CONJUNTOS NUMÉRICOS E INTERVALO REAIS

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MATEMÁTICA I
PRÉ-VESTIBULAR 17PROENEM.COM.BR
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
E INTERVALOS REAIS02
CONJUNTOS DOS NÚMEROS 
NATURAIS
Para obtermos o conjunto dos números naturais, começamos 
por zero e acrescentamos sempre uma unidade para encontrar os 
outros elementos.
 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
O conjunto dos números naturais é infi nito por isso utilizamos 
as reticências.
Quando utilizamos o asterisco(*), estamos excluindo o zero do 
conjunto, ou seja:

* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
Pertencem ao conjunto dos números inteiros todos os 
elementos do conjunto dos Naturais e acrescenta-se o elemento 
oposto a cada um dos elementos de .
O conjunto dos inteiros é representado pela letra .
 = {...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Atenção!
• Números inteiros não nulos

* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...}
• Números inteiros não positivos
- = {..., -3, -2, -1, 0}
• Números inteiros negativos
-
* = {..., -3, -2, -1}
• Números inteiros não negativos
+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...} = 
• Números inteiros positivos
+
* = {1, 2, 3, 4, ...} = *
Grafi camente podemos representar o conjunto dos inteiros da 
seguinte forma:
O conjunto dos números naturais é um subconjunto dos 
números inteiros. ( ⊂ )
CONJUNTO DOS NÚMEROS 
RACIONAIS
Os números que podem ser expressos sob a forma de fração 
m
n
 , com m e n inteiros e n não nulo, são chamados de números 
racionais. O conjunto dos racionais pode ser representado por:
*m{x | x , com m e  n }
n
= = ∈ ∈    
Pode-se afi rmar que o conjunto dos racionais é formado 
por números fracionários, decimais exatos, dizimas periódicas e 
números inteiros.
DÍZIMAS PERIÓDICAS:
Dízimas são números decimais em que, a partir de alguma 
casa decimal, um algarismo ou grupo de algarismos passa a se 
repetir infi nitamente.
Exemplo: 
• 3,141414141414...=3,14
• 0,135777777777...= 0,1357
• 2,728368368368...= 2,72836
Esses números são Números Racionais porque podem ser 
colocados em forma de fração.
Essas frações que geram as dízimas periódicas são chamadas 
de Fração Geratriz.
FRAÇÃO GERATRIZ
Exemplo: 
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MATEMÁTICA I 02 CONJUNTOS NUMÉRICOS E INTERVALOS REAIS
• Todo racional possui um oposto e um simétrico.
• Entre dois números racionais distintos sempre existe um 
outro número racional.
• O conjunto dos números naturais e dos inteiros são 
subconjuntos de .
 ⊂  ⊂ 
PROEXPLICA
CONJUNTO DOS NÚMEROS 
IRRACIONAIS
• {x / x }= ∈ ∉ 
• São todos os números que não podem ser colocados 
em forma de fração.
• Dízimas não periódicas
• Raízes não inteiras: 2 , 5 ,...
• Números Transcendentes: π, φ, e, ...
Números irracionais são números que possuem uma 
representação infi nita e não periódica.
Exemplo:
π = 3,1415926...
5 = 2,236067...
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS ()
O conjunto dos números reais é a união dos racionais com os 
irracionais.
Representando grafi camente:
INTERVALOS REAIS
O subconjunto dos números reais, determinado por 
desigualdades é chamado de intervalo.
Assim, podemos ter intervalos como:
Intervalo aberto
Os extremos a e b não pertencem ao intervalo. 
