9-Aula Correlação

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CORRELAÇÃO 
 
 
Luiz Eduardo Borges da Silva 
e 
Giscard F. S. Veloso 
 
UNIFEI 
Itajubá, Brazil 
Outubro - 2013 
 
 
Introdução 
• A Correlação é uma operação semelhante a Convolução. 
 
• A diferença entre a Convolução e Correlação é que no 
primeiro caso o sinal a ser convoluído deve ser invertido e 
na Correlação isso não acontece, porém o algoritmo de 
cálculo é o mesmo 
 
• O objetivo da Correlação é determinar o grau de 
semelhança entre dois sinais. 
 
• Por exemplo a Correlação pode determinar se um dado 
sinal se encontra imerso em outro poluído com ruído e 
outras freqüências. 
 
• Reforçando: o objetivo é a determinar o grau de 
semelhança e não recriar o sinal 
Introdução - Cont. 
• A Correlação de um sinal com outro é denominada 
CORREAÇÃO CRUZADA (Cross-Correlation) 
 
• A Correlação de um sinal com ele mesmo é denominado 
AUTOCORRELAÇÃO (Auto-Correlation) 
 
• Ver livro: 
– Digital Signal Processing, 
 Emmanuel C. Ifeachor, pag. 242 em diante. 
 
Notas sobre Correlação Cruzada 
• A amplitude de cada resultado obtido da CORRELAÇÃO 
CRUZADA (Cross-Correlation) é a medida de quanto o 
sinal recebido se assemelha ao sinal original na localização 
dada. 
• Isto significa que um pico irá ocorrer no resultado da 
Correlação Cruzada para cada sinal original presente no 
sinal recebido. 
• Em outras palavras o valor da Correlação Cruzada é 
maximizado quando o sinal original se alinha com as 
características do sinal recebido. 
• Valores negativos do sinal original também aparecerão 
como picos positivos no resultado da Correlação Cruzada. 
• O resultado da Correlação Cruzada tenta detectar a 
presença do sinal original e não recriar ele. 
 
Don't let the mathematical similarity between 
convolution and correlation fool you!!! 
 
They represent very different DSP procedures. 
 
Convolution is the relationship between a system's 
input signal, output signal, and impulse response. 
 
Correlation is a way to detect a known waveform in 
a noisy background. 
 
The similar mathematics is only a convenient 
coincidence. 
Aplicações de Correlação 
• Processamento de imagens onde várias imagens são 
comparadas. 
• Sistemas de Radar e Sonar para a determinação da posição 
e identificação dos objetos a distância. 
• Detecção e identificação de sinais imersos em ruído. 
• Engenharia de controle para observação do efeito das 
entradas nas saídas. 
• Identificação e códigos binários na técnica de modulação 
“Pulse Code Modulation”. 
• Cálculo da Potência Média em formas de ondas. 
• Climatologia. 
• 
 
 
Conceito de Correlação 
Comparando duas sequências de dados 
 
x(n) e t(n) 
Considere a possibilidade de que as sequencias 
possam possuir comprimentos diferentes 
Essencialmente se deseja saber se as duas 
 se parecem e em que momento; mesmo 
havendo diferença de fase entre elas 
Exemplo de aplicação de Correlação - Radar 
Máquina de Correlação 
Máquina de Correlação 
K=0 
Máquina de Correlação 
K=10 
Máquina de Correlação 
K=20 
Máquina de Correlação 
K=30 
Máquina de Correlação 
K=40 
Máquina de Correlação 
K=50 
Máquina de Correlação 
K=53 
Máquina de Correlação 
K=63 
Fórmula da Correlação Cruzada 




1
0
2112 )()()(
N
n
knxnxkr
Fórmula da Auto Correlação 




1
0
1111 )()()(
N
n
knxnxkr
Conceito da Correlação 
Comparando duas sequências de dados 
Considere comparar duas sequências de dados: 
Como gerar um resultado que indique 
semelhança ou diferença 
entre as sequências? 
 
 128247314
545623124
2
1


x
x
Comparando duas sequências de dados 
 
 128247314
545623124
2
1


x
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Conceito da Correlação - cont. 
Conceito da Correlação - cont. 
Uma solução seria: 
 multiplicar amostras ponto a ponto e somar os produtos 
  45)()( =nxnx 21 
Como interpretar este resultado? 
 
