APOSTILA PILARES - ALIO E. KIMURA

Prévia do material em texto

TQS 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado 
Introdução, Visão Geral & Exemplos 
Alio E. Kimura 
2017 
 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
2 
 
MOTIVAÇÃO E OBJETIVOS 
A motivação é um item fundamental na vida de qualquer ser humano, sob todos os aspectos, e 
principalmente quando se tem um desafio pela frente. 
O cálculo de pilares de concreto armado é, sem sombra de dúvidas, um dos temas mais interessantes e instigantes de 
toda Engenharia de Estruturas. Trata-se de um assunto que está sempre em voga, é objeto de inúmeras pesquisas e 
estudos avançados no meio acadêmico. Naturalmente, também é cercado por algumas dúvidas, discussões e 
divergências. 
Diante deste panorama, cabe ao Engenheiro de Estruturas que trabalha no dia-a-dia de escritórios de projeto a difícil 
missão de se manter sempre atualizado, de modo que possa tomar decisões corretas e seguras durante a elaboração ou 
verificação de um projeto estrutural. 
É exatamente diante dessa dificuldade, isto é, de se enxergar uma aplicação prática da teoria existente nos dias 
atuais, é que se pretende estudar o cálculo de pilares ao longo deste curso. O objetivo principal será transmitir 
conceitos sem se deter em deduções matemáticas, a fim de aguçar uma visão crítica do Engenheiro perante os 
problemas correlatos e, principalmente, motivá-lo a se aprofundar cada vez mais no assunto, já que isso será 
fundamental durante toda a sua atividade profissional. 
O cálculo de pilares como um todo abrange uma teoria relativamente complexa e que envolve os mais diversos tópicos 
da Engenharia de Estruturas, tais como: análise não-linear, estabilidade global, dimensionamento de seções de 
concreto armado, técnicas de detalhamento de armaduras, etc. 
Com essa diversidade de temas, portanto, fica evidente que não será possível estudar tudo com a devida profundidade 
durante o curso. Em alguns tópicos, será apresentada somente a sua conceituação básica e indicada a forma de se obter 
a solução para o problema. 
O que se pretende é esclarecer as dúvidas atuais mais comuns presentes no meio técnico profissional, mostrando que é 
possível, sim, ainda calcular pilares à mão. Ao mesmo tempo, deixar-se-á claro que o uso consciente e responsável de 
uma ferramenta computacional é vital para a produção de projetos com qualidade e segurança, da mesma forma em 
que se aprimora e agiliza o aprendizado de conceitos fundamentais. 
De forma alguma, este se propõe a colocar um ponto final no que se refere ao cálculo de pilares, mesmo porque 
existem diversas questões ainda em aberto, sem resposta definitiva. 
Na medida do possível, diversos exemplos serão resolvidos manualmente. Em muitos deles, será feito o uso de 
sistemas computacionais destinados à elaboração de projetos de estruturas de concreto. 
Nos textos apresentados durante o curso, dispensar-se-á qualquer tipo de formalidade quanto ao seu formato e escrita. 
É importante lembrar que os mesmos podem (devem) conter erros. 
Mais adiante, quando se discutir o cálculo de pilares dentro do contexto global do projeto de edifícios, ficarão 
esclarecidos quais os principais tópicos que serão abordados durante o curso. 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
Existem inúmeras publicações (livros, teses, artigos) que abordam cada um dos diversos temas relacionados ao cálculo 
de pilar, de forma rica e detalhada. A seguir, apresenta-se uma modesta lista de publicações que tratam desse assunto. 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT), “NBR 6118:2014 - Projeto de estruturas de 
concreto – Procedimento”, Rio de Janeiro, 2014. 
CARVALHO, R. C. & PINHEIRO, L. P., “Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado”, Vol. 2, 
Ed. Pini, 589 p., São Paulo, 2009. 
COVAS, N. C. & KIMURA, A. E., “Efeitos locais de 2ª ordem em pilares”, São Paulo, 2003. 
FRANÇA, R. L. S., “Contribuição ao estudo dos efeitos de segunda ordem em pilares de concreto-armado”, Tese de 
doutoramento, São Paulo, 1991. 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
3 
 
FRANÇA, R. L. S., “Relações momento-curvatura em peças de concreto-armado submetidas à flexão oblíqua 
composta”, Dissertação de mestrado, São Paulo, 1984. 
FRANÇA, R. L. S. & KIMURA, A. E., “Resultados de recentes pesquisas para o dimensionamento das armaduras 
longitudinal e transversal em pilares-parede”, ENECE, São Paulo, 2006. 
FUSCO, P. B., “Estruturas de Concreto – Fundamentos do projeto estrutural”, Ed. McGraw-Hill, São Paulo, 1976. 
FUSCO, P. B., “Estruturas de Concreto – Solicitações Normais”, LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora, Rio de 
Janeiro, 1981. 
FUSCO, P. B., “Técnica de armar as estruturas de concreto”, Ed. Pini, 396 p., São Paulo, 1995. 
IBRACON, “Comentários Técnicos e Exemplos de Aplicação NB-1”, Comitê Técnico Concreto Estrutural, São Paulo, 
2007. 
IBRACON, “Comentários Técnicos e Exemplos de Aplicação NB-1”, Comitê Técnico Concreto Estrutural, São Paulo, 
2015. 
INSTITUTO DE ENGENHARIA, “Coletânea de trabalhos sobre estabilidade global e local das estruturas de 
edifícios”, São Paulo, 1997. 
MACGREGOR, J. G & WIGHT, J. K., “Reinforced Concrete: Mechanics and Design”, Pearson - Prentice Hall, New 
Jersey, 2005. 
PINHEIRO, L. M., BARALDI, L. T., POREM, M. E., “Concreto Armado: Ábacos para Flexão Oblíqua”, São Carlos, 
1994. 
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO CONTINUADA (PECE), “ES009 - Estabilidade global e análise de peças esbeltas”, 
Universidade São Paulo, Notas de aula, 2003. 
SANTOS, L.M., “Estado limite último de instabilidade”, EP/USP, São Paulo, 1987. 
E, muitos outros... 
ABNT NBR 6118 
A NB1-1943 possuía 24 páginas (tamanho A5). A NBR 6118:1978, 53 páginas (tamanho A4). A NBR 6118:2003, 
221 páginas (tamanho A4). A NBR 6118-2014, 238 páginas (tamanho A4). 
 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
4 
 
Recomenda-se, fortemente, que a atual norma seja lida e relida sempre que possível, já que o seu texto procura retratar 
as diversas condições em que uma estrutura de concreto pode estar sujeita na prática, de forma bastante detalhada. Por 
exemplo, na seção 16 composta por apenas três páginas, descrevem-se claramente quais devem ser os princípios gerais 
de dimensionamento, detalhamento e verificação de uma estrutura de concreto armado. 
Obviamente, a atual NBR 6118:2014 possui itens discutíveis, como qualquer outro texto normativo. E, por isso, é 
cabível que certas modificações sejam contempladas em futuras e bem-vindas revisões. 
No caso específico do cálculo de pilares, é possível afirmar com certa convicção que, de modo geral, inúmeras 
dúvidas surgiram no meio técnico profissional com a entrada em vigor da norma NBR 6118-2003. Apenas para citar 
um exemplo, se antes na extinta NBR 6118:1978 tínhamos apenas um método para analisar os efeitos locais de 2ª 
ordem, hoje, na atual NBR 6118:2014, temos quatro formulações distintas disponíveis, levando-nos a questionar: 
• Qual método adotar no projeto de um edifício usual? 
• Qual método tornará a estrutura mais segura? 
• Em quais casos deve-se utilizar o método geral? 
Além disso, na prática, como qualquer outra área tecnológica, parte dessas inovações introduzidas na atual norma está 
diretamente correlacionada ao uso intenso de computadores que, ao mesmo tempo em que permitiram que 
processamentos até então inviáveis fossem realizados de forma produtiva, passaram a adotar novos conceitos ainda 
não muito bem difundidos no meio técnico profissional. 
Resumidamente, os principais itens referentes ao cálculo de pilares presentes na NBR 6118:2014 estão nas seguintes 
seções: 
• Seção 14: definições e tipos de análise a serem empregadas. 
• Seção 15: análise da instabilidade e efeitos de 2ª ordem. 
• Seção 17: dimensionamento de pilares. 
• Seção 18: detalhamento de pilares. 
Obviamente, existem diversos outros itens presentes na norma relacionados ao cálculo de pilares. Eles serão 
gradativamente apresentados ao longo do curso. 
A Seção 15, quetrata efetivamente do cálculo dos efeitos de 2ª ordem em pilares, é bastante complexa e considerada, 
por muitos, um dos capítulos mais complicados da norma. Espera-se que, durante o curso, todos os conceitos 
presentes nessa seção sejam plenamente compreendidos e assimilados. 
Uma bibliografia complementar ao entendimento da ABNT NBR 6118 é o livro de comentários técnicos e exemplos 
publicado pelo IBRACON em 2015. 
 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
5 
 
IMPORTÂNCIA DOS PILARES 
Porque um edifício cai? 
Trata-se de uma questão extremamente complicada de se responder, pois existem inúmeras causas que podem levar 
um prédio à ruína. Cada caso é um caso, e é impossível generalizar a resposta. 
No entanto, todo Engenheiro de Estruturas precisa pensar sobre esse assunto, tirar suas próprias conclusões, e 
principalmente, cercar-se de atitudes que evitem tal desastre. Afinal de contas, todo projeto deve conduzir a uma 
estrutura segura. 
 