• Outras maneiras de representar esse intervalo são:
]a, b[ ou (a, b)
{x ∈  / a < x < b}
Exemplo: 
B = {x ∈  / 1 < x < 5}
B = ]1, 5[ ou (1, 5)
Intervalo fechado 
Os extremos a e b pertencem ao intervalo.
Outras maneiras de representar esse intervalo são:
[a, b]
{x ∈  / a ≤ x ≤ b}
Exemplo:
A = {x ∈  / 1 < x < 5} 
A = [1, 5]
Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita 
(ou simplesmente intervalo semiaberto à direita)
Apenas o extremo a pertence ao intervalo.
Outras maneiras de representar esse intervalo são:
[a, b[ ou [a, b)
{x ∈  / a ≤ x < b} 
Exemplo:
C = {x ∈  / 1 ≤ x < 5}
Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita (ou 
simplesmente intervalo semiaberto à esquerda)
Apenas o extremo b pertence ao intervalo.
Outras maneiras de representar esse intervalo são:
] a, b] ou (a,b]
{x ∈  / a < x ≤ b}
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02 CONJUNTOS NUMÉRICOS E INTERVALOS REAIS
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MATEMÁTICA I
Exemplo:
D = {x ∈  / 1 < x ≤ 5}
D = ]1, 5] ou (1, 5]
[a, + ∞[ ou [a,+ ∞)
] -∞, b [ ou (-∞,b)
Sempre usaremos “aberto” quando o intervalo 
apresentar “infi nito”
PROEXPLICA
OPERAÇÕES COM INTERVALOS
Intersecção
Se A = {x ∈  / 2 < x ≤ 6} e B = {x ∈  / 4 ≤ x < 8}, determine a A ∩ B.
Logo A ∩ B = { x ∈  / 4 ≤ x ≤ 6 }
União
Se A= {x ∈  / 2 < x ≤ 6 } e B= {x ∈  / 4 ≤ x < 8 }, determine A ∪ B.
A ∪ B = {x ∈  / 2 < x < 8}
Subtração
Se A = {x ∈  / -2 < x ≤ 4} e B = {x ∈  / 1 < x < 8}, determine A - B
PROTREINO
EXERCÍCIOS
01. Obtenha a fração geratriz da dízima periódica 5,646464... .
02. Determine o menor número que pertence ao conjunto abaixo:
A ={x ∈  / x > -5}
03. Escreva dois números racionais compreendidos entre 2 e 3 .
04. Marque as sentenças corretas:
( ) Todo número inteiro é natural;
( ) Toda dízima não periódica é um número irracional;
( ) O produto de quaisquer dois números inteiros sempre será um 
número natural;
( ) O inverso de um número irracional é um número irracional; 
( ) Números reais são somente aqueles que podem ser 
representados pela razão entre dois números inteiros;
05. Dados os intervalos A = [4, 12] e B = ]9, 19[, determine:
a) A ∪ B= b) A ∩ B = c) A – B = d) B – A =
PROPOSTOS
EXERCÍCIOS
01. De acordo com os conjuntos numéricos, analise as afi rmativas 
abaixo:
I. Todo número natural é inteiro.
II. A soma de dois números irracionais é sempre irracional.
III. Todo número inteiro é real.
IV. Todo número racional é inteiro.
São verdadeiras as afi rmativas
a) I e II. b) I e III. c) I e IV. d) II e III. e) III e IV.
02. Nas construções prediais são utilizados tubos de diferentes 
medidas para a instalação da rede de água. Essas medidas são 
conhecidas pelo seu diâmetro, muitas vezes medido em polegada. 
Alguns desses tubos, com medidas em polegada, são os tubos de 
1
2
3
8
5
4
, e .
Colocando os valores dessas medidas em ordem crescente, 
encontramos
a) 1
2
3
8
5
4
, , .
b) 1
2
5
4
3
8
, , .
c) 5
4
3
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1
2
, , .
d) 
3
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1
2
, , .
e) 
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2
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4
, , .
03. Se colocarmos os números reais  5 1, , 3
5
3
8
e em ordem 
decrescente, teremos a sequência:
a) 
3
8
3
5
, , ,1 5 
b) 
3
8
3
5
, , ,1 5 
c) 1 5, , ,
3
8
3
5
 