 
 5840128213216
128247314
545623124
2
1




x
x
Conceito da Correlação - cont. 
Interpretação da soma de produtos 
 
 121082421464
654121732
2
1


x
x
Comparando duas sequencias diretamente proporcionais 
Conceito da Correlação - cont. 
multiplicar as amostras ponto a ponto e somar os produtos 
 
 
 72503228298188
121082421464
654121732
2
1



x
x
  290)()( =nxnx 21 
Conceito da Correlação - cont. 
Interpretação da soma de produtos 
 
 2015111196431
2015111196431
2
1


x
x
Comparando duas sequencias com tendência oposta 
Conceito da Correlação - cont. 
multiplicar as amostras ponto a ponto e somar os produtos 
 
 
 40022512112181361691
2015111196431
2015111196431
2
1




x
x
  1010)()(  =nxnx 21
Conceito da Correlação - cont. 
Interpretação da soma de produtos 
 
 1510512413
516842173113
2
1


x
x
Comparando duas sequencias aleatórias 
Conceito da Correlação - cont. 
multiplicar as amostras ponto a ponto e somar os produtos 
 
 
 5808020211412119
1510512413
516842173113
2
1




x
x
  2)()(  =nxnx 21
Conceito da Correlação - cont. 
Interpretação da soma de produtos 
Resultado das comparações 
Primeira Sequencia → 
Sequencia Proporcional → 
 
Sequencia Oposta → 
Sequencia Aleatória → 
  45)()( =nxnx 21 
  290)()( =nxnx 21 
  1010)()(  =nxnx 21
  2)()(  =nxnx 21
Conceito da Correlação - cont. 
Interpretação da soma de produtos 
Para sequencias SEMELHANTES, como as proporcionais, 
tem-se que: 
 
• As amostras correspondentes tendem a ter o mesmo sinal 
 e a soma será sempre crescente 
 
• A soma dos produtos será positiva 
 
• O módulo da soma dos produtos é um valor 
 relativamente grande 
Conceito da Correlação - cont. 
Interpretação da soma de produtos 
Para sequencias SEMELHANTES PORÉM OPOSTAS, 
tem-se que: 
 
• As amostras correspondentes tendem a ter sinais 
 opostos e a soma será sempre negativa 
 
• A soma dos produtos será negativa 
 
• O módulo da soma dos produtos é um valor 
 relativamente grande 
Conceito da Correlação - cont. 
Interpretação da soma de produtos 
Para sequencias INDEPENDENTES, como as 
aleatórias, tem-se que: 
 
• A probabilidade dos sinais, entre as amostras, serem 
 iguais ou opostos é a mesma fazendo a soma se cancelar 
 
• A soma dos produtos tende a zero 
 
• O sinal pode ser negativo ou positivo 
Conceito da Correlação - cont. 
Interpretação da soma de produtos 
A operação de 
multiplicar amostra por amostra 
e somar o resultado é denominada 
de CORRELAÇÃO e pode 
ser usada para comparar dois sinais. 
Coeficiente de Correlação 
Normalização da Soma de Produtos 
A Soma de Produtos pode sofrer influência dos 
seguintes fatores: 
 Amplitude das Amostras 
 Valor Médio do Sinal (offset) 
 Tamanho da Amostra 
 
Uma forma de facilitar a comparação 
entre sinais muito diferentes é normalização 
Deseja-se obter um Coeficiente de Correlação 
que sempre estará sempre entre +1 e -1 








Correlaçãodesignifica
faseAntiCorrelaçãodesignifica
Correlaçãodesignifica
%0
%100
%100
0
1
1
Coeficiente de Correlação - cont. 
Para se obter um Coeficiente de Correlação igual a 1 será 
considerado a correlação de um sinal com ele mesmo. 
Coeficiente de Correlação - cont. 
      