Obviamente, qualquer peça numa estrutura tem a sua devida importância e precisa ser dimensionada corretamente 
para atender às funções a que se destina. Existem, porém, certos tipos de elementos que necessitam ter um cuidado 
redobrado, pois podem ocasionar conseqüências mais graves, como o colapso total da edificação. Dentre eles, estão os 
pilares. 
Um erro grosseiro no cálculo dos pilares pode derrubar um edifício! 
A afirmação anterior é um tanto quanto “pesada”. Encare-a não como uma ameaça, mas sim, como uma forma de 
lembrá-lo de que os pilares são vitais na segurança estrutural de um edifício. E que, por esta razão, precisam ser 
calculados, dimensionados e detalhados com muito rigor e atenção. 
Funções de um pilar 
Basicamente, os pilares têm as seguintes funções no comportamento estrutural de um edifício usual de múltiplos 
andares: 
• Resistir às solicitações provenientes da aplicação das ações verticais na estrutura e transmiti-las aos elementos 
de fundação. 
• Resistir às solicitações provenientes da aplicação das ações horizontais na estrutura 
• Auxiliar de forma significativa na manutenção da estabilidade global do edifício, assim como garantir o 
adequado comportamento global da estrutura em serviço. 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
6 
 
 
Taxa de compressão 
Os pilares, principalmente nos lances junto à base de edifícios altos, estão constantemente submetidos a uma elevada 
força normal de compressão. 
Esta força, principalmente em pilares mais esbeltos, tende a desestabilizar os mesmos, podendo ocasionar uma 
situação de desequilíbrio indesejável. 
Com a tendência natural de se buscar cada vez mais espaços maiores nas edificações com o intuito de otimizar o 
aproveitamento da construção, tanto o número bem como as dimensões dos pilares vêm sendo gradativamente 
reduzidas, aumentando ainda mais a responsabilidade dos mesmos. 
Os pilares, cada vez mais, são obrigados a suportar elevadas taxas de compressão. 
 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
7 
 
Particularidades 
O que é um pilar? 
Definir o que é um pilar??? O que é isso??? Todo Engenheiro de Estruturas sabe muito bem o que é um pilar! 
Correto, porém é importante não subestimar essa pergunta, pois existem muitos casos no qual um elemento é tratado e 
calculado como um simples pilar indevidamente. 
Por definição, pilar é um elemento linear (uma dimensão preponderante perante as demais) disposto na vertical e 
predominantemente comprimido. 
No caso de edifícios usuais de múltiplos pavimentos, os pilares, de forma geral, possuem seção e armaduras 
constantes ao longo de cada lance. 
Veja, a seguir, três situações bastante freqüentes no projeto de edifícios de concreto armado de elementos que não 
podem ser tratados como simples pilares. 
Pilar-parede não é pilar! 
 
Pilar-parede é um elemento de superfície. E, portanto, não pode ser tratado como um pilar comum (elemento linear). 
Existem considerações especiais que devem ser levadas em conta em seu dimensionamento. 
Tirante não é pilar! 
 
Apesar de possuir uma geometria semelhante, dimensionar um tirante não é a mesma coisa que dimensionar um pilar. 
Pilar-inclinado não é pilar! 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
8 
 
 
Dependendo do ângulo de inclinação do elemento estrutural, ele não pode ser tratado como um simples pilar, pois 
aparecerão esforços de flexão e cisalhamento consideráveis, e a força normal de compressão pode deixar de ser 
preponderante. 
Atenção nessas situações 
As situações descritas anteriormente (pilar-parede, tirante, pilar-inclinado) são muito comuns em edifícios de concreto 
armado. É importante estar atento para o que pode ser considerado como um simples pilar ou não. 
Dependo do caso, fazer o cálculo como um pilar comum nestas situações é uma ótima referência para uma 
aproximação inicial. Já, em outros, erros graves podem estar sendo cometidos de forma totalmente despercebida, 
podendo tornar a estrutura insegura. 
CÁLCULO DE PILARES (REFLEXÃO) 
Abstração da vida real 
Quando calculamos uma estrutura ou parte dela, seja de forma manual ou por meio de um computador, estamos 
adotando explicitamente um protótipo cujo objetivo é simular o comportamento da mesma da maneira mais realista 
possível. Essa é uma condição primária que em hipótese alguma pode ser tratada de forma implícita. 
Por mais sofisticado que seja o modelo adotado, nem sempre, ou melhor dizendo, jamais conseguiremos obter 
respostas durante o cálculo que traduzam a realidade de forma 100% exata. Sempre existirão limitações decorrentes 
das aproximações consideradas. 
Essas afirmações podem nos auxiliar a dar uma resposta a uma questão normalmente levantada no meio técnico: 
Eu sempre fiz desse jeito e nunca deu problema. Por que tenho que mudar? 
A margem de segurança de um edifício de concreto armado é algo muito difícil de ser mensurada, principalmente se 
tratada de forma geral. Se mesmo em ensaios laboratoriais controlados nos mínimos detalhes, muitas vezes é difícil 
reproduzir respostas uniformes, imagine em estruturas reais! 
Durante a elaboração de um projeto estrutural, trabalhamos com inúmeras hipóteses, aproximações e, principalmente, 
valores que, na prática, podem se tornar discrepantes. 
Quando calculamos um pilar, por exemplo, procuramos estabelecer diversos critérios de segurança, mas que podem 
variar para mais (mais segurança) ou menos (menos segurança) na vida real. Dificilmente descobriremos a real 
exatidão dos cálculos efetuados. O ELU (Estado Limite Último) é algo utópico, mas estritamente necessário. 
A busca por metodologias que procuram retratar a realidade de forma mais precisa é algo extremamente bem-vinda, 
salutar e que enriquece a profissão. Sem de forma alguma menosprezar os processos aproximados, que têm sim sua 
devida relevância no nosso dia-a-dia, é importante caminhar no sentido de aprimorar o cálculo e entender melhor os 
fenômenos físicos, mesmo porque somente dessa forma é que saberemos o “quão aproximado” são os métodos 
simplificados. 
Portanto, a questão colocada anteriormente, “Eu sempre fiz desse jeito, e nunca deu problema. Por que tenho que 
mudar?”, pode ser encarada de uma outra forma: 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
9 
 
Será que os processos que tenho utilizado estão sempre a favor da segurança? Será que o que estou fazendo 
pode apresentar problema algum dia? 
Na essência, essa é uma das razões que coloca a Engenharia de Estruturas num patamar diferenciado, que envolve 
responsabilidade, discernimento e coerência. Trabalha-se com limites opostos, a segurança e a economia, que, perante 
toda a sociedade, devem que ser atendidos na sua plenitude. 
Aproximações no cálculo de um pilar 
Apesar de um tanto filosófico, as considerações colocadas anteriormente são importantes, pois nos servem para 
chamar a atenção para a seguinte questão: quais aproximações são adotadasno cálculo de um pilar? Como um pilar, 
na vida real, é calculado durante o projeto estrutural? 
Antes de adentrar a fundo no cálculo de efeitos de 2ª ordem, imperfeições geométricas, fluência, diagramas momento-
curvatura, M1d,mín, método geral, etc..., é extremamente importante ter em mente exatamente como estamos calculando 
um pilar, e quais simplificações estão sendo tomadas. Isso é imprescindível para se ter controle global de um projeto 
estrutural. 
Vejamos, a seguir, um resumo de como um pilar é comumente calculado hoje em dia. 
Seja uma estrutura real, como a apresentada na figura ao 
lado, cujos pilares precisam ser dimensionados e 
detalhados pelo Engenheiro de Estruturas. 
Nota: a foto ao lado é de uma construção localizada na 
cidade de Porto Alegre (RS), e é capa do capítulo 
“Slender Columns” do livro “Reinforced Concrete – 
Mechanics and Design” de James G. MacGregor e 
James K. Wight. 
 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
10 
 
 
A estrutura como um todo é calculada no 
computador por meio de uma modelagem 
numérica (pórtico espacial, grelhas, 
elementos finitos, ...), que contém diversas 
aproximações. 
A rigidez à flexão EI da seção transversal dos pilares é minorada para análise no Estado Limite Último (ELU) a fim de 
considerar a não-linearidade física de forma aproximada (0,7.EIc ou 0,8.EIc). A rigidez axial dos mesmos é majorada a 
fim de compensar os efeitos decorrentes da construção. De onde vêm esses coeficientes? 
Nessa etapa, um lance de pilar está “imerso” no meio da estrutura. Suas vinculações no topo e na base são 
relativamente bem simuladas por meio das ligações com os elementos de vigas e lajes. 
Durante esse cálculo global, os efeitos globais de 2ª ordem são então avaliados (0,95.z ou P-), bem como as 
imperfeições geométricas globais (desaprumo do edifício como um todo). 
 
Uma vez efetuado o cálculo global, 
cada lance de pilar é extraído desse 
modelo e passa a ser analisado de forma 
isolada. 
Nesse modelo local, as vinculações no topo e na base passam a ser tratadas de forma bastante simplificada (apoios 
simples), de tal forma a manter o equilíbrio de esforços com o modelo global. 
A não-linearidade física, por sua vez, é considerada de forma mais refinada que no modelo global (1/r aproximada, 
rigidez aproximada, rigidez acoplada a diagrama N, M, 1/r). 
Os efeitos locais de 2ª ordem são então avaliados por processo aproximado (pilar-padrão ou pilar-padrão melhorado) 
ou processos iterativos mais refinados (“P-”). 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
11 
 
Nessa etapa, são também calculados os esforços devido às imperfeições geométricas locais (falta de retilineidade ou 
desaprumo no lance) e a fluência (deformação lenta). 
Concluindo 
De acordo com o exposto anteriormente, as seguintes questões ficam em aberto: 
• Por que não tratar todo problema por meio de um modelo único, sem a separação global do local? 
• Por que não considerar a rigidez dos elementos de forma uniforme? 
• As imperfeições geométricas que podem ou não aparecer durante a construção da estrutura não poderiam ser 
consideradas de outra forma? 
• E a fluência? Será que as formulações atuais são condizentes com a realidade? 
As questões acima deixam evidente o quanto temos ainda que evoluir e nos mostra que, mais do que calcular números 
através de complexas expressões matemáticas, é preciso “fazer Engenharia” na hora de projetar os pilares de um 
edifício, no sentido estrito da palavra. 
É fundamental que o Engenheiro tenha plena consciência de que há uma série de simplificações consideradas durante 
todo o processo de cálculo dos pilares de uma estrutura, sem contar as aproximações posteriores inerentes às etapas de 
dimensionamento e detalhamento. 
Na prática, durante a elaboração de um projeto estrutural, mais do que o preciosismo matemático, é fundamental ter 
uma visão geral do problema e muito bom-senso na tomada das decisões. 
CÁLCULO DE PILARES (VISÃO GLOBAL) 
De forma bastante simplificada, a elaboração de um projeto estrutural de um edifício pode ser subdividida em quatro 
etapas principais: concepção estrutural, análise estrutural, dimensionamento e detalhamento, emissão de plantas finais. 
 