d) 1 5, , ,
3
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3
5
 
e)  5 1, , ,3
5
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MATEMÁTICA I 02 CONJUNTOS NUMÉRICOS E INTERVALOS REAIS
04. No contexto da matemática recreativa, utilizando diversos 
materiais didáticos para motivar seus alunos, uma professora 
organizou um jogo com um tipo de baralho modifi cado, No início 
do jogo, vira-se uma carta do baralho na mesa e cada jogador 
recebe em mãos nove cartas. Deseja-se formar pares de cartas, 
sendo a primeira carta a da mesa e a segunda, uma carta na mão 
do jogador, que tenha um valor equivalente àquele descrito na carta 
da mesa. O objetivo do jogo é verifi car qual jogador consegue o 
maior número de pares. Iniciado o jogo, a carta virada na mesa e as 
cartas da mão de um jogador são como no esquema:
Segundo as regras do jogo, quantas cartas da mão desse jogador 
podem formar um par com a carta da mesa?
a) 9 b) 7 c) 5 d) 4 e) 3
05. Em nossos trabalhos com matemática, mantemos um 
contato permanente com o conjunto  dos números reais, que 
possui, como subconjuntos, o conjunto  dos números naturais, 
o conjunto  dos números inteiros, o  dos números racionais e o 
dos números irracionais . O conjunto dos números reais também 
pode ser identifi cado por
a)  ∪  b)  ∪  c)  ∪  d)  ∪  e)  ∪ 
06. Considerando os intervalos de números reais, o resultado de 
]5, 7] ∩ [6, 9] é
a) ]5, 9] b) Ø c) [6, 7[ d) {6} e) {7}
07. Defi ne-se o comprimento de cada um dos intervalos [a, b], ]a, b[, 
]a, b] e [a, b[ como sendo a diferença (b – a). Dados os intervalos M = 
[3,10], N = ]6, 14], P = [5, 12[, o comprimento do intervalo resultante 
de (M ∩ P) ∪ (P – N) é igual a:
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9
08. Se x e y são números reais que satisfazem, respectivamente, às 
desigualdades 2 ≤ × ≤ 15 e 3 ≤ y ≤ 18, então todos os números da 
forma x/y possíveis, pertencem ao intervalo
a) [5, 9]
b) 
2 5[ , ]
3 6
c) [ 3
2
, 6]
d) [
1
9
 , 5]
e) [1, 2]
09. Defi ne-se a amplitude d do intervalo [a, b] como sendo o número 
d = b - a, então a amplitude de [-1, 7] ∩ [1, 9] ∩ [0, 8] é:
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
10. Assinale a alternativa verdadeira.
a) {1, 2, 4, 6, 7} = [ 1, 7].
b) Se C = ] –1, 3] , então -1 ∉ C, mas 3 ∈ C.
c) Se D = [2, 6], então 2 ∈ D, mas 6 ∉ D.
d) A intersecção de dois intervalos numéricos é sempre um 
intervalo numérico.
e) A união de dois intervalos numéricos pode ser um conjunto vazio.
11. (Uece 2019) Seja U o conjunto de todos os números inteiros 
positivos menores do que 200. Se
2X {n U tal que n é múltiplo de 2},= ∈
3X {n U tal que n é múltiplo de 3}= ∈ e
5X {n U tal que n é múltiplo de 5},= ∈
então, o número de elementos de X2 ∪ X3 ∪ X5 é 
a) 140 b) 135 c) 150 d) 145 e) 155
12. (Uece 2018) A quantidade de números inteiros positivos n, que 
satisfazem a desigualdade: 3 n 2
7 14 3
< < é 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
13. (ENEM 2018) Um edifício tem a numeração dos andares 
iniciando no térreo (T), e continuando com primeiro, segundo, 
terceiro, …, até o último andar. Uma criança entrou no elevador e, 
tocando no painel, seguiu uma sequência de andares, parando, 
abrindo e fechando a porta em diversos andares. A partir de onde 
entrou a criança, o elevador subiu sete andares, em seguida desceu 
dez, desceu mais treze, subiu nove, desceu quatro e parou no quinto 
andar, fi nalizando a sequência. Considere que, no trajeto seguido 
pela criança, o elevador parou uma vez no último andar do edifício.
De acordo com as informações dadas, o último andar do edifício é o 
a) 16º b) 22º c) 23º d) 25º e) 32º 
14. (CMRJ 2018) O valor da expressão 
37 (0,243243243... 1,8) 0,656565... 6,6
3
11 (1,353535... 0,383838...)
8
× ÷ + ×
× −
 é 
a) 4,666666
b) 4,252525
c) 4,333333
d) 4,25
e) 4,5
15. (Unicamp 2018) Considere três números inteiros cuja soma 
é um número ímpar. Entre esses três números, a quantidade de 
números ímpares é igual a 
a) 0 ou 1. 
b) 1 ou 2. 
c) 2 ou 3. 
d) 1 ou 3. 
e) 2 ou 4.
16. Antes de uma eleição para prefeito, certo instituto realizou 
uma pesquisa em que foi consultado um número signifi cativo de 
eleitores, dos quais 36% responderam que iriam votar no candidato 
X; 33% no candidato Y e 31% no candidato Z. A margem de erro 
estimada para cada um desses valores é de 3% para mais ou para 
menos. Os técnicos do instituto concluíram que, se confi rmado o 
resultado da pesquisa,
a) apenas o candidato X poderia vencer e, nesse caso, teria 39% 
do total de votos. 
b) apenas os candidatos X e Y teriam chances de vencer. 
c) o candidato Y poderia vencer com uma diferença de até 5% 
sobre X.
d) o candidato Z poderia vencer com uma diferença de, no 
máximo, 1% sobre X. 
e) o candidato Z poderia vencer com uma diferença de até 5% 
sobre o candidato Y.
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MATEMÁTICA I
17. Considere , os seguintes conjuntos numéricos , , , , 
 =  –  e considere também os seguintes conjuntos:
A = ( ∪ ) – ( ∩ )
B =  – ( – )
D = ( ∪ ) ∪ ( – )
Das alternativas abaixo, a que apresenta elementos que pertencem 
aos conjuntos A, B e D, nesta ordem, é
a) -3; 0,5 e 5
2
b) 20; 10; 5
c) 10; 5  e  2− −
d) 3 ; 3 e 2, 31
2
18. Sobre os números 25 36,  e   17
3 5
 afirma-se que
a) pertencem ao conjunto dos números naturais. 
b) pertencem ao conjunto dos números inteiros.
c) 25 36 17
3 5
< <
d) 36 2517
5 3
< <
e) 
36 17
5
< < 25
3
 