1N
0=n
2
1
1N
0=n
11 nx=nxnx=r ][
 
1=
C
nx
=r
1N
0=n
1















2
Deseja-se obter uma constante C que divida cada 
amostra de x
1
(n) tal que r seja igual a 1, logo: 
Executando as manipulações necessárias, vem: 
Coeficiente de Correlação - cont. 
ou 
 







1N
0=n
2
2
1
C
nx
=1
  


1N
0=n
2
12
nx
C
1
=1
  
1N
0=n
2
1 nx=C
finalmenteExecutando as manipulações necessárias, vem: 
Coeficiente de Correlação - cont. 
Para sinais diferentes como x1 e x2 
     














1N
0=n
11
1N
0=n
1
C
nx
C
nx
=
C
nx
=r
2
   









1N
0=n 2
2
1
1
C
nx
C
nx
=r
Como: 
Coeficiente de Correlação - cont. 
Vem: 
  
1N
0=n
2
11 nx=C   
1N
0=n
2
22 nx=C
e 
   
    










1N
0=n
21
21
1N
0=n 2
2
1
1 nxnx
CC
1
=
C
nx
C
nx
=r
Substituindo as expressões encontradas, vem: 
Coeficiente de Correlação - cont. 
ou finalmente 
 
   





1N
0=n
2
2
1N
0=n
2
1
1N
0=n
21
nxnx
nxnx
=r
)()(
)()(
 
   





1N
0=n
2
2
1N
0=n
2
1
1N
0=n
21
nxnx
nxnx
=r
)()(
)()(
Exemplo-1 
Comparando duas sequências iguais 
 
 545623124
545623124
2
1


x
x
     136=nxnx
8
0=n
21 
   11,66=nx=C=C
8
0=n
2
121 
1=
11,6611,66
136
=r

Exemplo-2 
Comparando duas sequências iguais e opostas 
 
 545623124
545623124
2
1


x
x
     136=nxnx
8
0=n
21 
   11,66=nx=C=C
8
0=n
2
121 
1=
11,6611,66
136
=r 

Exemplo-3 
Do exemplo anterior → somando 8 em x1 e 6 em x2 
 
 12111283742
13123261171012
2
1


x
x
Exemplo-3 
Do exemplo anterior → somando 8 em x1 e 6 em x2 
 
 12111283742
13123261171012
2
1


x
x
     288=nxnx
8
0=n
21 
   27,86=nx=C
8
0=n
2
11  51,0=
20,3027,86
288
=r

   20,30=nx=C
8
0=n
2
22 
Exemplo-3 
Com a adição do “offset” (8 em x1 e 6 em x2 ) 
o resultado sofreu variação significativa. 
 
Deveria dar -1 e deu 0,51. 
 
Isto foi devido as médias serem diferentes. 
As sequencias continuam sendo opostas 
somente possuem médias diferentes!!! 
Coeficiente de Correlação 
(compensado) 
Subtraindo as médias dos sinais 
   
   





1N
0=n
2
1N
0=n
1
1N
0=n
21
xnxxnx
xnxxnx
=r
2
2
2
1
21
)()(
)()(
Na expressão final para o Coeficiente de Correlação 
é necessário subtrair as médias 
Exemplo-4 
44,81x
56,52x
médias dos sinais 
Do exemplo anterior → somando 8 em x1 e 6 em x2 
 
 12111283742
13123261171012
2
1


x
x




1
0
1 N
i
ix
N
x
Exemplo-4 cont. 
1
59,1159,11
22,134



==r
       22,13421 
1N
0=n
21 xnxxnx
  59,11)( 21 =xnx=C
8
0=n
11  
  59,11)( 22 =xnx=C
8
0=n
22  
coeficientes 
de 
normalização 
Exercícios propostos 
1) Calcular a Correlação entre as sequencias abaixo: 
 
 x1 = [ -3 11 -3 7 -21 -4 -8 -16 5] 
 
 x2 = [3 1 4 2 1 -5 -10 5 -1] 
 
 
 t10π2sin=x1
 t10π2cos=x2
2) Calcular a Correlação entre as sequencias abaixo 
 (com 100 amostras) 
 
 
Exercícios propostos - cont. 
3) Calcular a Correlação entre as sequencias abaixo 
 (com número de amostras livre) 
 
    t15π22sin+t10π2sin=x1
 t10π2sin=x2
Em uma forma mais geral 
Comparando duas sequências de dados 
Considere a possibilidade de que as sequencias 
possam possuir comprimentos diferentes 
O resultado irá depender essencialmente 
da diferença de fase entre uma 
sequencia e a outra. 
Fórmula da Correlação Cruzada 




1
0
2112 )()()(
N
n
knxnxkr
Fórmula da Auto Correlação 




1
0
1111 )()()(
N
n
knxnxkr
Para tornar o resultado da Correlação Cruzada mais independente da 
diferença de fase entre os sinais envolvidos na comparação. 
 