O cálculo de pilares, obviamente, está inserido dentro desse contexto global, desde a concepção até a emissão de 
desenhos. Os pilares fazem parte de um todo, de um projeto que deve conduzir a uma estrutura que atenda os Estados 
Limites Últimos (segurança), de Serviço (funcionalidade), assim como garantir a durabilidade da edificação. 
 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
12 
 
É extremamente importante enxergar a influência dos pilares em cada uma dessas etapas. Projetar pilares não significa 
apenas saber calcular os efeitos locais de 2ª ordem de forma precisa! É muito mais que isso, envolve inúmeras outras 
importantes tarefas. 
Veja, resumidamente, no fluxograma a seguir como é realizado o cálculo de pilares dentro do contexto global de um 
projeto. 
A visão abrangente do cálculo de pilares dentro do contexto global do projeto, apresentada de forma resumida no 
fluxograma anterior, é o primeiro e decisivo passo para que se possa projetar esses elementos, participantes da 
estrutura de um edifício, de forma adequada e segura. Da mesma forma, se trata de um ponto de partida para a 
compreensão e o possível aprofundamento teórico de cada um dos tópicos envolvidos. 
Também, por meio desta visão geral, é possível entender o quão limitado será o curso perante todo o contexto geral do 
projeto. O mesmo se concentrará principalmente no estudo da modelagem local, mais especificamente no cálculo dos 
efeitos de 2ª ordem e das imperfeições geométricas, necessários para o dimensionamento dos pilares de um edifício. 
 
 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
13 
 
 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
14 
 
CONCEPÇÃO ESTRUTURAL 
Para muitos especialistas, e com toda a razão, trata-se da parte mais importante de todo o projeto. O bom cálculo dos 
pilares de um edifício começa sempre numa boa concepção estrutural. 
Aqui é que se idealiza a estrutura do edifício e imagina-se o seu comportamento. É onde se devem gastar os seus 
neurônios. 
Fundamentalmente, nesta etapa, entram a criatividade, o bom senso e a experiência do Engenheiro Estrutural. A 
função do computador é zero! Ele apenas proporciona facilidades na entrada gráfica, mais nada. A concepção 
estrutural é 100% de responsabilidade do Engenheiro. 
No caso específico de pilares, durante a concepção estrutural, deve-se pré-dimensionar suas dimensões (seção 
transversal e comprimento – entre pisos) e definir seus materiais (classe do concreto), compondo-os dentro que uma 
estrutura que deverá ter uma resposta adequada em ELU e ELS perante a aplicação das ações (permanentes e 
variáveis, verticais e horizontais) no edifício. 
Durante o curso, não estudaremos especificamente este assunto. Contudo, diversas informações apresentadas durante 
o mesmo poderão trazer subsídios para uma melhor concepção estrutural. 
ANÁLISE ESTRUTURAL 
Outra etapa do projeto que, em conjunto com a concepção estrutural, define a trajetória principal do mesmo. 
Certamente, o dimensionamento e detalhamento de pilares, que serão abordados mais adiante, também são de extrema 
relevância, mas pode-se afirmar, categoricamente, que uma boa concepção aliada uma adequada análise estrutural, 
praticamente garantem o sucesso do projeto de pilares. 
Nos dias atuais, tem-se mostrado que a grande maioria das falhas e patologias presentes nos edifícios já construídos 
provém de imprecisões na concepção e na análise estrutural. 
O verdadeiro objetivo da análise estrutural é descobrir qual a resposta da estrutura perante as ações que lhe foram 
aplicadas, respondendo a seguinte questão: quais são os esforços atuantes nos pilares? 
Uma condição essencialpara que os pilares sejam dimensionados de forma correta é a obtenção de esforços precisos e 
realistas durante a análise estrutural. 
Para isso, adotam-se protótipos que procuram simular o comportamento da estrutura real. Estes protótipos, associados 
aos diversos tipos de análises (linear, não-linear), definem o que comumente denominamos de modelos estruturais. 
No caso da análise de pilares, dois principais modelos são adotados: modelo global e modelo local. 
Modelo Global 
Neste modelo, a estrutura do edifício inteiro é analisada como um todo. Usualmente, se faz o uso do Pórtico Espacial, 
onde cada lance de pilar fica representada por uma única barra. 
Ao final do processamento, obtém-se as solicitações inicias (Sd,ini), de 2ª ordem global (Sd,2ª glo) e as devidas às 
imperfeições geométricas globais (Sd,igG). 
Por meio da modelagem global, é que se avalia a estabilidade da edificação como um todo através de parâmetros 
globais, como o z ou o . E, de acordo com a deslocabilidade da estrutura, ela é classificada como de nós fixos ou 
móveis. 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
15 
 
 
É importante salientar que os pilares, sejam eles com grande rigidez à flexão (núcleos rígidos em torno de caixas de 
elevador e caixa de escada) ou formando um conjunto rígido com as vigas (aporticamento), são fundamentais na 
manutenção da estabilidade global de edifícios, principalmente os mais esbeltos. 
Também por meio da modelagem global, da qual os pilares fazem parte, os deslocamentos laterais e as acelerações 
provocadas pelas ações horizontais são avaliados, de tal forma que o comportamento em serviço da edificação seja 
analisado. 
Enfim, os pilares, inseridos dentro da modelagem global, têm influência significativa na obtenção dos resultados 
(esforços solicitantes, estabilidade global, conforto). 
Modelo Local 
Neste modelo, um trecho do pilar (lance) é analisado de forma totalmente isolada da estrutura. 
 
Ao final do processamento, obtém-se os efeitos locais e localizados de 2ª ordem (Sd,2ª loc e Sd,2ª loz), os devidos às 
imperfeições geométricas locais (Sd,igL) e à fluência (Sd,flu). 
As solicitações nos pilares resultantes da modelagem local serão objeto de estudo detalhado durante o curso. 
DIMENSIONAMENTO 
Condição de segurança 
É muito importante estar ciente de que, no momento do dimensionamento dos pilares, o que está se fazendo, na 
realidade, é verificar somente algumas seções escolhidas ao longo do elemento. 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
16 
 
Estas seções consideradas críticas são, normalmente, a seção do topo de cada lance, a seção da base de cada lance e 
uma seção que fica entre o topo e a base de cada lance onde, devido ao surgimento de efeitos locais de 2ª ordem, a 
solicitação total poderá ser maior que a dos extremos. 
Repetindo, ao dimensionar os pilares, estamos verificando apenas algumas seções críticas ao longo de sua 
extensão. 
Isso é feito porque a condição primária de segurança, apresentada abaixo, é descrita analiticamente para uma seção: 
Sd ≤ Rd 
De acordo com esta singela expressão, que serve de base para o dimensionamento de elementos de concreto armado 
em geral, temos de um lado a solicitação com o seu valor de cálculo. Do outro, a resistência com o seu valor de 
cálculo. 
Conforme já apresentado no fluxograma, a solicitação é calculada durante a análise estrutural (modelagem global e 
local) e com a majoração dos esforços pelo coeficiente f. 
Já, a resistência é calculada a partir da seção de concreto e aço com a minoração da resistência característica dos 
mesmos, c e s, respectivamente. 
Solicitação Sd 
A solicitação em uma seção do pilar é calculada durante a análise estrutural. Uma parcela da mesma é calculada pelo 
modelo global e a outra pelo modelo local. 
O cálculo das solicitações seja objeto de estudo mais detalhado durante praticamente todo o curso. 
Resistência Rd 
A resistência última de uma seção submetida a solicitações normais é calculada levando-se em conta as seguintes 
hipóteses básicas: 
• A seção permanece plana após a sua deformação (condição de compatibilidade). 
• Há a total solidariedade entre o concreto e o aço, de tal forma que a deformação nas armaduras é a mesma nas 
fibras de concreto que estão imediatamente no seu entorno. 
• O encurtamento que leva a ruptura do concreto é εcu. 
• O alongamento plástico excessivo do aço é de 10/1000. 
• A resistência à tração do concreto (fct) é totalmente desprezada. 
Na situação última (ELU), a configuração da deformação na seção se dá de acordo com um dos domínios de cálculo. 
 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
17 
 
• O diagrama tensão-deformação do concreto é o definido no item 8.2.10.1 da NBR 6118:2014. 
• O diagrama tensão-deformação do aço é o definido no item 8.3.6 da NBR 6118:2014. 
• Pode-se adotar o diagrama parábola-retângulo ou retangular para a distribuição das tensões na parte da seção 
que está comprimida. 
Baseado nas hipóteses clássicas anteriormente descritas e que estão claramente definidas no item 17.2.2 da NBR 
6118:2014, pode-se então calcular analiticamente os esforços resistentes últimos numa seção de concreto armado. 
Para isso, no caso de elementos submetidos à flexão simples, como as vigas, basta: 
• Definir uma posição da linha neutra (LN). 
• Definir as deformações nos concreto e no aço, de acordo com os domínios de cálculo (semelhança de 
triângulos). 
Calcular as respectivas tensões no concreto (fcd) e no aço (fyd), de acordo com os diagramas idealizados previsto na 
norma. 
• Calcular as respectivas forças no concreto (Nsd) e no aço (Nsd), admitindo a lei de Hooke ( = E. ). 
• Verificar se há a o equilíbrio interno de forças na seção, isto é, Ncd = Nsd. 
• Se a condição de equilíbrio estiver satisfeita basta calcular o momento resistente último (MRd) por meio da 
multiplicação das forças no concreto e no aço pelos seus respectivos braços de alavanca em relação à LN. 
• Se a condição de equilíbrio não for satisfeita, isto é, Ncd ≠ Nsd, deve-se definir outra posição de LN e repetir o 
processo. 
No caso de pilares, que além do momento fletor, a seção também está submetida a uma força normal de compressão, 
caracterizando-se numa flexão composta normal, o procedimento para se calcular o MRd é exatamente o mesmo, com a 
única diferença de se considerar as deformações e tensões adicionais oriundas da força normal. Ou seja, para cada 
força Nd, pode-se calcular um momento MRd. 
Ainda no caso de pilares, também é comum a atuação de momentos fletores em cada direção acrescidos da força 
normal, caracterizando assim numa flexão composta oblíqua. Neste caso, o procedimento descrito acima também é 
similar, porém com a LN inclinada, o que dificulta bastante o cálculo manual. 
 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
18 
 