19. (UPF 2018) Considere os seguintes conjuntos de números 
reais:
{ }A x : 4 3x 6= ∈ − ≥ e 2B {x : x 2x 8}= ∈ > −
Qual dos conjuntos abaixo representa o conjunto A ∩ B?
a) 2 ,
3
 − + ∞ 
 
 
b) 2,
3
 −∞ 
 
 
c) 2,
3
 −∞ −  
 
d) 
e) ∅ 
20. (ENEM 2018) Em um aeroporto, os passageiros devem 
submeter suas bagagens a uma das cinco máquinas de raio-X 
disponíveis ao adentrarem a sala de embarque. Num dado instante, 
o tempo gasto por essas máquinas para escanear a bagagem de 
cada passageiro e o número de pessoas presentes em cada fila 
estão apresentados em um painel, como mostrado na figura.
Um passageiro, ao chegar à sala de embarque desse aeroporto no 
instante indicado, visando esperar o menor tempo possível, deverá 
se dirigir à máquina 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
05. APROFUNDAMENTO
EXERCÍCIOS DE
01. (UFRJ 2002) Sejam x = 1 e y = 0,999... (dízima periódica). Quais 
das afirmações a seguir são verdadeiras?
x < y
x > y
x = y
Justifique rigorosamente sua resposta.
02. (UFPE 2003) Seja A/B, com A e B inteiros primos entre si, a fração 
geratriz da dízima periódica 4,373737.... 
Indique a soma dos algarismos de A.
03. (CFTCE 2005) A expressão
1
5
12
11
3
+
+
+
representa uma fração 
a
b . Calcule a + b. 
04. (UFRJ 2007) O professor escreveu no quadro-negro:
DESAFIO:
Qual é o maior: 3 1800 ou 12,34?
05. (PUCRJ 2008) A figura a seguir representa uma região de ruas de 
mão única. O número de carros se divide igualmente em cada local 
onde existam duas opções de direções, conforme a figura:
Se 320 carros entram em A, quantos deixam a saída B? R
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MATEMÁTICA I 02 CONJUNTOS NUMÉRICOS E INTERVALOS REAIS
GABARITO
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. B
02. E
03. C
04. E
05. E
06. C
07. C
08. D
09. C
10. B
11. D
12. B
13. C
14. E
15. D
16. D 
17. D 
18. D 
19. C
20. B
 EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO
01. x = y 02. 10 03. 70 04. 3 1800 05. 120
ANOTAÇÕES
R
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