C
C 1
2''


 
Eq. (1)
Eq. (2)
Incógnitas: q’’A, q
’’
C , qB, kB ->
4 equações -> 
Sistema determinado
Exercício
36 W/m10002,4
W/mK35,15


B
B
q
k

21'' W/m10723
1



 
A
A
A
k
L
h
TT
q
22'' W/m132857
1



 
hk
L
TT
q
C
C
C
























B
BB
B
B
Lx
BC
B
BB
B
B
x
BA
k
Lq
L
TT
k
dx
dT
kq
k
Lq
L
TT
k
dx
dT
kq
B


2
2
21
2
''
21
0
''
t
T
cq
z
T
k
z
T
k
rr
T
kr
rr 


































2
11
Cilindro:
1° passo: obter a distribuição de temperaturas
t
T
cq
z
T
k
z
T
k
rr
T
kr
rr 


































2
11
0
1






q
dr
dT
kr
dr
d
r

Condução de calor com 0q
r
- Ao contrário da parede cilíndrica, este 
domínio físico está definido em r=0.
- Notar também que somente UMA 
condição de contorno foi definida.
Parede cilíndrica
1T
2T
sTTrr  0
1° passo: obter a distribuição de temperaturas
Condução de calor com 0q
Cilindro:
r
sTTrr  0
  21
2
11
1
1
2
ln
4
22
22
1
CrCr
k
q
T
dr
r
C
r
k
q
dTdr
r
C
r
k
q
dT
r
C
r
k
q
dr
dT
Cr
k
q
dr
dT
rrdr
k
q
dr
dT
rd
rdr
k
q
dr
dT
rdr
k
q
dr
dT
r
dr
d
q
dr
dT
kr
dr
d
r













































 
  201
2
0
21
2
ln
4
ln
4
CrC
k
rq
T
CrC
k
rq
T
s 



2° passo: aplicar as condições de contorno
Condução de calor com 0q
Cilindro:
r
- A segunda condição de contorno surge na 
posição r=0:
OU
  21
2
ln
4
CrC
k
rq
T 
  ry ln
r
01 C
0
2
00 1
0

 r
C
r
k
q
dr
dT
r
r

01 C
k
rq
TC s
4
2
0
2


sTTrr  0
3° passo: aplicar a Lei de Fourier
22
2
2
''''
2
rq
qr
k
q
k
dr
dT
kq
qLrqr
k
q
Lrk
dr
dT
kAq tr
















 
Condução de calor com 0q
(Não é constante!)
(Não é constante!)
Cilindro:
r
sT k
rq
T
k
rq
T s
44
2
0
2 

Na figura é mostrada a seção transversal de um elemento
combustível cilíndrico longo em um reator nuclear. A geração de
energia ocorre uniformemente no bastão combustível de tório, que
possui diâmetro D = 25 mm e é envolto por um fino revestimento de
alumínio. É proposto que, em condições de regime estacionário, o
sistema opere com uma taxa de geração de e um
sistema de resfriamento caracterizado por T = 95°C e h = 7000
W/m2K. Essa proposta é satisfatória?
Exercício
Th,
38 W/m107q
D
Basta combustível de tório
Fino revestimento de
alumínio
Exercício
Th,
KW/m7000
C95
W/m107
W/mK50
mm25
2
38






h
T
q
k
D
tório

D
Basta combustível de tório
Fino revestimento de
alumínio
 
0
01ln
2
2
ln
2
2
ln0
2
2
2
ln
,,
,,
















 






 

alumíniocondt
alumínio
alumíniocondt
R
D
D
D
eD
e
Lk
D
eD
R

convtR ,
sT T
q
Exercício
Th,
KW/m7000
C95
W/m107
W/mK50
mm25
2
38






h
T
q
k
D
tório

D
Basta combustível de tório
Fino revestimento de
alumínio
Balanço de energia no cilindro de tório:
 
C720
4
4
00
2






s
s
ss
acugse
T
h
Dq
T
DLh
L
D
q
TT
VqTThA
EEEE






Essa temperatura é superior à 
temperatura de fusão do 
alumínio! ( 660°C)
1° passo: obter a distribuição de temperaturas
   
 
t
T
cq
T
ksen
senr
T
k
senrr
T
kr
rr 




































222
2
2
111
   
 
t
T
cq
T
ksen
senr
T
k
senrr
T
kr
rr 




































222
2
2
111
0
1 2
2








k
q
r
T
r
dr
d
r

Condução de calor com 0q
Esfera:
r
sTTrr  0
1° passo: obter a distribuição de temperaturas






k
q
dr
dT
r
dr
d
r
2
2
1
Condução de calor com 0q
Esfera:
r
sTTrr  0
2
12
2
1
2
1
1
3222
222
2
6
33
3
1
C
r
C
r
k
q
T
dr
r
C
r
k
q
dT
r
C
r
k
q
dr
dT
Cr
k
q
dr
dT
rdrr
k
q
dr
dT
rd
drr
k
q
dr
dT
rd
k
q
dr
dT
r
dr
d
r
































2
0
1
2
0
2
1
2
6
6
C
r
C
k
qr
T
C
r
C
k
qr
T
s 

2° passo: aplicar as condições de contorno
Condução de calor com 0q
- Pelo mesmo argumento anterior:
ry 1
r
01 C
k
qr
TC s
6
2
0
2 
Esfera:
r
sTTrr  0
k
rq
T
k
qr
T s
66
2
0
2 

3° passo: aplicar a Lei de Fourier
33
3
4
3
4
''''
32
rq
qr
k
q
k
dr
dT
kq
qrqr
k
q
rk
dr
dT
kAq tr
















 
Condução de calor com 0q
(Não é constante!)
(Não é constante!)
Esfera:
r
sTTrr  0
k
rq
T
k
qr
T s
66
2
0
2 

Exercício sugerido: 3.86 
Muito obrigado!