Seja na flexão composta normal como na flexão composta oblíqua, situações típicas para o caso dos pilares, é muito 
conveniente se fazer o uso de curvas ou diagramas de interação para se avaliar a resistência da seção. Esse assunto 
será apresentado com mais detalhes a frente. 
Situação de incêndio e durabilidade 
Durante o dimensionamento das seções dos pilares, também se devem levar em conta questões relativas à sua 
resistência em situação de incêndio e a durabilidade ao longo do tempo. 
No caso da verificação perante a ação do fogo, é mais usual e prático fazer o uso do Método Tabular presente na NBR 
15200:2012, que consiste em atender dimensões (bmín e c1mín – distância do CG da armadura à face exposta ao fogo) de 
acordo com a magnitude da exposição da construção ao incêndio-padrão (TRRF). 
Em relação à durabilidade, deve-se definir cobrimento e concreto adequados de tal forma proteger as armaduras da 
agressividade do meio-ambiente. 
DETALHAMENTO 
Uma vez garantida a segurança nas seções consideradas críticas dos pilares, esta (a segurança) é estendidapara toda a 
extensão desses elementos por meio de um correto detalhamento de armaduras. 
Isso se faz por meio da definição correta do comprimento das barras de armadura ao longo do pilar, levando-se em 
consideração as condições de ancoragem e transpasse, assim como da distribuição da armadura transversal (estribos e 
grampos), a fim de se evitar a flambagem das barras longitudinais. 
Deve-se também atender requisitos necessários para uma boa construção dos elementos da obra (construtibilidade). 
Neste caso, torna-se importante o atendimento a espaçamentos e taxas de armaduras limites. 
DESENHO 
Os desenhos dos pilares tanto nas plantas de fôrmas como nas plantas de armações são o resultado final de todo o 
projeto estrutural. Devem conter todas as informações necessárias para construção correta da edificação. 
Apesar de todo o exaustivo trabalho das demais etapas (concepção, análise, dimensionamento e detalhamento), o 
produto de um projeto estrutural fica resumido num conjunto de papel ou arquivos de desenho. 
Por isso, torna-se vital evidenciar ao contratante que projetar pilares não significa apenas desenhá-los. Mas, muito 
mais que isso, principalmente por ser um trabalho essencialmente intelectual e que envolve grandes responsabilidades. 
ADIMENSIONAIS 
A seguir, serão revisadas as principais variáveis adimensionais presentes no cálculo de pilares. 
Força normal adimensional () 
A força normal adimensional numa seção é calculada pela seguinte fórmula: 
cdc
Sd
fA
N
.
 , sendo Nsd a força normal solicitante de cálculo, Ac a área bruta da seção transversal e fcd a resistência de 
cálculo do concreto à compressão. 
Esta fórmula é bem simples de ser compreendida. Nada mais é que o quociente entre a tensão solicitante e a tensão 
resistente da seção de concreto, com seus valores de cálculo. 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
19 
 
cdc
Sd
cd
cSd
cck
Skf
Rd
Sd
fA
N
f
AN
f
hbN
.
/
/
)./().(





 
 
Trata-se de um parâmetro que pode fornecer uma referência em relação à magnitude força normal, possibilitando 
estabelecer quais as seções dos pilares que podem estar mais próximo do limite de sua resistência à compressão. 
 
A formulação da força normal adimensional também pode servir para um pré-dimensionamento da seção tranversal. 
Excentricidade relativa (e/h) 
Numa seção submetida à flexão composta normal (N + M), pode-se definir uma excentricidade “e” cujo valor é o 
quociente entre o momento fletor e a força normal: 
N
M
e  . 
Ainda, é possível definir a chamada excentricidade relativa (e/h) = 
h
e
, sendo h a dimensão da seção na direção 
analisada. 
Trata-se de um parâmetro que pode indicar o nível da solicitação do momento fletor numa seção. Exemplo: seja um 
lance de pilar retangular 20 cm X 60 cm, cuja seção do topo esteja submetido às seguintes solicitações: 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
20 
 
 
Calculando as excentricidades em cada uma das direções, temos: 
cmm
N
M
e
y
x 0,202,0
200
0,4
 
cmm
N
M
e xy 0,202,0
200
0,4
 
Note que a excentricidade ex é gerada pelo momento fletor em torno do eixo y, e vice-versa. 
Agora, calculando as excentricidades relativas, temos: 
%101,0
20
0,2

b
ex
 %3,3033,0
60
0,2

h
ey
 
 
Apesar dos momentos nas duas direções terem a mesma magnitude, Mx = My = 4,0tf.m, é possível perceber que o 
momento em torno da direção menos rígida (My) é mais significativo para a seção do que o momento na outra direção, 
pois gera uma excentricidade relativa maior (ex = 10%). 
Momento fletor adimensional () 
O momento fletor adimensional numa seção é calculado pela seguinte fórmula: 
 
hfA
M
h
e
cdc
Sd
..
. 





 , sendo Msd o momento fletor solicitante de cálculo, Ac a área bruta da seção transversal, fcd a 
resistência de cálculo do concreto à compressão e h a dimensão na direção analisada. 
Trata-se de um parâmetro que serve de base para construção de curvas de interação e ábacos de dimensionamento. 
Taxa geométrica de armadura () 
A taxa geométrica de armadura numa seção é dada por: 
 








c
s
A
A
 , sendo As a área total de aço na seção transversal e Ac a área bruta da mesma. 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
21 
 
Trata-se de um parâmetro nos dá uma referência com relação à quantidade de armadura numa seção. A norma define 
valores máximos e mínimos de taxas em seções de pilares. 
Taxa mecânica de armadura () 
A taxa geométrica de armadura numa seção é dada por: 









cdc
yds
fA
fA
.
.
 , sendo As a área total de aço na seção transversal, Ac a área bruta da mesma, fyd a resistência de 
cálculo do aço à tração e fcd a resistência de cálculo do concreto à compressão. 
Trata-se de um parâmetro que serve de base para construção de ábacos de dimensionamento. 
Índice de esbeltez () 
O índice de esbeltez de um lance de pilar depende de sua geometria e das condições de vínculo nos seus extremos, e é 
calculado pela seguinte fórmula: 
i
le , sendo le o comprimento equivalente do lance e i o raio de giração da seção transversal na direção analisada. 
Para o caso de seção retangular: 
h
l
h
l ee .46,312.  , sendo h a dimensão da seção na direção analisada. 
Para o caso de seção circular cheia: 
D
le.4 , sendo D o diâmetro da seção. 
Por meio do valor do índice de esbeltez, é possível estabelecer o quanto a peça é esbelta, e assim, ter a noção da 
magnitude dos efeitos locais de 2ª ordem. 
Veja o exemplo de um pilar retangular de 20cm X 60cm e le=3,0m. Note que, há um índice de esbeltez para cada 
direção. 
 
O valor de le é função do tipo de vínculo adotado. Veja, a seguir, algumas condições típicas. 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
22 
 
 
EXEMPLO 1 
 
Dado o pilar ao lado, cujos dados são: 
• Seção constante 25 cm X 65 cm 
• Armadura constante: 6  12,5 mm 
• le = 6,40 m (bi-apoiado) 
• fck = 20 MPa; c = 1,4 
• fyk = 500 MPa; s = 1,15 
• NSd (seção topo) = 84 tf 
• MSd (seção do topo, em torno da direção menos 
rígida) = 2,4 tf.m 
 
Análise em torno da direção menos rígida: calcular  
do pilar, e (e/h), , , ,  na seção do topo. 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
23 
 
Resolução: 
 
CLASSIFICAÇÃO 
Um pilar pode ser classificado segundo a sua esbeltez, a sua posição na estrutura e a sua contribuição no 
contraventamento da estrutura. 
Quanto à esbeltez 
Basicamente, os pilares podem ser classificados de acordo com o seu índice de esbeltez da seguinte forma: 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
24 
 
 
Nas estruturas usuais em concreto armado, a grande maioria dos pilares tem um índice de esbeltez inferior a 90. Em 
certos casos particulares na qual a arquitetura do edifício impõe uma geometria mais ousada, adotam-se pilares mais 
esbeltos (90 < ≤ 140). Casos de pilares com índice de esbeltez superior a 140 são raros e devem ser evitados. 
 
Quanto mais esbelto for o pilar, mais detalhado e cuidadoso deve ser o seu cálculo, pois os efeitos locais de 2ª ordem 
são mais significativos e tendência de perda de estabilidade é maior. A adoção indiscriminada de pilares esbeltos em 
um projeto é um risco enorme. 
 
O engenheiro deve que ter a “sensibilidade” de avaliar nível esbeltez de um pilar, isto é, saber diferenciar um pilar 
robusto de um pilar esbelto. Pilar com índice de esbeltez superior a 90 é muito esbelto e o seu cálculo deve ser 
realizado com critério. 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
25 
 
Quanto à posição na estrutura 
Um pilar pode ser classificado de acordo com a sua posição na estrutura em: pilar de canto, pilar de extremidade (ou 
lateral) e pilar intermediário (ou central). 
 