Lembrando que valor obtido denominado: 
COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO 
irá variar entre -1 e +1. 
  



1
0
221112 )()(
1
)(
N
n
xknxxnx
N
kr
Inicialmente subtrai-se a média de cada amostra e divide-se o 
valor da Correlação Cruzada pelo número de elementos N 
Este procedimento é efetuado para cada deslocamento “k” 
de uma das sequencias em relação a outra 
   
2
1
1
0
2
22
1
0
2
11 )(
1
)(
1


















 




N
n
N
n
xnx
N
xnx
N
Ou 
Coeficiente de normalização: 
   
2
1
1
0
2
22
1
0
2
11 )()(
1


















 




N
n
N
n
xnxxnx
N
A expressão final normalizada para o Coeficiente de Correlação: 
   
2
1
1
0
2
22
21
0
11
12
12
)()(
)(
)(






























N
n
N
n
xnxxnx
kr
k
O Coeficiente de Correlação Cruzada 12(k) 
estará sempre entre +1 e -1 








Correlaçãodesignifica
faseAntiCorrelaçãodesignifica
Correlaçãodesignifica
%0
%100
%100
0
1
1
000022222)(
075,05,1615151590)(
000011111)(
025,05,0255530)(
876543210
4
3
2
1
nx
nx
nx
nx
n
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
Exemplo: Dado os sinais determinar o Coeficiente de Correlação 
______________________________________________________ 
As sequencias (1 e 3, 2 e 4) são iguais com amplitudes diferentes 
Exemplo 
Os valores calculados para r12(k) e r34(k) sem extração da média: 
 
 r12(k)=18 e r34(k)=108 
Exemplo – cont. 
Os valores calculados para r12(k) e r34(k) extraindo a média: 
 
média x1 = 2,3055 
média x2 = 0,5555 
média x3 = 6,9166 
média x4 = 1,1111 
 
 r12(k)=6,4722 e r34(k)=38,8333 
Os valores dos Coeficientes de Correlação normalizados são: 
Os valores calculados para 12(1) e 34(1) são: 
 
 12(1)=0,6825 e 34(1)=0,6825 
* Importante: Este resultado mostra que os sinais podem ser 
comparados independentemente dos valores absolutos dos dados 
   
2
1
1
0
2
21
0
)()(
)(
)(






























N
n
jj
N
n
ii
ij
ij
xnxxnx
kr
k
Nota: quando um sinal tiver uma característica 
aleatória, a Correlação dele com ele mesmo, isto é, a 
Auto-Correlação, irá produzir um valor de pico quando 
o atraso for zero e, com o aumento do atraso, o valor irá 
diminuir até apresentar uma flutuação entorno de zero. 
Relação entre Correlação e Energia 
Com alguma modificação pode ser apresentada como: 
Com x1(t) v(t) tensão e x2(t) i(t) corrente: 




1
0
2112 )()(
1
)(
N
n
knxnx
N
kr
dttxtx
T
r
T
T    0 2112 )()(
1
lim)( 
Dada a expressão da Correlação: 
EnergiaWdttitv
T
r
T
 012 )()(
1
)( 




1
0
2
11 )(
1
)0(
N
n
xdeEnergiaWnx
N
r
Da mesma forma: 
Energia total contida no sinal x(n) 
Aplicações de Correlação*: 
 
- Detecção e Estimação de sinais periódicos imersos 
em ruídos. 
 
- Detecção e Implementação e Matched Filter 
 
- Determinação da Resposta ao Impulso de Sistemas 
Elétricos. 
 
* Digital Signal Processing, 
 Emmanuel C. Ifeachor 
 página 258 
 
 
FIM