A classificação de um pilar quanto à sua posição na estrutura é bastante útil, pois pode indicar que tipo de solicitações 
iniciais o mesmopode estar submetido. Pilares de canto estão submetidos à flexão composta oblíqua (ver figura a 
seguir), pilares de extremidade podem estar submetidos à flexão composta normal e pilares intermediários podem 
estar submetidos à compressão centrada. Mas, isso depende de cada caso. 
 
 
Quanto ao contraventamento 
Em relação à sua contribuição no contraventamento da estrutura, um pilar pode ser classificado em: pilar de 
contraventamento e pilar contraventado. 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
26 
 
Pilares de contraventamento possuem grande rigidez a ações horizontais. Os pilares contraventados são elementos de 
menor rigidez, mas que estão interligados aos pilares de contraventamento. 
 
É muito importante durante a análise de uma estrutura, identificar quais são os pilares contraventados e os pilares de 
contraventamento. Eles possuem comportamento estrutural distinto, e são calculados de forma diferente. 
CURVAS OU DIAGRAMAS DE INTERAÇÃO 
Já foi apresentado anteriormente que, uma vez conhecida a geometria da seção, as armaduras, os materiais, 
estabelecidas as hipóteses que definem a situação última (ruptura do concreto ou alongamento plástico excessivo do 
aço) e os coeficientes de segurança, torna-se possível calcular analiticamente a resistência última (Rd) de uma seção de 
concreto armado. 
No caso de seções submetidas à flexão composta, normal ou oblíqua, a resistência última (Rd) pode ser graficamente 
representada por meio de curvas ou superfícies de interação. 
Curva N-M 
Para seções submetidas à flexão composta normal (N, M), podem-se montar curvas ou diagramas de interação que 
relacionam a força normal última com o momento fletor último. 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
27 
 
 
Na figura anterior, a curva representa a resistência última (Rd) da seção, onde cada ponto sobre a mesma define pares 
(NRd e MRd). Caso a solicitação (Sd), composta por uma força normal solicitante atuando em conjunto com o momento 
fletor solicitante, par (NSd, MSd), for definido por um ponto dentro ou sobre a curva de interação, a condição de 
segurança fica atendida (Sd ≤ Rd). 
Contrariamente, quando a solicitação (Sd), definida por um par solicitante (NSd, MSd), ficar representado para fora da 
curva de interação, o ELU à ruptura é atingido. 
De forma geral, é possível perceber na curva acima que a resistência à tração não diminui tanto à medida que 
alterarmos o valor do momento fletor. Este fato, porém, não ocorre quando a força é de compressão. 
Veja, a seguir, a curva de interação N-M para uma seção retangular de 30 cm X 60 cm, armadura composta por 16 
barras de 20 mm dispostas simetricamente (d’ = 3,6 cm), concreto C20, aço CA50, f = 1,4 e s = 1,15. 
 
A curva N-M pode ser representada com a força normal na abscissa e o momento no eixo das ordenadas, ou vice-
versa. 
Curva N-Mx-My 
Para seções submetidas à flexão composta oblíqua (N, Mx, My), pode-se montar curvas ou diagramas de interação que 
relacionam a força normal última (pré-fixada) com ambos os momentos fletores últimos. 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
28 
 
Veja, a seguir, a curva de interação N-Mx-My para uma seção retangular de 30 cm X 60 cm, armadura composta por 
16 barras de 20 mm dispostas simetricamente (d’ = 3,6 cm), concreto C20, aço CA50, f = 1,4, s = 1,15 e força 
normal de cálculo igual a 150 tf. 
 
OBS.: é preciso tomar cuidado com a notação adotada para os momentos. 
Seção qualquer 
No caso de seção com geometria irregular, como por exemplo, seção com formato em “L”, usualmente, o diagrama é 
traçado com momentos fletores atuando nas direções principais, conforme mostra a figura a seguir. 
 
Superfície N-Mx-My 
Quando montamos “n” curvas N-Mx-My sucessivamente, variando o valor da força normal desde o do valor limite à 
tração até o limite à compressão, obtemos o que chamamos de superfície de interação N-Mx-My. Trata-se do caso geral 
para a análise à flexão composta oblíqua. 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
29 
 
 
Veja, a seguir, o exemplo de uma superfície de interação N-Mx-My. 
 
Curvas nos computadores 
A construção de curvas de interação nos computadores é bastante comum e eficiente. O cálculo e traçado das mesmas, 
normalmente, levam pouco mais que centésimos de segundo. 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
30 
 
Curvas aproximadas 
Existem algumas propostas para a definição aproximada da curva N-Mx-My que, em geral, conduzem a resultados a 
favor da segurança. O uso da curva aproximada é interessante para se realizar verificações manuais. 
 
Inclusive, a NBR 6118:2014, no item 17.2.5.2, traz a seguinte expressão: 
1
,
,
,
,



















yyRd
yRd
xxRd
xRd
M
M
M
M
, sendo: MRd,x e MRd,y as componentes do momento resistente de cálculo em flexão 
composta oblíqua e MRd,xx e MRd,yy os momentos de cálculo em flexão composta normal. 
Em geral, a favor da segurança, o valor do expoente  é igual a 1,0. No caso de seções retangulares, pode ser adotado 
1,2. 
Essa equação pode ser ilustrada graficamente da seguinte forma: 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
31 
 
 
EXEMPLO 2 
Seja a seção abaixo cujos dados são: 
 
• Seção retangular 20 cm X 60 cm 
• Armadura: 10  20 mm (d’ = 4,63 cm) 
• fck = 30 MPa; c = 1,4 
• fyk = 500 MPa; s = 1,15 
• Eixo x em torno da direção menos rígida 
a) Montar a superfície N-Mx-My. 
b) Quando submetida à tração simples, qual o valor da força normal última admitida pela seção? Fazer conta 
simples para justificar o valor encontrado. 
c) Quando submetida à compressão simples, qual o valor da força normal última admitida pela seção? Fazer 
conta simples para justificar o valor encontrado. 
d) Montar curvas N-Mx e N-My. 
e) Quais os momentos resistentes últimos à flexão simples nas duas direções? 
f) Montar a curva de interação N-Mx-My, para uma força normal Nd = 210 tf. 
g) Qual o MRdx quando MRdy = 0,0 tf.m (flexão composta normal em torno de x)? 
h) Qual o MRdy quando MRdx = 0,0 tf.m (flexão composta normal em torno de y)? 
i) Quando submetida à NSd = 210 tf, MSdx = -5,0 tf.m e MSdy = 7,0 tf.m, a seção passa? 
j) Quando submetida à NSd = 210 tf, MSdx = 6,0 tf.m e MSdy = -7,0 tf.m, a seção passa? 
k) Qual das duas condições de carregamento anteriores é a mais crítica? 
l) Avaliar as duas condições de carregamento definidas nos itens 4 e 5 adotando a curva aproximada da NBR 
6118. 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
32 
 
 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
33 
 
DIMENSIONAMENTO DE UM LANCE 
Conforme já foi salientada anteriormente, a condição primária de segurança (Sd ≤ Rd) é verificada apenas em algumas 
seções durante o dimensionamento de um elemento estrutural, e depois é extrapolada para as demais seções por meio 
de um detalhamento adequado. 
Vamos visualizar este conceito para um lance de pilar. 
Um pilar é composto por “n” seções ao longo de seu lance, cada qual com a sua resistência e solicitação. O 
dimensionamento e o detalhamento efetuados pelo Engenheiro durante a elaboração do projeto estrutural devem 
garantir que, em todas as “n” seções, a condição de segurança seja plenamente atendida. 
 
A resistência de cálculo (Rd) de cada uma das “n” seções de concreto armado submetidas à flexão composta, normal 
ou oblíqua, pode ser representada por meio de “n” curvas ou superfícies de interação. 
Em edifícios usuais de múltiplos andares, a geometria da seção, as armaduras e o material (concreto e aço) empregado 
num lance comumente são constantes. A diferença entre a força normal de compressão atuante na seção do topo e na 
seção da base de um lance é muito pequena (é oriunda somente do peso-próprio do mesmo), de tal forma que é 
razoável se considerar uma força de compressão também constante ao longo do lance (adota-sesempre o valor da 
maior força na base). 
A partir destas considerações, a resistência última de cálculo (Rd) de todas as seções de um lance fica definida apenas 
por uma única curva de interação N-Mx-My, conforme ilustra a figura a seguir. 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
34 
 
 
Ou seja, no dimensionamento de um lance de pilar, deve-se garantir que todas as solicitações de cálculo ao longo do 
mesmo (Sd,i, i=1,n), representada por (NSd,i, MSdx,i, MSdy,i) no caso da flexão composta oblíqua, estejam contidas dentro 
da curva de interação montada com NRd,i = NSd,i = Nd,cte. 
 
Seções críticas 
Obviamente, entre o topo e a base do lance de pilar há seções críticas cujas solicitações governam o dimensionamento 
do mesmo. Durante o curso, apresentaremos como “descobrir” quais são estas seções. 
Combinações de ações 
O dimensionamento de um lance do pilar deve garantir a segurança para todas as possíveis combinações de ações 
(ELU) atuantes no mesmo. Cada combinação possui um determinado valor de força normal no lance (Nd). E, com 
isso, no caso geral do dimensionamento de um lance de pilar, podemos dizer que as solicitações nas seções críticas 
calculadas para cada uma das combinações precisam estar dentro da superfície de interação. 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
35 
 
 
Envoltória de esforços 
É importante lembrar que no dimensionamento à flexão composta, não vale a envoltória de esforços das combinações, 
comumente adotada no dimensionamento de vigas. Ou seja, não se deve dimensionar para (NSd,máx - MSdx,máx - 
MSdy,máx). Isso pode levar a um dimensionamento exageradamente a favor da segurança, ou mesmo contra a segurança. 
A verificação da segurança deve ser averiguada isoladamente para cada combinação. 
Coeficiente adicional 
Há duas condições em que se deve introduzir uma segurança extra no dimensionamento de pilares. Em ambos os 
casos, adota-se um coeficiente de majoração adicional n na definição das solicitações de cálculo. Veja a seguir. 
Pilares com menor dimensão inferior a 19 cm 
Na tabela 17 da NBR 6118:2014, define-se um coeficiente adicional n para pilares com menor dimensão inferior a 19 
cm. 
 
 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
36 
 
Pilares com esbeltez superior a 140 
Para pilares cuja esbeltez em relação à sua direção principal de inércia for superior a 140, deve-se adotar um 
coeficiente adicional n, conforme a expressão a seguir. 
n = 1 + 0,01.( - 140) / 1,4;  é o índice de esbeltez do pilar. 
Essa expressão está definida no item 15.8.1 da ABNT NBR 6118:2014. 
Representação de Esforços em Planta 
Existem inúmeras formas de representar graficamente os esforços solicitantes em um lance de pilar. Uma maneira 
bastante interessante e eficiente é a representação em planta dos mesmos (solicitações) junto com a curva de interação 
(resistência). 
Veja, a seguir, o exemplo de uma representação em planta de um lance de pilar de concreto armado com momentos 
fletores variando linearmente entre o seu topo e a sua base. 
 
Cada par de esforços (Mx e My) fica representado por um único ponto. Dessa forma, os momentos solicitantes no topo 
e na base ficam representados por dois pontos (Topo e Base), como apresentados na figura anterior. 
Quando os momentos fletores variam linearmente entre o topo e a base, os esforços ao longo do lance ficam 
representados por uma reta. 
A curva resistente é definida de acordo com os materiais, a geometria da seção, a configuração de armaduras e a força 
normal solicitante. Por meio do desenho dessa curva, é possível quantificar graficamente o nível de solicitação atuante 
ao longo das seções de um lance em relação às suas resistências. 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
37 
 
Veja, a seguir, outro exemplo, agora com o momento My atuando no mesmo sentido. 
 
A representação de esforços em planta é bastante simples, possibilita a visualização completa do que ocorre num 
lance, e nos auxiliará na compreensão das explanações feitas ao longo do curso sobre a envoltória mínima de 1ª 
ordem, bem como sobre os esforços locais de 2ª ordem. 
ÁBACOS DE DIMENSIONAMENTO 
O dimensionamento de pilares de um edifício de concreto está baseado na verificação da segurança (Sd ≤ Rd) em 
certas seções consideradas críticas nesses elementos. 
Como normalmente as solicitações (Sd), a seção transversal e os materiais (fcd e fyd) são conhecidos, a verificação desta 
condição recai no cálculo de uma armadura necessária, cuja solução pode ser bastante trabalhosa. Na prática, há 
duas formas de se fazer isso de forma produtiva: por meio do uso de ábacos ou por meio de softwares. 
Atualmente, a resolução por meio do computador é a mais comum, e fornece resultados com grande precisão e 
rapidez. Contudo, principalmente em casos onde há a necessidade de se fazer alguma conta manual expedita, também 
pode-se fazer o uso de ábacos. 
Diversos ábacos, válidos somente para seção retangular, foram construídos e reproduzidos por muitos autores, dentre 
eles: MARINO (1978), FUSCO (1981), SUSSEKIND (1985), DUMONT (1987), VENTURINI (1990), PINHEIRO 
(1994), etc. Hoje em dia, eles também se encontram disponíveis na Internet. 
Todos os ábacos são montados a partir de uma pré-definição da armadura na seção (arranjo e d’/h) e estão baseados 
nos adimensionais , , . 
Flexão Composta Normal 
Para os casos de seção submetida à flexão composta normal, conhecidos os valores da força normal adimensional () e 
o momento fletor adimensional (), pode-se extrair o valor da taxa geométrica de armadura (), e assim, obter a área 
de armadura necessária na seção. 
Note que na definição de  e  estão implicitamente definidas as solicitações e os materiais. 
Veja, a seguir, um exemplo de ábaco para uma seção submetida à flexão composta normal, armadura simétrica, aço 
CA50 e d’/h = 0,15. 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
38 
 
 
Flexão Composta Oblíqua 
Para os casos de seção submetida à flexão composta oblíqua, conhecidos os valores da força normal adimensional () 
e os momentos fletores adimensionais (xe y), pode-se extrair o valor da taxa geométrica de armadura (), e assim, 
obter a área de armadura necessária na seção. 
Veja, a seguir, um exemplo de ábaco para uma seção submetida à flexão composta oblíqua, armadura simétrica, aço 
CA50 e d’y/hy = 0,05 e d’x/hx = 0,10. 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
39 
 
 
Diversos exemplos de como usar ábacos no dimensionamento de armaduras podem ser encontrados no livro dos 
Profºs CHUST e PINHEIRO, página 286. 
Utilizaremos ábacos em exemplos resolvidos durante o curso. 
SOLICITAÇÕES EM PILARES DE EDIFÍCIOS 
Basicamente, os esforços solicitantes mais importantes que atuam ao longo de cada um dos lances de um pilar de um 
edifício usual, decorrentes da aplicação das ações verticais e horizontais, são: 
• Força normal, predominantemente de compressão. 
• Momentos fletores, em cada direção. 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
40 
 
Há também a atuação do momento torsor e das forças cortantes. No entanto, nos casos usuais de edifícios com 
múltiplos pavimentos, os mesmos podem ser desprezados1, pois não são solicitações preponderantes e significativas. 
Quando há atuação simultânea da força normal (N) e dos dois momentos fletores (Mx e My) nos pilares, suas seções 
ficam submetidas a uma flexão composta oblíqua. Essa situação é típica em pilares de canto. 
 
 
Nos casos em que o momento fletor numa das direções é desprezível, as seções ficam submetidas a uma flexão 
composta normal. Essa situação é típica em pilares de extremidade, mas não é regra geral. 
 
 
1 Há casos em que a consideração dos esforços de cortante e torsor não podem ser desprezadas. 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura)41 
 
 
É bom lembrar que a consideração da flexão composta normal é uma aproximação, válida somente para simplificar o 
caso geral, que é a flexão composta oblíqua. Na vida real, os pilares quase sempre estarão submetidos a momentos 
fletores nas duas direções. 
Nos sistemas computacionais atuais, usualmente todos os pilares são dimensionados à flexão composta oblíqua (N, Mx 
e My). Não há a simplificação em flexão composta normal. 
Força normal 
A força normal nos pilares oriunda da aplicação das 
ações verticais nos pavimentos é acumulada lance a 
lance do topo para a base do edifício, até transmiti-la 
para os elementos de fundação. 
 
Usualmente, num mesmo lance, a diferença gerada pelas ações verticais entre a força normal na seção do topo e na 
seção da base é pequena. Refere-se apenas à atuação do peso-próprio no lance. Na prática, sempre se adota uma força 
normal máxima (base) constante para o dimensionamento do lance. 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
42 
 
 
Quando submetida exclusivamente a ação 
horizontal (situação meramente fictícia), 
parte dos pilares ficam tracionados, e a 
outra parte comprimida, formando binários 
resistentes aos esforços gerados pela ação. 
 
Vale à pena lembrar, no entanto, que a atuação isolada da ação horizontal na estrutura, na prática, nunca ocorrerá. Na 
vida real, não há uma situação na qual exista a atuação da mesma sem a presença simultânea das cargas verticais 
(peso-próprio, revestimentos, sobrecargas, etc). A estrutura precisa existir para que o vento atue! 
A ação horizontal, portanto, sempre atuará no sentido de aumentar ou aliviar a força de compressão já existente nos 
pilares devido à presença da carga vertical. Ou seja, o que vale, na realidade, são os esforços solicitantes devido a uma 
combinação de ações verticais e horizontais. 
 
Momentos fletores 
A distribuição de momentos fletores ao longo dos lance dos pilares de um edifício, decorrentes da aplicação das ações 
verticais e horizontais, é variável. Depende de suas rigidezes e dos elementos que estão vinculados (vigas ou lajes). 
Eis alguns exemplos: 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
43 
 
 
 
Quando presentes em estruturas aporticadas submetidas a ações 
verticais, os diagramas de momentos fletores nos pilares tendem a 
apresentar o formato ao lado. 
 
Parcelas de esforços 
Com o intuito de facilitar o cálculo de um lance de pilar, o esforço total utilizado no seu dimensionamento pode ser 
subdividido nas seguintes parcelas: 
 
Estas parcelas de esforços se referem basicamente aos momentos fletores (Mx e My) no pilar. Para as demais 
solicitações (força normal, forças cortantes e momento torsor), não é necessário subdividi-las com detalhes dessa 
maneira. E, portanto, é muito comum definir a seguinte expressão: 
 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
44 
 
Além disso, também é usual expressar estas parcelas em valores de excentricidades. Nesse caso, basta dividir os 
respectivos momentos fletores pela força normal (constante): 
 
Muito embora esses esforços atuem de forma conjunta na vida real, é comum utilizar modelos distintos e separados 
para calcular cada uma dessas parcelas durante a elaboração de um projeto estrutural. 
Usualmente, os esforços iniciais, os esforços globais de 2ª ordem e os esforços provenientes das imperfeições 
geométricas globais são calculados por meio de modelos que contemplam toda a estrutura (modelo global), enquanto 
que os esforços locais de 2ª ordem, os esforços provenientes de imperfeições geométricas locais e os esforços devido à 
fluência são analisados por meio de modelos que tratam o lance de pilar de forma isolada (modelo local). 
SOLICITAÇÕES INICIAIS 
São chamadas solicitações iniciais os esforços calculados durante a análise estrutural, resultantes da aplicação das 
ações verticais e horizontais no modelo global do edifício e necessárias para manter o equilíbrio da estrutura na 
posição indeformada (análise em primeira ordem). 
 
Os esforços iniciais que aparecem nos lances dos pilares são oriundos dos elementos (vigas ou lajes) que estão 
vinculados aos mesmos. 
 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
45 
 
Atualmente, na grande maioria dos sistemas computacionais, os esforços iniciais são calculados a partir de um modelo 
clássico de pórtico espacial, isto é, um modelo tridimensional (3D) composto por elementos lineares (barras), 
conectadas por nós que possuem 6 graus de liberdade. 
Neste modelo, as barras representam todo o conjunto de pilares e vigas que formam a estrutura do edifício. As lajes 
são consideradas como diafragmas rígidos. 
 
A avaliação da distribuição e magnitude dos esforços iniciais (forças normais e cortantes, momentos fletores e 
torsores) é uma etapa primordial no cálculo dos pilares. Faz parte da análise estrutural e deve estar de acordo com o 
previsto durante a concepção da estrutura. Trata-se de uma tarefa com total responsabilidade por parte do Engenheiro. 
Nenhum sistema computacional é capaz de alertar quando um pilar, que deveria estar submetido a uma força de 400 tf, 
estiver solicitado com 100 tf! 
Se os esforços iniciais estiverem incorretos, todo o cálculo dos demais esforços nos pilares (imperfeição geométrica, 
2ª ordem, fluência) ficará totalmente comprometido. 
Modelo realista 
É importante lembrar que, ao contrário de um pórtico espacial puramente elástico que pode gerar resultados 
imprecisos, é conveniente adotar um modelo adequado e direcionado para a modelagem de edifícios de concreto 
armado, isto é, que possua adaptações para a obtenção de respostas compatíveis com a realidade da estrutura. 
É obrigatório sempre utilizar um modelo numérico que forneça resultados precisos e confiáveis. Caso contrário, é 
melhor nem começar a calcular os pilares. 
Dentre as adaptações que devem ser consideradas durante a modelagem, podemos citar: ligações viga-pilar 
flexibilizadas, efeitos construtivos, viga de transição, tirante e plastificações. 
Ligação viga-pilar 
Os cruzamentos entre os pilares e as vigas de um edifício de concreto armado são regiões importantes da estrutura 
onde ocorre a transferência de esforços de uma peça para outra. São trechos que necessitam de um tratamento 
particular durante a modelagem estrutural. 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
46 
 
 
No pórtico espacial, existem três itens importantes referentes às ligações viga-pilar que necessitam ser considerados: 
• Trechos rígidos 
• Flexibilização da ligação viga-pilar 
• Excentricidades de apoios 
Trechos rígidos são regiões na intersecção de vigas e pilares de uma estrutura de concreto armado que apresentam 
elevada rigidez. 
 
A rigidez efetiva da ligação entre os elementos, principalmente em casos vigas se apoiando em pilares alongados, 
necessita ser considerada de forma adequada no modelo de pórtico espacial. Veja um exemplo a seguir. 
 
No modelo de pórtico espacial, a rigidez efetiva na ligação viga-pilar é incorporada ao modelo por meio de "molas" 
posicionadas nos extremos das barras. Ou seja, as ligações são flexibilizadas. 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
47 
 
 
A técnica utilizada para simular esse comportamento é baseada na manipulação das matrizes de rigidez das barras 
(ligação semi-rígida). 
 
Além dos trechos rígidos e das ligações flexibilizadas, as excentricidades existentes entre elementos não alinhados 
deve ser também considerada. Veja abaixo dois casos típicos de excentricidades: vigas não alinhadas com o CG do 
pilar, variação de seção de um mesmo pilar entre um lance e outro. 
 
EXEMPLO 3 
Fazer um estudo das solicitações iniciais nos pilares do edifício hipotético abaixo. 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
48 
 
 
a) Entender o sistema global e local de coordenadas. 
b) Analisar a distribuição das forças normaisnos 
pilares para ações verticais, horizontais e 
combinações. 
c) Analisar a distribuição dos momentos fletores nos 
pilares para ações verticais e horizontais. 
d) Avaliar o equilíbrio de esforços nos pilares de 
canto. 
e) Avaliar o equilíbrio de esforços nos pilares de 
extremidade. 
f) Avaliar o equilíbrio de esforços no pilar central. 
g) Os momentos fletores no último lance dos pilares 
são maiores que os demais lances. Por quê? 
 
 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
49 
 
 
 
COMPORTAMENTO NÃO-LINEAR 
De forma bastante simplificada, pode-se dizer que uma estrutura possui um comportamento não-linear quando a sua 
resposta, seja em deslocamentos, esforços ou tensões, é desproporcional à medida que um carregamento é aplicado. 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
50 
 
Exemplo 
Seja uma estrutura qualquer submetida a um carregamento “P”, cujo deslocamento resultante num determinado ponto 
é igual a “d”. 
 
Agora, imagine se adicionássemos nesta estrutura mais uma mesma carga “P”, de tal maneira que o carregamento total 
ficasse igual a “2.P”. Qual será o deslocamento resultante? 
 
Se for efetuada uma análise puramente linear, certamente o deslocamento resultante será proporcional ao acréscimo de 
carga, isto é, igual “2.d”. A resposta da estrutura em termos de deslocamentos terá um comportamento linear à medida 
que o carregamento é aplicado. 
Por sua vez, se for efetuada uma análise não-linear, o deslocamento resultante não será proporcional ao acréscimo de 
carga, isto é, será um valor diferente de “2.d”. E mais, provavelmente maior que “2.d”. A resposta da estrutura em 
termos de deslocamentos terá um comportamento não-linear à medida que o carregamento é aplicado. 
 
Basicamente, existem dois fatores principais que geram o comportamento não-linear de uma estrutura: 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
51 
 
• Alteração das propriedades dos 
materiais que compõem a estrutura, designada 
“não-linearidade física” (NLF). 
 
 
• Alteração da geometria da 
estrutura, designada “não-linearidade 
geométrica” (NLG). 
NÃO-LINEARIDADE FÍSICA 
A não-linearidade física na análise de estruturas de concreto armado que, diga-se de passagem, é um material 
essencialmente não-linear, pode ser tratada de diferentes formas, desde processos aproximados até metodologias mais 
complexas. 
Não-linearidade física de forma aproximada 
Uma maneira aproximada para considerar a não-linearidade física em uma estrutura, isto é, considerar a variação do 
comportamento do material à medida que o carregamento é aplicado, é alterar diretamente o valor da rigidez dos 
elementos que a compõe. 
 
É o que fazemos, por exemplo, no cálculo do pórtico espacial no Estado Limite Último (ELU) quando adotamos 
0,8.EIc nos pilares e 0,4.EIc nas vigas. 
Outro exemplo: redução de rigidez nas bordas de laje de tal forma a simular uma possível fissuração do concreto 
nessas regiões. Em elementos predominantes fletidos como vigas e lajes, a fissuração é preponderante no 
comportamento não-linear da estrutura. 
Não-linearidade física de forma refinada 
Uma maneira mais refinada de tratar a não-linearidade física em uma estrutura é por meio do uso de relações 
momento-curvatura. 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
52 
 
 
Curvatura é a variação do ângulo de rotação ao 
longo de um trecho (d/ds) e, portanto não é 
expresso em graus ou radianos. 
 
A maneira mais comum e também correta de 
definir curvatura é sendo o inverso do raio de 
curvatura (1/r). 
Em uma seção de concreto armado, a curvatura pode ser expressa de forma aproximada da seguinte forma 
(compatibilidade de deformações): 
 
Ou seja, com as deformações no concreto e no aço, c e s, e a altura útil d, é possível calcular a curvatura em uma 
seção de concreto armado. 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
53 
 
 
Também de forma aproximada, é possível relacionar a curvatura de uma seção com o momento fletor atuante na 
mesma através da seguinte fórmula (relação constitutiva): 
 
A relação momento-curvatura (M x 1/r) é análoga à expressão que relaciona a tensão com a deformação ( x ), 
porém tem uma grande vantagem: permite que a não-linearidade física seja acoplada aos cálculos de uma forma mais 
fácil e direta. Note que o que relaciona o momento com a curvatura de uma seção é a sua rigidez à flexão EI. 
 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
54 
 
 
 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
55 
 
 
Diagrama momento-curvatura 
Quando a relação momento-curvatura de 
uma seção é definida para diferentes níveis 
de solicitação, obtém-se então o diagrama 
“M x 1/r”. 
 
Veja, a seguir, o exemplo de um diagrama M x 1/r usualmente utilizado no cálculo de flechas em pavimentos de 
concreto armado (ELS). 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
56 
 
 
Diagrama normal-momento-curvatura (N, M, 1/r) 
Com a presença concomitante de uma força normal na seção, a relação momento-curvatura continua válida, porém, é 
claro, dependente diretamente do valor da força normal. Nesse caso, a relação passa ser denominada N, M, 1/r. 
 
Com a presença da força normal, o diagrama “M x 1/r” passa a ser chamado de normal-momento-curvatura ou “N, M, 
1/r”. 
 
O conceito é exatamente o mesmo: dada uma força normal atuante, a curvatura na seção se altera de acordo com o 
momento fletor solicitante. Esta variação é determinada por uma rigidez EI. 
A compreensão do diagrama “N, M, 1/r” é extremamente importante no cálculo de pilares. Lembre-se que os mesmos 
estão submetidos à atuação conjunta de momentos fletores e da força normal de compressão. 
 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
57 
 
Veja, a seguir, o exemplo de um diagrama “N, M, 1/r” para uma seção retangular (30 cm X 60 cm) e com uma 
determinada configuração de armadura adotada. 
 
Para uma dada força normal (N 
= 150 tf), note que a variação da 
curvatura (1/rx) à medida que o 
momento fletor (Mx) aumenta 
não é linear. 
Na construção desse diagrama 
não é levada em conta à 
resistência à tração do concreto 
(ELU). 
O diagrama N, M, 1/r varia em função das seguintes características: 
• Geometria da seção 
• Materiais (concreto e aço) 
• Configuração de armaduras 
• Força normal atuante 
Diagramas N, M, 1/r na prática 
A montagem de diagramas N, M, 1/r para seções de concreto armado, na prática, torna-se viável somente com o uso 
de computadores. De forma manual, os cálculos demandam muito tempo, e tornam impraticáveis diante da 
produtividade exigida durante a elaboração de um projeto estrutural. 
Hoje, por meio de algoritmos numéricos confiáveis e eficientes, um diagrama N, M, 1/r pode ser calculado para uma 
seção de concreto armado genérica em centésimos de segundos. 
 
Cabe ao Engenheiro Estrutural saber 
interpretar o diagrama gerado por um 
sistema computacional. E neste caso, 
compreender bem conceitos como 
rigidez, relação momento-curvatura são 
imprescindíveis. 
Os diagramas N, M, 1/r serão largamente utilizados no cálculo dos efeitos locais de 2ª ordem ao longo do curso. 
Exemplo 
Seja a seção transversal com os dados abaixo: 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
58 
 
 
• Seção 30 cm x 60 cm 
• Armadura: 16  20 mm 
• Concreto C30, c = 1,4 
• Aço CA50, s = 1,15 
• Eixo x em torno da direção 
menos rígida 
Considerando a tensão de pico no concreto no ELU igual a 0,85.fcd e f3 = 1,0: 
a) Monte o diagrama N, M, 1/r em torno de x para uma força normal Nd = 100 tf. Qual o valor de MRd? Qual a 
rigidez secante definida para um momento fletor igual a MRd? 
b) Monte o diagrama N, M, 1/r em torno de y para uma força normal Nd = 100 tf. Qual o valor de MRd? Qual a 
rigidez secante definida para um momento fletor igual a MRd? 
c) Monte o diagrama N, M, 1/r em torno dex para uma força normal Nd = 200 tf. Qual o valor de MRd? Qual a 
rigidez secante definida para um momento fletor igual a MRd? 
d) Monte o diagrama N, M, 1/r em torno de x para uma força normal Nd = 300 tf. Qual o valor de MRd? Qual a 
rigidez secante definida para um momento fletor igual a MRd? 
e) A variação de rigidez EI nos itens a), c) e d) é linear ou não-linear? 
f) Altere a bitola das barras para 12,5 mm. Monte o diagrama N, M, 1/r em torno de x para uma força normal Nd 
= 300 tf. Qual o valor de MRd? Qual a rigidez secante definida para um momento fletor igual a MRd? 
g) Eliminar as barras no canto inferior esquerdo conforme mostra a figura abaixo. Monte o diagrama N, M, 1/r 
em torno de x para uma força normal Nd = 300 tf. Existe simetria nos dois sentidos? Por que para Md = 0, a 
curvatura é diferente de zero? 
 
Considerando a resistência do concreto no ELU igual a 0,85.fcd, e aplicando uma força normal de compressão com 
valor de cálculo igual a NSd = 100 tf, obtém-se o seguinte diagrama N, M, 1/r em torno da direção menos rígida da 
seção (direção x). 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
59 
 
 
Comentários: 
• A curva é idêntica nos dois sentidos, positivo e negativo, pois a seção é inteiramente simétrica na direção x. 
• O momento resistente último de cálculo (MRd) é igual a 30,4 tf.m. 
• A curvatura na ocasião da atuação do MRd é igual a 2,72x10-2 m-1. 
• A rigidez EIsec definida por uma reta secante para M = MRd é igual a 1117,5 tf.m2. 
Para a mesma força normal de compressão NSd = 100 tf, obtém-se o seguinte diagrama N, M, 1/r em torno da direção 
mais rígida da seção (direção y). 
 
Comentários: 
• A curva é idêntica nos dois sentidos, como esperado. 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
60 
 
• O momento resistente último de cálculo (MRd) é igual a 59,5 tf.m. 
• A curvatura na ocasião da atuação do MRd é igual a 1,41x10-2 m-1. 
• A rigidez EIsec definida por uma reta secante para M = MRd é igual a 4235,2 tf.m2. 
Retornando a análise em torno da direção menos rígida (direção x). Vamos alterar a força normal de compressão para 
NSd = 200 tf. Obtém-se então o seguinte diagrama N, M, 1/r. 
 
Comentários: 
• O momento resistente último de cálculo (MRd) é igual a 28,7 tf.m (para NSd = 100 tf, MRd = 30,4 tf.m). 
• A rigidez EIsec definida pela reta secante é igual a 1435,6 tf.m2 (para NSd = 100 tf, EIsec = 1117,5 tf.m2). 
Aumentando a força normal de compressão para NSd = 300 tf, obtém-se então o seguinte diagrama N, M, 1/r. 
 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
61 
 
Comentários: 
• O momento resistente último de cálculo (MRd) é igual a 22,6 tf.m (para NSd = 100 tf, MRd = 30,4 tf.m e para 
NSd = 200 tf, MRd = 28,7 tf.m). 
• A rigidez EIsec definida pela reta secante é igual a 1440,1 tf.m2 (para NSd = 100 tf, EIsec = 1117,5 tf.m2 e para 
NSd = 200 tf, EIsec = 1435,6 tf.m2). 
• Tanto em termos de resistência como em termos de rigidez, a variação à medida que a força normal aumenta 
não é linear. 
Mantendo a força normal de compressão para NSd = 300 tf, e agora alterando a armadura para 16  12,5 mm, obtém-se 
então o seguinte diagrama N, M, 1/r. 
 
Comentários: 
• O momento resistente último de cálculo (MRd) é igual a 11,4 tf.m (para 16  20 mm, MRd = 22,6 tf.m). 
• A rigidez EIsec definida pela reta secante é igual a 911,1 tf.m2 (para 16  20 mm, EIsec = 1440,1 tf.m2). 
Finalmente, vamos eliminar a simetria das 
armaduras retirando três barras do canto 
esquerdo inferior, conforme mostra a figura ao 
lado. 
 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
62 
 
 
Comentários: 
• O diagrama não apresenta simetria nos dois sentidos. 
• Para um momento fletor Md = 0,0 tf.m, há o aparecimento de uma curvatura diferente de zero, ocasionado 
exclusivamente pela presença da força normal de compressão para NSd = 300 tf. 
NÃO-LINEARIDADE GEOMÉTRICA 
Assim como a não-linearidade física, a não-linearidade geométrica também gera uma resposta não-linear de uma 
estrutura. Porém, esse comportamento não ocorre mais devido a alterações no material, mas sim devido a mudanças na 
geometria dos elementos estruturais à medida que um carregamento é aplicado. 
O efeitos gerados a partir do equilíbrio na configuração deformada (efeitos de 2ª ordem) ocasiona uma resposta não-
linear de uma estrutura, chamada de não-linearidade geométrica. 
Não-linearidade geométrica aproximada 
Assim como a não-linearidade física, a não-linearidade geométrica pode ser resolvida de forma aproximada. Nesse 
caso, a forma final da posição de equilíbrio é pré-determinada, permitindo a solução matemática do problema. 
É o que fazemos, por exemplo, ao utilizar a fórmula do coeficiente z, cuja formulação é resultante de uma estimativa 
da variação da forma da estrutura à medida que as cargas são aplicadas à mesma. 
Outro exemplo: o método do pilar-padrão aplicado no cálculo dos efeitos locais de 2ª ordem em pilares. Nesse caso, 
admite-se que a forma final da posição de equilíbrio do elemento em questão é uma curva senoidal. 
Não-linearidade geométrica de forma refinada 
Existem diversos processos numéricos, comumente denominados P-, que tratam a não-linearidade geométrica de 
forma refinada. Basicamente, são cálculos iterativos em que se busca a posição final de equilíbrio da estrutura ou parte 
dela. 
Por ser um processo iterativo, é necessária a definição de tolerâncias para obtenção da convergência do método. 
Existem formulações baseadas na introdução de “deltas” de esforços entre cada iteração, bem como outras, mais 
sofisticadas, que corrigem a matriz de rigidez dos elementos de tal forma a simular a variação da geometria da 
estrutura à medida que o carregamento é aplicado sobre a mesma. 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
63 
 
Efeitos de 2ª Ordem 
Efeitos de 2ª ordem são efeitos adicionais à estrutura gerados quando o equilíbrio da mesma é tomado na sua posição 
deformada (análise em 2ª ordem). Esses efeitos são reais, e podem ser grandes ou pequenos. 
A NBR 6118:2014, item 15.2, permite desprezar os efeitos de segunda ordem somente após a constatação de que a 
magnitude dos mesmos não represente um acréscimo de 10% nas reações e nas solicitações relevantes da estrutura. 
A NBR 6118:2014, item 15.4.1, classifica os efeitos de segunda ordem presentes numa estrutura de concreto em três 
tipos: 
 
Muito embora ocorram de forma simultânea no edifício, os efeitos globais, locais e localizados de segunda ordem 
comumente são calculados de forma separada, conforme sintetiza a figura a seguir. 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
64 
 
 
Os efeitos globais de 2ª ordem se referem à estrutura como um todo e são calculados a partir de uma modelagem 
global (pórtico espacial). Os efeitos locais se referem a um trecho isolado do pilar (lance) e são calculados por meio de 
uma modelagem local. Já, os efeitos localizados se referem a uma região específica de pilares-parede (extremos com 
baixa rigidez) que possuem uma tendência de ter efeitos de 2ª ordem mais significativos em função de uma 
concentração de tensões. 
O cálculo dos efeitos globais, locais e localizados de 2ª ordem será estudado com detalhes durante o curso. 
COEFICIENTE F3 
O coeficiente ponderador das ações f, usualmente igual a 1,4, é resultante da multiplicação de 3 fatores apresentados 
a seguir. 
Cálculo de Pilares de Concreto Armado (Alio E. Kimura) 
65 
 
 
O primeiro fator f1 procura prever a variabilidade do valor da ação, ou seja, considera que a carga efetivamente 
aplicada à estrutura real não é 100% exata, podendo ser maior ou menor que o valor especificado em projeto. 
O segundo f2 procura prever a simultaneidade das ações, isto é, a probabilidade de ocorrência simultânea de ações 
distintas. São os famosos coeficientes . 
Já o terceiro fator f3 leva em conta as aproximações feitas em projeto. Vale lembrar